GENERALISASI METODE TALI BUSUR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN TAK LINEAR SUNARSIH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011
GENERALISASI METODE TALI BUSUR UNTUK
MENYELESAIKAN PERSAMAAN
TAK LINEAR
SUNARSIH
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
ABSTRACT
SUNARSIH. Generalization of the Secant Method for Solving Nonlinear Equations.
Supervised by SISWANDI and BERLIAN SETIAWATY.
This manuscript discusses a method for determining nonlinear equations roots
from function having ( 1)thk derivative which are continuous on an open interval
containing the roots. The method used in this manuscript is a generalization of the
Secant method. This generalization is by substituting the linear interpolation equation
in the iteration equation by Secant method for the ( 1)thk derivative polynomial
interpolation equations. Convergence analyzing of the approximation roots sequence
resulting in a degree of convergence which is greater than that of the Secant method
and relatively similar to that of the Newton-Raphson method.
Key Words: Nonlinear Equation Roots, Generalization of the Secant Method.
ABSTRAK
SUNARSIH. Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak
Linear. Dibimbing oleh SISWANDI dan BERLIAN SETIAWATY.
Karya ilmiah ini membahas metode penentuan akar persamaan tak linear dari
fungsi yang memiliki turunan ke-𝑘 + 1 kontinu pada interval terbuka yang
mengandung akar. Metode yang digunakan dalam karya ilmiah ini merupakan
generalisasi dari metode Tali Busur. Generalisasi ini dilakukan dengan mengganti
persamaan interpolasi linear pada persamaan iterasi metode Tali Busur dengan
turunan interpolasi polinomial ke-𝑘 + 1. Analisis kekonvergenan barisan hampiran
akar menghasilkan derajat kekonvergenannya lebih besar daripada menggunakan
metode Tali Busur, dan relatif sama jika menggunakan metode Newton-Raphson.
Kata Kunci: Akar Persamaan Tak Linear, Generalisasi Metode Tali Busur.
Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan
Persamaan Tak Linear
SUNARSIH
G54061230
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memeroleh gelar
Sarjana Sains
Pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2011
Judul : Generalisasi Metode Tali Busur untuk Menyelesaikan Persamaan Tak
Linear
Nama : Sunarsih
NIM : G54061230
Mengetahui
Pembimbing I Pembimbing II
Drs. Siswandi, M.Si. Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19640629 199103 1 001 NIP. 19650505 198903 2 004
Mengetahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP.19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat, karunia dan hidayah-Nya kepada saya sebagai penulis sehingga
penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Generalisasi Metode Tali Busur
untuk Menyelesaikan Persamaan Tak Linear” tepat pada waktunya. Skripsi ini
disusun sebagai salah satu syarat kelulusan untuk memeroleh gelar Sarjana Sains
pada program sarjana di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.
Pada kesempatan ini, penulis juga ingin mengucapkan terimakasih pada berbagai
pihak yang telah membantu,
1. Keluargaku tercinta: Bapak dan ibu (terima kasih atas semua doa, dukungan dan
kasih sayangnya), Kang Wito, Muji dan Riani (terima kasih atas doa dan
dukungannya).
2. Bapak Dr. Siswandi, M.Si. dan Ibu Dr. Berlian Setiawaty, Ms. Selaku
Pembimbing I dan Pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran,
motivasi dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
3. Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. Selaku dosen penguji, (terima kasih atas
semua ilmu, saran, dan motivasinya).
4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang
diberikan).
5. Semua staf dan karyawan di Departemen Matematika(terimakasih atas segala
bantuannya).
6. Teman-temanku (Inang, Ken dedes, Kimel, Ndut, Rhe, Tha, Yus).
7. Teman-teman angkatan 43: Emta, Putri, Rias, Erni, Fitria, Dandi, Copi, Slamet,
Lina, Ady, Vera, Abi, NS, Leo, Nobo, Cupit, Adam, Aji, Tami, Sendi, Albrian,
Ratna, Fardan, Resti, Apri, Margi, Fajar, Wira, David, Arif, Arum, Aini, Ace,
Zul, Diah, sabar, Dwi, Faizal, Nurmalina, Suci, Faizul, Syahrul, Nanu, Destya,
Ecka, Kabil, Nia, Razon, Peli, Irsyad, Hendra, Andrew, Nidya, Subro, Agung,
Gandi, Elly, SN, dan Bertrand(terima kasih atas kebersamaan kalian).
8. Kakak-kakak kelasku angkatan 41 dan 42 (terima kasih atas doa dan
dukungannya).
9. Adik-adik kelasku angkatan 44 dan 45 (terima kasih atas doa dan
dukungannya).
Akhir kata, semoga skripsi ini memberikan manfaat untuk kita semua. Penulis
juga menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna sehingga kritik dan saran
yang membangun sangat penulis harapkan. Semoga Allah SWT senantiasa
melimpahkan rahmat dan karunia-Nya untuk kita semua. Amin.
Bogor, November 2011
Sunarsih
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Pekanbaru pada tanggal 10 November 1987 sebagai anak kedua
dari empat bersaudara, anak dari pasangan Sonimin dan Siyam. Tahun 2000 penulis
lulus dari SD N 036 Siak, Pekanbaru. Tahun 2003 penulis lulus MTs-Hidayatullah
Sialang baru, Pekanbaru. Tahun 2006 penulis lulus SMA N 1 Lubuk Dalam,
Pekanbaru dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur
ujian Beasiswa Utusan Daerah (BUD), Tingkat Persiapan Bersama. Pada tahun 2007,
penulis memilih jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam.
Selama mengikuti perkuliahan penulis pernah aktif di IKPMR (Ikatan Keluarga
Pelajar dan Mahasiswa Riau) Bogor di bagian divisi kerohanian islam 2008/2009.
Penulis juga aktif sebagai panitia pada beberapa acara lain Pesta Sains Nasional 2009,
Dies Natalis IKPMR 2008, 2009 dan 2010, Masa Perkenalan Departemen 2008, dan
Try Out Kalkulus dan Pengantar Matematika 2008, 2009 dan 2010.
vii
vii
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR ISI ……………………………………………………………………………………….... vii
DAFTAR GAMBAR ……………………………………………………………………………...… viii
DAFTAR TABEL …………………………………………………………………………….………. ix
DAFTAR LAMPIRAN ………………………………………………………………………...……… x
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ………………………………….…………….…………………………….. 1
1.2 Tujuan ……………………………..……………………………………………………...… 1
II LANDASAN TEORI
2.1 Akar persamaan Tak Linear …………………………………………………………...…… 1
2.2 Interpolasi …………………………………………………………………………….…….. 3
2.3 Barisan dan kekonvergenan ………………………………………….…………..…………. 8
2.4 Sifat Akar Persamaan Polinomial ………………………………………………...………… 9
III PEMBAHASAN
3.1 Rumusan Masalah
3.1.1 Metode Newton-Raphson …………………………………………………………... 11
3.1.2 Metode Tali Busur ………………………………………………………………….. 12
3.1.3 Generalisasi Metode Tali Busur ……………………………………………………. 13
3.2 Analisis Kekonvergenan 3.2.1 Kekonvergenan Metode Newton-Raphson ……………………………………...…. 16
3.2.2 Kekonvergenan Metode Tali Busur ………………………………………………... 17
3.2.3 Kekonvergenan Generalisasi Metode Tali Busur ………….………………………. 19
3.3 Contoh Numerik
3.3.1 Contoh dengan Metode Newton-Raphson …………………………………………. 19
3.3.2 Contoh dengan Metode Tali Busur ……………………………………………….... 20
3.3.3 Contoh dengan Generalisasi Metode Tali Busur ……………………………..……. 21
IV SIMPULAN …………………………..………………………………………...…………..…….. 23
V DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………..…………………………….. 24
LAMPIRAN ………………………………………………………………………………….………. 25
vii
viii
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1 Grafik Iterasi Metode Newton-Raphson …………….……….…………………………… 11
Gambar 2 Grafik Iterasi Metode Tali Busur ………………………………………………….……… 12
viii
ix
ix
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 1 Selisih Terbagi ...…………………...………………...……………………………………… 15
Tabel 2 Ilustrasi Metode Newton-Raphson ………..………………………………………………… 19
Tabel 3 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada MNR ………………………………. 20
Tabel 4 Ilustrasi Metode Tali Busur ………………………..………………………………...………. 20
Tabel 5 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada MTB …………………….…………. 21
Tabel 6 Ilustrasi Generalisasi Metode Tali Busur ………………..……………………………...…… 21
Tabel 7 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada GMTB …………………..…………. 22
Tabel 8Hasil perolehan akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 2𝑒𝑥2−2 − 1 dengan metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi Metode Tali Busur ……………………..……………..... 23
ix
x
x
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 12 ………………………………………………………………… 26
Lampiran 2 Program dengan Metode Newton-Rapshon ………………………...…………………… 37
Lampiran 3 Program dengan Metode Tali Busur …………………………………………………..… 38
Lampiran 4 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur ………………………………………. 39
Lampiran 5 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.2 …….……………...…. 40
Lampiran 6Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.3 …….……………...…. 41
Lampiran 7Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.4 …….……………...…. 42
Lampiran 8Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.5 …….……………...…. 43
Lampiran 9Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.6 ………….………...…. 44
Lampiran 10Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.7…………………...…. 45
Lampiran 11Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.8 ……………..…....…. 46
Lampiran 12Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3.…….…....…. 47
Lampiran 13Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4.……….....…. 48
Lampiran 14Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5.……….....…. 49
Lampiran 15Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6.………….…. 50
Lampiran 16Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.6 dan 𝑥1 = 0.7….………..…. 51
Lampiran 17Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.7 dan 𝑥1 = 0.8 …....……..…. 52
Lampiran 18Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3.. ..53
Lampiran 19Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4 ... 54
Lampiran 20Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5 ... 55
Lampiran 21Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6… 56
Lampiran 22Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.6 dan 𝑥1 = 0.7… 57
Lampiran 23Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal 𝑥0 = 0.7 dan 𝑥1 = 0.8… 58
x
xi
xi
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu masalah yang paling umum
ditemui dalam bidang matematika, teknik dan
beberapa bidang ilmu lain adalah mencari akar-
akar persamaan. Terutama akar dari persamaan
tak linear yang tidak dapat diselesaikan dengan
metode analitik. Persamaan tersebut lebih
efektif diselesaikan dengan metode iteratif
(Sahid 2005). Metode iteratif yang banyak
digunakan di berbagai buku adalah metode Tali Busur dan metode Newton-Raphson. Ada juga
metode lain yaitu generalisasi metode Tali
Busur. Secara umum semua metode pencarian
akar tersebut dapat dikelompokkan menjadi dua
golongan besar, yaitu metode tertutup dan
metode terbuka. Metode tertutup atau metode pengurung
(bracketing method) adalah metode pencarian
akar yang akar-akarnya berada dalam interval 𝑎, 𝑏 , dalam interval ini dipastikan berisi
minimal satu buah akar. Karena iterasinya selalu konvergen (menuju) ke akar, sehingga
metode ini selalu menemukan akar. Contoh
metode ini adalah metode Bagi Dua dan
metode Regular Falsi (Munir 2003).
Metode terbuka adalah metode pencarian
akar yang tidak memerlukan interval yang
mengapit akar, yang diperlukan adalah nilai
awal dan persamaan iterasi untuk menghitung
hampiran akar yang baru. Pada metode ini
hampiran akar yang diperoleh mungkin saja
mendekati akar sebenarnya (konvergen) atau
mungkin juga menjauhinya (divergen). Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap, metode
Newton-Raphson, metode Tali Busur dan
generalisasi metode Tali Busur (Munir 2003).
Untuk selanjutnya pembahasan pada
karya ilmiah ini dibatasi untuk metode terbuka,
yaitu metode Newton-Raphson, metode Tali
Busur dan generalisasi metode Tali Busur.
Metode Newton-Raphson merupakan metode
pencarian akar yang paling cepat konvergen di
antara metode-metode pencarian akar yang lain,
namun metode ini memerlukan dua iterasi fungsi, yaitu nilai fungsi dan turunannya.
Sedangkan metode Tali Busur adalah metode
pencarian akar yang memiliki kekonvergenan
yang relatif lambat, tetapi untuk setiap iterasi
hanya memerlukan perhitungan fungsinya saja
(Sahid 2005).
Pada karya ilmiah ini akan dibahas
generalisasi dari metode Tali Busur, di mana
metode ini merupakan metode pencarian akar
yang hanya memerlukan iterasi fungsi saja dan
kekonvergenannya relatif cepat.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini
adalah:
1. Menentukan akar persamaan dengan
generalisasi metode Tali Busur dan
menganalisis kekonvergenan barisan
hampiran akar yang diperoleh (Sidi 2007).
2. Membandingkan kecepatan dalam
memperoleh akar dengan menggunakan
generalisasi metode Tali Busur dengan
metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur pada aplikasi numeriknya.
II LANDASAN TEORI
2.1 Akar Persamaan Tak Linear
Misalkan 𝑓 adalah suatu fungsi kontinu.
Setiap bilangan 𝛼 pada domain 𝑓 yang
memenuhi 𝑓 𝛼 = 0 disebut akar persamaan
𝑓 𝑥 = 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi
𝑓. Secara singkat, 𝛼 sering disebut akar 𝑓(𝑥).
Definisi 1 (Derajat Akar)
Misalkan 𝑓 dan merupakan fungsi kontinu
dengan (𝑥) ≠ 0, sedemikian sehingga 𝑓 𝑥
dapat dinyatakan sebagai
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝛼 𝑚 𝑥 ,
maka 𝛼 disebut akar berderajat 𝑚. Dari
persamaan di atas terlihat bahwa jika 𝛼
pembuat nol fungsi 𝑓 berderajat 𝑚, maka
𝑓 𝛼 = 0, 𝑓′ 𝛼 = 0, ⋯ , 𝑓(𝑚−1) 𝛼 = 0, 𝑓(𝑚 )(𝛼) ≠ 0.
Jika 𝑚 = 1, maka 𝛼 disebut akar sederhana.
Jika 𝑚 > 1, maka 𝛼 disebut akar ganda. Jika
𝑚 = 2, maka 𝛼 disebut akar dobel, dan
seterusnya.
(Sahid 2005)
2
2
Definisi 2 (Galat Hampiran)
Misalkan 𝑥 adalah suatu nilai hampiran yang
diperoleh melalui suatu metode numerik, untuk
nilai eksak (nilai sebenarnya) 𝑥 yang tidak
diketahui. Nilai
𝜖𝑥 = 𝑥 − 𝑥
disebut selisih atau galat, 𝜖𝑥 disebut galat
mutlak. (Atkinson & Han 2003)
Definisi 3 (Derajat Kekonvergenan)
Misalkan 𝑥0 ,𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ merupakan barisan
yang konvergen ke 𝛼 dan misalkan 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 −𝛼 menyatakan persamaan galat hampiran ke-𝑛,
yang didefinisikan pada Definisi 2, dengan
𝑛 = 0, 1, 2, ⋯. Jika terdapat sebuah bilangan 𝑠𝑘
dan konstanta 𝑄 ≠ 0 yang mengakibatkan
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝑄,
maka 𝑠𝑘 disebut derajat kekonvergenan barisan
tersebut dan 𝑄 disebut konstanta galat
asimptotik. Untuk 𝑠𝑘 = 1 disebut
kekonvergenan linear. Untuk 𝑠𝑘 = 2 disebut
kekonvergenan kuadratik, dan seterusnya.
(Atkinson & Han 2003)
Definisi 4 (Metode Iteratif) Metode iteratif adalah suatu metode yang
digunakan untuk mencari solusi suatu
persamaan tak linear yang dimulai dengan
memilih nilai awal dan kemudian berusaha
memperbaiki hampiran ke-𝑛 yang menuju tak
hingga, tetapi setiap langkahnya tetap
konvergen atau menuju ke suatu akar tertentu.
(Atkinson & Han 2003)
Definisi 5 (Metode Terbuka)
Metode terbuka adalah metode pencarian akar yang tidak memerlukan interval yang mengapit
akar, yang diperlukan adalah nilai awal dan
persamaan iterasi untuk menghitung hampiran
akar yang baru. Pada metode ini hampiran akar
yang diperoleh mungkin mendekati akar
(konvergen), atau mungkin juga menjauhinya
(divergen).
(Munir 2003)
Contoh metode ini adalah metode Titik Tetap,
metode Newton-Raphson, metode Tali Busur, dan generalisasi metode Tali Busur.
Metode Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson adalah metode
pencarian akar yang hampiran akarnya
diperoleh dengan mencari titik potong garis
singgung kurva di titik 𝑥𝑛 ,𝑓 𝑥𝑛 dengan
sumbu-𝑥, dengan nilai awal 𝑥0 diberikan.
Persamaan iterasi untuk mendapatkan hampiran
ke-𝑛 + 1 adalah
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛 )
𝑓′ 𝑥𝑛 ; 𝑛 = 0, 1,2, ⋯ . (1)
(Atkinson & Han 2003)
Metode Tali Busur Metode Tali Busur (secant method)
adalah metode pencarian akar yang merupakan
modifikasi dari metode Newton-Raphson. Pada
metode Newton-Raphson hampiran akar yang dicari diperoleh dengan mencari titik potong
garis singgung kurva di titik 𝑥𝑛 ,𝑓 𝑥𝑛
dengan sumbu-𝑥. Kemudian dimodifikasi pada
metode Tali Busur di mana hampiran akarnya
diperoleh dengan menggunakan tali busur yang
melalui titik 𝑥𝑛−1 , 𝑓 𝑥𝑛−1 dan 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛
sebagai hampiran 𝑓(𝑥) dan mencari titik
potongnya dengan sumbu-x. Persamaan iterasi
pada metode Newton-Raphson yang
menggunakan turunan 𝑓(𝑥) dimodifikasi sehingga tidak harus menggunakan fungsi
turunannya tersebut. Persamaan iterasi untuk
mendapatkan hampiran ke-𝑛 + 1 adalah
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛
𝑓 𝑥𝑛,𝑥𝑛−1 ; 𝑛 = 1,2, ⋯.
(Atkinson & Han 2003)
Definisi 6 (Deret Taylor)
Misalkan fungsi 𝑓 memunyai turunan ke 𝑛 + 1
yang kontinu pada interval [𝑎, 𝑏]. Misalkan
juga untuk setiap 𝑥0 ∈ [𝑎, 𝑏]. Deret
𝑓(𝑘) 𝑥0
𝑘!(𝑥 − 𝑥0)𝑘
𝑛
𝑘=0
disebut deret Taylor fungsi 𝑓 di sekitar 𝑥0, dan dapat dituliskan
𝑓 𝑥 = 𝑓(𝑘) 𝑥0
𝑘!(𝑥 − 𝑥0)𝑘
𝑛
𝑘=0
.
Dengan memisalkan 𝑥 = 𝑥0 + , diperoleh
𝑓 𝑥0 + = 𝑓(𝑘) 𝑥0
𝑘!𝑘
𝑛
𝑘=0
.
(Cheney & Kincaid 1994)
3
3
Definisi 7
𝐶𝑘+1(𝐼) adalah himpunan semua fungsi yang
memiliki turunan ke-𝑘 + 1 kontinu pada 𝐼, di
mana 𝐼 adalah interval terbuka.
(Burden & Faires 1993)
Teorema 1 (Teorema Rolle)
Misalkan 𝑓 adalah fungsi yang kontinu pada
[𝑎, 𝑏] dan fungsi 𝑓 terturunkan pada (𝑎, 𝑏). Jika
𝑓 𝑎 = 𝑓 𝑏 = 0, maka terdapat sebuah
bilangan 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏), sehingga 𝑓′ 𝑐 = 0.
(Burden & Faires 1993)
Bukti: Terdapat tiga kasus, yaitu
Kasus 1: 𝑓 𝑥 = 𝑘, dengan 𝑘 konstan.
Dari sini diperoleh 𝑓′ 𝑥 = 0, sehingga
bilangan 𝑐 dapat diambil sembarang
bilangan dalam interval (𝑎, 𝑏).
Kasus 2: 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑎), untuk suatu 𝑥 pada
(𝑎, 𝑏).
Karena 𝑓 fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 , maka
menurut Teorema Nilai Ekstrim 𝑓
memunyai nilai maksimum pada suatu
titik dalam interval [𝑎, 𝑏]. Karena
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏), 𝑓 harus mencapai
maksimum pada 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , maka 𝑓
memunyai maksimum lokal pada 𝑐 dan
karena 𝑓 terturunkan pada 𝑐, maka
𝑓′ 𝑐 = 0.
Kasus 3: 𝑓 𝑥 < 𝑓(𝑎) untuk suatu 𝑥
dalam interval terbuka (𝑎, 𝑏).
Karena 𝑓 fungsi kontinu pada 𝑎, 𝑏 , maka
menurut Teorema Nilai Ekstrim 𝑓
memunyai nilai minimum pada suatu titik
dalam interval [𝑎, 𝑏]. Karena 𝑓(𝑎) =𝑓(𝑏), 𝑓 harus mencapai minimum pada
𝑐 ∈ 𝑎, 𝑏 , maka 𝑓 memunyai minimum
lokal pada 𝑐 dan karena 𝑓 terturunkan
pada 𝑐, maka 𝑓′ 𝑐 = 0. Dengan demikian Teorema 1 terbukti.
