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Mefisto
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MefistoNmero 11 Julio de 2014
En este nmero:
Presentacin 3Octavio Campuzano Cardona
El comps del joven Gauss 4Carlos Infante Vargas
Construcciones con regla y comps 5Carlos Infante Vargas
Construccin del polgono de 17 lados 9Daniel Maisner Bush
El cielo de invierno 12
Acertijos 22
Sudoku 24
El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemticos y
todos aquellos que hacen profecas vacas. Existe el peligro de que
los matemticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el
espritu y confinar al hombre en el infierno.
San Agustn, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.
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Mefisto
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MefistoEditor
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artculos son puntos de vista del (los) autor(es) y no
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Mtro. Carlos Lpez Barrios
Fausto Cervantes Ortiz
Comit Editorial
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Octavio Campuzano Cardona
Fausto Cervantes Ortiz
Daniel Maisner Bush
Vernica Puente Vera
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Mefisto
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PresentacinOctavio Campuzano Cardona
Academia de Cultura Cientfico-HumansticaPlantel San Lorenzo
Tezonco
El sorprendente poder de las matemticas para re-solver problemas
de toda ndole, junto a su apar-ente universalidad y coherencia
interna, impiden ver que los principios y procedimientos que la
in-tegran en la actualidad han surgido y se han de-sarrollado a
partir del inters de las personas por resolver asuntos particulares
en contextos bien determinados. En consecuencia, la matemtica no ha
sido la misma a lo largo del tiempo, tiene una historia forjada por
hombres y mujeres de mayor o menor talento. Karl Friedrich Gauss
es, sin duda uno de los personajes ms destacados en la historia de
la matemtica, no slo por sus grandes aporta-ciones a la teora de
nmeros, el anlisis matemti-co, el lgebra, la estadstica y la
geometra diferen-cial, y en campos fuera de la matemtica como la
astronoma y la geodsica, sino tambin por haber llevado una vida de
gran inters.
En este nmero de Mefisto se muestra el lado humano de Gauss por
medio de un breve relato, en el cual se recrean las sensaciones del
joven Karl despus de haber resuelto uno de los prob-lemas ms
relevantes de la teora de nmeros de su poca: la construccin del
polgono de diecisiete lados, usando regla y comps. La solucin de
ese problema fue determinante para que el joven Karl decidiera
encaminarse hacia las matemticas y la ciencia y dejara a un lado la
filologa. Respecto a su aportacin a la matemtica cabra preguntarse
cul fue el problema resuelto por Gauss? cmo se usan la regla y el
comps para construir el polgo-no de diecisiete lados? En un par de
artculos se da respuesta a estas preguntas, y de paso se ilus-tra
ese camino de ida y vuelta entre el hacer y la abstraccin,
necesario para hacer matemticas de alto nivel.
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El comps del joven GaussCarlos Infante Vargas
Profesor de Instituto en Barcelona, Catalua
Hoy es un da especial. Hoy, la maana del 30 de marzo de 1796 (a
un mes de su dcimo noveno aniversario), l sabe que ser matemtico.
S, la Filologa y los estudios clsicos pueden esperar, ya no tiene
duda alguna: ser matemtico. Pero, qu lo ha hecho decidirse tan
rpido? la construc-cin del heptadecgono --el polgono regular de 17
lados-- utilizando nicamente regla y comps. Hoy, despus de
esforzadas y profundas reflexio-nes sobre la ecuacin ciclotmica
x17-1=0, sobre las extensiones de los racionales correspondientes
al aadir estos puntos, sobre el nmero e de Euler y los primos de
Fermat, su gran genio ha logrado desentraar el problema. Ha
encontrado el crite-rio necesario para deducir tal hecho, aquello
que los matemticos no han podido encontrar desde tiempos de los
gemetras griegos. S, hoy es un da especial y, como tal, lo anota en
su diario; en ese pequeo cuaderno del que slo utilizar 19 pgi-nas y
que lo acompaar durante los prximos 18 aos de su vida:
Principia quibus innititur sectio circuli, ac divisi-bilitas
eiusdem geomtrica in septemdecim partes, etc. Mart 30 Brunsv.
Ahora, relajado, piensa tranquilamente en su madre, quien estar
orgullosa de su maravilloso Karl; en el Duque Guillermo de
Brunswick, que lo ha enviado a estudiar a Gotinga bajo su gen-eroso
patrocinio; y en su amigo Wolfgang Bolyai, con quien comparte
largos paseos en silencio, cada uno inmerso en sus propios
pensamientos. S, po-dra haberse dedicado a la Filologa y al estudio
de las Lenguas Clsicas; pero no, las Matemticas han ganado y entre
ellas su princesa, la Teora de los Nmeros, que le ha arrebatado la
cabeza --y el corazn-- para siempre. S, hoy todo vuelve a es-tar en
calma, esos meses de tremendo esfuerzo in-telectual --esas noches
sin dormir-- han termina-do. Al menos por el momento. Y ello es as,
porque si no, sera cualquier otra persona --cualquier otro ser
humano-- pero no l: Karl, Karl Friedrich; Karl Friedrich Gauss.
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Construcciones con regla y compsCarlos Infante Vargas
Profesor de Instituto en Barcelona, CataluaConstrucciones con
regla y compas
Carlos Infante Vargas
Introduccion
Disponer de solo una regla no graduada y un compas,es decir,
usar solo rectas, circunferencias y sus inter-secciones para hacer
construcciones geometricas, era unclasico entre los griegos. Se
dice que esta restriccion quees una pura convencion se debe a
Platon (al menos, elfue quien la difundio y la transformo en una
regla inape-lable). Entre estas construcciones esta la del polgono
re-gular: se puede construir, utilizando solo regla y
compas,cualquier polgono regular? La respuesta es no. Ya
desdetiempos de Euclides era conocido que se podan construirde esta
manera todos los polgonos regulares de n lados,siendo n una
potencia de dos multiplicada por el 3, 5o 15 y, durante dos mil
anos, se penso que estos eran losunicos polgonos regulares
construibles.
Figura 1: Construccion del pentagono usando regla ycompas.
Sin embargo, hacia el ano 1796 K.F. Gauss realizo elprimer gran
avance al comprender lo que quiere decirconstruir con regla y
compas desde el punto de vista al-gebraico. Esta es una estrategia
comun en las Matemati-cas, un problema que inicialmente parece de
naturalezavisual o geometrica, se transforma o se replantea pa-ra
su comprension y solucion en un lenguaje algebraicopuramente
operacional. Recprocamente, en otros proble-mas es muy importante
pasar de un problema algebraicoa uno geometrico, pero de eso nos
ocuparemos posterior-mente.
