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Mefisto
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MefistoNmero 10 Abril de 2014
En este nmero:
Presentacin 3Fausto Cervantes Ortiz
La transformacin de Mbious 4Emiliano Geneyro Squarzon
El cielo de invierno 12
Jorge Luis Borges y su libro de pginas de arena 14Joel Garca
Len
Frases clebres 21
Acertijos 22
Sudoku 24
El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemticos y
todos aquellos que hacen pro-fecas vacas. Existe el peligro de que
los matemticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el
espritu y confinar al hombre en el infierno.
San Agustn, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.
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MefistoEditor
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Fausto Cervantes Ortiz
Comit Editorial
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Fausto Cervantes Ortiz
Daniel Maisner Bush
Vernica Puente Vera
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PresentacinFausto Cervantes Ortiz
Academia de MatemticasPlantel San Lorenzo Tezonco
La tarea fundamental de loss matemticss consiste en demostrar
teoremas. Es por ello que, cuando algn despistado acude a ellos
para realizar op-eraciones difciles en tiempo record, generalmente
no obtiene el comportamiento esperado. Por otro lado, los no
matemticos que usan las matemti-cas como herramienta para hacer su
trabajo (in-genieros, fsicos, economistas, etc.), generalmente
encuentran en libros u otros medios frmulas, y las usan sin
preocuparse de la teora que funda-menta a las mismas.
Correspondientemente, los matemticos frecuentemente usan
herramien-tas como las computadoras y sus programas, sin
preocuparse de la teora electrnica y de software que las hace
funcionar, y que permite realizar pro-gramas, grficas, etc., con
resultados de uso diario en esta disciplina. Sin embargo, cuando
unos y otros se asoman al campo del otro, puede ser muy estimulante
enter-arse de la forma en que trabaja cada quien, apre-nder cosas
nuevas, y hasta aplicarlas a su propio campo de estudio. En este
nmero, Emiliano Geneyro nos expone la deduccin de la frmula de
Mbius paso a paso, as como una aplicacin al conteo de polinomios
mnicos irreducibles. El conteo o combinatoria, es una de las ramas
de la matemtica que en la ac-tualidad est teniendo un renacer, al
observarse la utilidad que sta tiene en criptografa, base de los
modernos sistemas de seguridad computarizada. Es as como una rama
de las matemticas que apa-rentemente no tena mucha utilidad
prctica, de manera sbita se vuelve indispensable en la vida diaria.
Esto nos recuerda la aseveracin de Luis
Pasteur: No hay ciencias aplicadas, hay aplicacio-nes de la
ciencia. Como Emiliano nos lo dice clara-mente, hacer matemticas
puede no ser tan simple como usarlas, pero por otro lado puede ser
alta-mente estimulante. Las matemticas han recibido menos atencin
de la que merecen en algunas manifestaciones del arte, a pesar de
lo cual ,en los casos en que s se les involucra, los resultados
pueden ser altamente estimulantes a nivel intelectual Baste
recordar la obra de Leonardo Da Vinci y otros artistas
re-nacentistas, mismos que al hacer uso de resulta-dos matemticos
obtuvieron resultados artsticos asombrosos. Pero el uso de las
matemticas en el arte no se limita a las artes visuales; tambin en
la literatura se han hecho obras importantes. En esta ocasin Joel
Garca se interna en la lit-eratura para analizar el contenido
matemtico de algunas de las obras ms conocidas del escritor
ar-gentino Jorge Luis Borges. Como el autor admite en su artculo, l
mismo no es especialista en litera-tura, sin embargo considera
oportuno realizar un anlisis que difcilmente veramos hacer a un
espe-cialista literario. Es entonces que Joel nos explica algunos
de los conceptos matemticos presentes en la obra de Borges, como
los infinitos, las curvas que llenan espacios completos, la
geometra plana y esfrica, etc. Como de costumbre, a los artculos
presentados se aaden las secciones usuales en nuestra gaceta: mapa
estelar, frases, acertijos y sudokus. Espera-mos que nuestros
lectores disfruten este nmero de Mefisto.
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Mefisto
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La transformacin de MbiusEmiliano Geneyro Squarzon
Facultad de Ciencias, UNAMDeduciendo la formula de inversion de
Mobius
Emiliano Geneyro Squarzon
Facultad de Ciencias, UNAM
Introduccion
Dentro de las matematicas existen muchas herramientas que nos
permiten alcanzar nuestrosobjetivos. Algunas de ellas suelen ser
complejas en su desarrollo o en su presentacion final; sinembargo
existen otras de gran simpleza pero no por eso con menor grado de
importancia. Unejemplo de estas ultimas es la formula de inversion
de Mobius, la cual posee una expresion simple.
La formula de inversion de Mobius fue introducida en la teora de
numeros por AugustFerdinand Mobius (1790-1868). En ella se
establece que si dos funciones aritmeticas (funcio-nes definidas en
los naturales que contribuyen al estudio de las propiedades
aritmeticas de losnumeros) f y g poseen una relacion entre ellas,
dada por la siguiente formula:
f(n) =d|n
g(d)
donde d|n significa que d divide a n o d es divisor de n;
entonces, esta relacion se puede in-vertir para todo entero n >
1, es decir g puede escribirse como una suma de imagenes de f dela
siguiente manera:
g(n) =d|n
(nd
)f(d).