2.2 Interpolasi
Definisi 8 (Interpolasi)
Interpolasi adalah proses pencarian dan
perhitungan nilai suatu fungsi yang grafiknya
melewati sekumpulan titik yang diberikan.
Titik-titik tersebut mungkin merupakan hasil
eksperimen dalam sebuah percobaan atau
diperoleh dari sebuah fungsi yang diketahui. Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari
sekelompok fungsi tertentu, salah satu fungsi
yang paling banyak dipakai adalah fungsi
polinomial.
(Atkinson & Han 2003)
Definisi 9 (Interpolasi Polinomial Linear)
Interpolasi polinomial linear adalah interpolasi
dua buah titik dengan sebuah garis lurus, misal
diberikan dua buah titik 𝑥1 , 𝑦1 dan 𝑥2 , 𝑦2 , maka polinomial yang menginterpolasi kedua
titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk
𝑝1 𝑥 = 𝑦1 + 𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥1 .
(Cheney & Kincaid 1994)
Definisi 10 (Selisih Terbagi)
Selisih terbagi (divided difference) atau kadang
disebut daftar selisih adalah metode untuk
mendapatkan suatu penyajian secara eksplisit
suatu interpolasi polinomial Newton dari data
yang tertabulasi dan ditulis sebagai
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑘 . Selisih terbagi dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) untuk
𝑘 = 1,2,3,… , 𝑚 didefinisikan sebagai berikut
1. Selisih terbagi ke-nol terhadap 𝑥𝑘 adalah
𝑓 𝑥𝑘 = 𝑓 𝑥𝑘 . 2. Selisih terbagi pertama terhadap 𝑥𝑘 dan
𝑥𝑘+1 adalah
𝑓 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 =𝑓 𝑥𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑘
𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘
.
3. Selisih terbagi kedua terhadap 𝑥𝑘 ,𝑥𝑘+1 dan
𝑥𝑘+2 adalah
𝑓 𝑥𝑘 ,𝑥𝑘+1 , 𝑥𝑘+2 = 𝑓 𝑥𝑘+2 , 𝑥𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑘+1 , 𝑥𝑘
𝑥𝑘+2 − 𝑥𝑘
.
4. ⋯. 5. Selisih terbagi didefinisikan secara rekursif
sebagai berikut 𝑓 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 ,… , 𝑥𝑘+𝑛−1 ,𝑥𝑘+𝑛
= 𝑓 𝑥𝑘+𝑛 , 𝑥𝑘+𝑛−1 ,⋯ , 𝑥𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑘+𝑛−1,⋯ ,𝑥𝑘+1 ,𝑥𝑘
𝑥𝑘+𝑛 − 𝑥𝑘;
𝑥𝑘 ≠ 𝑥𝑘+𝑛 . (Cheney & Kincaid 1994)
Teorema 2 (Sifat Simetris Selisih Terbagi)
Misalkan 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘+1 menyatakan
permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maka untuk
sebarang indeks selisih terbagi berlaku
𝑓 𝑥𝑠1, 𝑥𝑠2
, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1
,⋯ , 𝑥𝑠2, 𝑥𝑠1
.
(Atkinson & Han 2003)
Bukti: (dengan induksi pada 𝑘 + 1)
1. Basis induksi
4
4
Untuk 𝑘 = 1, maka berlaku
𝑓 𝑥1 , 𝑥2 =𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
=𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
=− 𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
− 𝑥2 − 𝑥1
=𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥2
𝑥1 − 𝑥2
=𝑓 𝑥1 − 𝑓 𝑥2
𝑥1 − 𝑥2
= 𝑓 𝑥2 , 𝑥1 . 2. Hipotesis induksi
Anggap benar, untuk 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘 sebarang permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘
𝑓 𝑥𝑠1, 𝑥𝑠2
, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘
, ⋯𝑥𝑠2, 𝑥𝑠1
.
3. Langkah induksi
Akan dibuktikan: untuk 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘+1 sebarang permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 + 1 berlaku
𝑓 𝑥𝑠1, 𝑥𝑠2
, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1
, ⋯𝑥𝑠2, 𝑥𝑠1
.
Bukti:
𝑓 𝑥𝑠1, 𝑥𝑠2
, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 =
𝑓 𝑥𝑠𝑘+1, 𝑥𝑠𝑘
, ⋯ , 𝑥𝑠2 − 𝑓 𝑥𝑠𝑘
, ⋯ , 𝑥𝑠1
𝑥𝑠𝑘+1− 𝑥𝑠1
=𝑓 𝑥𝑠2
, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑠1
, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘−1, 𝑥𝑠𝑘
𝑥𝑠𝑘+1− 𝑥𝑠1
=− 𝑓 𝑥𝑠1
,⋯ , 𝑥𝑠𝑘−1, 𝑥𝑠𝑘
− 𝑓 𝑥𝑠2, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1
−(𝑥𝑠1− 𝑥𝑠𝑘+1
)
=𝑓 𝑥𝑠1
, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘−1, 𝑥𝑠𝑘
− 𝑓 𝑥𝑠2, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1
𝑥𝑠1− 𝑥𝑠𝑘+1
= 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1, 𝑥𝑠𝑘
, ⋯ , 𝑥𝑠1 .
Berdasarkan prinsip induksi matematik, maka
Teorema 2 terbukti.
Teorema 3 (Hubungan Selisih Terbagi
dengan Turunan untuk Simpul Sama)
Jika didefinisikan 𝑓 𝑥1 , 𝑥1 = lim𝑥2→𝑥1𝑓 𝑥1 ,𝑥2
dan limitnya ada, maka berlaku 𝑓 𝑥1 , 𝑥1 =𝑓′ 𝑥1 .
(Atkinson & Han 2003)
Bukti: Karena diketahui
𝑓 𝑥1 , 𝑥1 = lim𝑥2→𝑥1
𝑓 𝑥1 , 𝑥2
= lim𝑥2→𝑥1
𝑓 𝑥2 − 𝑓 𝑥1
𝑥2 − 𝑥1
(karena Definisi 10)
= 𝑓′ 𝑥1 . (menurut Definisi turunan)
Dengan demikian Teorema 3 terbukti.
Teorema 4 (Interpolasi Polinomial Newton)
Misalkan fungsi 𝑓 terdefinisi pada interval terbuka 𝐼, dan misalkan 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 adalah 𝑘 + 1
bilangan yang berlainan pada interval terbuka 𝐼, maka terdapat sebuah polinomial tunggal 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥
berderajat paling tinggi 𝑘 yang memenuhi
𝑓 𝑥𝑖 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, … , 𝑛 − 𝑘. Interpolasi polinomial Newton ini adalah
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗
𝑖−1
𝑗 =0
. (2)
𝑘
𝑖=1
(Sahid 2005)
Bukti:
Interpolasi polinomial Newton dapat diperoleh secara rekursif. Oleh karena itu, untuk
menghitung suatu nilai dengan menggunakan interpolasi polinomial berderajat 𝑘 perlu menghitung
nilai-nilai polinomial berderajat 1,2, … , 𝑘. Misalkan interpolasi polinomialnya dituliskan sebagai
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑎3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2
+ 𝑎𝑘+1 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 , dan akan ditentukan nilai-nilai koefisien 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , ⋯ , 𝑎𝑘 . Di sini berlaku 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 untuk
𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, … , 𝑛 − 𝑘.
Jika 𝑥 = 𝑥𝑛 disubstitusikan pada persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku pada sisi
kanan persamaan kecuali suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh
𝑝𝑛 ,0 𝑥𝑛 = 𝑎1 = 𝑓 𝑥𝑛 . Jika 𝑥 = 𝑥𝑛−1 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku
pada sisi kanan kecuali dua suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh 𝑝𝑛 ,1 𝑥𝑛−1 = 𝑓 𝑥𝑛−1 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑎2 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
5
5
atau
𝑎2 =𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
=𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
= 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 .
Jika 𝑥 = 𝑥𝑛−2 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka semua suku
pada sisi kanan kecuali tiga suku pertama bernilai nol, sehingga diperoleh
𝑓 𝑥𝑛−2 = 𝑝𝑛 ,2 𝑥𝑛−2
= 𝑓 𝑥𝑛 +𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 + 𝑎3 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1
atau
𝑎3 =𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 −
𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛
𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1
=
𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛
− 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1 .
Untuk memermudah perhitungan bentuk 𝑎3 dapat diubah menjadi
𝑎3 =
𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1
− 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛
= 𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1
𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 (menurut Definisi 10)
= 𝑓 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛
𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 (karena Teorema 2)
= 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 (menurut Definisi 10) ⋮ dan seterusnya.
Jika 𝑥 = 𝑥𝑛−𝑘 disubstitusikan ke dalam persamaan interpolasi polinomial, maka diperoleh
𝑓 𝑥𝑛−𝑘 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑛−𝑘
= 𝑓 𝑥𝑛 +𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛
+
𝑓 𝑥𝑛−2 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛−1
− 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
𝑥𝑛−2 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 + ⋯
+ 𝑎𝑘 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+2 + 𝑎𝑘+1 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+1 ,
dengan
𝑎𝑘+1 =
𝑓 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑓 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 − 𝑎3 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 − ⋯ − 𝑎𝑘 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+2
𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥𝑛−𝑘 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .
Jika diuraikan akan diperoleh bentuk 𝑎𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 .
Dari uraian di atas terlihat adanya suatu pola pada pembilang 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 dan seterusnya sampai
𝑎𝑘+1. Pembilang-pembilang tersebut merupakan selisih terbagi fungsi 𝑓. Berdasarkan Definisi 10, intrpolasi polinomial Newton ini dapat dituliskan menjadi
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 ,
atau secara rekursif dapat dituliskan sebagai berikut
𝑝𝑛 ,0 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 𝑝𝑛 ,1 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛
𝑝𝑛 ,2 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1
⋮
6
6
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + ⋯+ 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , … , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 … 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .
Sehingga dapat dituliskan
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗 . (2)
𝑖−1
𝑗 =0
𝑘
𝑖=1
Dengan demikian Teorema 4 terbukti.
Akibat (Hampiran Newton)
Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 adalah interpolasi polinomial
Newton yang diberikan oleh Teorema 4 dan
digunakan untuk menginterpolasikan fungsi 𝑓, yaitu
𝑓 𝑥𝑖 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 ; 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘. Karena 𝑓 𝑥 ≠ 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 , maka ada galat di
antara keduanya, misalkan 𝐸𝑛 ,𝑘 𝑥 yang akan
memenuhi persamaan berikut
𝑓 𝑥 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 + 𝐸𝑛 ,𝑘 𝑥 . 3
(Sahid 2005)
Lema 1 (Polinomial Bersifat Tunggal) Misal diberikan himpunan titik-titik yang
memunyai absis berlainan yaitu 𝑥𝑛 ,𝑓(𝑥𝑛 ) , 𝑥𝑛−1,𝑓(𝑥𝑛−1) ,⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 ,𝑓(𝑥𝑛−𝑘) , maka terdapat tepat sebuah polinomial
berderajat paling tinggi 𝑘 yang melalui 𝑘 + 1
titik tersebut.
(Cheney & Kincaid 1994)
Bukti:
Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 adalah polinomial
berderajat ≤ 𝑘 dan memenuhi
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘.
Untuk menunjukkan bahwa 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥
tunggal, misalkan terdapat polinomial lain,
𝑇𝑛 ,𝑘 (𝑥) berderajat paling tinggi 𝑘 dan
memenuhi
𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘.
Sekarang definisikan
𝐿𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 − 𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥 . Karena 𝑝𝑛 ,𝑘 dan 𝑇𝑛 ,𝑘 keduanya berderajat
≤ 𝑘, maka 𝐿𝑛 ,𝑘 berderajat ≤ 𝑘. Selanjutnya
berlaku
𝐿𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 − 𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 − 𝑓 𝑥𝑖 = 0 ; untuk 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ , 𝑛 − 𝑘.
Ini menunjukkan bahwa 𝐿𝑛 ,𝑘 (𝑥) memunyai
𝑘 + 1 akar berlainan, yakni
𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , padahal 𝐿𝑛 ,𝑘 berderajat
≤ 𝑘. Hal ini tidak mungkin, karena
berdasarkan sifat akar polinomial,
polinomial berderajat ≤ 𝑘 hanya memunyai
paling banyak 𝑘 akar, kecuali 𝐿𝑛 ,𝑘 𝑥 = 0,
yakni 𝐿𝑛 ,𝑘 berupa polinomial nol. Dari sini
diperoleh
0 = 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 − 𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥
𝑝𝑛𝑘 𝑥 = 𝑇𝑛 ,𝑘 𝑥 , atau 𝑝𝑛 ,𝑘 bersifat tunggal.
Dengan demikian Lema 1 terbukti.
Lema 2 (Galat Interpolasi pada Selisih
Terbagi)
Jika 𝑝𝑛 ,𝑘 adalah polinomial berderajat ≤ 𝑘 yang
menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada titik
𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , maka untuk 𝑥 yang
merupakan titik lain pada interval terbuka 𝐼, berlaku
𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘
𝑥 =
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 . (4)
𝑘
𝑖=0
(Cheney & Kincaid 1994)
Bukti:
Misalkan 𝑡 titik selain 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘
pada interval 𝐼, di mana 𝑓 𝑡 terdefinisi.
Misal didefinisikan 𝑞𝑛 ,𝑘 merupakan
polinomial berderajat ≤ 𝑘 + 1 yang
menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada titik
𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡, sehingga polinomial
𝑞𝑛 ,𝑘 dapat dibentuk dari persamaan (2),
yaitu
𝑞𝑛 ,𝑘 𝑥 =
𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1,⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗
𝑖−1
𝑗 =0
𝑘
𝑖=1
+𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗
𝑘−1
𝑗 =0
𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘
= 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
. (5)
Karena 𝑞𝑛 ,𝑘 merupakan polinomial
berderajat ≤ 𝑘 + 1 yang menginterpolasikan
fungsi 𝑓 pada titik 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡,
maka menurut Teorema 4 berlaku 𝑓 𝑥𝑖 = 𝑞𝑛 ,𝑘 𝑥𝑖 ; 𝑖 = 𝑛, 𝑛 − 1, ⋯ ,𝑛 − 𝑘, 𝑡,
7
7
dan 𝑓 𝑡 = 𝑞𝑛 ,𝑘 𝑡 . Oleh karena itu, dari
persamaan (5) diperoleh
𝑓 𝑡 =
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑡 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡 𝑡 − 𝑥𝑛−𝑖 .
𝑘
𝑖=1
Untuk 𝑡 = 𝑥, maka Lema 2 terbukti.
Lema 3 (Galat Interpolasi)
Jika 𝑝 adalah polinomial berderajat ≤ 𝑘 yang
menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada 𝑘 + 1 titik
berlainan, misal 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 dan 𝑓(𝑘+1)
kontinu, maka ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , terdapat bilangan
𝜉 = 𝜉 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , yang mengakibatkan
𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 =𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
. 7
(Cheney & Kincaid 1994)
Bukti:
Definisikan untuk 𝑡 ≠ 𝑥𝑛−𝑖 , 𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑘
𝑤 𝑡 = 𝑡 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
;
𝑐(𝑥) =𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥
𝑤 𝑥 ;
𝜙 𝑡 = 𝑓 𝑡 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑡 − 𝑐𝑤 𝑡 , 𝑐 terdefinisi karena 𝑤 𝑡 ≠ 0 karena 𝑡 ≠𝑥𝑛−𝑖 .
Fungsi 𝜙 memunyai 𝑘 + 2 pembuat nol,
yaitu 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , dan 𝑡, karena 𝜙 𝑥𝑛 = 𝜙 𝑥𝑛−1 = ⋯ = 𝜙 𝑥𝑛−𝑘 = 𝜙 𝑡 = 0.
Fungsi 𝜙 terdiri dari fungsi-fungsi yang
kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan memunyai turunan
ke-𝑘 + 1.
Karena ada 𝑘 + 2 pembuat nol, maka
terdapat 𝑘 + 1 interval yang nilai 𝜙 di titik-
titik ujungnya sama dengan nol, maka
menurut Teorema 1 pada setiap interval
terdapat 𝑐𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 + 1 sehingga
𝜙 ′ 𝑐𝑖 = 0. Dengan alasan yang sama, maka 𝜙 ′′
memunyai 𝑘 pembuat nol, 𝜙 ′′′ memunyai
𝑘 − 1 pembuat nol, dan seterusnya.
Akhirnya, dapat dikatakan 𝜙(𝑘+1) 𝑡 memunyai paling sedikit 1 pembuat nol.
Misalkan 𝑡 = 𝜉 merupakan pembuat nol
𝜙(𝑘+1) 𝑡 , maka diperoleh
𝜙 𝑘+1 𝜉 = 0
= 𝑓 𝑘+1 𝜉 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑘+1 𝜉 − 𝑐𝑤 𝑘+1 𝜉 . 6
Pada persamaan di atas, 𝑝𝑛 ,𝑘(𝑘+1) 𝜉 = 0
karena 𝑝𝑛 ,𝑘 merupakan polinomial
berderajat ≤ 𝑘. Berdasarkan sifat akar
polinomial, polinomial berderajat ≤ 𝑘, jika
diturunkan sebanyak 𝑘 + 1 maka hasilnya
nol.
Perhatikan juga bahwa
𝑤 𝜉 = 𝜉 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
= 𝜉𝑘+1 + (𝜉 berderajat < 𝑘 + 1)
𝑤′ 𝜉 = 𝑘 + 1 𝜉(𝑘) + (𝜉 berderajat < 𝑘)
𝑤(2) 𝜉 = 𝑘 + 1 𝑘 𝜉(𝑘−1) + (𝜉 berderajat< 𝑘 − 1)
⋮ 𝑤 𝑘+1 𝜉 = 𝑘 + 1 𝑘 𝑘 − 1 ⋯ 2 (1)
= 𝑘 + 1 !. Akhirnya dari persamaan (6) diperoleh
𝑓 𝑘+1 𝜉 − 𝑐 𝑘 + 1 ! = 0
𝑓 𝑘+1 𝜉 − 𝑘 + 1 !
𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 0
𝑘 + 1 !
𝑤 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑘+1 𝜉
𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 =𝑓 𝑘+1 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
. (7)
Dengan demikian Lema 3 terbukti.
Lema 4 (Hubungan Selisih Terbagi dan
Turunan)
Jika 𝑓(𝑘+1) kontinu pada 𝑎, 𝑏 dan
𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑡 adalah 𝑘 + 2 titik pada 𝑎, 𝑏 , maka ada 𝜉 pada (𝑎, 𝑏), yang
mengakibatkan
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 =1
(𝑘 + 1)!𝑓(𝑘+1) 𝜉 .
(Cheney & Kincaid 1994)
Bukti:
Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 adalah polinomial berderajat
≤ 𝑘 yang menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada
titik 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 .
Dari Lema 2 diketahui untuk 𝑥 yang
merupakan titik lain pada interval terbuka
(𝑎, 𝑏), berlaku
𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 =
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖 .
𝑘
𝑖=0
Dari Lema 3 diketahui ∀𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), terdapat
bilangan 𝜉 di mana 𝜉 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), yang
mengakibatkan
𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛,𝑘
𝑥 =𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
.
Dari persamaan di atas diperoleh
8
8
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
=
𝑓 𝑘+1 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
;
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 =𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 !.
Dengan demikian Lema 4 terbukti.
2.3 Barisan dan Kekonvergenan
Definisi 11 (Barisan Konvergen)
Misalkan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan bilangan real.
Barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke 𝛼, jika barisan
tersebut memunyai limit 𝛼.
(Goldberg 1976)
Definisi 12 (Barisan Terbatas)
Misalkan 𝑋 = 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan bilangan
real. Barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ terbatas di atas, jika
wilayah 𝑋 terbatas di atas dan terbatas di
bawah, jika wilayah 𝑋 terbatas di bawah. Jika
wilayah 𝑋 terbatas, maka barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞
barisan terbatas. Barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ terbatas jika
dan hanya jika terdapat 𝑀 > 0, sehingga 𝑥𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁.
(Goldberg 1976)
Teorema 5 (Hubungan Barisan Konvergen
dengan Barisan Terbatas)
Jika barisan bilangan real 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen,
maka 𝑥𝑛 𝑛=0∞ terbatas.
(Goldberg 1976)
Bukti:
Misalkan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan
konvergen dan lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼.
Untuk 휀 = 1, terdapat 𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga 𝑥𝑛 − 𝛼 < 1, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .
𝑥𝑛 − 𝛼 < 𝑥𝑛 − 𝛼 (sifat nilai mutlak) 𝑥𝑛 < 𝛼 + 1, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .
Misalkan
𝑀 = max 𝑥1 , 𝑥2 , ⋯ , 𝑥𝑛0 , 𝛼 + 1 ,
maka 𝑥𝑛 < 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁.
Jadi 𝑥𝑛 𝑛=0∞ terbatas.
Dengan demikian Teorema 5 terbukti.
