GEN 1101 คณิตศาสตร์ในชีวิตประจําวัน Mathematics for Daily Lifereg2.crru.ac.th/reg/files/20150929020102_3aa31caba936b876645ada5b607be... ·

GEN 1101

คณตศาสตรในชวตประจาวน

Mathematics for Daily Life

(ฉบบแกไขสมบรณ)

GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน

ปกใน


คานา

เอกสารประกอบการสอนรายวชา GEN1101: คณตศาสตรในชวตประจาวน (Mathematics

for Daily Life) คณะผจดทาไดเรยบเรยงและแบงวชาเปน 6 บท ประกอบไปดวย การใหเหตผล

พBนทCและปรมาตร อตราสวน สดสวนและรอยละ การคานวณภาษในชวตประจาวน การประยกตใช

สมการและอสมการ และการประยกตใชความรทางสถต เพCอนาไปใชในการประกอบการเรยนการ

สอนสาหรบนกศกษาของมหาวทยาลนราชภฏเชยงราย ใหมความรความเขาใจในหลกการคานวณ

พBนฐาน และวธคดแกปญหาในชวตประจาวนโดยใชคณตศาสตรเปนเครCองมอในการแกปญหา

ตลอดจนเปนพBนฐานในการสอบเขารบราชการภายใตสานกงานคณะกรรมการขาราชการพลเรอน

(ก.พ.)

คณะผจดทาหวงเปนอยางยCงวาเอกสารประกอบการสอนเลมนBจกเปนประโยชนตอนกศกษา

และผสนใจทCวไป ตลอดจนปรบใชในชวตประจาวนไดอยางเหมาะสม

คณะผจดทา

2557


สารบญ

หนา

คานา 3

สารบญ 4

บททC 1 การใหเหตผล 1

การใหเหตผลแบบนรนย 3

การใหเหตผลแบบอปนย 12

แบบฝกหดทายบท 18

เอกสารอางอง 22

บททC 2 พBนทCและปรมาตร 23

การหาเสนรอบรปและพBนทCของรปเรขาคณตสองมต 25

การหาพBนผวและปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต 33



บททC 3 อตราสวน เศษสวน และรอยละ 51

อตราสวน 53

สดสวน 54

รอยละ 56

ดอกเบBย 58



บททC 4 การคานวณภาษในชวตประจาวน 71

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา 73

ภาษมลคาเพCม 85




บททC 5 การประยกตใชสมการและอสมการ 99

สมการ 101

อสมการ 111



บททC 6 การประยกตใชความรทางสถต 121

ความหมายของสถต 123

การแจกแจงความถC 131

การวดแนวโนมสสวนกลาง 133

การวดการกระจายของขอมล 136

ความนาจะเปน 140

การประยกตใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต 144



บรรณานกรม 168

คณะผจดทา 170

บทท� �

การใหเหตผล เวลา 6 ช�วโมง

สาระสาคญ /ความคดรวบยอด

การใหเหตผลมอย 2 แบบ คอการใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) และการ

ใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) การใหเหตผลแบบนรนยจะเร/มดวยเหตหลก (Major

Premise) แลวตามดวยเหตรอง (Minor Premise) เม/อพจารณาดความสมพนธระหวางเหตท>งสอง

แลวจงสรปผล (Conclusion) สาหรบการใหเหตผลแบบอปนยน>นจะประกอบดวยเหตหลายๆเหตท/

อสระ และมความสาคญเทาๆกนไมมเหตใดเปนเหตหลกหรอเหตรอง ในท/สดเหตเหลาน>นก

รวมตวกนอยในรปนยท/วไป (Generalization) ซ/ งเรยกวาผล

จดประสงคการเรยนร

1. เพ/อใหผเรยนสามารถใหเหตผลแบบนรนย และบอกไดวาการใหเหตผลน>น

สมเหตสมผลหรอไมเพราะเหตใด

M. เพ/อใหผเรยนสามารถใหเหตผลแบบอปนยได

N. เพ/อใหผเรยนสามารถนาการใหเหตผลท>งแบบนรนยและอปนยไปใชใน

ชวตประจาวนไดอยางเหมาะสม

เน)อหา

1. การใหเหตผลแบบนรนย และการตรวจสอบความสมหตสมผล

M. การใหเหตผลแบบอปนย

กจกรรมประกอบการสอน

1. ผสอนบรรยายใหความร

2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเน>อหา

N. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามท/กาหนดไว

GEN1101 คณตศาสตรในชวตประจาวน 2

ส�อประกอบการสอน

1. เอกสารเน>อหาประกอบการสอน

2. แบบฝกหด

การวดและการประเมนผล

1. ดานความร โดยการตรวจแบบฝกหด

2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกตการใหเหตผล

3. คณลกษณะท/พงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน


ธรรมชาตของคณตศาสตรน>นจะประกอบดวยสองสวน สวนแรกคอโครงสรางทาง

คณตศาสตรซ/ งไดแก คาอนยาม (Undefined Term) คานยาม (Defined Term) สจพจน (Postulate or

Axiom) และทฤษฎบท (Theorem) สวนท/สองคอกระบวนการใหเหตผลซ/งเปนกระบวนการเรยบ

เรยงขอความหรอปรากฏการณตางๆใหเกดความสมพนธกนเพ/อสงผลใหขอความหรอ

ปรากฏการณเหลาน>นมความตอเน/องกนจนทาใหเกดขอความใหมหรอปรากฏการณใหมข>นมา

บางคร> งอาจกลาววากระบวนการใหเหตผลเปนกระบวนการทางจตท/มนษยใชเปนเคร/องมอส/อ

ความหมายกนดวยการเรยบเรยงขอเทจจรงท/มอยกอนท/เรยกวา เหต (Premise) แลวสรางขอเทจจรง

ใหมข>นมาท/เรยกวา ผล (Conclusion)

ในบทน>จะศกษาในสวนของกระบวนการใหเหตผล มนษยใชการใหเหตผลเพ/อแสวงหา

ความรใหม การคดคนทางวทยาศาสตรและเทคโนโลย การวจย บางคร> งอาจใชคอมพวเตอรชวย

ในการวเคราะหขอมลเพ/อหาขอสรปท/ถกตองรวดเรว ปจจบนการใหเหตผลท/มรปแบบท/ชดเจนน>น

ม 2 แบบคอการใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) และการใหเหตผลแบบอปนย

(Inductive Reasoning)

การใหเหตผลแบบนรนย

การใหเหตผลแบบแบบนรนยเปนการใหเหตผลท/ประกอบดวยสองสวนคอสวนแรกเปน

ขอความท/กาหนดข>นกอนซ/งเรยกวาเหต (Premise) จะแยกเปนเหตหลก (Major Premise) และเหต

รอง(Minor Premise) สาหรบขอความท/เปนเหตน>จะนามาจากความรพ>นฐานท/อาจเปน บทนยาม

ความเช/อ ขอตกลงเบ>องตน กฎหรอทฤษฎบท เปนสวนท/รมากอนแลวและยอมรบวาเปนจรง

สวนท/สองเปนขอความท/เกดข>นมาภายหลงเรยกวาผล (Conclusion) ดงน>นเม/อมเหตและผลข>นมา

ชดหน/ง ถาเหตบงคบใหเกดผล หรอผลเปนขอสรปท/ไดมาจากเหต เราเรยกการใหเหตผลน>นวา

เปน การอางเหตผลอยางสมเหตสมผล (Valid Argument) ตรงกนขามถาเหตมไดบงคบใหเกดผล

กลาวคอผลอาจจะมาจากเหตหรอไมกได เราเรยกการใหเหตผลน>นวาเปน การอางเหตผลอยางไม

สมเหตสมผล (Invalid Argument) ตอไปน> เปนตวอยางของการใหเหตผลแบบนรนย


ตวอยางท� 1 เหต 1. คนเชยงรายทกคนเปนคนภาคเหนอ

2. คนภาคเหนอทกคนเปนคนไทย

ผล คนเชยงรายทกคนเปนคนไทย

จากตวอยางท/ 1 เหตขอท/ 1 เปนเหตหลก และเหตขอท/ 2 เปนเหตรอง

ตวอยางท� 2 เหต 1. รปส/ เหล/ยมมมฉากทกรปเปนรปส/เหล/ยมดานขนาน

2. รปส/ เหล/ยมดานขนานทกรปเปนรปส/เหล/ยม

ผล รปส/เหล/ยมมมฉากทกรปเปนรปส/เหล/ยม

ตวอยางท� 3 เหต 1. นกศกษาทกคนเปนคนฉลาด

2. สมบรณเปนคนฉลาด

ผล สมบรณเปนนกศกษา

ตวอยางท� 4 เหต 1. นกศกษาบางคนเปนคนสวย

2. คนผวขาวบางคนสวย

ผล นกศกษาบางคนเปนคนผวขาว

ตวอยางท� 5 เหต 1. ไมมคนสายตาส>นคนใดเปนนกบน

2. แดงเปนคนสายตาส>น

ผล แดงไมเปนนกบน

ตวอยางท� 6 เหต 1. ทก X เปน Y

2. ทก Y เปน Z

ผล ทก X เปน Z

จากตวอยางท/ 1 ถงตวอยางท/ 6 เปนการใหเหตผลแบบนรนยท>งส>น เม/อมการใหเหตผล

แบบนรนยแลวเราตองการตรวจสอบวาเหตบงคบใหเกดผล หรอผลเปนขอสรปมาจากเหตหรอไม

เรยกวธการน>วาการตรวจสอบความสมเหตสมผล (Testing the Validity) วธการหน/งของการ

ตรวจสอบความสมเหตสมผลคอใชแผนภาพวงกลม (Circle Diagram) ท/เรยกวา แผนภาพเวนน

และออยเลอร (Venn and Euler Diagram) เพ/อเปนการใหเกยรตแก จอหนเวนน (John Venn, 1834 –

1923) นกคณตศาสตรชาวองกฤษ ผศกษา และเลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler, 1707 –

1783) นกคณตศาสตรชาวสวส ผรเร/มวธการน>


การตรวจสอบความสมเหตสมผลดวยวธใชแผนภาพเวนนและออยเลอร

การตรวจสอบความสมเหตสมผลดวยวธใชแผนภาพเวนนและออยเลอรน>น เราตอง

เขาใจการเขยนแผนภาพวงกลมเพ/อใชแทนขอความใน 4 แบบ ตอไปน>

แบบท� 1 ขอความ “ทกส/งท/เปน A จะเปน B” เขยนแทนดวยแผนภาพ

B

A

แบบท� 2 ขอความ “ทกส/งท/เปน A จะไมเปน B” เขยนแทนดวยแผนภาพ

A B

แบบท� 3 ขอความ “บางส/งท/เปน A จะเปน B” หรอ “บางส/งท/เปน B จะเปน A” เขยนแทน

ดวยแผนภาพ


แบบท� 4 ขอความ “บางส/งท/เปน A แตไมเปน B” เขยนแทนดวยแผนภาพ

ตวอยางท� 7 จงตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผลตอไปน>

เหต 1. คนดทกคนเปนคนนานบถอ

2. คนนานบถอทกคนเปนคนซ/อสตย

ผล คนดทกคนเปนคนซ/อสตย

วธทา จากเหตขอ 1 จะไดแผนภาพท/ 1 เปน

คนด

คนนานบถอ

จากเหตขอ 2 จะไดแผนภาพท/ 2 เปน


คนซ/อสตย


เม/อนาเอาแผนภาพท/ 1 และแผนภาพท/ 2 มาเขยนเขาดวยกน จะไดแผนภาพท/ 3 ดงน>

คนด


คนซ/อสตย

เม/อพจารณาแผนภาพท/ 3 พบวาทกจดในวงกลมของคนดจะอยในวงกลมของคนซ/อสตย แสดงวา

“คนดทกคนเปนคนซ/อสตย” ซ/ งสอดคลองกบผลของการใหเหตผล ดงน>น การใหเหตผลน> จง

สมเหตสมผล


เหต 1. สตวน>าบางชนดเปนปลา

2. ปลาท>งหมดเปนสตวท/วายน>าได

ผล สตวน>าบางชนดเปนสตวท/วายน>าได




สตวท/วายน>าได

ปลา

เม/อนาเอาแผนภาพท/ 1 และแผนภาพท/ 2 มาเขยนเขาดวยกน จะไดแผนภาพท/ 3 สองแบบ ดงน>

แบบท/ 1


แบบท/ 2



เม/อพจารณาแผนภาพท/ 3 ท>งแบบท/ 1 และแบบท/ 2 พบวาสวนท/แรเงาจาเปนตองอยในวงกลมของ

สตวท/วายน>าไดเสมอ น/นคอ “สตวน>าบางชนดเปนสตวท/วายน>าได” ซ/ งสอดคลองกบผลของการ

ใหเหตผล ดงน>นการใหเหตผลน> จงสมเหตสมผล


เหต 1. ชาวรสเซยบางคนเปนชาวยโรป

2. ชาวรสเซยบางคนเปนชาวเอเซย

ผล ชาวยโรปบางคนเปนชาวเอเซย



เม/อนาเอาแผนภาพท/ 1 และแผนภาพท/ 2 มาเขยนเขาดวยกน จะไดแผนภาพท/ 3 ส/แบบ ดงน>

แบบท/ 1


แบบท/ 2

แบบท/ 3

แบบท/ 4

เม/อพจารณาแผนภาพท/ 3 ท>งแบบท/ 1 ถงแบบท/ 4 พบวาทกแบบสอดคลองกบเหตท/ 1 และเหตท/ 2

ท>งหมด แตมแบบท/ 1 สามารถเขยนแผนภาพหลกเล/ยงไมใหจดบางจดของวงกลมชาวยโรปไปอย


ในวงกลมของชาวเอเซยได ดงน>นการท/สรปผลวา “ชาวยโรปบางคนเปนชาวเอเซย” ไมจรงเสมอ

ไป เพราะฉะน>น การใหเหตผลน> จงไมสมเหตสมผล

จากตวอยางท/ 9 ตอไปไมจาเปนตองเขยนแผนภาพท/ 3 ครบทกแบบกได เพยงแตเลอก

เขยนเฉพาะแบบท/ทาใหผลไมเปนจรง กสามารถสรปไดวาการใหเหตผลน>นไมสมเหตสมผล

ขอใหศกษาตวอยางท/ 10 ตอไปน>


เหต 1. ไมมนกตวใดอาศยอยในน> า

2. นกทกชนดเปนสตวมปก

ผล สตวมปกบางตวอาศยอยในน> า

วธทา จากเหตขอ 1 และขอ 2 สามารถเขยนแผนภาพไดดงน>

นก ส/งท/อาศย

สตวมปก อยในน>า

จากแผนภาพท/ได เราสามารถหลกเล/ยงไมใหจดในวงกลมของสตวมปกเขาไปอยในวงกลมของ

ส/งท/อาศยอยในน>าได ท>งๆท/แผนภาพน>ยงคงสอดคลองกบเหตขอ 1 และขอ 2 ดงน>นการท/สรปผล

วา “สตวปกบางตวอาศยอยในน>า” จงเปนการสรปท/ไมสมเหตสมผล

ขอสงเกตจากการใหเหตผลแบบนรนย เราตองพจารณาแผนภาพตามเหตในทกแบบท/

เปนไปได ถาแผนภาพทกแบบสอดคลองและตรงกบผลสรปแสดงวาการใหเหตผลน>น

สมเหตสมผลดงตวอยางท/ 7 และ 8 แตถามแผนภาพบางแบบไมสอดคลองกบผลสรป แสดงวาการ

ใหเหตผลน>นไมสมเหตสมผล ดงตวอยางท/ 9

อน/งจะเหนวาผลสรปท/ไดจากการใหเหตผลท/สมเหตสมผล ไมจาเปนตองเปนจรงใน

ชวตประจาวนกได ขอใหพจารณาจากตวอยางท/ 11 ตอไปน>



เหต 1. ไกทกตวเปนสตวปก

2. สตวปกทกตวเปนนก

ผล ไกทกตวเปนนก

วธทา จากเหตขอ 1 และขอ 2 สามารถเขยนแผนภาพไดดงน>

ไก

สตวปก

นก

จากแผนภาพจะเหนวาทกจดในวงกลมของไกจาเปนตองอยในวงกลมของนกอยางหลกเล/ยงไมได

ดงน>นการใหเหตผลน>สมเหตสมผล

การใหเหตผลแบบอปนย

การใหเหตผลแบบอปนยเปนการใหเหตผลโดยอาศยเหตหลายๆเหตแตละเหตเปนอสระ

ตอกน และมความสาคญเทาๆกน ไมมเหตใดเปนเหตหลกหรอเหตรองเหมอนกบการใหเหตผล

แบบนรนย เหตเหลาน>อาจไดมาจากการสงเกตหรอการทดลองหลายๆคร> งจนในท/สดเหตเหลาน>น

กรวมตวกนอยในรปของขอสรปท/เปนนยท/วไปในภายหลง นกวทยาศาสตรหรอนกวจยมกใช

การใหเหตผลแบบอปนยเพ/อคนหากฎเกณฑ จะเหนวาการนาเอาขอสงเกตหรอผลการทดลองจาก

บางสวน มาสนบสนนใหไดขอความท/วไปซ/งกนความไปถงทกสวนยอมไมสมเหตสมผล เพราะ

เปนการอนมานเกนส/งท/กาหนดใหดงน>นการใหเหตผลแบบอปนยจงจาเปนตองมขอสงเกตหรอผล

การทดลองมากพอท/จะเช/อไดวาขอสรปน>นเปนจรง เชนเราเคยเหนวาปลาสวนมากออกลกเปนไข

เราจงสรปวา “ปลาทกชนดออกลกเปนไข” ซ/ งเปนเทจ เพราะมปลาบางชนดออกลกเปนตว เชน

ปลาหางนกยง เปนตน ท>งน>อาจเปนเพราะขอสงเกตมนอยเกนไป การใหเหตผลแบบอปนยถก


นามาใชคนควาในทางวทยาศาสตรหรอคณตศาสตร เชนขอสรปท/วา “สารสกดจากสะเดาสามารถ

ใชเปนยากาจดแมลงศตรพชได” ขอสรปน>มาจากการทดลองซ> ากนหลายๆคร> งแลวไดผลตรงกน

ในทางคณตศาสตรใชการใหเหตผลแบบอปนยสรางสจพจน เชน เราทดลองลากเสนตรงสองเสน

บนระนาบใหตดกนจะตดกนไดเพยงจดดยวเทาน>น ไมวาจะทดลองลากก/คร> งกตาม เราจงสรปวา

“บนระนาบเสนตรงสองเสนตดกนจะตดกนเพยงจดเดยวเทาน>น” ใหศกษาตวอยางการใหเหตผล

แบบอปนยดงน>

ตวอยางท� 12 เหต 1. ดาปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

2. ขาวปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

3. เขยวปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

4. แดงปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

5. สมปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

ผล คนทกคนท/ปวดทองกนยา X แลวหายปวดทอง

จากตวอยางท/ 12 จะเหนวาการใหเหตผลแบบอปนยน>น เหตจะมก/เหตกได โดยท/วไปแลวตองม

หลายๆเหต จนเปนท/ม/นใจวาจะสามารถสรปไดถกตอง ซ/ งเราพจารณาจากลกษณะท/คลายกน

ของเหตเหลาน>นมาเปนขอสรปในรปนยท/วไป

ตวอยางท� 13 เหต 1. คนทกคนตองตาย

2. นกทกตวตองตาย

3. สนขทกตวตองตาย

4. ตนไมทกตนตองตาย

5. ปลาทกตวตองตาย

ผล ส/งมชวตทกชนดตองตาย

ตวอยางท� 14 เหต 1. 2 = 1(1 + 1)

2. 2 + 4 = 2(2 +1)

3. 2 + 4 + 6 = 3(3 +1)

4. 2 + 4 + 6 + 8 = 4(4 +1)

5. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5(5 +1)


ผล 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 2n = n(n + 1) สาหรบ n ทกตวท/เปนจานวน

เตมบวก

ตวอยางท� 15 จงใชการใหเหตผลแบบอปนย เพ/อหาสมการถดไปจากแบบรปสมการท/กาหนดให

1. 1 = 1

2. 1 + 2 = 3

3. 1 + 2 + 3 = 6

4. 1 + 2 + 3 + 4 = 10

………………….. = ….

ตอบ 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15


1. (1 × 9) + 2 = 11

2. (12 × 9) + 3 = 111

3. (123 × 9) + 4 = 1,111

………………….. = ….

ตอบ (1,234 × 9) + 5 = 11,111


1. 9 × 9 = 81

2. 99 × 9 = 891

3. 999 × 9 = 8,991

………………….. = ….

ตอบ 9,999 × 9 = 89,991

ตวอยางท� 18 ถาผลบวกของเลขโดดในแตละหลกของจานวนนบท/มสามหลกหารดวย 3 ลงตวแลว

จงใชการใหเหตผลแบบอปนยสรปเก/ยวกบจานวนนบดงกลาว

วธทา สงเกตจานวนนบบางจานวนท/มสามหลกและผลบวกของเลขโดดแตละหลกหารดวย 3 ลง

ตว ดงน>


จานวนนบท/มสามหลก ผลบวกของเลขโดดหารดวย 3 ลงตว ผลลพธของการหารจานวน

นบดวย 3

111 1 + 1 + 1 = 3 111 ÷ 3 = 37

123 1 + 2 + 3 = 6 123 ÷ 3 = 41

171 1 + 7 + 1 = 9 171 ÷ 3 = 57

225 2 + 2 + 5 = 9 225 ÷ 3 = 75

543 5 + 4 + 3 = 12 543 ÷ 3 = 181

945 9 + 4 + 5 = 18 945 ÷ 3 = 315

จากการสงเกตตวอยางของจานวนนบขางตนพบวา เม/อผลบวกของเลขโดดในแตละหลกของ

จานวนนบน>นหารดวย 3 ลงตว แลวจานวนนบดงกลาวกจะหารดวย 3 ลงตวเชนเดยวกน โดยการ

ใหเหตผลแบบอปนยจงสรปวา “ถาผลบวกของเลขโดดในแตละหลกของจานวนนบท/มสามหลก

หารดวย 3 ลงตว แลว จานวนนบน>นจะหารดวย 3 ลงตว”

ตวอยางท� 19 จงใชการใหเหตผลแบบอปนยเพ/อหาจานวนถดไป จากแบบรปของจานวนท/

กาหนดใหในแตละขอตอไปน>

(1) 4, 7, 10, 13, … (4) 102, 204, 306, …

(2) 2, 4, 8, 32, … (5) 2, 5, 11, 14, 20, …

(3) 11, 17, 22, 26, … (6) 2, 7, 23, 72, …

วธทา

(1) 4, 7, 10, 13, …

เพราะวา 4 + 3 = 7, 7 + 3 = 10, 10 + 3 = 13, ดงน>นจานวนถดไปคอ 13 + 3 = 16

(2) 2, 4, 8, 32, …

เพราะวา 2 × 4 = 8, 4 × 8 = 32 ดงน>นจานวนถดไปคอ 8 × 32 = 256

(3) 11, 17, 22, 26, …

เพราะวา 11 + 6 = 17, 17 + 5 = 22, 22 + 4 = 26 ดงน>นจานวนถดไปคอ 26 + 3 = 29

(4) 102, 204, 306, …

เพราะวา 102 + 102 = 204, 204 + 102 = 306 ดงน>นจานวนถดไปคอ 306 + 102 = 408


(5) 2, 5, 11, 14, 20, …

เพราะวา 2 + 3 = 5, 5 + 6 = 11, 11 + 3 = 14, 14 + 6 = 20 ดงน>นจานวนถดไปคอ 20 + 3 = 23

(6) 2, 7, 23, 72, …

เพราะวา (2 × 3) + 1 = 7, (7 × 3) +2 = 23, (23 × 3) +3 = 72 ดงน>นจานวนถดไปคอ (72 × 3) +

4 = 220

อยางไรกตามการใหเหตผลแบบอปนยเพ/อหาขอสรปหรอความจรงน>น ไมจาเปนตองได

ขอสรปท/ถกตองเสมอไป เน/องจากการใหเหตผลแบบอปนยเปนการสรปจากหลกฐานหรอ

ขอเทจจรงท/มอยเทาน>น ขอสรปจะเช/อถอไดมากนอยเพยงใด ข>นอยกบหลกฐานหรอขอเทจจรงท/

นามาอาง โดยมขอสงเกตดงน>

1. จานวนหลกฐานหรอขอเทจจรงท/นามาอางตองมจานวนมากพอ เชน จากแบบรปของ

2, 4, 6, X แลว X ควรเปนจานวนใด จากการสงเกตแบบรปอาจสรปตางกน ดงน>

(1) ถา 2 + 2 = 4 และ 4 + 2 = 6 แลว X = 6 + 2 = 8

(2) ถา 2 + 4 = 6 แลว X = 4 + 6 = 10

(3) ถา (2 × 4) – 2 = 6 แลว X = (4 × 6) – 2 = 22

สาเหตท/สรปตางกนเชนน> เปนเพราะเรามขอเทจจรงเพยง 2, 4 และ 6 เทาน>น ซ/ งมจานวนนอย

เกนไปท/จะนาไปอปนยเพ/อหาคาของจานวน X น/นเอง หรอถาเราไปรบประทานอาหารท/รานแหง

หน/งแลวเกดทองเสย เราจงสรปวาอาหารทกชนดท/รานดงกลาวทาใหทองเสย เปนการสรปท/เช/อถอ

ไดนอยกวาการไปรบประทานอาหารท/รานน>บอยๆแลวทองเสยทกคร> ง

2. ขอสรปของการใหเหตผลแบบอปนยอาจผดพลาดหรอเปนเทจได เชน ให

Fn = + 1 เม/อเราทดลองแทนคา n ดวยจานวนนบ พบวา

F1 = + 1 = 5 เปนจานวนเฉพาะ



F4 = + 1 = 65,537 เปนจานวนเฉพาะ


จงใหเหตผลแบบอปนยสรปวา Fn = + 1 เปนจานวนเฉพาะสาหรบทกจานวนนบ n ซ/ งเปน

การสรปท/ไมถกตอง เพราะ F5 = + 1 = 4,294,967,296 + 1 = 4,294,967,297 แต 4,294,967,297

÷ 641 = 6,700,417 ดงน>น F5 ไมเปนจานวนเฉพาะ

สรป

การใหเหตผลมอย 2 แบบ คอการใหเหตผลแบบนรนย (Deductive Reasoning) และการ

ใหเหตผลแบบอปนย (Inductive Reasoning) การใหเหตผลแบบนรนยจะเร/มดวยเหตหลก (Major

Premise) แลวตามดวยเหตรอง (Minor Premise) เม/อพจารณาดความสมพนธระหวางเหตท>งสอง

แลวจงสรปผล (Conclusion) เหตหลกและเหตรองอาจไดมาจากความรพ>นฐานท/อาจเปน บทนยาม

ความเช/อ ขอตกลงเบ>องตน กฎเกณฑหรอทฤษฎบท เปนสวนท/รมากอนแลวและยอมรบวาเปน

จรง การใหเหตผลแบบนรนยสามารถตรวจสอบไดวาสมเหตสมผลหรอไมโดยใชแผนภาพ

วงกลมเวนนและออยเลอร ถาตรวจสอบแลวพบวาการใหเหตผลแบบนรนยสมเหตสมผล กมได

หมายความวาผลสรปน>นจะเปนจรงในชวตประจาวนเสมอไป สาหรบการใหเหตผลแบบอปนย

น>นจะประกอบดวยเหตหลายๆเหตท/อสระและมความสาคญเทาๆกน ไมมเหตใดเปนเหตหลก

หรอเหตรอง เหตเหลาน>จะไดมาจากการสงเกตหรอการทดลองซ> าๆกนหลายๆคร> ง ในท/สดเหต

เหลาน>นกรวมตวกนอยในรปนยท/วไป (Generalization) ซ/งเรยกวาผล การใหเหตผลแบบอปนยจะ

นาเช/อถอมากย/งข>นถามจานวนขอสงเกตหรอผลการทดลองมากเพยงพอ แตบางคร> งขอสรปจาก

การใหเหตผลแบบอปนยอาจเปนเทจได

………………………………..