La funcion que aparece en la formula se definira mas
adelante.Esta formula permanecio en el olvido durante mucho tiempo,
hasta avanzado el siglo XX
cuando Louis Weisner (1935) y Phillip Hall (1936), de manera
independiente, dieran una ge-neralizacion motivados por diversos
problemas de la teora de grupos. Sin embargo, ellos serestringieron
a las aplicaciones de la formula de su interes y ninguno profundizo
en la teorarelacionada con la inversion de Mobius.
No fue hasta 1964, cuando Gian-Carlo Rota publico un artculo
dedicado a la funcion deMobius, que comenzo a tomar relevancia en
el desarrollo de otras ramas de las matematicas.Rota no solo
profundizo en la teora relacionada a esta formula, sino que
generalizo dichosresultados a cualquier conjunto que posea una
relacion binaria de orden que cumpla con serreflexiva, transitiva y
antisimetrica; a estos conjuntos se les denomina conjuntos
parcialmenteordenados. Esta generalizacion le permitio a Gian-Carlo
Rota encontrar diversas aplicaciones,principalmente en problemas de
conteo en el area conocida como combinatoria. Desde entonces,la
teora de la formula de inversion de Mobius se ha convertido en una
herramienta sumamenteutil dentro de la combinatoria.
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En matematicas estamos acostumbrados a ver resultados
presentados en su version final; esdecir, se nos da el resultado y
la demostracion de la veracidad de este. Sin embargo, es comunque
surjan cuestionamientos naturales o inquietudes sobre el proceso
deductivo que siguieronquienes llegaron al resultado, por
ejemplo:
Como se le ocurrio esto?, cual era la motivacion para llegar a
este resultado?, cuales eranlos intereses cientficos del autor?,
como paso de este paso al siguiente?, cual es la teora queesta
utilizando?, etc.
En particular, en la teora relacionada a la formula de inversion
de Mobius, es comun que enquien se adentra en ella tenga este tipo
de inquietudes. Por ello, en la primera seccion del presentetrabajo
mostraremos como se deducen algunos elementos necesarios para el
planteamiento dedicha formula de inversion y su generalizacion.
Posteriormente mostraremos como se utiliza estaformula en
combinatoria.
Deduccion de la formula
El principio de inclusion y exclusion y la funcion
El primer elemento que descibiremos es la funcion , que aparece
explcitamente en la formulade inversion de Mobius.
La funcion se obtiene al buscar una formula para contar todos
aquellos numeros enterospositivos menores a un entero n que sean
primos relativos con este, es decir, el maximo comundivisor sea 1.
La funcion (n) de Euler se define como esta cantidad:
(n) := |{x {1, 2, . . . , n} : M.C.D(x, n) = 1}|.
Lo que buscamos entonces, es dar una expresion simple de (n) que
nos permita obtener estascantidades para cualquier numero entero
positivo que queramos. Para esto utilizaremos una delas
herramientas de conteo mas importantes, el Principio de Inclusion y
Exclusion (P.I.E)que describimos a continuacion:
Sea C un conjunto con N elementos y sean S1, Sr subconjuntos de
C no necesariamente di-ferentes. Para cada subconjunto M {1, , r}
definamos N(M) como el numero de elementosde C pertenecientes a la
interseccion de los Si con i M , es decir
N(M) = |iM
Si| siendo M {1, . . . , r}
y sea
Nj :=|M |=j
N(M) con 0 j r
es decir, Nj es la suma de la cantidad de elementos de C que
estan en las distintas interseccionesde j elementos de los
subconjuntos {S1, . . . , Sr}.
Entonces, el Principio de Inclusion y Exclusion afirma que el
numero de elementos deC que no pertenecen a ninguno de los Si, 1 i
r es:
N N1 +N2 N3 + + (1)rNr
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A continuacion utilizaremos el principio P.I.E para encontrar
una expresion en terminos dela descomposicion en primos de n para
(n). Como cualquier numero entero se puede factorizaren producto de
numeros primos (aquellos cuyos unicos divisores son productos de
las unidades 1 y el mismo).
Sean = p1
1 p2
2 pr
r, piprimo, 1 i r y 0 i.
Calcular la cantidad de primos relativos a n es equivalente a
determinar aquellos enteros menoresque n que no sean divisibles por
ninguno de los pi. Sean entonces
Si = {x {1, 2, 3, . . . , n} : pi divide a x},
aplicando el P.I.E. tenemos:
(n) = nN1 +N2 N3 + + (1)rNr
donde:
N1 =r
i=1
|{x {1, 2, . . . , n} : pi divide a x}|
N2 =
1i
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Si bien de esto ultimo es posible encontrar una formula para
(n), recordemos que nuestroproposito es deducir la funcion que
aparece en la formula de inversion de Mobius.
Observemos que los terminos de (n) con productos con una
cantidad impar de factoresprimos son negativos, y los terminos que
poseen un producto par de primos son positivos. Ahorabien, los
divisores de n que no estan libres de cuadrados (aquellos que estan
divididos por algunapotencia mayor o igual a 2 de los primos pi) no
aparecen en los sumandos de la formula 1 de(n). De las
observaciones anteriores, podemos definir la siguiente funcion:
(d) :=
1 Si d es producto impar de primos distintos,1 si d es producto
par de primos distintos,0 si d no esta libre de cuadrados
A esta funcion es a la que llamamos funcion de Mobius
clasica.
De esta manera hemos obtenido la funcion principal involucrada
en la formula de inversionde Mobius.
