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Incidencia del modelo epistemolgico de las matemticas sobre las
prcticas docentes1
Josep Gascn2
[Trabajo en proceso de revisin por la revista RELIME]
RESUMEN En este trabajo pretendemos poner de manifiesto hasta qu
punto el modelo epistemolgico de las matemticas, implcito pero
dominante en una institucin escolar, puede influir sobre las
caractersticas del modelo docente, esto es, sobre la manera
sistemtica y compartida de organizar y gestionar el proceso de
enseanza de las matemticas en dicha institucin. Se postula que la
prctica profesional del profesor de matemticas en el aula slo se
podr cambiar de una manera persistente si, correlativamente, se
modifica el modelo epistemolgico ingenuo que, como dice Brousseau
(1987), est en la base de los modelos docentes habituales.
ABSTRACT In this work we pretend to show up to which point the
mathematical epistemologic model, implicit though dominant in
scholar institution, has an influence on the docent model
characteristics. That is, on the systematic and shared manner of
organizing and managing of mathematics teaching process in such
institution. The article sets demands for the need of a change in
the ingenious epistemologic model, as said by Brousseau (1987),
which are at the root of usual docent models, to achieve a
persistent change in mathematics professors professional practise
in the classroom. RSUM Dans ce travail, nous prtendons mettre en
vidence jusqu quel point le modle pistmologique des mathmatiques,
implicite mais dominant dans une certaine institution scolaire,
peut influer sur les caractristiques du modle enseignant,
cest--dire sur la manire systmatique et partage dorganiser et grer
les processus denseignement des mathmatiques dans cette
institution. Nous postulons que la pratique professionnelle de
lenseignant de mathmatiques dans la classe ne peut tre change dune
manire durable que si, corrlativement, on change le modle
pistmologique naf qui est, comme le dit Brousseau (1987), la base
des modles enseignants habituels. RESUMO Neste trabalho,
pretendemos mostrar at que ponto o modelo epistemolgico das
matemticas, implcito apesar de dominante numa dada instituio
escolar, pode influenciar as caractersticas do modelo docente, isto
, a maneira sistemtica e partilhada de organizar e de gerir o
processo de ensino da matemtica nessa instituio. Postulamos assim
que a prtica professional do professor de matemtica na aula s se
poder mudar duma maneira duradoira se se modificar, em correlao, o
modelo epistemolgico ingnuo que, como diz Brousseau (1987) est na
base dos modelos docentes habituais.
1 Las primeras descripciones de los modelos docentes (llamados
inicialmente paradigmas) fueron publicadas en Gascn (1992 y 1994).
Su dependencia respecto del modelo epistemolgico dominante en la
institucin escolar fue presentada por primera vez en el marco del
Seminario de Didctica de las Matemticas Anlisi didctica de
l'activitat matemtica: confluncia entre el problema epistemolgic i
el problema didctic correspondiente al curso acadmico 1993/1994.
Dicho Seminario formaba parte del Programa de Doctorado de
Matemticas de la Universitat Autnoma de Barcelona. 2 Departamento
de Matemticas, Universitat Autnoma de Barcelona, Edificio C, 08193
Bellaterra (Barcelona) Spain; Fax: 34 93 581 27 90; E-Mail:
[email protected]
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Incidencia del modelo epistemolgico de las matemticas
sobre las prcticas docentes Para empezar a describir y explicar
la prctica profesional del profesor de matemticas en el aula,
podemos situarnos en diferentes perspectivas tericas3. Por nuestra
parte abordaremos esta problemtica desde la perspectiva que
proporciona el Programa Epistemlogico de Investigacin en didctica
de las matemticas4 y, ms en concreto, desde la Teora Antropolgica
de lo Didctico (TAD)5. Aceptamos de antemano que nuestra
perspectiva, como cualquier otra perspectiva particular, ser
forzosamente sesgada y nos permitir describir y explicar nicamente
determinados aspectos de la prctica profesional del profesor, en
detrimento de otros. Al situarnos en el Programa Epistemolgico
necesitamos proponer modelos epistemolgicos explcitos de los
diferentes mbitos de la actividad matemtica que permitan construir
los fenmenos y los problemas didcticos y, adems, sirvan para dar
cuenta de los aspectos cognitivo e instruccional. Esto significa
que para cada proceso de estudio particular, relativo a una
organizacin matemtica OM concreta, que se desarrolla en el seno de
una institucin I determinada, la descripcin de la prctica
profesional del profesor de matemticas debera hacerse partiendo del
modelo epistemolgico especfico de OM, dominante en I. Hemos de
reconocer que estamos lejos de poder describir con tanto detalle la
prctica docente del profesor de matemticas en el aula6; ste es un
objetivo muy ambicioso al que no podemos aspirar todava debido,
entre otras razones, al insuficiente desarrollo de la TAD y, en
particular, al carcter todava excesivamente descriptivo de la teora
de los momentos didcticos (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997). En
este trabajo, forzosamente preliminar y mucho ms humilde, queremos
nicamente empezar a estudiar cmo se corresponden muchas decisiones
y actuaciones docentes, y hasta ciertos modelos docentes
relativamente estructurados, con los modelos epistemolgicos
generales que han existido a lo largo de la historia de las
matemticas y que, en cierta forma, perviven entremezclados en las
diferentes instituciones didcticas. Para ello distinguiremos, en
primera instancia, entre dos grandes grupos de teoras
epistemolgicas generales o patrones de la organizacin matemtica
considerada como un todo: teoras eucldeas y teoras cuasi-empricas,
segn la caracterizacin realizada por Lakatos (1978a). Para
completar este esquema aadiremos un tercer grupo de teoras
epistemolgicas, las teoras constructivistas. Siguiendo este
criterio, propondremos una reconstruccin racional (Lakatos, 1971)
de la evolucin del problema epistemolgico y, paralelamente,
describiremos los rasgos fundamentales de algunos modelos docentes
asociados a cada uno de los modelos epistemolgicos que irn
apareciendo. Obtendremos de esta forma, al lado de la evolucin del
problema epistemolgico, una descripcin paralela de la evolucin
racional del problema docente. En la ltima parte de este trabajo
mostraremos la necesidad de proponer nuevos modelos epistemolgicos
de las matemticas capaces de servir de referencia a modelos
docentes menos reduccionistas.
3 As, por ejemplo, Llinares (1999, p. 109) propone buscar una
complementariedad entre puntos de vista cognitivos sobre el
conocimiento del profesor y puntos de vista socioculturales
relativos a la prctica del profesor como una manera de dar cuenta
de ciertos aspectos de lo que sucede en las aulas de matemticas. 4
Asumimos la reconstruccin de la evolucin de la didctica de las
matemticas que contempla dos Programas de Investigacin (Lakatos,
1978b): el Cognitivo y el Epistemolgico (Gascn, 1998 y 1999a). 5 En
Chevallard (1997 y 1999); Chevallard, Bosch y Gascn (1997); Gascn
(1998 y 1999a) y Bosch y Chevallard (1999), se presentan los ltimos
desarrollos de la TAD. 6 El trabajo que estamos desarrollando sobre
el lgebra escolar podra ser considerado como una aportacin en esta
direccin (Bolea, Bosch y Gascn, 1998).
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1. El euclidianismo como modelo general del saber matemtico
Segn Lakatos, en epistemologa de las matemticas la controversia
entre dogmticos y escpticos se plantea en trminos de la posibilidad
o imposibilidad de establecer de modo conclusivo el significado y
la verdad. Esta controversia tiene profundas races filosficas y es,
en realidad, un captulo especial del gran esfuerzo racionalista por
superar el escepticismo y demostrar la posibilidad de conocer. Los
argumentos escpticos son muy potentes: si intentamos fijar el
significado de un trmino definindolo por medio de otros trminos nos
vemos abocados a un regreso infinito. Si intentamos resolver esta
dificultad utilizando trminos (primitivos) perfectamente bien
conocidos entonces el abismo del regreso infinito se abre de nuevo
porque son perfectamente bien conocidos los trminos que constituyen
la expresin trminos perfectamente bien conocidos? Siendo este
argumento aparentemente irrefutable, no es el nico que esgrimen los
escpticos. An aceptando la posibilidad de tener conceptos exactos,
cmo podemos probar que una proposicin es verdadera? cmo evitar el
regreso infinito en las pruebas? La posicin escptica parece
demostrar de modo concluyente que el significado y la verdad de una
proposicin slo pueden transferirse no establecerse y, por lo tanto,
no podemos conocer. As pues el problema epistemolgico se plantea
inicialmente en estos trminos: Cmo detener el regreso infinito en
las definiciones y en las pruebas y llevar a cabo una justificacin
lgica de las teoras matemticas? Esta formulacin del problema la
simbolizaremos mediante las siglas PE1 porque la consideraremos
como el punto de partida de la reconstruccin racional que,
siguiendo a Lakatos, expondremos a continuacin. La respuesta a esta
pregunta es el objetivo de lo que habitualmente se denomina
fundamentos de las matemticas.
PE1 (Euclidianismo): Cmo detener el regreso infinito y llevar a
cabo una justificacin lgica de las teoras matemticas?
El Programa Eucldeo fue la primera gran empresa racionalista que
intent a lo largo de ms de dos mil aos detener ese doble regreso
infinito y dar una base firme al conocimiento. Para ello el
Programa Eucldeo propone que todo conocimiento matemtico puede
deducirse de un conjunto finito de proposiciones trivialmente
verdaderas (axiomas) que constan de trminos perfectamente conocidos
(trminos primitivos). La verdad de los axiomas fluye entonces desde
los axiomas hasta los teoremas por los canales deductivos de
transmisin de verdad (pruebas). Se trata en resumen de un Programa
de Trivializacin del Conocimiento Matemtico; pretende detener los
dos descensos infinitos de la duda escptica mediante el significado
y el valor de verdad ubicados en los axiomas e iluminados por la
luz natural de la razn en forma de intuicin aritmtica, geomtrica o
lgica (Lakatos, 1978a). Pero la crtica escptica es persistente e
incansable: Son perfectamente conocidos los trminos primitivos? Son
realmente verdaderos los axiomas? Son nuestros canales deductivos
absolutamente seguros? La historia del euclideanismo es la historia
de las sucesivas batallas defensivas para proteger el ncleo firme
del programa: el descubrimiento de los irracionales hizo que los
griegos abandonaran la presunta certeza absoluta de la intuicin
aritmtica y la cambiaran por la intuicin geomtrica; para ello
elaboraron la teora de las proporciones. El siglo XIX, con la
clarificacin del concepto de nmero irracional se restableci la
intuicin aritmtica como intuicin fundamental absolutamente segura.