Definisi 13 (Barisan Monoton)
Misalkan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ adalah barisan bilangan real,
barisan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ tak turun, jika 𝑠𝑘 ≤ 𝑠𝑘+1 , ∀𝑘 ∈
𝑁 dan tak naik, jika 𝑠𝑘 ≥ 𝑠𝑘+1 , ∀𝑘 ∈ 𝑁.
Barisan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ barisan monoton, jika barisan
𝑠𝑘 𝑘=1∞ tak turun atau tak naik.
(Goldberg 1976)
Teorema 6 (Hubungan Barisan Tak Naik
dan Terbatas dengan Kekonvergenan)
Misalkan 𝜖𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan bilangan real.
Jika 𝜖𝑛 𝑛=0∞ barisan tak naik dan terbatas di
bawah, maka barisan 𝜖𝑛 𝑛=0∞ konvergen.
(Goldberg 1976)
Bukti:
Misalkan 𝜖𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan tak naik
dan terbatas di bawah.
Misalkan 𝐴 = 𝜖0 ,𝜖1 , … terbatas di bawah
dan 𝑎 = inf 𝐴.
Akan dibuktikan bahwa 𝜖𝑛 → 𝑎, bila
𝑛 → ∞, yaitu ∀휀 > 0, ∃𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga 𝜖𝑛 − 𝑎 < 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .
Misalkan diberikan 휀 > 0, maka 𝑎 + 휀
bukan batas bawah dari 𝐴. Jadi terdapat
𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga
𝜖𝑛0< 𝑎 + 휀
Karena 𝜖𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan tak naik,
maka dari persamaan di atas diperoleh
𝜖𝑛 ≤ 𝜖𝑛0< 𝑎 + 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 (8)
Karena 𝑎 adalah batas bawah terbesar dari
𝐴, maka
𝑎 ≤ 𝜖𝑛 , ∀𝑛 ∈ 𝑁 (9)
Dari persamaan (8) dan (9) diperoleh
𝑎 < 𝜖𝑛 ≤ 𝑎 + 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 ; 𝜖𝑛 − 𝑎 < 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .
Jadi, lim𝑛→∞ 𝜖𝑛 = 𝑎 atau 𝜖𝑛 𝑛=0∞
konvergen ke 𝑎. Dengan demikian Teorema 6 terbukti.
Teorema 7 (Hubungan Barisan Tak Turun
dan Terbatas dengan Kekonvergenan)
Misalkan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ adalah barisan bilangan real.
Jika 𝑠𝑘 𝑘=1∞ barisan tak turun dan terbatas di
atas, maka barisan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ konvergen.
(Goldberg 1976)
Bukti:
Misalkan 𝑠𝑘 𝑘=1∞ adalah barisan tak turun
dan terbatas di atas.
Misalkan 𝐴 = 𝑠1 , 𝑠2 , … terbatas di atas
dan 𝑎 = sup 𝐴.
Akan dibuktikan bahwa 𝑠𝑘 → 𝑎, bila
𝑘 → ∞, yaitu ∀휀 > 0, ∃𝑘0 ∈ 𝑁, sehingga 𝑠𝑘 − 𝑎 < 휀, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 .
Misalkan diberikan 휀 > 0, maka 𝑎 − 휀
bukan batas atas dari 𝐴. Jadi terdapat
𝑘0 ∈ 𝑁, sehingga
𝑠𝑘0> 𝑎 − 휀
9
9
Karena 𝑠𝑘 𝑘=1∞ adalah barisan tak turun,
maka dari persamaan di atas diperoleh
𝑠𝑘 ≥ 𝑠𝑘0> 𝑎 − 휀, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 (10)
Karena 𝑎 adalah batas atas terkecil dari 𝐴, maka
𝑠𝑘 ≤ 𝑎, ∀𝑘 ∈ 𝑁 (11) Dari persamaan (10) dan (11) diperoleh
𝑎 − 휀 < 𝑠𝑘 ≤ 𝑎, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 ; 𝑠𝑘 − 𝑎 < 휀, ∀𝑘 ≥ 𝑘0 .
Jadi, lim𝑘→∞ 𝑠𝑘 = 𝑎 atau 𝑠𝑘 𝑘=1∞
konvergen ke 𝑎. Dengan demikian Teorema 7 terbukti.
Teorema 8 (Hubungan Kekontinuan dan
Kekonvergenan Barisan)
Misalkan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah barisan bilangan real.
Jika fungsi 𝑓 kontinu di 𝛼 dan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ adalah
barisan yang konvergen ke 𝛼, maka 𝑓 𝑥𝑛 𝑛=0∞
konvergen ke 𝑓 𝛼 . (Goldberg 1976)
Bukti:
Diberikan 휀 > 0 sebarang.
Karena fungsi 𝑓 kontinu, maka ∃𝛿 > 0
sehingga
0 < 𝑥 − 𝛼 < 𝛿 ⟹ 𝑓 𝑥 − 𝑓 𝛼 < 휀. Karena lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼, maka
𝑥𝑛 − 𝛼 < 휂, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Dari dua pernyataan di atas, diperoleh
𝑥𝑛 − 𝛼 < 휂 ⟹ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼 < 휀. Dengan demikian Teorema 8 terbukti.
Definisi 14 (Barisan Bagian)
Misalkan 𝑋 = 𝑥𝑛 adalah barisan bilangan
real, dan 𝑟1 < 𝑟2 < ⋯ < 𝑟𝑛 < ⋯ adalah barisan bilangan asli, maka barisan pada bilangan real
yang diberikan oleh
𝑥𝑟1, 𝑥𝑟2
, ⋯ , 𝑥𝑟𝑛, ⋯
disebut barisan bagian dari 𝑋. (Goldberg 1976)
Teorema 9 (Hubungan Kekonvergenan
Barisan dan Barisan Bagian)
Jika barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke 𝛼, maka
setiap barisan bagian dari 𝑥𝑛 𝑛=0∞ juga
konvergen ke 𝛼. (Goldberg 1976)
Bukti:
Misalkan 𝑥𝑛𝑖 𝑛=0
∞ adalah barisan bagian
dari 𝑥𝑛 𝑛=0∞ .
Diberikan 휀 > 0 sebarang.
Karena 𝑥𝑛 ⟶ 𝛼, maka terdapat 𝑛0 ∈ 𝑁, sehingga
𝑥𝑛 − 𝛼 < 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Pilih indeks 𝑘 terkecil sehingga 𝑛𝑘 ≥ 𝑛0 ,
maka dari persamaan di atas diperoleh
𝑥𝑛𝑖− 𝛼 < 휀, ∀𝑖 ≥ 𝑘.
Jadi, barisan 𝑥𝑛𝑖 𝑛=0
∞ konvergen ke 𝛼.
Dengan demikian Teorema 9 terbukti.
Teorema 10 (Hubungan Perkalian Barisan
yang Konvergen dan Terbatas)
Misalkan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ dan 𝑦𝑛 𝑛=0
∞ adalah barisan
bilangan real. Jika barisan lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 0, dan
barisan 𝑦𝑛 𝑛=0∞ terbatas, maka
lim𝑛→∞
𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 0.
(Goldberg 1976)
Bukti:
Diberikan 휀 > 0 sebarang.
Karena 𝑦𝑛 𝑛=0∞ terbatas, maka terdapat
𝑀 > 0 sehingga 𝑦𝑛 ≤ 𝑀, ∀𝑛 ∈ 𝑁.
Karena 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen, maka terdapat
∃𝑛0 ∈ 𝑁 sehingga
𝑥𝑛 − 0 ≤휀
𝑀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .
Akibatnya 𝑥𝑛𝑦𝑛 − 0 = 𝑥𝑛𝑦𝑛
= 𝑥𝑛 𝑦𝑛
≤휀
𝑀𝑀
= 휀, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . Dari sini terbukti bahwa lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 𝑦𝑛 = 0.
Dengan demikian Teorema 10 terbukti.
Definisi 15 (𝑶 . dan 𝒐 . )
Simbol 𝑂 . dan 𝑜 . merupakan cara yang
digunakan untuk membandingkan besarnya dua
buah barisan, misalkan 𝑋 = 𝑥𝑛 dan 𝑌 = 𝑦𝑛 merupakan barisan bilangan real.
Notasi 𝑋 = 𝑂 𝑌 atau 𝑥𝑛 = 𝑂 𝑦𝑛 , dengan
𝑛 → ∞, menyatakan bahwa 𝑥𝑛
𝑦𝑛 terbatas,
atau ∃𝑀 > 0 sehingga 𝑥𝑛 ≤ 𝑀 𝑦𝑛 . Notasi 𝑋 = 𝑜 𝑌 atau 𝑥𝑛 = 𝑜 𝑦𝑛 , dengan
𝑛 → ∞, menyatakan bahwa lim𝑛→∞ 𝑥𝑛
𝑦𝑛 = 0.
Hal ini berarti 𝑥𝑛 → 0 lebih cepat dari
𝑦𝑛 → 0. (Bartle 1964)
2.4 Sifat-Sifat Akar Polinomial
Lema 5 (Sifat Akar Polinomial)
Didefinisikan persamaan polinomial sebagai
berikut
10
10
𝑔𝑘 ,𝑎 𝑠 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖
𝑘
𝑖=0
= 0,
maka persamaan tersebut memunyai sebuah
akar real misal 𝑠𝑘 dan
max 1,𝑎 < 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1. (Traub 1964)
Bukti: (Lihat Traub 1964)
Lema 6 (Akar Polinomial Bersifat Naik)
Didefinisikan persamaan polinomial sebagai
berikut
𝑔𝑘 ,𝑎 𝑠 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖
𝑘
𝑖=0
= 0.
Persamaan tersebut memunyai sebuah akar real
misal 𝑠𝑘 , maka
𝑠𝑘−1 < 𝑠𝑘 , ∀𝑘. (Traub 1964)
Bukti: (Lihat Traub 1964)
Lema 7 (Kekonvergenan Akar Polinomial)
Misalkan 𝑠𝑘 akar positif dari persamaan
𝑔𝑘 ,𝑎 𝑠 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖
𝑘
𝑖=0
dan 𝑘𝑎 > 1, maka berlaku 𝑘
𝑘 + 1 𝑎 + 1 < 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1
dan
lim𝑘→∞
𝑠𝑘 = 𝑎 + 1.
(Traub 1964)
Bukti: (Lihat Traub 1964)
Lema 8 (Batas Akar Polinomial)
Misalkan 𝑠𝑘 akar positif dari persamaan
polinomial berikut
𝑔𝑘 ,𝑎 𝑠 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖
𝑘
𝑖=0
;
dan diberikan 𝑣 = 𝑎 + 1𝑘
𝑘+1, maka berlaku
𝑎 + 1 −𝑒𝑎
𝑎 + 1 𝑘< 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1 −
𝑎
𝑎 + 1 𝑘
di mana 𝑒 basis logaritma natural. (Traub 1964)
Bukti: (Lihat Traub 1964)
Teorema 11
Misalkan persamaan galat didefinisikan sebagai
berikut
𝜖𝑛+1 = 𝐿 𝜖𝑛−𝑖𝑠
𝑘
𝑖=0
di mana 𝑠 bilangan positif dan 𝜖𝑛 → 0, bila
𝑛 → ∞. Misalkan juga 𝑠𝑘 adalah akar positif
dari persamaan
𝑔𝑘,𝑎 𝑠 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖
𝑘
𝑖=0
= 0
dan 𝐿 ≠ 0, maka
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 /𝑘 .
(Traub 1964)
Bukti: (Lihat Traub 1964)
III PEMBAHASAN
3.1 Rumusan Masalah
Dalam tulisan ini akan dicari akar dari
persamaan
𝑓(𝑥) = 0, (12)
yaitu nilai 𝑥 = 𝛼 yang menyebabkan 𝑓 𝛼 = 0,
dengan 𝛼 merupakan akar dari persamaan
tersebut. Fungsi 𝑓 dari persamaan (12) yang
akan ditentukan akarnya merupakan fungsi tak
linear dan memenuhi syarat 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘+1 𝐼 dan
𝑓′ 𝛼 ≠ 0 (Sidi 2007). Untuk menentukan akar persamaan (12)
dapat digunakan metode analitik atau metode
iteratif. Metode analitik adalah metode
penyelesaian persamaan dengan menggunakan
rumus-rumus yang sudah lazim digunakan,
seperti rumus “abc” untuk mencari akar
persamaan kuadrat. Tidak semua fungsi dapat
ditentukan akar persamaannya secara analitik.
Oleh karena itu, diperlukan metode iteratif di
dalam memberikan hampiran penyelesaian.
Pada metode iteratif pencarian akar
dilakukan dengan prosedur-prosedur tertentu.
Secara umum prosedurnya sebagai berikut.
Prosedur Metode Iteratif
i. Memilih nilai awal, batas toleransi 𝑇, dan
maksimum iterasi 𝑁.
Biasanya setiap metode tidak selalu sama
banyaknya nilai awal yang harus dipilih,
misalnya metode Newton-Raphson
11
11
memerlukan satu nilai awal 𝑥0, dan metode
Tali Busur memerlukan dua nilai awal,
𝑥0 dan 𝑥1. Semakin dekat nilai awal yang
dipilih dengan akar sebenarnya, maka
iterasi akan semakin cepat konvergen
(Atkinson & Han 2003). Untuk memilih
batas toleransi agar hampiran akar yang
diperoleh sangat dekat dengan akar
sebenarnya, maka batas toleransi yang dipilih harus sangat kecil.
ii. Melakukan proses iterasi.
Proses iterasi dilakukan untuk
menghasilkan barisan akar, barisan akar
yang dimaksud adalah hampiran-hampiran
akar yang konvergen ke akar sebenarnya.
Selanjutnya proses iterasi dihentikan jika 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 < 𝑇.
iii. Analisis kekonvergenan.
Barisan akar yang diperoleh kemudian
dianalisis kekonvergenannya, untuk
mengetahui derajat kekonvergenannya. Derajat kekonvergenan menunjukkan
kecepatan dalam menemukan akar. Jika
derajat kekonvergenan semakin besar, maka
kecepatan dalam menemukan akar akan
semakin baik (Burden & Faires 1993).
Adapun metode-metode iteratif yang akan
dibahas antara lain: metode Newton-Raphson,
metode Tali Busur, dan generalisasi metode
Tali Busur.
3.1.1 Metode Newton-Raphson
Salah satu metode pencarian akar yang paling populer dalam menentukan akar-akar
persamaan tak linear adalah metode Newton-
Raphson. Metode ini paling disukai karena
kekonvergenannya paling cepat di antara
metode lainnya (Cheney & Kincaid 1994).
Metode Newton-Raphson merupakan
metode pencarian akar yang hampiran akarnya
diperoleh dengan mencari titik potong garis
singgung kurva di titik 𝑥𝑛 ,𝑓 𝑥𝑛 dengan
sumbu-𝑥. Biasanya nilai awal 𝑥0 selalu
diberikan. Jika tidak diberikan nilai awal bisa
dipilih dengan syarat, nilai 𝑓′ 𝑥0 ≠ 0. Hal ini
disebabkan karena metode Newton-Raphson
menggunakan fungsi turunan untuk setiap
iterasinya dan tidak melakukan pengapitan akar.
Hampiran selanjutnya 𝑥𝑛+1 diperoleh
dengan mencari titik potong garis singgung
kurva di titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dengan sumbu-𝑥.
Ilustrasi penjelasan tersebut sebagai berikut.
Hampiran akar pertama 𝑥1 diperoleh dari titik
potong garis singgung di titik 𝑥0 , 𝑓 𝑥0
dengan sumbu-𝑥. Hampiran akar kedua 𝑥2
diperoleh dari titik potong garis singgung di
titik 𝑥1 ,𝑓 𝑥1 dengan sumbu-𝑥. Demikian
seterusnya, sampai diperoleh hampiran akar
yang paling dekat dengan akar sebenarnya.
Ilustrasi penjelasan ini dapat dilihat pada
gambar berikut.
Gambar 1 Grafik Iterasi Metode Newton-
Raphson.
Selanjutnya akan dibahas prosedur
pencarian akar dengan metode Newton-
Raphson. Berdasarkan prosedur pencarian akar
dengan metode iteratif, diperlukan nilai awal
dan persamaan iterasi. Dalam memilih nilai
awal pada metode ini sudah dijelaskan yaitu
dengan syarat untuk setiap nilai awal 𝑥0, maka
nilai 𝑓′ 𝑥0 ≠ 0.
Misalkan 𝑥0 adalah nilai awal yang
diberikan. Gradien garis singgung kurva
𝑦 = 𝑓(𝑥) di titik 𝑥0 , 𝑓 𝑥0 adalah 𝑓 ′ 𝑥0 ,
maka persamaan garis singgungnya adalah
𝑦 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 . Hampiran akar pertama 𝑥1 diperoleh dari
persamaan garis singgung pada saat 𝑦 = 0.
Artinya titik 𝑥1 , 0 memenuhi persamaan garis
singgung, yakni
0 − 𝑓 𝑥0 = 𝑓′ 𝑥0 𝑥1 − 𝑥0
−𝑓 𝑥0
𝑓′ 𝑥0 = 𝑥1 − 𝑥0
𝑥1 = 𝑥0 −𝑓 𝑥0
𝑓′ 𝑥0 .
Secara umum dengan cara yang sama,
akhirnya diperoleh persamaan iterasi pada
metode Newton-Raphson. Persamaan iterasi
yang digunakan pada metode Newton-Raphson
adalah
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛 )
𝑓′ 𝑥𝑛 ; 𝑛 = 0, 1,2, ⋯.
12
12
Berikut ini algoritme yang akan
digunakan untuk menentukan program dengan
metode Newton-Raphson.
Algoritme 1: Metode Newton-Raphson
Input: 𝑓(𝑥), nilai awal 𝑥0, batas toleransi 𝑇,
dan maksimum iterasi 𝑁.
Output: 𝛼 sehingga 𝑓 𝛼 = 0. Langkah-langkah:
i. Set penghitung iterasi 𝑖 = 1,
ii. WHILE 𝑖 ≤ 𝑁 DO
a. Menghitung
𝑥 = 𝑥0 −𝑓 𝑥0
𝑓′ 𝑥0 .
b. IF 𝑥 − 𝑥0 < 𝑇, THEN set 𝛼 = 𝑥; go to
STOP.
c. Tambah penghitung iterasi 𝑖 = 𝑖 + 1
d. Set 𝑥0 = 𝑥 dan 𝑓 𝑥0 = 𝑓 𝑥 .
iii. STOP.
3.1.2 Metode Tali Busur Metode Tali Busur adalah metode
pencarian akar yang merupakan modifikasi dari
metode Newton-Raphson. Pada metode
Newton-Raphson hampiran akar diperoleh
dengan mencari titik potong garis singgung
kurva di titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dengan sumbu-𝑥.
Pada metode Tali Busur hampiran akarnya
diperoleh dengan menggunakan tali busur yang
melalui titik 𝑥𝑛−1 , 𝑓 𝑥𝑛−1 dan 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛
sebagai hampiran 𝑓(𝑥) dan mencari titik
potongnya dengan sumbu-x (Atkinson & Han
2003).
Persamaan iterasi metode Newton-
Raphson yang menggunakan fungsi turunan
𝑓(𝑥) dimodifikasi sehingga tidak harus
menggunakan fungsi turunannya. Metode Tali
Busur di atas menggambarkan pencarian akar jika dilihat dari grafik iterasinya, dapat
dilakukan dengan cara sebagai berikut.
Langkah pertama adalah memilih dua nilai
awal 𝑥0 dan 𝑥1. Dari sini tarik tali busur yang
melewati dua titik awal 𝑥0 ,𝑓(𝑥0) dan 𝑥1 , 𝑓(𝑥1) , sehingga diperoleh hampiran akar
pertama, misal 𝑥2 yang merupakan titik potong
kedua titik dengan sumbu-𝑥. Hampiran akar
kedua, misal 𝑥3 diperoleh dengan cara menarik
tali busur yang melewati dua titik 𝑥1 , 𝑓(𝑥1)
dan 𝑥2 , 𝑓(𝑥2) . Demikian seterusnya sampai
diperoleh hampiran akar yang paling dekat
dengan akar sebenarnya. Ilustrasi penjelasan ini
dapat dilihat pada gambar berikut
Gambar 2 Grafik iterasi metode Tali Busur.
Untuk memeroleh persamaan iterasi
dengan interpolasi linear gunakan absis titik
potong tali busur dari garis lurus yang melalui
titik 𝑥𝑛 , 𝑓 𝑥𝑛 dan (𝑥𝑛−1 , 𝑓(𝑥𝑛−1)) dengan
sumbu-𝑥. Karena gradien garis busur yang
melalui titik tersebut adalah 𝑓 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑥𝑛 −𝑥𝑛−1, maka
dengan interpolasi linear diperoleh persamaan
tali busurnya
𝑦 − 𝑓 𝑥𝑛 =𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑥 − 𝑥𝑛 .
Hampiran akar diperoleh dengan mencari titik
potong kurva dengan sumbu-𝑥, artinya titik
(𝑥𝑛+1 , 0) yang memenuhi persamaan di atas,
sehingga diperoleh
0 − 𝑓 𝑥𝑛 =𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1)
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 ,
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
= 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛 )
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓(𝑥𝑛−1)𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
= 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛 )
𝑓 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛
= 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛 )
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 .
Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode
Tali Busur. Cara lain untuk memeroleh persamaan
iterasi metode tali busur adalah melalui
modifikasi persamaan iterasi metode Newton-
Raphson. Menurut definisi turunan, 𝑓′ 𝑥 dapat
dituliskan
𝑓′ 𝑥 = lim→0
𝑓 𝑥 + − 𝑓(𝑥)
,
untuk yang sangat kecil,
𝑓′ 𝑥 ≈𝑓 𝑥 + − 𝑓(𝑥)
,
13
13
misalkan 𝑥 = 𝑥𝑛 dan = 𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛 , diperoleh
𝑓′ 𝑥𝑛 ≈𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓(𝑥𝑛 )
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
=𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑥𝑛−1 − 𝑥𝑛
= 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 . Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode
Tali Busur. Persamaan iterasi metode Tali
Busur adalah
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛 )
𝑓[𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 ]. 13
Persamaan di atas diperoleh melalui dua cara,
yaitu melalui interpolasi linear dan modifikasi
metode Newton-Raphson.
Berdasarkan prosedur pencarian akar
dengan metode iteratif, untuk menentukan akar
dengan metode ini diperlukan nilai awal dan persamaan iterasi. Metode Tali Busur
memerlukan dua nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1.
Persamaan iterasi yang digunakan adalah
persamaan (13).
Berikut ini algoritme yang akan
digunakan untuk menentukan program dengan
metode Tali Busur.
Algoritme 2: Metode Tali Busur
Input: 𝑓(𝑥), nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1, batas
toleransi 𝑇, dan maksimum iterasi 𝑁. Output: 𝛼 sehingga 𝑓 𝛼 = 0. Langkah-langkah:
i. Set 𝑖 = 2, 𝑞0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑞1 = 𝑓 𝑥1 ,
ii. WHILE 𝑖 ≤ 𝑁 DO
a. Menghitung
𝑥 = 𝑥1 −𝑞1
𝑞1 − 𝑞0
𝑥1 − 𝑥0 .
b. IF 𝑥 − 𝑥1 < 𝑇, THEN set 𝛼 = 𝑥; go
to STOP.
c. Tambah penghitung iterasi 𝑖 = 𝑖 + 1
d. Set 𝑥0 = 𝑥1 , 𝑥1 = 𝑥, 𝑞0 = 𝑞1, dan
𝑞1 = 𝑞,
iii. STOP.
3.1.3 Generalisasi Metode Tali Busur
Pada subbab 3.1.1 dan 3.1.2 telah
dibahas metode Newton-Raphson dan metode
Tali Busur. Metode Newton-Raphson
memunyai kekonvergenen yang relatif cepat untuk menentukan akar, namun memerlukan
iterasi turunan fungsi (Sahid 2005). Dengan
memodifikasi persamaan iterasi metode
Newton-Raphson diperoleh metode Tali Busur
yang tidak harus menggunakan turunan 𝑓(𝑥),
namun metode Tali Busur ini memunyai
kekonvergenan yang relatif lebih lambat
dibandingkan metode Newton-Raphson (Sahid
2005). Oleh karena itu, diperlukan metode lain
untuk menentukan akar yang memunyai
kekonvergenan mendekati metode Newton-
Raphson tetapi tidak harus menggunakan
turunan 𝑓(𝑥) seperti metode Tali Busur (Sidi
2007). Persamaan iterasi metode Tali Busur
diperoleh dengan menggunakan interpolasi
polinomial Newton untuk 𝑘 = 1.
Pada bagian ini akan dibahas
generalisasi metode Tali Busur, yaitu metode
pencarian akar dengan menggunakan
interpolasi polinomial Newton derajat 𝑘 dengan
𝑘 > 1. Generalisasi metode Tali Busur ini tidak
memerlukan turunan 𝑓(𝑥), tetapi memerlukan
nilai awal sebanyak 𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2, dan sama-
sama tidak harus menggunakan turunan 𝑓(𝑥)
per iterasi.
Selanjutnya akan dibahas penurunan
persamaan iterasi metode ini. Persamaan iterasi
generalisasi metode Tali Busur adalah
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓(𝑥𝑛 )
𝑝𝑛 ,𝑘′ (𝑥𝑛)
; 𝑛 = 𝑘, 𝑘 + 1, ⋯ . (14)
Persamaan di atas diperoleh melalui modifikasi
metode Tali Busur yaitu dengan mengganti
selisih terbagi pertama 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 dengan
selisih terbagi ke-𝑘 dari turunan interpolasi
polinomial Newton 𝑝𝑛 ,𝑘 dengan 𝑘 ≥ 2.
Lema 9 (Turunan Polinomial)
Misalkan 𝑝𝑛 ,𝑘 merupakan polinomial yang
menginterpolasikan fungsi 𝑓 pada 𝑘 + 1 titik,
yaitu 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , maka turunan
polinomial tersebut adalah 𝑝𝑛 ,𝑘
′ 𝑥𝑛
= 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1
+ 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 ,⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑗 .
𝑖−1
𝑗=1
𝑘
𝑖=2
Pada karya ilmiah ini hanya dibatasi sampai
𝑘 = 2 yaitu
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 =
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 .
Bukti: Adapun penurunan persamaan (14) adalah sebagai berikut.
14
14
Dari Teorema 4 diketahui persamaan interpolasi polinomial Newton yang menginterpolasikan
fungsi 𝑓 pada titik 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 adalah
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑗 .
𝑖−1
𝑗 =0
𝑘
𝑖=1
Untuk menurunkan 𝑝𝑛 ,𝑘 (𝑥), akan dijabarkan terlebih dulu, yaitu
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1
+ 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 + ⋯+ 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .
Jika penjabaran persamaan tersebut diturunkan akan diperoleh
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥 = 0 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥 − 𝑥𝑛−1
+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2
+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , 𝑥𝑛−3 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 + ⋯
+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2
+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+3 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯
+𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .
Misalkan 𝑥 = 𝑥𝑛 , sehingga diperoleh persamaan 𝑝𝑛 ,𝑘
′ 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
+𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, 𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 ,𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, 𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 ,⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2
+𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯ +𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1
+𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2, ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 ,𝑥𝑛−3 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1, 𝑥𝑛−2 ,⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 , atau
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑖 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑗 .
𝑖−1
𝑗 =1
𝑘
𝑖=2
Untuk 𝑘 = 1 diperoleh 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 yaitu merupakan selisih terbagi pertama yang
digunakan dalam metode Tali Busur. Sedangkan untuk 𝑘 ≥ 2 metode yang digunakan adalah
generalisasi metode Tali Busur.
Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat
selisih terbagi. Adapun sifat-sifatnya antara
lain:
i. Dapat ditentukan secara rekursif. (berdasarkan Definisi 10)
ii. Simetris.
Misalkan 𝑠1 , 𝑠2 , ⋯ , 𝑠𝑘+1 menyatakan
permutasi dari indeks 1,2, … , 𝑘 + 1 suatu
simpul pada selisih terbagi, maka untuk sebarang indeks selisih terbagi berlaku
𝑓 𝑥𝑠1, 𝑥𝑠2
, ⋯ , 𝑥𝑠𝑘+1 = 𝑓 𝑥𝑠𝑘+1
, ⋯ , 𝑥𝑠2, 𝑥𝑠1
.
(bukti disajikan pada Teorema 2) iii. Dapat dinyatakan dalam turunan.
Jika 𝑓𝑘 kontinu pada 𝐼 dan
𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 adalah 𝑘 + 1 titik pada 𝐼,
maka ada 𝜉 pada 𝐼, yang mengakibatkan
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1,⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , 𝑥 =1
(𝑘 + 1)!𝑓(𝑘+1) 𝜉 .
(bukti disajikan pada Lema 4)
Selanjutnya akan dibahas penyajian selisih
terbagi. Selisih terbagi yang diperoleh pada
proses iterasi ke-nol, disimpan dalam tabel
selisih terbagi, dapat yang kemudian akan
digunakan untuk menentukan selisih terbagi
pertama. Selisih terbagi pertama disimpan
dalam tabel selisih terbagi yang kemudian
digunakan untuk menentukan selisih terbagi
kedua, dan seterusnya sampai diperoleh selisih
terbagi ke-𝑘 yang diperlukan.
Dengan menggunakan Definisi 10, maka
dapat dibuat tabel selisih terbagi. Untuk 𝑘 = 0
dapat dilihat pada tabel berikut.
15
15
Tabel 1 Selisih terbagi
𝑥0 𝑓0
𝑓01
𝑥1 𝑓1 𝑓012
𝑓12 𝑓0123
𝑥2 𝑓2 𝑓123
𝑓23 𝑓1234
𝑥3 𝑓3 𝑓234
𝑓34 𝑓2345
𝑥4 𝑓4 𝑓345
𝑓45 𝑓3456
𝑥5 𝑓5 𝑓456
𝑓56 𝑓4567
𝑥6 𝑓6 𝑓567
𝑓67
𝑥7 𝑓7
Keterangan:
𝑓𝑖 ,𝑖+1,…,𝑚 = 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , . . . , 𝑥𝑚 . Tabel di atas berisi nilai-nilai selisih terbagi
{𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥7}, nilai-nilai tersebut akan
digunakan untuk menghitung 𝑥8.
Selain itu, pada Tabel 1 tidak perlu lagi
dihitung berulang-ulang dari awal setiap iterasi,
yang diperlukan adalah menambahkan diagonal
baru di bagian bawah tabel yang ada. Untuk
melihat hal ini, akan diberikan contoh sebagai
berikut: misalkan 𝑘 = 3 dan hampiran 𝑥𝑖 ,dengan 𝑖 = 0, 1, . . . , 7 telah dihitung. Untuk
menghitung 𝑥8 akan digunakan nilai-nilai yang
telah diperoleh pada Tabel 1 dan dengan
menggunakan persamaan (14), akhirnya
diperoleh
𝑥8 = 𝑥7 −𝑓 𝑥7
𝑝7,3′ 𝑥7
= 𝑥7 −𝑓7
𝑓67 + 𝑓567 𝑥7 − 𝑥6 + 𝑓4567 𝑥7 − 𝑥6 𝑥7 − 𝑥5 .
Untuk menghitung 𝑥9 diperlukan selisih
terbagi dari 𝑓8, 𝑓78 , 𝑓678 , 𝑓5678 . Komputasi
pertama 𝑓8 dengan menggunakan 𝑥8, selisih
terbagi ini dapat dihitung dari Tabel 1 melalui hubungan rekursif
𝑓78 =𝑓7 − 𝑓8
𝑥7 − 𝑥8
,
𝑓678 =𝑓67 − 𝑓78
𝑥6 − 𝑥8
,
𝑓5678 =𝑓567 − 𝑓678
𝑥5 − 𝑥8
,
dan ditambahkan ke bagian bawah Tabel 3.
Untuk menghitung 𝑥8, perlu menyimpan nilai
diagonal ini, dan memasukkan 𝑓7 , 𝑓67 , 𝑓567 ,
𝑓4567 . Nilai 𝑥8 dan 𝑓8 dihitung dengan
menggunakan nilai-nilai 𝑓7 , 𝑓67 , 𝑓567 , 𝑓4567
sehingga diperoleh nilai-nilai 𝑓8 , 𝑓78 , 𝑓678 ,
𝑓5678 . Dengan demikian, secara umum untuk
menghitung 𝑥𝑛+1 harus dihitung nilai 𝑥𝑛 dan
perlu menyimpan hasil perhitungan
𝑓𝑛 ,𝑓𝑛−1,𝑛 ,⋯,, 𝑓𝑛−𝑘 ,𝑛−𝑘+1,...,𝑛−1,𝑛 dan
𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , . . . , 𝑥𝑛−𝑘 .
Selanjutnya pembahasan akan dimulai dengan prosedur pencarian akar. Prosedurnya
adalah sebagai berikut.
Prosedur Generalisasi Metode tali Busur
1. Memilih nilai awal, batas toleransi 𝑇, dan
maksimum iterasi 𝑁.
Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , . . . , 𝑥𝑘 adalah nilai awal
dengan 𝑘 ≥ 2, dimulai dengan memisalkan
𝑥0 dan 𝑥1 adalah dua nilai awal yang diberikan. Selanjutnya melakukan proses
iterasi untuk 𝑘 = 1, dengan menggunakan
persamaan (13) untuk menghitung 𝑥𝑘
dengan 𝑘 mulai dari 2, yang akan digunakan
sebagai nilai awal. Pada karya ilmiah ini
nilai awal hanya dibatasi untuk 𝑘 = 2
menggunakan tiga nilai awal, 𝑥0 , 𝑥1 dan 𝑥2. 2. Melakukan proses iterasi dengan persamaan
(14).
Iterasi dilakukan sampai diperoleh
hampiran akar yang paling dekat dengan
akar sebenarnya. Untuk melihat hampiran
akar yang diperoleh telah konvergen, maka
dengan menggunakan batas toleransi 𝑇
untuk menghentikan iterasi. Misalkan
dengan memilih batas toleransi 𝑇 = 0.001,
maka iterasi akan berhenti jika 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 < 𝑇.
Dari sini diperoleh hampiran 𝑥𝑛 merupakan
akar dari persamaan 𝑓(𝑥) = 0.
Berikut ini algoritme yang akan digunakan
untuk menentukan program dengan metode
Tali Busur.
Algoritme 3: Generalisasi Metode Tali Busur
Input: 𝑓(𝑥), nilai awal 𝑥0 dan 𝑥1, batas toleransi 𝑇, dan maksimum iterasi 𝑁. Output: 𝛼 sehingga 𝑓 𝛼 = 0. Langkah-langkah:
16
16
1. Misalkan 𝑞0 = 𝑓 𝑥0 , 𝑞1 = 𝑓 𝑥1 .
Menghitung
𝑥2 = 𝑥1 −𝑞1
𝑞1 − 𝑞0
𝑥1 − 𝑥0 .
2. Set 𝑖 = 2, 𝑞2 = 𝑓 𝑥2 . 3. WHILE 𝑖 ≤ 𝑁 DO
a. Menghitung
𝑥 = 𝑥2 −𝑞2
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 .
b. IF 𝑥 − 𝑥1 < 𝑇, THEN set 𝛼 = 𝑥; go to STOP.
c. Tambah penghitung iterasi 𝑖 = 𝑖 + 1. d. Set 𝑥0 = 𝑥1 , 𝑥1 = 𝑥2 dan 𝑥2 = 𝑥, 𝑞0 = 𝑞1 , 𝑞1 = 𝑞2 dan 𝑞1 = 𝑞,
4. STOP.
3.2 Analisis Kekonvergenan
Analisis kekonvergenan suatu metode pencarian akar dilakukan untuk menentukan
derajat kekonvergenannya. Hal ini dilakukan
karena derajat kekonvergenan menunjukkan
kecepatan dalam menemukan akar, jika derajat
kekonvergenan semakin besar, maka
kecepatannya dalam menemukan akar akan
semakin cepat (Burden & Faires 1993).
Untuk menganalisis kekonvergenan
dapat dilihat dari persamaan galat hampirannya.
Hal ini disebabkan karena galat berhubungan
dengan seberapa dekat akar hampiran terhadap akar sebenarnya. Semakin kecil galatnya, maka
semakin teliti solusi yang diperoleh (Atkinson
& Han 2003).
3.2.1 Kekonvergenan Metode Newton-
Raphson
Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛+1 merupakan
hampiran-hampiran akar yang diperoleh
melalui iterasi berturut-turut dengan
menggunakan persamaan iterasi. Misalkan 𝛼
adalah akar sebenarnya dan 𝜖𝑛 merupakan galat
hampiran pada iterasi ke-𝑛, maka menurut
Definisi 2, 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼, dan
𝜖𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝛼
= 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝛼
= 𝜖𝑛 −𝑓 𝑥𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛
= 𝜖𝑛𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 . (15)
Berdasarkan Definisi 6, 𝑓 𝑥𝑛 − 𝜖𝑛 dapat
diekspansi dalam bentuk deret Taylor, yaitu
𝑓 𝑥𝑛 − 𝜖𝑛 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝜉𝑛
2𝜖𝑛
2
𝑓 𝛼 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝜉𝑛
2𝜖𝑛
2
0 ≈ 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝜉𝑛
2𝜖𝑛
2
0 = 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝜉𝑛
2𝜖𝑛
2
𝜖𝑛𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 =𝑓′′ 𝜉𝑛
2𝜖𝑛
2 ,
di mana 𝜉𝑛 di antara 𝛼 dan 𝑥𝑛 . Selanjutnya
substitusikan persamaan di atas pada
persamaan (15) diperoleh persamaan galat
hampiran ke-𝑛 + 1, yaitu
𝜖𝑛+1 =1
2 𝑓′′ 𝜉𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛
2 .
Misal didefinisikan 𝐶 =1
2
𝑓 ′′ 𝜉𝑛
𝑓 ′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 , maka
persamaan di atas dapat dituliskan
𝜖𝑛+1 = 𝐶𝜖𝑛 . (16)
Untuk membuktikan kekonvergenan terjadi,
tanpa kehilangan perumuman, asumsikan
𝐼 = (𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇) untuk 𝑇 > 0, sehingga
𝑚1 = min𝑥∈𝐼|𝑓′(𝑥)| > 0. Hal ini
dimungkinkan karena 𝛼 ∈ 𝐼 dan 𝑓′ 𝛼 ≠ 0.
Diberikan 𝑀2 = max𝑥∈𝐼 𝑓 2 𝑥
2!, dan pilih
interval 𝐽 = (𝛼 − 𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) ⊂ 𝐼 cukup
kecil untuk memastikan bahwa 𝑚1 > 𝑀2𝑡/2. Selanjutnya akan dibuktikan jika 𝑥𝑛 , untuk
𝑛 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka
𝐶 = 1
2 𝑓′′ 𝜉𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 < 𝐶 < 1,
di mana
𝐶 =𝑀2𝑡/2
𝑚1
.
Karena 𝑥𝑛 ,𝑛 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka
𝛼 − 𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝛼 + 𝑡/2
−𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2
0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2
0 ≤ 𝜖𝑛 ≤𝑡
2, ∀𝑛.
Sehingga 𝐶 dapat dituliskan
17
17
𝐶 = 1
2 𝑓′′ 𝜉𝑛
𝑓′ 𝑥𝑛 𝜖𝑛 <
𝑀2𝑡/2
𝑚1
.
Karena 𝐽 dipilih cukup kecil sehingga berlaku
𝑚1 > 𝑀2𝑡/2, maka diperoleh
𝐶 ≤𝑀2𝑡/2
𝑚1
<𝑚1
𝑚1
= 1.
Dari sini diperoleh 𝜖𝑛+1 < 𝜖𝑛 , ∀𝑛 atau 𝜖𝑛 𝑛=0
∞ barisan turun. Karena 𝜖𝑛 𝑛=0∞
barisan turun dan terbatas di bawah, maka 𝜖𝑛 𝑛=0
∞ konvergen. Dari persamaan (16)
diketahui
𝜖𝑛+1 = 𝐶𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶 𝜖𝑛 .
Untuk 𝑛 = 1, diperoleh
𝜖2 ≤ 𝐶 𝜖1 . Untuk 𝑛 = 2, diperoleh
𝜖3 ≤ 𝐶 𝜖2 ≤ 𝐶 2 𝜖1 . Untuk 𝑛 = 3, diperoleh
𝜖4 ≤ 𝐶 𝜖3 ≤ 𝐶 3 𝜖1 ⋮
𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝜖𝑛−1 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . Dari sini diperoleh
0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 lim𝑛→∞
0 ≤ lim𝑛→∞
𝜖𝑛 ≤ lim𝑛→∞
𝐶 𝑛−1 𝜖1 .
Karena lim𝑛→∞ 0 = lim𝑛→∞
𝐶𝑛−1 𝜖1 = 0, maka
menurut Teorema Apit lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0. Diketahui
lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0 ⟺ lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0, maka dari sini
diperoleh lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼. Karena 𝜉𝑛 di antara
𝛼 dan 𝑥𝑛 , maka diperoleh
𝛼 < 𝜉𝑛 < 𝑥𝑛
lim𝑛→∞
𝛼 < lim𝑛→∞
𝜉𝑛 < lim𝑛→∞
𝑥𝑛 .
Menurut Teorema Apit, karena
lim𝑛→∞ 𝛼 = lim𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝛼, maka lim𝑛→∞ 𝜉𝑛 = 𝛼.
Dari sini diperoleh
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛2
= 𝑓′′ 𝛼
2𝑓′ 𝛼 .
Menurut Definisi 3, jika 𝑓′ 𝛼 ≠ 0, dan
𝑓′ 𝑥 , 𝑓′′ 𝑥 kontinu pada interval yang
memuat semua 𝑥𝑛 , maka metode Newton-
Raphson akan konvergen ke akar secara
kuadratik (konvergen relatif cepat).
