Page 1
0 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIK
GBI Tutorium 8
Roman Langrehr, 11. Tutorium am 15.01.2017
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg undnationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft www.kit.edu
Page 2
Gerichtete Graphen
1 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
0 1 2
3 4
Page 3
Gerichtete Graphen
1 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
0 1 2
3 4
Page 4
Gerichtete Graphen
1 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
0 1 2
3 4
Page 5
Gerichtete Graphen
1 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
0 1 2
3 4
Page 6
Gerichtete Graphen
1 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ V × V (sogenannte Kanten)
heißt gerichteter Graph.
BeispielV = {0,1,2,3,4} und E = {(0,1) , (0,4) , (2,3) , (3,4) , (1,0)} oder
0 1 2
3 4
Page 7
Gerichtete GraphenTeilgraphen
2 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG′ = (V ′,E ′) ist Teilgraph von G = (V ,E) genau dann, wenn
V ′ ⊆ VE ′ ⊆ E ∩ V ′ × V ′
BeispielEin Teilgraph des vorherigen Beispiels ist:
0 1
3 4
Page 8
Gerichtete GraphenTeilgraphen
2 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG′ = (V ′,E ′) ist Teilgraph von G = (V ,E) genau dann, wenn
V ′ ⊆ VE ′ ⊆ E ∩ V ′ × V ′
BeispielEin Teilgraph des vorherigen Beispiels ist:
0 1
3 4
Page 9
Gerichtete GraphenSchlingen
3 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine Kante der Form (x, x) ∈ E nennt man Schlinge.
Beispiel
A
B
C
D
Page 10
Gerichtete GraphenSchlingen
3 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine Kante der Form (x, x) ∈ E nennt man Schlinge.
Beispiel
A
B
C
D
Page 11
Gerichtete GraphenSchlingen
3 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine Kante der Form (x, x) ∈ E nennt man Schlinge.
Beispiel
A
B
C
D
Page 12
Gerichtete GraphenSchlingen
4 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter Graph G = (V ,E) maximal haben?
Lösung|E | ≤ |V |2
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter, schlingenfreier Graph G′ = (V ′,E ′)maximal haben?
Lösung|E ′| ≤ |V |2 − |V |
Page 13
Gerichtete GraphenSchlingen
4 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter Graph G = (V ,E) maximal haben?
Lösung|E | ≤ |V |2
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter, schlingenfreier Graph G′ = (V ′,E ′)maximal haben?
Lösung|E ′| ≤ |V |2 − |V |
Page 14
Gerichtete GraphenSchlingen
4 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter Graph G = (V ,E) maximal haben?
Lösung|E | ≤ |V |2
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter, schlingenfreier Graph G′ = (V ′,E ′)maximal haben?
Lösung|E ′| ≤ |V |2 − |V |
Page 15
Gerichtete GraphenSchlingen
4 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter Graph G = (V ,E) maximal haben?
Lösung|E | ≤ |V |2
AufgabeWie viele Kanten kann ein gerichter, schlingenfreier Graph G′ = (V ′,E ′)maximal haben?
Lösung|E ′| ≤ |V |2 − |V |
Page 16
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .
p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Page 17
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.
Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Page 18
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.
Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Page 19
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Page 20
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Page 21
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.
(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Page 22
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4
(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Page 23
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0
(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Page 24
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad
(2,2) ist kein Pfad
Page 25
Gerichtete GraphenPfade
5 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenSei V (+) die Menge aller nichtleeren Listen von Elementen aus V .p = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Pfad, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:(vi , vi+1) ∈ E.Die Pfadlänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Pfad.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Pfadp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(2,3,4) ist ein Pfad der Länge 2.(0,1,0,1,0) ist ein Pfad derLänge 4(2) ist ein Pfad der Länge 0(0,1,2) ist kein Pfad(2,2) ist kein Pfad
Page 26
Gerichtete GraphenPfade
6 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Sei G = (V ,E) ein gerichteter Graph.
DefinitionEin Pfad p = (v0, . . . , vn) heißt wiederholungsfrei, wenn
v0, . . . vn−1 paarweise verschiedenv1, . . . vn paarweise verschieden
Page 27
Gerichtete GraphenZyklen
7 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.
Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Page 28
Gerichtete GraphenZyklen
7 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Page 29
Gerichtete GraphenZyklen
7 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Page 30
Gerichtete GraphenZyklen
7 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.
(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Page 31
Gerichtete GraphenZyklen
7 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.