Sucesivamente diferentes tipos de intuiciones se disputaron este
papel: la intuicin conjuntista de Cantor, la intuicin lgica de
Russell, la intuicin global de Hilbert y la intuicin
constructivista de Brouwer.
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Desde el punto de vista de Lakatos (1978a) los tres modelos
clsicos de la epistemologa de las matemticas: el logicismo de
Russell (1903 y 1919), el formalismo de Hilbert (1923) y el
intuicionismo de Brower (1952)7 pueden ser considerados como
diferentes teoras eucldeas del saber matemtico; las tres pretenden
detener el regreso infinito mediante diferentes formas de
trivializacin del conocimiento matemtico: el logicismo pretende la
trivializacin lgica de las matemticas, el formalismo pretende
construir una meta-teora trivial y el intuicionismo, por fin,
pretende recortar el conocimiento matemtico hasta alcanzar su mdula
trivialmente segura. Pero la pretendida trivializacin lgica de las
matemticas degener en un sistema sofisticado que inclua axiomas no
trivialmente verdaderos como el de infinitud y el de eleccin, as
como la teora ramificada de los tipos lgicos que lejos de ser
trivial es un verdadero laberinto conceptual. Adems, trminos
primitivos como clase y relacin de pertenencia resultaron ser
oscuros y ambiguos, muy lejos de ser perfectamente conocidos.
Incluso se hizo necesaria una prueba de consistencia para asegurar
que los axiomas trivialmente verdaderos no se contradijesen entre
s, en flagrante contradiccin con el espritu del Programa Eucldeo.
El fracaso de la trivializacin lgica del conocimiento nos lleva,
pues, al formalismo. La teora de Hilbert se basaba en la idea de
una axiomtica formal en el sentido de un sistema formal consistente
(no contradictorio), en el que todas las verdades aritmticas puedan
ser deducidas formalmente y tal que exista una meta-teora
(perteneciente a una nueva rama de la matemtica: la meta-matemtica)
capaz de probar la consistencia y completitud de los sistemas
formales. La meta-matemtica debera estar constituida por teoras con
axiomas trivialmente verdaderos, trminos perfectamente bien
conocidos e inferencias trivialmente seguras. Segn Hilbert, la
verdad aritmtica -y debido a la aritmetizacin de la matemtica, todo
tipo de verdades matemticas- descansara as sobre una firme intuicin
global y, en consecuencia, sobre la verdad absoluta. Los trabajos
de Gdel (1931) significaron el derrumbe del programa hilbertiano de
trivializacin en el meta-nivel. De hecho si nos negamos a extender
la intuicin infinitamente, hemos de admitir que la meta-matemtica
no detiene el regreso infinito en las pruebas puesto que ste
reaparece ahora en una jerarqua infinita de
meta-meta-meta-...-teoras cada vez ms ricas y complejas (menos
triviales). En un intento desesperado por detener el regreso
infinito, Kleene (1952) se ve obligado a considerar que la prueba
ltima de si un mtodo es admisible en meta-matemtica es que sea
intuitivamente convincente, pero entonces argumenta Lakatos- porqu
no detenerse en un paso anterior y decir que para que un mtodo sea
admisible en aritmtica ha de ser intuitivamente convincente?
Podramos evitar as la meta-matemtica. De hecho sta es una
contradiccin en la que caen los tres modelos del euclideanismo, no
slo el formalista: aunque los tres tienen su origen en la crtica de
la intuicin ingenua, nos piden que aceptemos su intuicin como
prueba ltima y definitiva, cayendo de esta forma en el mismo
subjetivismo que empezaron atacando. Significa esto que los
escpticos han ganado la batalla y han demostrado la imposibilidad
del conocimiento matemtico? No ser que el problema epistemolgico
est mal planteado? Porqu tenemos que aceptar el dilema euclidiano:
o trivialidad y certeza o imposibilidad del conocimiento matemtico?
Quiz esta necesidad de trivialidad y de certeza deba ser
considerada como una enfermedad infantil del conocimiento y no como
su caracterstica definitoria. Porqu empearse en pruebas ltimas y
definitivas? Porqu no admitir honestamente la falibilidad matemtica
e intentar defender la dignidad del conocimiento falible contra el
escepticismo? (Lakatos 1978a, p.41). 7 Para una introduccin al
intuicionismo, ver Heyting (1956).
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2. Trivializacin del proceso de enseanza de las matemticas
Antes de contestar estas preguntas, detengmonos un momento en la
narracin de la evolucin racional del problema epistemolgico para
analizar las consecuencias del euclideanismo sobre algunas formas
de interpretar el saber matemtico dentro del sistema de enseanza y
sobre los modelos docentes que crecen y se desarrollan a la luz de
los correspondientes modelos epistemolgicos implcitos. Cambiamos
por tanto de escenario y nos sumergimos de lleno en el mbito
tradicionalmente reservado a la didctica de las matemticas: el
sistema de enseanza de las matemticas. Hemos visto que una de las
caractersticas principales de los modelos epistemolgicos
euclidianos consiste en que pretenden trivializar el conocimiento
matemtico. Veremos que cuando esta manera de interpretar el saber
matemtico penetra en el Sistema de Enseanza de las Matemticas puede
dar origen a dos tipos de modelos docentes (o formas sistemticas y
compartidas de gestionar la enseanza y el aprendizaje de las
matemticas) aparentemente muy diferentes entre s, pero que tienen
en comn la trivializacin del proceso de enseanza. Se trata del
teoricismo y del tecnicismo que son dos formas de materializar los
que podramos denominar modelos docentes clsicos, muy simplistas y
fuertemente arraigados en la cultura comn, segn los cuales el
proceso de enseanza es un proceso mecnico y trivial, totalmente
controlable por el profesor. 2.1. Ensear matemticas es mostrar
teoras cristalizadas: el teoricismo
Denominaremos modelos docentes teoricistas o, simplemente
teoricismo, a los que estn basados en una concepcin del saber
matemtico que pone el acento en los conocimientos acabados y
cristalizados en teoras, al tiempo que se pone entre parntesis la
actividad matemtica y slo toma en consideracin el fruto final de
esta actividad. Se trata de modelos docentes que se basan en uno de
los principales rasgos del Euclideanismo, el que pretende reducir
todo conocimiento matemtico a lo que puede deducirse de un conjunto
finito de proposiciones trivialmente verdaderas (axiomas) y que
pueden enunciarse utilizando nicamente trminos perfectamente
conocidos (trminos primitivos). Cuando en un sistema de enseanza
predomina el teoricismo se da una gran preeminencia al momento en
el que los alumnos se encuentran por primera vez con los objetos
matemticos que le presenta el profesor. Se produce una fuerte
concentracin de los esfuerzos didcticos en ese momento del proceso
de enseanza -que llamamos momento del primer encuentro (Chevallard,
Bosch y Gascn, 1997)- y que tradicionalmente se ha identificado con
el momento en que el profesor presenta a los alumnos un cuerpo de
conocimientos cristalizados en una teora ms o menos acabada. La
razn es sencilla: para el teoricismo que identifica ensear y
aprender matemticas con ensear y aprender teoras acabadas, el
proceso didctico empieza, y prcticamente acaba, en el momento en
que el profesor ensea (en el sentido de muestra) estas teoras a los
alumnos (Gascn, 1994). Tenemos, en resumen, el siguiente silogismo
trivializador: dado que las teoras matemticas son triviales (en el
sentido de que se deducen por canales deductivos a partir de un
conjunto de axiomas trivialmente verdaderos en los que slo figuran
trminos perfectamente conocidos) y dado que ensear matemticas es
mostrar estas teoras, resulta que la enseanza-aprendizaje de las
matemticas debera ser, tambin, un proceso trivial. Esta conclusin
choca frontalmente con todos los datos empricos disponibles y es
especialmente paradjica precisamente en las instituciones en las
que predomina el teoricismo. En estas instituciones es muy difcil
dar razn de las enormes
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dificultades que tienen los estudiantes para utilizar
adecuadamente un teorema, aplicar una tcnica matemtica o comprobar
si un objeto matemtico cumple o no cumple las clusulas de una
definicin. En cuanto a la resolucin de problemas, hay que decir que
en el teoricismo es considerada como una actividad secundaria
dentro del proceso didctico global y, en todo caso, como auxiliar
en el aprendizaje de las teoras. Una caracterstica importante del
teoricismo radica en el supuesto implcito de que los problemas son
relativamente ajenos a las teoras matemticas o, en todo caso, no
juegan ningn papel importante en su constitucin ni en su
estructura. Los problemas se pueden utilizar para aplicar,
ejemplificar o consolidar los conceptos tericos e, incluso, para
motivarlos, introducirlos o justificarlos pero, en cualquier caso,
estas funciones de los problemas son consideradas como meramente
pedaggicas en el sentido negativo de no constitutivas del
conocimiento matemtico propiamente dicho. En los casos extremos
puede llegarse a concebir la ejercitacin en la resolucin de
problemas como una concesin hecha con la nica finalidad de que el
alumno adquiera un cuerpo de conocimientos que forman una teora
predeterminada de antemano. En coherencia con todo ello, es claro
que el proceso de constitucin de esta teora no slo no se cuestiona,
sino que puede ignorarse completamente. En particular, el
teoricismo ignora las tareas dirigidas a elaborar estrategias de
resolucin de problemas complejos y, por tanto, cuando aparece un
problema que no puede resolverse mediante la aplicacin inmediata de
un teorema, entonces el teoricismo trivializa los problemas
mediante la descomposicin en ejercicios rutinarios lo que comporta,
no slo la eliminacin de la dificultad principal del problema sino,
incluso, la desaparicin del propio problema (Gascn,1989, p. 3 y
ss.). Esta manera de trivializar la actividad de resolucin de
problemas, propia del teoricismo, proviene del dogma epistemolgico
euclidiano segn el cual tanto los problemas (o ejercicios) que se
utilizan como los conocimientos que el alumno ha de emplear, estn
absolutamente determinados a priori por la teora a la que sirven.
Se supone que en dicha teora estn contenidos esencialmente todos
los conocimientos que el estudiante necesita. En el teoricismo se
considera que, a lo sumo, resta la dificultad de elegir cul es el
teorema adecuado o la definicin pertinente en cada caso, pero una
vez se ha dado con ellos la actividad matemtica que se ha de
realizar es prcticamente nula. La caracterstica esencial del
teoricismo la situaremos, por tanto, en que ignora absolutamente
los procesos de la actividad matemtica como tal y, en consecuencia,
no concede ninguna importancia -epistemolgica ni didctica- a la
gnesis y el desarrollo de los conocimientos matemticos. En la
medida en que el teoricismo predomina en una institucin, se
originan fenmenos que no pueden ser explicados desde dentro del
sistema y entre los que hay que destacar, como ya hemos dicho,
aquellos que estn relacionados con el presunto carcter trivial del
conocimiento matemtico y de su aprendizaje8. Se ha dado el caso de
profesores que por coherencia teoricista han sentido la necesidad
de llegar a trivializar efectivamente la matemtica enseada. Esta
coherencia les ha empujado, por ejemplo, a explicitar el teorema de
la funcin inversa mediante una farragosa sucesin de smbolos lgicos
que, adems de ocupar una extensin desmesurada, result mucho menos
trivial que las versiones usuales.