3.2.2 Kekonvergenan Metode Tali Busur
Misalkan 𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑛+1 adalah
hampiran-hampiran akar yang diperoleh
melalui iterasi berturut-turut dengan persamaan
(13). Misalkan juga 𝛼 adalah akar sebenarnya
dan 𝜖𝑛 merupakan galat hampiran pada iterasi
ke-𝑛, maka 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼, dan
𝜖𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝛼,
= 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 − 𝛼
= 𝑥𝑛
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 −
𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 − 𝛼
= 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
− 𝛼𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
=𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 −
𝛼𝑓 𝑥𝑛 − 𝛼𝑓 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
=𝑓 𝑥𝑛 𝑥𝑛−1 − 𝛼 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝛼
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
=𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1 − 𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛𝜖𝑛−1
𝜖𝑛𝜖𝑛−1
= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛−1
𝜖𝑛𝜖𝑛−1−
𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛
𝜖𝑛𝜖𝑛−1
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛𝜖𝑛−1
= 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 𝜖𝑛
−𝑓 𝑥𝑛−1
𝜖𝑛−1
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛𝜖𝑛−1. (17)
Berdasarkan Definisi 6, fungsi 𝑓 𝑥𝑛 dapat
diekspansi dalam bentuk deret Taylor, yaitu
𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝛼 + 𝜖𝑛
≈ 𝑓 𝛼 + 𝑓′ 𝛼 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝛼
2𝜖𝑛
2
atau dapat dituliskan
𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝛼 + 𝑓′ 𝛼 𝜖𝑛 +𝑓′′ 𝛼
2𝜖𝑛
2
𝑓 𝑥𝑛
𝜖𝑛
= 𝑓′ 𝛼 +1
2𝜖𝑛𝑓′′ 𝛼 .
Untuk indeks 𝑛 − 1 diperoleh 𝑓 𝑥𝑛−1
𝜖𝑛−1
= 𝑓′ 𝛼 +1
2𝜖𝑛−1𝑓′′ 𝛼 .
Hasil pengurangan kedua persamaan di atas
menghasilkan 𝑓 𝑥𝑛
𝜖𝑛
−𝑓 𝑥𝑛−1
𝜖𝑛−1
=1
2 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1 𝑓′′ 𝛼 ;
karena 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1, dengan membagi
sisi kiri persamaan di atas dengan 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
dan sisi kanan dengan 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1, maka
diperoleh persamaan 𝑓 𝑥𝑛
𝜖𝑛−
𝑓 𝑥𝑛−1 𝜖𝑛−1
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 =
1
2𝑓′′ 𝛼 . (18)
18
18
Selanjutnya berdasarkan Definisi 10, maka
tanda kurung pertama pada persamaan (17)
dapat dituliskan sebagai 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛−1 =
1
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 . (19)
Dengan menyubstitusikan persamaan (18) dan
(19) pada persamaan (17) diperoleh
𝜖𝑛+1 =1
𝑓 𝑥𝑛,𝑥𝑛−1 12
𝑓′′ 𝛼 𝜖𝑛𝜖𝑛−1
=1
𝑓′ 휁𝑛 1
2𝑓′′ 𝛼 𝜖𝑛𝜖𝑛−1 (20)
di mana 휁𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝑥𝑛−1.
Untuk membuktikan kekonvergenan
terjadi, tanpa kehilangan perumuman,
asumsikan 𝐼 = (𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇) untuk 𝑇 > 0,
sehingga 𝑚1 = min𝑥∈𝐼|𝑓′ (𝑥)| > 0. Hal ini
dimungkinkan karena 𝛼 ∈ 𝐼 dan 𝑓′ 𝛼 ≠ 0.
Diberikan 𝑀2 = max𝑥∈𝐼 𝑓 2 𝑥
2! dan pilih
interval 𝐽 = (𝛼 − 𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) ⊂ 𝐼 cukup
kecil untuk memastikan bahwa 𝑚1 > 𝑀2𝑡/2. Selanjutnya akan dibuktikan jika 𝑥𝑛 ,𝑛 =0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka
𝐷 = 1
2 𝑓′′ 𝛼
𝑓′ 휁𝑛 𝜖𝑛−1 < 𝐶 < 1,
di mana
𝐶 =𝑀2𝑡/2
𝑚1
.
Karena 𝑥𝑛−𝑖 , 𝑖 = 0,1, ⋯ , 𝑘 di 𝐽, maka
𝛼 − 𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝛼 + 𝑡/2
−𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2
0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2
0 ≤ 𝜖𝑛 ≤𝑡
2, ∀𝑛.
Sehingga 𝐷 dapat dituliskan
𝐷 = 1
2 𝑓′′ 𝛼
𝑓′ 휁𝑛 𝜖𝑛−1 <
𝑀2𝑡/2
𝑚1
.
Karena 𝐽 dipilih cukup kecil sehingga berlaku
𝑚1 > 𝑀2𝑡/2, maka diperoleh
𝐶 =𝑀2𝑡/2
𝑚1
<𝑚1
𝑚1
= 1.
Dari sini diperoleh 𝜖𝑛+1 < 𝜖𝑛 , ∀𝑛 atau 𝜖𝑛 𝑛=0
∞ barisan tak naik. Karena 𝜖𝑛 𝑛=0∞
barisan tak naik dan terbatas di bawah, maka
menurut Teorema 6 𝜖𝑛 𝑛=0∞ konvergen. Dari
persamaan (16) diketahui
𝜖𝑛+1 = 𝐷𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐷 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 ≤ 𝐶 𝜖𝑛 .
Untuk 𝑛 = 1, diperoleh
𝜖2 ≤ 𝐶 𝜖1 Untuk 𝑛 = 2, diperoleh
𝜖3 ≤ 𝐶 𝜖2 ≤ 𝐶 2 𝜖1 Untuk 𝑛 = 3, diperoleh
𝜖4 ≤ 𝐶 𝜖3 ≤ 𝐶 3 𝜖1 ⋮
𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝜖𝑛−1 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . Dari sini diperoleh
0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 lim𝑛→∞
0 ≤ lim𝑛→∞
𝜖𝑛 ≤ lim𝑛→∞
𝐶 𝑛−1 𝜖1 .
Karena lim𝑛→∞
𝐶 𝑛−1 𝜖1 = 0, maka menurut
Teorema Apit lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0, dan karena
lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0 ⟺ lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0, sehingga dari sini
diperoleh lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼. Akibatnya karena 휁𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan
𝑥𝑛−1, maka diperoleh
𝑥𝑛 < 휁𝑛 < 𝑥𝑛−1
lim𝑛→∞
𝑥𝑛 < lim𝑛→∞
휁𝑛 < lim𝑛→∞
𝑥𝑛−1 .
Menurut Teorema Apit, karena
lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = lim𝑛→∞
𝑥𝑛−1 = 𝛼, maka lim𝑛→∞ 휁𝑛
= 𝛼.
Dari sini diperoleh
𝜖𝑛+1 =1
𝑓′ 𝛼
12
𝑓′′ 𝛼 𝜖𝑛𝜖𝑛−1.
Selanjutnya akan ditentukan derajat
kekonvergenannya. Misalkan 𝜖𝑛+1
𝜖𝑛 𝑠1= 𝐶
di mana 𝑠1 adalah derajat kekonvergenan dan 𝐶 konstanta galat asimptotik, atau dapat juga
dituliskan 𝑥𝑛+1 − 𝛼 = 𝐶 𝑥𝑛 − 𝛼 𝑠1 .
Persamaan di atas akan digunakan untuk
menentukan derajat kekonvergenan metode ini.
3.2.3 Kekonvergenan Generalisasi Metode
Tali Busur
Selanjutnya akan dibahas analisis
barisan akar 𝑥𝑛 𝑛=0∞ yang dihasilkan melalui
persamaan iterasi generalisasi metode tali
Busur. Kekonvergenan ini dapat dilihat pada
Teorema 12 berikut.
Teorema 12 (Kekonvergenan Generalisasi
Metode Tali Busur)
Diberikan 𝛼 merupakan solusi dari persamaan
𝑓(𝑥) = 0 dan 𝜖𝑛 menyatakan galat hampiran
ke-𝑛. Asumsikan 𝑓 ∈ 𝐶𝑘+1(𝐼), di mana 𝐼
interval terbuka yang mengandung 𝛼 dan
asumsikan juga 𝑓′ 𝛼 ≠ 0. Diberikan
𝑥0 , 𝑥1 , ⋯ , 𝑥𝑘 merupakan nilai awal, dan
menghasilkan 𝑥𝑛 , 𝑛 = 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, …, dengan
persamaan iterasi
19
19
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
;
di mana 𝑛 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2, . .., maka barisan 𝑥𝑛 𝑛=0
∞ yang dihasilkan konvergen ke 𝛼, dan
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
= −1 𝑘+1
𝑘 + 1 ! 𝑓𝑘+1 𝛼
𝑓′ 𝛼 ≡ 𝐿;
𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼, ∀𝑛 . Misalkan 𝑠𝑘 adalah derajat kekonvergenan, dan
1 < 𝑠𝑘 < 2, di mana 𝑠𝑘 merupakan akar positif
dari 𝑠𝑘+1 = 𝑠𝑖𝑘𝑖=0 dan sesuai persamaan
2 − 2 –𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 untuk 𝑘 ≥ 2; 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1; lim
𝑘→∞𝑠𝑘 = 2,
di mana e adalah basis logaritma natural dan
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 ∕𝑘 .
(Sidi 2007)
Bukti: (disajikan pada Lampiran 1) Dari Teorema 12 diketahui bahwa
kekonvergenan generalisasi metode Tali Busur
relatif lebih cepat dibandingkan dengan metode
Tali Busur dan relatif sama dengan metode
Newton-Raphson. Derajat kekonvergenan
generalisasi metode Tali Busur ini bergantung
pada 𝑘 nilai awal yang ditentukan. Semakin
besar 𝑘, maka derajat kekonvergenan metode
ini semakin mendekati kuadratik (Sidi 2007).
Hal ini tidaklah selalu benar, sangat tergantung pada pemilihan nilai awal.
3.3 Contoh Numerik
Pada subbab ini akan diterapkan
generalisasi metode Tali Busur, di mana
metode ini hanya menggunakan nilai awal
sampai 𝑘 = 2 atau penggunaan selisih terbagi
hanya sampai yang kedua. Hal ini dilakukan
untuk memermudah analisis
kekonvergenannya. Sebagai pembanding untuk
melihat kecepatan kekonvergenannya akan digunakan metode lain, yaitu metode Newton-
Raphson dan metode Tali Busur.
Dengan menggunakan algoritme
pencarian akar yang telah ditentukan
sebelumnya, diperoleh program pencarian akar
dengan metode Newton-Raphson, metode Tali
Busur dan generalisasi metode Tali Busur.
Ketiga program ini digunakan untuk
menentukan akar 𝑓(𝑥). Contohnya untuk
menentukan akar dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2𝑒𝑥 2−2 − 1, yang solusinya adalah 𝛼 = 0.866873543487685.
3.3.1 Contoh dengan Metode Newton-
Raphson
Algoritme 1 akan diimplementasikan
dalam program pencarian akar dengan
menggunakan software Matlab. Program
disajikan pada Lampiran 2 untuk menentukan
akar dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2𝑒𝑥2−2 − 1 dengan
solusi 𝛼 = 0.866873543487685, dan nilai
awal 𝑥0 = 0.1, maksimum iterasi 𝑁 = 100, dan
batas toleransi 𝑇 = 10−10 . Hasil perhitungan iterasinya dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 2 Ilustrasi metode Newton-Raphson
Iterasi
Ke- Akar dari 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐𝒆𝒙𝟐−𝟐 − 𝟏
Hampiran akar Selisih mutlak hampiran
1 2.600218575884343 2.500218575884343
2 2.426600259970995 0.173618315913348
3 2.242991672103380 0.183608587867615
4 2.047916317598964 0.195075354504416
5 1.840004601601038 0.207911715997926
6 1.618989165091132 0.221015436509906
7 1.388668006975518 0.230321158115614
8 1.164100012889030 0.224567994086488
9 0.981747018725197 0.182352994163833
10 0.886763397414741 0.094983621310456
11 0.867518289880120 0.019245107534621
12 0.866874231824007 0.000644058056113
13 0.866873543488470 0.000000688335537
14 0.866873543487685 0.000000000000785
Akar sebenarnya adalah 𝛼 =0.866873543487685. Hampiran akar yang
diperoleh dari proses iterasi konvergen ke
0.866873543487685. Dari sini terlihat bahwa
tidak ada galat antara akar sebenarnya dengan
hampiran akar. Menurut Definisi 2, besarnya
galat mutlak adalah 𝜖𝑥 = 0.
Selanjutnya dari contoh di atas akan
dipilih beberapa nilai awal lain yang semakin
dekat ke akar sebenarnya. Dari sini akan dilihat
pengaruh semakin dekat nilai awal yang pilih
ke akar sebenarnya dengan kecepatan
kekonvergenan ke akar sebenarnya. Hal ini
dilihat dari semakin sedikit iterasi yang
dibutuhkan untuk mencapai kekonvergenannya.
Hasil ini dapat dilihat pada tabel berikut.
20
20
Tabel 3 Perubahan nilai awal terhadap
banyaknya iterasi pada metode
Newton-Raphson
No Nilai awal
𝒙𝟎
Banyaknya
iterasi
1 0.1 14
2 0.2 11
3 0.3 10
4 0.4 8
5 0.5 7
6 0.6 6
7 0.7 6
8 0.8 5
Dari tabel di atas, diketahui bahwa
semakin dekat nilai awal yang dipilih ke akar sebenarnya, maka iterasi yang perlu dilakukan
semakin sedikit atau hampiran akar yang
diperoleh semakin cepat konvergen ke akar
sebenarnya.
3.3.2 Contoh dengan Metode Tali Busur
Dengan menggunakan Algoritme 2 dapat
diperoleh program metode Tali Busur. Program
disajikan pada Lampiran 3 untuk menentukan
akar dari 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2𝑒𝑥2−2 − 1 dengan
solusi 𝛼 = 0.866873543487685, dan nilai
awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2, maksimum iterasi
𝑁 = 100, dan batas toleransi 𝑇 = 10−10 . Hasil perhitungan iterasinya dapat dilihat dalam tabel
berikut.
Tabel 4 Ilustrasi metode Tali Busur
Iterasi
Ke- Akar dari 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐𝒆𝒙𝟐−𝟐 − 𝟏
Hampiran akar Selisih mutlak
hampiran
1 2.329480661498825 2.129480661498825
2 0.204979952966205 2.124500708532620
3 0.209935202802368 0.004955249836163
4 2.068405703134396 1.858470500332028
5 0.226008365937093 1.842397337197304
6 0.241802415334364 0.015794049397271
7 1.954771393830092 1.712968978495728
8 0.266632050737302 1.688139343092790
9 0.290734393114400 0.024102342377099
10 1.777893597293117 1.487159204178716
11 0.336743183019225 1.441150414273891
12 0.379866446228140 0.043123263208915
13 1.509250575181494 1.129384128953354
14 0.478826798989551 1.030423776191944
15 0.560289104098675 0.081462305109124
16 1.128268818527795 0.567979714429120
17 0.739670411338161 0.388598407189634
18 0.816297150429572 0.076626739091411
19 0.878330886413819 0.062033735984248
20 0.865898622003941 0.012432264409878
21 0.866855118153935 0.000956496149994
22 0.866873573260298 0.000018455106364
23 0.866873543486776 0.000000029773523
24 0.866873543487685 0.000000000000909
Akar sebenarnya adalah 𝛼 =0.866873543487685. Hampiran akar yang
diperoleh dari proses iterasi konvergen ke 0.866873543487685. Dari sini terlihat bahwa
tidak ada galat antara akar sebenarnya dengan
hampiran akar. Menurut Definisi 2, besarnya
galat mutlak adalah 𝜖𝑥 = 0.
Untuk menentukan derajat
kekonvergenan, gunakan contoh yang telah
diperoleh pada Tabel 4 dengan 𝛼 =
0.866873543487685. Dari kolom kedua pada Tabel 2 diperoleh 0.011457342926134
= 𝐶 0.050576393058113 𝑠1 0.050576393058113
= 𝐶 0.127203132149524 𝑠1 untuk 𝑛 = 18 dan 𝑛 = 17 berturut-turut.
Dengan membagi kedua persamaan di atas
diperoleh
0.226535389998440 = 0.397603362460146 𝑠1
Dari sini diperoleh derajat kekonvergenan
metode Tali Busur, yaitu log 0.226535389998440
log 0.397603362460146 = 𝑠1
= 1.609946373008582 ⋯.
21
21
Nilai ini hampir sama dengan nilai eksak
𝑠1 = 1.618 ⋯ (Sahid 2005). Kecepatan dalam
mencapai kekonvergenan pada metode Tali
Busur ini, secara umum berada di antara
metode Bagi Dua (linear) dan metode Newton-
Raphson (kuadratik).
Dari analisis kekonvergenan metode
Newton-Raphson dan metode Tali Busur,
diketahui bahwa metode Newton-Raphson
memunyai derajat kekonvergenan yang lebih besar atau lebih cepat konvergen ke akar.
Dari ilustrasi di atas menunjukkan
bahwa metode Tali Busur tidak lebih cepat
konvergen ke akar dibandingkan dengan
metode Newton-Raphson. Akan tetapi, hal ini
tidaklah selalu benar, sangat tergantung pada
pemilihan nilai awal.
Selanjutnya dari contoh di atas akan
dipilih beberapa nilai awal lain yang semakin
dekat ke akar sebenarnya. Dari sini akan dilihat
pengaruh semakin dekat nilai awal yang pilih ke akar sebenarnya dengan kecepatan
kekonvergenan ke akar sebenarnya. Hal ini
dilihat dari semakin sedikit iterasi yang
dibutuhkan untuk mencapai kekonvergenannya.
Hasil ini dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 5 Perubahan nilai awal terhadap
banyaknya iterasi pada metode Tali
Busur
No Nilai Awal Banyaknya
Iterasi 𝑥0 𝑥1
1 0.1 0.2 24
2 0.2 0.3 16
3 0.3 0.4 12
4 0.4 0.5 10
5 0.5 0.6 9
6 0.6 0.7 8
7 0.7 0.8 6
Dari tabel di atas, diketahui bahwa semakin dekat nilai awal yang dipilih ke akar
sebenarnya, maka iterasi yang perlu dilakukan
semakin sedikit atau hampiran akar yang
diperoleh semakin cepat konvergen ke akar
sebenarnya.
3.3.3 Contoh dengan Generalisasi Metode
Tali Busur
Dengan menggunakan Algoritme 3 dapat
diperoleh program generalisasi metode Tali
Busur. Program disajikan pada Lampiran 4
untuk menentukan akar dari 𝑓(𝑥) =
(𝑥 + 1)2𝑒𝑥2−2 − 1, yang solusinya adalah
𝛼 = 0.866873543487685, dengan nilai awal
𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2, maksimum iterasi
𝑁 = 100, dan batas toleransi 𝑇 = 10−10 . Hasil perhitungan iterasi metode ini dapat dilihat
dalam tabel berikut.
Tabel 6 Ilustrasi generalisasi metode Tali Busur
Iterasi
ke- Akar dari 𝒇(𝒙) = (𝒙 + 𝟏)𝟐𝒆𝒙𝟐−𝟐 − 𝟏
Hampiran akar Selisih mutlak
hampiran
1 1.241618118582198 1.087862542916627
2 1.222380906028619 0.019237212553579
3 1.091121603581428 0.131259302447191
4 0.976234727891453 0.114886875689975
5 0.908803572894221 0.067431154997232
6 0.875828727133999 0.032974845760222
7 0.867664390677719 0.008164336456280
8 0.866888736538335 0.000775654139384
9 0.866873569065500 0.000015167472835
10 0.866873543488509 0.000000025576992
11 0.866873543487685 0.000000000000824
Akar sebenarnya adalah 𝛼 =
0.866873543487685. Hampiran akar yang
diperoleh dari proses iterasi konvergen ke
0.866873543487685. Dari sini terlihat bahwa tidak ada galat antara akar sebenarnya dengan
hampiran akar. Menurut Definisi 2, besarnya
galat mutlak adalah 𝜖𝑥 = 0.
Langkah-langkah yang akan dilakukan
adalah sebagai berikut. Langkah pertama
adalah memilih dua nilai awal 𝑥0 = 0.1 dan
𝑥1 = 0.2, kemudian menghitung 𝑥2 menggunakan metode Tali Busur, yaitu
𝑥2 = 𝑥1 −𝑓 𝑥1
𝑓 𝑥0 , 𝑥1 .
Dari sini diperoleh tiga nilai awal, yaitu
𝑥0 = 0.1, 𝑥1 = 0.2 dan 𝑥2 = 2.329480661498825
yang akan digunakan untuk menentukan
hampiran akar selanjutnya. Hampiran
selanjutnya 𝑥3 , 𝑥4 , ⋯ diperoleh dengan
persamaan 𝑥𝑛+1
= 𝑥𝑛
−𝑓 𝑥𝑛
𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 ,𝑥𝑛−2 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ,
untuk 𝑛 = 2,3, ….
Hasil perhitungan ini dapat dikonfirmasi pada Tabel 6, untuk memverifikasi hasil teoritis
tentang metode iteratif dengan ketelitian yang
lebih besar, perlu menggunakan komputer
22
22
aritmatika presisi yang tinggi (lebih baik,
presisi variabel, jika tersedia).