(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Page 32
Gerichtete GraphenZyklen
7 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionenEin Pfad (v0, . . . , vn) heißt geschlossen, wenn v0 = vn ist.Ein geschlossener Pfad heißt Zyklus, wenn n ≥ 1 gilt.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,1,0) ist ein Zyklus.(0,1,0,1,0) ist ein Zyklus.(2) ist ein geschlossener Pfad,aber kein Zyklus!
Page 33
Gerichtete GraphenZyklen
8 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin wiederholungsfreier Zyklus heißt einfach.
DefinitionEin Graph, in dem man keinen Zyklus findet, heißt azyklisch.
Page 34
Gerichtete GraphenZyklen
8 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin wiederholungsfreier Zyklus heißt einfach.
DefinitionEin Graph, in dem man keinen Zyklus findet, heißt azyklisch.
Page 35
Gerichtete GraphenTeilpfade
9 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionSei
(v0, . . . , vi , . . . , vj , . . . vn
)ein Pfad p mit 0 ≤ i ≤ j ≤ n.
Dann ist(vi , . . . , vj
)ein Teilpfad von p.
Page 36
Gerichtete GraphenStrenger Zusammenhang
10 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Graph G = (V ,E) heißt streng zusammenhängend, wenn für allex, y ∈ V ein Pfad p mit p = (x, . . . , y) existiert.
Beispiele
0 1
2 3
ist streng zusammenhängend
0 1 2
3 4
ist nicht streng zusammenhängend
Page 37
Gerichtete GraphenStrenger Zusammenhang
10 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Graph G = (V ,E) heißt streng zusammenhängend, wenn für allex, y ∈ V ein Pfad p mit p = (x, . . . , y) existiert.
Beispiele
0 1
2 3
ist streng zusammenhängend
0 1 2
3 4
ist nicht streng zusammenhängend
Page 38
Gerichtete GraphenStrenger Zusammenhang
11 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWie viele Kanten muss ein Graph G = (V ,E) mindestens haben, damiter stark zusammenhängend sein kann?
Lösung
|E | ≥{|V | falls |V | ≥ 10 falls |V | = 0
Page 39
Gerichtete GraphenStrenger Zusammenhang
11 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWie viele Kanten muss ein Graph G = (V ,E) mindestens haben, damiter stark zusammenhängend sein kann?
Lösung
|E | ≥{|V | falls |V | ≥ 10 falls |V | = 0
Page 40
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Page 41
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .
d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Page 42
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .
d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Page 43
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Page 44
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Page 45
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Page 46
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1
d+ (0) = 2d (0) = 3
Page 47
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2
d (0) = 3
Page 48
Gerichtete GraphenKnotengrad
12 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür einen gerichteten Graphen G = (V ,E) bezeichnet man für v ∈ V mit:
d− (v) := |{x | (x, v) ∈ E}| den Eingangsgrad von v .d+ (v) := |{x | (v , x) ∈ E}| den Ausgangsgrad von v .d (v) := d+ (v) + d− (v) den Grad von v .
Beispiel
0 1 2
3 4
d− (0) = 1d+ (0) = 2d (0) = 3
Page 49
Gerichtete GraphenBäume
13 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin gerichteter Graph G = (V ,E) heißt Baum, wenn ein r ∈ V existiertmit der Eigenschaft, dass zu jedem x ∈ V genau ein Pfad p = (r , . . . , x)existiert.
r heißt dann Wurzel.
Beispiel
0
1 2
3 4 56
Page 50
Gerichtete GraphenBäume
13 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin gerichteter Graph G = (V ,E) heißt Baum, wenn ein r ∈ V existiertmit der Eigenschaft, dass zu jedem x ∈ V genau ein Pfad p = (r , . . . , x)existiert.r heißt dann Wurzel.
Beispiel
0
1 2
3 4 56
Page 51
Gerichtete GraphenBäume
13 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin gerichteter Graph G = (V ,E) heißt Baum, wenn ein r ∈ V existiertmit der Eigenschaft, dass zu jedem x ∈ V genau ein Pfad p = (r , . . . , x)existiert.r heißt dann Wurzel.
Beispiel
0
1 2
3 4 56
Page 52
Gerichtete GraphenBäume
14 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
SatzFür jeden gerichteten Graphen ist die Wurzel eindeutig bestimmt.
LemmaBäume sind azyklisch.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad größer 0 heißen innere Knoten.
Page 53
Gerichtete GraphenBäume
14 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
SatzFür jeden gerichteten Graphen ist die Wurzel eindeutig bestimmt.
LemmaBäume sind azyklisch.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad größer 0 heißen innere Knoten.
