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La thorie des nombres chez Herbrand et Lautman Yvon
GauthierPhilosophiques, vol. 37, n 1, 2010, p. 149-161.
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PHILOSOPHIQUES 37/1 Printemps 2010, p. 149-161
La thorie des nombres chez Herbrand et Lautman
YVON GAUTHIERUniversit de [email protected]
RSUM. Dans cet article, je compare les vues de Lautman et
Herbrand sur la thorie des nombres et la philosophie de
larithmtique. Je montre que, bien que Lautman et avou avoir t marqu
par linfl uence de Herbrand, les pos-tures fondationnelles des deux
amis divergent considrablement. Alors que Lautman versait dans un
ralisme platonicien, Herbrand est rest fi dle au fi ni-tisme
hilbertien. Il est vrai que Lautman tait philosophe et que Herbrand
tait avant tout arithmticien et logicien, mais il demeure que luvre
de Herbrand a une porte philosophique mieux accorde la logique et
aux mathmatiques contemporaines.
ABSTRACT. In this paper, I am contrasting Lautmans and Herbrands
views on number theory and philosophy of arithmetic. It is argued
that despite the fact that Lautman had acknowledged Herbrands major
infl uence on his own work, their foundational stances diverge
profoundly. Lautman defended a variety of Pla-tonism and Herbrand
advocated a personal version of Hilbertian fi nitism. Of course,
Lautman was a philosopher while Herbrand dealt mainly with number
theory and logic. It remains though that Herbrands work is more in
tune with contemporary logic and mathematics from a philosophical
perspective.
1. Introduction
Lautman est un fi ls spirituel de Brunschvicg, le pre de la
philosophie fran-aise des mathmatiques, et il a t lami de Herbrand
le premier logicien franais au sens de la logique mathmatique, n
aussi en 1908. Brunschvicg salliera Poincar dans son refus du
logicisme des Frege et Russell : son idalisme, quil appellera
constructif, est immanent, et le progrs de la conscience quil
dcrira dans Les tapes de la philosophie mathmatique de 1912 [5]
obit une logique interne la dmarche mathmatique qui demeure
rfractaire la logique formelle. Herbrand, de son ct, optera pour le
formalisme, ou plutt pour le fi nitisme hilbertien, et sattaquera
au problme de la consistance de larithmtique avec un succs partiel,
mais sans jamais aller au-del dune thorie des dmonstrations fi dle
lesprit hilbertien.
Dans la prface quil a crite pour la rdition des thses de
Lautman, Maurice Loi insiste sur le platonisme de Lautman, mais il
y a plus. Outre la thse principale Essai sur les notions de
structure et dexistence en mathma-tiques [20] et la thse secondaire
Essai sur lunit des sciences math matiques dans leur dveloppement
actuel [19], on trouve un texte intitul Nouvelles recherches sur la
structure dialectique des mathmatiques , o assez curieu-sement
Lautman veut mettre profi t certains concepts heideggriens,
comme
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lavait fait Oskar Becker dans son ouvrage de 1927, Mathematische
Exis-tenz [3], et comme il la fait plus tard dans ses Grundlagen
der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung de 1954 [4] Becker va
jusqu invoquer les niveaux de la rfl exion infi nie dans la
philosophie transcendantale de Schelling pour tenter de justifi er
les paliers de la hirarchie des ordinaux transfi nis de Cantor.
Mais je ne veux pas marrter aux intrts existentia-listes de
Lautman, mais plutt aux soucis logiques qui tiraillent, dit-il, les
mathmatiques et les modes de liaison des concepts mathmatiques. Les
dialectiques mathmatiques du fi ni et de linfi ni, du discret et du
continu, du local et du global, ne sont que des copies dune ralit
idale qui domine lactivit mathmatique ([19] p. 143 et ss.). On
trouve alors chez Lautman des expressions comme monte vers labsolu
, achvement, perfection dune fi gure mathmatique qui, si elles
tmoignent dun univers transcen-dant, ne nous instruisent gure sur
les mathmatiques relles et leur pra-tique. Que nous apprend en
effet une pistmologie qui nous dit par exemple que la thorie de
Galois pour les corps fi nis (compltions du corps de base K)
constitue une monte vers labsolu ([19] p. 68 et ss.), ou encore que
le tho-rme duniformisation pour les courbes algbriques (d Poincar
et Koebe) est un achvement ([19] p. 6 et ss.), ou enfi n que cest
une imperfection pour une surface que dtre simplement connexe un
tore serait-il plus parfait quun cercle ?
