Top Banner
26

Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

Jan 20, 2023

Download

Documents

Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

������������ ���� ������ �������� ������

����������� ���

����� ����� ���

����� ������

����� ������ �� ������ � ��� � ��������������������� ��� ��������� ������ ��� ��!��������������� ����������� �����������������

����� ������ �� ������ � ��� �

���� �� ��� �� ����� � ���

�� ���� ����

���� ��� �� ���! �

���� ���� �!��

Page 2: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

��������

" ��� �#���� $�%� &��� ���! �� ����� # � !�� ��&� !�� ���� �#����� �'�'�#���� (��$ !�� ���� ��� � ���) ��� � !�� ���� ����� ��� �' �� �$������� (� !�*�� ���������� ������ ������ ($� $ �+���! �$� � ��� �#���� ����� $ � $#&��! �#����� �'�' �#���� (��$ !�� ���� ��� %�� ������� # �% %��) �� �����' �$� �����) � ������� � ��� �#������ !�*��! �� ���� � ���!����� �!�� ����� � ��� �#����' ,�������� � ������� � ��� �#���� ��� ��%�! ����) ����!��! � ��� �#��� ����� $��-���' �������� � ��� �#���� ��� %��# )����� � ��! �� &� ���! �!�� ��&� � !�%���� ���)� � $#&��! �#����' .� !�� ��&� �$� �������� ������ ������� � ��� �#���� ��! � ������� �$� ����(�� &# � � ��� ��+�� ��'

������ /#&��! �#����� � ��� �#����� ������� ������ �����# ����������� ��� ��$!�� �� ��� ��� '

���� �������� �����

,�)����) 0��$! )# 1����� $ 2���

Page 3: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

� �����������

" �#��� �$�� ���� !�� ���� ��� �� � ������� # �% %��) �� ����� ���������! � �� � ��� �� ����' �$� ��� � ��� ��$!� ��! !� � �!�� ��&� $#&��! �#���� $�� ����� ��! -���� � � � �������� �� �$� ���#����� (��$ � ��&�� � !�3����� !� � ��! ��� ��� &���) �����! ���$� ��������� ����� �')'� 4��� 5� �6�' .� (� �� �$�� ����� ������ �$�� ���� ������ $� �������� # ������) ($�� (� &� ��%� �� � ��( ��! %��# )����� !� �� $#&��! �#���� &���! � �$� ������ ���� �� ����'

" ��� �#���� 4�� �6 $�%� &��� ���! �� ����� # � !� !�� ���� �#������ �'�' �#���� �$�� ��� � !�� ���� ��� ��� � !�� ���� ����� ��� �'�$��� ��)��� ������ (�� � !� � ������ ��! !�����&���! �#����' ���$�� ����� (� �$( �$�� �$� � ��� �#��� !� �� &� ���� # �!����! �!� $#&��! �#����' "� ������� �!%����)� � �$�� �!����� �� �$�� �����!��! !� ��) ��! ��� �� $��-���� !�%� ��! �� �!����# � ��� �#����� �� &� �����! � !� ��! ����� �&�� $#&��! �#����'

7�� �+������ � � ��� �#���� � $#&��! �#���� �� &���! � � ��(����� $ � !�� ��&��) �$� ����� � � �#���' 8������� #� �� ����� %����& ��(� ���)� %�� ��� ���� %�� ���� ���$�� �$�� 9��� %�� %� ���' �$�� � (� �%����& � � ������ �� � # �$� ������� %� �� � � %����& �� &�� � � �$� ($ �$����# � %� ��� �$�� �$� %����& � $�� $�!� �� (� �� �$� !���� � ������ %� ����$�� �$� %����& � (� �� ��%�' ��!����) � ����� %����& � �� ������ ��! � �$��� # ������ &�$�%�� � �$� %����& � �� &� $��)�!� �� ��� ���� &�$�%��'.� (� ����� � � ��� �#���� (��$ �$�� !� � ����� �� ���������� �����������' �������� � ��� �#���� ��� �������! &#� &�� !�3����� ��� �$��+������ � � ��� �#���� � $#&��! �#���� !�� ��&�! �� 4��6'

,��� �&�� � ��� �#��� ��������� ��� &���! � �$� ��*����� � �� �� 4�6' �$�� �+���!� �$� ��)����) )� &���! � (������ ��� �!�������!� ��� ���������� �$�� (�� �����! �� 4:6' " ��� �#���� ��� �����!�!�� ����(��� !�%� ����� ($��� �$� ��� ����� � ��*����� ����� �� %����*�! (��$�� �$� ��*����� � � ��' �$������� (� )�� �� �� � �� ���� ���*����� � � �� ������� � ��� �#����' 8%�� �$�)$ �$� ��*������ $#&��! �#���� �� �� � �$� � �� � �$�� ������ �$� ����� $ (� �!���� $#&��! �#���� *�� (� ��� �$� ��*����� � � �� ����(��'

�$� ��*����� � � �� �� &���! � $�)$����!�� )� � ($� $ �� ���� ���� �+������ � ��� # �#��! �&!� � � ��' ��� ���� ��� !�*��! &# ���&���� ���� ��! �� &� ���! (��$�� �+� � �� !�*����� ��! ����)' "� ���+�� �� �$� ��� ��� �$�� � � ���� �$� �� ���� � � ������ ��&�� ��!�*��! �� ��� � � ; ��' .� !���� &# ��� �$� ��� � ���� � �$� ��� ��� �� �$� ��)���� �� � �$��� �')'� ��� � � ; ���� < �'

.� �� ��! �� � (�' �$� � ��� �#��� !� �� &���=# !�� ��&�! ��

Page 4: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

�� ��� �' �������� � ��� �#���� ��� !�� ��&�! �� �� ��� >' �$��� ������� � �� !�*��! &# �+� �����) $( � ����� ��� �$� ��� �!����# � ����#����' 8+�� �� � $#&��! �#���� �$�� �� &� !� �! ����) �� �����(�� ��� !�� ��&�! �� �� ��� �' �� ��� � �$( $( � ��%� �����# ����������� ������� � ��� �#����' �� �� ��� : (� �$( $( � ����� � �� � �+ ������� � ��� �#���� ����) � ���� � ������ ������'�� ����� ��! ������� � �� ���! (�� ��� ��������! �� �� ��� ?'

����� � �����

.� ����� &# )�%��) � &���� %��%��( � �$� � ��� �#���� ��� ��' "�� ��� �#��� �� �������� # � ���� ��!���! &# � ���� � ���� �� ������'�$� ����� � �$� �#��� �� !�� ��&�! ����) ��� ����� � � �� � �� �����'�� ��� ��#��) �$�� (� !�*�� � *���� ��� ���� � ��� ���� ��� ��! ������$�� �� $ �����&��� ��� �� ���� �� ��� ����! (��$ � ������# ��� � �����'�$�� ��� � %� ��� �� �$� ��� � �$� �����&���' �� �$� �����&��� � ����� %� ����� � � (� ��# �$�� � $�� �$� �#�� � ��! (� (���� �� �� � @ � ' �$���� ��! �$� �#�� � ��� # ��� ��# �$� �����&���' .� ���!�� ��%��� ���!�*��! �#���� ��� ���� �� �$� ��� � ��� ��&���� ����� �� �$� ��� ������)���%� ��� ��&��� ��! ���� �� �$� & ��� %� ��� ��� ��' �$� %� ��� �� �����&��� �� &� ���! �� �� �+�������� ��! �$� %� �� �� &� $��)�!&# �� ����)����� �� �$� ���� (�#'