Page 54
Gerichtete GraphenBäume
14 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
SatzFür jeden gerichteten Graphen ist die Wurzel eindeutig bestimmt.
LemmaBäume sind azyklisch.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad größer 0 heißen innere Knoten.
Page 55
Gerichtete GraphenBäume
14 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
SatzFür jeden gerichteten Graphen ist die Wurzel eindeutig bestimmt.
LemmaBäume sind azyklisch.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad 0 heißen Blätter.
DefinitionKnoten mit Ausgangsgrad größer 0 heißen innere Knoten.
Page 56
Gerichtete GraphenBäume
15 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem gerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Page 57
Gerichtete GraphenBäume
15 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem gerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Page 58
Gerichtete GraphenIsomorphie
16 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür zwei gerichtete Graphen G1 = (V ,E) und G2 = (V ,E) heißt eineBijektion f : V1 → V2 mit der Eigenschaft∀x, y ∈ V1 : (x, y) ∈ E1 ↔ (f (x) , f (y)) ∈ E2 Graphisomorphismus.
Existiert ein solcher, heißen G1 und G2 isomorph.
BeispieleDiese Graphen sind isomorph:
0 1 2
3 4
c b a
d e
Page 59
Gerichtete GraphenIsomorphie
16 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür zwei gerichtete Graphen G1 = (V ,E) und G2 = (V ,E) heißt eineBijektion f : V1 → V2 mit der Eigenschaft∀x, y ∈ V1 : (x, y) ∈ E1 ↔ (f (x) , f (y)) ∈ E2 Graphisomorphismus.Existiert ein solcher, heißen G1 und G2 isomorph.
BeispieleDiese Graphen sind isomorph:
0 1 2
3 4
c b a
d e
Page 60
Gerichtete GraphenIsomorphie
16 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionFür zwei gerichtete Graphen G1 = (V ,E) und G2 = (V ,E) heißt eineBijektion f : V1 → V2 mit der Eigenschaft∀x, y ∈ V1 : (x, y) ∈ E1 ↔ (f (x) , f (y)) ∈ E2 Graphisomorphismus.Existiert ein solcher, heißen G1 und G2 isomorph.
BeispieleDiese Graphen sind isomorph:
0 1 2
3 4
c b a
d e
Page 61
Gerichtete GraphenIsomorphie
17 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
BeispieleDas ist nicht immer leicht zu erkennen: (Diese Graphen sind auchisomorph)
0 1 2
3 4
cb
a
d e
Page 62
Gerichtete GraphenIsomorphie
18 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeImmer 2 der folgenden Graphen sind isomorph. Welche?
Lösung
G0 ist isomorph zu G2
G1ist isomorph zu G5
G3 ist isomorph zu G4
Page 63
Gerichtete GraphenIsomorphie
18 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeImmer 2 der folgenden Graphen sind isomorph. Welche?
Lösung
G0 ist isomorph zu G2
G1ist isomorph zu G5
G3 ist isomorph zu G4
Page 64
RelationenSymmetrie
19 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt symmetrisch, wenn
∀x, y ∈ M : (x, y) ∈ R ↔ (y , x) ∈ R
gilt.
Page 65
RelationenÄquivalenzrelationen
20 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie
reflexivsymmetrisch undtransitiv
ist.
Beispiele
Isomorphie von Graphen.Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln
{(G1,G2) |G1,G2 sind kontextfreie Grammatiken und L (G1) = L (G2)}
Page 66
RelationenÄquivalenzrelationen
20 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie
reflexivsymmetrisch undtransitiv
ist.
Beispiele
Isomorphie von Graphen.
Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln
{(G1,G2) |G1,G2 sind kontextfreie Grammatiken und L (G1) = L (G2)}
Page 67
RelationenÄquivalenzrelationen
20 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie
reflexivsymmetrisch undtransitiv
ist.
Beispiele
Isomorphie von Graphen.Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln
{(G1,G2) |G1,G2 sind kontextfreie Grammatiken und L (G1) = L (G2)}
Page 68
RelationenÄquivalenzrelationen
20 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEine homogene Relation R ⊆ M ×M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie
reflexivsymmetrisch undtransitiv
ist.
Beispiele
Isomorphie von Graphen.Äquivalenz von aussagenlogischen Formeln
{(G1,G2) |G1,G2 sind kontextfreie Grammatiken und L (G1) = L (G2)}
Page 69
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Page 70
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Page 71
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Page 72
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Page 73
Relationen und gerichtete Graphen
21 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Für einen gerichteten Graphen G = (V ,E) ist E eine homogene, binäreRelation auf V .