Ces analogies ou mtaphores ne peuvent tre utiles que dans la
mesure o elles dcrivent lactivit mathmatique, elles sont infcondes
si elles visent dcalquer le ciel intelligible des ides mathmatiques
dans la pratique mathmatique. cet gard, la dialectique au sens o
lentend Lautman na rien voir avec la dialectique au sens de Hegel,
elle renvoie plutt la dia-lectique platonicienne qui comporte deux
mouvements, lun ascendant , synthse, et lautre descendant ,
division analy-tique, comme lenseigne le dialogue Parmnide de
Platon. Lautman dit par exemple :
Il existe ainsi une descente du tout vers la partie comme une
monte vers le tout, ce double mouvement sclairant la lumire de lide
dachvement.
Les conditions dachvement, comme le note encore Lautman, sont
des gnralisations conceptuelles qui ont valeur ontologique.
Jai dit que lentreprise de Lautman tait en bonne partie issue de
lpistmologie historique de Brunschvicg et de son rationalisme
idaliste. Mais Lautman donnera un tour transcendantal ou
platonicien ce rationa-lisme, et cest l-dessus que je voudrais
insister pour montrer les carences de lpistmologie lautmanienne en
thorie des nombres.
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La thorie des nombres chez Herbrand et Lautman 151
2. Logique et thorie des nombres
Lautman sinspire de Ingham dans The Distribution of Prime
Numbers [15] pour discuter du thorme sur les nombres premiers qui
nonce
Lim = 1
ou
(x) x / log x
qui est une loi asymptotique pour la distribution des nombres
premiers avec (x) le nombre de nombres premiers x. Le thorme a fait
lobjet de conjec-tures chez Legendre et Gauss au dbut du xixe
sicle, et ce nest quen 1896 que Hadamard et de la Valle Poussin en
ont donn une preuve analytique. Ingham lui-mme, inspir par Hardy
(et Littlewood), avait suppos que les mthodes transcendantes (de
lanalyse complexe ici) taient inhrentes au problme arithmtique et
quelles ne sauraient tre limines. Un autre tho-rme important en
thorie des nombres est le thorme de Dirichlet sur linfi nit des
nombres premiers dans toute progression arithmtique a + nb o a et b
sont relativement premiers, c.--d. sans dnominateur commun 1. Le
thorme rcent de Green et Tao lequel vient dobtenir la mdaille
Fields pour ses travaux l-dessus stipule quil y a des progressions
arith-mtiques de longueur arbitraire dans la suite des nombres
premiers le thorme utilise la thorie ergodique et les sries de
Fourier, mais on tra-vaille aujourdhui en extraire le contenu
combinatoire ou constructif, bien quil faille entendre constructif
dans un sens large puisquon admet des mthodes logiques infi
nitaires (cf. les travaux rcents de Avigad, Gerhardy et Townsner
[2]). Mais mme Terence Tao reconnat que la mthode de Herbrand
pourrait permettre de constructiviser encore davantage les
rsul-tats analytiques.
Voici en bref la formulation de Herbrand. Soit A une formule en
forme prenexe, par exemple
avec R sans quantifi cateur. On introduit deux nouvelles lettres
de fonc-tions, f unaire et g binaire avec les termes U1...Un,
W1...Wn, alors est dmon-trable dans le calcul des prdicats sous la
forme
.
Cette disjonction est drivable dans un calcul propositionnel et
peut servir de critre de rfutabilit dans une interprtation ngative
(voir Hilbert et Bernays [14], II, pp. 170 et ss).
La ngation de A est
( )A x y z t B x y z t, , ,
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ou
( ) ( )( )A B x f x z g x y, , , ,et si Herbrand a vu la
consistance dans la rfutabilit sur un champ
infi ni ou indfi ni, Kreisel a pens linterprtation sans
contre-exemple comme une interprtation fonctionnelle sur les types
suprieurs ; les fonc-tionnelles rcursives sont de la forme
avec B ouverte. Pour une formule vraie A, nous avons
o les F et les G sont videmment nos nouvelles fonctionnelles
rcur-sives sur les types.
La dernire formule A est vraie sil ny a pas de contre-exemple de
la forme
( ) ( ) B x f x z g x y, , , ,avec f et g comme arguments des
fonctionnelles rcursives F et G de type
suprieur ; F et G sont continues et peuvent donc tre associes
des poly-nmes de degr arbitraire : nous pouvons dfi nir la
composition de F et G
F G F x G x F G xii
i jj
j i ii j
ji= ( )( ) +( ) .