Deduccion de la formula
Para demostrar la formula, sean f(n) y g(n) funciones definidas
para todo entero positivo n,tales que:
f(n) =d|n
g(d), donde d|n significa d divide a n
Como d es un divisor de n si y solo si n/d lo es, tenemos:
d|n
(d)fnd
=d|n
nd
f(d)
al tener los mismos sumandos. Ademas, como d tambien es un
entero, tenemos que:
f(d) =d|d
g(d)
Finalmente, si d es divisor de d tambien lo es de n, podemos
reescribir los anteriores resultadoscomo:
d|n
(d)fnd
=d|n
nd
f(d) =
d|n
nd
d|d
g(d) =d|n
g(d)
m|(n/d)
(m)
Hasta aqu solamente hemos utilizado propiedades de los divisores
de n, lo cual nos lleva a lanecesidad de encontrar alguna propiedad
de que nos permita avanzar mas en la simplificacionde la ultima
suma.
En concreto, necesitamos saber cuanto vale la suma de todos los
valores de sobre los divi-
sores de un numero entero (en nuestro cason
d).
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Sea un entero positivo. Si = 1 se tiene que (1) = 1, ya que por
definicion 1 posee unnumero par de factores primos (al tener 0
factores). Ahora si > 1, se descompone como
= p11 p2
2 pr
r, pi primo , i > 0.
Sin perdida de generalidad podemos suponer que i = 1 para toda i
porque en caso contrario no sera libre de cuadrados y la funcion
valdra 0.
Ahora bien, existen(r
i
)divisores de con i factores por lo cual:
d|
(d) =r
i=0
(r
i
)(1)i = (1 1)r = 0 (4)
donde la ultima igualdad se obtiene por la formula del binomio
de Newton.Con lo cual podemos concluir que:
d|
(d) =
{1 = 10 en otro caso
Este resultado nos permite concluir que
m|(n/d)
(m) = 0
excepto cuando n/d = 1; con lo cual la suma anterior es 0
excepto para d = n.Retomando el desarrollo (4) tenemos:
d|n
(d)f(nd
)=d|n
g(d)
m|(n/d)
(m) = 0 + 0 + + g(n) + 0 + 0 + = g(n)
y por lo tanto:
g(n) =d|n
(nd
)f(d) =
d|n
(d)f(nd
)
Con esto hemos obtenido:
Teorema: (Formula de Inversion de Mobius:)Sean f(n) y g(n)
funciones definidas para todo entero positivo n, tales que
f(n) =d|n
g(d)
entonces g(n) satisface
g(n) =d|n
(d)f(nd
)
En el proceso de la deduccion de la formula hemos construido su
demostracion.
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Algunas aplicaciones
La formula de inversion que hemos obtenido tiene diversas
aplicaciones. En particular, re-cientemente han habido importantes
contribuciones a los problemas de conteo en el area de
lacombinatoria.
A continuacion ejemplificamos el uso de la formula de inversion
de Mobius contando el numerode polinomios monicos irreducibles de
grado n con coeficientes en un campo finito k = Fq.
La formula buscada la obtendremos de manera indirecta realizando
de dos formas diferentesel conteo de todos los polinomios monicos
de grado n en k.
Seak[x]mon = {fj(x)}
j=1
= {f1(x), f2(x), f3(x), } (5)
un listado de todos los polinomios monicos e irreducibles.Ademas
denotemos por
k[x]mond
a los polinomios monicos de grado exactamente d 1.Sea Nd el
numero de polinomios monicos irreducibles de grado d 1, es
decir
Nd = |k[x]mon
d|.
Ahora bien, todo polinomio f(x) k[x]mond
factoriza de manera unica, fijando el orden en lospolinomios
como en (5), como un producto de polinomios irreducibles:
f(x) = fd1i1 fds
is, donde fi kdi [x]
mon, d = i1d1 + + isds.
Podemos reescribir esta igualdad como un producto formal:
f(x) = (f1(x))i1 (fj(x))
ij , con fi k[x]mon.
en donde los exponenetes ij son cero para casi toda j, es decir
cero salvo un numero finito.
Por tanto podemos establecer una correspondencia uno a uno entre
k[x]mon y Z(N)
+ las suce-siones de enteros positivos
Xj = {i1, , ij, }, ij = 0 para casi toda j
y en particular se tiene una correspondencia entrek[x]mon
dy las sucesiones:
Z(N)
d:= {Xj Z
(N)
+ con d = i1d1 + + isds.}
Esta correspondencia nos permitira contar el numero de
polinomios monicos de grado d dedos formas diferentes.
Observemos que el numero de polinomios monicos de grado n es qn
dado que cualquier polino-mio de esta forma tiene d coeficientes
diferentes y cada uno de ellos puede elegirse de q maneras.Esta
cantidad aparece en la siguiente serie de potencias como el
coeficiente correspondiente axn:
1
1 qx= 1 + qx+ (qx)2 + (qx)3 +
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Por otro lado, el numero de sucesiones Xj Z(N)
n i1, i2, i3, . . . que cumplen con la condicionn = i1d1 + i2d2
+ i3d3 + se puede obtener como el coeficiente de x
n en la multiplicacion delas siguientes series de potencias:
(1 + xd1 + x2d1 + x3d1 + )(1 + xd2 + x2d2 + x3d2 + )
Juntando ambos resultados obtenemos:
1
1 qx=
i=1
1
1 xd1=
d=1
(1
1 xd
)Nd.
Aplicando el logaritmo en ambos lados de la igual, se tiene
que:
log
(1
1 qx
)= log
(d=1
(1
1 xd
)Nd).