8 Postulamos que este prejuicio, caracterstico del
euclideanismo, que contra toda evidencia presupone que el proceso
de enseanza de las matemticas es un proceso mecnico y trivial
completamente controlable por el profesor, dificulta que la
comunidad matemtica nuclear (constituida por los productores del
conocimiento matemtico) pueda tomar seriamente en consideracin los
problemas didctico-matemticos como problemas cientficos no
triviales.
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2.2. Entrenar en el uso de algoritmos: el tecnicismo
Dado que el teoricismo identifica aplicar una tcnica matemtica
con realizar una actividad absolutamente predeterminada por la
teora, resulta que en las instituciones en las que impera este
modelo docente es muy difcil imaginar la posibilidad de que una
tcnica se desarrolle en manos del alumno, a espaldas de la teora.
As se tiende a menospreciar el dominio ms o menos robusto que pueda
tener el estudiante de las tcnicas matemticas, ignorndose las
posibles funciones de esta robustez en el proceso de aprendizaje.
Este punto de vista puede provocar una catstrofe didctica que es
especialmente visible cuando afecta a los niveles ms elementales de
la enseanza de las matemticas. En la enseanza primaria, en efecto,
el menosprecio del dominio de las tcnicas puede provocar un vaco
del contenido de la enseanza hasta el punto de que al final del
proceso didctico los alumnos no puedan mostrar ningn aprendizaje
efectivo, ni siquiera el dominio de las operaciones aritmticas. En
este punto parece natural el grito defensivo de volver a lo bsico!
para no perderlo todo. Surgen as modelos docentes que enfatizan los
aspectos ms rudimentarios del momento del trabajo de la tcnica
(Chevallard, Bosch y Gascn, 1997). Los denominaremos modelos
docentes tecnicistas o, ms brevemente, tecnicismo. Las tendencias
tecnicistas aumentan despus de pocas fuertemente teoricistas (como
la que marc el apogeo de la matemtica moderna en los aos sesenta y
setenta) y, en general, en periodos de fuerte contestacin social al
aumento del fracaso escolar en matemticas (por ejemplo en pocas de
extensin brusca de un cierto tramo de la enseanza obligatoria). Hay
que contemplar dichas tendencias y el hecho de que muchos
profesores se vean abocados al tecnicismo como lo que son, como un
fenmeno didctico esencialmente independiente de la voluntad y de la
formacin de los profesores. Como dice Brousseau, cuando 200.000
profesores se comportan de una misma manera que puede ser
considerada desde cierto punto de vista como simplista, no parece
pertinente intentar explicar lo que pasa diciendo que hay 200.000
tontos; es ms prudente cientficamente postular la existencia de un
fenmeno, que no depende de las caractersticas personales de los
profesores, y que hemos de intentar explicar. La defensa que hace
el tecnicismo del dominio de las tcnicas es ingenua y est poco
fundamentada; de hecho, el tecnicismo corre el peligro de caer en
una apologa del dominio de las tcnicas -especialmente de las
algortmicas que son las ms visibles- hasta el punto de tomarlas
como objetivo ltimo del proceso didctico. Este extremismo
tecnicista conduce directamente a un operacionismo estril (Gascn,
1994). El modelo docente tecnicista identifica implcitamente ensear
y aprender matemticas con ensear y aprender tcnicas (algortmicas)
por lo que constituye otra forma extrema de trivializar el proceso
de enseanza de las matemticas. Dado el nfasis tan exclusivo que
pone en las tcnicas simples, el tecnicismo tiende a olvidar los
autnticos problemas que son aquellos cuya dificultad principal
consiste en escoger las tcnicas adecuadas para construir una
estrategia de resolucin. En este sentido puede decirse que el
tecnicismo comparte con el teoricismo la trivializacin de la
actividad de resolucin de problemas. El tecnicismo parte de ciertas
tcnicas algortmicas y plantea solamente aquellos ejercicios que
sirven como entrenamiento para llegar a dominarlas; de esta forma
excluye de su repertorio de tcnicas las estrategias de resolucin
complejas y no algortmicas. La trivializacin de los problemas no
proviene aqu de una descomposicin abusiva del proceso de resolucin
ni de adjudicar a la actividad de resolucin de problemas un papel
auxiliar sino, simplemente, de una fijacin tan fuerte en las
tcnicas elementales que impide tomar en consideracin problemas
matemticos no rutinarios.
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Los modelos docentes teoricistas y tecnicistas comparten una
concepcin psicologista ingenua del proceso didctico que tiene en el
conductismo su referente ms claro. En ambos casos se concibe el
proceso de enseanza como un proceso mecnico y trivial totalmente
controlable por el profesor: el teoricismo tiende a concebir al
alumno como una caja vaca que debe llenarse a lo largo de un
proceso gradual que parte de los conceptos lgicamente ms simples
hasta llegar, paso a paso, a los sistemas conceptuales ms
complejos; el tecnicismo, por su parte, considera al alumno como un
autmata que mejora el dominio de las tcnicas mediante la simple
repeticin que proporciona un entrenamiento concienzudo. Por todas
estas razones llamaremos clsicos a ambos modelos docentes en
contraposicin a los modernistas que describiremos ms adelante y que
interpretaremos como resultado de una doble influencia: por un lado
como reaccin a los modelo docentes clsicos y, por otra, como
consecuencia de un cambio radical en el modelo epistemolgico de las
matemticas dominante en la institucin. Para acabar de caracterizar
el papel que juega la actividad de resolucin de problemas en los
modelos docentes clsicos, hay que decir que uno de los defectos ms
graves que comparten es el de tratar los problemas matemticos como
si estuviesen aislados y descontextualizados. Esto significa, por
una parte, que los problemas se tratan individualmente y nunca como
representantes de ciertas clases de problemas (excepto el caso
trivial de las clases algortmicas del tecnicismo) y, por otra, que
se tiende a presentar los problemas separados de su contexto, sin
ninguna conexin con el sistema (matemtico o extramatemtico) a
partir del cual surgen en el seno de una actividad matemtica
(excepto la contextualizacin trivial que se da en el teoricismo
cuando se utiliza un ejercicio para introducir o para aplicar un
concepto). El aislamiento y la descontextualizacin de los problemas
sern analizados con ms detalle en lo que sigue. 3. Modelos
epistemolgicos cuasi-empricos
El fracaso del Programa Eucldeo llev a la conviccin progresiva
de que tanto el origen como el mtodo de la matemtica e incluso su
propia justificacin ha de provenir, como en el caso de las otras
ciencias, de la experiencia, aunque sin tomar esta nocin en el
sentido empirista ms elemental, sino ms bien en un sentido ms
sofisticado de experiencia matemtica (en este sentido pueden darse
referencias de Russell y Quine, entre otros). Se constat, en
efecto, que la matemtica considerada globalmente, al igual que las
dems ciencias, estaba organizada en sistemas deductivos no
euclideanos puesto que en los sistemas matemticos efectivamente
construidos no se da una inyeccin de verdad indudable en los
axiomas para que esta verdad fluya por los canales de las
inferencias seguras e inunde todo el sistema. Por contra, cuando
analizamos las teoras matemticas efectivamente construidas, nos
encontramos con sistemas deductivos en los que la inyeccin crucial
del valor de verdad, esto es, aquellas proposiciones matemticas que
son indudablemente verdaderas y que constituyen la autntica roca
firme sobre la que se construye el sistema deductivo no son los
axiomas sino un conjunto especial de teoremas que Lakatos (1978a)
denomina enunciados bsicos. Esto significa que lo que justifica una
teora matemtica no es que los axiomas sean indudablemente
verdaderos ni siquiera que sean no contradictorios entre s, sino
que permita deducir efectivamente algunos resultados esenciales que
queremos que sean deducibles. Para convencerse de esta afirmacin
basta imaginar qu justificacin matemtica tendra una teora puramente
tautolgica o una geometra lgicamente impecable que no permitiese
deducir el teorema de Pitgoras.
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Este descubrimiento provoc un giro revolucionario en la
epistemologa de las matemticas puesto que comport el abandono del
ideal eucldeo que haba sido perseguido a lo largo de ms de dos mil
aos de historia de las matemticas, y la consiguiente aceptacin de
que las matemticas no constituyen una teora eucldea (en el sentido
de conjunto de proposiciones que se deducen de axiomas trivialmente
verdaderos y que estn formulados con trminos perfectamente
conocidos). Histricamente el punto de inflexin de la epistemologa
de las matemticas tuvo lugar a partir de la dcada de los setenta
gracias, especialmente, a los trabajos de Imre Lakatos. Para las
denominadas ciencias experimentales el cambio se produjo antes (en
la dcada de los cincuenta) y consisti esencialmente en el abandono
del ideal inductivista gracias a la influencia de la obra
precursora de Popper (1934 y 1972) y a los historiadores de la
ciencia (a la vez que epistemlogos) Kuhn (1957 y 1962), Lakatos
(1971, 1976, 1978a y 1978b), Feyerabend (1970), y Toulmin (1972),
entre otros9. Lakatos (1978a, pp. 47 y ss.) caracteriza las teoras
cuasi-empricas, en contraposicin a las teoras eucldeas, como sigue:
si llamamos enunciados bsicos a los enunciados de un sistema
deductivo a los que se inyecta inicialmente valores de verdad,
entonces un sistema es eucldeo si es la clausura deductiva de los
enunciados bsicos que se asumen como verdaderos. En caso contrario,
es un sistema cuasi-emprico. De una teora eucldea puede afirmarse
que es verdadera en el sentido de que est probada por los
enunciados bsicos verdaderos que son los axiomas. Por contra, de
una teora cuasi-emprica puede decirse, a lo sumo, que est bien
corroborada pero sin dejar nunca de ser conjetural; de hecho en una
teora cuasi-emprica los enunciados bsicos verdaderos (que no son
los axiomas) son simplemente explicados por el resto del sistema en
el sentido de que forman un todo coherente y no contradictorio. Las
teoras matemticas en periodo de desarrollo (y todas las teoras
pasan por dicho periodo) son informales y es en esta etapa de
teoras informales en las que se plantean los problemas ms
interesantes tanto desde el punto de vista histrico como
epistemolgico (se trata de los problemas que provienen de la
exploracin de las regiones fronterizas de los conceptos, del
cuestionamiento de la extensin de los mismos y de la diferenciacin
de conceptos anteriormente amalgamados). Por esta razn el estudio
de la naturaleza del conocimiento matemtico pasa forzosamente por
el estudio del desarrollo de las teoras matemticas informales (esto
es, antes de ser formalizadas). Utilizando la nocin de teora
matemtica informal podemos decir que el hecho de que la matemtica
sea cuasi-emprica significa que toda teora matemtica
axiomtico-formal debe ser considerada como la formalizacin de
alguna teora matemtica informal por lo que se acepta la posibilidad
de que existan falsadores heursticos de una teora matemtica formal.