Erinnerung
E2 = E ◦ E := {(x, z) ∈ V × V |∃y : (x, y) ∈ E ∧ (y , z) ∈ E}
Satz(x, y) ∈ E2 gilt genau dann, wenn ein Pfad der Länge 2 von x nach yexistiert.
Satz(x, y) ∈ E∗ gilt genau dann, wenn y von x aus erreichbar ist.
SatzG ist genau dann streng zusammenhängend, wenn E∗ = V × V gilt.
Page 74
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Page 75
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Page 76
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Page 77
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Page 78
Ungerichtete Graphen
22 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionU = (V ,E) mit
1 ≤ |V | < ∞ (sogenannte Knoten)
E ⊆ {{x, y} |x, y ∈ V} (sogenannte Kanten)
heißt ungerichter Graph.
Definitionx, y ∈ V heißen adjazent, wenn {x, y} ∈ E.
DefinitionEine Kante {x} ∈ E heißt Schlinge.
Page 79
Ungerichtete Graphen
23 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Beispiel
0 1 2
3 4
Page 80
Ungerichtete GraphenTeilgraphen
24 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG′ = (V ′,E ′) ist Teilgraph von G = (V ,E) genau dann, wenn
V ′ ⊆ VE ′ ⊆ E ∩ {{x, y} |x, y ∈ V ′}
BeispielEin Teilgraph des vorherigen Beispiels ist:
0 1
3 4
Page 81
Ungerichtete GraphenTeilgraphen
24 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionG′ = (V ′,E ′) ist Teilgraph von G = (V ,E) genau dann, wenn
V ′ ⊆ VE ′ ⊆ E ∩ {{x, y} |x, y ∈ V ′}
BeispielEin Teilgraph des vorherigen Beispiels ist:
0 1
3 4
Page 82
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.
Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Page 83
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.
Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Page 84
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Page 85
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Page 86
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.
(1,2,3) ist kein Weg
Page 87
Ungerichtete GraphenWege
25 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Definitionenp = (v0, . . . , vn) ∈ V (+)heißt Weg, wenn für jedes i ∈ Zn gilt:{v , vi+1} ∈ E.Die Weglänge ist |p| − 1 = n, also die Anzahl der Kanten im Weg.Ein Knoten v1 ist von einem Knoten v0 erreichbar, wenn ein Wegp = (v0, . . . , v1) existiert.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3) ist ein Weg der Länge 2.(1,2,3) ist kein Weg
Page 88
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Page 89
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Page 90
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Page 91
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.
(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Page 92
Ungerichtete GraphenKreise
26 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin Weg p = (v0, . . . , vn) heißt geschlossener Weg oder Kreis, wennv0 = vn gilt.
DefinitionEin einfacher Kreis ist ein
wiederholungsfreier Kreis mitmindestens 3 verschiedenen Knoten.
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
Page 93
Ungerichtete GraphenKreise
27 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
AufgabeGibt es weitere einfache Kreise?
LösungJa, nämlich (4,3,0,4), (3,0,4,3), (0,3,4,0), (4,0,3,4), (3,4,0,3).
Page 94
Ungerichtete GraphenKreise
27 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Beispiel
0 1 2
3 4
(0,4,3,0,4,3,0) ist ein Kreis.(0,4,3,0) ist ein einfacher Kreis.
AufgabeGibt es weitere einfache Kreise?
LösungJa, nämlich (4,3,0,4), (3,0,4,3), (0,3,4,0), (4,0,3,4), (3,4,0,3).
Page 95
Ungerichtete und gerichtete Graphen
28 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionGU = (V ,Eg) mit Eg := {(x, y) | {x, y} ∈ E} heißt der zu U = (V ,E)gehörende gerichtete Graph.
DefinitionUG = (V ,Eu)mit Eu := {{x, y} | (x, y) ∈ E} heißt der zu G = (V ,E)gehörende ungerichtete Graph.
Page 96
Ungerichtete und gerichtete Graphen
28 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionGU = (V ,Eg) mit Eg := {(x, y) | {x, y} ∈ E} heißt der zu U = (V ,E)gehörende gerichtete Graph.
DefinitionUG = (V ,Eu)mit Eu := {{x, y} | (x, y) ∈ E} heißt der zu G = (V ,E)gehörende ungerichtete Graph.
Page 97
Gerichtete GraphenZusammenhang
29 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichteter Graph U = (V ,E) heißt zusammenhängend, wenn derzu U gehörende gerichtete Graph streng zusammenhängend ist.