"� ������ ���� ������ � � *���� ��� � �����&���� ���! � &���%� ��!����� ��� �$� ���� � �$� �#��� ��! � *���� ��� � ������� �$�� � � ����$� �����&����' �$�� ��� � � ���� !� � �$� ���� �� ������ %�� �$������ � �$� �#���' "� � ��� �#��� $�� �$� � (��) ��@

��

< �4�� � � �� A � ��46 � � � 46 �� �6� @ ���

/��� � < ��� � � � � �� ��� �$� ��� ����� � �$� �#���� �� �� � �������� �$�������� �B�� �$� �����&����� ($� � �� < ��� ��� � < �� � � � � �� ��� �$� ������� ��$� �#���' /��� �� �� ��(� �� �$� ��� � � �$� � ��� �� ��! �� �� �$� ����� �$� � ���' �$� �����&���� < �� � � � � � ��� !�*��! �� �$� ��%������� �$� � ��� �#��� �(� ��# �$�� �$�# ��� ���������' �� � �$� �����&������ � �# &� ��� ��� �� �$� ����� �$�� �$�# �� &� ���!� � (������� � &�$���! ��! (������ &# ��%������ � ����' �� �$�� ���� (� !� ���� �$���(��$ �� ; � �� ����� ��%� #'

"� � ��� � � �$� �� C�� �D �� � )���!�! �������� �$�� �� �+� ���!�� �$� � � � � � � � # ($�� � �� ���& �!� �'�'� ($�� � �%� ����� � �'�$� � ���� ��� �+� ���! �� �$� � �� �) �� �$��� ��� ���& �! � ����'�$� � �� �$�� 9��� E�9�����D� )���!�! �������� ��������'

Page 5: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

�$� )���! � �� � ��� �� 9��� �� �!����# & ��� �+�������' �$� &!#�� � ��������� !�*��! &# �$� � (��) ��� � �#���+@

� @@< ���� � ���� � � @ � � � �� @ � ����� ��� � ��� �� ���� �� �� � �� A ���

/��� � �� � ��� � �����&����� � �� � ������!��) ��� � �+��������� �� ��� ��� � � )� � � %����& �� ����!��) �� ����(� %� ���� ��! � �� � �� ������� �*�! �� ���� � � ��! ��' �������%� # C����D �� �$� ���������) � ����C� @ � �D �� � � ��� � ����)����� C�� � ��� �� ���� �� ��D �� �$� �!����� ������ � �( ���������� ��! C�� A ��D �� �$� ��-������ ������ ��( ���������' 2�%�� � �� ���� � ��! � ��� � �����&���� �� (� !���� &#�� @ � ����� �$� ���!���������� ����)���� � �� %� �� �� � ��� � ���$� �3� � �� �$� ��� �� ����� �� ��� < ��' �$� � ��� C����D � (�#� ��� ���! �� &� ���! � !� !��� (�! &�$�%���'

�$� ������ � � �$� � ���� ��)��)� $�� &��� !�*��! �� ���� � (������� ��� �!����� �� � ����!��! (�# 4:6' �$��� �� ��# ���!� ��� �� (� !�*��

�������� �� < ����������� �� < ����� @ � �� �� < �4� @< �6����� @ � ������ �� < ��� � ��� � �4� @< ��6������ A ��� �� < ������ ������ �������� � ��� �� ���� �� ��� �� < �� � ��� ������ �� ���� ������ �� ��

�$� �+� ���� � �� � ��� �#��� �� �� � (�' �$� ������ �B���� ��(� ��� �$� �����&���� � �� ��� �* %� ���� ����) � ��-��� � � ����& #���!���������� ����)�����' �$�� ���& �! � ���� ��� �������! # $�����! �+� ���!' �$� $��� � ���� (� $��)� �$� %� ��� � �$� �����&���� ��� (�# �$�� �� !�������! &# �$� � ��� &!#' �( � �� � ���� �� &����& �! �� �$� ��� ���� �� ($� $ ��� �� � �$� �� $��� �� �+� ������� � !��� � # ��!���������� (�#' �$� ������� ��������� ($��� � ��� �� ���& �!' ��������� � �� � ��� �#��� ���� �$� ���������� � �$� ��� %�� �$� �#���� ($� $ ���� �$�� �$� ����� (� �% %� ���� *+��) �$� *�� %� ��� � �$� �����&���� �� �%��' " ���� �#���� !� ���� � �+� ���� &# ����� ��%��) ��� � ���� �� � !��� � # ��!����������� ���$��'

"� � ��� �#��� �� �� ���� # ��)��!�! �� �� ����� &�� �� � ���� �� �� � �+ �#���' �$� ���� � �$� �#��� ��$� ��� ����� ���� ���� (��$ �$� � ��� �#��� ����) �$���! ������! ��! �+����!� ������&����� �������! � �� �$� ������ �����&����' .� �� !� �$�� ���� � ��� ���� �� (� ����) �$� � ��� �#���� ����(��� &�� �$�� �� ��� �$� � �� � �$�� ����� 4>6'

>

Page 6: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

" ��)� � ��� �#��� �� ����� ��! �� �� �� ��� ����) ���� � ������' .� !�*�� �$� ���� � ������ � �( � ��� �#����

� < �4�� � @ � � �� A � �� � ��46 � � � 46 �� � �� �6� @

�� < �4�� � @ � �

� � �

� A � ��� � � �

�46 � � � 46 ���� � �

��6� @ �

�� �$� � ��� � ��� �#��� � ��� !�*��! &#

� �� < �4�� �� �� � �� A � �

� A

� �� � ��46 � � � 46 �� � ��46 ��� � � �

�46 � � � 46 ���� � �

�6� @ � � � � � ��

.� ����� $��� �$�� �$� %����& �� � ��! �� ��� !��9���' �$� ������ �B������� ��! � �

� �# � # ����� � �$��� ����� ��%� %����& �� � ��! ��� � �$� �!���� ($� $ �$� ������ �B����� ��� �+� ���! !�� �� �����' �$� �����!%����& �� ��� �$� ���� � �$� %����& �� �����! &# �$� ����� � ����#���� &�� (��$�� �$� �+����! %����& �� � ��! �� � �$� �( �#����' �$�� ���� ��� � � �$� ���� � �$� � ��� � �$� �( ����� �#����'

� ��������� ����� � �����

" ���������� ������ ���� ������ � � *���� ��� � �����&���� �$�� �� ���)�%�� !�� ���� � ������� %� �� !����� ����) �$� ����� � �$� �#�����)��$�� (��$ � *���� ��� � � ���� �$�� � � ��� �$� �����&����' �� �� � �$���

��

< ���� � @ ����� � � � �� A � �� � ��46 � � � 46 �� � �� ��� @ ���

�������%� #� �+� ����) � ������� � ��� �#��� �� ��!� �� � (�'�$��� �� �� �� � �� %����& � ���� �$�� �$(� �$� ������� ���' ������ #��� < �' �$� )���!� � �$� � ���� �# ����� �$� %� �� � ���� �� �#� � �+�������� �� �$� � ��� &!���' �$� ������ �B���� �� ����)�� ������ ��� ��� ���� � �$� �����&���� ��� � � � � ��' �$��� ��� ��� ���� !�� ��&��$� !���� � ������ &�$�%�� � �$� �����&����� ($�� %� ��� �$�� $��)� (��$�$� ��)���� � ���' �$� �#��� (� �$�� ����� �% %��) � �!��) � �$������ ����� (��$ ��� ��� ������! &# ���� %��) ��(��! ������� #'/(�%��� �� �� �� �� � �$� �!����� ��� � � � � �� &� �� ����� �$� �#���� $��� �� � �$� ����� � ����� ��# �� � ��� �� �+� ����' �$� $� � �� ��!���������� �� �$��� �� �� �$�� �� �� $ � ���' �$� &!#�� � �$� � ��� �� �$�� �+� ���!' �� (� ���� # $��)� �� �����&���� &# $��)��) �$��� ������ &�$�%��' "����&���� �$�� ��� �� $��)�! (� &�$�%�

Page 7: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

�� &����' "���� �$� $��)�� ����� ���! &# �� $�%� &��� !��� �$� �#��� (� �% %� � �$� ��+� ��� ������ � ($�� �� � �$� � ���� �� ���& �!� ��! �$��� ��� �� �������!' �$� ��+� ��� ������ � ($�� �� � ��� �� ���& �! �#(� &� �$� ��� �� �$� ���%���� �'�'� ��� ���!� �� � ��)���� &��(��� �$��+� ���� � �( ���& �! � ����' �$�� �� ���� # �$� ��� ($�� �$� �#����� !��) �� �!�� ����� )� � � ������� � !������� $( � �� ��!��+�' �� $ ������� !�� �� ���� ��# ���' �� �� ����& � �$�� ����� � ������ ��� ������ �� ��� � �$� � ���� (� &� ���& �! ��#�� ' �$��9��� ���� �$��� ����� �$�� ��� ������ �� �$� �#��� (� ������ � �% %��� �%�� � �!��) � �$� ��� ���� ��� ����)��! � �$� �����&����'

"� �� �+�� � � � ������� � ��� �#��� ���!�� �$� � (��) ��� �$#&��! �#���@

����� �� ��� �� ����� � ����� � ���� � � ����� � ���� �

� �� ��� � �� � ����� �� ��� � �� � �� ��� � ���� � ��� � � � � ��� �

����� �� ��� � �� ���� � � �� ����� � �� ��� � ��� � ��� � � � ��� ������ �� ��� � �� ���� � � �� ��� � �� ����� �� � �� ��� � ��

��

��

.� (���� � @� � �� �� ����)���� ���$�� �$�� � @< �� � ��$���B� �$��� # �$� ������ &�$�%�� � �$� �����&��� � �� $��)�! � �$� ��� ��� �' �$����� &�$�%�� �� �� $��)�!'

�$� �����&���� � ��! ���� ��� $��� *��� ������ �B�! � �$� ������ ��� ���� � ��! �$� �(�� $��) ��� ��� �� �� ��� � �$� ������ ��� ��� ��� � ��'�$� )���! � �$� *��� � ��� �� ��!���� # ���& �! �� ��� �� � �$� *���� ���D� &!# �� �+� ���! ��!���� #' �$� ������ &�$�%�� � ���� ��! ���� $��)�! � � ����� �� ������) ����� # �� �� ��! �$� ������ &�$�%��� �� �� $��)�! � �$� ������ ��� ��� ��� ���� �'�'� �� �� ��� � &� ���� ��� ������ ��� ������ ��' "���� �$��� �$� �#��� ������ � �% %� &# �� �������) �$� ��� ������� #' �� ����� � ��� �$� %� �� � � �($� $ !����!� ����� �� ������ ����� #' .$�� � )��� �$� %� �� �� �$�� �$� �� �! � ��� �����& �!' �$� � �� �$�� *��� ������ �$� ������ &�$�%�� � � �� $��)�! ��$�� �� ������ !� ������) ������!� ��! �$� ������ &�$�%�� � �� �� ��� � �$� ������ �' �$� %� �� � � �$�� !� ������ ����� # (��$ �$� � %� ��' �$�� ������� ���� � ��� $�� �� ($�� �$� *��� � ��� �� �)��� ���& �!� $��)��)� � �� ����� �)���� ��! � �' �$� �3� � � �$�� �� � ��(��$ ��� &�$�%���($��� �$� %� �� � � � �������%� # �� ������ ��! !� ������ �� �%��'

Page 8: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

2ndact

2ndactact

1stact1st2nd

act

0 21 3 4 5

1

1

0

True

False

��

�����

��)��� �@ 8% ���� � �$� ������� � ��� �#��� ��

�$� �% ���� � �$� �#��� �� !�� ��&�! �� ��)' �� �$(��) �� $ �����&���� �$� ��� ��� !��� �)��$�� (��$ �$� ����� �� �$� ��� ($��� � !�� ����� ��� �� ������!' .� ��� �$�� � ������� � ��� �#��� �� 9��� � (�# �!�*���) � � ��� � ��� !����!��� ��� ����'

"� �%�� ��� �� �#��� �� �� � (�@

�����

< ���� � @ ����� � ���� � � @� ��� � ��� ����

/��� (� $�%� ����! �$� C� � � � �D ����� � &� ���� �$��� ��� � � ������ � �$�� �� $��)� �$� �#��� &�$�%��' �$��� �$� �����&��� � (� &�$�%��� �$�� �#��� �� � ������� ����� ��� �� �%��'

7�� � �$� ��� �!%����)�� � �$�� !� �� $#&��! ������� �� �$��&�$ !�� ���� ��! ������� &�$�%�� �� &� !�� ��&�! �� �$� ��� (�#'�� ����� � ��� �� �$� �����&���� ��� � # ����)��! ������ ��� ����� �$�� (�&���� � !�� ���� �������'

��� ������� � �������� ���� �������

��� � &� �$� ������� � ��� �#��� !�� ��&�! �&%�' .� �+� ��� �$������) � � &# ����� ����) �� ��� �� �!����# � ��� �#���' ��� ������ � ������������� �� )�%�� &# �$� � (��) �!�� ����� � ��� �#��� F�@

F��

< �4 �� ��� @ ������ � @ ����� � � �

��� @< � A �� A � A� �� � �� A � 46 � � � 46 �� � �� A � �

6� @ �

���

:

Page 9: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

/��� �$� �����&��� ��� �� !� ���!� ������ �B�! ��! ��!���! �+� � �� #'�� !� � �$� ���� � ��� �$�� ��� � �������� �� �$� �#���� �'�' �$��������) ��� ��! �$� �� ��!��) ���� ($�� �� � ��� �� ���& �!' �$�%� �� � ��� �� ��!���! &# �$� �������� � �

��

< ��� @< ��� �������

/��� �� < �� � ���� �� �� �$� !��9�� ��� � � )���!� � �$� � ���� ��! ���

�� !�*��! &#

��� ������

<

������� � � ������� �� � �� � �� $ �$�� �����

���� �$��(�������

�$��� �$� ��� ��� ��� !� � �$� ���� � ��� ($�� �� ���� �� � ���� �� ���& �!' 7� # �� �$��� ���� �� �$� ������ &�$�%�� � �����&����&� !�*�!' �� � � ��� (� &� �%�� ���& �!� �$�� �$� �� �! &��� $ � �$�!�*����� (� &� � (�!� ��! �$� �����&��� ��� (� !���� �$� ���� ��� ($�� �$� ��� !�� ���� � ��� (�� �+� ���!' �� �$�� ��� �$� �#������������� �'�' �$� �����&���� (� �% %� �� �%�� � �!��) � �$� ��� ��������)��! � ���' .� ����� �� �$�� ����� �$�� �$� ���� �� �$� !�*������ � ��� � (�#� �+���� ($�� �� ���� �� )���! �� ���& �! �� �$� �������� ������' �������� � ��� �#���� �$�� ! �� ������# �$�� ��-���������� ���!���! � �!�*��!'