Beralih pada analisis kekonvergenan
generalisasi metode Tali Busur, dari Lampiran
4 diketahui bahwa generalisasi metode Tali
Busur hanya memerlukan 11 iterasi untuk
mencapai kekonvergenan. Pada Lampiran 2,
yaitu menggunakan metode Newton–Raphson
memerlukan 14 iterasi. Dari sini terlihat bahwa
generalisasi metode Tali Busur memiliki
derajat kekonvergenan yang relatif hampir sama dengan metode Newton-Raphson. Dari
Teorema 12 diperoleh
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛𝜖𝑛−1𝜖𝑛−2
= −1 3
3!
𝑓(3) 0.8669.
𝑓′ 0.8669.
= −0.010308 ⋯ dan
lim𝑛→∞
log 𝜖𝑛+1/𝜖𝑛
log 𝜖𝑛/𝜖𝑛−1 = 𝑠2
= 1.628536084576705 ⋯. Nilai ini tidak jauh berbeda dengan nilai eksak
𝑠2 ≈ 1.63 ⋯ (Sidi 2007). Derajat kekonvergenan ini di antara metode Tali Busur
(𝑠1 ≈ 1.60 ⋯) dan metode Newton-Raphson
(kuadratik).
Program yang digunakan diperoleh
dengan menggunakan software Matlab.
Perhitungan dengan menggunakan program
memiliki keakuratan yang baik. Karena
hampiran akar yang diperoleh sama dengan
akar sebenarnya, maka generalisasi metode Tali
Busur ini memiliki galat hampiran yang hampir
nol, atau persentase tingkat kesalahannya nol persen.
Selanjutnya dari contoh di atas akan
dipilih beberapa nilai awal lain yang semakin
dekat ke akar sebenarnya. Dari sini akan dilihat
pengaruh semakin dekat nilai awal yang pilih
ke akar sebenarnya dengan kecepatan
kekonvergenan ke akar sebenarnya. Hal ini
dilihat dari semakin sedikit iterasi yang
dibutuhkan untuk mencapai kekonvergenannya.
Hasil ini dapat dilihat pada tabel berikut.
Tabel 7 Perubahan nilai awal terhadap banyaknya iterasi pada GMTB
No Nilai Awal Banyaknya
Iterasi 𝑥0 𝑥1
1 0.1 0.2 11
2 0.2 0.3 10
3 0.3 0.4 8
4 0.4 0.5 7
5 0.5 0.6 7
6 0.6 0.7 6
7 0.7 0.8 5
Dari tabel di atas, diketahui bahwa
semakin dekat nilai awal yang dipilih ke akar
sebenarnya, maka iterasi yang perlu dilakukan
semakin sedikit atau hampiran akar yang diperoleh semakin cepat konvergen ke akar
sebenarnya.
Selanjutnya akan dibahas perbandingan
antara metode Newton-Raphson, metode Tali
Busur dan generalisasi metode Tali Busur.
Perbandingan ketiga metode ini dapat dilihat
dalam tabel berikut.
23
23
Tabel 8 Hasil perolehan akar dari fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 2𝑒𝑥2−2 − 1 dengan metode Newton-
Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi Metode Tali Busur .
Iterasi
ke Metode Newton-Raphson Metode Tali Busur
Generalisasi Metode Tali
Busur
1 2.600218575884343 2.329480661498825 1.241618118582198
2 2.426600259970995 0.204979952966205 1.222380906028619
3 2.242991672103380 0.209935202802368 1.091121603581428
4 2.047916317598964 2.068405703134396 0.976234727891453
5 1.840004601601038 0.226008365937093 0.908803572894221
6 1.618989165091132 0.241802415334364 0.875828727133999
7 1.388668006975518 1.954771393830092 0.867664390677719
8 1.164100012889030 0.266632050737302 0.866888736538335
9 0.981747018725197 0.290734393114400 0.866873569065500
10 0.886763397414741 1.777893597293117 0.866873543488509
11 0.867518289880120 0.336743183019225 0.866873543487685
12 0.866874231824007 0.379866446228140
13 0.866873543488470 1.509250575181494
14 0.866873543487685 0.478826798989551
15 0.560289104098675
16 1.128268818527795
17 0.739670411338161
18 0.816297150429572
19 0.878330886413819
20 0.865898622003941
21 0.866855118153935
22 0.866873573260298
23 0.866873543486776
24 0.866873543487685
Dari Tabel 8 terlihat bahwa generalisasi
metode Tali Busur memiliki kekonvergenan
yang relatif lebih cepat dibandingkan dengan
metode Tali Busur dan relatif sama dengan
metode Newton-Raphson.
IV SIMPULAN
Dari analisis kekonvergenan diketahui
bahwa kekonvergenan barisan hampiran akar
yang diperoleh dengan generalisasi metode Tali
Busur relatif cepat. Derajat kekonvergenan generalisasi
metode Tali Busur untuk nilai awal sampai
𝑘 = 2 adalah 𝑠2 = 1.63 ⋯, ini lebih besar dari
pada metode Tali Busur yang memiliki
kekonvergenan 𝑠1 = 1.60 ⋯ dan semakin
mendekati kekonvergenan metode Newton-
Raphson dengan semakin besarnya 𝑘. Kecepatan kekonvergenan metode-metode
tersebut dipengaruhi oleh nilai awal yang
ditentukan, semakin dekat nilai awal yang
dipilih dengan akar sebenarnya, maka metode
pencarian akar tersebut akan semakin cepat.
24
24
V DAFTAR PUSTAKA
Atkinson KE. & Weimin Han. 2003.
Elementary Numerical Analysis, second
edition. Singapore: John Wiley & Sons,
Inc.
Bartle RG. 1964. The Element of Real
Analysis. New York: John Wiley &
Sons, Inc.
Burden RL. & J. Douglas Faires. 1993.
Numerical Analysis, fifth edition.
Boston: PWA-KENT Publishing Company..
Cheney W. & D. Kincaid. 1994. Numerical
Mathematics and Computing, third
edition. California: Brooks/Cole
Publishing Co., Pacific Grove.
Goldberg RR. 1976. Methods of Real Analysis,
second edition. New York: John Wiley
& Sons, Inc.
Munir R. 2003. Metode Numerik. Bandung:
Penerbit Informatika.
Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik
dengan Matlab. Yogyakarta: Penerbit
Andi.
Sidi Avram. 2007. Generalization of the
Secant Method for Nonlinear Equations: Applied Mathematics E-Notes, 8(2008),
115-123.
Traub JF. 1964. Iterative Methods for the
Solution of Equations. Englewood
Cliffts, N.J: Prentice Hall, Inc.
26
26
Lampiran 1 Pembuktian Teorema 12
Akan dibuktikan:
i. Barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke 𝛼
ii. li𝑚𝑛→∞𝜖𝑛 +1
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
= −1 𝑘+1
𝑘+1 !
𝑓(𝑘+1) 𝛼
𝑓 ′ 𝛼 ≡ 𝐿;
iii. 2 − 2−𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2−𝑘−1; untuk 𝑘 ≥ 2; 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1; lim
𝑘→∞𝑠𝑘 = 2
iv. lim𝑛→∞ 𝜖𝑛 +1
𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 /𝑘
Bukti:
i. Akan dibuktikan: barisan 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke 𝛼.
⟺ lim𝑛→∞
𝑥𝑛 = 𝛼
⟺ lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0 karena 𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼 .
Penyelesaian:
Dimulai dengan menurunkan persamaan galat hampiran 𝑥𝑛+1. Karena 𝑓 𝛼 = 0 diperoleh
𝑓 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼
=𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼
𝑥𝑛 − 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼
= 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 . Misalkan 𝜖𝑛 menyatakan galat hampiran pada iterasi ke-𝑛 dan 𝛼 adalah akar sebenarmya, maka
𝜖𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝛼 dan
𝜖𝑛+1 = 𝑥𝑛+1 − 𝛼
= 𝑥𝑛 − 𝛼 −𝑓 𝑥𝑛
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
= (𝑥𝑛 − 𝛼) −𝑓(𝑥𝑛 )
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
= 𝑥𝑛 − 𝛼 −𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
𝑥𝑛 − 𝛼
= 1 −𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
𝑥𝑛 − 𝛼
=𝑝𝑛 ,𝑘
′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
𝑥𝑛 − 𝛼 . (21)
Selanjutnya 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 pada persamaan di atas dapat dijabarkan sebagai berikut
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 = 𝑝𝑛 ,𝑘
′ 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 +𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼
= 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛
(1)
+ 𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 (2)
. (22)
Sisi kanan dari persamaan (22) dapat dibagi menjadi dua bagian, bagian kedua dari sisi kanan dapat
dituliskan sebagai berikut
𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 = 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 (karena Teorema 3)
=𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼
𝑥𝑛 − 𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼
= 𝑓 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 ,𝛼 𝑥𝑛 − 𝛼 (karena Definisi 10)
=𝑓 2 휂𝑛
2! 𝑥𝑛 − 𝛼 , (karena Lema 4)
untuk 휂𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝛼. Bagian pertama dari sisi kanan persamaan (22) dapat dituliskan sebagai berikut
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓′ 𝑥𝑛 = − 𝑓′ 𝑥𝑛 − 𝑝𝑛 ,𝑘
′ 𝑥𝑛 .
Dari Lema 3 diperoleh persamaan galat interpolasi, yaitu
27
27
𝑓 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 =𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
=𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 .
Sehingga turunannya adalah
𝑓′ 𝑥 − 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥 =
𝑓 𝑘+1 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯
+𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘
+𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 .
Untuk 𝑥 = 𝑥𝑛 , diperoleh
𝑓 ′ 𝑥𝑛 − 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 =
𝑓 𝑘+1 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1 + ⋯
+𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 +
𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘
=𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘
=𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑖 ,
𝑘
𝑖=1
(23)
untuk 𝜉𝑛 di antara 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 .
Karena 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 = 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−1, hal ini mengakibatkan 𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 pada persamaan (22)
dapat didefinisikan menjadi
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼 = −
𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛
𝑘 + 1 ! 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 +
𝑓 2 휂𝑛
2! 𝜖𝑛 . (24)
𝑘
𝑖=1
Sehingga dengan menyubstitusikan persamaan (23) dan (24) pada persamaan (21) diperoleh
𝜖𝑛+1 =−
𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛 𝑘 + 1 !
𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 +𝑓 2 휂𝑛
2! 𝜖𝑛𝑘𝑖=1
𝑓′ 𝑥𝑛 −𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛 𝑘 + 1 !
𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 𝑘𝑖=1
𝜖𝑛 .
Selanjutnya definisikan
𝐷 𝑛 = −𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛
𝑘 + 1 ! dan 𝐸 𝑛 =
𝑓 2 휂𝑛
2!. (25)
Akhirnya diperoleh
𝜖𝑛+1 = 𝐶𝑛𝜖𝑛 ; di mana 𝐶𝑛 ≡𝑝𝑛 ,𝑘
′ 𝑥𝑛 − 𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
=𝐷 𝑛 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝐸 𝑛 𝜖𝑛
𝑘𝑖=1
𝑓′ 𝑥𝑛 + 𝐷 𝑛 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 𝑘𝑖=1
. (26)
Untuk membuktikan kekonvergenan terjadi, tanpa kehilangan perumuman, asumsikan
𝐼 = (𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇) dengan 𝑇 > 0, sehingga 𝑚1 = min𝑥∈𝐼|𝑓′(𝑥)| > 0. Hal ini dimungkinkan karena
𝛼 ∈ 𝐼 dan 𝑓′ 𝛼 ≠ 0. Diberikan 𝑀𝑠 = max𝑥∈𝐼 𝑓 𝑠 𝑥
𝑠!, 𝑠 = 1, 2, ⋯, dan pilih interval 𝐽 = (𝛼 −
𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) ⊂ 𝐼 cukup kecil untuk memastikan bahwa 𝑚1 > 2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2. Selanjutnya akan
dibuktikan jika 𝑥𝑛−𝑖 , dengan 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑘 di J, maka
𝐶𝑛 ≤𝑀𝑘+1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝑀2 𝜖𝑛 𝑘
𝑖=1
𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 𝑘𝑖=1
≤𝑀𝑘+1 𝜖𝑛 + 𝜖𝑛−𝑖 + 𝑀2 𝜖𝑛 𝑘
𝑖=1
𝑚1 − 𝑀𝑘+1 𝜖𝑛 + 𝜖𝑛−𝑖 𝑘𝑖=1
≤ 𝐶 < 1.
Karena 𝑥𝑛−𝑖 , 𝑖 = 0, 1, . . . , 𝑘, di J, maka
𝛼 − 𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 ≤ 𝛼 + 𝑡/2
−𝑡/2 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2
0 ≤ 𝑥𝑛 − 𝛼 ≤ 𝑡/2 0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝑡/2, ∀𝑛.
Dari sini diperoleh
28
28
𝜖𝑛 + 𝜖𝑛−𝑖 ≤ 𝑡 × 𝑡 ×. . .× 𝑡 𝑘 𝑘𝑎𝑙𝑖
𝑘
𝑖=1
= 𝑡𝑘 .
Sehingga 𝐶 dapat dituliskan sebagai
𝐶 =𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2
𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘.
Selanjutnya akan ditunjukkan 𝐶 < 1, karena 𝐽 = (𝛼 − 𝑡/2, 𝛼 + 𝑡/2) dipilih cukup kecil sehingga
berlaku 𝑚1 > 2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2, maka dengan menggunakan
𝑚1 > 2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2
𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘 > 2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘 1
𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘<
1
2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘
𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2
𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘<
𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2
2𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘
𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2
𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘<
𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2
𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2
𝑀𝑘+1𝑡𝑘 + 𝑀2𝑡/2
𝑚1 − 𝑀𝑘+1𝑡𝑘< 1.
Dari sini diperoleh 𝜖𝑛+1 < 𝜖𝑛 ,∀𝑛 atau 𝜖𝑛 𝑛=0∞ turun. Karena 0 ≤ 𝜖𝑛 atau 𝜖𝑛 𝑛=0
∞ terbatas di
bawah dan 𝜖𝑛 𝑛=0∞ turun, maka menurut Teorema 6 maka 𝜖𝑛 𝑛=0
∞ konvergen. Dari persamaan
(26) diketahui
𝜖𝑛+1 = 𝐶𝑛𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 = 𝐶𝑛 𝜖𝑛 𝜖𝑛+1 ≤ 𝐶 𝜖𝑛 .
Untuk 𝑛 = 1, diperoleh
𝜖2 ≤ 𝐶 𝜖1 Untuk 𝑛 = 2, diperoleh
𝜖3 ≤ 𝐶 𝜖2 ≤ 𝐶 2 𝜖1 Untuk 𝑛 = 3, diperoleh
𝜖4 ≤ 𝐶 𝜖3 ≤ 𝐶 3 𝜖1 ⋮
𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝜖𝑛−1 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 . Dari sini diperoleh
0 ≤ 𝜖𝑛 ≤ 𝐶 𝑛−1 𝜖1 lim𝑛→∞
0 ≤ lim𝑛→∞
𝜖𝑛 ≤ lim𝑛→∞
𝐶 𝑛−1 𝜖1 .
Menurut Teorema Apit jika lim𝑛→∞ 0 = lim𝑛→∞
𝐶 𝑛−1 𝜖1 = 0, maka lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0. Karena diketahui
lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0 ⟺ lim𝑛→∞
𝜖𝑛 = 0, maka dari sini diperoleh lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼.
Dengan demikian (i) terbukti.
ii. Selanjutnya akan dibuktikan:
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛−𝑖∞𝑖=0
= −1 𝑘+1
𝑘 + 1 !
𝑓(𝑘+1) 𝛼
𝑓′ 𝛼 ≡ 𝐿.
Penyelesaian:
Diketahui 𝑓 ∈ 𝐶 𝑘+1 𝐼 , di mana 𝐼 = 𝛼 − 𝑇, 𝛼 + 𝑇 ; 𝑇 > 0, maka diperoleh 𝑓 kontinu di 𝛼. Menurut
Teorema 8 jika diketahui lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼 dan fungsi 𝑓 kontinu di 𝛼, maka 𝑓 𝑥𝑛 𝑛=0∞ konvergen ke
𝑓 𝛼 . Selanjutnya perhatikan bahwa
lim𝑛→∞
𝑓 𝑥𝑛 − 𝑓 𝛼
𝑥𝑛 − 𝛼= 𝑓′ 𝛼 menurut definisi turunan
lim𝑛→∞
𝑓 𝛼, 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝛼 karena Definisi 10
29
29
lim𝑛→∞
𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 = 𝑓′ 𝛼 . karena Teorema 2
Dari Lema 3 diketahui
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
𝑝𝑛 ,𝑘 𝑥 = 𝑓 𝑥 −𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 −
𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛−1 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘
+𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘 + ⋯
+𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥 − 𝑥𝑛 𝑥 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥 − 𝑥𝑛−𝑘+1 .
Untuk 𝑥 = 𝑥𝑛 diperoleh
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓 ′ 𝑥𝑛 −
𝑓 𝑘+1 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘
+𝑓 𝑘+1 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘 + ⋯
+𝑓 𝑘+1 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘+1
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝑥𝑛 −
𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘
Karena lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼, maka diperoleh
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = lim
𝑛→∞𝑓′ 𝑥𝑛 − lim
𝑛→∞
𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 !lim𝑛→∞
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−1 lim𝑛→∞
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−2 ⋯ lim𝑛→∞
𝑥𝑛 − 𝑥𝑛−𝑘
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝛼 −
𝑓(𝑘+1) 𝜉
𝑘 + 1 ! 𝛼 − 𝛼 𝛼 − 𝛼 ⋯ 𝛼 − 𝛼 (karena Teorema 9)
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝛼 .
Akibatnya diperoleh
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 = 𝑓′ 𝛼 = lim
𝑛→∞𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼 . (27)
Dari sini karena 𝐶𝑛 =𝑝𝑛 ,𝑘
′ 𝑥𝑛 −𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
, maka hal ini mengakibatkan
lim𝑛→∞
𝐶𝑛 =lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛 − lim
𝑛→∞𝑓 𝑥𝑛 ,𝛼
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
=lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
−lim𝑛→∞
𝑓 𝑥𝑛 , 𝛼
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
=𝑓′ 𝛼
𝑓′ 𝛼 −
𝑓′ 𝛼
𝑓′ 𝛼 = 0.
Selanjutnya karena 𝜖𝑛 +1
𝜖𝑛= 𝐶𝑛 , maka
lim𝑛→∞
(𝜖𝑛+1/𝜖𝑛) = 0 , ∀𝑛.
Atau menurut Definisi 15 𝜖𝑛+1 = 𝑜(𝜖𝑛), saat 𝑛 → ∞. Akibatnya menurut Teorema 5 𝜖𝑛+1 = 𝑂 𝜖𝑛 , saat 𝑛 → ∞. Karena diketahui 1 < 𝑠𝑘 < 2, maka 𝑥𝑛 𝑛=0
∞ konvergen dengan derajat lebih besar 1.
Sebagai akibat lim𝑛→∞(𝜖𝑛+1/𝜖𝑛 ) = 0 , ∀𝑛 diperoleh
lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
= 0 , lim𝑛→∞
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛−2
= 0 , lim𝑛→∞
𝜖𝑛−2
𝜖𝑛−3
= 0 , ⋯ , lim𝑛→∞
𝜖𝑛−𝑖+1
𝜖𝑛−𝑖
= 0.
Dari sini diperoleh
30
30
lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
lim𝑛→∞
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛−2
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛−2
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−2
= 0
dan seterusnya. Akhirnya diperoleh
lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
lim𝑛→∞
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛−2
lim𝑛→∞
𝜖𝑛−2
𝜖𝑛−3
⋯ lim𝑛→∞
𝜖𝑛−𝑘+1
𝜖𝑛−𝑘
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛−2
𝜖𝑛−2
𝜖𝑛−3
⋯𝜖𝑛−𝑖+1
𝜖𝑛−𝑖
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
= 0 ; ∀𝑖 > 1,
dan
lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑗
= 0 ; 𝑗 < 𝑖.
Dari sini diperoleh
lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑗
=lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑗
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
lim𝑛→∞
𝜖𝑛−𝑗
𝜖𝑛
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
𝜖𝑛−𝑗
𝜖𝑛
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛−𝑗
𝜖𝑛−𝑖
= 0.
Menurut Definisi 15 dapat dituliskan 𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖= 𝑜
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑗 ; 𝑛 → ∞ dan 𝑗 < 𝑖. Selanjutnya perhatikan
lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
=lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
lim𝑛→∞
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛
= lim𝑛→∞
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛−𝑖
= 0.
Menurut Definisi 15 dapat dituliskan 𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖= 𝑜
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1 ; 𝑛 → ∞. Perhatikan juga bahwa
lim𝑛→∞
− 𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
=lim𝑛→∞
−𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
= lim𝑛→∞
−𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
lim𝑛→∞
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛
= lim𝑛→∞
−𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛
= − lim𝑛→∞
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛−𝑖
= 0.