Puisque nous ne pouvons quantifi er sur toutes les
fonctionnelles par diagonalisation il y a une fonctionnelle
rcursive qui est distincte de toutes les fonctionnelles rcursives
nous devons nous restreindre aux polynmes de degr fi ni et utiliser
la descente sur les degrs et les hauteurs de polynmes pour
retrouver une version fi nitiste (voir l-dessus [13] pour cette
construc-tion).
Remarquons que les fonctions rcursives primitives peuvent se
tra-duire aisment en fonctions polynomiales. La chose est vidente
pour les fonctions constantes initiales ; la composition et la
rcursion sont traites comme un produit de convolution G H pour G et
H de telle sorte que
F x G H a H an n n p n
( ) = ( ) ( )( ) 1 , ,avec H G G H xi i
i jji
=+ ( ) .
Loprateur comme lquivalent au principe du plus petit nombre est
remplac par la descente (fi nie) infi nie sur les puissances
dcroissantes dun polynme de degr fi ni
F x f x f x f x fn
n nn n( ) = + + + + 0 1 1 1 .
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La thorie des nombres chez Herbrand et Lautman 153
Selon lide de Hilbert dune suite terminale de prdcesseurs pour
un n donn, la descente fermatienne autorise un processus de
rduction fi ni la faon dun ordre linaire dcroissant de puissances
pour un polynme donn.
Les deux thormes sur la distribution asymptotique des nombres
pre-miers et le thorme de Dirichlet sur linfi nit des nombres
premiers dans toute progression arithmtique, on le sait maintenant,
ont des versions l-mentaires obtenues par Selberg et Erds en 1949
et en 1950. lmentaire signifi e ici que lon nutilise que des
mthodes arithmtiques constructives ou combinatoires comme les
sommes fi nies, sans recours aux mthodes transcendantes comme le
prolongement analytique de sries infi nies en ana-lyse
complexe.
Je ferai remarquer que Dirichlet, dans son texte de 1836,
avouait que :
Es fehlt noch an gehrigen Principien, unter denen transzendente
Verbindungen, welche unbestimmte ganze Zahlen enthalten,
verschwinden knnen (Werke I [21], p. 326).
notant donc quil manque encore les principes appropris en vertu
desquels les relations transcendantes (obtenues par les sries infi
nies) entre des entiers indtermins pourraient tre limines. Ce nest
donc pas sans rticence que Dirichlet avait introduit la mthode
analytique des sries infi -nies en thorie des nombres. Kronecker,
qui a dit les Werke de Dirichlet, a propos dans ses Vorlesungen ber
Zahlentheorie [17] dtendre arithmti-quement un intervalle fi ni ()
pour les entiers et afi n dy loger au moins un nombre premier hm +
r pour m et r relativement premiers. On pourrait voir l une
anticipation des ides de Selberg, qui utilise des for-mules
asymptotiques pour la fonction logarithmique sur des segments ou
intervalles fi nis de Z voir de nouveau [11] p. 36.
Pour Lautman, dans le cas du thorme sur les nombres premiers
associ lhypothse de Riemann pour les zros de la fonction (s) sur la
droite relle , il sagit de la dialectique du continu (analyse) et
du dis-continu (arithmtique) ([19] p. 233). Je noterai encore que
lhypothse de Riemann est ne dune remarque marginale dans le texte
de 1859 ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grsse
[22], et que Riemann la laisse de ct bei Seite gelassen puisquil
sintressait dabord au pro-blme de la distribution des nombres
premiers. Cette remarque en appelle une autre, aussi marginale, de
Fermat sur son dernier thorme ! Dans son expos, Lautman privilgie
lanalyse et va jusqu dire que limpossi-bilit dliminer lanalyse de
larithmtique ([19] p. 214) dans le thorme sur les nombres premiers
est comparable au thorme de Gdel sur les preuves de
non-contradiction (deuxime thorme dincompltude de Gdel) : lhistoire
lui a donn tort l-dessus, et il est facile dexpliquer pour quelle
raison. Labsence dun point de vue fondationnel ne lui a pas
permis
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de voir que le vritable enjeu se situait au niveau des mthodes
de preuve, comme lavait soulign lintuitionnisme et comme lavait
reconnu Herbrand. Dans ses travaux sur la consistance de
larithmtique, Herbrand adopte le point de vue fi nitiste de
Hilbert. Herbrand, par-del Hilbert, revient la posture
fondationnelle de Kronecker, et ce quil appelle argument
intuition-niste est en fait une procdure constructive quand il
dclare quil ne suppose pas quun objet existe sans quon puisse
trouver un moyen de le construire ; de mme ce quil appelle un champ
infi ni nest quune abrviation pour la construction itrative du <
pas pas > (< Schritt zu Schritt >) dun champ ou domaine
dobjets illimit ou effi ni , comme je prfre le dire. Son tho-rme