แบบฝกหดทายบทท� 1

1. จงตรวจสอบการใหเหตผลแบบนรนยแตละขอตอไปน>วาสมเหตสมผลหรอไม โดยใชแผนภาพ

วงกลมของเวนนและออยเลอร

1.1 เหต 1. นกทกตวบนได

2. สตวบางตวเปนนก

ผล สตวบางตวบนได

1.2 เหต 1. ชาวบานบางคนเปนคนขยน

2. ผหญงท>งหมดเปนคนขยน

ผล ชาวบานบางคนเปนผหญง


1.3 เหต 1. กรรมกรทกคนทางานหนก

2. สมชาตเปนกรรมกร

ผล สมชาตทางานหนก

1.4 เหต 1. ไมมนกการเมองคนใดเปนคนข> เกยจ

2. วชยไมเปนคนข> เกยจ

ผล วชยเปนนกการเมอง


1.5 เหต 1. อาจารยทกคนไดคาจางมาก

2. สพจนไดคาจางมาก

ผล สพจนเปนอาจารย

2. จงใชการใหเหตผลแบบอปนย เพ/อหาสมการถดไปจากแบบรปสมการท/กาหนดใหในแตละขอ

ตอไปน>

2.1 1. 1 = 1

2. 1 + 3 = 4

3. 1 + 3 + 5 = 9

………………….. = ……….

2.2 1. 1 + 10 = 11

2. 1 + 10 + 100 = 111

3. 1 + 10 + 100 + 1,000 = 1,111

………………….. = ……….

2.3 1. 11 × 11 = 121

2. 111 × 111 = 12,321

3. 1,111 × 1,111 = 1,234,321

………………….. = ……….


2.4 1. 9 × 9 = 81

2. 909 × 9 = 8,181

3. 90,909 = 818,181

………………….. = ……….

2.5 1. (1 × 8) + 1 = 9

2. (12 × 8) + 2 = 98

3. (123 × 8) + 3 = 987

………………….. = ……….

2.6 1. 1,089 × 1 = 1,089

2. 1,089 × 2 = 2,178

3. 1,089 × 3 = 3,267

4. 1,089 × 4 = 4,356

………………….. = ……….

3. จงใชการใหเหตผลแบบอปนยเพ/อหาจานวนถดไป จากแบบรปของจานวนท/กาหนดใหใน

แตละขอตอไปน>

3.1 2, 4, 8, 16, ……

3.2 3, 9, 4, 16, 5, ……

3.3 1, 2, 4, 8, ……

3.4 25, 24, 22, 19, ……

3.5 3, 10, 27, 68, ……


เอกสารอางอง

นพพร ธนะชยขนธ. (2543). คณตศาสตรพ>นฐาน. เชยงราย : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยราชภฏเชยงราย.

การใหเหตผล.สบคนเม/อ 4 พฤษภาคม 2557, จาก http://www. thaigoodview.com/node/18026

การใหเหตผล.สบคนเม/อ 4 พฤษภาคม 2557, จาก ttp://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?

Leonhardy, A. (1960). College Algebra. Missouri : John Wiley & Sons.

Lipschuyz, S. & Hall, G. G. (1966). Finite Mathematics. New York : McGraw – Hill Book

Company.

บทท� 2

พนท�และปรมาตร เวลา 9 ช�วโมง


ในชวตประจาวนเราใชความรทางเรขาคณต ในการหาพ�นท� ระยะทาง และปรมาตร เชน การหา

ระยะทางระหวางจดสองจด การหาปรมาตรของน�าในสระ การหาพ�นท�ของผนงท�ตองการปวอลเปเปอร

เปนตน


1. เพ�อใหผเรยนหาเสนรอบรปของรปเรขาคณตสองมตได

2. เพ�อใหผเรยนหาพ�นท�ของรปเรขาคณตสองมตได

3. เพ�อใหผเรยนหาพ�นท�ผวของรปเรขาคณตสามมตได

4. เพ�อใหผเรยนหาปรมาตรของรปเรขาคณตสามมตได

5. เพ�อใหผเรยนสามารถนาความรเร�องพ�นท�และปรมาตรไปใชในชวตประจาวนไดอยาง

เหมาะสม

เนอหา

1. การหาเสนรอบรปและพ�นท�ของรปเรขาคณตสองมต

3. การหาพ�นท�ผวและปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต



3. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเน�อหา

6. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามท�กาหนดไว



1. เอกสารเน�อหาประกอบการสอน




2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการใหเหตผล และการแกปญหา

3. คณลกษณะท�พงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน


รปเรขาคณตสองมต มความกวาง ความยาว ใชแสดงขนาด แบงตามลกษณะของดาน

หรอขอบของรปน�น เชน รปสามเหล�ยม รปส�เหล�ยม รปหลายเหล�ยม หรอ รปวงกลม เปนตน

ตวอยางรปเรขาคณตสองมต

รปสามเหล�ยม รปส�เหล�ยม รปหลายเหล�ยม รปวงกลม

รปเรขาคณตสามมต ใชแสดงรปราง เปนรปทรงสามมตท�มฐานหรอหนาตดเปนรปตางๆ

เชน ทรงกระบอก ทรงกลม พระมด ทรงส�เหล�ยมมมฉาก เปนตน

ตวอยางรปเรขาคณตสามมต

ทรงกระบอก ทรงกลม พระมด ทรงส�เหล�ยมมมฉาก

การหาเสนรอบรปและพนท�ของรปเรขาคณตสองมต

สตรการหาเสนรอบรปของรปเรขาคณตสองมต

เสนรอบรปของส�เหล�ยมจตรส = 4 × ความยาวดาน

เสนรอบรปของส�เหล�ยมผนผา = 2 × (ดานกวาง + ดานยาว)

เสนรอบรปของรปวงกลม = r2π เม�อ r คอความยาวของรศม

และ π มคาประมาณ 14.3 หรอ 722


ตวอยางท� 1 จงหาเสนรอบรปของรปท�กาหนดใหตอไปน�

1. รปส� เหล�ยมจตรสท�มความยาวของดานเทากบ 8 เซนตเมตร

2. รปส� เหล�ยมผนผากวาง 12 เมตร ยาว 18 เมตร

3. รปวงกลมรศม 28 น�ว (π มคาประมาณ 722 )

วธทา

1. เสนรอบรปของส�เหล�ยมจตรส = 4 × ความยาวดาน

= 4 × 8 เซนตเมตร

= 32 เซนตเมตร

2. เสนรอบรปของส�เหล�ยมผนผา = 2 × (ดานกวาง + ดานยาว)

= 2 × (12 + 18) เมตร

= 60 เมตร

3. เสนรอบรปของรปวงกลม = r2π เม�อ r คอความยาวของรศม

≈ 2 × 722 × 28 น�ว

≈ 176 น�ว

ตวอยางท� 2 นายหน�งมปญหาเร�องน�าหนกตว คณหมอจงส�งใหเดนอยางนอยวนละ 1,500 เมตร

ถาในหมบานของนายหน�งมสนามรปคร� งวงกลมดงรป นายหน�งจะตองเดนอยางนอยก�รอบสนาม

จงไดระยะทางตามท�หมอส�ง (π มคาประมาณ 722 )


วธทา

จากรป วงกลมมเสนผานศนยกลางยาว 70 เมตร ดงน�นรศม ยาว 35 เมตร


≈ 2 × 722 × 35 เมตร

≈ 220 เมตร

ถานายหน�งเดนรอบสนาม 1 รอบ จะไดระยะทาง 2220 + 70 ≈ 180 เมตร

คณหมอส�งนายหน�งใหเดนอยางนอยวนละ 1,500 เมตร

ดงน�นนายหน�งจะตองเดนรอบสนามอยางนอย 180500,1 ≈ 9 รอบจงไดระยะทางตามท�

หมอส�ง

หนวยการวดความยาว

หนวยการวดความยาวท�สาคญ ซ� งผเรยนควรรจกมดงน�

O เมตร เทากบ OPP เซนตเมตร

O กโลเมตร เทากบ O,PPP เมตร

O ฟต เทากบ O2 น�ว

O วา เทากบ 2 เมตร

O น�ว เทากบ 2.54 เซนตเมตร( โดยประมาณ)

O ไมล เทากบ 1.6093 กโลเมตร( โดยประมาณ)

ตวอยางท� 3 สหรถ สงคปรชา นกแสดงท�มช�อเสยงสง 180 เซนตเมตร สวนโรเจอร เฟเดอเรอร

เปนนกเทนนสอาชพชาวสวส สง 6 ฟต 1 น�ว อยากทราบวาใครสงกวากน และสงกวาเทาไร

วธทา

เน�องจาก O ฟต เทากบ O2 น�ว

ดงน�น โรเจอร เฟเดอเรอร สง 6 ฟต 1 น�ว เทากบ ( 6 × 12 ) + 1 = 73 น�ว


เน�องจาก O น�ว เทากบ 2.54 เซนตเมตรโดยประมาณ

ดงน�น โรเจอร เฟเดอเรอร สงประมาณ 73 × 2.54 ≈ 185.42 เซนตเมตร

แตสหรถ สงคปรชา สง 180 เซนตเมตร

น�นคอ โรเจอร เฟเดอเรอร สงกวา สหรถ ประมาณ 185.42 – 180 ≈ 5.42 เซนตเมตร

ตวอยางท� 4 ผาปโตะรปส�เหล�ยมผนผากวาง 85 เซนตเมตร ยาว 1.5 เมตร ตองการตดผาลกไมรอบ

ชายผาท�งหมด ตองใชผาลกไมยาวก�เมตร

วธทา

เน�องจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร

ดงน�นผาปโตะรปส�เหล�ยมผนผากวาง 85 เซนตเมตร เทากบ 0.85 เมตร


= 2 × (0.85 + 1.5) เมตร

= 4.7 เมตร

ถาตองการตดผาลกไมรอบชายผาท�งหมด ตองใชผาลกไมยาว 4.7 เมตร

สตรการหาพนท�ของรปเรขาคณตสองมต

พ�นท�รปส� เหล�ยมจตรส = ดาน × ดาน

พ�นท�รปส� เหล�ยมผนผา = ดานกวาง × ดานยาว

พ�นท�ของรปส�เหล�ยมดานขนาน = ความยาวของฐาน × ความสง

พ�นท�ของรปส�เหล�ยมขนมเปยกปน = 21 × ผลคณความยาวเสนทแยงมม

พ�นท�ส� เหล�ยมคางหม = 21 × สง × ผลบวกดานคขนาน

พ�นท�ส� เหล�ยมใดๆ = 21 × ความยาวของเสนทแยงมม × ผลบวก

ของ เสนก�งท�ต�งฉากกบเสนทแยงมมน�น

พ�นท�รปสามเหล�ยม = 21 × สง × ฐาน

พ�นท�ของรปวงกลม = 2rπ เม�อ r คอความยาวของรศม


ตวอยางท� 5 จงหาพ�นท�ของรปท�กาหนดใหตอไปน�

วธทา

จากรปท�กาหนดให แบงเปน 2 รปเลก

Iณ

รปท� 1 เปนพ�นท�รปส� เหล�ยมผนผา กวาง 2 เซนตเมตร ยาว 3 เซนตเมตร


= 2 × 3 ตารางเซนตเมตร

= 6 ตารางเซนตเมตร

รปท� 2 เปนพ�นท�รปส� เหล�ยมผนผา กวาง 2 เซนตเมตร ยาว 7 เซนตเมตร




ดงน�นพ�นท�ของรปท�กาหนดให = 6 + 14 = 20 ตารางเซนตเมตร

3 ซม. 2 ซม.

2 ซม. 2 ซม.

7 ซม.

3 ซม. 2 ซม.

2 ซม. 2 ซม.

7 ซม.


ตวอยางท� 6 จงหาพ�นท�ของรปท�กาหนดใหตอไปน�

วธทา

จากรปท�กาหนดให แบงเปน 2 รปเลก

รปท� 1 เปนพ�นท�รปส� เหล�ยมผนผา BCDG กวาง 4 เซนตเมตร ยาว 12 เซนตเมตร





รปท� 2 เปนพ�นท�รปส� เหล�ยมคางหม AFEG มดาน AF และGE เปนดานคขนาน


= 21 × 6 × (5 + 9) ตารางเซนตเมตร


ดงน�นพ�นท�ของรปท�กาหนดให = 48 + 42 = 90 ตารางเซนตเมตร

ตวอยางท� 7 ถาจางคนตดหญาในสนามรปวงกลมรศม 14 เมตร ในราคาตารางเมตรละ 1.50 บาท

จะเสยคาตดหญาท�งหมดเทาไร (π มคาประมาณ 722 )

วธทา


≈ 722 × 14 × 14 ตารางเมตร

≈ 616 ตารางเมตร

ถาจางคนตดหญาราคาตารางเมตรละ 1.50 บาท

ดงน�นตองเสยเงนคาตดหญาท�งหมด 616 × 1.50 = 924 บาท

หนวยการวดพนท�

หนวยการวดพ�นท�ท�สาคญ ซ� งผเรยนควรรจกมดงน�

O ตารางเมตร เทากบ OP,PPP ตารางเซนตเมตร

O ตารางกโลเมตร เทากบ O,PPP,PPP ตารางเมตร

O ตารางฟต เทากบ OZZ ตารางน�ว

O ไร เทากบ Z งาน

O งาน เทากบ OPP ตารางวา

O ไร เทากบ ZPP ตารางวา


O ตารางวา เทากบ Z ตารางเมตร

O ตารางกโลเมตร เทากบ [3\ ไร

ตวอยางท� 8 ท�ดนแปลงหน�งเปนรปส�เหล�ยมผนผา มพ�นท� 1 ไร 2 งาน 84 ตารางวา และกวาง 48

เมตร ท�ดนแปลงน�ยาวก�เมตร

วธทา

ท�ดน 1 ไร 2 งาน 84 ตารางวา คดเปนพ�นท� 684 ตารางวา

พ�นท� O ตารางวา เทากบ Z ตารางเมตร

ดงน�นพ�นท� 684 ตารางวา เทากบ 68Z × 4 = 2,736 ตารางเมตร

ท�ดนกวาง 48 เมตร

ดงน�น ท�ดนแปลงน�ยาว 48736,2 = 57 เมตร

ตวอยางท� 9 บรเวณท�เล�ยงมาแหงหน�งเปนรปส�เหล�ยมผนผา มพ�นท� 2 ไร 16 ตารางวา มความกวาง

24 วา ถาจะซ�อลวดหนามมาลอมท�ดนแหงน� ลวดหนามท�จะใชขง 1 รอบตองยาวอยางนอยท�สด

ก�เมตร

วธทา

ท�ดน 2 ไร 16 ตารางวาคดเปนพ�นท� 816 ตารางวา

ท�ดนกวาง 24 วา


ดงน�น ท�ดนแหงน�ยาว 24816 = 34 วา


= 2 × (24 + 34 ) วา

= 116 วา

เน�องจากความยาว O วา เทากบ 2 เมตร

ดงน�นลวดหนามท�จะใชขง 1 รอบตองยาวอยางนอยท�สด 116 × 2 = 232 เมตร


ตวอยางท� 10 สนามฟตบอลรปส�เหล�ยมผนผา กวาง 35 วา ยาว 65 วา ผรบเหมาตดหญาคดคาตด

หญาตารางเมตรละ 0.75 บาท จะตองเสยคาตดหญาเปนเงนเทาไร

วธทา

สนามฟตบอลมความกวาง 35 วา และความยาว 65 วา

ดงน�น สนามฟตบอลมพ�นท�เปน 35 × 65 = 2,275 ตารางวา

เน�องจาก O ตารางวา เทากบ Z ตารางเมตร

น�นคอ สนามฟตบอลผนน� มพ�นท�เปน 2,275 × 4 = 9,100 ตารางเมตร

ดงน�น เสยคาตดหญาเปนเงน 9,100 × 0.75 = 6,825 บาท

การหาพนท�ผวและปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต

สตรการหาพนท�ผวของรปเรขาคณตสามมต

พ�นท�ผวของทรงส�เหล�ยมมมฉาก = พ�นท�ผวขาง + (2 × พ�นท�ฐาน)

พ�นท�ผวขางของทรงส�เหล�ยมมมฉาก = ความยาวรอบฐาน × ความสง

พ�นท�ผวของทรงกระบอก = พ�นท�ผวขาง + (2 × พ�นท�ฐาน)

= rh2π + (2 × 2rπ )

เม�อ r คอรศมปากกระบอก และ h คอความสง

ของทรงกระบอก

พ�นท�ผวของทรงกลม = 2r4π เม�อ r คอความยาวรศมของทรงกลม

ตวอยางท� 11 จงหาพ�นท�ผวของรปเรขาคณตสามมตท�กาหนดใหตอไปน�

1. ทรงกระบอกสง 11 เซนตเมตร รศมของฐาน 2.5 เซนตเมตร

2. รปทรงกลม มรศม 27 เซนตเมตร (π มคาประมาณ 3.14)

วธทา 1. พ�นท�ผวของทรงกระบอก = พ�นท�ผวขาง + (2 × พ�นท�ฐาน)

= rh2π + (2 × 2rπ )

≈ (2 × 3.14 × 2.5 × 11)+ (2 × 3.14 × 2.5 × 2.5)


≈ 211.95 ตารางเซนตเมตร

2. พ�นท�ผวของทรงกลม = 2r4π

≈ 4 × 3.14 × 27 × 27 ตารางเซนตเมตร

≈ 9,156.24 ตารางเซนตเมตร

ตวอยางท� 82 ลงไมเปดทรงส�เหล�ยมมมฉาก มดานกวาง 2 เมตร ยาว 3 เมตร และสง O เมตร

ถาตองการทาสภายนอกท�งหาดาน บรเวณท�ทาสจะมพ�นท�เทาใด

วธทา

ลงไมทรงส� เหล�ยมมมฉาก มดานกวาง 2 เมตร ยาว 3 เมตร และสง O เมตร

ผนงลงไมเปนรปส� เหล�ยมมมฉากมส�ดาน ดานท�อยตรงขามกนจะมพ�นท�เทากน

จะไดพ�นท�ของผนงลงไมคหน�ง = 3 × (ความกวาง × ความสง)

= 2 × (2 × O)

= 4 ตารางเมตร

พ�นท�ของผนงลงไมอกคหน�ง = 3 × (ความยาว × ความสง)

= 2 × (3 × O)


พ�นท�ของพ�น = ความกวาง × ความยาว

= 2 × 3


ดงน�น บรเวณท�ทาสท�งหาดาน มพ�นท� = 4 + 6 + 6 = 16 ตารางเมตร


ตวอยางท� 13 แจนตองการทากลองเหลกทรงลกบาศกยาวดานละ 10 น�ว ถาแผนเหลกราคา

ตารางน�วละ 25 บาท แจนตองซ�อแผนเหลกเปนเงนเทาไรเพ�อทากลองใบน�

วธทา

ทรงลกบาศกคอทรงส�เหล�ยมมมฉากท�มความกวาง ความยาว และความสงเทากน


= (ความยาวรอบฐาน × ความสง) + (2×พ�นท�ฐาน)

= ((10 + 10 + 10 + 10) × 10) + (2 × (10 × 10))

= 600 ตารางน�ว

ถาแผนเหลกราคาตารางน�วละ 25 บาท

ดงน�น แจนตองซ�อแผนเหลกเปนเงน 600 × 25 = 15,000 บาท

สตรการหาปรมาตรของรปเรขาคณตสามมต

ปรมาตรของทรงส�เหล�ยมมมฉาก = พ�นท�ฐาน × ความสง

ปรมาตรของทรงส�เหล�ยมมมฉาก = ความกวาง × ความยาว × ความสง

ปรมาตรของทรงกระบอก = hr2π

เม�อ r คอรศมปากกระบอก

และ h คอความสงของทรงกระบอก

ปรมาตรของทรงกลม = 3πr3

4 เม�อ r คอความยาวรศมของทรงกลม


ตวอยางท� 14 จงหาปรมาตรของทรงกลมซ�งมรศม 27 เซนตเมตร (π มคาประมาณ 3.14)

วธทา



≈ 34 × 3.14 × 27 × 27 × 27ลกบาศกเซนตเมตร

≈ 82,406.16 ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยางท� 15 จงหาปรมาตรของรปทรงตอไปน� (ความยาวท�กาหนดใหมหนวยเปนเซนตเมตร)

วธทา

พจารณารปทรงท�กาหนดให แบงออกเปนสองสวนปรซมส�เหล�ยมมมฉากและปรซม

สามเหล�ยมมมฉาก



ปรซมส�เหล�ยมมมฉากมปรมาตร = 12 × O6 × 4 ลกบาศกเซนตเมตร

= 768 ลกบาศกเซนตเมตร

ปรมาตรของปรซมสามเหล�ยมมมฉาก = พ�นท�ฐาน × ความสง

= ( 21 × สง × ฐาน) × ความสง

= ( 21 × 8 × 16) × 12 ลกบาศกเซนตเมตร

= 768 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงน�น ปรมาตรของรปทรงน� เทากบ 768 + 768 = 1,536 ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยางท� 86 แกวทรงกระบอกใบหน�งมรศม 7 เซนตเมตร สง 14 เซนตเมตร ใสน�าไวเตม เม�อ

หยอนโลหะทรงกลมลงไปในแกวแลวนาโลหะออก พบวา เหลอน�าในแกว คร� งหน�ง โลหะชนดน�

มปรมาตรเทาไร (π มคาประมาณ 722 )

วธทา ปรมาตรของทรงกระบอก = hr2π

≈ 722 × 7 × 7 × 14 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงน�น แกวใบน� มน�าอย ≈ 2,156 ลกบาศกเซนตเมตร

ถาหยอนโลหะทรงกลมลงไปในแกวแลวนาโลหะออก พบวา เหลอน�าในแกว คร� งหน�ง

จะไดวา ปรมาตรน�าท�หายไปคร� งหน�งคอ ปรมาตรของโลหะทรงกลม

ดงน�นโลหะชนดน� มปรมาตรประมาณ 2156,2 ≈ 1,078 ลกบาศกเซนตเมตร


หนวยการวดปรมาตร

หนวยการวดปรมาตรท�สาคญ ซ� งผเรยนควรรจกมดงน�

O ลกบาศกเมตร เทากบ O,PPP,PPP ลกบาศกเซนตเมตร

O ลตร เทากบ O, PPP ลกบาศกเซนตเมตร

O ลกบาศกเมตร เทากบ O,PPP ลตร

O ถวยตวง เทากบ ` ออนซ

O ชอนชา เทากบ \ ลกบาศกเซนตเมตร( โดยประมาณ)

O ถวยตวง เทากบ 3ZP ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยางท� 87 อ�มอนด�มนมวนละ 3 ขวด ขวดละ 12 ออนซ ในแตละวนอ�มอนไดด�มนมก�ลกบาศก

เซนตเมตร

วธทา นม 3 ขวด ขวดละ 12 ออนซ คดเปนนม 24 ออนซ

เน�องจาก ` ออนซ เทากบ O ถวยตวง

นม 3 ขวด ขวดละ 12 ออนซ คดเปนนม 3 ถวยตวง

เน�องจาก O ถวยตวง เทากบ 3ZP ลกบาศกเซนตเมตร

ดงน�น นม 3 ถวยตวง คดเปนนม 3 × 240 = 720 ลกบาศกเซนตเมตร

น�นคอ อ�มอนด�มนมวนละ 72P ลกบาศกเซนตเมตร


ตวอยางท� 88 กลองพลาสตกทรงส�เหล�ยมมมฉากใบหน�งกวาง 7P เซนตเมตร ยาว O.5 เมตร สง

O.3 เมตร กลองน�จะมความจก�ลตร

วธทา


ขนาดของกลอง กวาง 7P เซนตเมตร

ยาว O.5 เมตร = O5P เซนตเมตร

สง O.3 เมตร = O3P เซนตเมตร

กลองใบน� มปรมาตร = 7P × O5P × O3P

= 1,36P,PPP ลกบาศกเซนตเมตร

ปรมาตร O,PPP ลกบาศกเซนตเมตร เทากบ O ลตร

ดงน�น กลองใบน� มความจเทากบ 000,1000,260,1 = 1,260 ลตร

ตวอยางท� 19 โคมไฟฟาแกวรปทรงกลมมรศมภายนอก O2 เซนตเมตร แกวหนา P.6 เซนตเมตร

จงหาปรมาตรของแกวท�ใชทาโคมไฟฟาน� (π มคาประมาณ 3.14)

วธทา

โคมไฟฟาแกวรปทรงกลมมรศม O2 เซนตเมตร

แกวหนา P.6 เซนตเมตร

รศมภายใน = 12 – 0.3 = 11.7 เซนตเมตร



ดงน�น ปรมาตรของโคมไฟฟารวมชองวางภายในดวย

≈ 34 × 3.14 × 12 × 12 × 12 ลกบาศกเซนตเมตร


ปรมาตรของชองวางภายใน ≈ 34 × 3.14 × 11.7 × 11.7 × 11.7



ดงน�น แกวท�ใชทาโคมไฟฟาน� มปรมาตร ≈ 7,234.56 – 6,705.42

≈ 529.14 ลกบาศกเซนตเมตร

ตวอยางท� 20 ทอเหลกกลวงทรงกระบอกยาว 21 เซนตเมตร หนา 1 เซนตเมตร มเสนผาน

ศนยกลาง 16 เซนตเมตร จงหาปรมาตรของเหลกท�ใชทาทอ (π มคาประมาณ 722 )

r 1

14 R = 8

r = 7

16

วธทา


ปรมาตรทอกลวง = hR 2π – hr2

π

= (π ×82 ×21) – (π ×72

×21)

= 1,344π – 1,029π

= 315π

≈ 315 × 722 ≈ 990 ลกบาศกเซนตเมตร

ดงน�น ปรมาตรเหลกท�ใชทาทอประมาณ 990 ลกบาศกเซนตเมตร


ตวอยางท� 21 ระบายน�าจากบอน�าใหญเขาบอปลาทรงส�เหล�ยมมมฉากซ�งมพ�นท�ฐาน 5,400 ตาราง

ฟต ถาระบายน�าเขาบอปลาไดนาทละ 300 ลกบาศกฟต ตองใชเวลานานเทาไร ระดบน�าในบอปลา

จงจะสงข�น 20 น�ว

วธทา


บอปลาทรงส�เหล�ยมมมฉากมพ�นท�ฐาน 5,400 ตารางฟต

ถาระบายน�าเขาบอปลาไดนาทละ 300 ลกบาศกฟต

ดงน�น ใน 1 นาท ระดบน�าในบอปลาจะสงข�น 400,5300 = 18

1 ฟต

เน�องจาก O ฟต เทากบ O2 น�ว

ดงน�น ใน 1 นาท ระดบน�าในบอปลาจะสงข�น 181 × 12 = 3

2 น�ว

ถาตองการใหระดบน�าในบอปลาสงข�น 20 น�ว

จะตองใชเวลาระบายน�าเขาบอปลา = 3220 ÷ = 20 × 2

3 = 30 นาท

ตวอยางท� 22 แทงเหลก ขนาดกวาง 10 เซนตเมตร ยาว 32 เซนตเมตรสง 0.5 เมตรนามาหลอม

เพ�อหลอเปนลกเปตองเหลกท�มเสนผานศนยกลางยาว 8 เซนตเมตร จะไดท�งหมดประมาณก�ลก (π มคาประมาณ 3.14)

วธทา


ขนาดของแทงเหลก กวาง 1P เซนตเมตร

ยาว 32 เซนตเมตร

สง 0.5 เมตร = 5P เซนตเมตร

แทงเหลกน� มปรมาตร = 1P × 32 × 5P

= 16,PPP ลกบาศกเซนตเมตร




≈ 34 × 3.14 × 4 × 4 × 4 ลกบาศกเซนตเมตร

ลกเปตองเหลกหน�งลกมปรมาตร ≈ 267.95 ลกบาศกเซนตเมตร

เม�อนาแทงเหลกมาหลอม เพ�อหลอเปนลกเปตองจะไดท�งหมด 95.267

000,16≈ 59 ลก

สรป

รปเรขาคณตสองมต มสตรการหาเสนรอบรปและการหาพ�นท� ดงน�

เสนรอบรปของส�เหล�ยมจตรส = 4 × ความยาวดาน



พ�นท�รปส� เหล�ยมจตรส = ดาน × ดาน


พ�นท�ของรปส� เหล�ยมดานขนาน = ความยาวของฐาน × ความสง

พ�นท�ของรปส� เหล�ยมขนมเปยกปน = 21 × ผลคณความยาวเสนทแยงมม


พ�นท�ส� เหล�ยมใดๆ = 21 × ความยาวของเสนทแยงมม ×

ผลบวกของเสนก�งท�ต�งฉากกบเสนทแยงมมน�น

พ�นท�รปสามเหล�ยม = 21 × สง × ฐาน



รปเรขาคณตสามมต มสตรการหาพ�นท�ผวและการหาปรมาตร ดงน�


พ�นท�ผวขางของทรงส�เหล�ยมมมฉาก = ความยาวรอบฐาน × ความสง

พ�นท�ผวของทรงกระบอก = พ�นท�ผวขาง + (2 × พ�นท�ฐาน)

= rh2π + (2 × 2rπ )

พ�นท�ผวของทรงกลม = 2r4π





4



1. ท�ดนแปลงหน�งเปนรปส�เหล�ยมจตรสยาวดานละ 24 เมตร ตองการปลกตนไผรอบท�ดนแหงน�

โดยปลกหางกนตนละ 2 เมตร จะตองใชตนไผท�งหมดก�ตน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………,

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

2. สวนขนดหน�งเปนรปส�เหล�ยมจตรสมพ�นท� 7,396 ตารางเมตร สวนน�ยาวดานละก�วา

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


3. ฝาผนงรปส�เหล�ยมผนผามความกวาง 3.5 เมตร ยาว 5 เมตร มหนาตางรปส�เหล�ยมจตรสยาวดาน

ละ 80 เซนตเมตรอย 2 บานถาตองการทาสผนงหองโดยไมทาสหนาตาง จะตองทาสเปนพ�นท�เทาไร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

4. กรอบรปอนหน�งมกรอบทาดวยไมสก วดขอบรอบนอกได กวาง 42 น�ว ยาว 54 น�ว ขอบไมกวาง

3 น�ว จงหาวาบรเวณท�เปนภาพมพ�นท�ก�ตารางฟต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….