Beispiele
0 1
2 3
ist zusammenhängend
0 1 2
3 4
ist nicht zusammenhängend
Page 98
Gerichtete GraphenZusammenhang
29 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichteter Graph U = (V ,E) heißt zusammenhängend, wenn derzu U gehörende gerichtete Graph streng zusammenhängend ist.
Beispiele
0 1
2 3
ist zusammenhängend
0 1 2
3 4
ist nicht zusammenhängend
Page 99
Ungerichtete GraphenUngerichtete Bäume
30 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichter Graph U = (V ,E) heißt ungerichteter Baum, wenn füralle x, y ∈ V genau ein Weg von x nach y existiert.
Beispiel
0
1 23
4 5
6
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem ungerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Page 100
Ungerichtete GraphenUngerichtete Bäume
30 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichter Graph U = (V ,E) heißt ungerichteter Baum, wenn füralle x, y ∈ V genau ein Weg von x nach y existiert.
Beispiel
0
1 23
4 5
6
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem ungerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Page 101
Ungerichtete GraphenUngerichtete Bäume
30 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichter Graph U = (V ,E) heißt ungerichteter Baum, wenn füralle x, y ∈ V genau ein Weg von x nach y existiert.
Beispiel
0
1 23
4 5
6
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem ungerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Page 102
Ungerichtete GraphenUngerichtete Bäume
30 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin ungerichter Graph U = (V ,E) heißt ungerichteter Baum, wenn füralle x, y ∈ V genau ein Weg von x nach y existiert.
Beispiel
0
1 23
4 5
6
AufgabeWas kann man über die Anzahl der Kanten in einem ungerichteten Baumsagen? (Tipp: Beispiele zeichnen).
Lösung|E | = |V | − 1
Page 103
Ungerichtete GraphenGrad
31 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Sei U = (V ,E) ein ungerichteter Graph.
Definition
d (x) := |{y |y 6= x ∧ {x, y} ∈ E}|+{
2 falls {x} ∈ E0 sonst
heißt Grad
eines Knotens x ∈ V .
Page 104
Ungerichtete Graphen
32 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGibt es in den folgenden ungerichteten Graphen einen Weg, der alleKanten genau einmal enthält? Gibt es einen Kreis, der alle Kanten genaueinmal enthält?
Lösung
G1 enthält keinen solchen Weg.G2 enthält einen solchen Weg, beispielsweise (C2,D2,B2,A2,C2,B2),aber keinen solchen Kreis.G3 enthält einen solchen Kreis(A3,B3,C3,D3,A3,F3,B3,D3,E3,C3,A3) .
Page 105
Ungerichtete Graphen
32 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGibt es in den folgenden ungerichteten Graphen einen Weg, der alleKanten genau einmal enthält? Gibt es einen Kreis, der alle Kanten genaueinmal enthält?
LösungG1 enthält keinen solchen Weg.
G2 enthält einen solchen Weg, beispielsweise (C2,D2,B2,A2,C2,B2),aber keinen solchen Kreis.G3 enthält einen solchen Kreis(A3,B3,C3,D3,A3,F3,B3,D3,E3,C3,A3) .
Page 106
Ungerichtete Graphen
32 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGibt es in den folgenden ungerichteten Graphen einen Weg, der alleKanten genau einmal enthält? Gibt es einen Kreis, der alle Kanten genaueinmal enthält?
LösungG1 enthält keinen solchen Weg.G2 enthält einen solchen Weg, beispielsweise (C2,D2,B2,A2,C2,B2),aber keinen solchen Kreis.
G3 enthält einen solchen Kreis(A3,B3,C3,D3,A3,F3,B3,D3,E3,C3,A3) .
Page 107
Ungerichtete Graphen
32 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGibt es in den folgenden ungerichteten Graphen einen Weg, der alleKanten genau einmal enthält? Gibt es einen Kreis, der alle Kanten genaueinmal enthält?
LösungG1 enthält keinen solchen Weg.G2 enthält einen solchen Weg, beispielsweise (C2,D2,B2,A2,C2,B2),aber keinen solchen Kreis.G3 enthält einen solchen Kreis(A3,B3,C3,D3,A3,F3,B3,D3,E3,C3,A3) .
Page 108
Ungerichtete Graphen
33 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWas muss ein ungerichter Graph im allgemeinen erfüllen, damit er einensolchen Kreis enthält?
LösungenEin solcher Kreis (Eulerkreis) existiert, wenn ∀v ∈ V : d (v) ≡ 0 (mod 2)
Page 109
Ungerichtete Graphen
33 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeWas muss ein ungerichter Graph im allgemeinen erfüllen, damit er einensolchen Kreis enthält?