fondamental porte sur lidentit a = a ou la non-identit a a, ce que
Hilbert dsignait par quation ou inquation. Si P est une identit,
une preuve de P va nous permettre de trouver un nombre h tel que P
ne puisse tre vraie dans tout domaine dordre h ; de mme, si P nest
pas une identit, pour tout h on peut construire un domaine dordre h
dans lequel P est vraie. Lide de Herbrand dans sa preuve de
consistance est de se servir dune induction sans quantifi cateurs
(sans variables lies) et de laisser libre cours des fonctions
rcursives gnrales obtenues par substitution et rcur-sion. Herbrand
est bien conscient quil ny a pas de procdure gnrale ou dalgorithme
pour dfi nir toutes les fonctions rcursives et que cest la seule
mthode diagonale qui permet Gdel de passer outre pour dmontrer
lin-compltude de larithmtique. Larithmtique rcursive de Herbrand
peut elle aussi se traduire facilement en termes de polynmes o lon
remplace la notion dordre dun domaine par celle de degr, et il
saute aux yeux quun polynme de degr fi ni obtenu par composition
rcursive (substitution et rcursion) est soumis la diagonale de
Cauchy (ou produit de convolution) et chappe la diagonale de Cantor
qui suppose une quantifi cation sur len-semble des nombres
naturels, ce que refuse Herbrand dans sa dmarche intuitionniste ou
constructiviste. Cest cependant dans sa thse de 1930 quil formule
son thorme sur la consistance du calcul des prdicats importants
aussi en informatique thorique, comme je lai annonc plus haut. Je
ne reviendrai pas l-dessus, si ce nest que pour insister sur le
fait que le pro-gramme de Herbrand, si on peut lappeler ainsi, a
donn naissance linter-prtation sans contre-exemple de Kreisel (
partir de lexpos de Hilbert et Bernays dans Grundlagen der
Mathematik) et son programme du < proof mining > ou
extraction du minerai constructif des thormes classiques de
lanalyse. Programme qui est relanc aujourdhui surtout par Ulrich
Kohlen-bach Darmstadt. Ce qui importe nos yeux dans la dmarche de
Herbrand, cest son insistance sur les mthodes fi nitaires et le
point de vue fondationnel qui sy rattache. Ainsi, Herbrand
formulera lhypothse suivante, que jai appele il y a plusieurs annes
la conjecture de Herbrand :
Les mthodes transcendantes ne peuvent permettre de dmontrer en
arithm-tique des thormes quon ne puisse dmontrer sans leur aide
(crits logiques [12] p. 152).
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Dans un article rcent Number Theory and Elementary Arithmetic
[1], Jeremy Avigad, sans mentionner Herbrand, attribue Harvey
Friedman la conjecture suivante, quil appelle Grand Conjecture
:
Every theorem published in the Annals of Mathematics whose
statement involves only fi nitary mathematical objects (i.e. what
logicians call an arith-metical statement) can be proved in
elementary arithmetic.
Cela inclut videmment le dernier thorme de Fermat dont la preuve
par Andrew Wiles a occup tout un numro des Annals of Mathematics en
1995 : il faudrait donc dgager cette preuve de sa gangue analytique
! Le logicien contemporain entend par lmentaire un sous-systme de
larithm-tique de Peano du premier ordre ou encore larithmtique
rcursive primi-tive avec induction borne. Pour ma part, je soutiens
que mme larithmtique rcursive primitive ne capture pas larithmtique
classique, et jai propos dans mes travaux de substituer la descente
infi nie de Fermat linduction complte que traduit le postulat
dinduction de Peano en montrant que les deux principes ne sont pas
quivalents du point de vue constructiviste, ce que mme les
intuitionnistes nont pas vu puisquils identifi ent la descente infi
nie linduction transfi nie, et donc linduction complte sur les
ordi-naux de la deuxime classe de nombres de Cantor
lim = 0
mais il y a l une double ngation sur lensemble infi ni des
nombres naturels N. La conjecture de Herbrand chappe donc Lautman,
et Dieudonn a mal valu les dons de prophtie de Lautman, comme il le
prtendait dans lavant-propos critique de lEssai sur lunit des
sciences mathmatiques [19]. On pourrait dailleurs minimiser la
comparaison que Lautman tente dtablir avec le deuxime thorme
dincompltude de Gdel ou thorme sur les preuves de consistance,
puisque Gdel lui-mme ncarte pas la pos-sibilit dune preuve fi
nitaire de la consistance de larithmtique dans une remarque de son
texte de 1931 sur laquelle il reviendra plus tard on peut penser
quil a tent de formuler une telle preuve dans son interprtation
Dialectica ber eine noch nicht bentzte Erweiterung des fi niten
Stand-punktes o lon a des fonctionnelles de type fi ni au lieu de
linduction transfi nie de Gentzen et Ackermann.