Menurut Definisi 15 dapat dituliskan − 𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖 = 𝑜
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1 ; 𝑛 → ∞, atau menurut Teorema 5 dapat
juga dituliskan −𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖= 𝑂
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1 . Selanjutnya dengan memperluas hasil 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖
𝑘𝑖=1 pada
persamaan (26) diperoleh
𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=1
= −𝜖𝑛−𝑖 + 𝜖𝑛
𝑘
𝑖=1
31
31
= −𝜖𝑛−𝑖 1 − 𝜖𝑛/𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=1
= −1 𝜖𝑛−𝑖 1 − 𝜖𝑛 /𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=1
= −1 𝑘 𝜖𝑛−𝑖 1 − 𝜖𝑛/𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=1
= −1 𝑘 𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=1
1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
= −1 𝑘 𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=1
1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
untuk 𝑛 → ∞. (28)
Sekarang definisikan
𝐷𝑛 =𝐷 𝑛
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
dan 𝐸𝑛 =𝐸 𝑛
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
. (29)
Dengan menyubstitusikan persamaan (28) dan (29) pada persamaan (26) akan diperoleh
𝜖𝑛+1 = 𝐷 𝑛 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖 + 𝐸 𝑛 𝜖𝑛
𝑘𝑖=1
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
𝜖𝑛
= 𝐷 𝑛
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=1
+𝐸 𝑛
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
𝜖𝑛 𝜖𝑛
= 𝐷𝑛 𝜖𝑛 − 𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=1
𝜖𝑛 + 𝐸𝑛𝜖𝑛2 (karena persamaan (29))
= 𝐷𝑛 −1 𝑘 𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=1
1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛 + 𝐸𝑛𝜖𝑛2 (karena persamaan (28))
= −1 𝑘𝐷𝑛 𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
+ 𝐸𝑛𝜖𝑛2
= −1 𝑘𝐷𝑛 𝜖𝑛−𝑖
𝑘
𝑖=0
1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
𝜖𝑛 + 𝐸𝑛𝜖𝑛2; untuk 𝑛 → ∞.
Dengan membagi kedua ruas persamaan di atas dengan 𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0 , diperoleh
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
= −1 𝑘𝐷𝑛 𝜖𝑛−𝑖
𝑘𝑖=1 1 + 𝑂
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1 𝜖𝑛 + 𝐸𝑛𝜖𝑛
2
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
= −1 𝑘𝐷𝑛 𝜖𝑛−𝑖
𝑘𝑖=0
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
+𝐸𝑛𝜖𝑛
2
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
= −1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
+𝐸𝑛𝜖𝑛
2
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
; untuk 𝑛 → ∞. (30)
Dari sini didefinisikan 𝜎𝑛 , yaitu
𝜎𝑛 =𝜖𝑛+1
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
. (31)
Ganti indeks 𝑛 dengan 𝑛 − 1 pada persamaan di atas, diperoleh
𝜎𝑛−1 =𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖−1𝑘𝑖=0
.
Dari sini diperoleh
32
32
𝜖𝑛 = 𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑖−1
𝑘
𝑖=0
.
Sehingga 𝜖𝑛
2
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
pada persamaan (30) dapat dituliskan
𝜖𝑛2
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
=𝜖𝑛𝜖𝑛
𝜖𝑛 𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=1
=𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=1
=𝜎𝑛−1 𝜖𝑛−𝑖−1
𝑘𝑖=0
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=1
=𝜎𝑛−1𝜖𝑛−1𝜖𝑛−2 …𝜖𝑛−𝑘𝜖𝑛−𝑘−1
𝜖𝑛−1𝜖𝑛−2 … 𝜖𝑛−𝑘
= 𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1 . Akhirnya persamaan (30) dapat dituliskan
𝜎𝑛 = −1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
+ 𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1 ; 𝑛 → ∞. (32)
Karena lim𝑛→∞ 𝑥𝑛 = 𝛼 dan 𝜉𝑛 di antara 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛 ,𝑥𝑛−1 , ⋯ , 𝑥𝑛−𝑘 , maka dari persamaan (25) diperoleh
lim𝑛→∞
𝐷 𝑛 = lim𝑛→∞
−𝑓(𝑘+1) 𝜉𝑛
𝑘 + 1 !
=−𝑓(𝑘+1) 𝛼
𝑘 + 1 ! (33)
dan karena 휂𝑛 di antara 𝑥𝑛 dan 𝛼, maka
lim𝑛→∞
𝐸 𝑛 = lim𝑛→∞
𝑓(2) 휂𝑛
2!
=𝑓(2) 𝛼
2𝑓′ 𝛼 . (34)
Selanjutnya perhatikan bahwa
lim𝑛→∞
𝐷𝑛 = lim𝑛→∞
𝐷 𝑛
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
=lim𝑛→∞
𝐷 𝑛
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
= −1
𝑘 + 1 !
𝑓(𝑘+1) 𝛼
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
= −1
𝑘 + 1 !
𝑓(𝑘+1) 𝛼
𝑓′ 𝛼
dan
lim𝑛→∞
𝐸𝑛 = lim𝑛→∞
𝐸 𝑛
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
=lim𝑛→∞
𝐸 𝑛
lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
=𝑓(2) 𝛼
2! lim𝑛→∞
𝑝𝑛 ,𝑘′ 𝑥𝑛
=𝑓(2) 𝛼
2𝑓′ 𝛼 .
Akhirnya diperoleh
33
33
lim𝑛→∞
𝐷𝑛 = −1
𝑘 + 1 !
𝑓(𝑘+1) 𝛼
𝑓′ 𝛼 dan lim
𝑛→∞𝐸𝑛 =
𝑓(2) 𝛼
2𝑓′ 𝛼 . (35)
Akibatnya menurut Teorema 5, 𝐷𝑛 terbatas. Selanjutnya karena 𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖= 𝑂
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1 , maka terdapat
𝑘 > 0 sehingga 𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖 ≤ 𝑘
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1 . Dari sini diperoleh 1 +
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖= 1 + 𝑂
𝜖𝑛
𝜖𝑛−1 juga terbatas. Karena
𝐷𝑛 terbatas dan 1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1 juga terbatas, maka menurut Definisi 12 terdapat 𝐷 > 0 yang
mengakibatkan
𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
≤ 𝐷, ∀𝑛 ∈ 𝑁. (36)
Karena lim𝑛→∞ 𝜖𝑛 = 0 dan 𝜖𝑛−𝑘−1 merupakan barisan bagian dari 𝜖𝑛 , maka menurut Teorema 9
lim𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0. Selanjutnya karena 𝐸𝑛 barisan terbatas dan lim𝑛→∞ 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0, maka menurut
Teorema 10 lim𝑛→∞𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0. Akibatnya karena lim𝑛→∞𝐸𝑛 𝜖𝑛−𝑘−1 = 0, maka ∃𝑛0 ∈ 𝑁 dan
𝛽 < 1 sehingga 𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1 ≤ 𝛽, ∀𝑛 ≥ 𝑛0 .
Akhirnya dari persamaan (32) diperoleh
𝜎𝑛 = −1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
+ 𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1
≤ −1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
+ 𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1
= −1 𝑘 𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
+ 𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1 𝜎𝑛−1
= 𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
+ 𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1 𝜎𝑛−1
≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛−1 ; ∀𝑛 ≥ 𝑛0 . (37)
Karena 𝑛 ≥ 𝑛0 , maka 𝑛 = 𝑛0 + 𝑠 ; 𝑠 = 1,2, ⋯, jika disubstitusikan pada persamaan di atas diperoleh
𝜎𝑛0+𝑠 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0+𝑠−1 ; untuk 𝑠 = 1,2, ⋯.
Untuk 𝑠 = 1, diperoleh
𝜎𝑛0+1 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0 .
Untuk 𝑠 = 2, diperoleh
𝜎𝑛0+2 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0+1
≤ 𝐷 + 𝛽 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0
= 𝐷 + 𝐷𝛽 + 𝛽2 𝜎𝑛0
= 𝐷 1 + 𝛽 + 𝛽2 𝜎𝑛0
= 𝐷 1 + 𝛽 1 − 𝛽
1 − 𝛽+ 𝛽2 𝜎𝑛0
= 𝐷1 − 𝛽2
1 − 𝛽+ 𝛽2 𝜎𝑛0
.
Untuk 𝑠 = 3, diperoleh
𝜎𝑛0+3 ≤ 𝐷 + 𝛽 𝜎𝑛0+2
≤ 𝐷 + 𝛽 𝐷1 − 𝛽2
1 − 𝛽+ 𝛽2 𝜎𝑛0
= 𝐷 + 𝛽𝐷1 − 𝛽2
1 − 𝛽+ 𝛽3 𝜎𝑛0
= 𝐷(1 + 𝛽)1 − 𝛽2
1 − 𝛽+ 𝛽3 𝜎𝑛0
= 𝐷1 + 𝛽 − 𝛽2 − 𝛽3
1 − 𝛽+ 𝛽3 𝜎𝑛0
Karena 𝛽 < 1, maka 𝛽2 < 1, akibatnya
34
34
𝛽 − 𝛽2 < 0
1 + 𝛽 − 𝛽2 − 𝛽3 < 1 − 𝛽3 . Dari sini diperoleh
𝜎𝑛0+3 ≤ 𝐷1 − 𝛽3
1 − 𝛽 + 𝛽3 𝜎𝑛0
dan seterusnya. Akhirnya secara umum dapat dituliskan
𝜎𝑛0+𝑠 ≤ 𝐷1 − 𝛽𝑠
1 − 𝛽+ 𝛽𝑠 𝜎𝑛0
, 𝑠 = 1, 2, ⋯.
Dari fakta 𝛽 < 1, hal ini mengakibatkan
𝜎𝑛0+𝑠 ≤1
1 − 𝛽𝐷, ∀𝑠.
atau {𝜎𝑛 } barisan terbatas. Akibatnya karena 𝜎𝑛−1 terbatas dan lim𝑛→∞ 𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1 = 0, maka menurut Teorema 10 diperoleh
lim𝑛→∞
𝐸𝑛𝜖𝑛−𝑘−1𝜎𝑛−1 = 0.
Substitusikan pada persamaan (32), sehingga diperoleh
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛−𝑖𝑘𝑖=0
= lim𝑛→∞
−1 𝑘𝐷𝑛 1 + 𝑂 𝜖𝑛
𝜖𝑛−1
+ 𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1
= −1 𝑘 lim𝑛→∞
𝐷𝑛 1 + lim𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
+ lim𝑛→∞
𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1
= −1 𝑘 −1 1
𝑘 + 1 !
𝑓(𝑘+1) 𝛼
𝑓′ 𝛼 + lim
𝑛→∞𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1 (karena lim
𝑛→∞
𝜖𝑛
𝜖𝑛−𝑖
= 0)
= −1 𝑘+11
𝑘 + 1 !
𝑓(𝑘+1) 𝛼
𝑓′ 𝛼 (karena lim
𝑛→∞𝐸𝑛𝜎𝑛−1𝜖𝑛−𝑘−1 = 0)
≡ 𝐿. Dengan demikian (ii) terbukti.
iii. Selanjutnya akan dibuktikan:
2 − 2−𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2−𝑘−1; untuk 𝑘 ≥ 2; 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1; lim𝑘→∞ 𝑠𝑘 = 2.
Penyelesaian:
Untuk membuktikan persamaan di atas, misalkan derajat kekonvergenan adalah 𝑠𝑘 . Selanjutnya
misalkan 𝑠𝑘 adalah akar positif dari persamaan
𝑔𝑘 ,𝑎 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖
𝑘
𝑖=0
.
Untuk 𝑎 = 1, diperoleh
𝑔𝑘 ,𝑎 = 𝑠𝑘+1 − 𝑠𝑖 .
𝑘
𝑖=0
(38)
Dari Lema 5 diketahui persamaan di atas memunyai akar positif 𝑠𝑘 dan
max 1,𝑎 < 𝑠𝑘 < 𝑎 + 1
1 < 𝑠𝑘 < 2 (karena 𝑎 = 1) Selanjutnya jabarkan persamaan (38), untuk 𝑘 = 1 diperoleh
𝑠2 = 𝑠𝑖
1
𝑖=0
= 𝑠0 + 𝑠1 .
Untuk 𝑘 = 2 diperoleh
𝑠3 = 𝑠𝑖
2
𝑖=0
= 𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 = 2 𝑠0 + 𝑠1 = 2𝑠2 .
Untuk 𝑘 = 3 diperoleh
35
35
𝑠4 = 𝑠𝑖
3
𝑖=0
= 𝑠0 + 𝑠1 + 𝑠2 + 𝑠3 = 2𝑠3 ,
dan seterusnya, akhirnya secara umum diperoleh
𝑠𝑘 = 2𝑠𝑘−1 ; 𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 ; 𝑠𝑘+2 = 2𝑠𝑘+1 .
Karena 𝑠𝑘 merupakan akar positif dari 𝑠𝑘+1 , maka
𝑠𝑘 = 𝑠𝑘+1 dan 𝑠𝑘−1 = 𝑠𝑘 . Dari persamaan di atas diperoleh
𝑠𝑘 = 𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 = 2 𝑠𝑘 = 2𝑠𝑘−1
𝑠𝑘+1 = 𝑠𝑘+2 = 2𝑠𝑘+1 = 2 𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 . Sehingga untuk 𝑘 ≥ 2 diperoleh
𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 atau 𝑠𝑘 =1
2𝑠𝑘+1 < 𝑠𝑘+1 .
Dari sini terbukti 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1 atau 𝑠𝑘 𝑘=0∞ barisan naik. Karena 𝑠𝑘 𝑘=0
∞ barisan naik dan terbatas di
atas, maka menurut Teorema 6 barisan 𝑠𝑘 𝑘=0∞ konvergen. Selanjutnya akan dibuktikan pertaksamaan
berikut
2 − 2 –𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 . Untuk membuktikan persamaan tersebut, akan dibuktikan dua hal, yaitu:
a. 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒
b. 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 Bukti:
a. Akan dibuktikan: 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒 Diketahui
𝑠𝑘 = 2𝑠𝑘−1 atau 𝑠𝑘−1 =1
2𝑠𝑘
𝑠𝑘−1 = 2𝑠𝑘−2 atau 𝑠𝑘−2 =1
2𝑠𝑘−1 =
1
2
1
2𝑠𝑘 =
1
2𝑠𝑘
𝑠𝑘−2 = 2𝑠𝑘−3 atau 𝑠𝑘−3 =1
2𝑠𝑘−2 =
1
2 2𝑠𝑘
dan
𝑠𝑘 > 1, ∀𝑘. (39)
Karena 𝑠𝑘 barisan naik, maka berlaku
𝑠𝑘 > 𝑠𝑘−1 > 𝑠𝑘−2 > 𝑠𝑘−3
𝑠𝑘 > 𝑠𝑘−3 . (40) Dari persamaan (39) dan (40) diperoleh
𝑠𝑘 > 𝑠𝑘−3 > 1 1
2 2𝑠𝑘 > 1
𝑠𝑘 > 2 2.
Karena diperoleh 𝑠𝑘 > 2 2, maka cukup buktikan 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒, sehingga diperoleh
𝑠𝑘 > 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒 atau 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒. Sekarang akan dibuktikan
2 2 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒
di mana 2 –𝑘−1𝑒 = 2 –(𝑘+1)𝑒 =𝑒
2 𝑘+1=
𝑒
2 ∙ 2 𝑘 ; untuk 𝑘 ≥ 2.
Ambil 𝑘 = 2, maka 2 –𝑘−1𝑒 =𝑒
8=
2.72
8= 0.34, dari sini diperoleh
2 2 > 2 − 0.34 atau 3.3 > 1.66 benar .
Jika 𝑘 → ∞, maka 2 –𝑘−1𝑒 ≈ 0 yang berarti
36
36
2 2 > 2. Dari sini terbukti.
𝑠𝑘 > 2 2 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒 atau 𝑠𝑘 > 2 − 2 –𝑘−1𝑒.
b. Akan dibuktikan: 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 Diketahui
𝑠𝑘+1 = 2𝑠𝑘 atau 𝑠𝑘 =1
2𝑠𝑘+1 .
Karena 𝑠𝑘 barisan naik, maka 𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1 , ∀𝑘 dan 𝑠𝑘 < 2, ∀𝑘. Dari sini diperoleh
𝑠𝑘 < 𝑠𝑘+1 < 2
2𝑠𝑘 < 2
𝑠𝑘 < 2.
Sehingga dengan membuktikan 2 < 2 − 2 –𝑘−1, maka diperoleh
𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 . Sekarang akan dibuktikan
2 < 2 − 2 –𝑘−1 . Karena
di mana 2 –𝑘−1 = 2 – 𝑘+1 =1
2 𝑘+1=
1
2 ∙ 2 𝑘 ; untuk 𝑘 ≥ 2.
Ambil 𝑘 = 2, maka 2 –𝑘−1 =1
8= 0.125, dari sini diperoleh
2 < 2 − 0.125 1.3 < 1.875 benar .
Jika 𝑘 → ∞, maka 2 –𝑘−1 ≈ 0 yang berarti
2 < 2. Dari sini terbukti
𝑠𝑘 < 2 < 2 − 2 –𝑘−1 atau 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1 . Dari (a) dan (b) diperoleh
2 − 2 –𝑘−1𝑒 < 𝑠𝑘 < 2 − 2 –𝑘−1
lim𝑘→∞
2 − 2 –𝑘−1𝑒 < lim𝑘→∞
𝑠𝑘 < lim𝑘→∞
2 − 2 –𝑘−1
Karena lim𝑘→∞ 2 − 2 –𝑘−1𝑒 = lim𝑘→∞ 2 − 2 –𝑘−1 = 2, maka menurut Teorema Apit lim𝑘→∞ 𝑠𝑘 = 2. Dengan demikian (iii) terbukti.
iv. Selanjutnya akan dibuktikan:
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 /𝑘
Penyelesaian:
Diberikan 𝜎𝑛 = 𝐿, ∀𝑛 akan ditunjukkan 𝜖𝑛+1 = 𝑄 𝜖𝑛 𝑠𝑘 . Misalkan
𝜖𝑛+1 = 𝐿 𝜖𝑛−𝑖𝑠
𝑘
𝑖=0
di mana 𝑠 bilangan positif dan 𝜖𝑛 → 0, ∀𝑛. Misalkan juga 𝑠𝑘 adalah akar positif dari persamaan
𝑔𝑘 ,𝑎 𝑠 = 𝑠𝑘+1 − 𝑎 𝑠𝑖
𝑘
𝑖=0
= 0
maka dari Teorema 11 diperoleh
lim𝑛→∞
𝜖𝑛+1
𝜖𝑛 𝑠𝑘= 𝐿 𝑠𝑘−1 /𝑘 .
Dengan demikian (iv) terbukti.
Karena (i), (ii), (iii), dan (iv) terbukti, dengan demikian Teorema 12 terbukti.