En nuestro caso particular, partimos de un proble-ma geometrico;
as que como traducirlo al mundo delAlgebra? Para ello y para dar
una respuesta completaa nuestro problema, dividiremos nuestra
exposicion entres secciones. Primero hablaremos de la geometra
eu-clidiana, despues su traduccion a geometra analtica yfinalmente
hablaremos del uso de la aritmetica para suataque.
Un poco de Geometra griega
Construir un numero con regla y compas significa tra-zar con
estos instrumentos un segmento de recta quetenga por longitud el
valor absoluto de dicho numero.Los antiguos griegos ya eran capaces
de construir todoslos numeros racionales positivos y, curiosamente,
tam-bien sus races cuadradas basandose en el teorema deTales ,en el
teorema de Pitagoras y en propiedades delas circunferencias.
Para construir las races cuadradas de un numero cons-truible
hacan lo siguiente: Sea x un numero construible,construyase un
segmento de longitud 1+x y, a partir delpunto medio de este
segmento, tracese una circunferenciacon diametro en los extremos.
Aplquese el teorema dePitagoras al segmento perpendicular desde el
punto quedivide al segmento en partes 1 y x, tomando en cuentalos
tres triangulos rectangulos, de donde se deduce quemide
x, como se muestra en la figura:
Figura 2: Construccion de las races de los construibles.
Un poco de Geometra Analtica
Recordemos que siempre podemos pensar que una fi-gura dada esta
formada por puntos del plano cartesianoy que las coordenadas de sus
puntos, por el hecho de
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pertenecer a esa figura concreta y no a otra, deben satis-facer
ciertas relaciones numericas especficas. Se llamancurvas
algebraicas aquellas que se pueden obtener comografica de puntos
que satisfacen relaciones polinomiales.Particularmente en los
cursos de geometra analtica seestudian las rectas y las conicas
como soluciones de ecua-ciones de primer y segundo grado en dos
variables. As,por ejemplo, los puntos P (x, y) que forman una recta
da-da de pendiente b
a, deben satisfacer una ecuacion lineal
de la forma ax+by+c = 0, para ciertos valores numericosde a, b y
c.
De tal manera que si un punto Q(u0, v0) del planono pertenece a
esta recta, entonces no se cumple estarelacion, es decir, au0 + bv0
+ c, !nunca vale cero!
En resumen, podemos pensar en estas formulas comouna clave de
seguridad que nos dice si un punto cualquie-ra del plano pertenece
o no a una curva dada.
Similarmente, una circunferencia centrada en el puntoP (d, e) y
radio r > 0, viene descrita por una ecuacion desegundo grado del
tipo:
(x d)2 + (y e)2 = r2
, como se puede deducir facilmente de la formula de ladistancia
entre dos puntos, que es una consecuencia di-recta del teorema de
Pitagoras.
Ahora, que pasa entonces,con los puntos del planocartesiano que
son la interseccion entre rectas y crcu-los? Desde el punto de
vista algebraico, se correspondena las soluciones simultaneas de
las dos ecuaciones. Al re-solverlas, observamos que las coordenadas
x y y de lospuntos de interseccion de estas figuras deben
satisfaceruna nueva ecuacion que tambien es de segundo grado.Por
ejemplo, si despejamos y en la segunda ecuacion ysustituimos en la
primera, se tiene la ecuacion:
Ax2 +Bx+ C = 0 (1)
donde las letras mayusculas (llamados coeficientes) A,B y C son
expresiones en las que solo aparecen sumas,restas, multiplicaciones
y divisiones de los numeros a , b,c, d, e y r. As, las coordenadas
de los puntos de cortede estas dos figuras, tambien deben cumplir
ecuacionesde grado 2 y, por lo tanto, resolviendo (1) el valor de
lacoordenada x (y de manera similar la y) esta dado porla formula
de todos conocida:
x =B
B
2 4AC
2A
As, si los numeros a, b, c, d, e y r son construibles,tambien lo
sera x (y similarmente y).
Ejemplo 1
Supongamos que queremos encontrar la interseccion dela recta
x 2y + 1 = 0con la circunferencia
x2 +
(y
1
2
)2
=1
4
Primero observemos que, multiplicando por 4 ambosmiembros de la
igualdad, esta ecuacion es equivalentea:
4x2 + (2y 1)2 = 1.
Si substituimos en esta ultima la expresion que obtene-mos para
x de la ecuacion de la recta, a saber
x = 2y 1,
se tiene:
5(2y 1)2 = 1,
a partir de la cual obtenemos el valor de y:
y =1 +
5
25
,1 +
5
25
,
y por tanto, tambien el de x:
x =15,15.
Finalmente, concluimos que los puntos interseccion son:
P1 =
(15,1 +
5
25
), y P2 =
(15,1 +
5
25
).
Ahora, si repetimos este proceso varias veces mas uti-lizando
cada vez como coeficientes de nuestras rectas ycircunferencias
valores que son races de races cuadradasde numeros obtenidos de
esta manera, entonces las coor-denadas de los ultimos puntos de
interseccion despuesde eliminar todas las races de races cuadradas
de loscoeficientes necesariamente han de satisfacer ecuacio-nes de
grado una potencia de 2 donde los coeficientesson los numeros de
las primeras rectas y circunferenciascon los cuales empezamos el
proceso.
Ejemplo 2
Supongamos que tenemos la expresion:
x =
2 +
3 +
5
Cual es la ecuacion que satisface? Para responder estapregunta,
tenemos que eliminar todas las races cuadra-das que aparecen
elevando repetidamente al cuadrado:
x2 =
2 +
3 +
5
(x2 5)2 = 2 +
3
(x4 + 3)2 = (25x2 +
3)2
x8 14x4 + 6 = 415x4
(x8 14x4 + 6)2 = 250x4
x16 24x12 + 208x8 414x4 + 36 = 0
Hemos visto entonces que los numeros construibles deesta manera
deben satisfacer ecuaciones de grado una
potencia de 2 con coeficientes enteros.
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Mefisto
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Un poco de Aritmetica
Podemos pensar que nuestro problema de inscribir unpolgono
regular de n lados consiste en dividir un circulo,que podemos
considerar (sin perdida de generalidad) deradio 1, en n partes
iguale. Luego, si toda la circunferen-cia hace 2pi radianes (es
decir, 360o ), entonces necesita-mos construir con nuestros
instrumentos permitidos (re-cordar que no disponemos de un
transportador) n puntossobre ella que disten entre si exactamente
angulos de 2pi
n
radianes (es decir, 360o
n). Si el primer vertice lo colocamos
en el punto P0(1, 0), entonces, usando trigonometra ele-mental,
el siguiente vertice tendra que estar en el puntoP1 =
(cos 2pi
n, sen 2pi
n
). Es evidente que este punto P1 es
construible con regla y compas, si y solo si, el numero
cos 2pin
lo es (Recordemos que sen 2pin
=1 cos 2pi
n).