.� !�*�� �$� ���� ����� � @� � &#

� @� ��

< � @< � ��� �

($���

� �� ��

< ��� � �� � ! �� ��� ��� ���� ��� ���

����!�� �� �� �+�� � �$� ������ ��!��� ����@� ���������� �� �+�� � �>�'.� $�%� �$��

���� @� ��� � �� ����

< ���� @ � ���� ��� ��� � �� ����

< ���� @ � ��� � �� � ! ��� ��� ������ ���� ��� � �� ������ ���

< ���� @ � ��� � �� � ! ��� ��� ������ ���� �� ��� ���

�$��� � # �$� ������ &�$�%�� �� $��)�! �� �$�� ����)����'�$�� �+� � ���� � � $#&��! � ��� �#��� ���� �$�� �� �������� # �� �

� ��� � ��� ��� ���� ��� � � � � �� %�� �$� �����)���%� ��� �� !�*��!

?

Page 10: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

�� � ����(��� �����' �$� ����� �� � ��-��� � � �����%� � "�� "�� "�� � � � �($��� �� $ �����%� "� �� ���$�� � ��� ��! �����%� � �$� �� 4�� � � � ����� �� ��! �����%� � �$� �� 4��� ��6� �'�' � ����' �$� � ��� �#��� !��������� ��� # � ��� ���� ��� � � � � �� ($� $ ��� ����(��� !�*��! %�� �$�� ��-��� �� �����%� � ��! �����' �$� �+����� � �$��� �����%� � ������! � �$� ��� ����� � �$� �#��� ($��� � !�)��� !�� ���� � ��� �� ������!' ���$� �+�� � �>�� �$� ��-��� � � �����%� � ��

4�6� 4� � � � ��� 4� � � � ��� 4� � � � >�� � � �

"� �� $� �$� ������� � ��� �#��� �� &��� ��!����! �� �$� ���� � ��-��� � � ����+������ � �$� ��� ��� ���� ��� � � � � ��� !�*��!%�� �� ����%� # �)�� ��! �)�� �����%� � 4� � � � ���� ($��� � < �� �� �� � � � '����) �� �$� �+�� � �>� �� �$�� (�#� ��� ��-��� � � ������ ��)���� ��

4�6� 4� � � � ��� 4� � � � ��� 4� � � � >�� � � �

��! �$� ����+������ �$�� ��� !�*��! ��� �� ����%� #

��� < �� � � �

��� < �� � � �

��� <

��� � � � ! ���� �� � � �

��� <

���

�� � � � ! ���� �� � � � ! ���� �� � � �

'''

�� �� ������� � ��� �$�� �� $ � !�*����� !�� �� �� ������ # !�������� � ���) � ��� ��� �� �� $ ��� � � � � ��' G� ���� � �$� ���!���������� $� �� ��% %�!� �$��� �)$� &� � � ��� � �� $ ��� ��� ��� �� �$�� ���� (�! &# �$� ������� � ��� �#���� ��! (� ! �� ��( ($� $ �� ��$��� (� � ��� # &� �$� �� �$� �#��� � (�' �$��� �$� �#��� &�$�%���# � # &� !�������! �� � � ������ � ���� �� ��! ��# �#��� &�$�%���$�� �� (��$�� �$��� ���� �� ����& �'

"��$�� ������� &���%���� ��)��!� �$� ����&� ��# � ��� ������ '7�� !�*����� !�� �� )�������� �$�� �$� ��-��� � � )�������! �����%� �(� %�� � �$� �����)���%� ��� �' �$�# �)$� � # %�� �� ������ ��)���� �$���' �� �$�� ���� �$��� �� � ��� ���� � ��� �$�� �$� � ��� �#������ $�� ($�� �$� ��&�� � ��������� ��� $�� ��*���#' �$� ��� � �+� � ����� �$� &�$�%�� � �$� $#&��! �#��� �� �$�� �� ��Æ ����' /(�%��� �� �$��

H

Page 11: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

���� (� ����� �$�� �$� �#��� �� ��������! �� �$� ��� ����� ��! �������$� �� ��� �)���' �$�� �� �����)�� �� � �����&��� %� ��� �%��)� � � (� !�*��! %� �� �� �$� ���' �$�� ������� �� &� �����! �� �� ��# ���� �����!�!' �$��� � ������� � ��� �#���� �# $�%� � ��� � ��� ����� ����� �+� ����' �$� ����!��! � ��� �#��� ������ � !�� �� � ( � ��� � ��� ������ � �$�� �� � ���� ($��� �$� ������ � ��� # $�� � &� �+���!�!'/(�%��� �� ��� � ��#� (� (� $��� ����� �$�� �$��� �� � I���&�$�%���� � ���) � ��� ���� �� ��Æ ����' �$� �&��� � � I�� &�$�%�� �����$�� �$� � ��� �#��� (� !�*�� �$� %� ��� � �$� �����&���� �� �$� ($ �!��� � �����'

" ��� � (�# � ��� $��) � ��� ���� �� �$�� � ��� ��������($��� ��� !�� �� �!%�� �� !�� �� ��������' �$�� ���� �$�� �$� ������� &�$�%�� � �$� �#��� �� ��� � �� �$� ��� ��� ������ � ��� $�!'"� ����������� � �$� ��� ������� �� �� ������ # ��!�����!��! �������!�!� (� $�� � ���!�� �$� &�$�%�� � �$� �#��� � &���!�*��! �� �$�� ���' �$�� ���� �$�� (� $�%� � ��%� �$�� � ��� �������� ($��� ��� !�� �� �!%�� � � (�#� ��������'

��� ������� ���� ��������� ��������

�$� &�$�%�� � � !#��� �#��� �� ���� !�� ��&�! ����) � �#��� � !����������� �-������' .� �� � ( �� �$�� ���! � !�*������� &# ����!� ��)�$� �$��$��!

J� @� �����

< �� @� � ���� < ����� � J < �� �� ����

�$�� (� ����)� � � � ��� ��� ��� �$�� �����*�� �$� )�%�� !�3������� �-������ ��! ($� $ �� �� $ �$�� �$� ��� ��� � (� �% %� ������� #'

"� �� �+�� �� �� � < ��� � ��� ($��� � �� � ������ %� ��� �$�� (� $�%��$��

J� @� ��

< � @� ��� � ����� ; � � ��� �����

��� �������� �������

.� �� ��� � %����& �� � ����� � ������ �$� �����)� � ��� ��!� ��� ��� �$� �+� ���� � �� � ��� (��$ �$� ���' " ����� �� ���� �� �%����& � �$�� ������� �$� ��� � ����! ��� � �� (�� ��� � B��' "���� �$��� �� � %����& � � �#�� ����' .� �$�� ��� �$� � (��) !�*����� �� ��������)�$� � �@

���������

< � @� ��� � �� ����

5

Page 12: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

�$�� !�*����� �� 9��� � �%����� � �� ��� ����) �$� &�$�%�� � �� �#���(��$ �$� �����)� � �$� ���' "� �� �+�� �� (� �� ��(���� �� �����)� ��(�%��� )������� �$(� �� ��)' � ����) �$�� !�*����� � � �' �� �$����( �#���� �$� � ���� ��� )���!�! &# �$� ���� %����& �' 8� $ ��� ������ � ��� (� &� ���))���! ��! �$� � �� � �$� ��� ��� � (� $��)�'

��

� �� ��� �� ����� � ����� � ���� �

������������ � � �� ������� ����� ��� � � � � ��� � ��

������������ � � �� ������� ����� ��� � � � � ��� � �������������� � � �� ��� ������

��

��� � � � %����& � �� 9��� � ��)� �� %����& �� (� �� !�*�� �� ��# �� �� (� ���! ��! ����� �$� ��!����!��� #' �� �� � � ����& � � !����$��� �������� (��$ � %����& ����')'� � ��� ��� �����%� � �� )���!�'/�� �� �$� ��� �� �� � � (� �����! �� !� ��) ��� ���� �#����'