Utilizando las propiedades del logaritmo y de su expresion como
suma infinita, obtenemos:
n=1
(qx)n
n=
n=1
Nd log
(1
1 xd
)=
d=1
Nd
j=1
(xd)j
j
El coeficiente de xn en la serie del lado izquierdo es qd
d. Para obtener dicho coeficiente en
la serie de la derecha debemos considerar unicamente los
sumandos dej=1
(xd)j
jque cumplen la
condicion n = jd, equivalentemente cuando j = nd, es decir
cuando d|n; de donde tenemos que
el coeficiente de xn es:
d|n
Nd 1
n/d
Juntando ambos resultados, se tiene que:
qn
n=d|n
Nd 1
n/d qn =
d|n
Nd (1
n/d)n =
d|n
Nd d
Es decir
qn =d|n
Nd d
Esta expresion cumple con todas las hipotesis de la formula de
inversion de Mobius, que alaplicarla haciendo f(n) = qn y g(d) = Nd
d, se obtiene:
n Nn =d|n
(nd
)qd Nn =
1
n
d|n
(nd
)qd
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De esta forma hemos obtenido que el numero de polinomios monicos
irreducibles de grado n,en un campo con q elementos es
1
n
d|n
(nd
)qd
Con esto hemos mostrado parte del proceso deductivo que se hace
para formular y demostrarla formula de inversion y como hacer uso
de esta para obtener resultados importantes. Este pro-ceso
deductivo no es evidente y muchas veces requiere dedicacion para
comprender claramentelos diferentes pasos que nos permiten
desarrollar la teora deseada.
Tambien la aplicacion de la teora puede no ser clara y directa
como uno esperara. Muchasveces este uso puede surgir de manera
indirecta al desarrollar otro resultado. En nuestro ejemploel
conteo de polinomios monicos irreducibles se obtiene de manera
indirecta al contar algo massencillo como es la cantidad de
polinomios monicos en general.
As pues, las matematicas poseen procesos deductivos y
constructivos que requieren destreza ydedicacion. El proceso de
aprendizaje dentro de las distintas ramas de la matematicas,
constituyeun reto intelectual para cualquier persona ya que esta
debe llenar los espacios vacos que conectanlos distintos pasos de
la teora para poder comprenderla a profundidad. Por ello es
fundamentalmantener siempre vigentes las preguntas mas basicas
durante la construccion del pensamientomatematico. Nada es
evidente, pero con dedicacion y perseverancia todo puede serlo.
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12
El cielo de primavera
Fases de la Luna
Luna nueva
28 de abril28 de mayo26 de junio
Cuarto creciente
6 de abril6 de mayo5 de junio
Luna llena
14 de abril14 de mayo12 de junio
Cuarto menguante
21 de abril21 de mayo19 de junio
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Mefisto
13
Lluvias de estrellas
Lridas
21 y 22 de abril
h Acuridas
6 de mayo
Planetas
Mercurio en PiscisVenus en AcuarioMarte en LibraJpiter en
CncerSaturno en EscorpinUrano en AriesNeptuno en Piscis
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Mefisto
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La ciencia ha hecho ms en cien aos por el desarrollo de la
civilizacin occidental que lo que ha hecho el cristian-ismo en mil
ochocientos aos
John Burroughs (1837 - 1921) Bilogo estaduni-dense.
Frases clebres
La ciencia no deja mucho es-pacio para milagros, ni para
Dios
Stephen Hawking (1942 - ) Fsico ingls.
La violencia crea ms prob-lemas sociales que los que
re-suelve
Martin Luther King Jr. (1929 - 1968) Lder social
estadunidense.
Vivimos en un mundo donde hay que esconderse para hacer el amor,
pero donde la violen-cia se practica a la vista de to-dos
John Lennon (1940 - 1980) Msico ingls.
Es ms fcil engaar a la gente, que convencerlos de que han sido
engaados.
Mark Twain (1835 - 1910) Escritor estadunidense.
Ms que por la fuerza, nos dominan por el engao
Simn Bolivar (1783 - 1830) Poltico venezolano.
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Jorge Luis Borges y su libro de pginas de arena
Joel Garca LenAcademia de Matemticas, SLT
IntroduccinConfieso que hacer un ensayo sobre Jorge Luis Borges
no slo es presuntuoso, sino una ardua tarea, al menos desde la
ptica de un matemtico que se limit a disfrutar algunas de sus
obras. Es por ello que slo expresar mi experiencia como lector; un
placer que por primera vez sent, cuan-do descubr su obra ms famosa
a mi entender: El Aleph.
El maestro Jorge LuisJorge Luis Borges es al menos para m un
fil-sofo griego contemporneo nacido en la Argen-tina: para muchos
de nosotros, l nos introduce en la Grecia antigua, quiz sin
proponrselo. Nos recuerda aquella imagen del hermoso toro blanco
robndose a la bella Europa quien, sentada en su lomo, observa la
arena de la playa hasta que ambos desaparecen en el mar. Los
laberintos y el infinito aparecen recurrente-mente en la obra de
Borges: El espa Yu Tsun, al servicio del espionaje alemn durante la
segunda guerra mundial, casualmente encuentra que su bisabuelo, el
sabio y astrlogo Tsui Pn, fue un personaje que durante toda su vida
pretendi dos cosas: escribir un libro de pginas infinitas y crear
un laberinto con infinitos caminos. l nos recuerda cmo un nufrago
estelar, venido del cielo, cae en una isla griega, paulatinamente
se convierte en el Minotauro hijo del Toro blanco y Pesfae y vive
en un laberinto extraordinario. Cada vez que el personaje pasa por
alguno de sus puntos, jams regresa a l, tiene que verlo por primera
y ltima vez, pues es un laberinto sin final ni principio. La isla
de Creta es su prisin y su casa al mismo tiempo. El libro infinito
es la obsesin, la acumulacin de dudas, la falta de explicacin que
tanto necesita la
humanidad sobre el mundo que le rodea; es sim-plemente lo que
nunca agotaremos y lo que nunca supimos cundo empezamos. Los
griegos tenan ese temor tambin, para ellos el infinito era un tab:
la paradoja de Xenn nos lleg como expli-cacin del no movimiento. El
infinito de Borges es palpable, contraria y paradjicamente a las
inten-ciones de Xenn, lo cosifica en un aparato extrao en el cual
vemos todo lo que sucede en distintos lugares al mismo tiempo, e
inversamente, tambin vemos lo que sucede en un slo lugar en tiempos
distintos: el infinito de Borges es un instrumento de movimiento.