Mais on ne doit pas jeter le bb avec leau du bain, disait dj
Rie-mann das Kind mit dem Bade ausschtten dans un autre contexte il
sagissait de la priori formel kantien quil voulait remplacer par un
a priori matriel, comme son matre en philosophie Johann Friedrich
Herbart len-seignait. Si on ne peut nier lutilit des mthodes
analytiques, tous les math-maticiens sentendent pour accorder un
statut particulier aux preuves constructives directes, effectives
qui donnent plus dinformation que les mthodes transcendantes
souvent plus lgantes, parce quelles empruntent un dtour via les
objets idaux, dirait Hilbert. Cest en ralit une thorie
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des preuves, constructives ou autres, qui aura manqu lentreprise
de Lautman.
3. Dialectique et thorie des nombres algbriques
Sa dialectique des genses et des structures, Lautman aurait
voulu lenrichir par une thorie des mixtes au sens platonicien des
genres composs, dyades ou mlanges dessence et dexistence, ou encore
par un principe de dualit entre le continu et le discontinu. Je
voudrais donner un autre exemple, cette fois en thorie des nombres
algbriques, et montrer comment la dialectique des concepts est
certains gards superfi cielle ou artifi cielle. Il sagit de la
distinction entre corps de nombres algbriques et corps de fonctions
algbri-ques que Lautman voudrait dissocier dans la dualit du
continu et du dis-continu.
Prenons Q[x] lanneau des polynmes en une indtermine avec coef-fi
cients dans le corps Q des nombres rationnels. Un corps de
fonctions alg-briques une variable dans Q est une extension de degr
fi ni de Q[x]. Les corps de fonctions algbriques dfi nis sur Q[x]
sont les analogues par-faits des corps de nombres algbriques dfi
nis sur lanneau des entiers Z. Le sous-corps des quotients Q(x) de
Q[x] est par exemple le corps des fonc-tions rationnelles avec
coeffi cients dans Q. La gomtrie algbrique rcente fait son pain
quotidien de ces sous-corps. La thorie des schmas de Gro-thendieck,
par exemple, cest Dieudonn lui-mme qui la reconnu, est la
descendante de la thorie des domaines de rationalit
Rationalittsbe-reiche de Kronecker, qui, soit dit en passant,
prfrait ce terme celui de corps Krper employ par Dedekind et quil
trouvait trop charg de matire ce qui aurait sans doute plu
lidaliste Lautman sil avait connu Kronecker et sa thorie des formes
ou polynmes homognes. Kronecker se contentait des extensions
simples par ladjonction dun seul lment la fois, alors que lon a
maintenant des extensions infi nies, algbriques ou transcendantes,
celles-ci tant adjointes en bloc densembles, peut-on dire.
Je remarquerai en plus que la gomtrie algbrique que lon renomme
aujourdhui gomtrie arithmtique a pris acte de lintime connexion des
deux corps, le corps des nombres algbriques et le corps des
fonctions alg-briques, dans le programme de Langlands notamment.
Langlands sinspire directement du < Jugendtraum > de
Kronecker (voir Langlands [18]), pour qui lanalyse tait le point de
dpart et lalgbre le moyen datteindre la cible qui est larithmtique.