Esta propiedad es la que justificara el nombre de teora
cuasi-emprica que, por tanto, no hace ninguna referencia a ningn
tipo de empirismo entendido en el sentido usual. Por contra, para
el euclideanismo una teora matemtica formal define implcitamente su
objeto y, por tanto, los nicos falsadores matemticos potenciales
son los falsadores lgicos. Esta reduccin de los falsadores
potenciales conlleva la identificacin de la verdad con la
consistencia. El modelo cuasi-emprico provoca la destrivializacin
del conocimiento matemtico al enfatizar el papel esencial del
proceso de descubrimiento y pone de manifiesto (en contraposicin al
modelo eucldeo) que el anlisis de dicho conocimiento no puede
reducirse al estudio de la justificacin de las teoras
matemticas.
9 En Gascn (1993, pp. 297-299) se describe con cierto detalle lo
que llamamos la primera ampliacin de la epistemologa clsica para
las ciencias experimentales. Dicha ampliacin tuvo su origen en el
derrumbe del empirismo clsico y es una consecuencia de la crtica de
Popper al empirismo lgico de Carnap.
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10
Se produce en este punto un cambio importante en la forma de
plantear el problema epistemolgico: mientras que el euclideanismo
el problema epistemolgico era esencialmente un problema lgico: la
justificacin lgica de las teoras matemticas; la epistemologa
cuasi-emprica plantea y pretende resolver un problema ms amplio y
de naturaleza no estrictamente lgica: el problema del desarrollo
del conocimiento matemtico. Tenemos aqu por tanto una importante
reformulacin del problema epistemolgico que ahora se plantea en los
siguientes trminos:
PE2 (Modelos cuasi-empricos): Cul es la lgica del desarrollo del
conocimiento matemtico? Cmo se establece si una teora T es superior
a otra teora T?
Desde esta nueva perspectiva, el punto central que distingue las
teoras cuasi-empricas de las eucldeas radica en la forma
esencialmente distinta de concebir el desarrollo de una teora
matemtica: (i) El desarrollo de una teora eucldea se reduce
prcticamente a la bsqueda de un mtodo de decisin para la elaboracin
de teoremas, esto es, un mtodo de algoritmizacin. Naturalmente
antes tienen lugar otras etapas: una primera precientfica, ingenua,
de ensayo y error, y una segunda de carcter fundacional en la que
se reorganiza la disciplina y se limpia de los bordes oscuros. (ii)
Pero ese patrn no da cuenta del desarrollo real de las matemticas,
esa no es la lgica del descubrimiento matemtico. Para Lakatos las
matemticas (informales) se desarrollan siguiendo un patrn muy
distinto, el patrn de las teoras cuasi-empricas, que es el patrn de
las conjeturas, pruebas y refutaciones (Lakatos, 1976). Es un patrn
en el que siempre se parte de un problema y donde la atencin se
centra siempre en los bordes oscuros de la teora en formacin. Lo
esencial son aqu los procedimientos (no algortmicos): conjeturar,
probar tentativamente, contrastar, refutar, buscar contra-ejemplos,
modificar un poco el problema original, cambiar las definiciones,
etc. Desde este punto de vista, se destrivializa el contenido de la
matemtica, porque no es tautolgico pero, sobre todo, se
destrivializa la actividad matemtica porque es heurstica en el
sentido de no algortmica. 4. Recuperacin de la actividad
matemtica
En este punto debemos detener de nuevo la narracin de la
evolucin del problema epistemolgico para analizar las consecuencias
de los modelos cuasi-empricos sobre los modelos docentes
imperantes, esto es, sobre las nuevas maneras de gestionar de forma
compartida y sistemtica la enseanza de las matemticas en el seno de
las instituciones didcticas. Para ello necesitamos cambiar otra vez
de escenario. Antes de analizar los detalles, puede decirse que
cuando este nuevo modelo epistemolgico penetra en el Sistema de
Enseanza de las Matemticas provoca una tendencia a identificar el
saber matemtico con la actividad matemtica exploratoria
caracterstica del desarrollo de las teoras matemticas informales.
Esta ser, por tanto, la principal influencia general de los modelos
epistemolgicos cuasi-empricos (de las matemticas) sobre los nuevos
modelos docentes: modernismo y procedimentalismo. No hay que
olvidar, sin embargo, que esta influencia no acta aisladamente;
entre otras, hay que subrayar la gran presin que ejercen sobre los
nuevos modelos docentes los antiguos modelos docentes. Esta presin
puede ser tanto en sentido positivo, de mantenimiento de una
tradicin, como en sentido negativo, de reaccin en contra de un tipo
de prcticas docentes que se consideran arcaicas y que, por tanto,
deben ser renovadas.
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11
4.1. Aprender mediante una exploracin libre y creativa: el
modernismo
Las formas extremas de los modelos docentes clsicos presentan
incoherencias y limitaciones evidentes en la gestin del proceso de
estudio de las matemticas. En particular, la asuncin acrtica -y
normalmente implcita- de los postulados docentes clsicos choca
frontalmente con la abrumadora cantidad de datos empricos que ponen
de manifiesto que el proceso de estudio de las matemticas es un
proceso no trivial, no mecnico e incontrolable por el profesor.
Especialmente inadecuada es la forma como los citados modelos
docentes clsicos se ven llevados a considerar la actividad de
resolucin de problemas dentro del proceso didctico. As, por
ejemplo, el engao que consiste en motivar y justificar la
introduccin de nuevos conceptos mediante problemas que estn
destinados a desaparecer de la escena, la trivializacin de los
problemas, la excesiva algoritmizacin de los conocimientos
evaluables y, en definitiva, el fracaso absoluto de los alumnos
cuando se enfrentan con problemas matemticos no estandarizados,
pueden provocar una situacin insostenible en las instituciones en
las que predominan dichas prcticas docentes. Esta situacin puede
llevar a la necesidad de rescatar la actividad de resolucin de
problemas en s misma, escandalosamente ignorada en los modelos
docentes clsicos, y a tomarla como eje y finalidad de la actividad
matemtica y, por tanto, de todo el proceso didctico. Denominaremos
modelos docentes modernistas o, simplemente modernismo, a esta
forma de considerar el proceso didctico que surge inicialmente como
reaccin a las evidentes limitaciones de los modelos clsicos. En las
instituciones en las que predomina el modernismo se tiende a
identificar la actividad matemtica con la exploracin de problemas
no triviales, es decir con las tareas que se realizan cuando todava
no se sabe gran cosa de la solucin; entonces se tantean algunas
tcnicas, se intenta aplicar ste o aquel resultado, se buscan
problemas semejantes, se formulan conjeturas, se buscan
contraejemplos, se intenta cambiar ligeramente el enunciado del
problema original, etc. En otras palabras, el modernismo (del que
hemos tenido, y todava tenemos, mltiples muestras) se caracteriza
por conceder una preeminencia absoluta al momento exploratorio
(Chevallard, Bosch y Gascn, 1997); esto significa que identifica
ensear y aprender matemticas con ensear y aprender esta actividad
exploratoria, libre y creativa, de problemas no triviales. La
anterior caraterizacin del modernismo pone de manifiesto su clara
dependencia de un modelo epistemolgico cuasi-emprico de las
matemticas y enfatiza hasta qu punto los cambios en los modelos
docentes, que implican cambios importantes en la forma de gestionar
la enseanza de las matemticas, en los objetivos que sta persigue y
que pueden comportar un giro radical en la prctica docente del
profesor de matemticas en el aula, pueden estar (parcialmente)
explicados por un cambio de modelo epistemolgico general del saber
matemtico predominante en la institucin. As, el modernismo
reacciona contra la visin simplista de la enseanza considerada como
un proceso trivial, mecnico y totalmente controlable por el
profesor. Traslada el centro de gravedad del proceso didctico al
aprendizaje y considera que dicho proceso de aprendizaje es un
proceso de descubrimiento inductivo y autnomo. El adjetivo no
trivial con el que se quiere caracterizar a los autnticos
problemas, pretende rescatar el sentido original de la nocin de
problema trivializada por los modelos docentes clsicos contra los
cuales el modernismo es una reaccin. Una definicin muy precisa de
lo que se entiende dentro del modernismo por exploracin de
problemas no triviales se puede encontrar, por ejemplo, en Arsac
(1988) cuando define problema abierto y describe la prctica del
problema abierto.
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Se trata de problemas en cuyos enunciados no se sugiere el
procedimiento de resolucin (prohbe explcitamente descomponer el
problema en ejercicios) y que se encuentran en un dominio
conceptual con el que los alumnos tienen cierta familiaridad. As
pueden tomar fcilmente posesin de la situacin y empezar a hacer
ensayos, proponer conjeturas, llevar a cabo proyectos de resolucin
y contraejemplos, que constituyen tareas tpicas de la actividad
exploratoria de resolucin de problemas. Una forma complementaria de
conceptualizar los problemas no triviales es mediante la nocin de
problemas tipo olimpiadas. Callejo (1991) caracteriza este tipo de
problemas como sigue: (a) Para resolverlos se debe utilizar una
combinacin original de tcnicas; (b) Inicialmente no se sabe como
atacarlos por lo que es habitual tener que trabajar sobre ellos
durante largo tiempo; (c) Aunque las tcnicas y los conocimientos
necesarios para resolver los problemas olmpicos suelen figurar en
los libros de texto y en los programas de estudio, no es habitual
encontrar problemas semejantes en los manuales; (d) Se trata de
problemas que aceptan varias estrategias de resolucin, aunque
algunas de ellas son muy originales. Incluso suelen ser resolubles
en ms de un dominio matemtico. Algunos ejemplos de problemas
olmpicos son los siguientes:
(1) Para cada punto P interior a un tringulo equiltero, se
consideran las distancias x, y, z del punto P a los lados del
tringulo. Demostrar que la suma x + y + z es constante para cada
tringulo equiltero. (2) Se considera el conjunto Sn = {1, 2, 3, 4,
5, ... , n}. Para qu enteros n se puede dividir Sn en dos conjuntos
disjuntos cuyos elementos sumen lo mismo? (3) Tres circunferencias
del mismo radio pasan por un punto P. Demostrar que los tres puntos
de interseccin de cada dos circunferencias determinan una cuarta
circunferencia del mismo radio que las tres primeras.
