GAIN SCHEDULING (GANHO PROGRAMADO)

Instituto Federal do Pará

Campus Belém

Professor: André Maurício Damasceno Ferreira

Graduação em Engenharia de Controle e Automação

Disciplina: Controle Adaptativo

Trabalho de Controle Adaptativo:

Exemplos do Capítulo 9 do Livro Adaptive Control escrito por Karl J.

Astrom & Bjorn Wittenmark

Pedro Barata Piquia Junior

2010310025

Belém – PA

2016

EXEMPLO 9.1 ATUADOR NÃO LINEAR

Considere o sistema com uma válvula no exemplo 1.4. A não-linearidade é assumida ser:

v = f(u) = u4 u ≥ 0

deixe 𝑓 -1 ser uma aproximação da inversa da característica da válvula. Para compensar a não

linearidade, a saída do controlador é alimentado através dessa função antes de se aplicada

para a válvula (veja figura 1).

Figura 1: compensação de um atuador não linear usando uma aproximação inversa.

Isso dá a seguinte relação:

v = f(u) = f(𝑓 -1(c))

onde c é a saída do controlador PI. A função f(𝑓 -1(c)) deveria ter menos variação no ganho do

que f. se 𝑓 -1 é a inversa exata, então v = c.

Figura 2: simulação do exemplo 9.1 com válvula não linear e usando uma aproximação da

característica da válvula.

A figura 1 mostra a modificação do sistema para os três tipos de sinal de referência usados e a

figura 2 mostra as mudanças no sinal de referência em três condições de operações diferentes

quando a aproximação da inversa da característica da válvula é usada entre o controlador e a

válvula. Existe um melhoramento considerável no desempenho do sistema em malha fechada.

Pelo melhoramento da inversa é possível fazer o processo também mais insensível ara a não

linearidade da válvula.

O resultado do controlador nesse exemplo é não linear e não deveria ser considerado como

ganho programado. Não existe nenhuma medida em qualquer ponto de operação fora da

saída controlador. Em outras situações a não linearidade é determinada das medidas de

muitas variáveis. Entretanto, um controlador de ganho programado deveria conter medidas de

uma variável que é relacionada para o ponto de operação do processo.

EXEMPLO 9.2 SISTEMA DE UM TANQUE

Considere um tanque na qual a seção transversal A varia com a altura h. o modelo é:

V = 𝐴(𝜏)𝑕

0𝑑𝜏

𝑑𝑉

𝑑𝑡 = A(h)

𝑑𝑕

𝑑𝑡 = qi - a 2𝑕𝑔

Onde V é o volume, qi é o fluxo de entrada e a é a seção transversal da saída do cano.

Deixe qi ser a entrada e deixe h ser a saída do sistema. O modelo linearizado em um

ponto de operação, q0

in e h0, é dado pela função de transferência.

G(s) = 𝛽

𝑠+ 𝛼

Onde

β = 1

𝐴(𝑕0) α =

𝑞0𝑖𝑛

2𝐴 𝑕0 𝑕0

um bom controle PI do tanque é dado por

u(t) = K 𝑒 𝑡 + 1

𝑇𝑖 𝑒 𝜏 𝑑𝜏

Esta equação será melhor representada na imagem abaixo

Figura 3: implantação do controlador PI

Onde

K = 2𝜁𝜔− 𝛼

𝛽

E

Ti = 2𝜁𝜔− 𝛼

𝜔²

Isso dá um sistema em malha fechada com freqüência natural ω e amortecimento

relativo ζ. Introduzindo a expressão para alpha e beta obtemos o seguinte ganho

programado

K = 2ζωA(h0) – q

0/2h

0

Ti = 2𝜁

𝜔 - q

0in/(2ª(h

0)h

0ω²

Os valores numéricos são freqüentemente de um jeito que α << 2ζω. A programação

pode então ser simplificada para

K = 2ζωA(h0)

Ti = 2𝜁

𝜔

Nesse caso é portanto suficiente fazer um ganho proporcional para a seção (α)

transversal do tanque.

Figura 4 : representação do sistema do tanque utilizado neste exemplo

Para este exemplo foi considerado 4 condições para se obter um ganho programado para

cada situação, na tabela abaixo será determinado com detalhes os valores:

condições área altura vazão β α Ganho Kp Ti w

1 2 0.5 5 0.5 2.5 3.6 2.222 0.9

2 4 1.5 10 0.25 0.83 7.2 2.222 0.9

3 6 3 20 0.16 0.55 10.8 2.222 0.9

4 8 4.5 30 0.12 0.41 14.4 2.222 0.9

Tabela 1: determinação dos parâmetros utilizados na simulação

Obs: como o sistema é de primeira ordem foi considerado um ζ = 1.

Figura 5: comportamento do sistema para cada condição estabelecida

O exemplo 9.2 ilustra que isso pode as vezes ser suficiente para medir uma ou duas

variáveis no processo e usá-los como entradas para o ganho programado. As vezes, não

é fácil como neste exemplo determinar os parâmetros do controlador como função das

variáveis medidas. O desenvolvimento do controlador deve então ser refeito para

diferentes pontos de trabalho do processo. Alguns cuidados devem ser tomados se o

sinal medido for ruidoso. Eles podem ter um filtro próprio antes deles serem usados

como variáveis programadas.