Pour Kronecker, cest bien larithmtisation de lal-gbre qui est la fi
n ultime. Pour le programme motivique ou thorie des correspondances
algbriques de Grothendieck, on le considre encore trop spculatif,
mais ce sont les rsultats de fi nitude (de points rationnels sur
les courbes elliptiques) de Faltings sur la conjecture de Mordell
et de Deligne sur la conjecture de Weil pour lhypothse de Riemann
sur les varits rationnelles qui ont t le point focal de lattention
dans cette direction en gomtrie arithmtique contemporaine. Il y a l
un fi l directeur : Poincar a
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La thorie des nombres chez Herbrand et Lautman 157
tudi dabord les proprits arithmtiques des courbes algbriques en
utili-sant une version de la descente infi nie dans lexpression un
nombre fi ni dhypothses , Mordell a ensuite dmontr la conjecture de
Poincar sur la gnration fi nie des points rationnels sur une courbe
elliptique en dfi nissant la descente infi nie comme mthode partant
dun entier n donn pour des-cendre fi niment ; enfi n la conjecture
de Mordell sur le nombre fi ni de points rationnels sur une courbe
elliptique de genre > 1 a t dmontre par Faltings qui a eu
recours une forme de descente gnralise. Quant Andr Weil, qui a jou
un rle majeur dans toute cette histoire, on sait que sa mthode de
preuve privilgie tait la descente fi nie dans les corps fi nis .
Rcemment le mathmaticien franais Laurent Lafforgue, mdaill Fields,
a russi montrer la correspondance exacte de Langlands entre
morceaux de lespace modulaire (ou varit algbrique) et points
rationnels (dnombra-bles) laide dune technique ditration des
chtoukas de Drinfeld du russe vient de lallemand Stcke , morceaux.
Le corps de base de la correspondance de Langlands est un corps fi
ni F avec groupe de Galois G. Ici, Lautman parlerait plutt
dimperfection du corps de base ([19] p. 65) et dirait quil faut
engendrer un sur-corps par monte vers lachvement, alors quil ne
sagit que dune extension du corps de base, et le corps Q des
rationnels nest quun sous-corps du corps R des rels, lui-mme
sous-corps de C des nombres complexes. Mais ici, dans la thorie des
corps fi nis, la descente infi nie de Fermat sapplique
parfaitement, comme la bien montr Andr Weil dans son ouvrage Number
Theory. An approach through history. From Hammourabi to Legendre
[23], et comme il la fait dans sa pratique1. Ce que Lautman ne
pouvait voir videmment. Ni Cavaills dailleurs, qui assez navement
disait que toute thorie contenant larithm-tique des entiers tombait
sous le coup de lincompltude de Gdel, et il ajoutait que cest peu
prs toute thorie mathmatique qui tait ainsi atteinte voir Sur la
logique et la thorie de la science ([6] p. 70). Lautman et-il
caractris la descente infi nie comme descente vers limparfait sil
lavait connue ? Et la thorie du corps de classes didaux qui relve
de la
1. Je pourrais faire remarquer ici que les thoriciens des modles
contemporains sinspi-rent largement de la thorie des corps fi nis,
comme le notait Ehud Hrushovski dans une conf-rence plnire du
dernier congrs de Logique, mthodologie et philosophie des sciences
Beijing en aot 2007. La confrence de clture de Hrushovski portait
sur lhritage de Gdel, et Hrushovski a insist avec justesse sur le
fait que le thorme de compltude tait plus impor-tant pour la thorie
des modles que les rsultats dincompltude ; pour lui, les rsultats
dAndr Weil en thorie des corps fi nis jouaient un rle encore plus
important en thorie contemporaine des modles. L-dessus, je lui ai
fait remarquer que justement loutil privilgi de Weil en thorie des
corps fi nis tait la mthode de la descente infi nie (en ralit fi
nie) de Fermat et que Weil nadmettait pas la mthode diagonale de
Cantor comme mthode de preuve valide en thorie des nombres, et on
sait quelle est cruciale dans le premier thorme dincompltude de
Gdel ; ce que Hrushovski aurait d relever, comme je le lui ai
suggr. Jai ajout que le ph-nomne dincompltude affectait moins de 20
% des mathmatiques actuelles ce quil a reconnu aussi.