� ������� � �����

�� �$�� �� ��� (� �$( $( �� ��� � $#&��! �#���� �� &� !�� ��&�! �� ������� � ��� �#����' 7�� *��� �+�� � !� � �$� %���� � �����'�$� �� �! �+�� � !� � � ����� �$�� ��� �� � �+����� ��)�� � �� �$���%������'

��� ����

7�� ����� �+�� � $�� &��� ��������! &���� �� 4��6� ����) !�3������� � ����'�$� ����� $ ����� $���� &���! � ������� � ��� �#����� $�� � ���+� � �� �+������� � �$� ��� ���� !�� ��&��) �$� ������� &�$�%��'

�$� ����� �� ������ # �� ������ � ��! $�� �$� %� ��# �' �$�� �� ������%��)� &# ����!��) �� (��$ � � ������ ���� �� ��� $�� �$� %� ��# #�'�� �$�� ���� �� �$� ����� ����� )��) (��$ �$�� ������ ����! #�' .$���� ��� $�� �$� ������ ��� �� ������ !� � ������) (��$ � � ������ �� ���� ����� $�� %� ��# � ��! ����' �$� &�$�%�� � �$� ����� �� �$(� �� ��) �'

.� ��� ��# �$�� �#��� �� � ������� � ��� �#���� !�� ��&�! �� ��)' >'.� ��� �$� �%����� �$�� �� ����)���� �@� �� ($��� � �� � ������� ����!�

��

Page 13: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

#

#�

�� �� �

��)��� �@ ���� %� ��# �� ��� ��� � ���'

����� � �� ��� ��� �� � ����� � �������� ��� � � ����� � ���������� � ����� � �������������� �������� ������������� �������

� �� ��� ����

� � � �� ��� � ����

��� �� ������ � � � ��� � �� � �� � ����� �� �������������� ����� ��� � ������������ � � ��� � �� �

� �� ��� � ����� �� ��� � � ��� � � ��� ��������� �� ������ � � � ��� � �� � �������� �� �������

�� ����� ��� � ������� � � ��� � �� �� �� ��� � �� � � ��� ������

� �� ��� � � ��� � �� ��� ������

��� �������

����� �� �������������� ����� ��� � ������������ � � ��� � ��

� �� ��� � � ������ �� ��� � �������� �� �����

�� � ��� ��

��)��� >@ ����� %���� �� � ������� � ��� �#���'

��

Page 14: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

stop

v=v’

d=d’

decelerating

accelerating

cruising

v=0 � � ��� � ��� � ��� � ������

� � ��� � ��� � � ��� �����

� � ��� � ����� � ��� ��� �����

�� ��� ������

� � ��� � � � ��

� � ��� � ���

� � ��� � ����� � ��� ��� �����

� � ��� �� � �

��

��)��� �@ ����� !��)�� �� �$� ���� �#���'

�� � @� ��� � �� ��'�'� �$� ����(��� �+���!�! ������ ��� ���� ���$�� �$���$� ������ ���� �� �� ����)��! � ��'

�$� �+����� # &���%�& � �����&���� � �$� �#��� ��� �$� %� ��# # ��$� ����� ��! �$� !����� � � �$�� �� $�� ���%� �!' �$� ������ %���� )���$��)$ � ��-��� � � �$����� ($��� �$� ������� &�$�%�� �� �� $��)�!�� �� $ �$���' �$� ����� � �$� ���� �� !�������! &# �$� �����&���� # ��!�� �)��$�� (��$ �$� �����&��� ���� �$�� ��!� ���� ($� $ �$���� �$� ������� �� �� � ������)� ������)� !� � ������)� � �����!�' �$� $��)� ���� �$��� � �$� ��+� �� !�������! &# �$� )���!� �� �$� ������� � ����#���' G���!�� �$� �����&��� ����� �$� ������ %� ��# #� �� �$� �$����������� ��! �$� ������ �� ($��� �$� ����� ������ � !� � ����� ��� � � � �����&����' �$� � � ������ � �$� � � ������ � ���� � $ ��! �$� %� ��#� ���� � $� �$� ! &� ���� �� � �������� � �$� !� '

��)' � �$(� ���$�� !�� ������ � �$� ����� �#���� �� ���� � � �����!��)��' �$�� ���! � !�� ������ �� � � ��(� �� � ��� �� �������' /����$� ������ ��� ��� ����! (��$ �$� ������� # �% %��) &�$�%��� ($� � �$����������� ��� �&� �! (��$ �$� )���!� ��! �$� ������!��) ��!����'

7�� ����� �#��� �� ��-������ � �� �$(� &# ��)' �� &�� ���!���������� '" $��)� � &�$�%�� �� ������! ($�� � ������ ������ � %� ��# ����� $�!� �'�' ($�� � )���! !����!��) � �$�� ������ � %� ��# $ !�'/(�%��� �$�� ������ � %� ��# �� ��!���������� � # ����! �� �$����%��� �����' �$� �����&���� #� ��! �� ��� � ' �$�# ��� !�*�! ($�� �$������ �� �� �$� ���%��� ����� � �� ����+����� � �$��� ������ %� ��' �$����$� �#��� $��)�� ��� ��� &�$�%�� &���! � !���������� )���!�� &��

��

Page 15: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

��!�������� �� � $��%�! &# ��!���������� ����)����� � �����&����&���� �$�# ��� �����! �� )���!�'

��)��� � �$(� �$� ��� ����� �#���� &�� �( �+������! �� ���� �!�3������� �-������' ��� � �$#�� � �$����� ��� ���� # !�� ��&�! �����) !�3������� �-������� �$�� ����� $ �# &� �� �%������ �� ����)�������) ���� � %��('

����� � �� ��� ��� �� � ����� � ������ ��� �� � ����� � ���������� � ����� � �������������� �������� ������������� ���������� �� �������������

�� �� � � �� �� ����� �� ������ � � � ��� � �� � ���

� ����� ��� � ������������ � � ��� � �� ��� �� ���� �� ������ �� ������ � � � ��� � �� � �������� �� �������

�� ����� ��� � ������� � � ��� � �� ��� �� � ��� �� ������� �� ������������

�� ����� ��� � ������������ � � ��� � ���� �� ���� �� ������� �� ���

��

��)��� �@ ����� %���� ����) !�3������� �-������'

��� �����

7�� �� �! �+�� � �$(� � �#��� �$�� ��� �� � �+����� ��)�� � ��!� �!&# �$� ��%������' �� ��)' : � !� � � ����� �� � ��� �� �����)�� ��# �� � �������! 4H6' �$� ����� (��� �� � (�' ������ ��� (�� ������ �����! ���� �$� �!! � ������' �$�� �$� ����� �%�#� &� � ���!� ���� & ��� ��� �$� �����' .$�� �$� ����� �� �!�! ���)�� �! &# �������&���) ������ �$� (�� ���� � �$� ����� �� �����! ���� �$� �� ������ ��!�$� & ��� �� ��)�!' �$� ����� (� �$�� %� !(� ���� �$� &�� ������

�>

Page 16: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

��! �$� ��)�! & ��� �� � � �! ��� �$� (�� �%�#� &� �' .$�� �$� ������� �� �!�! ���)�� �! &# ������� &���) ������ �$� (�� ���� �� �����! � �$��!! � ������� ���!# �� &���) �!�! �)���'