Figura 3: Division de una circunferencia en n partes y
suinterpretacion como numeros complejos.
Gauss interpreto los puntos P (x, y) del plano carte-siano como
numeros complejos del tipo z = x + iy, loscuales manejaba sin
ningun tipo de problema matemati-co o etico a pesar de que en su
tiempo aun no eran deltodo entendidos, ni mucho menos
aceptados.
Figura 4: El conjugado de un numero complejo.
La ventaja de pensar en los puntos del plano co-
mo numeros complejos esta en que estos ultimos tie-nen una
estructura algebraica nueva. Es decir, pode-mos sumarlos,
restarlos, multiplicarlos y dividirlos, mien-tras que los vectores
asociados a los puntos solo se pue-den sumar y restar. Desde este
punto de vista, el puntoP1 =
(cos 2pi
n, sen 2pi
n
)se corresponde con el numero com-
plejo
= cos
(2pi
n
)+ i sen
(2pi
n
).
La gracia esta en que este numero complejo satisface laecuacion
ciclotomica (o circular) siguiente:
zn 1
z 1= 1 + z + z2 + + zn1 = 0,
y en que todas las soluciones (o races) de esta ecuaciongracias
a la formula de De Moivre estan dadas por laspotencias de , a
saber: {, 2, 3, , n1}. Mas extra-ordinario aun, !estos numeros
complejos se correspondenexactamente con los vertices faltantes de
nuestro n-agonoregular!Gauss tambien saba que si j es un numero
primo re-
lativo con n, entonces todas las potencias del numerocomplejo j
nos vuelven a dar los n vertices del polgonoregular:
{j , (j)2, (j)3, , (j)n1} = {, 2, 3, , n1}(2)
Y cuantos de estos numeros j hay? Pues la respuesta lahaba dado
otro portento matematico llamado LeonhardEuler, quien haba
calculado este numero a traves de lafuncion (n) , que cuenta la
cantidad de numeros entre1 y n que son primos relativos con n.
Euler saba que sin tiene una descomposicion como producto de
potenciasde numeros primos de la siguiente forma:
n = 2ms
i=1
pi
i, pi primo impar,
entonces
(n) = 2m1s
i=1
pbi1
i(pi 1).
Ejemplo 3
Calculemos (10).
Observemos que 10 = 2 5, por lo que se tiene:
(10) = 211 511 (5 1) = 4.
As, solo hay cuatro numeros entre 1 y 10 que son primosrelativos
con 10, los cuales pudimos haber encontrado deforma directa, a
saber: {1,3,7,9}.
Solucion al problema
Y esto que tiene que ver con nuestro n-agono regular?Pues todo
parte del hecho crucial de que
+ 1 = 2 cos
(2pi
n
),
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Mefisto
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y por lo tanto, el polgono regular de n lados es construi-ble
con regla y compas, si y solo si,
+ 1
tambien lo es. As las cosas, nuestro problema se reducea saber
que ecuacion o formula satisface este numero.Y sobre todo saber el
grado de esta ecuacion. Pero, endonde podemos buscar tal
ecuacion?La expresion + 1 = 2 cos
(2pi
n
)le sugirio a Gauss la
idea de asociar las parejas j n j para cada nume-ro j primo
relativo con n (lo cual equivale a emparejarj con su inverso
multiplicativo y conjugado complejo
nj = j). De esta manera obtenemos exactamente(n)
2parejas (lo cual es posible pues (n) siempre es par
cuando n = 2) y si sumamos los numeros de cada pareja
se obtienen (n)2
numeros del tipo + 1 = 2 cos(2pi
n
).
Finalmente, usando las propiedades antes vistas, pode-mos
construir el siguiente polinomio:
(n)2
i=1
[x
(k nk
)]=
(n)2
i=1
[x
(k k
)].
Gauss observo que este polinomio permanece inalterablesi
intercambiamos por cualquiera de las potencias j
con j primo por n, ya que (como vimos en la ecuacion 2)el
conjunto de races no se altera y lo unico que estamoshaciendo es un
cambio de orden de los factores. factores.Ademas, a partir de la
relacion ciclotomica:
1 + + 2 + + n1 = 0,
Gauss dedujo que este polinomio tiene coeficientes ente-ros y
que es el polinomio de menor grado que puede tenera los numeros
complejos (de hecho reales) j + j comoraces. As, !este es el
polinomio que buscamos!
Ejemplo 4
Calculemos este polinomio para n = 11. Observemosque en este
caso:
= cos
(2pi
11
)+ i sen
(2pi
11
),
y que se tiene la relacion
1 + + 2 + + 10 = 0,
las 5 =(11)
2parejas que se forman en este caso corres-
ponden a los emparejamientos:
1 10 4 7
2 9 5 63 8
que nos dan los numeros complejos siguientes:
1 + 10, 4 + 7
2 + 9, 5 + 6
3 + 8.
Finalmente, formamos el polinomio correspondiente:
5k=1
[x
(k + k
)]= x5 + x4 4x3 3x2 + 3x+ 1
Con toda esta valiosa informacion podemos deducirque si el
numero + 1 es construible con regla ycompas, entonces este
polinomio tiene que tener por gra-do una potencia de 2, digamos 2m.
Luego, dado que este
grado es igual a (n)2
, se debe tener la igualdad:
2m =(n)
2= 2m2
si=1
pi1
i(pi 1).
La unica posibilidad para que esto se cumpla es que lasis sean
todas iguales a 1 y que los factores pi 1 cum-plan pi1 = 2
rj . Pero como los pis son numeros primos,se debe tener a su vez
que las ris son potencias de 2 lacual cosa era tambien conocida por
Euler, es decir, quedeben ser primos de Fermat de la forma pi =
2
2tj
+ 1.As, podemos concluir finalmente que si el polgono
regular de n lados es construible con regla y compas,entonces n
tiene que ser de la forma
2ms
i=1
pi, con pi primo impar de Fermat.
Como nota final se tiene que, despues del 5, el siguien-te primo
de Fermat es el 17. As, y desde entonces, elheptadecagono permanece
inscrito eternamente en lalapida de K. F. Gauss.