La dispersin de los contenidos de estos problemas no se debe a
que hayamos tomado ejemplos al azar, es una condicin perseguida
explcitamente por el modernismo para evitar que los problemas
aparezcan demasiado ligados a una teora determinada o a un conjunto
concreto de tcnicas; en el modernismo es esencial que la exploracin
sea realmente libre -tambin de las teoras y de las tcnicas
matemticas- para que sea ms creativa, en el sentido cultural de no
repetitiva, sorprendente y original. Con riesgo de simplificar
abusivamente podra decirse que, aunque el modernismo pretende
superar al conductismo clsico, coloca en su lugar una especie de
activismo que no deja de constituir otra modalidad de psicologismo
ingenuo fundamentada, en este caso, en una interpretacin muy
superficial de la psicologa gentica de Piaget. Por lo que respecta
al aislamiento y la descontextualizacin de los problemas, que ya
era preocupante en los modelos docentes clsicos, podemos decir que
no hacen ms que agravarse en el modernismo. Tenemos, en resumen,
que teoricismo, tecnicismo y modernismo constituyen modelos
docentes extremadamente reduccionistas. Cada uno de ellos enfatiza
una nica dimensin de la actividad matemtica, ignorando los
restantes. Al desconocer las relaciones funcionales entre dichas
dimensiones, no pueden integrarlos en un nico proceso en el que se
relacionen y complementen (Gascn, 1994). 4.2. Aprender a utilizar
una directriz heurstica: el procedimentalismo
La destrivializacin del conocimiento matemtico llevada a cabo
por el modernismo es artificial porque se fundamenta en una
ocultacin del entorno matemtico (clases de problemas y tcnicas
matemticas necesarias para resolverlos) en el que viven los
problemas. Esta ocultacin se realiza, eso s, con la (buena?)
intencin de asegurar que
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la exploracin sea libre (sobre todo de las tcnicas matemticas
potencialmente tiles, para que stas no disminuyan los grados de
libertad del explorador) y creativa en el sentido cultural de
sorprendente y no rutinaria, antes citado. Pero existe una forma ms
acorde con la actividad matemtica de destrivializar el uso de las
tcnicas matemticas: pasa por enfatizar que el conocimiento e
incluso el dominio de ciertas tcnicas bsicas no implica, en
absoluto, la posibilidad de elaborar autnomamente estrategias
heursticas complejas de resolucin de problemas. De hecho, ni el
modernismo ni ninguno de los modelos docentes clsicos se plantean
el difcil problema de cmo guiar al alumno en la eleccin de la
tcnica adecuada, cmo crear las condiciones que le permitan
construir una estrategia de resolucin de un problema mediante una
combinacin adecuada de tcnicas, o cmo hacer posible el desarrollo
interno de una tcnica en manos de los alumnos. Llamaremos modelos
docentes procedimentalistas o, mejor, procedimentalismo, al que
sita como principal objetivo del proceso didctico el dominio de
sistemas estructurados de tcnicas heursticas (en el sentido de no
algortmicas). Mientras la destrivializacin del conocimiento
matemtico llevada a cabo por el modernismo se basaba en la
dificultad de descubrir la estrategia matemtica adecuada para
abordar un problema, dentro de un universo de problemas
potencialmente infinito, el procedimentalismo empieza acotando un
campo de problemas y pone el nfasis en la dificultad de elaborar y
de interiorizar una estrategia de resolucin compleja til para
abordar los problemas de dicho campo. El procedimentalismo puede
ser interpretado como la completacin del tecnicismo en cuanto que
reaccin al teoricismo: en el procedimentalismo tambin se pone entre
parntesis la teora, enfatizando el trabajo de la tcnica mucho ms
all de las tcnicas simples. Adems, el procedimentalismo completa y
mejora la destrivializacin del conocimiento matemtico iniciada por
el modernismo. Por todo ello podemos considerar que el
procedimentalismo es un modelo docente de segundo orden, puesto que
relaciona funcionalmente dos dimensiones (o momentos) de la
actividad matemtica: el momento exploratorio y el momento del
trabajo de la tcnica (Chevallard, Bosch y Gascn, 1997). En el
procedimentalismo no se pretende analizar el papel que juegan las
teoras matemticas cristalizadas en el aprendizaje de las matemticas
ni, en particular, su relacin con la actividad de resolucin de
problemas. Se parte de un alumno hipottico (Gascn, 1989) que, se
supone, ha adquirido los conocimientos necesarios y domina las
tcnicas bsicas para abordar los problemas de una cierta clase. En
estas condiciones el procedimentalismo se centra en el problema
didctico de posibilitar el diseo, la utilizacin y el dominio de
estrategias complejas de resolucin de problemas. Su principal
limitacin consiste en que trata nicamente con clases prefijadas de
problemas como consecuencia del olvido del momento terico. Por
tanto, el procedimentalismo no puede tomar en consideracin el
desarrollo de las tcnicas en manos del alumno ni la correspondiente
ampliacin de las clases de problemas exploradas. En aquellas
instituciones didcticas en las que predomina el procedimentalismo,
la resolucin de problemas se utiliza como una estrategia didctica
encaminada a que el alumno llegue a dominar sistemas estructurados
de procedimientos matemticas que pueden cristalizar, o no, en un
patrn de resolucin en el sentido de Polya (1945, 1954 y 1962-65).
Este punto de vista comporta necesariamente trabajar con clases de
problemas (nocin dual, aunque relativamente secundaria, de la de
patrn de resolucin) y pone de relieve una cuestin central: cmo
determinar la amplitud ms adecuada en cada caso de la clase de
problemas que se tomar como base para ensear un patrn de
resolucin?
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Si se quieren ensear, por ejemplo, tcnicas de resolucin de
problemas de contar, qu clase de problemas es la ms adecuada?, la
clase de los problemas de variaciones?, la de problemas de contar
simples (que la incluye) o, incluso, la de todos los problemas de
contar descomponibles en una cadena de problemas simples? Cmo se
relacionan entre s las correspondientes tcnicas de resolucin?
(Gascn, 1989, pp. 59-65).
En resumen, si nos fijamos ahora en los tipos de problemas
tomados en consideracin en cada uno de los modelos docentes
descritos hasta aqu, el procedimentalismo puede interpretarse, por
una parte, como una completacin del tecnicismo que slo toma en
consideracin clases algortmicas de problemas, excesivamente
cerradas y, por otra, como una reaccin al modernismo que parece no
querer poner ningn lmite al universo de problemas potencialmente
utilizables, en una exploracin descontrolada que, en la prctica, es
equivalente a considerar cada problema absolutamente aislado de los
otros. Podemos decir, por tanto, que con el procedimentalismo se
rompe definitivamente el aislamiento tradicional de los problemas;
tanto el aislamiento clsico que encerraba los problemas en clases
algortmicas independientes, como el aislamiento modernista que
prohbia agrupar los problemas en clases (con sus tcnicas matemticas
asociadas) para asegurar que la exploracin fuese libre y creativa
(Gascn, 1994). 5. Epistemologa constructivista: el desarrollo
psicogentico como nueva base emprica de la epistemologa
Empezaremos resumiendo brevemente las dos primeras etapas de la
reconstruccin racional que estamos haciendo de la evolucin de la
epistemologa de las matemticas que, no hay que olvidarlo, slo puede
entenderse en el marco de la epistemologa de las ciencias en la que
est inmersa. En la primera etapa -el euclideanismo- tenamos una
epistemologa sin ninguna base emprica que asuma, a priori, el ideal
de la trivializacin del conocimiento matemtico as como la
irrelevancia del proceso de descubrimiento para justificar la
validez de las teoras matemticas. En este sentido podemos
considerar la epistemologa eucldea como una parte de la filosofa.10
En la segunda etapa (la de los modelos cuasi-empricos) se toman los
datos que proporciona la historia de la ciencia (y, en particular,
la historia de las matemticas) como la base emprica de la
epistemologa. Sin embargo, y a pesar de coincidir en este punto, se
produce una gran dispersin (que llega a ser abierta discrepancia)
entre los diversos autores citados (Popper, Lakatos, Kuhn,
Feyerabend, Toulmin) cuando intentan describir los mecanismos del
desarrollo del conocimiento cientfico. Una primera conjetura para
explicar esta falta de acuerdo es la insuficiencia de los datos
histricos (de la historia de las ciencia) como base emprica de la
epistemologa. Esta presunta insuficiencia es, precisamente, uno de
los puntos de partida de la epistemologa constructivista de Piaget
(1972 y 1975), que culmina en Piaget y Garca (1982). De hecho, la
discrepancia es tan profunda que ni tan slo hay acuerdo respecto a
la posibilidad o imposibilidad de interpretar racionalmente el
desarrollo de la ciencia. No todos los autores que toman la
historia de la ciencia como base emprica de la epistemologa
encuentran algn tipo de racionalidad en el desarrollo del
conocimiento cientfico. De entre los citados, tan slo Popper y
Lakatos distinguen claramente entre ciencia y pseudo-ciencia y se
atreven a formular normas metodolgicas para establecer la
10 No debera ser necesario aclarar que esta consideracin de la
epistemologa euclidea como una parte de la filosofa, no tiene
ninguna connotacin peyorativa.
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aceptabilidad o el rechazo de una teora (Popper, 1934) o a dar
criterios para decidir la superioridad de un programa de
investigacin sobre otro (Lakatos, 1978b). Para Piaget y Garca
(1982, p. 243) nunca hasta aqu se trat el verdadero problema
epistemolgico que, segn ellos debera formularse como sigue:
PE3 (Constructivismo): En qu consiste el paso de una teora T de
nivel inferior, a otra teora T, de nivel superior? Cules son los
mecanismos del desarrollo del conocimiento cientfico (y, en
particular, matemtico)?
Se trata, en realidad, de un problema distinto del planteado por
Lakatos que se refera a cmo se establece si T es superior o no es
superior a T?, pero no deja de ser una nueva (re)formulacin del
problema epistemolgico en clara continuidad con las anteriores.