Naturalmente, su obra recuerda aquel reto que Demcrito lanz a sus
contrincantes (cito de me-moria): Escribid un libro que contenga
tantas ho-jas como granos de arena tiene la playa. El libro
infinito, entonces, se convierte en aoranza para algunos lectores:
ojal alguno hubiese vivido lo suficiente para escribir tal libro,
tan humanamente imposible y tan cercano a la inteligencia que
Borg-es representa. Quiero suponer que su frase clebre No soy un
buen escritor, pero s un buen lector tiene que ver con aceptar que
no podra escribir tal libro, humildad que todo escritor debe
aprender como una buena leccin.
El infinitoLos libros religiosos se estrellan ante la lgica
bor-giana, la palabra de Dios es infinita y l sera el au-tor del
libro que exiga Demcrito. No hay libro religioso que cumpla con
este requisito; cualqui-era de ellos, por muy grande que sea su
nmero de pginas, siempre ser finito. Esto significa que Dios no
escribi un libro para los humanos, o que simplemente Dios est an
ausente entre nosotros. La herencia dejada en El Aleph es
complicada: de haber un infinito, entonces hay ms de un infinito.
Son todos iguales entre s? La respuesta se deja
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como ejercicio mental al lector, el que lee la pre-gunta es
quien debe de dar su propia respuesta; sin embargo, hay una luz que
nos deja: hay dos infini-tos que son iguales; ver todo al mismo
tiempo y ver todo en tiempos distintos. Su idea no es irreal,
cualquiera que sea su con-cepto de realidad. Para visualizarlo,
pensemos en cmo aprende a contar un infante sin saber nmeros:
colocando en filas horizontales los obje-tos que se quieren contar;
cotejamos uno a uno los elementos sin repetir, que es lo mismo que
decir las filas son iguales, o tienen el mismo nmero de elementos.
De este modo, Borges rompe una regla socialmente aceptada: el total
es mayor que sus partes. Para tener la certeza de que no siempre el
total es mayor que sus partes, tomemos el ejemplo de los nmeros
conocidos como naturales y pongamos nuestras listas antes
mencionadas:
Los puntos suspensivos indican que no nos de-tenemos. Si
seguimos la lista hacia la derecha y ha-cia abajo notamos que
tienen el mismo nmero de elementos; esto es, los nmeros tienen la
propie-dad siguiente: hay al menos uno de ellos que, siendo una
parte pequea del original, tiene el mismo tamao. En este caso, los
nmeros pares, los mltiplos de tres, los mltiplos de cuatro, etc.,
todos tienen el mismo tamao que los nmeros naturales, que es el
total que los contiene. As, entendemos una de las reglas ms
preciadas que la inteligencia humana ha producido: la idea del
infinito como el total, y ste puede ser exacta-mente igual a una de
sus pequeas partes. sa es su esencia, es lo que lo diferencia de lo
finito, donde el total de lo finito siempre es mayor que
cu-alquiera de sus partes, que por supuesto es finita.
Infinitos grandes e infinitos pequeosSurgen infinidad de
preguntas de tan slo leer la obra de Borges, por ejemplo: Hay un
infinito ms pequeo? La respuesta contundente es s. Natu-ralmente
diramos que no hay un infinito ms grande; siempre hay uno ms grande
que el ante-rior, de otro modo tenemos slo un nmero finito de
infinitos, lo cual contradice el principio del in-finito. Por
supuesto el infinito ms pequeo es aqul que tiene tantos nmeros como
el conjunto de los nmeros naturales, que puede ser representado
como una sucesin interminable de puntos alin-eados. El siguiente
infinito, lo conocemos con el nombre de nmeros reales, o el
conjunto de todos los nmeros que se pueden escribir con
represen-tacin decimal. Tambin por razones geom-tricas es el que se
puede representar como una lnea recta que se puede trazar sin
despegar el lpiz del papel, o una sucesin continua de puntos
inter-minables, y que es nombrado el continuo. Notemos dos cosas
cruciales: la primera de el-las es que los nmeros naturales son
ordenados, mientras que el continuo no lo es. Qu significa ello?
Significa que el primer nmero natural est representado por el 1, el
segundo, por el 2 y as sucesivamente; es decir si tenemos un nmero
natural podemos decir con precisin cul es el siguiente en el orden
dado. Esto no ocurre con el continuo, a pregunta expresa cul es el
sucesor del nmero uno en el continuo? Como simples lecto-res
diramos el 1.1, pero inmediatamente notamos nuestro error:
1.01 > 1 y < 1.1;
entonces diramos que se es el elegido. Nueva-mente caemos en un
error, pues
1.001 > 1 y < 1.01.
Este proceso se vuelve infinito, y terminamos con la frustracin
de no poder elegir el sucesor del
1 2 3 4 5 6 ...