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Construccin del polgono de 17 ladosDaniel Maisner Bush
Academia de Matemticas, SLTContruccion del polgono de 17
lados
Daniel Maisner Bush
6 de agosto de 2014
1. Contrucciones con regla y compas
Los griegos desarrollaron de forma prodigiosa la geometra, o mas
precisamente lo que hoy conocemos bajo elnombre de geometra
euclidiana. Su legado es uno de los pilares de la matematica
moderna, no solo por la ampliagama de resultados obtenidos en
matematicas, fsica y otras areas, sino tambien por su claridad y
rigor en laexposicion de los mismos.
Una parte muy importante de esta herencia, es una magnifica
recopilacion de una gran parte de los resultadosen el area de
muchos de los pueblos de la antiguedad occidental tanto anteriores
como contemporaneos a ellos, juntocon una enorme contribucion
propia. Destacan, por su gran legado a la ciencia, la obra de
Arqumedes, considerado,junto a Gauss y Newton, los matematicos mas
grandes de todos los tiempos y la monumental obra de Euclides:
LosElementos, que representa el primer tratado de de geometra con
un concepto de rigor matematico muy cercano alconcepto de rigor
moderno, y que ha trascendido como ejemplo de exposicion en muchas
areas del conocimiento,mas alla de la geometra y de la
matematica.
En gran parte del estudio de la geometra por los griegos se
impuso la restriccion, de que todos los trazos, apartir de los
cuales se construye el conocimiento, deberan realizarse, usando,
unicamente, regla (no graduada) ycompas. Es decir, todas las
figuras geometricas y resultados que se obtengan a partir de ellas,
deben obtenerse,trazando rectas, crculos y sus intersecciones.
A pesar de haber construido un edificio muy solido, hubo una
serie de problemas que permanecieron sin so-lucion (o en jerga
matematica abiertos) hasta el siglo XIX. Mencionemos los cuatro
problemas mas famosos deconstrucciones con regla y compas que no
pudieron ser resuletos por los griegos:
1. Cuadratura del crculo: Sin lugar a dudas se trata del
problema mas famoso de todos, al grado de que,la expresion quiere
encontrar la cuadratura al crculo, esta totalmente incorporada al
lenguaje cotidiano parasignificar que alguien intenta realizar algo
imposible. El enunciado del problema es el siguiente: dado un
crculoconstruir, con regla y compas, un cuadrado cuya area sea
igual a la del crculo.
2. Duplicacion del cubo: Dado un cubo, construir con regla y
compas un cubo con volumen igual al doble deloriginal.
3. Triseccion del angulo: Utilizando regla y compas dividir un
angulo en tres partes iguales.
4. Inscribir un n-agono en una circunferencia: Este es el
problema principal del presente artculo, porlo cual lo incluimos en
la lista, a pesar de no ser tan famoso. El problema es determinar
cuales polgonosregulares pueden inscribirse en una circunferencia.
En cierto sentido este problema representa un complementoal
problema anterior, ahora tenemos un angulo fijo de 2pi radianes
(360) y nos preguntamos para que valoresde n lo podemos dividir en
n partes iguales.
Quizas en sus orgenes la restriccion de solo utilizar regla y
compas haya tenido un caracter practico, pero conel tiempo se
volvio una hipotesis puramente teorica, incluso con tintes de tipo
religioso; y en cierto sentido, unbloqueo para la solucion de los
problemas antes mencionados. Para Platon por ejemplo, la recta y el
crculo eranlas curvas ideales, y por eso la geometra debera
restringir su uso al trazo de estas curvas.
Es sabido que Arqumedes resolvio el problema de la triseccion
del angulo utilizando otro tipo de trazos y engeneral, desde la
antiguedad, existen soluciones a muchos de los problemas
irresolubles de regla y compas, eliminandoesta restriccion. Pero no
hay mal que por bien no venga, el reto teorico fue fuente de
trabajo e inspiracion demuchos matematicos, gracias a cuyos
esfuerzos por solucionarlos se obtuvo un desarrollo enorme del
conocimientomatematico.
En general todos los grandes problemas matematicos que han
permanececido abiertos durante largos periodosde tiempo y han
entusiasmado a grandes y pequenos pensadores, tienen las siguientes
caractersticas en comun:
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2
Figura 1: Triseccion del angulo.
Enunciado sencillo: su enunciado, es sencillo de entender para
todo el mundo, incluso para los no especia-listas, lo cual lleva al
error psicologico de creer que la solucion debe ser igualmente
sencilla; y se convierte enun reto natural para cualquier estudioso
del area.
Enunciados similares de facil solucion: existen problemas con un
enunciado semejante, o casos particula-res de los problemas
estudiados, de fasil solucion, lo cual aumenta el nivel del reto.
Por ejemplo, en nuestro casopor que dividir un angulo en dos partes
iguales es elemental y dividirlo en tres imposible? Que
diferenciaexiste entre un pentagono y un eptagono para que uno sea
construible y el otro no?
Imposibilidad de solucion en general: muchos de los problemas
que han permanecido abiertos por largosperiodos de tiempo tienen en
comun que son imposibles de solucionar, por lo menos lo son con las
tecnicasque se han desarrollado en su epoca. Aunque, existen
ejemplos de facil solucion en casos concretos, la soluciongeneral
es imposible.
Necesidad de un cambio de Lenguaje: la comprension profunda de
los problemas planteados requierede un cambio tanto de lenguaje
como de las tecnicas matematicas utilizadas para afrontarlos. En
nuestrocaso la comprension profunda de cuales figuras son
construibles con regla y compas solo fue posible gracias
aldesarrollo del analisis y el algebra modernos (desarrollados
hasta avanzado el siglo XIX y formalizados hastaprincipios del
XX).
El algebra moderna permite contestar de manera completa a la
pregunta esencial, que esta en el fondo detodos estos problemas
cuales son todos los numeros reales construibles?, es decir cuales
numeros reales cumplen que puede trazarse, con regla y compas, un
segmento de longitud ||?
Por otro lado, el desarrollo del analisis matematico permitio
una comprension profunda del concepto denumero real, sin la cual,
tampoco puede explicarse que numeros reales son construibles, mas
concretamente,la comprension de que numeros son construibles va de
la mano con entender la diferencia entre numerosalgebraicos y
trascendentes.