Simbolizaremos mediante PE3 esta reformulacin constructivista del
problema epistemolgico. La tesis central de la epistemologa
constructivista podra formularse como sigue: para abordar el
problema epistemolgico es imprescindible utilizar como base
emprica, al lado de los hechos que proporciona la historia de la
ciencia, los que proporciona el estudio del desarrollo
psicogentico. La razn de ello reside en que los hechos histricos
slo pueden mostrarnos la realidad factual del desarrollo cientfico
y las diversas formas que toma dicho conocimiento en cada periodo
histrico; pero para conocer los instrumentos y mecanismos del
desarrollo cientfico (y abordar as el verdadero problema
epistemolgico) es preciso recurrir a los datos empricos de la
psicognesis. La tesis anterior descansa, naturalmente, sobre el
postulado de que los instrumentos y mecanismos que determinan el
paso de un periodo (de la historia de la ciencia) al siguiente son
anlogos a los que determinan el paso de un estadio psicogentico al
estadio siguiente. En qu consisten estos instrumentos y mecanismos
del desarrollo, presuntamente comunes a la historia de la ciencia y
a la psicognesis? En el caso de las matemticas, que es el que nos
interesa aqu, podramos citar dos instrumentos de construccin de
conocimientos matemticos que segn Piaget y Garca aparecen tanto en
la historia de las matemticas como en la psicognesis de los
conocimientos matemticos (cuya fuente comn son los procesos de
asimilacin y acomodacin): dichos instrumentos son la abstraccin
reflexiva y la generalizacin completiva. La abstraccin reflexiva
extrae sus informaciones a partir de las acciones y operaciones del
sujeto (y no de los objetos mismos como es el caso de la abstraccin
emprica). Este instrumento tambin podra denominarse tematizacin
reflexiva porque consiste en la conceptualizacin exhaustiva de las
entidades matemticas construidas progresivamente, y esto an antes
de que stas se plasmen en axiomatizaciones. Un ejemplo muy
caracterstico de estas construcciones y tematizaciones sucesivas
nos lo da el desarrollo de la actividad matemtica que ha
desembocado en la teora de grupos: (a) Los primeros grupos, debidos
a Galois, fueron referidos a permutaciones, centrndose la atencin
en el estudio de stas. (b) Con F. Klein y los grupos de
transformaciones geomtricas, se pone el nfasis en el estudio de los
invariantes, esto es, en la estructura concreta e implcita de
grupo. (c) Se elabora por fin la nocin de grupo abstracto que tiene
como base un conjunto cualquiera, pasando a ser la propia
estructura explcita de grupo (tematizada) el objeto de estudio. La
generalizacin completiva constituye una sntesis nueva en el seno de
la cual las leyes particulares antiguas adquieren nuevas
significaciones. As decimos que hay generalizacin completiva cuando
una estructura, conservando sus caracteres
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esenciales se ve enriquecida por nuevos subsistemas que se
agregan sin modificar los precedentes. Por ejemplo la incorporacin
de las lgebras no conmutativas que completan a las conmutativas.
Esta descripcin de los instrumentos de construccin del conocimiento
matemtico proporciona una nueva interpretacin sobre la naturaleza
de los objetos matemticos como extrados de las acciones u
operaciones del sujeto en lugar de ser entidades lgicas,
lingsticas, ideales o cuasi-empricas. Decir que los objetos
matemticos son construidos por las acciones del sujeto no es
metafrico, significa: (a) Que las acciones del sujeto nunca son
aisladas, estn coordinadas con otras acciones. (b) Que de estas
coordinaciones se extraen formas que pueden desprenderse de sus
contenidos. (c) Y que estas formas se coordinan a su vez para dar
nacimiento, por reflexin, a las operaciones fundamentales que
constituyen el punto de partida de las estructuras lgico
-algebraicas (Piaget y Garca, op. cit. p. 248). En cuanto a los
mecanismos de desarrollo comunes a la historia de las matemticas y
a la psicognesis hay que subrayar un proceso de naturaleza
completamente general que conduce de lo intra-objetal (o anlisis de
los objetos), a lo inter-objetal (o estudio de las relaciones y
transformaciones entre dichos objetos) y de all a lo trans-objetal
(o estudio de las estructuras construidas tomando como soporte
dichas transformaciones). Se trata de una triada dialctica que se
reencuentra en todos los dominios y en todos los niveles tanto de
la historia de las matemticas como de la psicognesis del
pensamiento matemtico (Piaget y Garcia, op. cit. p. 33). As, por
ejemplo, el desarrollo histrico de la geometra se inicia con el
estudio de las relaciones internas entre los elementos de las
figuras, sin tomar en consideracin el espacio como tal ni las
transformaciones de las figuras en el interior de un espacio: es la
etapa intra-figural. Es una larga etapa dominada por la geometra
eucldea clsica. Viene a continuacin una etapa en la que se estudian
las relaciones entre las diversas figuras geomtricas y, en
especial, el estudio de las transformaciones que relacionan unas
figuras con otras. Histricamente corresponde al periodo en el que
predomina la geometra proyectiva (Poncelet y Chasles). Constituye
la etapa inter-figural. Por fin tenemos una tercera etapa llamada
trans-figural caracterizada por el predominio de las estructuras
geomtricas; esto es el estudio y clasificacin de las geometras que,
histricamente, coincide con el Programa de Erlangen de Flix Klein.
El desarrollo histrico del lgebra considerada globalmente
constituye otro ejemplo del mecanismo general del desarrollo
intra-, inter-, trans-, aunque ste es un caso mucho ms complejo que
el de la geometra. Cuando el lgebra se constituy como disciplina su
tema central de estudio era la resolucin de ecuaciones. Durante el
primer periodo se trata de la resolucin de ecuaciones especficas
mediante mtodos empricos; estamos en una etapa intra-operacional.
En una segunda etapa, que histricamente comienza en el siglo XVIII,
el objeto central del estudio del lgebra pasan a ser las
transformaciones que pueden convertir una ecuacin no resoluble en
otra resoluble estudindose, por lo tanto, los propios criterios de
resolubilidad. Estamos as en una etapa inter-operacional que
histricamente estuvo muy influenciado por la obra de Lagrange y
Gauss. Con Galois y el desarrollo de la teora de grupos, que es la
primera estructura tematizada en matemticas, culmina la historia de
la resolucin de ecuaciones y comienza el predominio del anlisis de
estructuras algebraicas. Es el punto de partida de un largo y muy
complejo periodo trans-operacional (Piaget y Garca, op. cit.pp.
156-157). Faltara, para acabar de resolver el problema
epistemolgico tal como lo plantean Piaget y Garca, dar cuenta de
los principios motores de tales construcciones cuyos instrumentos y
cuyos mecanismos de desarrollo se han descrito. El ms importante de
dichos
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17
principios es la bsqueda de razones que incluye pero va ms alla
que la mera descripcin de fenmenos. As, las razones de las
propiedades de los objetos que se descubren en el periodo intra- se
encuentran precisamente en las transformaciones de dichos objetos
que son caractersticas del nivel inter-. A su vez, las propiedades
de las transformaciones son explicadas por las estructuras globales
propias de la etapa trans-. Tanto el matemtico como el nio que ha
llegado a cierto nivel, no se contentan jams con comprobar o
descubrir. En cada etapa buscan llegar a las razones de aquello que
han encontrado (Piaget y Garca, op. cit. p. 159). En resumen, la
epistemologa constructivista pretende explicar el desarrollo del
conocimiento matemtico mediante nociones anlogas a las utilizadas
para describir el desarrollo psicogentico. En particular tiende a
identificar el saber matemtico con la actividad
histrico-psicogentica de construccin de estructuras matemticas cada
vez ms complejas mediante un proceso que usa como instrumento la
tematizacin reflexiva que desemboca en la generalizacin completiva,
y cuyo mecanismo principal de desarrollo viene marcado por la
sucesin de etapas intra-, inter- y trans-, presentes en todos los
dominios y en todos los niveles. 6. El aprendizaje de las
matemticas como construccin de conocimientos
Detengmonos de nuevo en la narracin de la evolucin del problema
epistemolgico para analizar algunas consecuencias de la incidencia
de la epistemologa constructivista sobre los modelos docentes
imperantes en el Sistema de Enseanza de las Matemticas. Cambiamos
otra vez de escenario y nos volvemos a sumergir en el mbito
tradicionalmente reservado a la didctica. Analizaremos dos nuevos
modelos docentes que, por depender de la epistemologa
constructivista, denominaremos respectivamente constructivismo
psicolgico y constructivismo matemtico. Mostraremos que ambos
relacionan -aunque sea parcialmente- el momento exploratorio, esto
es, la dimensin exploratoria de la actividad matemtica, con el
momento tecnolgico-terico, es decir, aquel momento de la actividad
matemtica en el que se elaboran justificaciones e interpretaciones
de la prctica matemtica. Al mismo tiempo, esa dependencia
condiciona un cierto olvido del momento del trabajo de la tcnica,
esto es, del trabajo tcnico que empieza siendo rutinario, pero que
a medida que se desarrolla juega un papel ms y ms importante como
integrador de las otras dimensiones de la actividad matemtica
(Chevallard, Bosch y Gascn, 1997). Repitamos una vez ms que los
modelos docentes11 que estamos describiendo no existen en estado
puro. Las prcticas docentes efectivamente existentes en las
instituciones didcticas participan en mayor o menor medida de los
diversos modelos docentes descritos, por lo que siempre tienen un
carcter mixto y complejo.
11 La propia nocin de modelo docente tal como la estamos
utilizando, esto es, como conjunto de prcticas docentes compartidas
que permiten organizar y gestionar el proceso de enseanza de las
matemticas en una institucin determinada, es voluntaria e
inevitablemente ambgua. No deberamos olvidar, sin embargo, que la
nocin de modelo epistemolgico de las matemticas tal como ha sido
utilizada aqu, y tal como se utiliza habitualmente, no es mucho ms
precisa. En la seccin 7 apuntaremos la necesidad de avanzar en la
descripcin de los componentes bsicos de ambos tipos de modelos
entendidos como sistemas de prcticas (matemticas o docentes) y
postularemos para ambos una estructura comn, la descrita por las
praxeologas (Chevallard, 1997 y 1999).