2 4 6 8 10 12 ...
3 6 9 12 15 18 ...
4 8 12 16 20 24 ...
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nmero 1, lo cual ocurre en realidad con cualquier otro nmero en
el continuo: simplemente no tiene sucesor, mientras que en los
nmeros naturales s lo podemos sealar. La segunda observacin es que
nunca se puede establecer una relacin entre los nmeros reales y los
naturales, como la que se realiza entre los nmeros pares y los
naturales, lo cual quiere decir que el continuo es mayor que los
naturales. Esta diferencia entre el continuo y los naturales se
sin-tetiza de la manera siguiente: mientras los natura-les es un
conjunto numerable, el continuo no lo es, o bien, el continuo es
inconmensurable. Un juego que fascinaba y retaba la inteligencia
entre los filsofos de la antigedad griega es el siguiente: Dado un
punto sobre una recta, ste representa un nmero; inversamente, dado
un nmero hay un punto en la recta que lo representa. Decidme,
cuando doy el nmero, podes trazarlo exactamente con slo regla y
comps en la recta continua? Inversamente, al tener un nmero, qu
punto representa en la recta?. La respuesta es s se pude; sin
embargo, no nos describieron el m-todo para ello, de tal suerte
que, de manera lgica, se puede reducir al problema ya tratado: Qu
nmero precede a la unidad?
El infinito y el laberintoEs sabido que la recta no tiene
grosor. En el len-guaje moderno diremos que la lnea no tiene rea,
aunque tiene longitud. Sin embargo, el punto no tiene longitud,
mientras que la lnea si la tiene, cmo puede ser ello si la lnea es
una sucesin de puntos, mientras que el plano es una sucesin de
lneas? Esta incgnita es parte de la crisis intelec-tual a la que no
sobrevivi la Grecia antigua. El miedo al infinito es justificado:
no es gratuito que la humanidad tard ms de diecinueve siglos en
entender la profundidad de este problema. Para pasar de un estatus
a otro (es decir, una lnea tiene longitud, pero para un punto la
longitud es nula), la pregunta inmediata es: cuntos puntos
necesitamos para llenar la recta?; o bien, en tr-minos de
longitudes: cuntos puntos se requieren para generar un longitud
positiva? Decir millones
de millones es poco: se necesita una infinidad mayor que con la
que cuentan los nmeros natura-les, esto es, el continuo es un
infinito mayor nece-sario para generar dichas cantidades, como ya
lo habamos previsto. Esta misma incgnita se trasla-da a las figuras
geomtricas planas: si tenemos un cuadrado, cuntas curvas
necesitamos para llenar el cuadrado?; o bien, hay una curva con la
cual podamos llenar un cuadrado? La solucin de este problema tard
siglos en llegar. La clave est en la siguiente construccin: si el
cuadrado lo subdividimos en cuatro cuadrados iguales contenidos en
el original, al tomar sus centros podemos unirlos con una
poligonal. El siguiente paso es subdividir el mismo cuadro pero
ahora en ocho cuadrados iguales contenidos en el original. El
siguiente es dividirlo en diecisis cuadrados y seguir este
procedimiento de manera indefinida; ntese que le nmero de cuadrados
debe ser igual al nmero de centros. Al final del proceso, tendremos
la curva que llena el cuadrado. Grficamente podremos ver los
primeros pasos de este proceso en la Figura 1. Los nicos requisitos
que debe cumplir nuestro trazo son los siguientes:
El trazo debe ser continuo; esto es, no se debe despegar el lpiz
de la hoja de papel
No se debe pasar por el mismo punto ms de una vez
No se deben cruzar ni repetir las lneas Por cada punto en el
rectngulo debe existir
una polgonal que lo contenga
Esta curvas son conocidas como curvas de Peano o curvas de
Hilbert. ste es el laberinto referido por el cual camina el
Minotauro, o bien el laberinto infinito creado en los libros de
Borges: en efecto, al recorrer este laberinto, por cada lugar que
pasa-mos jams regresamos a l; por tanto, la cantidad de paisajes
contemplados son inagotables. Y los ms importante: no estamos
posibilitados para de-jar dicho laberinto, estamos atrapados en l
de por vida. En la actualidad, este problema de llenar figu-ras
geomtricas con curva, ha llevado al estudio de distintas ramas de
las matemticas, una de ellas conocida como fractales. Aqu el
problema es in-
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Mefisto
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teresante: Dado un paisaje o mapa, lo podem-os llenar con una
curva? Parece sencillo; no lo es. Ms an: es un terreno nuevo en las
matemticas y las ciencias de la computacin. El ejemplo de la figura
2 fue hecho con computadora, y nos mues-tra cmo es posible llenar
una figura con curvas continuas: Es sencillo ahora concluir: el
laberinto no nece-sariamente es rectangular; puede tener cualquier
forma, sin importar cun complicada sea y, por su-puesto, ste es
infinito: es decir, es un laberinto del cual, una vez dentro, es
imposible salir.
El Aleph El Aleph, es la primera letra del alfabeto hebreo, que
indica el comienzo y la unidad entre dios y los hombres, segn reza
el judasmo. De dnde obtuvo Borges el ttulo de este cuento? Aleph
cero es conocido como el nmero de elementos de los nmeros
naturales, el infinito ms pequeo; el nmero de elementos es, a su
vez, nombrado car-
Figura 1. Curva de Hilbert.
Figura 2. Lena, curva generada con una computadora.