2. Numeros construibles
Cuentan que en una ocasion un estudiante de la Facultad de
Ciencias afirmo en clase del Dr. Alberto Barajasque no se poda
abrir un compas con apertura igual a pi, ante lo cual, de forma
pcara don Alberto, lo hizo pasar alpizarron y le pidio que pintara
la recta numerica. Posteriormente, solicito al desconcertado
estudiante que apoyaraun lado del compas en el origen y desplazara
el otro del tres al cuatro sin despegar el compas del pizarron, y
mientrasel alumno realizaba esta actividad afirmaba imposible que
en este proceso usted no haya abierto el compas unalongitud igual a
pi
Independientemente de la autenticidad de la anecdota anterior,
es un buen recordatorio de que al hablar denumeros construibles
estamos pensando en trazos que se puedan realizar con regla, no
graduada y compas. Es
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11(contina en la pgina 14)
3
decir, trazando rectas y circunferencias; y como mencionamos en
la seccion anterior, debilitar estas restriccionespermite una
solucion de los problemas enunciados.
Diremos que un numero es construible si puede construirse un
segmento de longitud ||. El trazo de unsegmento de longitud
negativa, digamos puede interpretarse como un segmento de longitud
|| trazado ensentido contrario al segmento de longitud . Con esto
se garantiza geometricamente que se cumple la igualdad
+ () = 0
y a partir de aqu puede definirse la diferencia entre dos
numeros construibles. Los griegos no desarrollaron losnumeros
negativos, pero para la interpretacion algebraica de los
construibles es importante, porque permite darlesuna estructura de
campo.1
En geometra elemental existen pruebas de los siguientes
hechos:
1. Todos los numeros racionales son construibles,
2. La suma, producto y races cuadradas de construibles son
construibles.
Ambos resultados eran implcitamente conocidos por los griegos
aunque expresados en otro lenguaje. Sin ellos,no se hubiera podido
realizar la teora de proporciones o la prueba de que
2 es un numero irracional. Lo que ya
no es evidente y requiere del lenguaje moderno es que estos dos
enunciados caracterizan a los numeros construibles,ademas, de aqu
se desprende que forman un subconjunto pequeno de los numeros
reales.
La idea es relativamente simple en terminos de geometra
analtica: cualquier punto construible se puede obtenercomo la
interseccion de rectas o circunferencias cuyas ecuaciones tienen
coeficientes construibles. Un calculo directomuestra que las
coordenadas as obtenidas cumplen las condiciones arriba mencionadas
( vease el artculo de Infanteen este mismo numero o [Fra], pagina
362).
Ejemplo 1. Son construibles los siguientes numeros:
1 +17
2,
1 +
1
2
15, y
1+
5
2+
(1+
5
2)2 4
2
A partir de la caracterizacion antes descrita, se puede probar
que existen una infinidad (no numerable) denumeros no construibles
y, cualquier construccion, que de alguna forma utilice el trazo de
longitud uno de ellos,sera imposible de realizarse. Ademas, de la
caracterizacion anterior se puede obtener:
Teorema 2.1. Los numeros construibles satisfacen un polinomio
monico, irreducible, con coeficientes racionales,
de grado mnimo igual a una potencia de 2
Nota: Intuitivamente, elevando al cuadrado tantas veces como
races cuadradas tengamos y aplicando opera-ciones de numeros de
suma y producto podemos encontrar el polinomio mnimo irreducible
que las tiene por races.Por el tipo de operaciones realizadas el
polinomio obtenido tiene coeficientes racionales y grado una
potencia de 2.Una prueba rigurosa, requiere de bastante trabajo en
polinomios.
Ejemplo 2. Consideremos el siguiente numero construible
x =
1+
5
2+
(1+
5
2)2 4
2.
y veamos que satisface un polinomio monico de grado una potencia
de 2. Tenemos las siguientes igualdades equiva-
lentes:
(2x 1+
5
2
)2= (1+
5
2)2 4 = 12
5+516
4
4x2 + 2x 2x5 + 62
5
4= 5
2
5
2
(4x2 + 2x+ 4
)2= (2x
5)2 = 20x2
16x4 + 16x3 + 16x2 + 16x+ 16 = 0 x4 + x3 + x2 + x+ 1 = 0.
1De manera informal digamos que un campo es un conjunto con
operaciones de suma y producto donde se pueden sumar,
restar,multiplicar y dividir entre elementos diferentes de
cero.
-
Mefisto
12
El cielo de verano
Fases de la Luna
Luna nueva
26 de julio24 de agosto23 de septiembre
Cuarto creciente
4 de julio3 de agosto1 de septiembre
Luna llena
11 de julio10 de agosto8 de septiembre
Cuarto menguante
18 de julio17 de agosto15 de septiembre
-
Mefisto
13
Lluvias de estrellas
a Capricrnidas
29 y 30 de julio
Persidas
11 y 12 de agosto
Planetas
Mercurio en CncerVenus en CncerMarte en LibraJpiter en
LeoSaturno en EscorpinUrano en AriesNeptuno en Piscis
-
Mefisto
14
4
El teorema 2.1 es suficiente para explicar por que los primeros
tres problemas clasicos son imposibles de solu-cionar, y entender
la complejidad del cuarto problema:
1. Cuadratura del crculo. Dada una circunferencia de radio 1,
tiene area igual a pi. Un cuadrado de la mismaarea supondra que
pi es construible y en particular tambien lo es pi. Pero pi es
un numero trascendente;
es decir, no existe un polinomio con coeficientes racionales que
lo tenga por raz y por tanto no puedeser construible. Para remarcar
que esta prueba requiere del uso de herramientas modernas,
mencionemos,adicionalmente, que la prueba de la trascendencia de pi
debida a Lindemann data de 1882. (ver [Mayer])
2. Duplicacion del cubo. Si consideramos un cubo de lado 1
entonces un cubo del doble de volumen, tienevolumen 2 y por tanto
su lado es igual a 3
2. Ahora bien, el polinomio monico, mnimo e irreducible que
tiene
por raz a 32 es p(x) = x3 2. Como 3 no es una potencia de 2, las
races de p(x) no son construibles.
3. Triseccion del angulo. Para este caso, primero debemos
comprender que quiere decir tener un anguloconstruible. Si
consideramos la circunferencia de radio 1 centrada en el origen y
el angulo formado por eleje X y una recta que pasa por el origen,
entonces el punto P de interseccion tiene coordenadas:
(cos , sen ) = (cos ,
1 cos2 ).
Por tanto, es construible si y solo si cos lo es.
Figura 2: Angulo construible.
Ahora bien, la identidad trigonometrica:
cos 3 = 4 cos3 3 cos (1)
nos muestra que en caso de poder trisecar el angulo = 3, existe
un numero construible que soluciona laecuacion trigonometrica
(1).
Pero esto, en general es imposible. Por ejemplo, si = pi9= 20
entonces (1) es:
1
2= cos
pi
3= cos 3
(pi
9
)= 4 cos3
pi
9 3 cos
pi
9
y por tanto cos pi9es raz del polinomio:
4x3 3x1
2= 4
(x3
3
4x
1
8
).