37
37
Lampiran 2 Program dengan Metode Newton-Raphson
Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.1. Dalam M-File: % ------------------------------
% Program Metode Newton-Raphson
% Matlab Programming
% Oleh : Sunarsih
% ------------------------------
clear all; clc;
disp ('-------------------------------');
disp ('Program metode Newton-Raphson');
disp ('-------------------------------');
x0=0.1; %pilih nilai hampiran awal
N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi
fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0
gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan
fungsi f(x)terhadap x0
akar=[];
for i=1:N,
x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x
fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x)
gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x)
s=abs(x-x0);
akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar
if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen)
break; end
x0=x; fx0=fx; gx0=gx;
end
Tampilan dalam Command Window:
>> newton -------------------------------
Program metode Newton-Raphson
-------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 2.600218575884343 2.500218575884343
2.000000000000000 2.426600259970995 0.173618315913348
3.000000000000000 2.242991672103380 0.183608587867615
4.000000000000000 2.047916317598964 0.195075354504416
5.000000000000000 1.840004601601038 0.207911715997926
6.000000000000000 1.618989165091132 0.221015436509906
7.000000000000000 1.388668006975518 0.230321158115614
8.000000000000000 1.164100012889030 0.224567994086488
9.000000000000000 0.981747018725197 0.182352994163833
10.000000000000000 0.886763397414741 0.094983621310456
11.000000000000000 0.867518289880120 0.019245107534621
12.000000000000000 0.866874231824007 0.000644058056113
13.000000000000000 0.866873543488470 0.000000688335537
14.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000785
38
38
Lampiran 3 Program dengan Metode Tali Busur
Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2 Dalam M-File: % -------------------------
% Program metode tali busur
% Matlab Programming
% Oleh : Sunarsih
% -------------------------
clear all; clc;
disp ('--------------------------');
disp ('Program metode tali busur');
disp ('--------------------------');
x0=0.1; x1=0.2; %pilih nilai hampiran awal
N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi
fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0;
fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0;
akar=[];
for i=1:N,
x=x1-(q1.*hx0)/gx0;
fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1;
s=abs(x-x1);
akar=[akar; i x s];
if (abs(x-x1)<T),
break; end
x0=x1; x1=x; q0=q1; q1=fx; gx0=gx; hx0=hx;
end
Tampilan dalam Command Window: -------------------------- Program metode tali busur -------------------------- >> akar
akar = 1.000000000000000 2.329480661498825 2.129480661498825 2.000000000000000 0.204979952966205 2.124500708532620 3.000000000000000 0.209935202802368 0.004955249836163 4.000000000000000 2.068405703134396 1.858470500332028 5.000000000000000 0.226008365937093 1.842397337197304 6.000000000000000 0.241802415334364 0.015794049397271
7.000000000000000 1.954771393830092 1.712968978495728 8.000000000000000 0.266632050737302 1.688139343092790 9.000000000000000 0.290734393114400 0.024102342377099 10.000000000000000 1.777893597293117 1.487159204178716 11.000000000000000 0.336743183019225 1.441150414273891 12.000000000000000 0.379866446228140 0.043123263208915 13.000000000000000 1.509250575181494 1.129384128953354 14.000000000000000 0.478826798989551 1.030423776191944
15.000000000000000 0.560289104098675 0.081462305109124 16.000000000000000 1.128268818527795 0.567979714429120 17.000000000000000 0.739670411338161 0.388598407189634 18.000000000000000 0.816297150429572 0.076626739091411 19.000000000000000 0.878330886413819 0.062033735984248 20.000000000000000 0.865898622003941 0.012432264409878 21.000000000000000 0.866855118153935 0.000956496149994 22.000000000000000 0.866873573260298 0.000018455106364
23.000000000000000 0.866873543486776 0.000000029773523 24.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000909
40
40
Lampiran 4 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur
Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1
dengan nilai awal 𝑥0 = 0.1 dan 𝑥1 = 0.2
Dalam M-File: % -----------------------------------------------
% Program Generalisasi Metode Tali Busur
% Matlab Programming
% Oleh : Sunarsih
% -----------------------------------------------
clear all; clc;
disp ('--------------------------------------------------------');
disp ('Program generalisasi metode tali busur');
disp ('--------------------------------------------------------');
x0=0.1; x1=0.2; %memilih hampiran awal
N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi
fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; %nilai f(x)
gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1]
x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1;
gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1]
hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0]
px0=gx1+(hx0.*(x2-x1));
akar=[];
for i=1:N,
x=x2-(fx2/px0);
fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2);
hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2));
s=abs(x-x2);
akar=[akar; i x s];
if abs(x-x2)<T,
break; end
x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx;
gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px;
end
Tampilan dalam Command Window:
>> generalisasi --------------------------------------------------------
Program generalisasi metode tali busur
--------------------------------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.241618118582198 1.087862542916627
2.000000000000000 1.222380906028619 0.019237212553579
3.000000000000000 1.091121603581428 0.131259302447191
4.000000000000000 0.976234727891453 0.114886875689975 5.000000000000000 0.908803572894221 0.067431154997232
6.000000000000000 0.875828727133999 0.032974845760222
7.000000000000000 0.867664390677719 0.008164336456280
8.000000000000000 0.866888736538335 0.000775654139384
9.000000000000000 0.866873569065500 0.000015167472835
10.000000000000000 0.866873543488509 0.000000025576992
11.0000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000824
40
40
Lampiran 5 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟐
Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.2. Dalam M-File: % ------------------------------
% Program Metode Newton-Raphson
% Matlab Programming
% Oleh : Sunarsih
% ------------------------------
clear all; clc;
disp ('-------------------------------');
disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.2');
disp ('-------------------------------');
x0=0.2; %pilih nilai hampiran awal
N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi
fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0
gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan
fungsi f(x)terhadap x0
akar=[];
for i=1:N,
x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x
fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x)
gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x)
s=abs(x-x0);
akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar
if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen)
break; end
x0=x; fx0=fx; gx0=gx;
end
Tampilan dalam Command Window: -------------------------------
Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.2
-------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 2.101655599851019 1.901655599851019
2.000000000000000 1.897302776402499 0.204352823448520
3.000000000000000 1.679696556361177 0.217606220041322
4.000000000000000 1.451053648263684 0.228642908097493
5.000000000000000 1.222381840244686 0.228671808018998
6.000000000000000 1.023785209954342 0.198596630290344
7.000000000000000 0.902730433614113 0.121054776340229
8.000000000000000 0.868941553083035 0.033788880531078
9.000000000000000 0.866880616716863 0.002060936366173
10.000000000000000 0.866873543570572 0.000007073146291
11.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000082887
41
41
Lampiran 6 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟑
Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.3. Dalam M-File: % ------------------------------
% Program Metode Newton-Raphson
% Matlab Programming
% Oleh : Sunarsih
% ------------------------------
clear all; clc;
disp ('-------------------------------');
disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.3');
disp ('-------------------------------');
x0=0.3; %pilih nilai hampiran awal
N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi
fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0
gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan
fungsi f(x)terhadap x0
akar=[];
for i=1:N,
x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x
fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x)
gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x)
s=abs(x-x0);
akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar
if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen)
break; end
x0=x; fx0=fx; gx0=gx;
end
Tampilan dalam Command Window:
-------------------------------
Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.3
-------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.700965356538817 1.400965356538817 2.000000000000000 1.473104246569059 0.227861109969759
3.000000000000000 1.243520341119593 0.229583905449466
4.000000000000000 1.040093685166183 0.203426655953410
5.000000000000000 0.909994301397412 0.130099383768771
6.000000000000000 0.869846441718644 0.040147859678769
7.000000000000000 0.866888150060895 0.002958291657749
8.000000000000000 0.866873543841149 0.000014606219746
9.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000353464
10.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000
42
42
Lampiran 7 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟒
Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.4. Dalam M-File: % ------------------------------
% Program Metode Newton-Raphson
% Matlab Programming
% Oleh : Sunarsih
% ------------------------------
clear all; clc;
disp ('-------------------------------');
disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.4');
disp ('-------------------------------');
x0=0.4; %pilih nilai hampiran awal
N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi
fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0
gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan
fungsi f(x)terhadap x0
akar=[];
for i=1:N,
x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x
fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x)
gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x)
s=abs(x-x0);
akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar
if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen)
break; end
x0=x; fx0=fx; gx0=gx;
end
Tampilan dalam Command Window:
-------------------------------
Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.4
-------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.392797220931011 0.992797220931011 2.000000000000000 1.167880830590423 0.224916390340589
3.000000000000000 0.984333156493182 0.183547674097240
4.000000000000000 0.887625011760497 0.096708144732685
5.000000000000000 0.867574861053666 0.020050150706832
6.000000000000000 0.866874357876872 0.000700503176794
7.000000000000000 0.866873543488783 0.000000814388089
8.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000001099
43
43
Lampiran 8 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟓
Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.5. Dalam M-File: % ------------------------------ % Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------------ clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.5'); disp ('-------------------------------'); x0=0.5; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan
fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen) break; end x0=x; fx0=fx; gx0=gx; end
Tampilan dalam Command Window:
------------------------------- Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.5
-------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.167543366858235 0.667543366858234
2.000000000000000 0.984101485737480 0.183441881120754
3.000000000000000 0.887547158385979 0.096554327351501
4.000000000000000 0.867569653356194 0.019977505029785
5.000000000000000 0.866874345830584 0.000695307525610 6.000000000000000 0.866873543488751 0.000000802341833
7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000001066
44
44
Lampiran 9 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟔
Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.6. Dalam M-File: % ------------------------------ % Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------------ clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.6'); disp ('-------------------------------'); x0=0.6; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan
fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen) break; end x0=x; fx0=fx; gx0=gx; end
Tampilan dalam Command Window:
-------------------------------
Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.6
-------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.013770649272111 0.413770649272111
2.000000000000000 0.898557472264785 0.115213177007326
3.000000000000000 0.868493783931078 0.030063688333707
4.000000000000000 0.866877886910247 0.001615897020831
5.000000000000000 0.866873543518940 0.000004343391308
6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000031255
45
45
Lampiran 10 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟕
Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal𝑥0 = 0.7. Dalam M-File: % ------------------------------
% Program Metode Newton-Raphson
% Matlab Programming
% Oleh : Sunarsih
% ------------------------------
clear all; clc;
disp ('-------------------------------');
disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.7');
disp ('-------------------------------');
x0=0.7; %pilih nilai hampiran awal
N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi
fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0
gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan
fungsi f(x)terhadap x0
akar=[];
for i=1:N,
x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x
fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x)
gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x)
s=abs(x-x0);
akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar
if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen)
break; end
x0=x; fx0=fx; gx0=gx;
end
Tampilan dalam Command Window:
-------------------------------
Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.7
-------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 0.919813429265949 0.219813429265949
2.000000000000000 0.871318425532066 0.048495003733883
3.000000000000000 0.866906155762251 0.004412269769814
4.000000000000000 0.866873545249679 0.000032610512572
5.000000000000000 0.866873543487685 0.000000001761994
6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000
46
46
Lampiran 11 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟖
Metode Newton-Raphson untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.8. Dalam M-File: % ------------------------------ % Program Metode Newton-Raphson % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------------ clear all; clc; disp ('-------------------------------'); disp ('Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.8'); disp ('-------------------------------'); x0=0.8; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; %fungsi f(x)terhadap x0 gx0=2.*(x0+1).*(exp(x0.^2-2))+2.*x0.*(exp(x0.^2-2)).*(x0+1).^2; %turunan
fungsi f(x)terhadap x0 akar=[]; for i=1:N, x=x0-(fx0/gx0); %iterasi untuk menghitung akar x fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; %fungsi f(x) gx=2.*(x+1).*(exp(x.^2-2))+2.*x.*(exp(x.^2-2)).*(x+1).^2; %turunan f(x) s=abs(x-x0); akar=[akar;i x s]; %tampilan hasil akar if (abs(x-x0)<T), %kondisi berhenti (konvergen) break; end x0=x; fx0=fx; gx0=gx; end
Tampilan dalam Command Window:
-------------------------------
Program metode Newton-Raphson untuk x0=0.8
-------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 0.874703244739892 0.074703244739892
2.000000000000000 0.866974454313793 0.007728790426099
3.000000000000000 0.866873560356840 0.000100893956953
4.000000000000000 0.866873543487685 0.000000016869155
5.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000
47
47
Lampiran 12 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟐 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟑
Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3 Dalam M-File: % ------------------------- % Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3'); disp ('--------------------------'); x0=0.2; x1=0.3; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)<T), break; end x0=x1; x1=x; q0=q1; q1=fx; gx0=gx; hx0=hx; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------
Program metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3
--------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.881080682254595 1.581080682254594
2.000000000000000 0.330862427429321 1.550218254825274
3.000000000000000 0.360442265680606 0.029579838251286 4.000000000000000 1.548671280222205 1.188229014541599
5.000000000000000 0.450894650210092 1.097776630012113
6.000000000000000 0.527512845331708 0.076618195121615
7.000000000000000 1.184589767948802 0.657076922617095
8.000000000000000 0.700775299635268 0.483814468313535
9.000000000000000 0.788459250941773 0.087683951306506
10.000000000000000 0.890707831032499 0.102248580090726
11.000000000000000 0.863713122092770 0.026994708939729
12.000000000000000 0.866749825492460 0.003036703399689
13.000000000000000 0.866874192151602 0.000124366659142
14.000000000000000 0.866873543354722 0.000000648796880
15.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000132962 16.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000
48
48
Lampiran 13 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟑 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟒
Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4 Dalam M-File: % ------------------------- % Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4'); disp ('--------------------------'); x0=0.3; x1=0.4; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)<T), break; end x0=x1; x1=x; q0=q1; q1=fx; gx0=gx; hx0=hx; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------
Program metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4
--------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.528559038077313 1.128559038077313
2.000000000000000 0.489960956821234 1.038598081256079 3.000000000000000 0.564867472891995 0.074906516070762
4.000000000000000 1.115467924575956 0.550600451683961
5.000000000000000 0.746861969904282 0.368605954671674
6.000000000000000 0.821252079964087 0.074390110059805
7.000000000000000 0.876575989410998 0.055323909446911
8.000000000000000 0.866129699625391 0.010446289785607
9.000000000000000 0.866861631016634 0.000731931391243
10.000000000000000 0.866873558172654 0.000011927156020
11.000000000000000 0.866873543487395 0.000000014685259
12.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000290
48
48
Lampiran 14 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟒 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟓
Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5 Dalam M-File: % ------------------------- % Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5'); disp ('--------------------------'); x0=0.4; x1=0.5; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)<T), break; end x0=x1; x1=x; q0=q1; q1=fx; gx0=gx; hx0=hx; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------
Program metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5
--------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.264037893759006 0.764037893759006
2.000000000000000 0.653192020706219 0.610845873052787
3.000000000000000 0.745682459676815 0.092490438970596 4.000000000000000 0.916049672011209 0.170367212334394
5.000000000000000 0.856759459813652 0.059290212197557
6.000000000000000 0.866063272995434 0.009303813181782
7.000000000000000 0.866887181823882 0.000823908828448
8.000000000000000 0.866873525173477 0.000013656650405
9.000000000000000 0.866873543487271 0.000000018313794
10.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000414
50
50
Lampiran 15 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟓 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔
Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6 Dalam M-File: % ------------------------- % Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6'); disp ('--------------------------'); x0=0.5; x1=0.6; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)<T), break; end x0=x1; x1=x; q0=q1; q1=fx; gx0=gx; hx0=hx; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------
Program metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6
--------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.076726174854415 0.476726174854415
2.000000000000000 0.775937609975672 0.300788564878743
3.000000000000000 0.837311241796227 0.061373631820555 4.000000000000000 0.871551077038735 0.034239835242508
5.000000000000000 0.866642140143566 0.004908936895169
6.000000000000000 0.866871753535173 0.000229613391607
7.000000000000000 0.866873544173973 0.000001790638800
8.000000000000000 0.866873543487683 0.000000000686291
9.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000002
51
51
Lampiran 16 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟔 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟕
Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.6 dan 𝑥1 = 0.7 Dalam M-File: % ------------------------- % Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7'); disp ('--------------------------'); x0=0.6; x1=0.7; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)<T), break; end x0=x1; x1=x; q0=q1; q1=fx; gx0=gx; hx0=hx; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------
Program metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7
--------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 0.954912435147587 0.254912435147587
2.000000000000000 0.842044511400741 0.112867923746846
3.000000000000000 0.863354253966290 0.021309742565548 4.000000000000000 0.867020001111578 0.003665747145288
5.000000000000000 0.866872688372952 0.000147312738626
6.000000000000000 0.866873543280210 0.000000854907258
7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000207474
8.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000
52
52
Lampiran 17 Program Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟕 𝐝𝐚𝐧 𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟖
Program metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1 dengan nilai
awal 𝑥0 = 0.7 dan 𝑥1 = 0.8 Dalam M-File: % ------------------------- % Program metode tali busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------'); disp ('Program metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8'); disp ('--------------------------'); x0=0.7; x1=0.8; %pilih nilai hampiran awal N=100; T=10^-10; %pilih N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; q0=fx0; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1; q1=fx1; gx0=q1-q0; hx0=x1-x0; akar=[]; for i=1:N, x=x1-(q1.*hx0)/gx0; fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=fx-q1; hx=x-x1; s=abs(x-x1); akar=[akar;i x s]; if (abs(x-x1)<T), break; end x0=x1; x1=x; q0=q1; q1=fx; gx0=gx; hx0=hx; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------
Program metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8
--------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 0.887195516470864 0.087195516470864
2.000000000000000 0.864581776901575 0.022613739569289
3.000000000000000 0.866796963635153 0.002215186733578 4.000000000000000 0.866873834534596 0.000076870899443
5.000000000000000 0.866873543450758 0.000000291083838
6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000036927
53
53
Lampiran 18 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai Awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟐 dan
𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟑
Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1
dengan nilai awal 𝑥0 = 0.2 dan 𝑥1 = 0.3
Dalam M-File: % ----------------------------------------------- % Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.2; x1=0.3; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;
%nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------------------------------------
Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.2 dan x1=0.3
--------------------------------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 1.074580877621760 0.806499804632834
2.000000000000000 1.043516668214085 0.031064209407676
3.000000000000000 0.942044197078026 0.101472471136059
4.000000000000000 0.889758905463771 0.052285291614255
5.000000000000000 0.870403897901499 0.019355007562273
6.000000000000000 0.867046143618554 0.003357754282945
7.000000000000000 0.866874846634216 0.000171296984338
8.000000000000000 0.866873543965297 0.000001302668918
9.000000000000000 0.866873543487686 0.000000000477611
10.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000001
54
54
Lampiran 19 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟑 dan
𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟒
Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1
dengan nilai awal 𝑥0 = 0.3 dan 𝑥1 = 0.4
Dalam M-File: % ----------------------------------------------- % Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.3; x1=0.4; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;
%nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------------------------------------
Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.3 dan x1=0.4
--------------------------------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 0.965748878703760 0.562810159373553
2.000000000000000 0.934734594405536 0.031014284298224
3.000000000000000 0.882599875476789 0.052134718928747
4.000000000000000 0.869007963080974 0.013591912395816
5.000000000000000 0.866945836011143 0.002062127069831
6.000000000000000 0.866873872714542 0.000071963296601
7.000000000000000 0.866873543538188 0.000000329176355
8.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000050503
55
55
Lampiran 20 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟒 dan
𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟓
Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1
dengan nilai awal 𝑥0 = 0.4 dan 𝑥1 = 0.5
Dalam M-File: % ----------------------------------------------- % Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.4; x1=0.5; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;
%nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------------------------------------
Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.4 dan x1=0.5
--------------------------------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 0.906183265861903 0.357854627897103
2.000000000000000 0.886198122617135 0.019985143244768
3.000000000000000 0.868718016692311 0.017480105924825
4.000000000000000 0.866948698593440 0.001769318098871
5.000000000000000 0.866873839991434 0.000074858602006
6.000000000000000 0.866873543534960 0.000000296456473
7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000047276
56
56
Lampiran 21 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟓 dan
𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟔
Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1
dengan nilai awal 𝑥0 = 0.5 dan 𝑥1 = 0.6
Dalam M-File: % ----------------------------------------------- % Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.5; x1=0.6; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;
%nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------------------------------------
Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.5 dan x1=0.6
--------------------------------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 0.879039878992060 0.197686295862355
2.000000000000000 0.870574101058010 0.008465777934050
3.000000000000000 0.866979295814307 0.003594805243703
4.000000000000000 0.866874374953973 0.000104920860334
5.000000000000000 0.866873543674432 0.000000831279541
6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000186747
7.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000000
58
58
Lampiran 22 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟔 dan
𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟕
Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1
dengan nilai awal 𝑥0 = 0.6 dan 𝑥1 = 0.7
Dalam M-File: % ----------------------------------------------- % Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.6; x1=0.7; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;
%nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------------------------------------
Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.6 dan x1=0.7
--------------------------------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 0.869277737355401 0.085634697792186
2.000000000000000 0.867229739495510 0.002047997859891
3.000000000000000 0.866875453580794 0.000354285914716
4.000000000000000 0.866873544931097 0.000001908649697
5.000000000000000 0.866873543487691 0.000000001443406
6.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000006
57
57
Lampiran 23 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur dengan Nilai awal 𝒙𝟎 = 𝟎. 𝟕 dan
𝒙𝟏 = 𝟎. 𝟖
Program generalisasi metode Tali Busur untuk menentukan akar persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1 𝑒𝑥2−2 − 1
dengan nilai awal 𝑥0 = 0.7 dan 𝑥1 = 0.8
Dalam M-File: % ----------------------------------------------- % Program Generalisasi Metode Tali Busur % Matlab Programming % Oleh : Sunarsih % ----------------------------------------------- clear all; clc; disp ('--------------------------------------------------------'); disp ('Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8'); disp ('--------------------------------------------------------'); x0=0.7; x1=0.8; %memilih hampiran awal N=100; T=10.^-10; %N=banyaknya iterasi dan T=batas Toleransi fx0=((x0+1).^2).*(exp(x0.^2-2))-1; fx1=((x1+1).^2).*(exp(x1.^2-2))-1;
%nilai f(x) gx0=(fx0-fx1)/(x0-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x0,x1] x2=x1-(fx1/gx0); fx2=((x2+1).^2).*(exp(x2.^2-2))-1; gx1=(fx2-fx1)/(x2-x1); %nilai selisih terbagi pertama f[x2,x1] hx0=(gx1-gx0)/(x2-x0); %nilai selisih terbagi kedua f[x2,x1,x0] px0=gx1+(hx0.*(x2-x1)); akar=[]; for i=1:N, x=x2-(fx2/px0); fx=((x+1).^2).*(exp(x.^2-2))-1; gx=(fx-fx2)/(x-x2); hx=gx-gx1/x-x1; px=gx+(hx.*(x-x2)); s=abs(x-x2); akar=[akar; i x s]; if abs(x-x2)<T, break; end x0=x1; x1=x2; x2=x; fx0=fx1; fx1=fx2; fx2=fx; gx0=gx1; gx1=gx; hx0=hx; px0=px; end
Tampilan dalam Command Window:
--------------------------------------------------------
Program generalisasi metode tali busur untuk x0=0.7 dan x1=0.8
--------------------------------------------------------
>> akar
akar =
1.000000000000000 0.867019139422939 0.020176377047925
2.000000000000000 0.866879283798083 0.000139855624856
3.000000000000000 0.866873545281227 0.000005738516857
4.000000000000000 0.866873543487707 0.000000001793520
5.000000000000000 0.866873543487685 0.000000000000022