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Mefisto
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Imaginemos que el tiempo es una recta inter-minable, sin
principio alguno ni final especfico. Al mismo tiempo valga la
redundancia, pen-semos en todos los sitios en el espacio como una
recta similar. As, a cada tiempo, vivimos en un lugar determinado.
De este modo imaginaremos la relacin espacio-tiempo como un plano
con dos medidas nicas; stas las expresamos grficamente como la
Figura 3, abajo, donde E representa el es-pacio y t el tiempo. Cada
punto, en dicho plano, nos informa de un lugar determinado en un
tiem-po dado. Pensemos nuevamente en la Figura 3. Al expre-sar
nuestra relacin y tomar un punto, como aqul ubicado en la
interseccin de las lneas punteadas, indica que estamos en un lugar
y un tiempo espe-cficos. As, si iniciamos nuestro camino desde este
punto, ya sea hacia arriba o hacia abajo, estamos recorriendo todos
los lugares del espacio al mismo tiempo. Contrariamente, si tomamos
el camino de la lnea horizontal punteada, ya sea izquierda o
derecha, recorremos todos los tiempos en el mis-mo lugar. Durante
siglos, la humanidad ha cultivado la mana de dibujar mapas y
fabricar globos ter-rqueos; mientras los primeros son planos, los
segundos son esfricos. Esta actividad de aplanar esferas y envolver
esferas con planos, contribuye a nuestra comprensin del Aleph de
Borges.
dinalidad y de ah surgen los nmeros cardinales. Vemos todo al
mismo tiempo y, en el mismo lugar, vemos que ocurre en distintos
tiempos: en principio, slo los dioses pueden hacerlo. Borges
encontr que ese principio no es as. A pesar del miedo, su Aleph nos
acerc a la verdad: no es privativo de los habitantes del Olimpo;
por el con-trario, algn Prometeo, al igual que el fuego, trajo esta
verdad a la Tierra y la don a la humanidad como un regalo
inconmensurable. Al descubrir el hecho anterior, el narrador del
cuento pierde el control y corre a la calle despav-orido, esa
reaccin que la humanidad tuvo en su primer contacto con la
eternidad, ese miedo que an hoy en da se le tiene al infinito y a
su rep-resentante en la tierra: los nmeros, aqullos que muchos
odian sin meditarlo, y slo unos cuantos cultivan como un arte que
la humanidad hered de los dioses. Los mortales nacemos y morimos,
nuestra corta vida se rige por la relacin espacio-tiempo: si bien
no podemos ocupar dos lugares al mismo tiempo, s podemos vivir el
mismo lugar en tiempos dis-tintos aunque notamos, con cierta
tristeza, que ese tiempo para nosotros es finito. Borges nos hace
trascender este concepto, el Aleph nos infunde miedo, desasosiego e
incer-tidumbre; sin embargo, stos desaparecen si en-tendemos y
manejamos nuestra propia relacin espacio-tiempo.
Figura 3. Relacin espacio-tiempo. Figura 4. El Aleph.
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Mefisto
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En la esfera, las rectas se convierten en meridi-anos, como se
muestra arriba en la Figura 4. En-tonces, nuestra relacin obligada,
explicada en el plano, se convierte en una relacin en la esfera. El
efecto es el mismo: si recorremos el meridiano ver-tical
identificado por la letra E, recorremos todos los lugares al mismo
tiempo; mientras que cami-nar sobre el meridiano horizontal t nos
permite recorrer un slo lugar en todos los tiempos. ste es el Aleph
de Borges: una esfera. Si nos ubi-camos en un punto de ella nos
posibilita ver todos los lugares al mismo tiempo y, a su vez, desde
un slo lugar, ver todos los tiempos.
El libro de arenaLa lnea consta de un nmero infinito de puntos;
el plano, de un nmero infinito de lneas; el volumen de un nmero
infinito de planos; el hper-volumen de un nmero infinito de
volmenes . As inicia su libro de arena, aunque la siguiente lnea
niega ste como un buen principio; por el contrario, es un excelente
principio a nuestro entender. El libro de arena est compuesto por
un nmero infinito de pginas, tantas como granos de arena tiene una
playa, dicho metafricamente segn la visin de Demcrito. El nmero de
pginas de este libro es el mismo que el continuo, esto es, la
numeracin de dichas hojas impresas tiene que ser usando el punto
deci-mal. As, este extrao libro tiene tantas hojas como la recta
puntos, de otra manera sera un libro con nmero de hojas infinito
numerable. El leer este libro es placer de unos cuantos, tiene un
nmero incontable de cuentos, novelas, y poe-sas, es el libro que
registra todo, es el libro que da cuenta de todo lo que pasa,
incluso de escritos futuros si es que ello es posible, historias
en-terradas en la memoria de la humanidad, que por supuesto se
hacen imperecederas gracias al libro de arena. Para imaginar la
magnitud del libro de arena adaptamos la paradoja de Xenn: Adso de
Mon-tealbn y Buenaventura era poseedor del libro de arena, tutor
del novicio Daniel Ambrosio Raiwzc. Teniendo fama de lector de
zagas y entendedor de
sus dominios, ante los dioses Adso jur educar a su discpulo para
caminar por la brecha del bien y el camino de la sabidura; as ret a
su iniciado a leer el libro de arena como primer comienzo; ms an,
le concedi ventaja de tres pginas: Antes que la aurora repunte,
habr ledo ms que t, sentenci Adso.
Daniel replic ante la arrogancia de su maestro:
Con toda humildad, le contradigo su aventurada aseveracin
maestro y le pido disculpas por ello. Intrigado, el sabio le pidi a
cambio una expli-cacin del porqu de su atrevimiento; esto fue lo
que respondi:
Si mi comienzo es la pgina tres, entonces usted seor tendra que
llegar primero a la pgina uno.