5. นายหนมตองการเดนออกกาลงกายอยางนอยวนละ 1 กโลเมตร ถาในหมบานของนายหนมม

สนามหญารปวงกลมท�มเสนผานศนยกลาง 50 เมตร นายหนมจะตองเดนอยางนอยก�รอบสนามจง

ไดระยะทางตามท�ตองการ (π มคาประมาณ3.14 )

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

6. น�าทพยตองการซ�อดนมาถมสนามหญาหนาบานซ�งเปนรปส�เหล�ยมมมฉากกวาง 18 เมตร ยาว 22

เมตร โดยยกระดบสงกวาระดบเดม 35 เซนตเมตร ถารถบรรทกดนคนหน�งมกระบะบรรทกยาว 3.5

เมตร กวาง 2 เมตร สง 1 เมตร จะตองซ�อดนอยางนอยก�คน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


7. แมน�าสายหน�งลก 9 เมตร กวาง 175 เมตร โดยเฉล�ยน�าไหลลงทะเลดวยอตราเรวประมาณ 4.5

กโลเมตรตอช�วโมง จงหาปรมาตรน�าท�ไหลลงทะเลใน 1 วนาท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

8. ถงเกบน�าฝนทรงกระบอกของบานหลงหน�งสง 3 เมตร วดเสนรอบวงภายในไดเทากบ 3.14 เมตร

ถงใบน� เกบน�าฝนไวไดมากท�สดเทาใด (π มคาประมาณ3.14 )

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


9. ลกฟตบอลลกหน�งวดความยาวรอบวงกลมใหญได 66 เซนตเมตร ถาลกฟตบอลทาดวยหนงหนา

0.5 เซนตเมตร จะจลมไดก�ลกบาศกเซนตเมตร (π มคาประมาณ 722 )

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

10. ทอน�าทรงกระบอกสองทอทาจากวสดชนดเดยวกน มความหนาสม�าเสมอ ทอท�หน� งยาว 42

เซนตเมตร เสนผานศนยกลางภายในยาว 60 เซนตเมตร ทอท�สองยาว 90 เซนตเมตร เสนผาน

ศนยกลางภายในยาว 40 เซนตเมตร ถาปลอยใหน�าไหลผานทอพรอมกน จงหาวาทอน� าใดมน�าไหล

ผานไดมากกวา (π มคาประมาณ3.14 )

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………….



สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2553). หนงสอเรยนรายวชาพ�นฐาน

คณตศาสตร เลม 1 ช�นมธยมศกษาปท� 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตร

หลกสตรแกนกลางการศกษาข�นพ�นฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.

ลาดพราว.

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2552). หนงสอเรยนสาระการเรยนรพ�นฐาน

คณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ช�นมธยมศกษาปท� 3 ตามหลกสตร

หลกสตรการศกษาข�นพ�นฐาน พทธศกราช 2544. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.ลาดพราว.

คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/XQblon

คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/K9NeYG


บทท� 3

อตราสวน สดสวนและรอยละ เวลา 6 ช�วโมง


อตราสวน เปนการเปรยบเทยบจานวนต�งแตสองจานวนข�นไป ซ� งเขยนอยในรปท�วไป

คอ ba : หรอ ba

ในการเขยนอตราสวนนยมเขยนใหอยในรปอตราสวนอยางต�า สวนการหา

อตราสวนท�เทากบอตราสวนท�กาหนดใหน�น หาไดโดยใชการคณหรอการหารดวยจานวนเดยวกน และการตรวจสอบการเทากนของอตราสวนอาจจะใชวธการคณไขว และการเปรยบเทยบจานวนต�งแตสามจานวนข�นไปในรปอตราสวนน�น ตองทาใหอตราสวนน�นๆ เปนอตราสวนเดยวกน จงจะเปรยบเทยบกนได

สดสวน เปนการเขยนแสดงการเทากนของสองอตราสวน การหาคาตวแปรในสดสวนหาไดโดยใชวธการคณ วธการหาร และวธการคณไขว

รอยละ เปนอตราสวนท�มจานวนหลงหรอมตวสวนเปน 100 นยมเรยกวา เปอรเซนต เราสามารถเปล�ยนอตราสวนใหเปนรอยละ หรอเปล�ยนรอยละใหเปนอตราสวนได


1. เพ�อใหผเรยนเขาใจความหมายของอตราสวน สดสวน และรอยละ 2. เพ�อใหผเรยนหาอตราสวนท�เทากบอตราสวนท�กาหนดใหได 3. เพ�อใหผเรยนใชความรเร�องอตราสวน สดสวน หาคาของตวแปรท�ตองการได 8. เพ�อใหผเรยนเขยนอตราสวนใหอยในรปรอยละและเขยนรอยละใหอยในรปอตราสวน

ได 5. เพ�อใหผเรยนสามารถแกโจทยปญหาและตรวจสอบคาตอบเก�ยวกบอตราสวน สดสวน

รอยละ และดอกเบ�ยได

เน(อหา

1. อตราสวนและการแกปญหา ;. สดสวนและการแกปญหา <. รอยละ ดอกเบ�ยและการแกปญหา




2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเน�อหา

<. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามท�กาหนดไว


1. เอกสารเน�อหาประกอบการสอน




2. ดานทกษะกระบวนการ โดยการสงเกตการใหเหตผล



อตราสวน (Ratio) และ สดสวน (Proportion) เปนเคร�องมอท�ใชในการเปรยบเทยบหรอ

หาคาท�เกดจากการเปรยบเทยบส�งตางๆอาท การผสมสารเคมกาจดวชพช ท�ตองเปรยบเทยบปรมาณ

สารเคมกบปรมาณน� า หรอการประกอบอาหาร ท�ตองเปรยบเทยบปรมาณเคร�องปรง และวตถดบ

เปนตน ซ� งหาไดโดยใชการคณหรอการหารดวยจานวนเดยวกน และการตรวจสอบการเทากนของ

อตราสวน และเราสามารถเปล�ยนอตราสวนใหเปนรอยละ รอยละ (Percent) โดยทาใหเปน

อตราสวนท�มจานวนหลงหรอมตวสวนเปน 100 ซ� งเราสามารถประยกต ใชกบปญหาเร�อง ดอกเบ(ย

(Interest) ซ� งม 2 แบบคอ ดอกเบ(ยเชงเดยว (Simple Interest) และดอกเบ(ยทบตน (Compound

Interest) ซ� งปญหาเหลาน�สามารถเจอไดในชวตประจาวน

อตราสวน

อตราสวนเปนการเปรยบเทยบของส�งหน�งตอของอกส�งหน�งท�มหนวยอยางเดยวกน เชน

a: b อานวา a ตอ b หรอ ba

ตวอยางท� 1 ในการเปรยบเทยบความสงของคนสองคนระหวางนายสมภพ YZ[ ซม. และนาง

สมหวง Y\[ ซม. ดงน�นความสงของนายสมภพตอความสงของนางสมหวง คอ YZ[ ตอ Y\[ หรอ

เขยนเปน

นายสมภพ : นางสมหวง = YZ[ : Y\[ หรอ นางสมหวง : นายสมภพ = Y70 : Y5[

ตวอยางท� 2 จากการสารวจจานวนระหวางผใชรถยนต ผใชรถจกรยานยนต และผใชรถจกรยาน

ในมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย มขอมลดงตอไปน�

ประเภทของยานพาหนะ จานวนผใช(คน)

รถจกรยานยนต 4,030

รถยนต 1,601

รถจกรยาน 598

ดงน�น อตราสวนระหวางผใชรถจกรยานยนตกบรถยนต คอ 4,030 : 1,601

อตราสวนระหวางผใชรถจกรยานยนตกบรถจกรยาน คอ 4,030 : 598

อตราสวนระหวางผใชรถยนตกบรถจกรยาน คอ 1,601 : 598

อตราสวนระหวางผใชรถยนตกบผใชยานพาหนะ คอ 1,601 : 6,229


15x2

310x

3102xx

1032

=

×=

×=

=

อตราสวนระหวางผใชรถยนต รถจกรยานและรถจกรยาน คอ 1,601 : 598 : 4,030

อตราสวนท�เทากน

อตราสวนท�แสดงอตราเดยวกน

ตวอยางท� 3 จาก ตวอยาง 1 ทาใหเราไดวาอตราสวนท�เทากนกบของคาตอบของตวอยางท� 1 คอ

150 : 170 = 15 : 17 = 30 : 34 เปนตน

สดสวน

ประโยคสญลกษณท�แสดงการเทากนของ 2 อตราสวน เชน a : b = c : d อานวา

a ตอb เทากบ c ตอ d

ตวอยางท� 4 ถาสดสวน x:103:2 = ÷ จงหาคาของ x

วธทา จดรปใหมได

การแกปญหาโจทยสดสวน

1. อานโจทยใหเขาใจวาโจทยตองการอะไร และใหขอมลอะไรมาบาง 2. สมมตตวแปร แทนส�งท�ตองการ 3. เขยนเปนสดสวน (เปล�ยนประโยคภาษาไทยใหเปนประโยคสญลกษณ) 4. หาคาตวแปรในสดสวน 5. ตรวจสอบคาตอบ (นาคาตอบท�ไดไปแทนคาในโจทย) เพ�อความไมประมาท

150÷10 : 170÷10 150÷5 : 170÷5


20x9

454 x

45x

94

=

×=

=

ตวอยางท� 5 การผสมปนใชปนซเมนตและทรายผสมกนดวยอตราสวน 4 : 5 ถาตองการปนฉาบ 45 ถง จะตองใชปนซเมนตและทรายอยางละเทาไร วธทา ปนซเมนตและทรายมอตราสวน 4 : 5

∴ปรมาณปนฉาบท�งหมดเทากบ 4 + 5 = 9 ปนซเมนตตอปนฉาบท�งหมดคอ 4 ตอ 5

สมมตให ปนซเมนต จานวน x ถงดงน�น

∴ใชปนซเมนตจานวน 20 ถง ใชทราย จานวน 45 - 20 = 15 ถง

ตวอยางท� 6 ในการผสมเคร�องด�มชนดหน�งจะตองใชอตราสวนดงน� สารเอทลแอลกอฮอล 2 สวน

ตอ โซดา 8 สวน และ อตราสวนระหวาง โซดา ตอ น�าท�มกรดซตรกผสมอย เปน 4 : 1 จงหาวาถา

ตองการผลตเคร�องด�มชนดน� 4,800 มลลลตร จะตองใช โซดาก�ลตร

วธทา ดงน�น สารเอทลแอลกอฮอล : โซดา = 2 : 8 1

และ น�าท�มกรดซตรกผสมอย : โซดา = 1 : 4 2

นา 2 คณดวย 2 จะได น�าท�มกรดซตรกผสมอย : โซดา = 2 : 8

ดงน�น สารเอทลแอลกอฮอล : โซดา : น�าท�มกรดซตรกผสมอย = 2:8:2

ใหสารท�งสามชนดมหนวยเปนมลลลตร ดงน�นเคร�องด�มชนดน�จะเกดจาก สาร

เอทลแอลกอฮอล 2 มลลลตร โซดา 8 มลลลตร และน�าท�มกรดซตรกผสมอย 2 มลลลตร ทาให

เคร�องด�มชนดน� มปรมาตร 2 + 8 + 2 = 12 มลลลตร แตจากโจทยตองการ 4,800 มลลลตรดงน�น

จะตองเพ�มอตราสวนอยางละ 40012

4800= ทาใหไดอตราสวนใหมเปน

สารเอทลแอลกอฮอล : โซดา : น�าท�มกรดซตรกผสมอย = 4002:4008:4002 ×××

= 800 : 3200 : 800

ดงน�น ตองใชโซดา 3,200 มลลตร


รอยละ อตราสวนท�มจานวนหลง หรอจานวนท�สองเปน 100 เชน 49 :100 หมายถง รอยละ \k

หรอ \k%

ตวอยางท� 7 3.5% ของ k[[ เทากบเทาไร

วธทา ให x เปนจานวนท�ตองการ

จดในรปอตราสวนได 800

x1003.5=

x100

8003.5=

×

28x = ดงน�น 3.5% ของ 800 เทากบ 28

ตวอยางท� 8 20 เปนก�เปอรเซนตของ 1000

วธทา ใหจานวนท�ตองการคอ x

จดในรปอตราสวนได 1000

20100

x=

1000

10020x ×=

2x = ดงน�น 20 เปนก�เปอรเซนตของ 1000 คอ 2

ตวอยางท� 9 <;7 เปน \Z% ของจานวนใด

วธทา ให x เปนจานวนท�ตองการ

จดในรปอตราสวนได x

32710075=

75

100327x ×=

436x = ดงน�น 327 เปน 75% ของ 436


ตวอยางท� 10 บวขาวไดรบสวนแบงท�ดนจากการเปดพนยกรรมของครอบครวโดยท�บวขาวไดท�ดน

จานวน 237 ไรซ� งคดเปนรอยละ 15 ของจานวนท�ดนในพนยกรรม จงหาวาท�ดนท�งหมดใน

พนยกรรมมจานวนก�ไร

วธทา ให x เปนจานวนท�ดนท�งหมด

จดในรปอตราสวนได x

23710015=

15

100237x ×=

1,580x =

ดงน�น ท�ดนท�งหมดในพนยกรรมเทากบ 1,580 ไร

ตวอยางท� 11 นายพงกางกบนางสาวพงยอยรบประทานอาหารในรานอาหารบฟเฟตป� งยางแบบ

เกาหลโดยมราคาหนาราน 320 บาทตอคน แตมคาภาษมลคาเพ�ม 15 % แตเน�องจากเปนวนจนทร

ทางรานจงลดให 25 % จากราคาปายหนาราน จงหาวานายพงกางกบนางสาวพงยอยจะตองจายเงน

เปนจานวนก�บาท

วธทา ข�นตอนท� 1 หาราคาท�ตองจายหลงจากทางรานลดราคา 25 %

ทาให จาย 75% จากราคาปายหนาราน

ดงน�น 320x

10075=

100

32075x ×=

240x = ข�นตอนท� 2 หาราคาท�ตองจายจรงหลงจากรวมภาษมลคาเพ�มทาให จาย 115% จากราคา

240 (ราคาท�ลดแลว)

ดงน�น 240x

100115

=

100

240115x ×=

276x = แตเน�องจากม 2 คน จงตองจาย 552 บาท


ดอกเบ(ย

ในโลกเราทกวนน� แทบจะกลาวไดวาไมมผใดไมรจกคาวา “ดอกเบ�ย” ท�งน� เพราะในการ

ดารงชวตปจจบนของคนเรามกเก�ยวของกบเงนเปนสวนใหญ ท�งในเร�องการนาเงนไปลงทน หรอ

ใหผอ�นกยมไปใชประโยชนกตาม ซ� งแนนอนวาผลงทนหรอผใหกยอมตองการผลตอบแทนจาก

การลงทนหรอการใหกน�น ผลตอบแทนดงกลาวน� เองท�เราเรยกวา “ดอกเบ�ย” ดอกเบ�ยสามารถแบง

ออกเปน 2 ประเภท คอ

1. ดอกเบ�ยเชงเดยว หมายถง ดอกเบ�ยท�คดจากเงนตนเร�มแรก ซ� งจานวนดอกเบ�ยดงกลาว

จะคงท�เทากนทกปซ� ง

สตรท�วไปในการคานวณหาดอกเบ�ยเชงเดยว ดงน�

trP I ××= โดย I แทน จานวนดอกเบ�ย

P แทน เงนตน

r แทน อตราดอกเบ�ย

t แทน ระยะเวลา

และจะไดสตรในการคานวณหาเงนรวมซ�งประกอบไปดวยเงนตนและอตราดอกเบ�ย ดงน�

S = P+ I

โดยท� S คอ เงนรวมหรอเงนท�ลกหน�จะตองชาระคนแกเจาหน�ท�งเงนตนและดอกเบ�ย

หมายเหต : ในการคานวณดอกเบ�ยเชงเดยวน� มขอสงเกตท�ควรทราบดงน�

1. คา r เปนอตราดอกเบ�ยรอยละ ดงน�น การแทนคาในสตรจะตองหารดวย 100 เสมอ เชน

ถากาหนดวา อตราดอกเบ�ยคอ 15% ในสตร กจะตองแทนคา เปน 10015 หรอ 0.15

2. คา r และ t จะตองสมพนธกน เชน ถา r คออตราดอกเบ�ยตอเดอน คา t ตองทาใหม

หนวยเปนเดอนดวย ถา r คอ อตราดอกเบ�ยตอป คา t กจะตองทาใหมหนวยเปนปดวย


ตวอยางท� 12 ขดศลกเงนจากแหลงเงนกนอกระบบท�ช�อวาพระพกตรโลหตมา 100,000 บาท เปน

เวลา 3 ปมาแลว โดยท�พระพกตรโลหตคดดอกเบ�ยเชงเดยวในอตรา 15% อยากทราบวาขดศล

จะตองใชหน�ท�งเงนตนและดอกเบ�ยรวมเปนเงนเทาไร

วธทา ข�นท� 1 หาดอกเบ�ย

สตร trP I ××=

จากโจทย P = 100,000 บาท t = 3 ป r = 15%

ดงน�น I = 100153100,000 ××

น�นคอดอกเบ�ยเทากบ 45,000 บาท

ข�นท� 2 เงนตนและดอกเบ�ยรวม

สตร S = P + I

ดงน�น = 100,000 + 45,000

= 145,000

เพราะฉะน�นขดศลจะตองใชหน�พระพกตรโลหตท�งเงนตนและดอกเบ�ยรวมเปนเงน 145,000 บาท

2. ดอกเบ�ยทบตน หมายถง ดอกเบ�ยท�คดจากเงนตนเร�มแรกบวกกบดอกเบ�ยท�ไดรบในแต

ละงวดท�ผานมาโดยมแนวคดวาไดมการนาจานวนดอกเบ�ยท�ไดรบในงวดกอน ๆ น�นไปลงทนตอ

อนจะมผลใหดอกเบ�ยท�คานวณไดเพ�มข�นทกปตามเงนตนท�เพ�มข�นน�น

การคานวณดอกเบ�ยทบตนจะยงยากกวาการคานวณดอกเบ�ยเชงเดยว เพราะเงนตนท�นามา

คดดอกเบ�ยในแตละปจะไมเทากนและนอกจากน� ในวงการธรกจประเภทตางๆ กยงนยมคด

ดอกเบ�ยทบตนตอชวงเวลาท�แตกตางกนอกดวย เชน อาจจะคดดอกเบ�ยทบตนตอป ตอคร� งป ตอ

เดอนจนไปถงตอวนกได อกท�งในการลงทนบางอยาง ผลตอบแทนกวาจะไดรบใชเวลาหลายปมาก

ดงน�น จงมการคดสตรท�วไปในการหาดอกเบ�ยทบตน ดงน�

ถากาหนดให P แทน เงนตน

i แทน อตราดอกเบ�ยตองวด

n แทน จานวนงวดท�งหมด

Sn แทน เงนรวมปลายงวดท� n


สตรท�วไปในการคานวณหาเงนรวมในปท� n หรอมลคาของเงนตนจานวนหน� งท�

ฝากเม�อตนปท� 1 เปนเวลา n ป อตราดอกเบ� ย i % ตอป โดยท�ผฝากจะไมมการรบดอกเบ� ย

ไปใชกอนถงกาหนดเวลา ดงน�

Sn = P (1+i) n

และสตรท�วไปท�ใชคานวณหาดอกเบ� ยทบตน ไดดงน� I = Sn- P โดยท� I คอ จานวนดอกเบ� ยทบตนท�ตองการหา หมายเหต : ในการคานวณหาเงนรวมและดอกเบ� ยทบตน มขอสงเกตท�ควรทราบ

คอ คา i และ n จะตองสมพนธกน เชน ถา i คออตราดอกเบ� ยตอเดอน n กตองนบเปนจานวนเดอนดวย หรอ ถา i คออตราดอกเบ� ยตอ 6 เดอน n กตองนบจานวนงวดโดยท� 1 งวด คอ 6 เดอนดวย แตเน�องจากคา i มกนยมคดเปนตอป ดงน�น เพ�อใหสอดคลองกบคา n จงใชสตร ดงน�

อตราดอกเบ�ยตองวด (i) = อตราดอกเบ�ยตอปท�กาหนด

จานวนคร� งท�คดดอกเบ�ยใน 1 ป

สวนจานวนงวด กสามารถทาได ดงน�

จานวนงวดท�งหมด (n) = จานวนคร� งท�คดดอกเบ�ยใน 1 ป × จานวนปท�กยม

ตวอยางท� 13 นายบญตระกลฝากเงนไวท�ธนาคารแหงหน�งเปนจานวนเงน 100,000 บาท อตรา

ดอกเบ�ย 7% ตอป โดยธนาคารจะคดดอกเบ�ยแบบทบตนใหทก ๆ 6 เดอน ถานายบญตระกลฝาก

เงนไวเปนเวลา 5 ปแลวโดยท�ไมไดถอนเงนเลย อยากทราบวา

ก.นายบญตระกลจะมเงนในบญชเทาไร

ข.นายบญตระกลไดรบดอกเบ�ยจานวนเทาไร

วธทา ก. สตร Sn = P( )1 + i n

จากโจทย P = 100,000 บาท


i = 2

0.07 = 0.035

n = 2 × 5 = 10 งวด

แทนคา Sn = 100,000(1 + 0.035)10

= 100,000(1.4106)

ดงน�นเงนในบญชเทากบ 141,060 บาท

ข. สตร I = Sn - P

จากโจทย P = 100,000 บาท

Sn = 141,060 บาท

แทนคา I = 141,060 - 100,000

ไดรบดอกเบ�ยจานวนเทากบ 41,060 บาท

สรป

ในการเปรยบเทยบน�นวชาคณตศาสตรไดมระเบยบวธท�ใชเปรยบเทยบ ซ� งเรยกวา

อตราสวน ซ� งเปนการเปรยบเทยบจานวนต�งแตสองจานวนข�นไป และเขยนอยในรปท�วไปคอ

ba : หรอ ba

ในการเขยนอตราสวนนยมเขยนใหอยในรปอตราสวนอยางต�า สวนการหาอตราสวน

ท�เทากบอตราสวนท�กาหนดใหน�น หาไดโดยใชการคณหรอการหารดวยจานวนเดยวกน และการ

ตรวจสอบการเทากนของอตราสวนอาจจะใชวธการคณไขว และการเปรยบเทยบจานวนต�งแตสาม

จานวนข�นไปในรปอตราสวนน�น ตองทาใหอตราสวนน�นๆ เปนอตราสวนเดยวกน จงจะ

เปรยบเทยบกนได และการเขยนแสดงการเทากนของสองอตราสวน เราเรยกวา สดสวนซ�งจะใช

แกปญหาในการหาคาตอบของตวแปรท�เกดจากอตราสวน และอตราสวนท�เราคนเคยอกหน�งกคอ

รอยละ ซ� งเปนอตราสวนท�มจานวนหลงหรอมตวสวนเปน 100 เราสามารถเปล�ยนอตราสวนใหเปน

รอยละ หรอเปล�ยนรอยละใหเปนอตราสวนได และประโยชนของรอยละยงใชแกปญหาเก�ยวกบ

ดอกเบ�ยไดอกดวย

………………………………………….



1.โตโนแบงเงนใหหลาน 2 คน โดยใหอตราสวนคนโตตอคนเลกเปน 5 : 4 ถาโตโนมเงน 630,000

บาท หลานแตละคนจะไดรบสวนแบงคนละเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...

2.ในสวนของลกเกดมตนมะมวง 5

4 ของจานวนตนชมพจงหา

2.1 อตราสวนระหวางจานวนตนมะมวงตอจานวนตนชมพ

……………..…………………………………………………………………………………….

2.2 ถามตนมะมวง ;[[ ตน จะมชมพก�ตน

……………..…………………………………………………………………………………….

2.3 ถามตน ชมพ <[[ ตน จะมมะมวงก�ตน

……………..…………………………………………………………………………………….

2.4 ถาในสวนน� มตนมะมวงและตนชมพรวมกน Z8 ตน จะมมะมวงและตนชมพอยางละก�ตน

……………..…………………………………………………………………………………….

……………..…………………………………………………………………………………….


3.ในโรงงานแหงหน�ง อตราสวนของจานวนพนกงานชายตอเคร�องจกรเปน 3 : 2 และอตราสวน

พนกงานหญง ตอเคร�องจกรเปน 5 : 3 จงหาอตราสวนของเคร�องจกรตอจานวนพนกงานชายตอ

จานวนพนงงานหญง

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4. แบงเงนจานวนหน�งใหออย อน ออม อ�น ในอตราสวน ออย : อน = 1 : 2 ,อน : ออม = 4 : 3 และ

ออม: อ�น = 5 : 4 จงหาถาอ�นมเงน 240 บาท แตละออยและออมจะมเงนตางกนก�บาท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


5. บรษทบญสนกเกดจากการลงทนของ สมสนก และ แสนสนก คนละ 480,000 บาท และ 400,000

บาทตามลาดบ ตอมา สมสนกขายหนใหนกสนก และทาใหจานวนหนของ สมสนก และ แสนสนก

เทากน จงตอบคาถามตอไปน�

5.1 จงหาวานกสนกถอหนรอยละเทาไรของบรษท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.2 ถากาไรของบรษทเปน 1,200,000 บาท สมสนกจะไดเงนปนผลก�บาท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


6. ท�ดนแปลงหน�งใชพ�นท�สาหรบอยอาศยตอพ�นท�เกบกกน�าเปนอตราสวน 2 : 3 ใชพ�นท�สาหรบ

เกบกกตอพ�นท�เพาะปลกเปนอตราสวน 4 : 15 ถาท�ดนแปลงน� มพ�นท� 455 ไร จะเปนท�อยอาศย ท�

เกบกกน�า และพ�นท�เพาะปลกอยางละก�ไร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

7. น�าผลไมรวมบรรจขวดปรมาตร 200 ลบ.ซม. มสวนผสมของ น�าสม:น�าแครอท:น�าตาล เทากบ

3 : 2 : 1 ถาตองการน�าผลไมรวม 250 ขวด ตองใชน�าสมก� ลบ.ซม.

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


8.โรงเรยนมอตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงเปน 5 : 7 โดยมนกเรยนหญงมากกวา

นกเรยนชายอย 264 คน และตองจายเงนคานมกลองละ 11.50 บาท สาหรบนกเรยนทกคน ดงน�น

ตองจายเงนเทาใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

9.จงหาคาของแตละขอ

9.1 40% ของ 30 เปนเทาใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

9.2 5.2% ของ 950 เปนเทาใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

9.3 93 เปน 20% ของจานวนใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


10. เสรไดคานายหนาจากการขายท�ดน 5% จากราคาขาย 850,000 บาท เสรจะไดคานายหนาขาย

ท�ดนไดก�บาท

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...

11. ขายของช�นแรกไดกาไร 10% ขายช�นท�สองไดกาไร 20% ถาตนทนของช�นแรกเปนสองเทาของ

ช�นท�สอง จงหาวาขายของท�งสองช�นไดกาไรก�เปอรเซนต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


12.ลดดาซ�อเส�อมาตวหน�งราคา 450 บาท แลวขายใหวนเพญไดกาไร 10 % วนเพญขายตอใหมาล

โดยไดกาไร 5 % ถาลนดาขายใหมาลเทากบราคาท�วนเพญขายใหมาล ลนดาจะไดกาไรก�เปอรเซนต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

13.โรงงานต�งราคาเส�อไว 240 บาท ใหสวนลดแกรานคา ;[ % ของราคาท�ต�งไว รานคาปลกลดใหผ

ซ�อ 10% ของราคาโรงงาน จงหาวารานไดกาไรก�เปอรเซนต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………...