Pero, al ser x3 34x 1
8un polinomio irreducible de grado 3 sus races no pueden ser
numeros construibles.
-
Mefisto
15
5
Ejemplos de polgonos construibles y no construibles
Como vimos en la introduccion, determinar para que valores de n
el polgono de n lados es construible, corres-ponde a dividir la
circunferencia (el angulo de 2pi radianes) en n partes iguales. Es
decir, queremos construir elangulo 2pi/n y sus multiplos enteros;
equivalentemente, queremos determinar todos los puntos
(cosn, senn) (2)
construibles.La identidad de Euler
ein = cosn + i senn
muestra que cada punto de la ecuacion (2) se corresponde con una
raz nesima de la unidad y por tanto el problemaanterior puede
enunciarse de la siguiente manera: determinar que races n-esimas de
la unidad tienen parte real eimaginaria construibles. Mas aun, como
cualquier raz es una potencia de = e
2piin , basta determinar para que casos
la parte real e imaginaria de lo son.
Ejemplo 3. El poligono de 5 lados es construible.
Demostracion: Queremos ver que cualquier raz quinta de la unidad
es construible. Las races quintas de launidad son las soluciones de
la ecuacion x5 1 = 0 Ahora bien, podemos factorizar:
x5 1 = (x 1)(x4 + x3 + x2 + x+ 1) = (x 1)p(x)
siendo p(x) irreducible en los racionales.2
Debemos probar que las races de p(x) son construibles. Sea
= cos
2pi
5
+ i sen
2pi
5
entonces las races de p(x) son:{, 2, 3, 4} = {, 2, 2, },
donde la barra expresa el conjugado complejo. Hagamos
1 = + 4 = 2Re y 2 =
2 + 3 = 2Re 2
entonces es raz del polinomio cuadratico
x2 ( + 4)x+ 4 = x2 1x+ 1,
y por tanto es construible si y solo si 1 lo es (lo cual tambien
puede deducirse de que 1 es el doble de la partereal de ). Por otro
lado, como
p(x) = (x )(x 2)(x 3)(x 4)
el coeficiente de x3 es1 = ( + 2 + 3 + 4)
y de esta igualdad podemos concluir:
(1 + 2) = ( + 2 + 3 + 4) = 1,
12 = ( + 4)(2 + 3) =
= 3 + 4 + 6 + 7 = 3 + 4 + + 2 = 1.
Unificando ambas ecuaciones concluimos que i es raz del
polinomio:
x2 (1 + 2)x+ 12 = x
2 + x 1
y en consecuencia construible. Mas aun, tenemos los valores
especficos:
2Al ser monico con termino independiente igual a 1, las unicas
races racionales posibles son 1, que claramente no lo son.
-
Mefisto
16
6
i =1
5
2y i =
i
2
i 4
2=
1
5
2
(1
5
2)2 4
2.
Como un corolario inmediato tenemos la igualdad:
( + 4) (2 + 3) = 1 2 =5. (3)
Ejemplo 4. El polgono de 7 lados no es construible
Demostracion: Las races septimas primitivas de la unidad
son:
j =
(cos
(2pi
7
)+ i sen
(2pi
7
))j1 j 6,
y satisfacen el polinmomio irreducible
p(x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ 1.
Como p(x) no tiene como grado una potencia de dos, sus races no
son construibles. Veamos adicionalmente porque no funciona en este
caso la idea desarrollada en el pentagono. Si hacemos
j = j + j = j + 7j , 1 j 3
entonces j es construible si y solo si j lo es. Ahora bien, el
polinomio monico e irreducible mnimo de j es
(x 1)(x 2)(x 3)
y a diferencia del ejemplo 3, es de grado 3 y por tanto sus
races no son construibles.
Mas en general, para cualquier primo non p, las races primitivas
de la unidad deben ser races del polinomioirreducible:
xp1 + xp2 + + x+ 1
y por tanto p 1 debe ser una potencia de 2:
p = 2m + 1.
Puede demostrarse, que al ser p primo non, m tambien tiene que
ser una potencia de 2 y por tanto p es unprimo de la forma:
p = 22k
+ 1.
A estos primos se les denomina primos de Fermat. Hemos visto que
si p es un primo non entonces que esnecesario para que el pagono
regular sea construible, que p sea primo de Fermat.
El polgono de 17 lados
Vimos en la seccion anterior (y en [Infante]) que para que el
p-agono regular sea construible, siendo p primonon, es necesario
que p sea un primo de Fermat. sera suficiente? Los primeros primos
de Fermat son:
{220
+ 1, 221
+ 1, 222
+ 1} = {3, 5, 17}.
Los casos 3 y 5 son sencillos de resolver y su solucion era bien
conocida por los griegos. que sucede con elpolgono de 17 lados? A
los 19 anos de edad Gauss demostro que es construible lo cual fue
un factor fundamentalpara dedicarse de lleno a las matematicas y
ese resultado por si solo hubiera bastado para que su nombre
quedarainscrito en la historia de las matematicas. Afortunadamente,
Gauss nos legara mucho mas. Siguiendo sus ideasveremos una prueba
en esta seccion.
Antes de explicar la construccion recordemos algunas
definiciones basicas del algebra modular que nos seran
deutilidad.
-
Mefisto
17
7
Figura 3: Heptadecagono.
Definicion 2.2. 1. Decimos que a es congruente a b modulo m:
a b (mod m)
si a y b dejan el mismo residuo al ser divididos por m,
2. a es invertible o unidad modulo m si existe c que cumpla:
ac 1 (mod m).
Equivalentemente, a es invertible si no tiene divisores en comun
con m diferentes de 1. Cuando m = p, unnumero primo, entonces todos
los residuos diferentes de p, {1, 2, , p 1} son inversibles.
3. El conjunto de elementos inversibles esta generado como las
potencias de un elemento que se denomina raz
primitiva:
a i(mod m) 0 i (i), (i) := |{inversibles}|.
Para una descripcion mas a fondo de (n) vease [Infante].
Como en los ejemplos de la seccion anterior, debemos ver que son
construibles las races del polinomio irreducible:
p(x) = x16 + x15 + x14 + + x2 + x+ 1.
Sean{, , i, , 16}
las 16 races de p(x). Bajo el producto, las races se comportan
como los residuos modulo 17. En efecto, la asignacionnatural:
{races de p(x)} {enteros modulo 17}i i
respeta el producto. Dado que siij = i+j
y si i+ j = 17 + k entoncesi+j = 17k = k k i+ j (mod 17).