LösungenEin solcher Kreis (Eulerkreis) existiert, wenn ∀v ∈ V : d (v) ≡ 0 (mod 2)
Page 110
GraphenMarkierungen
34 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin knotenmarkierter gerichteter bzw. ungerichteter Graph ist ein solcherGraph G = (V ,E) mit
einer Menge MV sog. Knotenmarkierungen und einerAbbildung mV : V → MV
DefinitionEin kantenmarkierter gerichteter bzw. ungerichteter Graph ist ein solcherGraph G = (V ,E) mit
einer Menge ME sog. Kantenmarkierungen und einerAbbildung mE : E → ME
Page 111
GraphenMarkierungen
34 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
DefinitionEin knotenmarkierter gerichteter bzw. ungerichteter Graph ist ein solcherGraph G = (V ,E) mit
einer Menge MV sog. Knotenmarkierungen und einerAbbildung mV : V → MV
DefinitionEin kantenmarkierter gerichteter bzw. ungerichteter Graph ist ein solcherGraph G = (V ,E) mit
einer Menge ME sog. Kantenmarkierungen und einerAbbildung mE : E → ME
Page 112
Repräsentation von Graphen
35 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
0 1
2 3
schön und gut. Aber wie können wir Graphen mit 0en und 1endarstellen?
Page 113
Repräsentation von GraphenObjektorientiert
36 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
1 class Graph {
Vertex [] vertices;
3 Edge[] edges;
}
5
class Vertex {
7 // some content
}
9
class Edge {
11 Vertex start;
Vertex end;
13 // maybe some additional content
}
Page 114
Repräsentation von GraphenObjektorientiert
37 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
+ Intuitiv
- Man kann kann nur schwer Algorithmen hierfür entwerfen
Bsp: Gilt (x, y) ∈ E ?
Page 115
Repräsentation von GraphenObjektorientiert
37 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
+ Intuitiv- Man kann kann nur schwer Algorithmen hierfür entwerfen
Bsp: Gilt (x, y) ∈ E ?
Page 116
Repräsentation von GraphenObjektorientiert
37 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
+ Intuitiv- Man kann kann nur schwer Algorithmen hierfür entwerfen
Bsp: Gilt (x, y) ∈ E ?
Page 117
Repräsentation von GraphenAdjazenzlisten
38 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Jeder Knoten speichert seine Nachbarn:
class Graph {
2 Vertex [] vertices;
}
4
class Vertex {
6 // some content
Vertex [] neighbours;
8 EdgeContent [] neighbours; // optional
}
+ Speicherplatzeffizient für |E | << |V |2
+ Sehr flexibel mit verketten Listen statt Arrays. (Kanten/Knotenhinzufügen/entfernen)
Page 118
Repräsentation von GraphenAdjazenzlisten
38 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Jeder Knoten speichert seine Nachbarn:
1 class Graph {
Vertex [] vertices;
3 }
5 class Vertex {
// some content
7 Vertex [] neighbours;
EdgeContent [] neighbours; // optional
9 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | << |V |2
+ Sehr flexibel mit verketten Listen statt Arrays. (Kanten/Knotenhinzufügen/entfernen)
Page 119
Repräsentation von GraphenAdjazenzlisten
38 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Jeder Knoten speichert seine Nachbarn:
1 class Graph {
Vertex [] vertices;
3 }
5 class Vertex {
// some content
7 Vertex [] neighbours;
EdgeContent [] neighbours; // optional
9 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | << |V |2
+ Sehr flexibel mit verketten Listen statt Arrays. (Kanten/Knotenhinzufügen/entfernen)
Page 120
Repräsentation von GraphenAdjazenzmatrix
39 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Alle Kanten global speichern
1 class Graph {
boolean [][] edges; // Size |V| x |V|
3 VertexContent []; // optional
EdgeContent [][]; // optional
5 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | ≈ |V |2
- Nicht flexibel+ Man kann LA Verfahren mit Graphalgorithmen verbinden
Page 121
Repräsentation von GraphenAdjazenzmatrix
39 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Alle Kanten global speichern
1 class Graph {
boolean [][] edges; // Size |V| x |V|
3 VertexContent []; // optional
EdgeContent [][]; // optional
5 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | ≈ |V |2
- Nicht flexibel+ Man kann LA Verfahren mit Graphalgorithmen verbinden
Page 122
Repräsentation von GraphenAdjazenzmatrix