14. นายวนชยฝากเงน 10,000 บาทไวกบธนาคารแหงหน�งซ� งธนาคารแหงน�นใหดอกเบ�ยในอตรา

12 % ตอป โดยคดดอกเบ�ยปละ 3 คร� งแบบทบตน ถานายวนชยฝากเงนไวครบ 5 ป เขาจะไดรบเงน

คนจานวนเทาใด และจานวนดอกเบ�ยท�เขาไดรบน�นเปนเงนเทาไร

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

15. นายเจนณรงคกเงนธนาคารเปนจานวนเงน 480,000 บาทโดยธนาคารคดดอกเบ�ย 7.5%ตอป เม�อ

เวลาผานไประยะหน�งนายเจนณรงคไปตรวจสอบดท�ธนาคาร ปรากฏวาธนาคารแจงวานายเจน

ณรงคเปนหน�ธนาคารเปนจานวนเงนท�งส�น 498,000 บาท อยากทราบวา นายเจนณรงคไดกเงนจาก

ธนาคารเปนเวลานานเทาใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………



การคานวณดอกเบ�ย.สบคนเม�อ 1 มถนายน 2557, จาก http://www.Y;Y<.or.th/th/serviceunderbot

ดอกเบ�ย.สบคนเม�อ 30 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.bot.or.th

อตราดอกเบ�ย.สบคนเม�อ 1 มถนายน 2557, จาก https://www.tmbbank.com

Kellison, Stephen G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc. Library of Congress

Catalog Card No. 79-98251.

บทท� 4

การคานวณภาษในชวตประจาวน เวลา 6 ช�วโมง


ภาษเงนไดบคคลธรรมดา เปนภาษท�รฐจดเกบจากผท�มรายไดซ� งไดมาในรปแบบตาง ๆ

ในทางกฎหมายไดแยกประเภทของเงนไดบคคลธรรมดาไว ในมาตรา 40 (1) – (8) การคานวณหก

คาใชจาย และการคานวณหกลดหยอนภาษ ซ� งเปนตวบทกฎหมายท�ตองศกษา จากน7นจงคานวณ

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา โดยผเสยภาษมหนาท�ย�นแบบแสดงภาษโดยใชแบบ ภ.ง.ด. 90 หรอ

ภ.ง.ด. 91 ตามท�กฎหมายกาหนด สาหรบภาษมลคาเพ�ม (Value added tax) เปนภาษตาม ประมวล

รษฎากร เปนภาษทางออมท�จดเกบจากการขายสนคาหรอการใหบรการโดยผมหนาท�เสย

ภาษมลคาเพ�ม ไดแก ผขายสนคาและผใหบรการ โดยผขายสนคาและผใหบรการสามารถเรยกเกบ

ไดจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการตามอตราภาษท�กาหนด ซ� งปจจบนอตราภาษมลคาเพ�มมอตรารอย

ละ 7 ของมลคาสนคาหรอบรการ


1. เพ�อใหผเรยนสามารถคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาตามแบบ ภ.ง.ด. 90 และ ภ.ง.ด.

91ได

2. เพ�อใหผเรยนสามารถคานวณภาษมลคาเพ�มได

3. เพ�อใหผเรยนสามารถนาความรในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาและการคานวณ

ภาษมลคาเพ�มไปใชในชวตประจาวนไดอยางเหมาะสม

เน*อหา

1. ภาษเงนไดบคคลธรรมดาตามแบบ ภ.ง.ด. 90 และ ภ.ง.ด. 91

J. ภาษมลคาเพ�ม




2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเน7อหา

O. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามท�กาหนดไว


1. เอกสารเน7อหาประกอบการสอน




2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกตการแกปญหาและการใหเหตผล



ภาษเปนรายรบประเภทรายไดของรฐบาลท�ถอวาสาคญอยางย�งและเปนยอดรายรบท�สง

ท�สดเม�อเทยบกบรายรบอ�น ๆ ท�รฐบาลจะไดมาเพ�อใชในการพฒนาประเทศ ซ� งมการจดเกบ

หลากหลายประเภทตางกนออกไปตามประมวลกฎหมาย โดยภาษท�รฐบาลจดเกบและเปนภาษท�

สาคญมากประเภทหน�ง คอรายไดท�เปนภาษอากร เปนรายไดท�รฐบาลบงคบเกบจากประชาชนโดย

อาศยอานาจทางกฎหมาย ประชาชนของชาตท�มรายไดตามท�กฎหมายกาหนดจงตองเสยภาษเพ�อ

เปนรายไดของรฐบาลท�นาไปใชในการพฒนาประเทศเพ�อใหประชาชนมความเปนอยด มงานทา ม

ความม�นคง และมความปลอดภยในชวตและทรพยสน

ในบทน7จะศกษาภาษท�เก�ยวของกบประชาชนและสาคญกบผมเงนไดซ� งไดมาจากการ

ประกอบอาชพท�ว ๆ ไป คอ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา (ภ.ง.ด. 90 – ภ.ง.ด. 91) และภาษมลคาเพ�ม

(VAT)

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา คอ ภาษท�จดเกบจากบคคลท�วไป หรอจากหนวยภาษท�ม

ลกษณะพเศษ ตามท�กฎหมายกาหนดและมรายไดเกดข7นตามเกณฑท�กาหนด โดยปกตจดเกบเปน

รายป รายไดท�เกดข7นในปใด ๆ ผมรายไดมหนาท�ตองนาไปแสดงรายการตนเองตามแบบแสดง

รายการภาษท�กาหนดภายในเดอนมกราคม ถง เดอนมนาคมของปถดไป โดยการย�นแบบแบงเปน 2

ประเภท คอ แบบแสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 90 และ แบบแสดงรายการภาษเงน

ไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 91 โดยผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 90 และ ภ.ง.ด. 91 มรายละเอยดดงน7

ผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 90 ไดแก ผมเงนไดพงประเมนตามมาตรา 40 (1) - (8) แหง

ประมวลรษฎากรหลายประเภทหรอประเภทเดยว (แตมใชเงนไดตามมาตรา 40 (1) แหงประมวณ

รษฎากรประเภทเดยว) ตามเกณตตอไปน7

1. ผมเงนไดจากการทาธรกจการคาท�วไปท�มใชเกดจากการจางแรงงานท�ไดรบในปภาษน7น

(ต7งแต 1 มกราคม ถง 31 ธนวาคม)

2. กรณไมมคสมรสตองมเงนไดพงประเมนเกน 30,000 บาท

3. กรณมคสมรสไมวาฝายเดยวหรอท7งสองฝาย ตองมเงนไดพงประเมนรวมกน เกน 60,000 บาท

ผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 91 ไดแก ผมเงนไดจากการจางแรงงาน ตามมาตรา 40 (1) แหง

ประมวลรษฎากรประเภทเดยว ตามเกณตตอไปน7


1. ผมเงนไดจากการจางแรงงานประเภทเงนเดอน คาจางท�ไดรบในปภาษน7น

(ต7งแต 1 มกราคม ถง 31 ธนวาคม)

2. กรณไมมคสมรสตองมเงนไดพงประเมนเกน 50,000 บาท

3. กรณท�มคสมรสไมวาฝายเดยว หรอท7งสองฝาย ตองมเงนไดพงประเมนรวมกน เกน 100,000

บาท

ผมเงนไดพงประเมนแยกตามประเภท มาตรา 40 (1) – (8)

เน�องจากผมเงนไดประกอบอาชพแตกตางกน มความยากงายหรอตนทนท�แตกตางกน เพ�อความ เปนธรรม ในกฎหมายจงไดแบงลกษณะเงนได (พงประเมน) ออกเปนกลม ๆ ตามความเหมาะสมเพ�อกาหนดวธคานวณภาษใหเกดความเปนธรรมมากท�สด ดงน7 1. เงนไดประเภทท� 1 40 (1) ไดแก เงนไดเน�องจากการจางแรงงาน ไมวาจะเปน เงนเดอน คาจาง เบ7ยเล7ยง โบนส เบ7ยหวด บาเหนจ บานาญ 2. เงนไดประเภทท� 2 40 (2)ไดแก เงนไดเน�องจากหนาท�หรอตาแหนงงานท�ทา หรอจากการรบทางานให ไมวาจะเปน คาธรรมเนยม คานายหนา ตลอดจน เงน ทรพยสน หรอประโยชนใด ๆ ท�ไดเน�องจากหนาท�หรอตาแหนงงานท�ทา หรอจากการรบทางานใหน7น 3. เงนไดประเภทท� 3 40 (3) ไดแก คาแหงกดวลล (Goodwill) หมายถงคาความนยมท�เปนผลมาจากการประกอบธรกจดวยความยตธรรม มคณภาพดจนเปนท�เช�อถอและวางใจของลกคา คาแหงลขสทธ_ หรอสทธอยางอ�น เงนป หรอเงนไดท�มลกษณะเปนเงนรายปอนไดมาจากพนยกรรม นตกรรมอยางอ�น หรอคาพพากษาของศาล 4. เงนไดประเภทท� 4 40 (4) เงนไดจากเงนลงทน ไดแก ดอกเบ7ย เงนปนผล เงนสวนแบงกาไร เงนลดทน เงนเพ�มทน ผลประโยชนท�ไดจากการโอนหน เปนตน 5. เงนไดประเภทท� 5 40 (5) เงนไดจากการใหเชาทรพยสน หรอเงนท�ไดจากประโยชนอยางอ�น เชน การผดสญญาเชาซ7อทรพยสน การผดสญญาซ7อขายเงนผอนซ�งผขายไดรบคนทรพยสนท�ซ7อขายน7นโดยไมตองคนเงนหรอประโยชนท�ไดรบไวแลว 6. เงนไดประเภทท� 6 40 (6) ไดแก เงนไดจากวชาชพอสระ คอ วชากฎหมาย การประกอบโรคศลป วศวกรรม สถาปตยกรรม การบญช ประณตศลปกรรม หรอวชาชพอ�นซ� งจะไดมพระราชกฤษฎกากาหนดไว 7. เงนไดประเภทท� 7 40 (7) ไดแก เงนไดจากการรบเหมาท�ผรบเหมาตองลงทนดวยการจดหาสมภาระในสวนสาคญนอกจากเคร�องมอ 8. เงนไดประเภทท� 8 40 (8) ไดแก เงนไดจากการธรกจ การพาณชย การเกษตร การอตสาหกรรม


การขนสง การขายอสงหารมทรพย หรอการอ�นนอกจากท�ระบไวในประเภทท� 1 ถงประเภทท� 7

รายการคานวณหกคาใชจาย เงนไดพงประเมนแตละกรณ

1. เงนไดพงประเมนประเภทท� 1 และ 2 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายใหหก คาใชจายเปนการเหมา ตามเง�อนไขท�กาหนดดงน7 (1) ผมเงนไดสามารถหกคาใชจายเปนการเหมาไดรอยละ 40 ของเงนได แตรวมกนแลวตองไมเกน 60,000 บาท (2) ในกรณสามภรยา ตางฝายตางมเงนไดและความเปนสามภรยาไดมอยตลอดปภาษ ใหตางฝายตางหกคาใชจายไดรอยละ 40 แตไมเกนฝายละ 60,000 บาท

2. เงนไดพงประเมนประเภทท� 3 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหหกคาใชจายไดเฉพาะเงนไดท�เปนคาแหงลขสทธ_ โดยใหหกเปนการเหมาไดรอยละ 40 ของคาแหงลขสทธ_ แตไมเกน 60,000 บาท

สาหรบคาแหงกดวลล หรอสทธอยางอ�น เงนป หรอเงนไดท�มลกษณะเปนเงนรายปอนไดมาจาก พนยกรรม นตกรรมอยางอ�น หรอคาพพากษาของศาล ไมยอมใหหกคาใชจายใด ๆ ท7งส7น

3. เงนไดพงประเมนประเภทท� 4 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายไมยอมใหหก คาใชจายใด ๆ ท7งส7น

4. เงนไดพงประเมนประเภทท� 5 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายใหหกคาใชจายได ดงน7

(1) การใหเชาทรพยสน ผมเงนไดมสทธเลอกหกคาใชจายวธใดวธหน�งดงน7 ก. หกตามความจาเปนและสมควร ข. หกเปนการเหมาในอตราท�กาหนด รอยละ 30 (2) การผดสญญาเชาซ7อทรพยสน กฎหมายยอมใหผมเงนไดหกคาใชจายเปนการเหมาไดรอยละ 20 วธเดยว (3) การผดสญญาซ7อขายเงนผอน ซ� งผขายไดรบคนทรพยสนท�ซ7อขายน7นโดยไมตองคนเงนหรอประโยชนท�ไดรบไวแลว กฎหมายยอมใหหกคาใชจายเปนการเหมาไดรอยละ 20 วธเดยว


5. เงนไดพงประเมนประเภทท� 6 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหเลอกหก คาใชจายวธใดวธหน�งดงน7 5.1 ใหหกตามความจาเปนและสมควร 5.2 ใหหกเปนการเหมาดงตอไปน7 5.2.1 เงนไดจากการประกอบวชาชพอสระ การประกอบโรคศลป ใหหกคาใชจายรอยละ 60 5.2.2 เงนไดจากการประกอบวชาชพอสระนอกจาก 5.2.1 หกคาใชจายไดรอยละ 30 6. เงนไดพงประเมนประเภทท� 7 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหหกคา ใชจายวธใดวธหน�ง ดงน7 6.1 หกตามความจาเปนและสมควร 6.2 หกเปนการเหมาในอตรารอยละ 70 7. เงนไดพงประเมนประเภทท� 8 ในการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา กฎหมายยอมใหเลอกหก คาใชจายวธใดวธหน�ง ดงน7 7.1 หกตามความจาเปนและสมควร 7.2 หกเปนการเหมาในอตรารอยละตามท�กฎหมายกาหนด

สทธหกลดหยอนสาหรบผมเงนไดบคคลธรรมดา

การหกลดหยอน หมายถง รายการตาง ๆ ท�กฎหมายไดกาหนดใหหกไดเพ�มข7นหลงจากไดหกคาใชจายแลว เพ�อเปนการบรรเทาภาระภาษใหแกผเสยภาษ กอนนาเงนไดท�เหลอซ� งเรยกวา เงนไดสทธ ไปคานวณภาษตามบญชอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา รายการหกลดหยอนกรณตาง ๆ มดงน7 1. การหกลดหยอนในกรณท�วไป

1.1 ผมเงนได 30,000 บาท (ไมวาจะอยในประเทศไทยถง 180 วน หรอไมกตาม) 1.2 สามหรอภรยาของผมเงนได 30,000 บาท

1.2.1 สามหรอภรยาของผมเงนไดท�มสทธหกลดหยอน จะตองเปนสามหรอภรยาชอบดวยกฎหมาย การสมรส ไมครบปภาษกมสทธหกลดหยอนได เชน จดทะเบยนสมรสระหวางปภาษ หรอตายในระหวางปภาษ กมสทธหกลดหยอนได 30,000 บาท 1.2.2 สามหรอภรยาของผมเงนไดท�จะนามาหกลดหยอนจะตองไมมเงนไดพงประเมนหรอมแตไมไดแยกคานวณภาษ เชน สามภรยาแตงงานครบปภาษและตางฝายตางมเงนไดประเภทท� 1 กรณดงกลาว ภรยาสามารถแยกคานวณภาษตางหากจากสามไดโดยชอบ ท7งสามภรยา


จงไมมสทธนาคสมรสมาหกลดหยอนได แตหากภรยามเงนไดประเภทอ�น (2 - 8) ใหสามนาเงนไดของภรยามารวมคานวณและมสทธนาคสมรสมาหกลดหยอนได 1.3 การหกลดหยอนบตร ใหหกสาหรบบตรชอบดวยกฎหมาย หรอบตรบญธรรมของผ มเงนได รวมท7งบตรชอบดวยกฎหมายของสามหรอภรยาของผมเงนไดดวย โดยมเง�อนไขวาบตรท�เกดกอน หรอในพ.ศ. 2522 หรอท�ไดรบเปนบตรบญธรรม กอน พ.ศ. 2522 คนละ 15,000 บาท บตรท�เกดหลง พ.ศ. 2522 หรอท�ไดรบเปนบตรบญธรรมในหรอหลง พ.ศ. 2522 คนละ 15,000 บาท แตรวมกนตองไมเกน 3 คน การนบจานวนบตรใหนบเฉพาะบตรท�มชวตอยตามลาดบอายสงสดของบตร โดยใหนบรวมท7งบตรท�ไมอยในเกณฑไดรบการหกลดหยอนดวย การหกลดหยอนสาหรบบตร ใหหกไดเฉพาะบตรซ�งมอายไมเกน 25 ป และยงศกษาอย ในมหาวทยาลยหรอช7นอดมศกษาเฉพาะภายในประเทศใหลดหยอนเพ�อการศกษาไดอกคนละ 2,000 บาท หรอเปนผเยาว หรอศาลส�งใหเปนคนไรความสามารถหรอเสมอนไรความสามารถอนอยในความอปการะเล7ยงด

1.4 เบ7ยประกนภย ท�ผมเงนไดจายไปในปภาษ สาหรบการประกนชวตของผมเงนไดตามจานวนท�จายจรง โดยสวนแรกหกได 10,000 บาท สวนท�เกน 10,000 บาท หกไดไมเกนเงนไดหลงจากหกคาใชจาย แตไมเกน 90,000 บาท ท7งน7 เฉพาะในกรณท�กรมธรรมประกนชวตมกาหนดเวลาต7งแต 10 ปข7นไป 1.5 เงนสะสม ท�จายเขากองทนสารองเล7ยงชพ หกลดหยอนไดตามจานวนท�จายจรง แตไมเกน 10,000 บาท สวนท�เกน 10,000 บาท แตไมเกน 490,000 บาท เปนเงนท�ไดรบยกเวนภาษ โดยนาจานวนเงนสวนท�เกนดงกลาวหกจากเงนไดพงประเมน กอนหกคาใชจายตามจานวนท�จายจรงแตไมเกน 490,000 บาท 1.6 ดอกเบ7ยเงนกยม การยกเวนภาษเงนไดสาหรบเงนไดเทาท�ไดจายเปนดอกเบ7ยเงนกสาหรบการกยมเงนเพ�อซ7อ เชาซ7อ หรอสรางอาคารท�อยอาศย โดยจานองอาคารท�ซ7อหรอสรางเปนประกนการกยมน7น ตามจานวนเงนท�ไดจายไปจรงแตไมเกน 100,000 บาท 1.7 เงนสมทบ ท�ผประกนตนจายเขากองทนประกนสงคม ตามกฎหมายวาดวยการประกนสงคมตามจานวนท�จายจรง 1.8 คาลดหยอนบดามารดา กรณผมเงนไดและคสมรสท�มเงนไดรวมคานวณภาษ หรอคสมรสไมมเงนได อปการะเล7ยงดบดามารดาท�มอาย 60 ปข7นไป ซ� งมรายไดไมเพยงพอตอการเล7ยงชพ ผมเงนไดและคสมรสมสทธหกลดหยอนคาอปการะเล7ยงดบดามารดาไดคนละ 30,000 บาท ท7งน7 บดาหรอมารดาของผมเงนไดหรอคสมรสจะตองออกหนงสอรบรองวาบตรคนใดคนหน�งเปนผอปการะเล7ยงดเพยงคนเดยว


1.9 คาอปการะเล7ยงดบดามารดา สามหรอภรยา บตรชอบดวยกฎหมายหรอบตรบญธรรมของผมเงนได บดามารดาหรอบตรชอบดวยกฎหมายของสามหรอภรยาของผมเงนไดหรอบคคลอ�นท�ผมเงนไดเปนผดแลตามกฎหมายวาดวยการสงเสรมและพฒนาคณภาพชวตคนพการ คนละ 60,000 บาท โดยบคคลดงกลาวตองเปนคนพการซ� งมบตรประจาตวคนพการตามกฎหมายวาดวยการสงเสรมและพฒนาคณภาพชวตคนพการ หรอเปนคนทพพลภาพ มรายไดไมเพยงพอแกการยงชพ และอยในความอปการะเล7ยงดของผมเงนได 1.10 เงนสนบสนนเพ�อการศกษา ไดแก เงนท�จายเปนคาใชจายเพ�อสนบสนนการศกษา มสทธหกลดหยอนได 2 เทาของจานวนเงนท�ไดจายไปจรง แตไมเกนรอยละ 10 ของเงนคงเหลอหลงจากหกคาใชจายและคาลดหยอนอ�น ๆ แลว

2. การหกลดหยอนในกรณสามภรยาตางฝายตางมเงนได ถาความเปนสามภรยาไดมอยตลอดปภาษ การหกลดหยอนผมเงนไดและสามหรอภรยาของผมเงนไดใหหกลดหยอนรวมกนได 60,000 บาท แตถาความเปนสามหรอภรยามไดมอยตลอดปภาษ หรอภรยาแยกคานวณเงนไดพงประเมนประเภทท� 1 ตางหากจากสาม ใหตางฝายตางหกลดหยอนได 30,000 บาท และสาหรบการหกลดหยอนบตรและคาลดหยอนดอกเบ7ยเงนกอ�น ๆ ใหตางฝายตางหกไดก�งหน�งตามเกณฑท�กาหนดไวในแตละกรณเฉพาะในปภาษน7น

3. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดมไดเปนผอยในประเทศไทย การหกลดหยอนผมเงนไดและสามหรอภรยาของผมเงนได บตร และการศกษาของบตรของผมเงนได

4. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดถงแกความตายในระหวางปภาษ ใหหกลดหยอนไดเสมอนผตายมชวตอยตลอดปภาษท�ผน7นถงแกความตาย

5. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดเปนกองมรดกท�ยงไมไดแบง ใหหกลดหยอนสาหรบผ มเงนได30,000 บาท

6. การหกลดหยอนในกรณผมเงนไดเปนหางหนสวนสามญ หรอคณะบคคลท�มใชนตบคคล ใหหก ลดหยอนสาหรบผมเงนไดแกผเปนหนสวนหรอบคคลในคณะบคคลแตละคนท�อยในประเทศไทยคนละ 30,000 บาท แตรวมกนตองไมเกน 60,000 บาท


วธการคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา

โดยท�วไปผมเงนไดตองนาเงนไดพงประเมนทกประเภทของตนตลอดปภาษ (ไมรวมเงนไดท�กฎหมายยกเวนภาษ หรอท�ไมตองเสยภาษ) ไปคานวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาส7นป เพ�อย�นแบบแสดงรายการและชาระภาษภายในเดอนมนาคมของปถดจากปท�มเงนได การคานวณภาษม 3 ข7นตอน คอ ข*นตอนท� 1 การคานวณภาษตามอตรากาวหนา เงนไดพงประเมนทกประเภทรวมกนตลอดปภาษ A บาท

หกคาใชจายตามท�กฎหมายกาหนด (ดรายละเอยดในหวขอรายการคานวณหกคาใชจาย เงนไดพงประเมนแตละกรณ)

B บาท

เหลอเงนไดหลงจากหกคาใชจาย (A – B) C บาท หกคาลดหยอนตาง ๆ (ไมรวมคาลดหยอนเงนบรจาค) ตามท�กฎหมายกาหนด (ดรายละเอยดในหวขอสทธหกลดหยอน)

D บาท

เหลอเงนไดหลงจากหกคาลดหยอนตาง ๆ (C - D) E บาท

หกคาลดหยอนเงนบรจาค ไมเกนจานวนท�กฎหมายกาหนด (ดรายละเอยดใน

หวขอสทธหกลดหยอนสาหรบผมเงนไดบคคลธรรมดา) F บาท

เหลอเงนไดสทธ (E – F) G บาท นาเงนไดสทธตาม G บาท ไปคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา จานวนภาษตามการคานวณภาษข7นตอนท� 1 H บาท

ข*นตอนท� 2 กรณท�ตองคานวณภาษตามข7นตอนน7 ไดแก กรณท�เงนไดพงประเมนทกประเภทในปภาษ แตไมรวม เงนไดพงประเมนตามประเภทท� 1 มจานวนรวมกนต7งแต 60,000 บาทข7นไป การคานวณภาษตามข7นตอนน7 ใหคานวณในอตรารอยละ 0.5 ของยอดเงนไดพงประเมน (ยอดเงนไดพงประเมน หาไดจาก เงนไดพงประเมนทกประเภทลบเงนไดพงประเมนประเภทท� 1 คณดวย 0.005) การคานวณภาษตามข7นตอนน7 เรยกวาการคานวณแบบอตราคงท� กาหนดใหจานวนภาษท�คานวณไดตามข7นตอนท� 2 คอ I บาท


ข*นตอนท� 3 สรปจานวนภาษท�ตองเสยภาษ กรณท� 1 ผมเงนได ตามมาตรา 40 (1) เพยงอยางเดยวใหคานวณภาษตามข7นตอนท� 1 เทาน7น กรณท� 2 ผมเงนได ตามมาตรา 40 (1) - (8) ใหคานวณภาษท7งข7นตอนท� 1 และ 2 โดยเปรยบเทยบจานวนภาษเงนไดส7นปท�ตองเสย ระหวาง คา H กบคา I แลวใหจายตามจานวนท�สงกวา

อตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา (อตรากาวหนา)

อตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา จะคดจากเงนไดสทธและนามาคานวณภาษตามอตราท�

กาหนด โดยตารางท�กาหนดให ใชสาหรบปภาษ 2556 และ 2557

เงนไดสทธ ชวงเงนได

สทธ

แตละข7น

อตราภาษ

รอยละ

ภาษแตละข7น

เงนไดสทธ

ภาษสะสม

สงสดของข7น

1 – 150,000 150,000 ไดรบยกเวน - -

150,001 – 300,000 150,000 5 7,500 7,500

300,001 – 500,000 200,000 10 20,000 27,500

500,001 – 750,000 250,000 15 37,500 65,000

750,001 – 1,000,000 250,000 20 50,000 115,000

1,000,001 – 2,000,000 1,000,000 25 250,000 365,000

2,000,001 – 4,000,000 2,000,000 30 600,000 965,000

4,000,001 บาทข7นไป - 35 - -

หมายเหต เงนไดสทธ คอ เงนไดท�คานวณจากเงนไดพงประเมนทกรายการ หกคาใชจาย

และคาลดหยอนตาง ๆ ตามกฎหมายกาหนด

ตวอยางท� 1 นพนธทางานเปนลกจางประจาในบรษทแหงหน�ง มเงนเดอน เดอนละ 18,000 บาท

โดยท�เขายงไมมคสมรส และเขาจะตองถกหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพรอยละ 3 ของ

เงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน นพนธตองย�นภาษหรอไม ถาย�นตองใชแบบ

แสดงรายการภาษแบบใด และตองเสยภาษเปนเงนเทาใด

วธทา การคานวณภาษ นพนธ มเงนเดอน 18,000 บาท

ในรอบปภาษเขาจะมเงนไดพงประเมน 18,000 x 12 = 216,000 บาท


หกคาใชจาย

หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (1) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000 บาท

216,000 x 0.4 = 86,400 เพราะฉะน7นหกจรง 60,000 บาท

เงนไดหลงจากหกคาใชจาย 216,000 – 60,000 = 156,000 บาท

หกลดหยอน

รายการท� 1 ผมเงนได 30,000 บาท

รายการท� 2 เงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพ

นพนธ ตองจายเงนกองทนเล7ยงชพเดอนละ 18,000 x 0.03 = 540 บาท

1 ป เปนเงน 540 x 12 = 6,480 บาท

รายการท� 3 เงนจายประกนสงคม

นพนธ ตองจายประกนสงคมเดอนละ 18,000 x 0.05 = 900 บาท แตกฏหมายใหหกคา

ประกนสงคมไมเกน 750 บาทตอเดอน

1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท

รวมหกลดหยอน 3 รายการ เปนเงน 30,000 + 6,480 + 9,000 = 45,480 บาท เหลอเงนได

หลงจากหกคาลดหยอนตาง ๆ 56,000 – 45,480 = 110,520 บาท

นพนธมเงนไดสทธ 110,520 บาท

ตอบ นพนธตองย�นภาษ และแบบแสดงรายการภาษท�จะตองใชคอ ภ.ง.ด.91 แตยงไมตอง

เสยภาษ เพราะตามกฎหมายเงนไดสทธ ยงไมเกน 150,000 บาท ไดรบการยกเวนภาษ

ตวอยางท� 2 ดร.บมเปนอาจารยมหาวทยาลยแหงหน�ง มเงนเดอนเดอนละ 32,000 บาท มเงนประจา

ตาแหนงอกเดอนละ 20,000 บาท และตองถกหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพรอยละ 3 ของ

เงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน แตเขายงมรายไดคาลขสทธ_ ในการขายเตาอบ

พลงงานแสงอาทตยอกปละ 150,000 บาท โดยท�เขายงไมมคสมรส ดร.บมตองย�นภาษหรอไม ถาย�น

ตองใชแบบแสดงรายการภาษแบบใดและตองเสยภาษเปนเงนเทาใด

วธทา การคานวณภาษ ดร.บม มเงนไดเปนเงนเดอน ตามมาตรา 40 (1)

ในรอบปภาษ 32,000 x 12 = 384,000 บาท

หกเงนกองทนสะสมเล7ยงชพสวนท�เกน 10,000 บาท เปนเงน 1,520 บาท


(เปนเงนสวนเกนท�ไดรบการยกเวนภาษจากการหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพ ดการ

คานวณจากการหกลดหยอนรายการท� 2)

เงนไดหลงหกเงนกองทนสะสมเล7ยงชพสวนท�เกน 10,000 บาท เปนเงน

384,000 – 1,520 = 382,480 บาท

ดร.บม มเงนประจาตาแหนง ตามมาตรา 40 (2) เปนเงน

20,000 x 12 = 240,000 บาท ดร.บม มเงนไดเปนเงนเดอน ตามมาตรา 40 (1) และ 40 (2)

ในรอบปภาษ คอ 382,480 + 240,000 = 622,480 บาท

หกคาใชจาย เน�องจาก ดร.บมมเงนไดท�ตองหกคาใชจายสองรายการ คอ

รายการท� 1 หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (1) และ 40 (2) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000


เงนไดมารตรา 40 (1) และ 40 (2) หลงจากหกคาใชจาย 622,480 – 60,000 = 562,480 บาท

รายการท� 2 หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (3) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000 บาท


เงนไดตามมารตรา 40 (3)หลงจากหกคาใชจาย 150,000 – 60,000 = 90,000 บาท

เงนไดท7งหมดหลงจากหกคาใชจาย 562,480 + 90,000 = 652,480 บาท




ดร.บม ตองจายเงนกองทนเล7ยงชพเดอนละ 32,000 x 0.03 = 960 บาท

1 ป เปนเงน 960 x 12 = 11,520 บาท (ตามกฎหมายกาหนดวาสวนเกน 10,000 บาท ไดรบ

การยกเวนภาษใหนาไปหกจากเงนไดพงประเมนประเภทท� 1 มาตรา 40(1)) หกจรง 10,000 บาท


ดร.บม ตองจายประกนสงคมเดอนละ 32,000 x 0.05 = 1,600 บาท แตกฎหมายใหหกคา

ประกนสงคมไมเกน 750 บาทตอเดอน

1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท


รวมหกลดหยอน 3 รายการ เปนเงน 30,000 + 10,000 + 9,000 = 49,000 บาท เหลอเงนได


ดร.บม มเงนไดสทธ 603,480 บาท

ดร.บมตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา

เงนไดสทธ 1 – 150,000

ไดรบการยกเวน

เงนไดสทธ 150,001 – 300,000 เสยภาษ รอยละ 5 ชวงเงนไดสทธ 150,000 บาท คดเปน

เงน 150,000 x 0.05 = 7,500 บาท เงนไดสทธ 300,001 – 500,000 เสยภาษ รอยละ 10 ชวง

เงนไดสทธ 200,000 บาท คดเปนเงน 200,000 x 0.10 = 20,000 บาท

เงนไดสทธ 500,001 – 605,000 เสยภาษ รอยละ 15 ชวงเงนไดสทธ 103,480 บาท

คดเปนเงน 103,480 x 0.15 = 15,522 บาท

ดร.บมตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา (อตรากาวหนา)

เปนเงน ท7งส7น 7,500 + 20,000 + 15,522 = 43,022 บาท

แตเน�องจาก ดร.บม มเงนไดท�นอกเหนอจากมาตรา 40 (1) เปนเงนไดพงประเมนท�ไมหก

คาใชจายและคาลดหยอน คดเปนเงนประจาตาแหนง 240,000 บาท และเงนจากคาลขสทธ_ 150,000

บาท รวมเปนเงน 390,000 บาท ซ� งมเงนไดพงประเมนเกน 60,000 บาท จงตองคานวณภาษในอตา

คงท� รอยละ0.5

ดร.บมตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา (อตราคงท�) เปนเงน

ท7งส7น 390,000 x 0.005 = 1,950 บาท

ตอบ ดร.บมตองย�นภาษ และแบบแสดงรายการภาษท�จะตองใชคอ ภ.ง.ด.90 โดย ดร.