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6.1. Gnesis cognitiva de conocimientos: constructivismo
psicolgico
Incluiremos dentro de los modelos docentes constructivistas
todas aquellas maneras de interpretar el proceso de
enseanza-aprendizaje que identifican ensear matemticas con
posibilitar que los estudiantes construyan los conocimientos
matemticos. Cuando no se hace ninguna referencia explcita a la
naturaleza matemtica de la propia actividad de construccin ni al
contexto en el que se realiza dicha construccin y cuando, adems, no
se para mucha atencin a la naturaleza del proceso de construccin
porque, implcitamente, y en concordancia con los postulados de la
epistemologa constructivista, se supone que se trata de un proceso
psicolgico y no de una actividad con relevancia matemtica en s
misma, entonces diremos que el modelo docente en cuestin es el
constructivismo psicolgico. En particular, dentro de esta forma de
constructivismo, se instrumentaliza la resolucin de problemas como
un simple medio para construir conocimientos nuevos. Hay que decir
que los modelos docentes influenciados por el modelo epistemolgico
constructivista son muchos y complejos. Existe una enorme variedad
de maneras diferentes de entender la construccin de los
conocimientos matemticos as como el papel que desempea la resolucin
de problemas en esa construccin. Aqu describiremos dos variantes
ideales extremas: empezaremos por la modalidad ms simplista de los
modelos docentes fundamentados en una epistemologa constructivista,
esto es, por la que postula implcitamente que la construccin de los
conocimientos matemticos se lleva a cabo mediante un proceso
puramente psicolgico. En la prxima seccin describiremos otra
modalidad de modelo docente constructivista que es ms sofisticada
porque toma en cuenta que el proceso de construccin de los
conocimientos matemticos es un proceso de modelizacin matemtica
explicitable, controlable y de gran inters en s mismo. Todos los
modelos docentes fuertemente influenciados por una epistemologa
constructivista suelen ir acompaados de una teora del aprendizaje
que puede resumirse en un pequeo conjunto de hiptesis tomadas
precisamente de la psicologa gentica y, en parte, de la psicologa
social que le proporcionan una base psicolgica mucho ms slida de la
que tenan el teoricismo, el tecnicismo y el modernismo. Para
simplificar, tomaremos la descripcin que hacen algunos autores de
lo que denominan una situacin problema (ver, por ejemplo, Douady,
1986). Esta caracterizacin nos servir para entender mejor el papel
que juega la actividad matemtica en general y la actividad de
resolucin de problemas en particular, dentro del constructivismo
psicolgico.
(i) El alumno debe poder introducirse en la resolucin del
problema y ha de poder considerar lo que es una solucin
posible.
(ii) Los conocimientos del alumno tienen que ser, en pricipio,
insuficientes para resolver el problema.
(iii) La situacin problema debe permitir al alumno decidir si
una solucin determinada es correcta o no.
(iv) El conocimiento que se desea que el alumno adquiera
(construya) tiene que ser la herramienta ms adecuada para resolver
el problema propuesto, al nivel de los conocimientos del alumno.
(En la construccin de este conocimiento radica el objetivo
fundamental de toda la actividad).
El avance fundamental del constructivismo psicolgico, respecto
de los modelos docentes unidimensionales, consiste en que relaciona
funcionalmente dos dimensiones diferentes de la actividad
matemtica: el momento exploratorio con el momento
tecnolgico-terico
-
19
(Chevallard, Bosch y Gascn, 1997), dando gran importancia al
papel de la actividad de resolucin de problemas aunque slo sea como
instrumento de la gnesis de los conceptos. Contina ignorando, sin
embargo, la funcin del trabajo de la tcnica en el aprendizaje de
las matemticas en general y en la resolucin de problemas en
particular. Dado que las situaciones-problema se eligen en funcin
del concepto o conocimiento que se quiere que el alumno construya,
resulta que el constructivismo psicolgico est ms cerca del
teoricismo que del tecnicismo aunque, como ya hemos dicho, se
sustenta en una base psicolgica ms slida (la psicologa gentica) y,
tambin, en un modelo epistemolgico (la epistemologa
constructivista) mucho ms elaborado que el euclidianismo que serva
de base a los modelos docentes clsicos. Lo anterior no impide que
el constructivismo psicolgico presente los problemas matemticos tan
aislados como el teoricismo y el tecnicismo y casi tanto como el
modernismo. Pero el sistema conceptual en el que el concepto a
construir ocupar su lugar, constituye un cierto contexto de la
situacin problema que se ha elegido como instrumento de construccin
de dicho concepto y permite decir que incluso en esta variante del
constructivismo, los problemas se presenten bastante ms
contextualizados que en los modelos docentes unidimensionales
descritos anteriormente. 6.2. Gnesis de conocimientos mediante
modelizacin: constructivismo matemtico
Si llamamos descontextualizacin de un problema de matemticas a
la separacin entre el problema propiamente dicho y el sistema
(matemtico o extramatemtico) a partir del cual el problema se
genera de una manera natural -en el seno de una determinada
actividad matemtica-, parece claro que en el teoricismo los
problemas estn ms descontextualizados que en el constructivismo
psicolgico. Llamaremos modelo docente modelizacionista o,
simplemente, modelizacionismo, al que interpreta aprender
matemticas como un proceso de construccin de conocimientos
matemticos (relativos a un sistema matemtico o extramatemtico) que
se lleva a cabo mediante la utilizacin de un modelo matemtico de
dicho sistema. De esta forma, casi por definicin, resulta que en el
modelizacionismo la descontextualizacin de los problemas desaparece
hasta el punto de llegar a identificarse el objetivo de la
resolucin de los problemas, con la obtencin de conocimientos sobre
el sistema modelizado. La actividad de resolucin de problemas se
engloba, por tanto, en una actividad ms amplia que podemos llamar
actividad de modelizacin matemtica y que esquematizaremos en cuatro
estadios, sin entrar en detalles ni querer prejuzgar una sucesin
temporal lineal entre ellos (Chevallard, 1989).
Primer estadio: El punto de partida o primer estadio de la
modelizacin matemtica lo constituye una situacin problemtica en la
que pueden formularse preguntas y conjeturas, normalmente con poca
precisin, y en la que se pueden llegar a detectar y formular
provisionalmente algunos problemas matemticos. Aunque
tradicionalmente se han considerado preferentemente sistemas
extramatemticos (principalmente fsicos) como candidatos a ser
modelizados matemticamente, no hay ninguna razn intrnseca para que
esto sea as. Desarrollaremos a continuacin un ejemplo de sistema
matemtico (se trata, en concreto, de un sistema aritmtico) cuya
modelizacin matemtica permite construir (o producir) conocimientos
matemticos relativos a dicho sistema.
-
20
Puede surgir una situacin problemtica delante del hecho
siguiente: algunos alumnos an aplicando una tcnica incorrecta para
sumar dos fracciones, obtienen el resultado correcto. As, por
ejemplo, escriben:
Esta situacin pone en evidencia un fenmeno aritmtico que es
problemtico puesto que provoca cuestiones cuya respuesta no es
inmediata: Porqu sucede esto? Debe haber alguna relacin especial
entre los numeradores? Y entre los denominadores? Deben ser
fracciones irreducibles? Qu relacin debe darse entre dos fracciones
para que puedan sumarse de esta extraa manera? Segundo estadio:
Engloba la definicin o delimitacin del sistema subyacente a la
situacin problemtica y la elaboracin del modelo matemtico
correspondiente. El disponer del lenguaje y de las tcnicas propias
del modelo matemtico, permitir formular con ms precisin los
problemas enunciados provisionalmente en el estadio anterior. Para
delimitar el sistema a modelizar se eligen las variables que
consideraremos relevantes para describir el fenmeno. En nuestro
caso tomaremos como variables del sistema los numeradores a, b y
los denominadores c, d de las fracciones. El modelo algebraico del
sistema viene dado entonces por la ecuacin diofntica:
en la que todas las variables pueden jugar indistintamente el
papel de datos o de incgnitas. Este modelo general permite formular
con precisin diferentes problemas matemticos:
(i) Dados los numeradores a y b, cmo estn relacionados los
denominadores de las fracciones cuya suma correcta se obtiene
mediante la regla falsa? (ii) Dada una fraccin a/c, cmo construir
todas las fracciones que pueden sumarse con ella mediante la regla
en cuestin? (iii) Dados los denominadores c y d, cmo estn
relacionados los numeradores de dichas fracciones para que se
puedan sumar mediante la regla falsa?
Tercer estadio: Incluye, adems del trabajo tcnico dentro del
modelo, la interpretacin de este trabajo y de sus resultados dentro
del sistema modelizado.
Para el primer problema, suponiendo que los numeradores a y b
son dados, no nulos y primos entre s, se obtiene una ecuacin
diofntica que tiene como solucin particular trivial (se obtiene
para z = 0) c = d = 1, y cuya solucin general viene dada por:
)64(5123
)64(511310
6413
5110
-=
-+
=-
+
babcad +=+
)(11
Z-
++
zzb
bza
a
-
21
Para el segundo problema, dada la fraccin a/c se obtiene una
solucin particular b/d = 0/1 y, suponiendo que a y 1 c son primos
entre s, se obtiene la solucin general:
Por fin, si conocemos los denominadores c y d, tenemos la
solucin particular (para z = 0) a = b = 0 y, suponiendo que c 1 y d
1 son primos entre s, tenemos la solucin general:
Cuarto estadio: En este ltimo estadio de la actividad de
modelizacin matemtica se pueden enunciar problemas nuevos cuya
resolucin permitir responder a cuestiones, relativas al sistema,
difcilmente formulables antes de la elaboracin del modelo
matemtico. En este estadio los problemas pueden independizarse del
sistema inicial.
Algunas de dichas cuestiones, en nuestro ejemplo, podran ser: es
posible que las dos fracciones tengan el mismo signo? cmo han de
ser las fracciones si los numeradores son iguales? es posible que
la suma de los inversos de dos enteros sea, a su vez, el inverso de
otro entero? cuando sucede esto?
Resulta, en definitiva, que en el modelizacionismo el objetivo
de la actividad matemtica -y por tanto el de la enseanza de las
matemticas- es la obtencin de conocimientos relativos a un sistema
modelizado que, en principio, puede ser tanto matemtico como
extramatemtico. Los problemas slo adquieren pleno sentido en el
contexto de un sistema; as la resolucin de un problema pasa siempre
por la construccin explcita de un modelo del sistema subyacente y
tiene como objetivo la produccin de conocimientos relativos a dicho
sistema. El modelizacionismo perfecciona, en cierta forma, al
constructivismo psicolgico ya que, al igual que ste, concibe la
actividad matemtica como una actividad de construccin de
conocimientos matemticos nuevos; pero el modelizacionismo
profundiza en el significado de construir conocimientos nuevos al
referirlos a sistemas concretos y operativizar esta construccin
mediante la elaboracin de un modelo matemtico y el trabajo dentro
del mismo. Adems, el modelizacionismo lleva hasta sus ltimas
consecuencias la contextualizacin de los problemas que era slo
incipiente en el constructivismo psicolgico. Debemos aadir, para
acabar, que el modelizacionismo cuando toma en consideracin la
modelizacin de sistemas matemticos (y no tan slo extramatemticos),
tambin conecta funcionalmente el momento exploratorio con el
momento tecnolgico-terico. Se trata de una conexin mucho ms
equilibrada que la realizada en el constructivismo psicolgico
puesto que en el modelizacionismo la actividad de construccin tiene
inters matemtico en s misma, no se toma como un mero instrumento al
servicio de las nociones a construir. La relacin entre el sistema a
modelizar y el modelo matemtico de dicho sistema es relevante
matemticamente porque produce conocimientos matemticos relativos al
sistema. Por todas estas razones, el modelizacionismo, que tambin
se fundamenta en la epistemologa constructivista, puede ser
considerado como un constructivismo matemtico. Sus limitaciones ms
importantes tienen relacin, de nuevo, con el olvido del momento del
trabajo de la tcnica y del papel del desarrollo de las tcnicas
matemticas en la actividad matemtica (Chevallard, Bosch y Gascn,
1997).