39 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Alle Kanten global speichern
1 class Graph {
boolean [][] edges; // Size |V| x |V|
3 VertexContent []; // optional
EdgeContent [][]; // optional
5 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | ≈ |V |2
- Nicht flexibel
+ Man kann LA Verfahren mit Graphalgorithmen verbinden
Page 123
Repräsentation von GraphenAdjazenzmatrix
39 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Alle Kanten global speichern
1 class Graph {
boolean [][] edges; // Size |V| x |V|
3 VertexContent []; // optional
EdgeContent [][]; // optional
5 }
+ Speicherplatzeffizient für |E | ≈ |V |2
- Nicht flexibel+ Man kann LA Verfahren mit Graphalgorithmen verbinden
Page 124
Repräsentation von Graphen
40 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGeben Sie eine Adjazenzliste für diesen Graphen an:
0 1
2 3
LösungDie Adjazenzliste:
0 : (1,3)1 : ()2 : (3)3 : ()
Page 125
Repräsentation von Graphen
40 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGeben Sie eine Adjazenzliste für diesen Graphen an:
0 1
2 3LösungDie Adjazenzliste:
0 : (1,3)1 : ()2 : (3)3 : ()
Page 126
Repräsentation von Graphen
41 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGeben Sie eine Adjazenzmatrix für diesen Graphen an:
0 1
2 3
LösungDie Adjazenzmatrix:
A =
0 1 0 10 0 0 00 0 0 10 0 0 0
Page 127
Repräsentation von Graphen
41 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabeGeben Sie eine Adjazenzmatrix für diesen Graphen an:
0 1
2 3
LösungDie Adjazenzmatrix:
A =
0 1 0 10 0 0 00 0 0 10 0 0 0
Page 128
Erreichbarkeit
42 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Problem:Gegeben ein Graph G = (V ,E). Ist für x, y ∈ V x von y aus erreichbar?
ZielEine Wegematrix W berechnen, also
Wi,j =
{1 falls ein Pfad von x nach y existiert0 sonst
Page 129
Erreichbarkeit
42 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Problem:Gegeben ein Graph G = (V ,E). Ist für x, y ∈ V x von y aus erreichbar?
ZielEine Wegematrix W berechnen, also
Wi,j =
{1 falls ein Pfad von x nach y existiert0 sonst
Page 130
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
43 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
ProblemWann sind x, y ∈ V durch einen Pfad der Länge 2 verbunden?
Im folgenden sei oBdA V = Zn und n := |V |.LöungsverfahrenWir probieren alle Knoten z ∈ V als „Zwischenknoten“ aus:
1 Eingabe: x,y∈V2 for z ← 0 to |V | − 1 do3 if (x, z) ∈ E ∧ (z, y) ∈ E then4 return true5 fi6 od
Page 131
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
43 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
ProblemWann sind x, y ∈ V durch einen Pfad der Länge 2 verbunden?
Im folgenden sei oBdA V = Zn und n := |V |.
LöungsverfahrenWir probieren alle Knoten z ∈ V als „Zwischenknoten“ aus:
1 Eingabe: x,y∈V2 for z ← 0 to |V | − 1 do3 if (x, z) ∈ E ∧ (z, y) ∈ E then4 return true5 fi6 od
Page 132
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
43 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
ProblemWann sind x, y ∈ V durch einen Pfad der Länge 2 verbunden?
Im folgenden sei oBdA V = Zn und n := |V |.LöungsverfahrenWir probieren alle Knoten z ∈ V als „Zwischenknoten“ aus:
1 Eingabe: x,y∈V2 for z ← 0 to |V | − 1 do3 if (x, z) ∈ E ∧ (z, y) ∈ E then4 return true5 fi6 od
Page 133
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
44 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Betrachten wir das Mal bei einer Adjazenzmatrix A (mit 0 für false und 1für true):
n−1∑
z=0Ax,z · Az,y liefert und genau die Anzahl der Pfade der Länge 2
zwischen x und yMachen wir das für alle x, y ∈ V und notieren die Ergebnisse in derMatrix A′x,y erhalten wir:
A′x,y =n−1∑
z=0Ax,z · Az,y .
Das ist die Matrixmultiplikation! Also A′ = A2.
Page 134
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
44 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Betrachten wir das Mal bei einer Adjazenzmatrix A (mit 0 für false und 1für true):n−1∑
z=0Ax,z · Az,y liefert und genau die Anzahl der Pfade der Länge 2
zwischen x und y
Machen wir das für alle x, y ∈ V und notieren die Ergebnisse in derMatrix A′x,y erhalten wir:
A′x,y =n−1∑
z=0Ax,z · Az,y .