บมตองเสยภาษในจานวนเงนจากการคานวณภาษในอตรากาวหนา เปนเงนท7งส7น 43,022 บาท


ตวอยางท� 3 สมพงษเปนพนกงานขายของบรษทแหงหน�งสมรสกบนางสมรซ�งทางาน

บรษทเดยวกน เขาและภรรยามเงนเดอนเดอนละ 25,000 บาทเทากน โดยบรษทหกเงนสะสม

กองทนสารองเล7ยงชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน ส7นปบรษท

จายโบนสใหอกปละ 90,000 บาท ท7งคมบตร 2 คน โดยคนแรกศกษาอยตางประเทศ และคนท�สอง

ศกษาในประเทศ ปจจบนสมพงษยงตองเล7ยงดพอแมท�มอายเกน 60 ป สมพงษตองย�นภาษหรอไม

ถาย�นตองใชแบบแสดงรายการภาษแบบใดและตองเสยภาษเปนเงนเทาใด

วธทา การคานวณภาษ สมพงษ มเงนไดเปนเงนเดอน ตามมาตรา 40 (1)

ในรอบปภาษ 25,000 x 12 = 300,000 บาท

โบนสอกปละ 90,000 บาท

ในรอบปภาษสมพงษมเงนได 300,000 + 90,000 = 390,000 บาท

หกคาใชจาย

หกคาใชจายเงนไดตามมาตรา 40 (1) รอยละ 40 แตไมเกน 60,000


เงนไดมารตรา 40 (1) หลงจากหกคาใชจาย 390,000 – 60,000 = 330,000 บาท




สมพงษ ตองจายเงนกองทนเล7ยงชพเดอนละ 25,000 x 0.03 = 750 บาท

1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท หกจรง (ตามกฎหมายกาหนด) 9,000 บาท


สมพงษ ตองจายประกนสงคมเดอนละ 25,000 x 0.05 = 1,250 บาท แตกฎหมายใหหกคา

ประกนสงคมไมเกน 750 บาท ตอเดอน 1 ป เปนเงน 750 x 12 = 9,000 บาท

รายการท� 4 เงนคาเล7ยงดบตร

บตรคนแรกศกษาอยตางประเทศ ลดหยอนได 15,000 บาท

บตรคนท�สองศกษาในประเทศ 17,000 บาท

หกลดหยอนบตรเปนเงน 15,000 + 17,000 = 32,000 บาท


รายการท� 5 หกลดหยอนเงนคาอปการะเล7ยงดบดามารดา (คนละ 30,000 บาท)

60,000 บาท รวมหกลดหยอน 5 รายการ เปนเงน

30,000 + 9,000 + 9,000 + 32,000 + 60,000 = 140,000 บาท เหลอเงนได


สมพงษ มเงนไดสทธ 190,000 บาท

สมพงษตองเสยภาษโดยคานวณภาษตามอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา

เงนไดสทธ 1 – 150,000

ไดรบการยกเวน

เงนไดสทธ 150,001 – 300,000 เสยภาษ รอยละ 5 ชวงเงนไดสทธ 40,000 บาท

คดเปนเงน 40,000 x 0.05 = 2,000 บาท

ตอบ สมพงษตองย�นภาษ และแบบแสดงรายการภาษท�จะตองใชคอ ภ.ง.ด.91 โดยสมพงษ

ตองเสยภาษ เปนเงน ท7งส7น 2,000 บาท

ภาษมลคาเพ�ม (VAT)

ภาษมลคาเพ�มไดเร�มมการจดเกบเปนคร7 งแรกในประเทศไทย เม�อ วนท� 1 มกราคม พ.ศ. 2535 อนเน�องมาจาก ในชวงเวลาน7นเศรษฐกจของประเทศไทยขยายตวอยางรวดเรว ฐานะทางเศรษฐกจ การเงน การคลงของประเทศมความม�นคงมากข7น แตในขณะท�โครงสรางภาษยงมความไมเหมาะสมตอเศรษฐกจของประเทศ ซ� งเหนไดจากความซ7 าซอนของระบบภาษการคาท�ใชในขณะน7น และความหลากหลายของโครงสรางอตราภาษ จากเหตผลดงกลาว กระทรวงการคลง จงไดเสนอพจารณายกเลกภาษการคา และนาภาษมลคาเพ�มมาใชแทน โดยภาษมลคาเพ�มจะมอตราเดยวท�ใชกบสนคาและบรการทกชนด ทาใหเกดความเปนธรรมและความสะดวกตอการปฏบตตามของผเสยภาษอกดวย ในฐานะประชาชนแลวเรามสวนเขาไปเก�ยวของกบภาษมลคาเพ�มอยางแนนอนเพราะเราเองตองเปนผบรโภคท7งสนคาและบรการ ดงน7นเราจงควรศกษาเพ�อทาความเขาใจและชวยแนะนาใหกบรานคาหรอสถานประกอบการท�ยงไมไดจดทะเบยนภาษมลคาเพ�มดาเนนการใหถกตองเพ�อใหกลไกในการพฒนาเศรษฐกจของประเทศเปนไปอยางมระบบและมการพฒนาอยางตอเน�อง


การจดเกบภาษมลคาเพ�ม

ภาษมลคาเพ�ม (Value added tax) เปนภาษตาม ประมวลรษฎากร ถอวาเปนภาษทางออมท�จดเกบ

จากฐานผบรโภค ซ� งเปนภาษท�จดเกบจากการขายสนคาหรอการใหบรการ

ผมหนาท�เสยภาษมลคาเพ�ม ไดแก ผขายสนคาและผใหบรการในทางธรกจ โดยผประกอบการ

สามารถเรยกเกบภาษมลคาเพ�มจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการได

อตราภาษมลคาเพ�ม ภาษมลคาเพ�มจะคานวณจากยอดมลคาของสนคาหรอบรการ ตามอตราภาษท�

กาหนด ซ� งปจจบนคออตรารอยละ 7 ของมลคาสนคาหรอบรการ

ตวอยางท� 4 รานคาต7งราคาขายรองเทาคหน�งไมรวม VAT ไวท� คละ 200 บาท ถาตองการซ7อ

รองเทาคน7ผซ7อจะตองจายเงนเปนจานวนเงนเทาใด

วธทา รองเทาคละ 200 บาทผซ7อตองเสย VAT เพ�มในอตรารอยละ 7

น�นคอ ถาราคาสนคา 100 บาท แลวราคารวม VAT คอ 107 บาท

ดงน7น ถาราคารองเทา 200 บาท แลวราคารวม VAT คอ 1.07 x 200 = 214 บาท

ตอบ ผซ7อจะตองจายเงนเปนจานวนเงน 214 บาท

ตวอยางท� 5 หางสรรพสนคาแหงหน�งออกใบเสรจรบเงนคาทวใหกบลกคาในราคา 42,000 บาท

โดยใบเสรจเขยนไววา ราคารวมภาษมลคาเพ�ม (VAT included) อยากทราบวาราคาท�ยงไมรวม

VAT ของทวเคร�องน7 เปนจานวนเงนเทาใด

วธทา ราคาทวรวม VAT 42,000 บาท ผซ7อตองจาย VAT ในอตรารอยละ 7

น�นคอ ราคาสนคา 100 บาท เปนราคาท�ไมรวม VAT 93 บาท

ดงน7น ราคาทว 42,000 บาท เปนราคาท�ไมรวม VAT 0.93 x 42,000 = 39,060 บาท

ตอบ ราคาทวท�ยงไมรวม VAT เคร�องน7 เปนเงน 39,060 บาท

จากตวอยางขางตนเปนเพยงการคดภาษมลคาเพ�มท�ผบรโภคตองจายในการซ7อสนคาหรอ

เพยงแคตองการทราบวาราคาสนคากอนรวมภาษมลคาเพ�มคดเปนเงนเทาใด ซ� งแทท�จรงแลวในการ

คานวณภาษมลคาเพ�มท�รฐบาลจดเกบเพ�อใชในการพฒนาประเทศน7น จะจดเกบจากผประกอบการ

ท�จดทะเบยนภาษมลคาเพ�ม โดยรฐบาลจะเรยกเกบภาษมลคาเพ�มจากผประกอบการหรอ

ผประกอบการจะขอคนภาษมลคาเพ�มจากรฐบาลไดหรอไมน7น ผศกษาตองศกษา ภาษขาย และภาษ

ซ7อ ซ� งเราในฐานะประชาชนของชาตจาเปนตองเขาใจเพ�อกระตนใหผประกอบการท�ยงไมไดจด


ทะเบยนเปนผประกอบการท�ตองเสยภาษมลคาเพ�ม ไดทาการจดทะเบยนใหถกตองตามกฎหมาย

เพ�อนาเงนท�ไดจากการจดเกบภาษมลคาเพ�มไปใชในการพฒนาประเทศตอไป ดงจะเหนไดจากการ

รณรงคใหมการขอใบเสรจท�มใบกากบภาษทกคร7 งในการซ7อสนคาหรอใชบรการ

ภาษขาย (Output Tax) หมายถง ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจดทะเบยนภาษมลคาเพ�ม

เรยกเกบจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการ เม�อมการขายสนคาหรอเรยกเกบคาบรการ

ภาษซ*อ (Input Tax) หมายถง ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจดทะเบยนภาษมลคาเพ�มจาย

ใหกบผขายสนคาหรอผใหบรการท�เปนผจดทะเบยนภาษมลคาเพ�ม เม�อมการซ7อสนคาหรอชาระ

คาบรการเพ�อใชในการประกอบกจการของตน

ภาษท�ตองเสย คานวณจากการนาภาษขายหกดวยภาษซ7อในรอบท�ตองย�นเสยภาษ โดยแยก

เปน 2 กรณคอ

กรณท� 1 ตองชาระภาษ เม�อ ภาษขายมากกวาภาษซ7อ

กรณท� 2 ขอคนภาษหรอขอเครดตภาษเพ�อใชหกในรอบย�นเสยภาษคร7 งตอไป เม�อภาษขาย

นอยกวาภาษซ7อ

ตวอยางท� 6 บรษทแหงหน�งจดทะเบยนเพ�อเปนผประกอบการเสยภาษมลคาเพ�มแลว เม�อครบรอบ

ภาษบรษทตรวจสอบบญชพบวา ยอดในการซ7อของเพ�อจาหนายเปนเงน 56,000 บาท และยอดขาย

ในรอบภาษน7 เปนเงน 72,000 บาท บรษทแหงน7 จะตองจายภาษมลคาเพ�มเปนเงนเทาใด

วธทา ภาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจะตองจายใหกบรฐบาลคานวณไดจากผลตางระหวางภาษ

ขายกบภาษซ7อ

ดงน7น เราตองทราบภาษขายและภาษซ7อกอน

ภาษขาย คอ VAT 7% ของยอดขาย ดงน7นภาษขายเทากบ 0.07 x 72,000 = 5,040 บาท

ภาษซ7อ คอ VAT 7% ของยอดซ7อ ดงน7นภาษซ7อเทากบ 0.07 x 56,000 = 3,920 บาท

น�นคอ ถาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจะตองจายเทากบ 5,040 – 3,920 = 1,120 บาท

ตอบ บรษทแหงน7 จะตองจายภาษมลคาเพ�มเปนเงน 1,120 บาท

ตวอยาง 7 บรษทจาหนายอปกรณคอมพวเตอรจดทะเบยนเพ�อเปนผประกอบการเสยภาษมลคาเพ�ม

อยางถกตอง ในรอบภาษน7บรษทตรวจสอบรายการซ7อและรายการขายดงตารางบรษทแหงน7จะตอง

จายภาษมลคาเพ�มหรอไดเงนคนภาษเปนเงนเทาใด


รายการซ7อ

ลาดบ รายการ ราคาตอ

หนวย(บาท)

จานวน ราคารวม

(บาท)

1 จอคอมพวเตอร 4,500 5 22,500

2 แปนพมพ 150 10 1,500

3 ฮารทดสความจ 800 GB 2,000 5 10,000

4 เมาส 80 20 1,600

5 เคร�องสารองไฟ 1,500 4 6,000

รวม 41,600

รายการขาย

ลาดบ รายการ ราคาตอ

หนวย(บาท)


(บาท)

1 จอคอมพวเตอร 5,000 3 15,000

2 แปนพมพ 250 5 1,250

3 ฮารทดสความจ 800 GB 3,000 4 12,000

4 เมาส 150 10 1,500

5 เคร�องสารองไฟ 2,000 2 4,000

รวม 33,750

วธทา ดงน7น ในรอบการย�นเสยภาษคร7 งน7 เราตองทราบภาษขายและภาษซ7อกอน

ภาษขาย คอ VAT 7%ของยอดขาย ดงน7นภาษขายเทากบ 0.07 x 33,750 = 2,362.50 บาท

ภาษซ7อ คอ VAT 7%ของยอดซ7อ ดงน7นภาษซ7อเทากบ 0.07 x 41,600 = 2,912 บาท

น�นคอ ถาษมลคาเพ�มท�ผประกอบการจะตองจายเทากบ 2,362.50 – 2,912 = -549.50 บาท

ตอบ บรษทแหงน7 จะไดเงนคนภาษเปนเงน 549.50 บาท (อาจใชขอเครดตภาษเพ�อใชหกในรอบย�น

เสยภาษคร7 งตอไป)


สรป

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา คอ ภาษท�จดเกบจากบคคลท�วไป โดยปกตจดเกบเปนรายป โดย

ปภาษเร�มคดต7งวนท� 1 มกราคมถง 31 ธนวาคมของทกป โดยผมรายไดมหนาท�ตองแสดงรายการ

ตามแบบแสดงรายการภาษท�กาหนดภายในเดอนมกราคม ถง เดอนมนาคมของปถดไป โดยการย�น

แบบ แบงเปน 2 ประเภท คอ แบบแสดงรายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 90 และ แบบแสดง

รายการภาษเงนไดบคคลธรรมดา ภ.ง.ด. 91 โดยผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 90 ไดแกผมเงนไดพง

ประเมนตามมาตรา 40 (1) - (8) แหงประมวลรษฎากรหลายประเภทหรอประเภทเดยว (แตมใชเงน

ไดตามมาตรา 40 (1) แหงประมวลรษฎากรประเภทเดยว) ผมหนาท�ย�นแบบ ภ.ง.ด. 91 ไดแก ผมเงน

ไดจากการจางแรงงาน ตามมาตรา 40 (1) แหงประมวลรษฎากรประเภทเดยว โดยการเสยภาษของ

ผมเงนไดตองนาเงนไดพงประเมนทกประเภทของตนตลอดปภาษ ไปคานวณภาษเงนไดบคคล

ธรรมดา เพ�อย�นแบบแสดงรายการและชาระภาษภายในเดอนมนาคมของปถดจากปท�มเงนได การ

คานวณภาษม 3 ข7นตอน ดงน7 ข7นตอนท� 1 การคานวณภาษตามอตรากาวหนา ข7นตอนท� 2 การคา

ควณภาษอตราคงท� (กรณท�มเงนไดนอกเหนอจากเงนไดตามมาตรา 40 (1)) ข7นตอนท� 3 การ

เปรยบเทยบภาษระหวางภาษในอตรากาวหนาและภาษในอตราคงท� โดยใหจายภาษในจานวนเงนท�

สงกวาจากการเปรยบเทยบ สาหรบภาษมลคาเพ�มน7น เปนภาษตาม ประมวลรษฎากรเปนภาษ

ทางออมท�จดเกบจากฐานผบรโภค ซ� งเปนภาษท�จดเกบจากการขายสนคาหรอการใหบรการโดยผม

หนาท�เสยภาษมลคาเพ�ม ไดแก ผขายสนคาและผใหบรการในทางธรกจ โดยผประกอบการ

สามารถเรยกเกบภาษมลคาเพ�มจากผซ7อสนคาหรอผรบบรการไดตามอตราภาษท�กาหนด ซ� ง

ปจจบนคออตรารอยละ 7 ของมลคาสนคาหรอบรการ

………………………………..



1. ปภาษนบต7งแตเม�อใดถงเม�อใด ……………………………………………………………………………………………………...

2. ผมเงนไดจากเงนเดอนเพยงอยางเดยวตองย�นแบบแสดงภาษประเภทใด ตอบ...............…………………………………………………………………………………..…...

3. นายสนทรประกอบอาชพเปนนายหนาขายท�ดน นายสนทรตองย�นแบบแสดงภาษประเภทใด ตอบ...............……………………………………………………………………….……………...

4. นายปยะพงษเปนโสด เขาไดรบเงนเดอนเดอนละ 4,000 บาท ไมมอาชพเสรมใด ๆ เขาตองย�นเสยภาษหรอไม และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


5. ปตมเงนไดจากการรบเงนเดอนเพยงอยางเดยวเดอนละ 6,000 บาท ปตตองย�นภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. สรพงษเปนพนกงานขายของบรษทแหงหน�งไดรบเงนเดอน 9,000 บาทตอเดอน โดยปน7 เขาไดรบ

โบนสอก 50,000 บาท เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใดและจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….…


7. สงาเปนนกประพนธเพลง เขาแตงเพลงใหคายเพลงแหงหน�ง โดยคายเพลงตกลงใหคาลขสทธ_ จากการขายเพลงของสงา รอยละ 2 ของยอดขายท7งหมด ในปน7คายเพลงขายเพลงของสงาไดเปนเงน 30,000,000 บาท สงาไมมรายไดอ�น ๆ อก เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


8. สดศรเปนขาราชการและไมไดสมรส มรายไดเดอนละ 25,000 บาท และมบานใหเชาโดยคาเชาบาน 3,000 บาทตอเดอน และตองถกหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


9. มงคลเปนครโรงเรยนเอกชนแหงหน�งมเงนเดอน 20,000 บาท เขามรายการหกเงนสะสมกองทนสารองเล7ยงชพรอยละ 3 ของเงนเดอน หกประกนสงคมรอยละ 5 ของเงนเดอน และเขาเล7ยงดบดาซ� งอายเกน 60 ป เขาตองย�นเสยภาษหรอไม ใชแบบแสดงรายการภาษประเภทใด และจะเสยภาษในจานวนเงนเทาใด ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………


10. คากลาวท�วา “ภาษมลคาเพ�ม (Value added tax) เปนภาษทางออม” โดยภาษประเภทน7ผบรโภคจะ

ถกเรยกเกบในเม�อใด

ตอบ...............…………………………………………………………………………………... 11. ผมหนาท�ย�นแบบเสยภาษมลคาเพ�ม คอ

ตอบ...............…………………………………………………………………………………. 12. อตราภาษมลคาเพ�ม ท�ใชในปจจบน คอ

ตอบ...............…………………………………………………………………………………... 13. จากใบเสรจรบเงนท�กาหนดให จงตอบคาถามตอไปน7

13.1 จงหาราคาสนคาตอไปน7 กอนรวม VAT

ตอบ

เลยสาหราย 1 ซอง.........……..บาท

นมสด 1 ขวด.................…….บาท

นมเปร7 ยว 1 ขวด.............…….บาท

น7าแขง 1 ถง.....................……บาท

13.2 เม�อซ7อสนคาท7ง 5 รายการตองเสย VAT เปนเงนเทาใด

ตอบ..................…………………………….


14. จากรายการสนคาท�กาหนดให จงเตมคาตอบท�ถกตอง

ลาดบ ช�อสนคา ราคา/หนวย

(ไมรวม VAT)

จงเตมราคาตอหนวย

ท�รวมVAT

1 คอมพวเตอร 26,500

2 คยบอรด 350

3 เคร�อง SCAN ลายน7วมอ 17,500

4 โปรแกรมสาเรจรป

สาหรบ SCAN

ลายน7วมอ

20,000

5 เมาส 150

6 ลาโพง 250

15. จากรายการสนคาท�กาหนดให จงเตมคาตอบท�ถกตอง

บนทกรายการซ7อในรอบภาษ

ลาดบ รายการ ราคาตอหนวย

(บาท)


(บาท)

1 สมด 25 200

2 ปากกา 15 500

3 ดนสอ 10 500

4 น7ายาลบคาผด 40 100

5 ยางลบ 5 200

รวม

บนทกรายการขายในรอบภาษ


ลาดบ รายการ ราคาตอหนวย

(บาท)


(บาท)

1 สมด 35 150

2 ปากกา 20 400

3 ดนสอ 15 450

4 น7ายาลบคาผด 50 60

5 ยางลบ 10 150

รวม

ภาษซ7อ เปนเงน....................……………………………………..บาท

ภาษขาย เปนเงน....................…………………………………….บาท

ภาษมลคาเพ�มท�ตองเสย.........………….........................................บาท



กรมสรรพากร. (2556) . วธกรอกแบบแสดงรายการ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา ปภาษ 2556 ภ.ง.ด.90.

กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร

กรมสรรพากร. (2556) . วธกรอกแบบแสดงรายการ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา ปภาษ 2556 ภ.ง.ด.91.

กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร

กรมสรรพากร. (2556) . มารจก ภาษมลคาเพ�ม กนกอนดม7ย. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา.สบคนเม�อ 14 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.rd.go.th/publish/309.0.html

ภาษมลคาเพ�ม.สบคนเม�อ 14 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.rd.go.th/publish/307.0.html

สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฏหมายภาษอากร 1 หนวยท� 1 –

7 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.

สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฏหมายภาษอากร 1 หนวยท� 8 –

15 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.