EXEMPLO 9.3 CONTROLE DE CONCENTRAÇÃO

Considere o controle de concentração do problema 1.5. o processo é descrito pela

equação (1.3). assuma que é interessante manipular a concentração © do tanque , pela

mudança na concentração de entrada, cin. Para um fluxo fixo a dinâmica pode ser

descrita pela função de transferência:

G(s) = 1

1+𝑠𝑇𝑒−𝑠𝜏

Onde

T = Vm/q τ = Vd/q

Se τ< T, então isso é certo determinar um controlador PI que desempenha bem quando

q é constante. Entretanto, é difícil encontrar valores universais dos parâmetros do

controlador que vá funcionar bem para grandes faixas de q. isso é ilustrado no exemplo

1.5, a resposta do sinal de entrada para um controlador de ganho fixo para fluxos

variados. Desde que o processo tenha um tempo de atraso, é natural procurar

controladores de tempo amostrado. Amostra do modelo com período de amostragem

h = Vd/(dq), onde d é um integrador, temos

c(kh + h) = ac(kh) + (1-a)u(kh – dh)

onde

a = 𝑒−𝑞𝑕/𝑉𝑚 = 𝑒−𝑉𝑑/(𝑉𝑚∗𝑑)

perceba que o modelo de tempo amostrado tem somente um parâmetro, α, que não

depende de q, um controlador de ganho constante pode facilmente se desenvolvido para

o sistema de tempo amostrado.

O ganho programado é realizado simplesmente tendo um controlador com parâmetros

constantes, na qual a faixa de amostra é inversamente proporcional para a faixa de

fluxo. Isso dará a mesma resposta, independente do fluxo,na procura do instante e

amostra, mas a acomodação vai ser escalada em tempo, a figura a seguir mostra a

concentração de saída e o sinal de controle para 3 diferentes fluxos. Ara implementar

esse controlador de ganho programado, é necessário medir não somente a concentração

mas também o fluxo. Erros na medida do fluxo vão resultar em ruídos no período de

amostra. Para evitar isso, é necessário filtrar a medida do fluxo.

O método de acomodação de Ziegler-Nichols é baseado em um modelo com tempo de

atraso e um sistema de primeira ordem. Os ganhos proporcionais e integrais serão

calculados da seguinte maneira:

Kc = 0.9τ/T = 0.9Vd/Vm;

Ti = 3τ = 3Vd/q

Que é, o tempo de integração é inversamente proporcional ao fluxo q. isso é o mesmo

efeito quando é obtido com um controlador de tempo discreto no momento que o

período é inversamente proporcional a q.

Os exemplos anteriores foram possíveis determinar o ganho programado exatamente. O

comportamento do sistema em malha fechada não depende da condição de operação.

Em outros casos é possível obter somente relações aproximadas para diferentes

condições de operação para criar uma tabela. É também necessário interpolar entre o

valor da tabela para obter um comportamento suave do sistema em malha fechada. Isso

pode levar ara cálculos extensivos e simulações antes do ganho programado ser obtido

completamente.

O ganho programado é usualmente obtido através de simulações de um modelo de

processo, mas isso e também possível para construir uma tabela de ganho online. Isso

pode ser feito pelo uso de um auto-regulador ou um controlador adaptativo. O sistema

adaptativo é usado para obter os parâmetros para diferentes pontos de operação. Os

parâmetros são então armazenados para depois ser usado quando o sistema retorna para

o mesmo ponto de operação ou regiões próximas.

PROBLEMAS

9.1 Simule o sistema do tanque no exemplo 9.2. Deixe a área do tanque variar desse

modo:

A(h) = A0 + h²

Além disso, assuma que a = 0.1A0

a) Estude o comportamento do sistema em malha fechada quando o ganho

programado completo é usado e quando o ganho modificado é usado

A partir desses novos parâmetros foram encontrados os seguintes valores

condições área altura vazão β α Ganho Kp Ti w

1 2 0.5 5 0.5 0.2 3.6 2.222 0.9

2 4 1.5 10 0.23 0.2 7.65 2.222 0.9

3 6 3 20 0.07 0.2 23.85 2.222 0.9

4 8 4.5 30 0.03 0.2 60.3 2.222 0.9

Tabela 2: determinação dos novos parâmetros utilizados na simulação

Figura 6: comportamento do sistema para as novas condições

Esse novo sistema diferente da versão anterior se tornou mais estável,

independente da variação da seção transversal o sistema consegue manter um

bom tempo de acomodação, no exemplo 9.2, dependendo da seção transversal e

do fluxo de entrada, a acomodação do sistema muda drasticamente (vide figura

5) .

b) Estude a sensibilidade do sistema para mudanças nos parâmetros do

processo.

Figura 7: comportamento do sistema para mudanças no fluxo de entrada

Pode se observar que o controlador de ganho programado obtém um ótimo

desempenho, mantendo a capacidade de “rastrear” o sinal de referência mesmo

mediante a mudanças bruscas na referência.

c) Estude a sensibilidade em malha fechada para ruídos na medida do nível.

Para este exemplo foi inserido um ruído branco (média zero e covariância de

0.1)

Figura 8: comportamento do sistema para inserção de ruídos na medições

Podemos observar que mediante a incerteza na medição, o que é bastante

comum no mundo real, o controlador é capaz de manter sua estabilidade

garantindo um rastreamento imediato mesmo com mudanças repentinas de

referência.