Para los enteros modulo 17 tenemos:
invertiblesmodulo 17 := {1, 2, 3, , 15, 16}
-
Mefisto
18
8
y estos numeros modulo 17 los podemos generar como potencias de
3:
{3i}171=0
= {1, 3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4, 12, 2, 6}.
Al escribir los invertibles como potencias de 3 podemos observar
que las potencias pares de 3 son cuadradosmodulo 17, mientras que
las nones son no cuadrados. Es decir si denotamos por C a los
cuadrados y NC a los nocuadrados tenemos:
C = {1, 9, 13, 15, 16, 8, 4, 2} y NC = {3, 10, 5, 11, 14, 7, 12,
6}.
De forma similar podemos realizar particiones de los enteros
modulo 17 segun el residuo modulo 4 y modulo 8del exponente de la
raz primitiva 3:
Exponente conjunto Exponente conjunto2i C = {1, 9, 13, 15, 16,
8, 4, 2} 2i+ 1 NC = {3, 10, 5, 11, 14, 7, 12, 6}4i C1 = {1, 13, 16,
4} 4i+ 1 C2 = {3, 5, 14, 12}4i+ 2 C3 = {9, 15, 8, 2} 4i+ 3 C4 =
{10, 11, 7, 6}8i+ k Ok = {k}
donde en el ultimo renglon estamos remarcando que
38 1 (mod 17) y por tanto 38+k 383k 3k(mod 17).
Estas particiones son la clave que encontro Gauss para resolver
la ecuacion p(x) = 0, y demostrar que sus racesson numeros
construibles.
En el ejemplo del pentagono, la igualdad = +
permitio reducir el calculo de races cuartas a uno de races
cuadradas. Claramente una aplicacion directa de estetruco solo
permite reducir el calculo de las races de p(x) a un polinomio de
grado 8, lo cual es insuficiente paraencontrar una solucion
general. Las particiones que realizamos en las diferentes potencias
de 3, nos permitiran haceruna generalizacion de la idea del
pentagono valida en general.
Definamos los siguientes numeros auxiliares:
k=3k
+ 3k+8
= 3k
+ 3k
= 3k
+ 3k , 1 k 8,
j=sCj
3s
= 3s
+ 3s+4
+ 3s+8
+ 3s+12
1 j 4,
i=sC
3i+s
= 3i
+ 3i+2
+ 3i+4
+ + 3i+16
0 i 1.
(4)
Para finalizar la prueba vamos a probar que si alguno de los
numeros i, i, i, i es construible entonces losdemas lo son, y
finalizaremos mostrando que i lo es. Mas especficamente,
tenemos:
Teorema 2.3. 1. 3i
y 3i
son races del polinomio x2 ix + 1 y por tanto i es construible
si y solo si i
lo es,
2. i, i+4 son races de x2 ix+ i+1, y en consecuencia i es
construible si y solo si i lo es,
3. i y i+2 son races de x2 ix 1 y por tanto i es construible si
y solo si i lo es,
4. 0 y 1 son races de x2 x 4 y por tanto construibles. En
consecuencia i, i y
i lo son y el polgono de
17 lados es construible.
Demostracion: En todos los incisos tenemos polinomios de grado 2
por lo cual debemos ver que el coeficientede x es menos la suma de
las races propuestas y el coeficiente independiente el producto de
las mismas. El resultadose sigue con los siguientes calculos:
1. Coeficientes de x: Se sigue de las definiciones de i, i y i
las siguientes igualdades:
3i
+ 3i
=i,
i + i+4 =3i
+ 3i+8
3i+4
+ 3i+12
= i,
i + i+2 =3i
+ 3i+4
+ 3i+8
+ 3i+12
+ 3i+2
+ 3i+6
+ 3i+10
+ 3i+14
= i.
-
Mefisto
19
9
Ademas, como el coeficiente de x15 de
p(x) = (x 1) (x 16)
es 1, tenemos:1 = ( + + 16) = (0 + 1).
2. Terminos independientes. Claramente, al ser raz de la
unidad
3i
3i+8
= 3i
3
i
= 3i
3i = 1.
Por definicion de i tenemos
ii+4 = (3i
+ 3i+8
)(3i+4
+ 3i+12
)
= 3i+3
i+4
+ 3i+3
i+12
+ 3i+8
+3i+4
+ 3i+8
+3i+12
.
Factorizando, utilizando que los exponentes se comportan como
enteros modulo 16 y reordenando podemosver que los exponentes
son:
3i(1 + 34), 3i+4(1 + 34), 3i+8(1 + 34) y 3i+12(1 + 34),
es decir, los elementos de Ci multiplicados por (1 + 34).
Pero:
1 + 34 1 + 13 39(mod 17).
Como estamos trabajando con potencias de 3, podemos ver de forma
directa que multiplicar los elementos deCi por 3
j con j 1(mod 4) nos da los elementos de Ci+1, y por tanto
ii+4 =
jCi+1
j = i+1.
Para concluir la demostracion, debemos probar las
igualdades:
01 = 4 y ii+2 = 1.
Comoij = i+j
los sumandos del producto 01 son los i que cumplan:
i = a+ b con a C y b NC.
Es decir, el exponente de cada sumando lo podemos identificar
con una de las 64 parejas
(a, b) C NC.
Ahora bien, las congruencias:
3i 3i(15 + 3) 3i(4 + 14) 3i(13 + 5) 3i(8 + 10)(mod 17)
muestran que los 64 numeros a+ b recorren 4 veces todos los
numeros invertibles modulo 17 y por tanto:
01 = 4( + + 16) = 4.
De forma analoga para probar la igualdad ii+2 = 1 demostraremos
que
ii+2 = + + 16.
Como
-
Mefisto
20
10
ii+2 = (3i + 3i+4 + 3i+8 + 3i+12)(3i+2 + 3i+6 + 3i+10 +
3i+14)
cada uno de los 16 sumandos que aparecen son de la forma j , con
j = a+ b, siendo:
{a = 34k y b = 34k+2 si i 0 (mod 2), oa = 34k+1 y b = 34k+3, si
i 1 (mod 2)
para 0 k 8.
Pero estos numeros j recorren exactamente los 16 numeros
invertibles modulo 17. En efecto, las siguientesigualdades muestran
que cualquiera de los 16 numeros invertibles se escribe de manera
unica de la forma antesmencionada:
C = {32k(16 + 2)}8k=1
y NC = {32k+1(12 + 6)}8k=1
C = {32k(12 + 6)}8k=1
y NC = {32k+1(16 + 2)}8k=1
.
donde estamos usando que modulo 17 se tienen las
congruencias
16 38, 2 314, 6 315 y 12 313.
y al multiplicar por 32k o 32k+1 se obtienen sumandos de las
formas propuestas.