บทท� 5

การประยกตใชสมการและอสมการ เวลา 6 ช�วโมง


สมการ (Equation) คอประโยคท�เปรยบเทยบส�งสองส�งวาเทากนโดยใชเคร�องหมายเทากบ

“ = ” สวนอสมการ (Inequation) คอ ประโยคท�กลาวถงการไมเทากนโดยใชเคร�องหมาย “<”, “>”,

“≤ ”, “≥ ” และ “≠ ” ซ� งจะเปนจรงเทจกได เม�อกลาวถงสมการและอสมการส�งสาคญท�เราตอง

รจกคอ ตวแปร (Variable or Unknown) หมายถงตวไมทราบคาและเปนส�งท�ตองการหาคาตอบ

สวนมากมกแทนดวยอกษรภาษาองกฤษ โดยคาของตวแปรท�ทาใหสมการหรออสมการเปนจรงจะ

เรยกวา คาตอบ (Solution) ของสมการหรออสมการ ซ� งกระบวนการในการหาคาตอบสาหรบ

สมการหรออสมการน4นเรยกวา การแกสมการหรอการแกอสมการ (Solving ) ตามลาดบ เน�องจาก

ปญหาในชวตประจาวนท�ตองการหาคาตอบเปนตวเลขมกเปรยบเทยบไดกบโจทยปญหาสมการ

และอสมการ ในบทเรยนน4 จงมงท�จะเสรมสรางทกษะในการแกโจทยปญหาสมการและอสมการ

รวมถงการประยกตใชสมการและอสมการกบปญหาในชวตจรงเพ�อนาไปสการหาคาตอบท�ตองการ


1. เพ�อใหผเรยนเขาใจสมบตบางประการของเคร�องหมาย “ , , ,, ,= > <≠ ≤ ≥ ”ได

2. เพ�อใหผเรยนเขยนความสมพนธตางๆในรปแบบสมการหรออสมการได เพ�อให

ผเรยนสามารถประยกตความสมพนธใหอยในรปแบบสมการหรออสมการได

3. เพ�อใหผเรยนหารคาตอบของสมการและอสมการท�สรางข4นได

เน?อหา

1. สมการและการแกปญหา

?. อสมการและการแกปญหา




2. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเน4อหารวมกน

F. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามท�กาหนดไว






2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกตการแกปญหาและการใหเหตผล



ในการอธบายความสมพนธระหวางส�งตางๆ เรามกมการอธบายถงการเทากน มากวาหรอ

นอยกวา ในทางคณตศาสตรจะมการกาหนดสญลกษณเพ�อทาการเปรยบเทยบระหวางส� งตางๆ

ไดแกเคร�องหมายเทากบ “=” เพ�อเปรยบเทยบวาสองส�งเทากน เชน 2=2, 2x - 3 = 0, x + y = 4x

เปนตน ซ� งความสมพนธในลกษณะน4 เราเรยกวา “สมการ” ในบางสถานการณเม�อเปรยบเทยบ

สองส�งท�ไมเทากน ความสมพนธทางคณตศาสตรมกใชเคร�องหมาย " "≠ เพ�อแสดงวาสองส�งไม

เทากน , เคร�องหมายนอยกวา " "< เพ�อแสดงวาส�งท�อยทางซายของเคร�องหมายนอยกวาส�งท�อย

ทางขวา, เคร�องหมายมากกวา " "> เพ�อแสดงวาส�งท�อยทางซายของเคร�องหมายมากกวากวาส�งท�

อยทางขวา, เคร�องหมายนอยกวาหรอเทากบ " "≤ เพ�อแสดงวาส�งท�อยทางซายของเคร�องหมายนอย

กวาหรออาจเทากบส�งท�อยทางขวา และสดทาย เคร�องหมาย มากกวาหรอเทากบ" "≥ เพ�อแสดงวา

ส�งท�อยทางซายมากกวาหรออาจเทากบส�งท�อยทางขวา ซ� งความสมพนธท�ประกอบดวยเคร�องหมาย

" "," ", " ", " "> ≥< ≤ และ " "≠ จะเรยกวา “อสมการ” เชน ≤x + 2y 3x , 2x + 2x + 1 0≠ ,

≥5 4 เปนตน

สมการ

ในชวตประจาวนเรามกทาการเปรยบเทยบส� งตางๆอยเสมอ เชน เดกชายเอสงเทากบ

เดกชายบ,ไขในตะกราท�1 มมากกวาไขในตะกราท�สองอย 10 ฟอง, ระยะทางท�เรอแลนได เทากบ

ความเรวของเรอคณดวยเวลาท�ใชในการแลนเปนตน หรออาจอยในรปของปญหาท�เรามกใชเลน

เกมเชนสมมตใหผชายมคาหาสบสตางค ผหญงมคาหน� งบาท ดงน4นกลมหน� งอาจใชผหญง 3 คน

ผชาย 2 คนรวมไดเปน 4 บาท เปนตน และบอยคร4 งเรามกตองหาคาของส�งตางๆท�เรากาลง

เปรยบเทยบ เชน ขาหมมากกวาขาไกอย 8 ขา แตถานบหวไก จะมากกวาหวหมอย 8 หว อยากทราบ

วามหมก�ตว (ขอสอบ กพ. ภาค ก ป 2556) เพ�อแกปญหาดงกลาวเราจงมกสมมตใหอยในรป

ประโยคสญลกษณ โดยใหมการกาหนดสญลกษณใหกบตวไมทราบคาใดๆ เรยกวา “ตวแปร” และ

เคร�องหมายแสดงการเทากนคอ เคร�องหมาย “ = ” จากประโยคขางตน เราจะทาการกาหนดให ตว

แปร x แทนจานวนหม ดงน4นไกจะม x + 8 หว จะไดวา ขาหมม 4x ขา และ ขาไกม ( )2 x + 8 ขา

ทาใหเราสรางประโยคสญลกษณไดดงน4 ( )4x - 2 x + 8 = 8 เรยกประโยคสญลกษณท�มเคร�องหมาย

“ = ” น4 วาสมการ ซ� งจะเหนไดชดวา x = 8 น�นคอมหวหมอย 8 หว น�นเอง สมการจงเปนส�งท�ม


ประโยชนตอเราอยางมากในชวตประจาวน นอกจากสมการท�มตวแปรเดยวแลวอาจมสมการท�มตว

แปรมากกวา 1 ตว เชน 2x + 3y = 4 หรอบางคร4 งตวแปรในสมการอาจมเลขช4 กาลงมากกวา 1 อก

ดวย เชน 22x + x = 4 ซ� งจะกลาวถงนยามของสมการโดยสรปไวดงน4

นยาม สมการ (Equation) หมายถงประโยคสญลกษณทางคณตศาสตร ท�กลาวถงการเทากน โดยใช

เคร�องหมายดงน4น “=”

นยาม ตวแปร (Variable or Unknown) คอ ตวไมทราบคาท�อยในรปตวอกษรหรอสญลกษณตางๆ

นยาม สวนคาท�ใชแทนตวแปรแลวทาใหสองขางของเคร�องหมาย “=” เทากน เรยกวา ผลเฉลยของ

สมการ (Solution)

สมบตของสมการ

1. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนสามารถบวกท4งสองขางของสมการได

2. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนสามารถลบท4งสองขางของสมการได

3. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนสามารถคณท4งสองขางของสมการได

4. ปรมาณใดๆรวมถงฟงกชนท�ไมเปนศนยสามารถหารท4งสองขางของสมการได

จะเหนวาการหาผลเฉลยของสมการไมใชเร�องยาก ส�งท�เรามกสบสนคอโจทยปญหา

กอนท�จะมาเปนสมการ ในบทน4 เราจงขามการฝกทกษะวธการแกสมการเพยงอยางเดยว ไปสการ

ฝกหดทาโจทยปญหาท�สามารถเปล�ยนใหอยในรปสมการรวมถงการแกสมการดวย

ขอแนะนาในการแกปญหาเก�ยวกบโจทยปญหาสมการท�วๆ ไป มดงน4

1. เม�ออานปญหาโจทยแลวจะตองกาหนดตวแปรแทนขอความท�ยงไมทราบคาในโจทย

ซ� งอาจมหลายขอความโดยท�วไปมกจะกาหนดตวแปรแทนขอความท�โจทยถาม

2. เคร�องหมาย “=” มกจะสรางจากขอความ เปน, อย, จะได(ได), เทากบ, รวมกบ, ตางกน, หรอมาจากการสรางความสมพนธระหวางขอความ

3. ในบางคร งเราอาจตองวาดรปประกอบเพ�อใหงายตอการกาหนดส�งตางๆ

ในบทท� 5 น4 เราจะทาการฝกทกษะในการหาผลเฉลยของโจทยปญหาสมการท�ตวแปรมเลข

ช4กาลงเปน1หรอท�เราเรยกอกอยางหน�งวา สมการเชงเสน


ตวอยางท�1 พอกบแมมเงนรวมกน 10,000 บาท ถาพอใหเงนแมใชเพ�มจากเงนของแมเองอก 2,000

บาท เดมพอมเงนมากกวาแมอย 4,000 บาท เดมแมจะมเงนใชก�บาท

วธทา กาหนดให แมมเงนใช x บาท (ซ� งเปนจานวนไมทราบคา และโจทยถาม)

ดงน4นเดมแมมเงน x - 2,000 บาท

และ เงนของพอจะม ( )10, 000 - x - 2, 000 บาท หรอ 12,000 – x บาท

จากประโยคท�วา เดมพอมเงนมากกวาแมอย 4,000 บาท จะไดวา

สมการคอ ( )(12,000 - x) - x - 2,000 = 4,000

12,000 - x - x + 2,000 = 4,000

14,000 - 2x = 4,000

-2x = -10,000

x = 5,000 ดงน4น แมมเงนใช 5,000 บาท

ในบางคร4 งเราอาจกาหนดตวแปรไมตรงกบส� งท�โจทยถาม ในจดน4 เราจงตองมความ

ระมดระวงและรอบคอบกอนตอบดวย เชนโจทยถามวาเดมแมมเงนก�บาท ในท�น4 5,000 บาทจะ

ไมใชคาตอบท�ถกตอง ตองทาตอไปอกข4นหน�งคอ เดมแมมเงน x – 2,000 = 5,000 – 2,000 บาท

จากตวอยางท�1 อาจกาหนดตวแปรไดสองตวคอ ใหเงนของพอและเงนของแมเปนส�งท�ไมทราบคา

ท4งค เราอาจกาหนดตวแปรไดดงน4

ให เดมแมมเงน x บาท

และเดมพอมเงน y บาท

ดงน4นแมมเงนใช 2,000 + x บาท

เดมพอมเงนมากกวาแม x - y = 4,000 บาท

เงนสองคนรวมกนได x + y = 10,000 บาท

เกดเปนสมการสองตวแปรท�มเลขช4กาลงเปน1 จานวนสองสมการ หรอจะกลาววามสมการ

เชงเสนสองตวแปรสองสมการ โดยท�สมการท4งสองตองมชดคาตอบเดยวกน

นยาม สมการมากกวาหน�งสมการท�มชดคาตอบรวมกนจะเรยกวา ระบบสมการ


หลกสาคญท�ใชแกระบบสมการสองตวแปร

1. กาหนดตวแปรใหครบ

2. พยายามลดจานวนตวแปรในแตละสมการ โดยใชวธการดงน

2.1 จดรปตวแปรหน�งใหอยในรปของตวแปรท�เหลอ แลวนาไปแทนคาในอก

สมการหน�ง

2.2 จดรปใหตวแปรหน�งอยในรปของตวแปรท�เหลอท4งสองสมการ แลวจบเทากน

2.3 ทาสมประสทธV หนาตวแปรใดตวแปรหน�งใหเทากนหรอตรงขามกน แลวจบ

สมการลบหรอบวกกนกนเพ�อหกลางตวแปรท�มสมประสทธV เทากนหรอตรงขาม

กนท4ง

จากตวอยางท�1 เรากาหนดตวแปรและสรางสมการไดดงน4

ใหเดมแมมเงน x บาท

และเดมพอมเงน y บาท

ดงน4นแมมเงนใช 2,000 + x บาท

เดมพอมเงนมากกวาแม x - y = 4,000 บาท

เงนสองคนรวมกนได x + y = 10,000 บาท

จงกาหนดสมการไดดงน4 y - x = 4,000 ………….(1)

x + y = 1,000 ………….(2)

ตอไปจะเปนวธการหาคาตอบของระบบสมการ

วธท�1 โดยจดรป y ในรปของ x เฉพาะสมการท� (1)

จาก (1) y = 4,000 + x

( )x + 4,000 + x = 10,000

4,000 + 2x = 10,000

2x = 6,000

x = 3,000 น�นคอเดมแมมเงน 3,000 บาท

(ดงน4น เงนท�แมใชไดคอ x + 2,000 = 3,000 + 2,000 = 5,000 บาท)


วธท� 2 โดยจดรป y ในรปของ x ท4งสองสมการ

จาก (1); y = 4,000 + x

จาก (2); y = 10,000 – x

เน�อง y ในสมการท� (1) และ (2) เทากน

จะไดวา 4,000 + x = 10,000 - x

x + x = 10,000 - 4,000

2x = 6,000

x = 3,000 น�นคอเดมแมมเงน3,000 บาท


วธท�3 เน�องจากสมประสทธ หนา y มคาตรงขามกน จะไดวา

นา (1) + (2); 2x=6,000

x=3,000

น�นคอเดมแมมเงน3,000 บาท


ซ� งจะเหนวาท4ง 4 วธจะมคาตอบเดยวกน แลวแตความถนดของผทา นอกจากน4นในการหา

คาตอบของระบบสมการ

โดยท�วไปปญหาสาหรบสมการ 2 ตวแปรมกเก�ยวของกบเร�องตอไปน?

1. จานวนกบตวเลข

เลข 2 หลก ตองกาหนดทละหลก เชน ให x เปนหลกสบและ y เปนหลกหนวย ใช

คาประจาหลกเขยนเลขจานวนน4 เปน 10x+y

เลขเศษสวน ตองกาหนดเศษและสวนเปนตวแปรคนละตว เชน ให x เปนเศษ และ y

เปนสวน เศษสวนจานวนน4นคอ x

y

เลข 2 จานวน ตองระบลงไปวา x หรอ y เปนจานวนนอย อกจานวนเปนจานวนมาก


ถาไมมจานวนนอย จานวนมาก แตม 2 จานวน ใหกาหนดจานวนแรกเปน x อก

จานวนหน�งเปน y แลวเขาสมการตามโจทยใหถก

ตวอยางท� 2 เลขจานวนหน�งประกอบดวยสองหลก เลขหลกหนวยมากกวาเลขหลกสบอย 5 ผลบวก

ของเลขจานวนเดมกบจานวนท�เกดจากการสลบหลกกนกบจานวนเดมเปน 143 จงหาจานวนเดม

วธทา ใหจานวนแรกมหลกหนวยเปน x และ หลกสบเปน y

ดงน4นจานวนแรกคอ x+10y

และจานวนท�สองคอ 10x+y

ในการสรางสมการ จะเหนวา

จานวนแรกหลกหนวยมากกวาหลกสบอยหาจะไดวา x-y = 5 ………….(1)

ผลบวกของจานวนท4งสองจานวนคอ 143 จะไดวา (x+10y)+(10x+y) = 143

หรอ 11x+11y = 143 ………….(2)

จาก (1)×11; 11x-11y = 55 ………….(2)

จาก (1)+(2); 22x = 198

198

x = = 922

แทนคา x=9 ลงใน(1); 9 – y = 5

y = 4

น�นคอหลกหนวยเปน 9 และหลกสบเปน 4 ดงน4นจานวนน4นคอ 49

L. อายในอดต - ปจจบน – อนาคต

นยมกาหนดอายในปจจบนเปน x เปน y แลวใชวธลบออกเม�อตองการหาจานวนอาย

เปนปในอดต และใชวธบวกเม�อตองการหาอายในอนาคต

ตวอยางท� 3 เม�อ 3 ปท�แลว อตราสวนของอายของนายเอกบนายบ เปน 3:5 และถาใน 10 ป

ขางหนาอตราสวนของอายของนายเอกบนายบ เปน 5:3 จงหาอายปจจบนของนายเอ และนายบ

วธทา ใหอายนายเอปจจบนเปน x ป

อายของนายบปจจบนเปน y ป

ดงน4น 3 ท�แลวนายเอมอาย x-3 ป

และ 3 ท�แลวนายบมอาย y – 3 ป


จะได สมการ x - 3 3=y - 3 5

และ x +10 5=y +10 3

น�นคอ ( ) ( )5 x - 3 = 3 y - 3

น�นคอ 5x – 3y = 6 ………….(1)

และ ( ) ( )3 x +10 = 5 y +10

น�นคอ 3x - 5y = -20 ………….(2)

จาก (1)×5; 25x - 15y = 30 ………….(3)

จาก (2)×3; 9x - 15y = -60 ………….(4)

จาก (3) – (4); 16x = 90

จะได 90 5

x = = 516 8

แทนคา x ใน (1) จะได90

5 – 3y 616 =

จะได 3y = 177

8

น�นคอ y = 3

78

ถา 8 สวนคดเปน 12 เดอน

แลว 5 สวนคดเปน 1512

5 7.528

× = = เดอน

และ3 สวนคดเปน 91

3 4.52

2

8× = = เดอน

ดงน4นจะไดวา

อายนายเอปจจบนเปน 5 ป 7 เดอน 15 วน

อายนายบปจจบนเปน 7 ป 3 เดอน 15 วน

3. ราคาส�งของ – จานวนส�งของ

จานวนเงนท4งหมด = จานวนส�งของ x ราคาตอหนวย

ราคาของหน�งหนวย = จานวนเงนท4งหมด / จานวนส�งของ


ตวอยางท� 4 ปากกา 4 ดาม ดนสอ 2 แทง รวมกน 24 บาท แตปากกา 6 ดาม ดนสอ 5 แทง ราคา

รวมกน 40 บาท ดงน4น ปากกา 1 ดาม ดนสอ 1 แทงราคารวมกนเทาใด

วธทา ใหปากกาดามละ x บาท

และ ดนสอแทงละ y บาท

จะไดสมการ 4x + 2y = 24 ………….(1)

และ 6x + 5y = 40 ………….(2)

จาก (1)×3; 12x+6y = 72 ………….(3)

จาก (2)×2; 12x+10y=80 ………….(4)

นา (3) - (4); -4y = -8

y = 2

แทนคา y=2 ลงใน (1); 4x+2(2) = 24

4x + 4 = 24

4x = 20

x = 5

ดงน4นปากกา ดามละ 5 บาท และ ดนสอดามละ 2 บาท

4. ระยะทาง-ความเรว-เวลา

ระยะทาง = ความเรว x เวลา

เวลา = ระยะทาง / ความเรว

5. กระแสน?า

การแลนเรอหรอพายเรอในน4 าเก�ยวของกบกระแสน4า ความเรวเรอในน4าน�ง ทศทางการ

เคล�อนท�ของเรอตามหรอทวนน4า

ความเรวของเรอท�ตามน4า = ความเรวของเรอในน4าน�ง + ความเรวของกระแสน4า

ความเรวของเรอท�ทวนน4า = ความเรวของเรอในน4าน�ง - ความเรวของกระแสน4า

เขยนส4นๆ ตามน4า = น4าน�ง + กระแสน4า ….…(1)

ทวนน4า = น4าน�ง – กระแสน4า ….…(2)

ถานา (1)+(2) จะได ตามน4า+วนน4า = 2น4าน�ง


น�นคอ น4าน�ง = ตามน4า + ทวนน4า / 2 ….…(3)

เชนเดยวกน ถานา (1)-(2) จะได กระแสน4า = ตามน4า - ทวนน4า / 2 …….(4)

สตร (1),(2),(3) และ (4) น4 มหนวยเปนระยะทางขณะเวลาเทากน

ตวอยางท� 5 พายเรอตามน4า 3 ช�วโมง ไดทางเทากบพายเรอทวนน4า ถง 5 ช�วโมง อตราสวน

ความเรวของเรอในน4าน�งกบความเรวของกระแสน4าเปนเทาไหร (โจทยขอน4ตองใชความรในขอ 5

และ ขอ 6)

วธทา ใหอตราเรวของการพายเรอในน4าน�งช�วโมงละ x กโลเมตร

ใหอตราเรวของกระแสน4าช�วโมงละ y กโลเมตร

ดงน4นพายเร�อตามน4าหน�งช�วโมงไดทาง x + y

และพายเรอทวนน4าหน�งช�วโมงไดทาง x - y

เน�องจากพายเรอตามน4า 3 ช�วโมง ไดทางเทากบพายเรอทวนน4า 5 ช�วโมง

จะไดสมการคอ ( ) ( )3 x + y = 5 x - y

3x + 3y = 5x - 5y

5y + 3y = 5x - 3x

8y = 2x

x 4=y 1

ดงน4น อตราสวนของเรอในน4าน�งกบความเรวของกรแสน4าคอ 4:1

จะเหนวาตวอยางน4 ไมจาเปนตองกาหนดตวแปรเปนส�งท�โจทยถาม เน�องจากยากตอการ

นาไปใชงานตอ และสดทายไมจาเปนตองหาคาของตวแปรแตละตวกจะสามารถทราบคาตอบได

6. กาไร-ขาดทน-สวนลด-นายหนา

กาไรรอยละหรอขาดทนรอยละ ตองคดจากตนทน 100 บาทเสมอ

7. ของผสม

เปนการนาของท�มคณภาพตางกนมาผสมกน ใหเกดของท�มคณภาพอยระหวางของเดมน4น

เชน เอาของดผสมของไมดแลวไดของชนดปานกลาง วธทาตองกาหนดจานวนของทาผสมแตละ

ชนด แลวตองหาตนทนของของผสมน4นดวยทกคร4 ง


ตวอยาง 6 สบปะรดนางแลกโลกรมละ 20 บาท และ สบปะรดภแลกโลกรมละ 30 บาท หากเอามา

ขายคละกนในราคากโลกรมละ 25 บาท ไดกาไรท4งหมด 20% ตองขายสบปะรดนางแลก�กโลกรม

(ใชความรในขอ 6 และ 7)

วธทา ใหสบปะรดนางแลขายได x กโลกรม

ใหสบปะรดภแลขายได y กโลกรม

ดงน4นขายสบปะรดไดท4งหมด x+y กโลกรม

สบปะรดนางแลขายได 20x บาท

สบปะรดนางแลขายได 30y บาท

ดงน4นจะมตนทน 20x+30y

แตหากขายคละกโลละ 25 จะขายได 25(x+y ) ซ� งขายไดกาไร 20%

ทน 100 บาท บายไป 120 บาท

ทน 20 30x y+ ขายไป 20x + 30y ×120100

ดงน4นสมการคอ ( )20x + 30y ×120 = 25 x + y100

8. แรงงาน

การคานวณเก�ยวกบแรงงานของคน สตว ส�งของ ตองสมพนธกบเวลา โดยใชหลกการ

เทยบเวลา 1 หนวยเวลา

ตวอยางท� 7 ถาชาย 3 คน กบหญง 2 คน ทางานอยางหน�งเสรจใน 3 วน แตถาใหชายเพยง 2 คน กบ

หญงอก 3 คน ทางานน4นเสรจใน 4 วน จงหาวาถาชายคนเดยวจะเสรจในก�วน

วธทา ใหชายคนเดยวทางานเสรจใน x วน

และหญงคนเดยวทางานเสรจใน y วน

ดงน4นใน 1 วนชายคนเดยวไดงาน 1x

และใน 1 วนหญงคนเดยวไดงาน 1y

ดงน4น ใน 1 วน ชาย 3 คน และ หญง 2 คน ไดงาน

1 13 + 2x y


น�นคอใน 3 วน ชาย 3 คน และ หญง 2 คน ไดงาน

1 19 + 6x y

และใน 1 วน ชาย 2 คน และ หญง 3 คน ไดงาน

1 12 + 3x y

น�นคอใน 4 วน ชาย 2 คน และ หญง 3 คน ไดงาน

1 18 +12x y

เน�องจากงานท�ไดเทากน จะได วา

1 1 1 19 + 6 = 8 +12x y x y ………….(1)

จะไดวา 1 6=x y

น�นคอ y = 6x

เน�องจากใน 3 วน ชาย 3 คน และ หญง 2 คน ไดงาน

1 19 + 6x y

จะไดวา 1 1 9 1 10

9 + 6 = + =x 6x x x x

เน�องจากชายคนเดยวทางานได 1

x หนวย ใชเวลา 1 วน

ถาชายคนเดยวทางานได 10

x หนวยจะตองใชเวลา

10× 10x = × x = 101 x

1

x

วน

น�นคอชายคนเดยวตองใชเวลาในการทางาน 10 วน

อสมการ

บอยคร4 งท�เราจะพบเหนความสมพนธท�มากกวา, นอยกวา, มากกวาหรอเทากบ, นอยกวา

หรอเทากบและการไมเทากบ ในชวตประจาวน เชน ซ� งเราสามารถแปลงความสมพนธเหลาน4นให

อยในรปประโยคสญลกษณไดเชนเดยวกบสมการ และเคร�องหมายท�ใชจะแทนดวย

" "," ", " ", " "> ≥< ≤ และ " "≠ ตามลาดบ ในการหาคาตอบของอสมการจาเปนตองทราบ

สมบตของจานวนจรงบางประการตอไปน4ดวย

1. ถา a>0 และ b>0 แลว a+b>0

2. a<0 กตอเม�อ -a > 0 และ a>0 กตอเม�อ –a<0


3. ถา a>0 แลว 1 > 0a

4. ถา a<0 แลว 1 < 0a

5. ab>0 กตอเม�อ (a>0 และ b<0) หรอ (a<0 b>0 )

6. ab>0 กตอเม�อ (a>0 และ b>0) หรอ (a<0 และ b<0)

7. ≤a b และ ≤b a กตอเม�อ a=b

8. ถา a<b และ b<c แลว a<c

9. ถา a<b แลว a+c<b+c

10. ถา a<b และ c<d แลว a+c<b+d

11. ถา a<b และ c>0 แลว ac < cb

12. ถา a < b และ c < 0 แลว ac > bc

รวมถงทฤษฎบทท�ควรทราบดงตอไปน4

ทฤษฎบท 1 สาหรบจานวนจรง a, b, c และ d ใดๆ ท� 0 < a < b, 0 < c < d และ n เปนจานวนเตม

บวกใดๆ

1. 0 < ac < bd

2. 0 < an < bn

3. 1 1> > 0a b

4. 1 1n >

a bn > 0

นอกจากน4นทฤษฎบทขางตนยงจะคงเปนจรงหากแทนเคร�องหมาย “ > ” ดวย “≥” และแทน

“< ” ดวย “≤”

ทฤษฎบท 2 สาหรบจานวนจรง ,a b ใดๆ

1. ≥a2 0

2. =02a กตอเม�อ a = 0

ตวอยางท� 8 จงหาคาตอบท�เปนไปไดท4งหมด ของอสมการ 3x +1 5 + 8xx + <2 3


วธทา 3x +1 5 + 8xx + <2 3

( ) ( )6x + 3 3x +1 < 2 5 + 8x

6x + 9x + 3 < 10 +16x

15x + 3 < 10 +16x

-x < 7

x > -7 สาหรบโจทยปญหาอสมการ จะมการกาหนดตวแปรและหลกการในการเขยนประโยค

สญลกษณเชนเดยวกบการเขยนประโยคสญลกษณในเร�องสมการโดยมข4นตอนดงน4

1. วเคราะหโจทยเพ�อหาวาโจทยกาหนดอะไรมาใหและใหหาอะไร

2. กาหนดตวแปรแทนส�งท�โจทยใหมาหรอแทนส�งท�เก�ยวของกบส�งท�โจทยใหหา

3. เขยนอสมการตามเง�อนไขในโจทย

4. แกอสมการเพ�อหาคาตอบท�โจทยตองการ

5. ตรวจสอบคาตอบท�ไดกบเง�อนไขคาตอบในโจทย

ตวอยางท� 9 หนงสอเรยนวชาหน�งมแบบฝกหด 100 ขอ นกศกษาคนหน�งคาดหมายท�จะทา

แบบฝกหดในหนงสอใหไดครบทกขอเน�องจากอยากไดเกรด A หากพบวาในแตละวนเขาทา

แบบฝกหดไดมากกวา 5 ขอ นกศกษาคนน4ตองใชเวลาก�วนจงจะทาแบบฝกหดครบทกขอ

วธทา ให x แทนจานวนวนท�นกศกษาใชทาแบบฝกหด

ดงน4นนกศกษาจะทาแบบฝกหดไดมากกวา 5x ขอ

นกศกษาตองการทาแบบฝกหด 100 ขอ ดงน4นจะสามารถเขยนอสมการไดดงน4

5x < 100

100x <5

x < 20 ดงน4นจะทาแบบฝกหดหมดไดตองใชเวลาเพยงไมเกน 20 วน

ตวอยางท� 10 ตองการตดกระดาบรปสเหล�ยมผนผา โดยอยากไดพ4นท�มากกวา 20 ตารางเซนตเมตร

และ เสนรอบรปไมเกน 10 เซนตเมตร จะตองตดกระดาษความกวางไมเกนเทาไหร


+

วธทา ให x เปนความกวางของกระดาษ

และ y เปนความกวางของกระดาษ

จะไดวากระดาษมพ?นท�เปน xy ตารางเซนตเมตร

และมเสนรอบรป 2x+2y เซนตเมตร

เน�องจากปรมาตรตองมากกวา 20 ตารางเซนตเมตร จะไดวา ≥xy 18 ……………(1)

และ เสนรอบรปไมเกน 20 เซนตเมตร จะไดวา 2x + 2y < 20 ……………(2)

ดงน?น

≤x 18 - 2x2

2

1 x1y 8 - 2≥

น?นคอ

2201

1xyy 8 - 2x

≥

40

1 xx

8 - 2≥

( )x 18 - 2x 40≥

-2x + 182 x - 40 0≥

2x -18x2 + 40 0≤

x - 9x +2 20 0≤

( )( )x - 5 x - 4 0≤

จะไดวา 4 x 5≤ ≤

น�นคอกระดาษตองกวางไมเกน 5 เซนตเมตร

5 4 + -


สรป

ในการประยกตใชสมการและอสมการ เปนการมองปญหาในชวตประจาวนท�เราตองการ

คาตอบใหอยในรปโจทยปญหาของสมการหรออสมการ ถดจากน4นเราจะเร�มเขยนปญหาน4นใหอย

ในรปประโยคสญลกษณ เพ�อใหสามารถแกสมการหรออสมการเพ�อหาคาตอบ ซ� งจะนาไปคาตอบ

ของปญหาน4นๆได

………………………………..