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thorie algbrique des nombres et que Lautman a aborde aprs que
Her-brand leut pratique avec des mthodes arithmtiques repose sur
lide que le nombre de classes didaux est fi ni
Les quelques rsultats de Herbrand en thorie des nombres sont
clas-siques : ils tablissent une relation entre les nombres de
Bernoulli, valeurs numriques des coeffi cients x2/2 !, x4 / 4 !, ,
dans lexpansion de x/(1 e x), avec la structure de groupe des
classes didaux de Q (p) pour la fonction sur les nombres premiers
voir K. Ireland et M. Rosen, A classical Intro-duction to Number
Theory [16]. Dailleurs, Herbrand a aussi travaill la thorie des
corps cyclotomiques quil appelle circulaires en sinspirant du 12e
problme de Hilbert sur Lextension de la proposition de Kronecker
sur les corps abliens dans un domaine de rationalit algbrique ; le
tho-rme de Kronecker-Weber stipule que toute extension ablienne de
Q appar-tient au corps cyclotomique des racines de lunit, comme
lavait dcrit Kummer cf. louvrage de Herbrand Le dveloppement
moderne de la thorie des corps algbriques. Corps de classe et lois
de rciprocit, [13] publi en 1936 par son ami Claude Chevalley. Dans
ce contexte, la dialec-tique de Lautman est sinueuse, puisquil
voque en les approuvant ([19] p. 189) les rsultats arithmtiques
pour la fonction sur les corps fi nis (de nombres rationnels) ; il
reconnat aussi que les mathmatiques classiques avant Cantor sont
dessence constructiviste ! Mais il ne faut pas accabler Lautman
l-dessus. Mme des philosophes des mathmatiques contempo-rains comme
David Corfi eld, dans son essai rcent Towards a Philosophy of Real
Mathematics [8], lequel parle de disanalogy ou fausse analogie
entre corps de nombres et corps de fonctions, alors que le
mathmaticien parle danalogie profonde ou de correspondance exacte
ou encore dune thorie unifi e comme Harold Edwards dans sa Divisor
Theory [9]. Enfi n, je pour-rais ajouter ici avec un brin dironie
que la distinction entre gomtres et arithmticiens tient (peut-tre)
au fait que les gomtres nont lu que la pre-mire partie des Livres
dEuclide sur la gomtrie, alors que les arithmti-ciens les ont lus
jusquau bout en incluant les Livres arithmtiques. Et les
arithmticiens, ce sont eux qui font aujourdhui de la gomtrie
arithm-tique !
4. Conclusion
Je voudrais terminer en commentant quelques remarques de Lautman
sur la logique. Je cite Lautman ([19] p. 39) :
La vritable logique nest pas a priori par rapport aux
mathmatiques, mais il faut la logique une mathmatique pour
exister.
Il ajoutait que si la logique nadmet pas les dfi nitions
imprdicatives, les mathmatiques sen nourrissent. Cette conception
brunschvicgienne et poincarenne, nous la partageons, et elle est
commune chez les mathmati-ciens, mais elle ne justifi e pas pour
autant les preuves dexistence, vritables
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preuves ontologiques de lexistence des tres mathmatiques dans
lesprit de Lautman. Pour Lautman, lide de parfait prcde lide
dimparfait, comme chez Descartes qui pensait que lide dinfi ni ne
pouvait tre injecte dans un esprit fi ni que par un tre infi ni
mais Descartes, comme Leibniz, comme Gauss, comme Cauchy, rejetait
lide dinfi ni mathmatique. La logique ou la dialectique interne des
constructions mathmatiques na pas besoin de recourir aux relations
logiques entre lessence et lexistence ([19] p. 80) pour rendre
compte de lobjectivit des mathmatiques. Poincar, avant Herbrand,
dans ses Dernires Penses pensait que linfi ni nest quune
abr-viation du fi ni, cest--dire que linfi ni est une approximation
du fi ni, une ide reprise par Y. Gurevitch, un des crateurs de la
thorie contemporaine des modles fi nis. Si Lautman parle de
lindpendance de la logique dialec-tique au sens o il lentend et des
mathmatiques ([19] p. 139), cest quil se fonde sur un platonisme
des relations entre les thories mathma-tiques et le ciel didalits
qui les domine. Lautman voque volontiers la nature imparfaite de
certains tres mathmatiques plutt que des construc-tions dobjets dfi
cientes. Il dit de la thorie des dmonstrations que cest une thorie
structurale alors que le point de vue ensembliste est extensif ;
pour lui la notion de ralisation dans un champ infi ni, en ralit
potentielle-ment infi ni, chez Herbrand est la cration dtres
mathmatiques hybrides ou mixtes entre deux genres de ltre ([19]
chap. III).
Je ninsisterai pas davantage sur ces remarques disparates de
Lautman, si ce nest pour conclure que si sa culture logique tait
mince, sa culture mathmatique en menait large, trop large peut-tre
pour ne pas demeurer superfi cielle dans bien des cas. Quoi quil en
soit, le ralisme platonicien de Lautman est impuissant dfi nir une
option fondationnelle. Si Lautman possdait sans doute parmi les
philosophes la plus vaste rudition mathma-tique, Cavaills, qui
ntait pas aussi savant, tait cependant un philosophe plus pntrant.