Como un corolario inmediato tenemos igualdad:
iC
i jNC
j = 0 1 =
17. (5)
2.1. Algunos comentarios finales
Quiza sea un poco decepcionante para el lector encontrar una
construccion con regla y compas que no utilizaninguno de los dos
instrumentos en modo alguno. Aunque en general se cree que Gauss
realizo una construccionexplcita del polgono de 17 lados, no se
sabe a ciencia cierta si lo hizo, dado que fue otro de los grandes
genios pocoadeptos a publicar sus resultados. Sin embargo, se
conoce una construccion de estas caractersticas de Richmond(1893)
que no reproducimos por falta de espacio pero que puede leerse en
[Cabeza].
El lector con algunos conocimientos de teora de Galois habra
notado que la parte medular de la construcciondel polgono esta en
calcular la red de grupos de Galois de la extension de las races
decimo septimas de la unidad.En este lenguaje se pueden generalizar
de forma sencilla los resultados anteriores, para llegar al
siguiente:
Figura 4: El matematico Pierre Laurent Wantzel.
Teorema 2.4. (Wantzel) Sea n un numero natural que se descompone
en producto de primos como:
n = 2p11 pi
i
entonces el n-agono regular es construible si y solo si los
primos nones Pi son primos de Fermat y 0 i 1. Enparticular n es un
primo impar si y solo si es un primo de Fermat.
A lo largo de su vida Gauss estuvo muy interesado en probar la
ley de reciprocidad cuadratica planteada porEuler. Muchas de las
ideas utilizadas para mostrar que el polgono de 17 lados es
construible estan presentes enuna de las herramientas mas poderosas
que desarrollo para ello y que hoy se conocen como sumas de Gauss.
Enparticular, mencionemos el siguiente resultado que generaliza las
ecuaciones (3) y (5):
-
Mefisto
21
Teorema 2.5. Sea p un primo impar y = e2piip una raz p-esima de
la unidad. Denotemos respectivamente a C y
NC y los cuadrados y no cuadrados de los elementos invertibles
modulo p entonces:
iC
i iNC
j = (1)
p12p
Referencias
[Fra] J. Fraleigh , Algebra abstracta, ADDison-Wesley
Iberoamericana, 1987, 484 pp.
[Infante] C.Infante, Construcciones con regla y compas, en este
numero.
[Ivora] C.Ivora, Teora de Numeros, disponible en
http://www.uv.es/ivorra/Libros/Numeros.pdf
[Mayer] S.Mayer, The tracendence of pi, 2006 disponible en
http://sixthform.info/maths/files/pitrans.pdf.
[Milne] J.Milne Fields and Galois Theory, disponible en
http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ft.html
[Cabeza] A. Sanz, Gauss y el polgono de 17 lados, Suma 58,
101-105 disponible en http://platea.pntic.mec.es/
ape-rez4/decabeza/58decabeza.pdf
-
Mefisto
22
23
x
6
8
9z
5
01 Dos pastores estn cuidando a sus ovejas. El primero de ellos
dice:
Dame una de tus ovejas, para que tengamos los dos la misma
cantidad.
El segundo le contesta:
Mejor t dame una de tus ovejas, para que yo tenga el doble de
las que tengas t.
Cuntas ovejas tena cada pastor?
2 En un equipo de basquetbol debe haber cinco ju-gadores.
Adolfo, Ramiro, Fernando, Enrique y Ga-briel deciden formar su
equipo. Si en el equipo se tienen las playeras para los 5
jugadores, cada una con un nmero diferente, de cuntas formas
dis-tintas pueden repartirse las playeras entre los inte-grantes
del equipo?
3 Alfonso, Carlos, Rodolfo y Wenceslao son cuatro artistas. Uno
de ellos es bailarn, otro es pintor, otro cantante y el otro es
escritor, pero no nece-sariamente en ese orden.
Alfonso y Rodolfo estaban en el recital donde hizo su debut el
cantante.
Carlos y el escritor encargaron sus retratos al pin-tor. El
escritor hizo la biografa de Wenceslao y planea hacer la de
Alfonso. Alfonso nunca ha odo hablar de Rodolfo.
A qu se dedica cada uno de ellos?
Acertijos
-
Mefisto
23
AcertijosSolucin a los anteriores
1 Sea x el nmero de perlas. A la primera hija le tocan y = 1 +
(x - 1)/7 perlas. A la segunda le tocan z = 2 + (x-y-2)/7, y as
sucesivamente. Pero como la condicin final es que cada hija recibi
la misma cantidad de perlas, al igualar y con z y resolver para x
la ecuacin resultante, encontramos que haba 36 perlas y 6
hijas.
? 4y
x2y
2
z2
1
7
2 En el momento en que coinciden las manecillas del reloj entre
el 8 y el 9, faltan aproximadamente 17 minutos para las 9. Pero
cuando hacen un n-gulo de 180, entre 2 y 3 de la tarde, la
manecilla de los minutos est exactamente en el mismo lugar,
mientras que la de las horas apunta en direccin opuesta, por lo que
deducimos que han pasado ex-actamente 6 horas.
3Si se saca un calcetn, puede ser de cualquiera de los dos
colores. El segundo puede ser del mismo color que el anterior, o
del otro color que hay. Pero el tercero tiene que ser de alguno de
los dos colo-res, ya que no hay otros colores. Por lo tanto, con 3
calcetines que se saquen, es seguro que hay un par del mismo color,
sin importar cuntos calcetines hay de cada color.
4 Los cubitos de los vrtices tienen 3 caras pintadas. Los de las
aristas tienen slo 2 caras pintadas. Y los de la parte interior de
las caras tienen slo 1 cara pintada. Pero en la parte interior de
las caras hay 8 x 8 = 64 cubitos, y como hay 6 caras, se tienen en
total 64 x 8 = 384 cubitos con 1 sola cara pintada.
-
Mefisto
24
Sudoku
Fcil
Difcil
Solucin al anterior
Solucin al anterior
1
1
1
1
11
1
1
1
2
2
2
22
2
2
223
33
3
3
3
3
3
34
4
4
44
4
44
45
5
5
5
55
5
55
6
6
6
66
6
6
66
77
77
7
7
7
77
8
8
8
8
8
88
8
8
99
9
9
99
9
9
9
11
1
1
1
1
11
1
22
2
2
22
2
22
33
3
3
33
33
3
4
44
4
44
4
44
55
5
55
55
5
56
66
6
66
66
6
77
7
77
77
7
7
88
8
8
88
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