Das ist die Matrixmultiplikation! Also A′ = A2.
Page 135
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
44 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Betrachten wir das Mal bei einer Adjazenzmatrix A (mit 0 für false und 1für true):n−1∑
z=0Ax,z · Az,y liefert und genau die Anzahl der Pfade der Länge 2
zwischen x und yMachen wir das für alle x, y ∈ V und notieren die Ergebnisse in derMatrix A′x,y erhalten wir:
A′x,y =n−1∑
z=0Ax,z · Az,y .
Das ist die Matrixmultiplikation! Also A′ = A2.
Page 136
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
44 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Betrachten wir das Mal bei einer Adjazenzmatrix A (mit 0 für false und 1für true):n−1∑
z=0Ax,z · Az,y liefert und genau die Anzahl der Pfade der Länge 2
zwischen x und yMachen wir das für alle x, y ∈ V und notieren die Ergebnisse in derMatrix A′x,y erhalten wir:
A′x,y =n−1∑
z=0Ax,z · Az,y .
Das ist die Matrixmultiplikation! Also A′ = A2.
Page 137
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
45 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Eigentlich interessiert uns aber nur, ob ein Weg der Länge 2 existiert,nicht wie viele...
Definition (Signum-Funktion)
sgn : R→ R
x 7→
1 falls x > 00 falls x = 0−1 falls x < 0
Page 138
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
45 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Eigentlich interessiert uns aber nur, ob ein Weg der Länge 2 existiert,nicht wie viele...
Definition (Signum-Funktion)
sgn : R→ R
x 7→
1 falls x > 00 falls x = 0−1 falls x < 0
Page 139
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
46 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Eigentlich interessiert uns aber nur, ob ein Weg der Länge 2 existiert,nicht wie viele...
Definition (Signum-Funktion für Matrizen)
sgn : Rn×m → Rn×m
sgn(M)ij := sgn(Mij
)(komponentenweise die Signum-Funktion anwenden)
sgn(A2) liefert uns die 2-Erreichbarkeitsrelation als Matrix
Page 140
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
46 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Eigentlich interessiert uns aber nur, ob ein Weg der Länge 2 existiert,nicht wie viele...
Definition (Signum-Funktion für Matrizen)
sgn : Rn×m → Rn×m
sgn(M)ij := sgn(Mij
)(komponentenweise die Signum-Funktion anwenden)
sgn(A2) liefert uns die 2-Erreichbarkeitsrelation als Matrix
Page 141
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
47 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabenSei G (V ,E) ein Graph:
0 1 2 3
Stelle eine Adjazenzmatrix aufLöse das 2-Erreichbarkeitsproblem für alle KnotenkombinationenBerrechne die Wegematrix W
Page 142
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
47 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabenSei G (V ,E) ein Graph:
0 1 2 3
Stelle eine Adjazenzmatrix auf
Löse das 2-Erreichbarkeitsproblem für alle KnotenkombinationenBerrechne die Wegematrix W
Page 143
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
47 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabenSei G (V ,E) ein Graph:
0 1 2 3
Stelle eine Adjazenzmatrix aufLöse das 2-Erreichbarkeitsproblem für alle Knotenkombinationen
Berrechne die Wegematrix W
Page 144
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
47 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
AufgabenSei G (V ,E) ein Graph:
0 1 2 3
Stelle eine Adjazenzmatrix aufLöse das 2-Erreichbarkeitsproblem für alle KnotenkombinationenBerrechne die Wegematrix W
Page 145
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
48 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Lösungen
Adjazenzmatrix A =
0 1 0 00 0 1 00 0 1 10 0 0 0
2-Erreichbarkeitsmatrix A2 =
0 0 1 00 0 1 10 0 1 10 0 0 0
Wegematrix W =
1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1
Page 146
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
48 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Lösungen
Adjazenzmatrix A =
0 1 0 00 0 1 00 0 1 10 0 0 0
2-Erreichbarkeitsmatrix A2 =
0 0 1 00 0 1 10 0 1 10 0 0 0
Wegematrix W =
1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1
Page 147
Erreichbarkeit2-Erreichbarkeit
48 15.01.2017 Roman Langrehr – GBI Tutorium 8 INSTITUT FÜR ANTHROPOMATIKroman.langrehr@student.kit.edukit.romanlangrehr.bplaced.de/gbi1617
KIT
Lösungen
Adjazenzmatrix A =
0 1 0 00 0 1 00 0 1 10 0 0 0
2-Erreichbarkeitsmatrix A2 =
0 0 1 00 0 1 10 0 1 10 0 0 0
Wegematrix W =
1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1