�$�� �+�� � �� � �#�� � ���� � � ��� �#���' �$��� ���!� � �#������� �������� # ���! �� ��%��� ������ �$�� (�� �)��$�� �� �!��� ��� �$� ��-�������� � �$� %��� �#���' �$��� �� ������� ������� �� ����� ���� �� ��� ������ ��� (��$ �$� ��%������' �� �$� ��� � �$������ �$� ������ ��� (��$ �$� ��%������ ��$� �%�#� &� ��� �� !� �!(��$ ��%��� ������' �$� ����� ���!� �$� %� ��� �$�� ������� ��! �������!��� �#� &�� �$� %� ��� ��� ��!���! &# �$� ��%������ �� � (�# (� ��� �����������! $��� ��' �$� !� � �$� ����� �� � ������� � ��� �#��� ��)�%�� �� ��)' :' .� ��� �$�� ������� ��! ������� ��� �����&���� �$�� �� &�(������ &# �$� ��%������ �� (� '

�$� ����� �� (����) # � � # ��! ����� �% %��) �� �� �$��� � ����$��' � (��) �$� ����� �+�� � �� ��)' >� (� !� �$��� �$���� (��$ ���� �����&���' �$�� �����&��� �� $�%� �$� %� ��� �������� � ������ �������������� ���������� ����������' �$� �����&��� � �$(� �$� $��)$� � �$������ � ���' �$�� �� �� �� $ ��� ���$�� � ����� # �� ������) � ����� # !�� ������) ��� ���� � �$�� �� �� � ������ ��� ���' �$� ������� � ������� ��� �$� ������ �'�' ������������� ���� ��� )�%�� �� ���������'

�$�� �+�� � �$(� $( � !� �$� ������ ��� (��$ �$� ��%������'�$� ������ �� �$� ����� �+�� � ��� �����! �����&���� �$�� �� &� $��)�!&# �$� ��%������ �� ��# ���' "� �����! �����&��� ��=� �� �$� �% ����� ���$�� ����� � � � �+ �#���' ������� ��� ��� &#) &� �����&���� �$�� ��� �+����! &# �� ����� ��! �����! &# �$�� ������'

� ����� ���������

.� ��%� � ������# � � ������� � ��� �#��� &# ��%��) �$�� �$��������# $ !� �� �$� ������!��) !�� ���� � ��� �#���' /�� �� �$��� ��� ��� �� ��� �$��# �� ������� � ��� �#����� &�� �$� ����!��! ����$��# �� � ��� �#���� ��Æ �� �(��$ �$� �+ ����� �$�� (� �# ���! � ���!�� � ��� � ��� ������ �� (�� ������! ��� ����' �� �$�� ������ (�(� � ������� � �����# ���������� �� �$�# ��� �$� �� ������� ������! � � �� ��# ���� �$� ��� ��� ��������� �$�� (� (��� � ����& ��$ ��$#&��! �#����'

" � $��� ����B���� �� � �����# ������# �� �$�� ��$��) C&�!D$������ !����) �$� ��� ��� � �$� �#���' � ��� �� �� ���$�� (�#� �

��

Page 17: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

top

middle

bottom

sensor1

sensor2

����� � �� ��� �� �� � ����� � ��������� � ����� � ��������� ��������������������

����������������������������� � �� ������ � ���� �� ��������

� ���� ��� � ������� � ������� ��� ���������� �� ��� �������� � ������� �� �������

�� ���� ��� � ������� � ��� � ������������ �� ��� � ��� � ������� �� �����������

�� ���� ��� � ����������� � ��� � ������� �� ��� � ������������ �� ��������

�� ���� ��� � �������� � �������� ��� ���������� �� ��� � ������� � ������� �� ����������

�� ���� ��� � ���������� � ��� � ������� �� ����������� �� �������

�� � �������� �������

��)��� :@ ,���� ��� �����) �� � ������� � ��� �#���'

�����# ������# �� � C)!D ������# % �$�� � (�#� $ !�� �'�'�

�� � �%���

��

Page 18: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

.� �� ����& ��$ �$�� ������# �� �$� � ��� �#��� � �� ���� &# ��%��)�$�� � ������#

"�

< �� � � � � ! ��� �%����

�� �� ��%������ � �$� ������!��) !�� ���� � ��� �#��� F�� ($��� �� � �%��� <� %���' �$�� �� ��� �$� �����# ������#� ��%�!�! �$�� �$� �#���!�� �� $�%� � I�� &�$�%�� ��'�'� ��� (� ) � ��*���# �� �$� �#����'�$�� ���� �$�� �$� �����# ������# % (� $ ! ($�� �$� �#��� �� ������!�� �� ������ ����� �$�� �����*�� & � �� ��! � # �� �$� � (��) �!����� ��������*�! �� F�@

�� � �%��� <� %���

& <� ������ @< � A �� A �� "�

" � �� <� ����� A �� "�� � < �� � � � � �

����!�� *��� �$� ����� � �� ��� �'�' .� ���!�� �( �����# ���������'������ (� (��� � ��%� �$�� �$� %�& � � ��� � �$� ����� !�� �� �����$� ���� � �$� � $���' ��� # �$�� �� �+������! &# �� � � ������ ���� � ����� ($��� � �� �$� %���� � ������ � �$� � ���' �� �$� ����� (������ �$�� ������ � ����� � ���' .� � � (��� � ��%� �$�� � �� � ������� ��� ��� � �����' .� ���! � $�� �� ��%������ " �$�� � (��� � ����& ��$ �$� �����# ������#

�� � � ������ � ��� � ���� � �� ���������� �� ������

����) �$� �&%� ��� �� �'�� �$� *��� �9�� � � �$� �����# ������#� �� ��%������ � �$� ��

�� � � � � � ��� � ������ � ��� � ���� (� ! &� ��Æ ����' /(�%��� ���%� �$� ) &� �������# ������#� (� ���! � ����)�� ��%������� ($� $ � �������� �$�� �$� ����� ������ �� �$� ��� � ������ !����) �$� �!��) ��!�� �!��) ��������' �$� � (��) ��%������ " �� ��Æ ���� �� ����& ��$��)�$� ��-����! �����# ������#@

��

� � �������� �� ��� ���� �

�� � � � � � ��� � ������ � � � ��� �

�� � � � � � ��� � ���� � � ������� � � � ������� �

�� � � � � � ��� � ���� � � �������� � � � ��������

"� �� �+�� �� (� �$( &� ( $( � ��%� �$�� �$� ������ �B���� ��������� ����& ��$�� �$�� ��%������' �$� ��� (�� �� �� � � ����) �$� (������

�:

Page 19: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

��� �!���� �� �$� ��%������ �� � (�# �$�� �%�!� �$� ��� � �� &� ���) � ��)�' .� ! �$�� &# ��� #��) ��� �* ����� �� �� $ ������!���������� ($���%�� ����& �'

����� � � � � �������� � �� ��� �������� � ���� �� ������� ��� ��

� � �� ������ ���� �� ��� ��� ��� �� ��

����� � � � � �������� � �� ��� �������� � ���� �� ������������� � ���� � ������ ���� ����� �� � ������� � ������� �

�� ������ �� � ������� � �� � ��� ������ �� � ����������� � �� � ������� ������ �� � �������� � ������� �

�� ������ �� � ���������� � �� � ��������

�� �������� �� ��� ����� �� � � � ���� � ������ � � � �� �� � � � ���� � ���� � � ������� � � � ������ �� � � � ���� � ���� � � �������� � � � �������

� �������

����� � � � � �������� � �� ��� �������������� � ���� � ������ ���� �������� � ������� � ������� �

����������� � ������� � �� � ������������ � ����������� � �� � ���������������� � �������� � ������� �

����������� � ���������� � �� � ��������

�� �������� �� ��� ����� �� � � � ���� � ������ � � � �� ��� � � � ��� � ����� � � ������� � � � ������� ���� � � � ���� � �������� � ������� � � � �������� ��� � � � ��� � ����� � � �������� � � � ������� ���� � � � ���� � �������� � �������� � � � ���������

� �������

�?