1. จงสรปองคความรท�ไดจากเน4อหาในบทน4โดยเขยนใหอยในรปแผนผงความคด


2. นกศกษามหาวทยาลยราชภฏเชยงรายไปทศนศกษา เขาพกท�โรงแรมแหงหน�ง หากพกหอง

ละคนจะมนกศกษาหน�งคนไมมหอง หากเขาพกหองละสองคนจะมหองเหลอ 1 หอง จงหา

วา นกศกษา มก�คน และหองพกมก�หอง

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

3. เรอหางยาวแลนผานดานขางโรงเรยน เปนระยะทาง 5 กโลเมตรใชเวลา 10 นาท แตขา

กลบดวยระยะทางท�เทากนกลบใชเวลา 15 นาท เรอหางยาวน4แลนดวยอตราเรวเทาไรในน4า

น�ง

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………


4. ในการเลนเกมออมเงนกาหนดใหนกเรยนชายมมลคา 50 สตางค และนกเรยนหญงมมลคา

1 บาท ถานกเรยนชายมนอยกวานกเรยนหญง 5 คนและรวมมลคาของทกคนในหองได

35.50 บาท แลวจะมนกเรยนหญงก�คน

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

5. จงแกอสมการ x + 33x +2

x +132

≥

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………


6. คณโจแกกวาคณวนไมเกน 3 ป หากหมอดนาโนทายวา คณวนกบคณโจตองแตงงานกน

ตอนอายรวมกนไมนอยกวา 50 ปจงจะอยกนยด อยากทราบวา คณวนและคณโจตองอาย

ไมนอยกวาเทาใด

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

7. ยกตวอยางปญหาในชวตประจาวน และเขยนอยในรปของสมการและอสมการ พรอมท4ง

แสดงวธการแกปญหา

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………



ศรจนทร เวสารชศาสตร (2549). คณตศาสตรพ?นฐาน.กรงเทพฯ : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยธรรมศาสตร

สมการและอสมการสบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก htttp://mathk.snru.ac.th/UserFiles/File/mathk@snru/...u-vw/.../unitx.doc

สมการและอสมการสบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://th.wikipedia.org/wiki/สมการ

สมการและอสมการสบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก

http://home.kku.ac.th/wattou/service/m123/03.pdf

สมการและอสมการสบคนเม�อ 1 มถนายน 2557, จาก https://sites.google.com/site/mathgang2m3/3

บทท� 6

การประยกตใชความรทางสถต เวลา 9 ช�วโมง


คาวา “สถต” (Statistics) มความหมายแยกไดเปน 2 ประการ คอ ประการแรก สถต หมายถง ขอมล

หรอตวเลขซ.งแสดงขอเทจจรงเก.ยวกบเร.องตาง ๆ เชน รายได รายจาย จานวนประชากร จานวน

นกเรยน ปรมาณน5 าฝน เปนตน ประการท.สอง สถต หมายถง ศาสตรท.วาดวยการจดการกบขอมล 4

ข5นตอน ดงน5 คอ การเกบรวบรวมขอมล (Collection of Data) การวเคราะหขอมล (Analysis of

Data) การนาเสนอขอมล (Presentation of Data) และการแปลผลขอมล (Interpretation of Data) ซ. ง

การวเคราะหขอมลในสถตข5นสงมความจาเปนจะตองอาศยความนาจะเปน (Probability)


1. เพ.อใหผเรยนมความรความเขาใจในระเบยบวธการทางสถต

N. เพ.อใหผเรยนมความรความเขาใจในเร.องความนาจะเปน

O. เพ.อใหผเรยนสามารถนาวธการทางสถตและความนาจะเปนไปประยกตใชในชวต

ประจาวนและการวจยไดอยางเหมาะสม

เน'อหา

1. สถตพรรณนา

N. ความนาจะเปน

O. การนาวธการทางสถตและความนาจะเปนไปประยกตใชในชวตประจาวนและการวจย



N. ผสอนเปดโอกาสใหผเรยนซกถาม แลวสรปเน5อหา

O. ผสอนมอบหมายใหผเรยนทาแบบฝกหดหรอกจกรรมตามท.กาหนดไว







2. ดานทกษะ/กระบวนการ โดยการสงเกต

3. คณลกษณะท.พงประสงค โดยการสงเกตการมสวนรวมในการทากจกรรมการเรยน


ในปจจบนสถตเขามาเก.ยวของกบคนเราอยตลอดเวลาท5งจากการสนทนา การอาน

หนงสอ

วารสารวชาการ หรองานวจยตาง ๆ มกจะมขอมล ตวเลข หรอวธการทางสถตเก.ยวของอยดวยเสมอ

ตวเลขทางสถตท.เราคนเคย ไดแก สถตการเกดอบตเหต สถตผปวยโรคเอดส สถตการตดยาเสพตด

สถตจานวนประชากร เปนตน ซ. งสถตเหลาน5อาจจะแสดงอยในรปของตาราง กราฟแทง กราฟเชงเสน

แผนภาพ วงกลม หรออาจจะเปนวธการทางสถต เชน การตอบแบบสอบถาม การสมภาษณ เปนตน

สถตดงกลาวจะมสวนชวยในการตดสนใจดานตาง ๆ ท5งดานการดาเนนชวต การบรหารองคกร

ตลอดจนถงการบรหารประเทศ

ความหมายของสถต

คาวา “สถต” (Statistics) มความหมายแยกไดเปน 2 ประการ คอ ประการแรก สถต หมายถง

ขอมลหรอตวเลขซ.งแสดงขอเทจจรงเก.ยวกบเร.องตาง ๆ เชน รายได รายจาย จานวนประชากร จานวน

นกเรยน ปรมาณน5 าฝน เปนตน ประการท.สอง สถต หมายถง ศาสตรท.วาดวยการจดการกบขอมล 4

ข5นตอน ดงน5 คอ

1. การเกบรวบรวมขอมล (Collection of Data) ในการตดสนใจในเร.องตาง ๆ จาเปนตอง

อาศยขอมลแทบท5งส5น จงมความจาเปนตองมการเกบรวบรวมขอมลซ. งอาจจะเกบจากทะเบยนตาง

ๆ ท.มผรวบรวมไวแลวหรออาจจะเกบรวบรวมดวยตนเองโดยวธการสารวจหรอการสมภาษณ เปน

ตน

2. การนาเสนอขอมล (Presentation of Data) เปนการนาขอมลท.เกบรวบรวมไดหรอท.

วเคราะหไดมาจดใหอยในรปแบบท.นาสนใจ งายตอความเขาใจของบคคลท.วไป อาจอยในรป

ตาราง แผนภาพ หรอแผนภม เปนตน

3. การวเคราะหขอมล (Analysis of Data) เปนการดาเนนการกบขอมลท.เกบรวบรวมมา

ได เพ.อใหไดผลลพธท.จะนาไปใชในการตดสนใจตอไป การวเคราะหขอมลสามารถทาไดโดยการ

ใชสตรสถต หรอใชโปรแกรมสาเรจรปกไดผลเชนเดยวกน


4. การแปลผลขอมล (Interpretation of Data) เปนการนาผลจากการวเคราะหขอมลท.เปน

ตวเลขซ.งยากตอความเขาใจของบคคลท.วไปมาอธบายความหมายของตวเลขเหลาน5นใหเปนผลสรป

ท.สามารถใหคาตอบของวตถประสงคท.ตองการศกษาได

คาศพททางสถตท�ควรทราบ

ในการศกษาเก.ยวกบสถตจะมคาศพทท.ใชบอย ๆ ซ. งจะตองมความเขาใจความหมายดงน5

1. ประชากร (Population) หมายถง ขอมลทก ๆ หนวยของส.งท.เก.ยวของกบส.งท.เรากาลง

ศกษา เชน ตองการศกษารายจายของนกศกษาในมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย ประชากรหมายถง

นกศกษาทกคนในมหาวทยาลยราชภฏเชยงราย หรอตองการศกษาอายการใชงานของหลอดไฟฟา

ย.หอหน.ง ประชากรหมายถงหลอดไฟฟาย.หอน5ท5งหมด เปนตน

2. กลมตวอยาง (Sample) หมายถง ขอมลท.ถกเลอกมาเปนตวแทนของประชากร

3. พารามเตอร (Parameter) หมายถง คาคงตวท.แสดงถงคณลกษณะของประชากร เชน

คาเฉล.ยของประชากร แทนดวย µ

สวนเบ.ยงเบนมาตรฐานของประชากร แทนดวยσ

ความแปรปรวนของประชากร แทนดวย 2σ

สดสวนของประชากร แทนดวย p

4. คาสถต (Statistic) หมายถง คาท.แสดงคณลกษณะของตวอยาง เชน

คาเฉล.ยของตวอยาง แทนดวย X

คาเบ.ยงเบนมาตรฐานของตวอยาง แทนดวย S

ความแปรปรวนของตวอยาง แทนดวย S2

สดสวนของตวอยาง แทนดวย p


ประชากร การสม กลมตวอยาง

ประกอบดวย x1,x2,x3,…,xN ประกอบดวย x1,x2,x3,…,xn

การวเคราะห การวเคราะห

คาพารามเตอร คาสถต

1) คาเฉล.ย (µ ) การอนมาน 1) คาเฉล.ย ( x )

2) คามธยฐาน 2) คามธยฐาน

3) คาฐานนยม 3) คาฐานนยม

4) คาเบ.ยงเบนมาตรฐาน (σ ) 4) คาเบ.ยงเบนมาตรฐาน (S)

5) ความแปรปรวน ( 2σ ) 5) ความแปรปรวน (S2)

ประเภทของสถต

สถตในฐานะท.เปนศาสตรแบงออกเปน 2 ประเภท คอ

1. สถตพรรณนา (Descriptive Statistics)

สถตพรรณนาเปนสถตท.ใชบรรยายถงลกษณะของขอมลท.ศกษาเพยงกลมใดกลมหน.ง

เทาน5น ไมสามารถนาผลสรปไปอางองขอมลกลมอ.นได เชน การศกษารายไดของประชาชนใน

จงหวดเชยงราย โดยการเกบรวบรวมขอมลรายไดของประชาชนทกคนในจงหวดเชยงราย แลวทา

การวเคราะหขอมลเพ.อหาคาเฉล.ยและสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานของขอมล จะเหนวาผลการวเคราะห

ท.ไดสามารถอธบายรายไดของประชาชนในจงหวดเชยงรายเทาน5น ไมสามารถนาไปอธบายรายได

ของประชาชนในจงหวดอ.น ๆ ได วธการวเคราะหขอมลสถตพรรณนามดงน5 คอ การแจกแจง

ความถ. การหาคาสดสวนหรอคารอยละ การวดแนวโนมสสวนกลางและการวดการกระจายของ

ขอมล เปนตน


2. สถตอนมาน (Inferential Statistics)

สถตอนมานเปนสถตอาศยการวเคราะหจากขอมลตวอยางแลวนาผลท.ไดไปสรปถง

พารามเตอรของประชากร ตวอยางเชน พรรคการเมองพรรคหน.งตองการทราบความนยมของ

ประชาชนท.มตอพรรค ถาหากสอบถามผมสทธเลอกต5งทกคนท.วประเทศ กจะทาใหส5นเปลองเวลา

งบประมาณ และอาจจะไมทนการณ นกวจยผรบผดชอบจะใชวธการสมสารวจผมสทธเลอกต5ง

เพยงบางสวนนาผลท.ไดมาวเคราะหแลวสามารถสรปผลไดวาความนยมท.มตอพรรคท.วท5งประเทศ

วามมากนอยเพยงใดและยงสามารถบอกไดวาการสรปดงกลาวมความถกตองเช.อถอไดมากนอย

เพยงใดดวย วธการวเคราะหทาไดโดยใชวธการประมาณคา (Estimation) และการทดสอบ

สมมตฐาน (Hypothesis Test)

ขอมล

ขอมล (Data) หมายถง ขอเทจจรงเก.ยวกบเร.องท.สนใจศกษาซ.งอาจจะเปนตวเลขหรอไม

เปนตวเลขกได ขอมลแบงออกไดเปน 2 ประเภท คอ

1. ขอมลเชงปรมาณ (Quantitative Data) หมายถง ขอมลท.สามารถวดออกมาเปนตวเลข

และคานวณได เชน อาย น5 าหนก สวนสง คะแนน หรอคะแนนความคดเหนแบบมาตรการประเมน

(Rating Scale) เชน มากท.สด(5) มาก(4) ปานกลาง(3) นอย(2) นอยท.สด(1) เปนตน การวเคราะห

ขอมลสามารถหาคาเฉล.ย มธยฐาน ฐานนยม สวนเบ.ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน

2. ขอมลเชงคณภาพ (Qualitative Data) หมายถง ขอมลท.ไมสามารถคานวณได เชน เพศ

ศาสนา อาชพ ระดบการศกษา หรอ อายท.แบงเปนชวง ๆ เปนตน การวเคราะหขอมลสามารถแจกแจง

ความถ.และรอยละ ไดเทาน5น

มาตราการวดขอมล

จากท.กลาวมาแลววาขอมลหมายถงขอเทจจรงเก.ยวกบเร.องท.สนใจศกษาซ.งอาจจะเปน

ตวเลขหรอไมเปนตวเลขกได เราสามารถแบงขอมลออกเปน 4 ระดบ ตามมาตราการวดดงตอไปน5

1. มาตรานามบญญต (Nominal Scale) เปนการวดขอมลเชงคณภาพโดยการจาแนก

ขอมลออกเปนกลม ๆ ตามลกษณะใดลกษณะหน.งและสามารถนบจานวนความถ.ได เชน จาแนกตาม


เพศ เปนเพศชายและเพศหญง จาแนกตามวฒการศกษาเปนประถมศกษา มธยมศกษา และ

อดมศกษา เปนตน

2. มาตราเรยงอนดบ (Ordinal Scale) เปนการวดขอมลเชงคณภาพท.สามารถจดจดเปน

อนดบบอกความมากหรอนอยกวากนได เชน ผลการประกวดภาพวาดเปนอนดบ 1 2 และ3 ซ. งบอก

ไดวาอนดบ 1 สวยกวาอนดบ 2 และอนดบ 2 สวยกวาอนดบ 3 แตไมสามรถบอกไดวาสวยกวากน

มากนอยเทาใดนอกจากน5 ระดบการศกษา หรอยศทหารและตารวจ กจดเปนขอมลในมาตราน5ดวย

3. มาตราอนตรภาค (Interval Scale) เปนการวดขอมลเชงปรมาณท.มความแตกตางของ

ขอมลแตละหนวยมคาเทากนโดยมศนยเปนจดเร.มตนของการวด เชน คะแนน และอณหภม แตคา

ศนยดงกลาวไมใชศนยแท เชน คะแนนศนยไมไดหมายความวาผสอบไมมความรอยเลย หรอนาย

ก. สอบได 40 คะแนนสวนนาย ข. สอบได 20 คะแนน ไมไดหมายความวา นาย ก. มความรเปน 2

เทาของนาย ข. เปนตน

4. มาตราอตราสวน (Ratio Scale) เปนการวดขอมลเชงปรมาณเชนเดยวกบขอมลในมาตรา

อนตรภาคแตเปนขอมลท.มศนยแท ไดแก น5าหนก สวนสง ระยะทาง รายได เปนตน เชน นาย ก. ม

รายได 0 บาท แสดงวานาย ก. ไมมรายไดเลย และขอมลมาตราน5สามารถนามาเปรยบเทยบกนในรป

อตราสวนได เชนโตะตวหน.งกวาง 30 น5ว ยาว 60 น5ว สามารถบอกไดวาโตะตวน5 มความยาวเปน 2

เทาของความกวาง เปนตน

การเกบรวบรวมขอมล

จากการท.กลาวมาแลววาสถตในฐานะท.เปนศาสตรจะตองเร.มจากการเกบรวบรวมขอมล

และวธการเกบรวบรวมขอมลจะแตกตางกนไปตามความตองการและวตถประสงคของผใชขอมล

ขอมลมการจาแนกตามแหลงท.เกบไดเปน 2 ชนดคอ ขอมลทตยภม (Secondary Data) เปนขอมลท.

เกบรวบรวมจากแหลงท.มการเกบไวกอนแลว เชน จากทะเบยน เอกสารหรอรายงานตาง ๆ และ

ขอมลปฐมภม (Primary Data) เปนขอมลท.ตองทาการเกบรวบรวมดวยตนเอง เน.องจากขอมลท.

ตองการยงไมมผเกบรวบรวมมากอนหรอถามการเกบรวบรวมไวแลวกไมตรงตามความตองการหรอ

ขอมลไมทนสมย ขอมลปฐมภมมวธการเกบรวบรวมไดดงน5


1. โดยการสามะโน (Census) หมายถง การเกบรวบรวมขอมลจากทกหนวยในประชากร

ภายในขอบเขตของเร.องท.สนใจศกษา เชน สามะโนประชากรคอการเกบขอมลทกครวเรอนในประเทศ

ไทย นอกเหนอจากน5ยงมสามะโนการเกษตร สามะโนธรกจการคาและการบรการ เปนตน ซ. งการ

สามะโนจะตองใชเวลา แรงงาน และคาใชจายเปนจานวนมาก

2. โดยการสารวจ (Survey) หมายถง การเกบรวบรวมขอมลจากตวอยางท.เปนตวแทนท.ด

ของประชากรและประกอบไปดวยลกษณะตาง ๆ ของประชากรครบถวน

การนาเสนอขอมล

วตถประสงคท.สาคญของการนาเสนอขอมลกเพ.อท.จะนาขอมลท.เกบรวบรวมไดมาเสนอ

หรอเผยแพรใหผสนใจในขอมลน5น ๆ ทราบหรอสามารถนาขอมลไปใชประโยชนในดานตางๆได

โดยท.วไปการนาเสนอขอมล สามารถทาไดในรปขอความ รปตาราง หรอรปกราฟ

ตวอยางท� 1 จากสถตประชากรจงหวดเชยงรายตอไปน5

รายการ 2551 2552 2553 2554 2555

จานวนประชากรชาย 606,775 588,850 589,890 589,759 590,446

จานวนประชากรหญง 620,542 606,083 608,328 608,897 609,977

จานวนคนเกด 11,269 11,284 11,335 11,792 12,399

จานวนคนตาย 9,152 8,820 9,359 9,355 9,415

จานวนคนยายเขา 61,436 60,735 58,761 60,420 58,516

จานวนคนยายออก 59,090 57,772 55,271 56,388 53,995

จงตอบคาถามตอไปน5

1. ป 2555 ประชากรจงหวดเชยงรายท5งหมดมจานวนเทาใด

2. ป 2552 ประชากรชายตอประชากรท5งหมดคดเปนอตราสวนประมาณเทาใด

3. ป 2551 ประชากรชายเปนก.เปอรเซนตของประชากรหญง

4. ต5งแตป 2551 ถงป 2555 โดยเฉล.ยมจานวนคนเกดปละก.คน


วธทา 1. ป 2555 ประชากรจงหวดเชยงรายท5งหมดมจานวนเทา 1,200,423 คน

2. ป 2552 ประชากรท5งหมด = 588,850 + 606,083 = 1,194,933

อตราสวนของประชากรชายตอประชากรท5งหมด

21

96.11

933,194,1850,588

กรท5งหมดจานวนประชากรชายจานวนประชา

≈===

อตราสวนประมาณ 1 : 2

3. ป 2551 จานวนประชากรหญง 620,542 คน คดเปน 100 %

จานวนประชากรหญง 606,775 คน คดเปน %78.97542,620

775,606%100=

×

4. ต5งแตป 2551 ถงป 2555 มจานวนคนเกดปท5งหมด = 11,269+ 11,284+ 11,335+ 11,792+ 12,399

= 58,079 คน

โดยเฉล.ยปละ 11,615.805079,58== หรอประมาณ 11,616 คน

ตวอยางท� 2 กราฟแสดงจานวนนกทองเท.ยวจากประเทศกลมอาเซยนท.เดนทางเขามาในประเทศ

ไทย พ.ศ. 2551 – 2556

3,971,429 3,968,5794,534,235

5,594,5776,281,153

7,396,297

-

1,000,000

2,000,000

3,000,000

4,000,000

5,000,000

6,000,000

7,000,000

8,000,000

2551 2552 2553 2554 2555 2556



1. อตราสวนนกทองเท.ยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2553 ตอป 2555 ประมาณเทาใด

2. นกทองเท.ยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2551 เปนก.เปอรเซนตของป 2556

3. ต5งแตป 2551 ถงป 2556 โดยเฉล.ยมนกทองเท.ยวจากประเทศกลมอาเซยนปละก.คน

วธทา

1. อตราสวนนกทองเท.ยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2553 ตอป 2555

118

08.118

6,281,153 4,534,235

2555ป

2553ป≈===

อตราสวนประมาณ 8 : 11

2. นกทองเท.ยวจากประเทศกลมอาเซยนป 2551 เปนก.เปอรเซนตของป 2556

ป 2556 จานวนนกทองเท.ยว 7,396,297 คน คดเปน 100 %

ป 2551 จานวนนกทองเท.ยว 3,971,429 คน คดเปน 7,396,297

3,971,429 %100 ×

%69.53= 3. ต5งแตป 2551 ถงป 2556 มนกทองเท.ยวจากประเทศกลมอาเซยนรวมท5งหมด

= 3,971,429 + 3,968,579 + 4,534,235 + 5,594,577 + 6,281,153 + 7,396,297

= 31,746,270

โดยเฉล.ยปละ 5,291,045 6

31,746,270 == คน

การวเคราะหขอมล

เปนการดาเนนการกบขอมลท.เกบรวบรวมมาได เพ.อใหไดผลลพธท.จะนาไปใชในการ

ตดสนใจตอไป การวเคราะหขอมลแบงเปนสถตพรรณนาไดแก การแจกแจงความถ. การวด

แนวโนมสสวนกลาง และการวดการกระจายของขอมล และสถตอนมานไดแก การประมาณคา

และการทดสอบสมมตฐาน เปนตน

ในท.น5 จะกลาวถงเฉพาะการวเคราะหขอมลแบบสถตพรรณนาเทาน5น


การแจกแจงความถ�

การแจกแจงความถ. หมายถง การนบจานวนขอมลท.มคาเดยวกนหรอขอมลท.อยในกลม

เดยวกน และนยมแสดงจานวนท.นบไดใหอยในรปรอยละ(Percent) ดวย โดยท.

รอยละ = ลท5งหมดจานวนขอม

ลท.นบไดจานวนขอม x 100

ตวอยางท� 3 ในการสารวจกลมตวอยางนกศกษาจานวน 15 คน พบวาเพศของนกศกษาแตละคนเปน

ดงน5 (เพศชาย แทนดวย 1 และเพศหญง แทนดวย 2)

คนท. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

เพศ 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2

จงแจกแจงความถ.ของนกศกษากลมน5จาแนกตามเพศ

วธทา

เพศชาย จานวน 8 คน คดเปนรอยละ เทากบ 100x158

= 53.33

เพศหญง จานวน 7 คน คดเปนรอยละ เทากบ 100x157

= 46.67

การนาเสนอขอมล นยมนาเสนอในรปตารางดงน5

เพศ จานวน รอยละ

ชาย

หญง

8

7

53.33

46.67

รวม 15 100.00


การแปลผล

จากตารางพบวา กลมตวอยางจานวน 15 คน เปนเพศชายรอยละ 53.33 และเปน

เพศหญง รอยละ 46.67

ตวอยางท� 4 ในการสารวจขอมลนกศกษาจานวน 8 คน โดยแบบสอบถามเปนดงน5

1. เพศ (V1) 1. ชาย 2. หญง

2. คณะ (V2) 1. คณะครศาสตร 2. คณะวทยาศาสตร

3. คณะวทยาการจดการ 4. คณะสงคมศาสตร

3. อาย (V3) 1. 17 -18 ป 2. 19 – 20 ป

3. 21 – 22 ป 4. 23 – 24 ป

ผลจากการสารวจไดขอมลแลวแปลงเปนตวเลข (Coding) ผลเปนดงน5

คนท. V1 V2 V3

01

02

03

04

05

06

07

08

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

3

3

2

3

4

4

1

3

3

2

3

2

1

1


ตารางแสดงจานวนและรอยละเปนดงน5

รายการ จานวน รอยละ

เพศ

ชาย

หญง

คณะ

ครศาสตร

วทยาศาสตร

วทยาการจดการ

สงคมศาสตร

3

5

1

2

3

2

37.50

62.50

12.50

25.00

37.50

25.00


อาย

17-18 ป

19-20 ป

21-22 ป

3

2

3

37.50

25.00

37.50

จากตารางพบวา กลมตวอยางท.ตอบแบบสอบถามจานวน 8 คน สวนใหญเปนเพศหญง

รอยละ 62.50 ศกษาอยคณะวทยาการจดการ รอยละ 37.50 อาย 17-18 ป และ 21-22 ป รอยละ 37.50

การวดแนวโนมสสวนกลาง

การวดแนวโนมสสวนกลาง(Measures of Central Tendency) เปนวธการทางสถตเพ.อให

ทราบคากลางของขอมลท5งหมด เพ.อใชเปนตวแทนเวลากลาวถงขอมลชดน5น การวดแนวโนมส

สวนกลาง ท.จะกลาวถงในท.น5 ม 3 วธ ไดแก คาเฉล.ย มธยฐาน และฐานนยม


1. คาเฉล�ย

คาเฉล.ย หมายถง ผลรวมของขอมลท5งหมดหารดวยจานวนขอมล เขยนแทนดวย

สญลกษณ µ หรอ X

ประชากรขนาด N ประกอบดวยขอมล N321 x,...,x,x,x คาเฉล.ย คอ µ อานวา มว

µ=N

x...xxx N321 ++++ = N

xN

1ii∑

= เขยนโดยยอไดดงน5 µ =

Nx i∑

ตวอยางขนาด n ประกอบดวยขอมล n321 x,...,x,x,x คาเฉล.ย คอ X อานวาเอกซบาร

X =n

x...xxx n321 ++++ = n

xn

1ii∑

= เขยนโดยยอไดดงน5 X = nx i∑

ตวอยางท� 5 ครอบครวหน.งมสมาชก 5 คน อายของแตละคนเปนดงน5 45 40 18 15 และ 12

ป จงหาคาเฉล.ยของอายสมาชกครอบครวน5

วธทา

ทราบวา N = 5 และ ∑ ix = 130

จาก µ = Nx i∑

=5

130

= 26 คาเฉล.ยของอายสมาชกครอบครวน5 เทากบ 26 ป

ตวอยางท� 6 สมสารวจนกศกษา 10 คน จากนกศกษาท.สอบท5งหมดผลคะแนนการสอบเปนดงน5

9 12 12 2 6 8 12 10 5 4

จงหาคาเฉล.ยคะแนนสอบของนกศกษาท5ง 10 คนน5


วธทา

ทราบวา n = 10 และ ∑ ix = 80

จาก X = nx i∑

=1080

= 8

คาเฉล.ยของคะแนนสอบ เทากบ 8 คะแนน

2. มธยฐาน

มธยฐาน หมายถง ขอมลท.อยตรงตาแหนงก.งกลางของขอมลท.มการเรยงลาดบจาก

ต.าสดไปหาสงสด ซ. งแสดงวามขอมลคร. งหน.งของขอมลท5งหมดมคาสงกวาคาท.เปนมธยฐานและม

ขอมลอกคร. งหน.งของขอมลชดเดยวกนมคาต.ากวาคาท.เปนมธยฐาน วธการหาคามธยฐานทาได

ดงน5

1) จดเรยงขอมลจานวน N ตวจากคาต.าสดไปหาคาสงสด

2) ตาแหนงก.งกลาง = 2

1N+ , เม.อ N แทนจานวนขอมลท5งหมด

3) มธยฐาน เทากบ ขอมลตวท.อยตรงกบตาแหนงก.งกลาง แตถาหากวาตรงตาแหนง

ก.งกลางไมมขอมลอยใหเอาขอมล 2 ตวระหวางตาแหนงก.งกลาง มาบวกกนแลวหารดวย 2

ตวอยางท� 7 จงหาคามธยฐานของขอมลท.กาหนดใหตอไปน5

21 15 26 19 16 23 25 27 20 30 33 20 27 25 35

วธทา

นาขอมลมาเรยงจากต.าสดไปหาสงสด ไดดงน5

15 16 19 20 20 21 23 25 25 26 27 27 30 33 35

ตาแหนงก.งกลาง คอ = 21N+

= 2

115+ = 8

ขอมลตาแหนงท. 8 มคาเทากบ 25

จะไดวา มธยฐาน เทากบ 25


ตวอยางท� 8 จงหามธยฐานของคะแนนการสอบของนกศกษา จานวน 10 คน

9 12 12 2 6 8 12 10 5 4

วธทา

เรยงคะแนนจากต.าสดไปหาสงสด ไดดงน5

2 4 5 6 8 9 10 12 12 12

ตาแหนงก.งกลาง คอ = 21N+

= 2110+

= 5.5

ขอมลตาแหนงท. 5.5 มคาเทากบ 2

98 += 8.5

จะไดวา มธยฐานของคะแนนการสอบ เทากบ 8.5 คะแนน

3. ฐานนยม

ฐานนยม คอ ขอมลท.มความถ.สงสด

ตวอยางท� 9 สมคะแนนการสอบของนกศกษา 10 คน เปนดงน5

9 , 12 , 12 , 2 , 6 , 8 , 12 , 10 , 5 , 4

จงหาฐานนยมของคะแนนการสอบ

วธทา

คะแนน 12 มความถ.สงสด เทากบ 3

จะไดวา ฐานนยมของคะแนน เทากบ 12 คะแนน

การวดการกระจายของขอมล

ในการเปรยบเทยบขอมลชดตาง ๆ นยมใชคาตวกลางของขอมลเหลาน5นมาเปรยบเทยบกน

แตการใชเฉพาะคากลางขอมลไมสามารถบอกลกษณะของขอมลชดน5นไดถกตองและชดเจน เชน

คะแนนการสอบของนกศกษาชายและนกศกษาหญงกลมละ 5 คน เปนดงน5

นกศกษาชาย 20 18 5 10 47 พบวาคาเฉล.ย เทากบ 20 คะแนน

นกศกษาหญง 15 17 22 29 17 พบวาคาเฉล.ย เทากบ 20 คะแนน

การท.จะสรปวานกศกษาท5ง 2 กลมมความสามารถในการเรยนเทากนจงไมเปนการถกตอง


เพราะการกระจายของขอมลแตกตางกนมาก ดงน5นในการวเคราะหขอมลนอกจากจะมการวดคา

แนวโนมสสวนกลางแลวจาเปนตองมการวดการกระจายของขอมลควบคกนดวยเสมอ โดยท.คาเฉล.ย

จะทาใหทราบวาขอมลท5งหมดมคาประมาณเทากบเทาไร และการวดการกระจายจะทาใหทราบวา

ขอมลแตละตวมความแตกตางจากคาเฉล.ยมากนอยเพยงใด การวดการกระจายของขอมลมวธหลาย

วธ ท.จะกลาวถงในท.น5 คอ พสย สวนเบ.ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน

1. พสย

พสย หมายถง ผลตางระหวางขอมลท.มคาสงสด (Max) กบขอมลท.มคาต.าสด (Min)

ตวอยางท� 10 จงหาพสยของขอมลตอไปน5 9 12 12 2 6 8 12 10 5 4

วธทา

ขอมลท.มคาสงสด เทากบ 12

ขอมลท.มคาต.าสด เทากบ 2

จะไดวา พสย = 12 – 2

= 10

2. สวนเบ�ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวน

สวนเบ.ยงเบนมาตรฐานของประชากร คอ σ (อานวา ซกมา)

σ = ( )

N

xN

1i

2i∑

=µ−

หรอ σ = 2

i2i

Nx

Nx

−∑∑

สวนเบ.ยงเบนมาตรฐานของตวอยาง คอ s

s = ( )

1n

xxn

1i

2i

−

−∑= หรอ s =

)1n(n

)x(xn 2i

2i

−− ∑∑

( สวนเบ.ยงเบนมาตรฐานยกกาลงสอง เรยกวา ความแปรปรวน (Variance))


ตวอยางท� 11 กาหนดประชากรหน.งมขอมลดงน5 2 4 5 6 10

จงหาสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอมลประชากรน5

วธทา

ix 2 4 5 6 10 2ix 4 16 25 36 100

จากตารางทราบวา N = 5 , ∑ ix = 27 , ∑2ix = 181

µ = Nx i∑

=5

27

= 5.40

การหาสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานวธท. ~ จากสตร

σ = ( )

N

xN

1i

2i∑

=µ−

=5

)40.510(...)40.55()40.54()40.52( 2222 −++−+−+−

= 04.7

= 2.653

การหาสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานวธท. N จากสตร

σ = 2

i2i

Nx

Nx

−∑∑

= 2

527

5181

−

= 04.7

= 2.653

สวนเบ.ยงเบนมาตรฐาน เทากบ 2.653


2σ = 2.6532

= 7.04

ความแปรปรวน เทากบ 7.04

ตวอยางท� 12 สมสารวจคะแนนการสอบของนกศกษา 10 คนจากนกศกษาท5งหมด ผลเปนดงน5

9 , 12 , 12 , 2 , 6 , 8 , 12 , 10 , 5 , 4

จงหาสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของคะแนนการสอบ

วธทา

ix 9 12 12 2 6 8 12 10 5 4 2ix 81 144 144 4 36 64 144 100 25 16

จากตารางทราบวา n = 10 , ∑ ix = 80 , ∑2ix = 758

x = nx i∑

=1080

= 8

การหาสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานวธท. ~ จากสตร

s = ( )

1n

xxn

1i

2i

−

−∑=

=110

)84(...)812()812()89( 2222

−−++−+−+−

= 111.13

= 3.621

การหาสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานวธท. Nจากสตร

s = )1n(n

)x(xn 2i

2i

−− ∑∑


= )110(10

)80()758x10( 2

−−

= 111.13

= 3.621

สวนเบ.ยงเบนมาตรฐาน เทากบ 3.621

s2 = 2621.3

= 13.111

ความแปรปรวน เทากบ 13.111

ความนาจะเปน

ในชวตประจาวนของคนเราจะตองมการตดสนใจอยเสมอ ซ. งการตดสนใจถาทราบ

โอกาสท.จะเกดเหตการณตาง ๆ วามมากหรอนอยเพยงใด กจะทาใหการท.ตดสนใจมความถกตอง

มากย.งข5น โอกาสดงกลาวน5นเรยกวา ความนาจะเปน (Probability) เชน ความนาจะเปนท.น5ามนจะ

ข5นราคาเทากบ 0.80 หรอความนาจะเปนท.จะเกดฝนท5งชวงรอยละ 60 เปนตน ในการศกษาความ

นาจะเปนจะตองทาความเขาใจเก.ยวกบคาศพทตอไปน5 คอ การทดลองสม (Random Experiment)

ปรภมตวอยาง (Sample Space) และเหตการณ (Event)

1. การทดลองสม

การทดลองสม หมายถง การทดลองท.ผทดลองไมสามารถคาดคะเนผลการทดลองลวงหนา

ไดวาผลท.เกดข5นจะเปนอยางไรแนนอน แตสามารถบอกไดวาผลท.จะเกดข5นเปนอะไรไดบาง เชน

การโยนเหรยญ การทอดลกเตา การจบสลาก การหยบลกบอลจากกลอง เปนตน

2. ปรภมตวอยาง

ปรภมตวอยาง หมายถง เซตท.มสมาชกเปนผลลพธท.อาจเปนไปไดท5งหมดของการทดลอง

สมและสมาชกแตละตวของปรภมตวอยางเรยกวา ผลลพธ (Outcome) ปรภมตวอยางเขยนแทนดวย S

3. เหตการณ

เหตการณ หมายถง เซตยอยของปรภมตวอยางของการทดลองสมท.เปนเซตของผลลพธ

ของการทดลองสมท.เราสนใจ เขยนแทนดวย E


4. ความนาจะเปน

ความนาจะเปน หมายถง โอกาสหรอความเปนไปไดท.จะเกดเหตการณตาง ๆ ท.สนใจ ม

คาอยระหวาง 0 ถง 1 ถาความนาจะเปนเทากบ 0 แสดงวาไมมโอกาสเกดเหตการณน5นไดเลย

ถามคาเทากบ 1 แสดงวาเหตการณน5นมโอกาสเกดอยางแนนอน

ความนาจะเปนของเหตการณ E เขยนแทนดวย P(E)

P(E) = )S(n)E(n

เม.อ n(E) แทน จานวนสมาชกของเหตการณ E

n(S) แทน จานวนสมาชกของปรภมตวอยาง

ตวอยางท� 13 ในการโยนเหรยญ 2 อน 1 คร5 ง

วธทา

ให S แทน ปรภมตวอยาง

H แทน เหรยญข5นหว

T แทน เหรยญข5นกอย

จะได S = { (H,H) , (H,T) , (T,H) , (T,T) }

n(S) = 4

ให E แทน เหตการณท.เหรยญข5นหวอยางนอย 1 อน

จะได E = { (H,H) , (H,T) , (T,H) }

n(E) = 3

ให P(E) แทน ความนาจะเปนท.เหรยญจะข5นหวอยางนอยหน.งเหรยญ

จะได P(E) = )S(n)E(n

= 43

= 0.75


ตวอยาง 14 ในการโยนลกเตา 2 ลก 1 คร5 ง

1) จงหาปรภมตวอยาง

2) จงหาเหตการณท.ผลรวมของแตม เทากบ 7

3) จงหาความนาจะเปนของเหตการณท.ผลรวมของแตม เทากบ 7

วธทา

1) ให S แทน ปรภมตวอยาง

จะได S = { (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) ,

(2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) ,

(3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) ,

(4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , (4,5) , (4,6) ,

(5,1) , (5,2) , (5,3) , (5,4) , (5,5) , (5,6) ,

(6,1) , (6,2) , (6,3) , (6,4) , (6,5) , (6,6) }

n(S) = 36

2) ให E แทน เหตการณท.ผลรวมของแตม เทากบ 7

จะได E = { (1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1) }

n(E) = 6

3) ให P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตการณท.ผลรวมของแตม เทากบ 7


= 366

= 0.17


ตวอยาง 15 ในการซ5อหวยใตดนเลขทาย 3 ตว หมายเลขละ 1 บาท ถาซ5อถกจะไดรางวล 500 บาท

1) จงหาปรภมตวอยาง

2) จงหาจานวนสมาชกของเหตการณท.จะถกรางวลในแตละงวด

3) จงหาความนาจะเปนของเหตการณท.จะถกรางวลในแตละงวด

วธทา

1) ให S แทน ปรภมตวอยาง

จะได S = { 000 , 001 , 002 , 003 , 004 , ….. , 999 }

n(S) = 1,000

2) ให E แทน เหตการณท.จะถกรางวลในแตละงวด

ในแตละงวดจะมเลขทาย 3 ตวท.ถกรางวล 1 หมายเลข

n(E) = 1

3) ให P(E) แทน ความนาจะเปนของเหตการณท.จะถกรางวลในแตละงวด


= 000,11

= 0.001

การประยกตใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต

ในปจจบนการวเคราะหขอมลนยมใชโปรแกรมสาเรจรปทางสถต ไดแก โปรแกรม SPSS

for Windows หรอโปรแกรม Microsoft Excel ในท.น5 จะนาเสนอการวเคราะหขอมลโดยใช

โปรแกรม Microsoft Excel เทาน5น


ตวอยาง 6.16 ในการสารวจความคดเหนของนกศกษาในสถาบนแหงหน.งโดยใชแบบสอบถาม

ลกษณะดงตอไปน5

1. เพศ (V1)

1. ชาย 2. หญง

2. สถานท.อยขณะท.เรยน (V2)

1. อยกบบดามารดา 2. หอพกพกในสถาบน 3. อยหอพกเอกชน

3. อาชพของบดา-มารดา (V3)

1. เกษตรกร 2. คาขาย 3. รบราชการ 4. อ.นๆ (โปรดระบ)..........

4. เกรดเฉล.ยสะสม (V5) เทากบ ……………………….

5. เวลาท.ใชอานหนงสอตอสปดาห (V6) ………………..ช.วโมง

6. ความคดเหนของทานตอปญหาภายในสถาบนในดานตาง ๆ

ดาน

ระดบปญหา

มากท.สด

(5)

มาก

(4)

ปานกลาง

(3)

นอย

(2)

นอยท.สด

(1)

1. หองเรยน (V6-1)

2. สภาพถนน (V6-2)

3. อาจารยผสอน (V6-3)

4. อปกรณการเรยน (V6-4)

5. การแตงกาย (V6-5)


ขอมลท.เกบรวบรวมไดนามาแปลงเปนตวเลข (Coding) เปนดงน5

คนท. V1 V2 V3 V4 V5 V6-1 V6-2 V6-3 V6-4 V6-5

1 1 3 1 2.50 3 1 4 2 4 4

2 1 2 2 3.45 10 2 5 3 4 2

3 2 2 1 2.80 5 3 5 2 2 2

4 1 3 1 3.15 6 1 4 4 3 5

5 2 2 2 3.10 5 4 5 3 1 2

6 1 3 4 2.25 1 1 4 4 4 4

7 1 2 3 3.70 12 2 4 2 4 1

8 2 3 2 2.85 8 4 5 5 2 3

9 1 3 3 2.10 0 1 5 4 4 3

10 1 1 2 2.75 2 1 4 4 2 3

11 2 2 3 3.65 8 5 5 2 2 4

12 1 1 2 2.50 4 3 5 2 5 2

13 2 3 1 2.60 3 3 4 3 2 2

14 2 3 1 3.25 5 4 4 4 2 4

15 1 2 1 2.13 1 1 5 2 4 4

1. จงแจกแจงความถ.ของขอมลจาแนกตามเพศ ท.อยอาศยขณะท.เรยน และอาชพบดา-

มารดา

2. จงหาคา คาต.าสด คาสงสด คาเฉล.ย และสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานของเกรดเฉล.ย และ เวลา

ท.ใชอานหนงสอ

3. จงหาคาเฉล.ย สวนเบ.ยงเบนมาตรฐานและแปลความหมายของคาเฉล.ยของความคดเหน

ในปญหาดานตาง ๆ


วธทา

การเตรยมขอมลเพ�อการวเคราะหโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel


1. การแจกแจงความถ.ของขอมลจาแนกตามเพศ ท.อยอาศยขณะท.เรยน อาชพบดา-มารดา

เลอกคาส.ง แทรกฟงกชน หรอ fx / เลอกประเภท : ทางสถต / เลอกฟงกชน : COUNTIF


ผลการวเคราะหขอมลโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel


การนาเสนอขอมลเปนดงน5


1. เพศ

ชาย 9 60.00

หญง 6 40.00

2. ท.อยอาศยขณะท.เรยน

อยกบบดามารดา 2 13.33

อยหอพกในสถาบน 6 40.00

อยหอพกเอกชน 7 46.67

3. อาชพบดา-มารดา

เกษตรกร 6 40.00

คาขาย 5 33.33

รบราชการ 3 20.00

อ.น ๆ 1 6.67

จากตารางพบวา กลมตวอยางท.ตอบแบบสอบถามจานวน 15 คน สวนใหญเปนเพศชาย

รอยละ 60.00 อยหอพกเอกชน รอยละ 46.67 บดา-มารดาอาชพเกษตรกร รอยละ 40.00

2. คาต.าสด คาสงสด คาเฉล.ย และสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานของเกรดเฉล.ย และเวลาท.ใชอานหนงสอ

- การหาคาต.าสดใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : MIN

- การหาคาสงสดใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : MAX

- การหาคาเฉล.ยใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : AVERAGE

- การสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : STDEV


การวเคราะหขอมลโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel


ผลการวเคราะหขอมลโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel



รายการ min max X S.D.

เกรดเฉล.ยสะสม 2.10 3.70 2.85 0.52

เวลาท.ใชอานหนงสอ 0 12 4.87 3.46

จากตารางพบวา กลมตวอยางท.ตอบแบบสอบถามจานวน 15 คน มเกรดเฉล.ยสะสมโดย

เฉล.ย 2.85 และเวลาท.ใชอานหนงสอโดยเฉล.ย 4.87 ช.วโมง

3. คาเฉล.ย สวนเบ.ยงเบนมาตรฐานและแปลความหมายของคาเฉล.ยของความคดเหนในดานตาง ๆ

- การหาคาเฉล.ยใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : AVERAGE

- การสวนเบ.ยงเบนมาตรฐานใช fx ประเภท : ทางสถต เลอกฟงกชน : STDEV






ดาน x S.D. ความหมาย

1. หองเรยน 2.40 1.40 นอย

2. สภาพถนน 4.53 0.52 มากท.สด

3. อาจารย 3.07 1.03 ปานกลาง

4. อปกรณ 3.00 1.20 ปานกลาง

5. การแตงกาย 3.00 1.13 ปานกลาง

จากตาราง กลมตวอยางท.ตอบแบบสอบถามจานวน 15 คน มความคดเหนเก.ยวกบปญหา

ภายในสถาบนพบวามปญหามากท.สดในดานสภาพถนน ( x =4.53) และมปญหานอยในดาน

หองเรยน ( x = 2.40) สวนดานอ.น ๆ มปญหาปานกลาง



1. การวจยเร.องการศกษาคาเฉล.ยความพงพอใจเก.ยวกบเงนเดอนและคาตอบแทนอ.นๆ ของ

ขาราชการครสงกดกระทรวงศกษาธการ โดยมการเกบรวบรวมขอมลจากขาราชการครสงกด

กระทรวง

ศกษาธการ จานวน 384 คน พบวาคาเฉล.ยของรายไดเทากบ 19,833.33 บาท


1.1 คาเฉล.ยความพงพอใจเก.ยวกบเงนเดอนและคาตอบแทนอ.นๆ ของขาราชการครสงกด

กระทรวงศกษาธการ เรยกวา ..........................................................................

1.2 ขาราชการครสงกดกระทรวงศกษาธการ เรยกวา ............................................................

1.3 ขาราชการครสงกดกระทรวงศกษาธการจานวน 384 คน เรยกวา ...................................

1.4 คาเฉล.ยของรายไดเทากบ 19,833.33 บาท เรยกวา ...........................................................

2. จงบอกประเภทและมาตรการวดท.สงสดของขอมลตอไปน5

ขอมล ประเภทของขอมล มาตราการวดท.สงสด

1. เพศ …………………………. ………………………….

2. อาย(ป) …………………………. ………………………….

3. อาชพ …………………………. ………………………….

4. คะแนน …………………………. ………………………….

5. รายได(บาท) …………………………. ………………………….

6. รายจาย(3 ระดบ) …………………………. ………………………….

7. สญชาต …………………………. ………………………….

8. อณหภม …………………………. ………………………….

9. เกรดเฉล.ยสะสม …………………………. ………………………….

10. คะแนนความคดเหนแบบมาตรการ

ประเมน(Rating Scale)

………………………….

………………………….


3. จานวนนกทองเท.ยวจากประเทศกลมอาเซยนท.เดนทางเขามาในประเทศไทย พ.ศ. 2555 – 2556

สญชาต 2555 2556 อตราเพ�ม

บรไน 10,459 14,304 36.76%

กมพชา 423,642 468,366 10.56%

อนโดนเซย 447,820 589,079 …….%

ลาว 975,999 1,106,080 13.33%

มาเลเซย 2,544,397 …………… 17.29%

พมา 129,385 172,374 ……..%

ฟลปปนส 289,566 326,245 12.67%

สงคโปร 831,215 936,477 12.66%

เวยดนาม 618,670 ……………. 27.26%


3.1 นกทองเท.ยวจากประเทศอนโดนเซยเพ.มข5นก.เปอรเซนต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

3.2 นกทองเท.ยวจากประเทศมาเลเซยในป 2556 มจานวนก.คน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


3.3 อตราสวนนกทองเท.ยวจากประเทศกมพชาตอประเทศมาเลเซยในป 2555 เทากบเทาใด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4. ขอมลของประชากรหน.งเปนดงน5 4 7 1 3 2 4 6 8

จงหา

4.1 คาเฉล.ย

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4.2 มธยฐาน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


4.3 ฐานนยม

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4.4 พสย

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4.5 สวนเบ.ยงเบนมาตรฐาน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

4.6 ความแปรปรวน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


5. สมสารวจคะแนนการสอบของนกศกษา 9 คน จากนกศกษาท5งหมดผลเปนดงน5

9 6 10 8 7 5 6 4 3

จงหา

5.1 คาเฉล.ยเลขคณต

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.2 มธยฐาน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.3 ฐานนยม

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………..


5.4 พสย

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.5 สวนเบ.ยงเบนมาตรฐาน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

5.6 ความแปรปรวน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………...

6. ในการสารวจความคดเหนของนกศกษาในสถาบนแหงหน.งโดยใชแบบสอบถามลกษณะ

ดงตอไปน5

1. เพศ (V1)

1. ชาย 2. หญง

2. สถานท.อยขณะท.เรยน (V2)

1. อยกบบดามารดา 2. หอพกพกในสถาบน 3. อยหอพกเอกชน

3. เกรดเฉล.ยสะสม (V3) เทากบ ……………………….

4. เวลาท.ใชอานหนงสอ (V4) ………………..ช.วโมง

5. ความคดเหนของทานตอปญหาภายในสถาบนในดานตาง ๆ


ระดบความคดเหน

มากท.สด

(4)

มาก

(3)

นอย

(2)

นอยท.สด

(1)

1. หองเรยน (V5-1)

2. สภาพถนน (V5-2)

3. อาจารยผสอน (V5-3)

4. อปกรณการเรยน (V5-4)

5. การแตงกาย (V5-5)

ขอมลท.เกบรวบรวมไดนามาแปลงเปนตวเลข (Coding) เปนดงน5

ท. V1 V2 V3 V4 V5-1 V5-2 V5-3 V5-4 V5-5

1 1 3 2.50 3 1 4 2 4 4

2 1 2 3.45 10 2 4 3 4 2

3 2 2 2.80 5 3 4 2 2 2

4 1 3 3.15 6 1 4 4 3 4

5 2 2 3.10 5 4 3 3 1 2

6 1 3 2.25 1 1 4 4 4 4

7 1 2 3.70 12 2 4 2 4 1

8 2 3 2.85 8 4 4 4 2 3

9 1 3 2.10 0 1 4 4 4 3

10 1 1 2.75 2 1 4 4 2 3

11 2 2 3.65 8 4 4 2 2 4

12 1 1 2.50 4 3 4 2 3 2

13 2 3 2.60 3 3 4 3 2 2


จงเตมผลการวเคราะหขอมลในตารางตอไปน5

ตารางท� 1 ขอมลท�วไปของผตอบแบบสอบถาม


1. เพศ

ชาย ……… ………

หญง ……… ………

2. ท.อยอาศยขณะท.เรยน

อยกบบดามารดา ……… ………

อยหอพกในสถาบน ……… ………

อยหอพกเอกชน ……… ………

จากตารางพบวา

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


ตารางท� 2 ขอมลเก�ยวกบเวลาท�ใชอานหนงสอ

รายการ min max x s

เวลาท.ใชอานหนงสอ

…….

……..

……..

………

จงแสดงวธหาคา x และ s ของเวลาท.ใชอานหนงสอ

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………..……………………………………………………………………………

…………………………………….………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

…….…..………………………..……………………………………………………………………

……….……………………………..………………………………………………………………


ตารางท� 3 คาเฉล�ยและสวนเบ�ยงเบนมาตรฐานของความคดเหนในปญหาดานตาง ๆ

ดาน x s ความหมาย

1. หองเรยน ……. …….. ………………..

2. สภาพถนน ……. …….. ………………..

3. อาจารย ……. …….. ………………..

4. อปกรณ ……. …….. ………………..

5. การแตงกาย ……. …….. ………………..

จากตารางพบวา

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

จงแสดงวธหาคา x และ s พรอมท5งแปลความหมายของความคดเหนปญหาดานหองเรยน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………………….


(ปญหาดานอ.นๆ ใหหาโดยใชโปรแกรม Microsoft Excel )

7. ในการโยนเหรยญ 3 อน 1 คร5 ง

จงหา

7.1 ปรภมตวอยาง

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

7.2 เหตการณท.เหรยญข5นหวอยางนอย 1 อน

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

7.3 ความนาจะเปนท.เหรยญจะข5นหวอยางนอยหน.งเหรยญ

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………


8. กลองใบหน.งบรรจหลอดไฟ 5 หลอด ในจานวนน5 เปนหลอดด 3 หลอด หลอดเสย 2 หลอด ถา

สมหยบหลอดไฟมา 2 หลอด

จงหา

8.1 ปรภมตวอยาง

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

8.2 เหตการณท.จะไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

8.3 ความนาจะเปนท.จะไดหลอดเสยอยางนอย 1 หลอด

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………

………………………..…………………………………………………………………………….



สพล ดรงควฒนา. (2537). การวเคราะหเชงสถต : การวเคราะหความถดถอย. กรงเทพมหานคร :

จฬาลงกรณมหา วทยาลย,2537.

สมจต วฒนาชยากล. (2527). การวเคราะหขอมลเชงสถต. กรงเทพมหานคร :

มหาวทยาลยธรรมศาสตร.

สรชย พศาลบตร. (2542). สถตธรกจ. กรงเทพมหานคร : จฬาลงกรณมหาวทยาลย

อจฉรย จนทลกขณา. (2543). หลกสถตเพ.อการวเคราะหขอมลท.วไป. กรงเทพมหานคร :

มหาวทยาลยเกษตรศาสตร.

บรรณานกรม

กรมสรรพากร. (2556) . มารจก ภาษมลคาเพ�ม กนกอนดม�ย. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร

กรมสรรพากร. (2556) . วธกรอกแบบแสดงรายการ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา ปภาษ 2556 ภ.ง.ด.

90. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร

กรมสรรพากร. (2556) . วธกรอกแบบแสดงรายการ ภาษเงนไดบคคลธรรมดา ปภาษ 2556 ภ.ง.ด.

91. กรงเทพมหานคร : กรมสรรพากร

การคานวณดอกเบ�ย.สบคนเม�อ 1 มถนายน 2557, จาก http://www.9:9;.or.th/th/serviceunderbot

การใหเหตผล.สบคนเม�อ 4 พฤษภาคม 2557, จาก http://www. thaigoodview.com/node/18026

การใหเหตผล.สบคนเม�อ 4 พฤษภาคม 2557, จาก ttp://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?

คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/XQblon

คณตศาสตรในชวตประจาวน.สบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://goo.gl/K9NeYG

ดอกเบ�ย.สบคนเม�อ 30 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.bot.or.th

นพพร ธนะชยขนธ. (2543). คณตศาสตรพ�นฐาน. เชยงราย : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยราชภฏเชยงราย.

ภาษเงนไดบคคลธรรมดา.สบคนเม�อ 14 พฤษภาคม 2557, จาก

http://www.rd.go.th/publish/309.0.html

ภาษมลคาเพ�ม.สบคนเม�อ 14 พฤษภาคม 2557, จาก http://www.rd.go.th/publish/307.0.html

ศรจนทร เวสารชศาสตร (2549). คณตศาสตรพ�นฐาน.กรงเทพฯ : คณะวทยาศาสตรและเทคโนโลย

มหาวทยาลยธรรมศาสตร

สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฏหมายภาษอากร 1

หนวยท� 1 – 7 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.

สโขทยธรรมาธราช สาขาวชานตศาสตร. (2546). เอกสารการสอนชดวชา กฏหมายภาษอากร 1

หนวยท� 8 – 15 . กรงเทพมหานคร : มหาวทยาลยสโขทยธรรมาธราช.

สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2553). หนงสอเรยนรายวชาพ�นฐาน

คณตศาสตร เลม 1 ช�นมธยมศกษาปท� 2 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตร


สงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย,สถาบน. (2552). หนงสอเรยนสาระการเรยนรพ�นฐาน

คณตศาสตร เลม 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ช�นมธยมศกษาปท� 3 ตามหลกสตร

สพล ดรงควฒนา. (2537). การวเคราะหเชงสถต : การวเคราะหความถดถอย. กรงเทพมหานคร

จฬาลงกรณมหา วทยาลย,2537.

สมจต วฒนาชยากล. (2527). การวเคราะหขอมลเชงสถต. กรงเทพมหานคร :

มหาวทยาลยธรรมศาสตร.

สรชย พศาลบตร. (2542). สถตธรกจ. กรงเทพมหานคร : จฬาลงกรณมหาวทยาลย

สมการและอสมการสบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก htttp://math9.snru.ac.th/UserFiles/File/math9@snru/...n-pq/.../unitr.doc

สมการและอสมการสบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก http://th.wikipedia.org/wiki/สมการ

สมการและอสมการสบคนเม�อ 15 พฤษภาคม 2557, จาก

http://home.kku.ac.th/wattou/service/m123/03.pdf

สมการและอสมการสบคนเม�อ 1 มถนายน 2557, จาก https://sites.google.com/site/mathgang2m3/3

หลงสตรแกนกลางการศกษาข�นพ�นฐาน พทธศกราช 2551. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.

ลาดพราว.

หลกสตรการศกษาข�นพ�นฐาน พทธศกราช 2544. กรงเทพมหานคร: โรงพมพ สกสค.ลาดพราว.

อจฉรย จนทลกขณา. (2543). หลกสถตเพ�อการวเคราะหขอมลท�วไป. กรงเทพมหานคร :

มหาวทยาลยเกษตรศาสตร.

อตราดอกเบ�ย.สบคนเม�อ 1 มถนายน 2557, จาก https://www.tmbbank.com

Kellison, Stephen G. (1970). The Theory of Interest. Richard D. Irwin, Inc. Library of Congress

Catalog Card No. 79-98251.

Leonhardy, A. (1960). College Algebra. Missouri : John Wiley & Sons.

Lipschuyz, S. & Hall, G. G. (1966). Finite Mathematics. New York : McGraw – Hill Book

Company.


คณะผจดทา

ผจดทา บทท�

รองศาสตราจารย ดร.นพพร ธนะชยขนธ 1

อาจารยจารวรรณ ศรนภาดล 2

อาจารยธนายทธ ชางเรอนงาม 3

อาจารยวทยา พนสวสด� 4

อาจารย ดร.ธญวรชญ บตรสาร 5

ผชวยศาสตราจารย มน สมเพรช 6

GEN 1101 คณิตศาสตร์ในชีวิตประจําวัน Mathematics for Daily Lifereg2.crru.ac.th/reg/files/20150929020102_3aa31caba936b876645ada5b607be... ·

Documents