Geodéziai számítások

1

Geodéziai számítások

Gyenes Róbert

Geodézia I.Geodézia I.

Pontkapcsolások

2

Pontkapcsolások• Általános fogalom (1D, 2D, 3D, 1+2D)

– Egy vagy több ismeretlen pont helymeghatározó adatainak a meghatározása az ismert pontok helymeghatározó adatai, valamint az ismert és a meghatározandó pontokon vagy pontokra végzett mérési eredmények felhasználásával

• Kétdimenziós helymeghatározásban– Egy vagy több ismeretlen pont koordinátáinak a

meghatározása az ismert pontok koordinátái, valamint az ismert és a meghatározandó pontokon végzett irány- és távolságmérések felhasználásával

• Fölös mérések kérdése

3

Pontkapcsolások osztályozása kétdimenziós helymeghatározás során

• Meghatározandó pontok száma szerint– Egyetlen pont koordinátáinak a számítása– Két pont koordinátáinak együttes (hierarchia

nélküli) számítása (páros pontkapcsolásma már nem alkalmazzuk. Irodalom: ld. Pl. Hansen-féle páros pontkapcsolás, Marek-féle feladat)

– Több pont koordinátáinak együttes számítása– Több pont koordinátáinak a számítása

hierarchia alapján

4

Egyetlen pont koordinátáinak a számítása

Előmetszés Ívmetszés

Új pont koordinátáinak a számítása két ismert koordinátájúpont, valamint az ismert pontokról az új pontra menő irányok tájékozott irányértékeinek a felhasználásával

Új pont koordinátáinak a számítása két ismert koordinátájúpont, valamint az ismert pontok és az új pont közötti vízszintes/vetületi távolság felhasználásával

5

Egyetlen pont koordinátáinak a számítása

Ív-oldalmetszés vagy külpont számítása

Ld. Geodézia II.

6

Egyetlen pont koordinátáinak a számítása

Hátrametszés

Ld. Geodézia II.

7

Pontkapcsolások osztályozása kétdimenziós helymeghatározás során

Két pont koordinátáinak a számítása – páros pontkapcsolás

Hansen-féle feladat

Ld. Szakirodalom

8

Több pont koordinátáinak együttes számítása - sokszögelés

Ld. Geodézia II.

9

Pontkapcsolások osztályozása kétdimenziós helymeghatározás során

• Felhasznált mérések típusa szerint– Csak iránymérésen alapuló

helymeghatározás (előmetszés, hátrametszés, Hansen-féle feladat)

– Csak távmérésen alapuló helymeghatározás (ívmetszés)

– Irány- és távmérésen alapuló helymeghatározás (poláris pontszámítás, ív-oldalmetszés, sokszögelés)

10

Előmetszés

A

B

’AP

’BP

Adott: A, B

Mért/számított: ’AP, ’BP

Számítandó: P (yP, xp)

P(tAP)

(tBP)

AB

Számítás menete

’AP-’BP

AB-’AP ’AP-’BP

tAB

BA

’BP-BA

'

APAPAP

'APAPAP

costxx

sintyy

Számítás B pontból

'

BPBPBP

'BPBPBP

costxx

sintyy

'

BP'AP

BA'BP

ABAP sinsin

tt

'

BP'AP

'APAB

ABBP sinsin

tt

(1)

(2)

1.

2.

11

Előmetszés

BA'BPBA

'BPBA

'BP sincoscossinsin

De (1)

és

AB

BABA t

yysin

AB

BABA t

xxcos

(3)

(4) (5)

Behelyettesítve (3)-at, (4)-et és (5)-öt (1)-be

'BP

'AP

BA'BPBA

'BP

AB'BP

'AP

BA'BP

ABAP sinsincoscossin

tsinsin

tt

'BP

'AP

AB

BA'BP

AB

BA'BP

AB sint

yycos

txx

sint

'

BP'AP

'BPBA

'BPBA

sincosyysinxx

(6)

12

'AP'

BP'AP

'BPBA

'BPBA

AP

'AP'

BP'AP

'BPBA

'BPBA

AP

cossin

cosyysinxxxx

sinsin

cosyysinxxyy

ElőmetszésVégeredményképpen (6)-ot (2)-be helyettesítve:

Algoritmus : A és B pontok cseréje az indexekben

További algoritmusok, amelyek levezethetők:-„iránytangenses” megoldás két egyenes metszéspontjaként

-hátránya: tan(90)=? tan(270)=?-Lehetséges megoldás numerikusan: tan(90+0.00000001), stb. -De hátrány, hogy: tan(90+0.00000001)= - 572957951.308…

A geodéziai számításokban lehetőleg ne használjuk a tangens és cotangens szögfüggvényeket:1. Numerikus problémák miatt2. Számítási ellenőrzések miatt : -1 ≤ sin(), cos() ≤ +13. Hibaterjedés miatt

Következtetés

13

Ívmetszés

tAP

tBP

Adott: A, B

Mért/redukált: tAP, tBP

Számítandó: P (yP, xp)

A

B

AB

(AP)

tAB

Számítás menete

ABAP

2BP

2AB

2AP

tt2ttt

arccos

ABAP

APAPAP

APAPAP

costxxsintyy

1.

2.

3.

Számítás B pontból hasonlóan

Levezetett irányszög

14

A

B

Az ívmetszés egyértelműsége

+

15

Külpont koordinátáinak a számítása

K

ElEK

r

0

0

lEK zK

’KE 180lz EKK

'KET1

T2

T3

T4

1. Tájékozás számítása tájékozó irányok központosítása alapján zK

2.

3. Külpont számítása polárisan a központból

A módszer előnye: 1. Nem szükséges az új pontokra vonatkozó méréseket központosítani2. A távolság ismerete nem feltétel a tájékozott irányérték számításához

16

Pontkapcsolások – fölös mérések biztosítása és a legkedvezőbb alakzat kérdése

X

!Ívmetszés

Előmetszés

17

Koordinátageometriai feladatok megoldása pontkapcsolások alkalmazásával

Két egyenes metszéspontja – előmetszés alkalmazása

A

B

C

D

P

Számítás menete

1. Irányszögek számítása koordinátákból pl. AC, BD

2. Előmetszés összefüggéseinek alkalmazása

18

Koordinátageometriai feladatok megoldása pontkapcsolások alkalmazásával

Két kör metszéspontja – ívmetszés alkalmazása(analitikus geometria: másodfokú egyenlet megoldása)

O1

O2

19

Koordinátageometriai feladatok megoldása pontkapcsolások alkalmazásával

Ívmetszés alkalmazása – részletmérés: kiegészítő mérések

26.11

51.4

8

?

20

Kitűzési és számítási vázlatok értelmezése

54-4162

54-4164

54-416654-4165

1001

1002

54-416

0

54-4

162

54-4001A számítás jellemzői -Hierarchikusan történik-1001? 1002?-Fölös mérések figyelembevétele-Először: 1001, majd 1002-Végleges tájékozás

Iránymérések száma = 16 Távmérések száma =4

További információk: Alappontmeghatározás, Kiegyenlítő számítások III. félév