Page 20: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

����� � � � � �������� � �� ��� �������������� � ���� � ������ ����������� �

��� �������� �� ��� ����� �� � � � ���� � ������ � � � �� ��� � � � ��� � ����� � � ������� � � � ������� ���� � � � ���� � � � ������� ��� � � � ��� � ����� � � �������� � � � ������� ���� � � � ������

� �������

����� � � � � �������������� � ���� � ������ ����������� �

�������������� �������� �� ��� ����� ��� � � � ��� � ������ � � � �� ���� � � � ���� � ������ � ������ � ��� ��� � � � ��� � ����� � � ������� � � � ������� ���� � � � ���� ������� � ������� ��� � � � ��� � ����� � � �������� � � � ������� ���� � � � �������

� ������� � ���� ��� ��������� ����� ����� �

����� � � �� ���������������� � ���� � ������ ����������� �

������ � �� � � ��� ��� � ���� ������ ��� �������� �� ��� ����� ��� � � � ��� � ������ � � � �� � ��� � � � ����� ��� � � � ��� � ����� � � ������� � � � ������� � ��� � � � ����� ��� � � � ��� � ����� � � �������� � � � ������� � ��� � � � ��������

� �� �� ��� ������ �� �!� �� ���� ������ � ���� ��� � ��������

����� � ������ ��������� ����

��� � �� � � � ��� � ���� ������ ��� �������� �� ��� ����� ��� � � � � � ������ � � � �� � � � � � ����� ��� � � � � � ����� � � ������� � � � ������� � � � � � ����� ��� � � � � � ����� � � �������� � � � ������� � � � � � �������

� ������� � � � � ������

����� � ���� � ������ ��������� ����

��� �������� �������� �� ��� ����� � � � � � ������

� ����� ����" � �� � � � � ���� � ����

���

�$� ��� ���� �� �$�� ��� ������ �$�� �$� ���� �+����' �� �$��

�H

Page 21: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

(�!�� (� ����� �$�� �$� �� � �$�� �$� �#��� �� ���I�� $�� � ���!# &�������& ��$�! &# �$�� ����' �$� ��� �$(� �$�� �$� ��%������ �� �����*�!&# �$� ������ �B���� �� �$� ��� � ���� �$� *��� ��� �� � ��� �����& �!'

� �������� ��������� ����� � �����

�$� ���%��� �+�� �� � # !�� ��&� �� ���! �#����' �� �!�� � !� � �+ �#����� ($��� ��%��� !�3����� ��&�#���� � ������ �% %� � ������ #� (� ���! � ��� # !�*�� �$� ������ � ������� � ����#����' �( � ���� �#���� ��� ��� &# ���� � �$���! %����& ��'�G���!�� ���� � ������� (� �# � � ���! � $�!� ������ �����&���� ��$� �#���� &�� (� �)��� �$�� ���� � $���� �� &��%��#�

.� !�*�� �$� ���� � ������ � �( ������� �#���� &# ����)�������� # �$� ��� ��$! �$�� (� ��� �� ����) �!����# � ��� �#�����' �$��� �� (� $�%� �$� �( ������� � ��� �#����

� < ���� � @ ����� � � � �� A � �� � ��46 � � � 46 �� � �� ��� @

�� < ���� �� @ ����� � � �

� � �

� A � ��� � � �

�46 � � � 46 ���� � �

���� @ �

�$�� �$��� ���� � ������ �� �$� ������� � ��� �#��� � ��� !�*��!&#

� �� < ���� � @ ����� � �� �� @ ����� � � � �� A � �

� A

� �� � ��46 � � � 46 �� � ��46 ��� � � �

�46 � � � 46 ���� � �

��� @ � � � � � ��

.� ����� $��� �$�� �$� %����& �� � ��! �� ��� !��9���' .� ���! � �&��� �$� ������� � ��� �#���� &���� (� ����� ��� �$� ��� !�� ����� ��� �#����� &� ���� �$� � %����& � ��� ������� �� &�$ F� ��! F��' G# &����) �$� ������� � ��� �#���� *���� (� ������ �$�� �$� &���!�#��� ���� � ���) � ��� %����& �� ($� $ �� $� ��! &# � ���� �� &�$ ������'

�$��� ���� � ������ �������� # &���� �$� �����&���� � �$� �( ����� �#���� ��!� �$������ �$��� ������� �% ����' G� ���� �$�� ���� �� �$� ���� � ������ ��� �$� &���! � ���� � �$� �( �#������ !�� ���� $��)�� (� ���� # �� �� ���-���� #' ��� �$�� �� � ����� �� �#��� �# !����! � �� �����&��� �� �$� �$�� �#���� ($� $ �#&� �)��� !�*�! &# � ���� � �$� ���� �#���' �$�� ���� �$�� �$�&�$�%�� � � �#��� �� � ���� � ������ �� ���� # !�3����� �� �$�&�$�%�� � �$� �#��� ($�� �� �� � ��'

�5

Page 22: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

.� �+�� ��# ���� � ������ &# �+���!��) �$� ����� �+�� �' .��!! �( �%�#� &� �� � ���! ��! ��%� �$� & ���� �� �$� �����' �� �$������ � & ���� %�� �$� &� ��� �$� ��)��� �$� ! ���' �$� %����� � �$��( &� �� ��� ��!����!��� � �� $ �$��� �� � ������ ����! K� ��! K�'��)��� ? �$(� �$� ��( !� (��$ �$� ����� ��! �$� �%�#� &� �' �$������ ��! �$� &� �� �$��� ��� ������� ($� $ &� � � ��%� ($�� � ��� � ����� �$�'

sensor1

sensor2

top

middle

bottom

sensor3

sensor4

��)��� ?@ ,����

.� ����� �$�� ������� ��! ������� ��� � ��%� !����) �$� ��� �$��� & ��� ������ �$� ($� � ������� ��! ������� ��� � ��%� !����) �$� ���� �$�� � & ��� ��%�� �$�' .� ����� �$�� �$� ������ � (�#� &� �3 &��(��� �( ��� ���%� ��� ��' �$�� �� &� ������! &# ������ ���) �$����� !����� � &��(��� & ����' �$� ��� �� � � �%�#� &� �� �������� � � $( ��# ��� �� ��� � �$� &� �� � �� �� !�� ��� � �$� ��)���($�� �� �� ���#' �$� ��� ��� �* ���� � �$� �%�#� &� �� �� �� � (�@

���'�� <��

����� @ ����� � �� A����� @ ����� � ����A������ ����� @� �� �A�

46 ����������� � ����� @� ����� ; �46 ����������� � ����� @� ������ �46 ��������� �< � � ��������� < � � ����� @� �46 ��������� < � � ��������� �< � � ����� @� K�

�� @ �������� �������

��

Page 23: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

'�����'�� <��

����� @ ����� � �� A����� @ ����� � ����A������ ����� @� �� �A�

46 ����������� � ����� @� ����� ; �46 ����������� � ����� @� ������ �46 ��������� �< � � ��������� < � � ����� @� �46 ��������� < � � ��������� �< � � ����� @� K�

�� @ �������� �������

�$� � ��� !� � �$� �#���� �� �$� ���� � ������ � �$� �����(��$ �$� �� ��! &�� �%�#� &� ��@

(���� < 4�&���� ���'�� '�����'���6

� ���������� ��� ������� ��!