Cavaills tente de penser plus concrtement le mouve-ment des
liaisons intellectuelles dans leur dveloppement dialectique , selon
lexpression de Lautman ; cest le lien entre la superposition
intuitive et la dialectique des concepts qui reste le problme
fondamental de la phi-losophie mathmatique, crit Cavaills dans sa
Philosophie mathmatique ([7] p. 273). Il entendait par
superposition intuitive une sorte de mta-intui-tion, comme on dit
mtalangage, qui sappuie sur une intuition premire, laquelle est
toujours en procs de dissolution. Quentendait-il par dialec-tique
du concept ? Il refusait la primaut de la conscience
transcendantale dans la thorie husserlienne sur lenchanement
dialectique des concepts. Linteraction des gestes constructeurs et
des objets construits nest pas dfi nie une fois pour toutes, elle
est la reprise indfi nie du jeu dialectique dans une histoire dont
la seule ncessit est interne. On pourrait reprocher Cavaills davoir
trop peu exemplifi son propos : lhistoire de la thorie des
ensem-bles quil a surtout privilgie nest quun petit chapitre dans
lhistoire des mathmatiques. Il navait pas le vaste horizon de
Lautman. Le mrite de
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Cavaills est davoir indiqu que les idalits les constructions
math-matiques jouissent de lautonomie dun texte continu unifi par
le concours dactes dont on peut dire quils convergent uniformment
si lon tient compte de la continuit historique des thories
mathmatiques. Il ny pas dhistoire mieux enchane, plus lie que
lhistoire des mathmatiques, et pourtant, chacun de ses moments,
elle nest que la suite alatoire des concepts nou-veaux, rptition du
mme dans lautre et reduplication des possibles dans un langage
neuf.
Un Desanti qui sinspire de Cavaills et de Husserl na pas su
retenir tous les lments de cette synthse presque brunschvicgienne
de lintuitif et de laxiomatique (Brunschvicg disait vrifi cation),
synthse que la logique mathmatique contemporaine a retrouve par
dautres moyens voir l-dessus mon article Lpistmologie franaise des
mathmatiques , dans la revue Critique, paru en 1979 ([10], pp.
3-36). Cest lgologie transcendan-tale de Husserl qui est mise entre
parenthses chez Desanti comme chez Cavaills, mais ce sont les
idalits mathmatiques comme chez Lautman que Desanti veut ranimer,
cette fois dans la dialectique objective dune pro-cession abstraite
des concepts. Mais Desanti perptue en quelque sorte la mfi ance
lgard de la logique hrite de Poincar et de Brunschvicg, relaye par
Lautman et Cavaills, et il faudra attendre les travaux de Lacombe
et Frass, puis ceux de Poizat et Girard parmi dautres pour
reprendre la logique mathmatique l o lavait laisse Herbrand en
France. Seul Herbrand aura eu une descendance, et son ami Lautman
naura pas eu dhritiers dobdience platonicienne en philosophie
mathmatique ou en fondements des mathmatiques, ou encore en
recherche fondationnelle, comme on doit dire maintenant2.
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2. P.S. Sur une note personnelle. Brunschvicg a t la premire
infl uence et peut-tre la plus durable jai rdig un mmoire de
matrise sur Brunschvicg au dpartement de philoso-phie de lUniversit
de Montral il y a prs dun demi-sicle ! L. Brunschvicg avait dj
utilis dans son ouvrage Les tapes de la philosophie mathmatique de
1912 les termes darithm-tisme et de logique interne, mais dans un
sens diffrent du mien que jai rintroduit dans un ouvrage rcent sur
larithmtisation de la logique. Pour lui, larithmtisme ou le
pythago-risme sopposait ce quil appelait lpoque logistique il
emploie mme le terme < logisti-cisme > pour logicisme , mais
ctait un dogme rigide qui npousait pas la dialectique interne de la
cration mathmatique, une terminologie qui voque cette fois la
longue ligne des hritiers de Brunschvicg, Lautman, Cavaills ou
Desanti qui, en se dtachant de Husserl pour les deux derniers, ne
sloignent pas pour autant de Brunschvicg et de son constructivisme
ou idalisme immanent, dont je me rclame aussi librement
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