)()1(1
Z-+
+ zcz
zaca
)()1()1(
Z-
+-
zd
dzc
cz
-
22
7. Evolucin del problema docente y necesidad de nuevos modelos
epistemolgico-didcticos
Hasta aqu hemos descrito una reconstruccin racional de la
evolucin del problema epistemolgico (de las matemticas) que podemos
resumir como sigue:
Esta evolucin, que puede interpretarse como una ampliacin
sucesiva del objeto de estudio de la epistemologa, est ligada
asimismo a la ampliacin de su base emprica provocada por la
evidente inadecuacin de sta para abordar el problema que la
epistemologa plantea en cada momento. Hemos visto que los modelos
epistemolgicos situados dentro del euclideanismo tenan como nico
objetivo la justificacin lgica de las teoras matemticas (no
necesitaban ninguna base emprica); los modelos epistemolgicos
cuasi-empricos pretendan resolver el problema ms amplio del
desarrollo del conocimiento matemtico (por esta razn requieren la
utilizacin, como base emprica, de los datos histricos); por fin la
epistemologa constructivista pretenda explicar no slo cmo se
establece que una teora cientfica es superior a otra sino, tambin,
cules son los instrumentos y los mecanismos que provocan el paso de
una teora de nivel inferior a otra de nivel superior. Este objetivo
ms amplio requiere utilizar como base emprica los datos de la
psicognesis, adems de los que proporciona la historia de la
ciencia, aunque en realidad se interpreta la historia de las
ciencias y, en particular, la de las matemticas, a imagen y
semejanza del desarrollo psicogentico del nio. El resumen anterior
pone de manifiesto que la naturaleza del problema epistemolgico PE
ha ido evolucionando: comenz siendo un problema puramente lgico
PE1, se convirti despus en un problema histrico PE2, y parece que
ha acabado siendo un problema esencialmente cognitivo PE3.
Paralelamente hemos esquematizado una reconstruccin racional (no
histrica) de la evolucin de lo que hemos denominado, de forma
voluntariamente ambigua, modelos docentes ideales que, repitmoslo
una vez ms, se encuentran entremezclados en las actuales
instituciones didcticas y, por tanto, no existen ni han existido
nunca- en estado puro. Hemos definido cada uno de los modelos
docentes a partir de la dimensin (o dimensiones) del proceso de
estudio de las matemticas que dicho modelo enfatiza y hemos
mostrado que ste nfasis estaba fuertemente asociado, en cada caso,
a un modelo epistemolgico general de las matemticas. Hemos empezado
a mostrar que cada modelo docente condiciona, aunque sea a un nivel
muy general, la forma de organizar y gestionar el proceso de
enseanza de las matemticas incidiendo, por tanto, sobre la prctica
profesional del profesor de matemticas en el aula. En particular el
modelo docente imperante en una institucin didctica determina
grandemente el papel que el profesor deber asignar a la actividad
de resolucin de problemas de los alumnos y, en
PE1
Cmo detener el regreso infinito y llevar a cabo una
justificacin lgica de las teoras
matemticas?
Euclideanismo
PE2 Cul es la lgica del desarrollo del
conocimiento matemtico?
Modelos cuasi-empricos
PE3
Cules son los instru-tos y mecanismos
(comunes a la historia y a la psicognesis) del desarrollo del
conoci-miento matemtico?
Constructivismo
-
23
consecuencia, ningn aspecto del proceso de estudio de las
matemticas es ajeno a su influencia. Podramos hablar, por tanto, de
la evolucin del problema docente, interpretando el problema docente
como el que se plantean las instituciones que tienen la
responsabilidad de llevar a cabo el proyecto social de la enseanza
de las matemticas. Podemos considerar que la forma de plantearse
(implcitamente) el problema docente por parte de las instituciones
y cuyas formulaciones sucesivas denominaremos, respectivamente,
PD1, PD2 y PD3, queda reflejada en los tres grandes tipos de
modelos docentes clsicos, modernistas y constructivistas- ya que
stos pueden ser considerados, respectivamente, como las respuestas
institucionales a la correspondiente formulacin del problema
docente.
La cuestin que nos planteamos para terminar, y cuya respuesta
slo apuntaremos aqu, se refiere a la interrelacin entre ambos
problemas (epistemolgico y docente):
PE/PD: Qu nuevas teoras epistemolgicas generales deberan
proponerse (como respuesta a qu nuevas reformulaciones del problema
epistemolgico), si queremos que puedan servir de base a modelos
docentes que superen las limitaciones de los modelos docentes
habituales y, en particular, de los modelos docentes
constructivistas?
Podemos resumir las limitaciones de los modelos docentes
descritos hasta aqu como sigue: (a) Modelos docentes de primer
orden: Los modelos docentes clsicos y el modernismo son
extremadamente reduccionistas porque enfatizan una nica dimensin de
la actividad matemtica; por esta razn pueden ser considerados de
primer orden. As, el teoricismo se centra en el momento
tecnolgico-terico, el tecnicismo en el trabajo de la tcnica y el
modernismo en el momento exploratorio, ignorando en todos los casos
los restantes momentos de la actividad. Los tres presentan los
problemas matemticos muy aislados y fuertemente
descontextualizados. (b) Modelos docentes de segundo orden: El
procedimentalismo y los modelos docentes constructivistas pueden
ser considerados como modelos docentes de segundo orden puesto que
toman en consideracin y conectan dos momentos o dimensiones de la
actividad matemtica. As, el procedimentalismo desarrolla el trabajo
de la tcnica que slo era incipiente en el tecnicismo y lo relaciona
con el momento exploratorio, llevando a cabo una exploracin
controlada de determinadas clases de problemas (superando as el
aislamiento de stos). Los modelos docentes constructivistas, por
fin, conectan los momentos exploratorio y tecnolgico-terico pero,
por el contrario, continan ignorando las funciones del trabajo de
la tcnica en el proceso de estudio. Desde el punto de vista de la
teora de los momentos didcticos (Chevallard, 1997 y 1999) se
requiere un modelo docente que adems de relacionar funcionalmente
los
PD1 Cmo mecanizar y
controlar la transmisin de teoras y el
entrenamiento en el uso de tcnicas algortmicas?
Modelos docentes clsicos
PD2 Cmo gestionar el proceso de descubri-miento inductivo y
autnomo de los
alumnos?
Modelos docentes modernistas
PD3
Cmo posibilitar que los alumnos construyan los conocimientos
matem-ticos siguiendo ciertas
etapas en dicho proceso de construccin?
Modelos docentes constructivistas
-
24
momentos exploratorio, tecnolgico-terico y del trabajo de la
tcnica (lo que se conseguira integrando el procedimentalismo y el
modelizacionismo), no olvide los tres momentos restantes: el del
primer encuentro, el de la institucionalizacin y el de la
evaluacin. A pesar de que se han realizado algunos avances en esta
direccin (Bosch y Gascn, 1994), debemos reconocer que estamos
todava lejos de disponer de la caracterizacin de un modelo docente
que integre funcionalmente todas las dimensiones de la actividad
matemtica. Volviendo a la cuestin PE/PD, debemos preguntarnos: cmo
modificar el modelo epistemolgico ingenuo que, como dice Brousseau
(1987), est en la base de los modelos docentes habituales? o, en
otros trminos, cmo debera ampliarse el objeto de estudio de la
epistemologa y cmo debera ampliarse correlativamente su base
emprica, a fin de que el nuevo modelo epistemolgico pueda sustentar
modelos docentes menos simplistas que los descritos hasta aqu? En
un trabajo anterior, (Gascn, 1993, pp. 299-303), hemos mostrado que
la base emprica utilizada por el constructivismo para abordar el
problema epistemolgico presenta graves deficiencias respecto del
objetivo del problema que pretende abordar. Incluso suponiendo que
el problema epistemolgico consistiese en explicar los mecanismos
del desarrollo del conocimiento matemtico, es fcil mostrar que los
datos de la psicognesis (completados con los que proporciona la
historia de las matemticas) son radicalmente insuficientes para dar
cuenta de la gnesis y el desarrollo de los conocimientos
matemticos. Partiendo de la crtica de Vygotsky a la separacin (e
incluso oposicin) que Piaget propugna entre instruccin y desarrollo
(Vygotsky, 1934, p. 133), hemos puesto de manifiesto que la base
emprica minimal para abordar el problema epistemolgico (incluso si
aceptamos la versin restringida del mismo que plantea el
constructivismo), debe incluir los hechos que se producen en las
instituciones didcticas. No basta con los datos empricos obtenidos
en el estudio del desarrollo psicogentico porque la epistemologa
deber dar cuenta de fenmenos que dependen esencialmente de la
institucin didctica en el seno de la cual tiene lugar la denominada
gnesis personal de los conocimientos matemticos. Hemos aportado
nuevos argumentos para reforzar la tesis antropolgica (Chevallard,
1991) segn la cual no puede separarse el estudio de la gnesis y el
desarrollo de los conocimientos matemticos del estudio de la
comunicacin, la utilizacin y la transposicin institucional de los
mismos. Hemos mostrado, en definitiva, la necesidad ineludible de
una nueva ampliacin del objeto de estudio de la epistemologa de las
matemticas. Tendremos, por tanto, una nueva reformulacin del
problema epistemolgico, que denominaremos PE4, y una respuesta
tentativa en forma de nuevo modelo epistemolgico general del
conocimiento matemtico, que denominaremos modelo antropolgico:
PE4 (Modelo antropolgico): Cules son las leyes que rigen la
produccin, la comunicacin y la utilizacin del saber matemtico en el
seno de una institucin, as como su transposicin entre las
diferentes instituciones?
Es en este punto en el que, en cierto sentido, confluyen ambos
problemas (el epistemolgico y el docente12) y parecen confundirse
en cuanto a sus necesidades empricas. Histricamente este momento se
corresponde con las primeras formulaciones