.� $�%� �$(� $( � )����� �B� � ��� �#���� � !� $#&��! �#�����&# ����!� ��) �$� ���� � ������� � ��� �#����' �$� �����&���� �� ������� � ��� �#���� ��� ��� ���� %�� ��� �$�� ��� ��!���! �� � (�#�$�� � # $��)�� �$� ������ &�$�%��' 8������� #� �$�� ����� � �+���!��)�$� ���� � ����� (��$ &�$ � $����# ��! � !���� � ������� �$�� )����� �B��)�$� ���� � � ��� �#���� ����� $ �$�� � # $��! �� �$� ������� �����'�$�� �+������ � (� �� � !� �#���� �$�� &��� !�� ���� ��� (��$ ������� &�$�%��� �$� ����� ���$�� !�*��! &# �+� � �� ��� ���� � ��� �&# !�3������� �-������' .� $�%� �$(� $( � ��%� �����# ��������� � ������� � ��� �#��� ����) �$� ���� � ��%������ ��$!' ���� #� (�$�%� �$(� �$�� �$� ������� � ��� �#��� !� ��%�!�� � ��� � (�#� !�*���) �$� ���� � ������ � $#&��! �#����� ����) ��� ����&# ���� � �$���! %����& ��' .� � �������! �$��� � ���� (��$ �( ��� ��+�� ��'

1����� ��! 1�%� 4��6 $�%� � ���!# �����! � !� �� &����)� ��� �#���� ��! ������� &�$�%��' �� �$��� !� � �$� ��������% ���� � � %����& � �� !� �! �� �� ��� �� ���! � ��� � ���' "���� � ��� ���� &� ����������! ��! ��� &��!� ��� ��� �*�! �� �!%�� �'�$�� �3� �� �$� ���� � ������ � �#����� ��� � !�3����� ��� ������

��

Page 24: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

� ���� ��� &� &���! ��� � ��-��� � � ��� � ����' �� �$� (��� ���� �$� ���� � ������ � �( �#���� (��$ � ��! � � ���� ��!� �� �#��� (��$ ��� � ����' " �� �$��� �� � �� � �� ���� � ��� �� �$�������� $� ($� $ �� � � �� �����!�! �� !� ��) ��� ���� �#����'

�$��� �!%����)�� ��� �+��� ($�� �����) �� ��� �� (��$ �$� $#�&��! ������ 4��6' �$� ��&�� � ������ �� �$� ���� � ������ ��( $#&��! ������ �� � � �$� ��!� � � �$� ��&�� � �$� ������ � �$���)��� ������' ��� �$�� �� �$� /#&��! ������ ��� �� ������������� *��! �#� $���� #� ($� � �� �$� � ��� �#��� ��� �� � ���� ��� ��� � ��! ��! �+� ���! ��#� $���� #' �$� ������� � ��� �#��� ��� ���� �� �+������%� �$�� $#&��! ������� �� �� � (� �� �$� �+� � �� ��� ���� �$� �#��� �!� �! (��$ �$� ���� ��������� ��! � � � (� ������� ��� $����� � %� ��� � �$� �����&���� �� )���!� ��! �+��������' �����!� $#&��! ������� �� !� � � � (� �$� �����&���� � &� �� � ��%� #��!���!@ � # �$�� �����&���� �$�� ��� $��)�! ���! � &� ������! ���� � ���' �$�� ��& � � � ��� (��$ �$� ,$��� ��������� �#���� 4?6�,���' �� ,��� �$� ������� &�$�%�� � �$� �#��� �� !� �! ����) �*���� ��� � � ��%�����' /(�%��� � # �� � ��%��# �� &� ���& �! �� � ������� ���' �$��� � ���) � � ��%��# � ��� # !�*��� �$� ������� &�$�%��� � �#���' ")���� �� !� � (� �$� �����&���� � &� �� � ��%� # ��!�� ������ # ��!���!'

�������������� .� (� ! ��� � �$��� �$������� ����$�� 0���� 1������ ��! /���� ��%��� �� �� �)$����! !�� ������ ��! ����� ����� �$� ��� � %���! �� �$�� �����'

����������

4�6 1' L' 1' G� � ��! 1' M���������' E� ����� �B���� � �� ��� ����(��$ ����� �B�! ��� ' �� ��� ���� �� � ������� �� ���� �������������� ��&�� H?> �� �� ���� ���� �� ������ � ��� �� ��)���>�N���' "�0 ��2"�����27,�� �5H>'

4�6 1' L' 1' G� � ��! M' ����' ����(��� ��*����� � ���� � � )���$�'�� ����� �� ����� � �� ���� !� ��)�� �>>N�H�� �55�'

4>6 1' L' 1' G� � ��! M' ����' �� � ��� �#���� � !� �� �#����' ��"� �� #����� $� �� %"#$ &'()� % �� �� ���� ���� �� ������� ��� � H?>� ��)�� �N��' �����)���O�� �)� �55�'

��

Page 25: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

4�6 1' L' 1' G� � ��! L' %� .��)$�' *+��� �������� � , ��������-�� ���������' �����)���O�� �)� �55H'

4�6 0'�' G���� �#' 2����� $#&��! !#��� � �#����@ !� ��)� ��� #�����! ��� ' �� 1' " ��� �' "' /��B��)��� ��! 8' E' ����)� �!�����.�� �� ����� ---� ��&�� ��:: �� �� ���� ���� �� ������ � ��� �'�����)���O�� �)� �55:'

4:6 8' .' E�9�����' , ��������� �� � �� ����' ,����� ��/� ������������ � �5?:'

4?6 P' M������ I' 0����� ��! "' ,��� �' O���* ���� � ��! ��! $#&��!�#����' �� /��� � �� $���� ������ ��&�� ��5� �� �� �������� �� ������ � ��� �� ��)�� �N?>' �����)�� O�� �)� �55H'

4H6 � ��� ��(�����B ��! �$�� ���!���' "� �� ������� �� *����������0 ��� ����� � �������� ���� ��&�� H5� �� �� ���� ���� �������� � ��� �' �����)���O�� �)� L�����# �55�'

456 "' ���!� ��! .' M$�' 0!� � �� $#&��! �#����@ ������� �� �)���� ��� �&� ��#� &���%�&� ��#' �� 1'�' 2������ "' ���!�� "','1�%�� ��! /' 1�� $� � �!����� .�� �� ����� -� ��&�� ?>: �� �� �������� �� ������ � ��� �' �����)���O�� �)� �55>'

4��6 1'" ��� �' ��� �&����� �'"' /��B��)��� ��! ,'/' /' /#&��! �������@ �� � )���$� ����� $ � �$� ��� �* ���� ��! %���* ����� $#&��! �#����' �� 1'�' 2������ "' ���!�� "',' 1�%�� ��!/' 1�� $� � �!����� .�� �� ����� -� ��&�� ?>: �� �� ���� ���������� � ��� �' �����)���O�� �)� �55>'

4��6 0' 1����� ��! "',' 1�%�' " ��� �#���� (��$ ������� &�$�%���'�� ,' L' "����� ��� .' M$�� 0' ���� "' ���!�� ��! �' �����#��!����� � ������� �� �� .�� �� ����� 1� ��&�� ��:? �� �� �������� �� ������ � ��� �' �����)���O�� �)� �555'

4��6 0' 1���� ��! M' ����' 1�*����� ��! ������� &�$�%���' ��.�� �� �����0 ���������� ��� ���� ��� ��&�� ��:5 �� �� �������� �� ������ � ��� �' �����)���O�� �)� �555'

�>

Page 26: Generalizing Action Systems to Hybrid Systems

����� ������ �� ������ � ��� ���������������� ����������� ������������

������������������

���������� ��� �� ���������� ������������ ��������

��� � ����� ����������� ���������� ������� �������� ��������� � �������� ���������� ������� ��������

��� � ���� ������� ��� ������� �������������� ��������� �������� ������� �������