Cierto, dijo Adso, y eso qu argumenta?, respondi sabedor de su
excelente retrica.
Antes de que usted llegue a la pgina uno, ten-dr que pasar por
la pgina enumerada por 0.5 que antecede a la nmero 1, y antes de
ello, tiene que leer aquella numerada por 0.25, que es anterior a
la pgina 0.5, pero entonces tiene primero que leer una anterior a
0.25, digamos la 0.125.
Con esto el mentor entendi lo que nunca cruz por mente: Ambos
nunca terminaran el libro y Daniel siempre llevara una ventaja
imposible de rebasar.
Tienes razn Adso, te pido mil perdones por mi arrebato de
pedantera, con este libro nadie sale ganando, termin diciendo de
manera humilde.
El libro inconmensurable tiene un defecto: al abrir un pgina, se
tiene que leer sin descanso, se tiene que abarcar lo ms posible; de
otro modo, al cerrarse el libro, jams se vuelve a la misma pgina,
imposible regresar a la lectura donde se dej, esto es precisamente
lo que se obtiene de la numeracin de sus hojas, encontrar el lugar
preciso donde se estaba es imposible. Si se siguen sus reglas, los
lec-
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Mefisto
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tores paulatinamente se convierten en el libro, sus voluntades
son doblegadas y sus vidas como hu-manos son parte de lo imposible:
El libro de arena.
El amorUna leccin ms que nos da el maestro es acerca del amor.
Si bien nadie ha expuesto una definicin precisa de ste, negar que
es finito resulta intil. Como sentimiento humano, que comprende una
parte y su antpoda, que va acompaado de una mezcla de inumerables
experiencias, que stas a su vez contienen otras experiencias, como
cuento de nunca acabar, como pginas del libro de arena, como
caminos que tiene el laberinto impuesto al Minotauro en castigo,
decir que el amor es finito es imponernos limitaciones
innecesarias. Beatriz Viterbo es la herona desparecida, la
rep-resentacin no corporal del amor que el maestro Borges nos
muestra; quin es y cmo era resultan preguntas irrelevantes. El amor
se mantiene ms all de la muerte, la vida se aleja de Beatriz
Viterbo, y l se da cuenta por un cartel de teatro pegado en la
calle, que la vida ya no es ella pero su amor vive. Con la lejana
corporal de Beatriz no se rompe ni desaparece el amor, l sigue ah
dentro sin que na-die ms que el narrador y Beatriz lo noten.
La familia de ella se vuelve el nico enlace entre el narrador y
su Beatriz, como un enlace irrompible, el hilo de longitud infinita
que los une. Eso es Bea-triz y ese amor por Beatriz permanecer
eterna-mente ente ambos como un lazo irrompible.
EplogoSin proponrselo quiz, el maestro nos explica el infinito y
sus paradojas, como un ente real y al mismo tiempo imaginario, como
una forma de explicar la eternidad, el tiempo, el amor y otros
tabes. El Maestro Borges seguir hasta donde la hu-manidad llegue, a
pesar del mundo destructivo que nos toc vivir, l ser recordado
hasta que el ltimo ser humano perezca, y para ello falta to-dava un
Aleph.
ReferenciasBorges, Jorge Luis El Aleph, Siglo XXI, Mxico,
1949.Borges, Jorge Luis El jardn de los senderos que se bifurcan,
Alfaguara, Mxico, 1941.Borges, Jorge Luis Cuentos completos, Lumen,
Mxico, 2011.
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Mefisto
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x
689
z
50
2 Un hombre comienza un trabajo cuando las manecillas del reloj
coinciden entre las 8 y las 9 de la maana, y termina entre las 2 y
las 3 de la tarde, cuando las manecillas forman un ngulo de 180.
Cuntos minutos tard en realizar el trabajo?
1 Un rey dej como herencia un cierto nmero de perlas para
repartirse entre sus hijas. La reparticin se efectu de la siguiente
manera: A la primera hija le toc una perla ms la sptima parte de
las per-las que quedaban; a la segunda le tocaron dos per-las ms la
sptima parte de las que quedaban; a la tercera tres perlas ms la
sptima parte de las que quedaban, y as sucesivamente. Si toda la
herencia se reparti y cada hija recibi la misma cantidad de perlas,
cuntas perlas y cuntas hijas haba?
4 Un cubo de madera se pinta de color rojo. Despus de ello, se
divide en 1000 cubitos iguales. Cuntos de esos cubitos tienen una
sola cara pin-tada de rojo?
3 En un cajn hay 47 calcetines, 23 de ellos azules y 24 negros.
Cuntos calcetines se deben sacar, sin verlos, para estar seguros de
que se tiene un par del mismo color?
Acertijos
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AcertijosSolucin a los anteriores
1 Si el pegaso miente, ese da tendra que ser el lunes, pero ese
da el unicornio dice la verdad y no podra decir lo que dijo, porque
el domingo tambin dice la verdad. Si el pegaso dice la verdad, ese
da tendra que ser jueves, y el unicornio men-tira, lo cual tambin
tendra que ser el jueves. Por lo tanto, el nico da de la semana en
que puede ocurrir la situacin descrita, es el jueves.
?
4
y
x2
y2
z2 1
72 Para hallar la solucin, escribimos en forma matemtica lo que
el burro est diciendo:
y + 1 = 2(x - 1)y - 2 = x + 2
donde x es el nmero de bultos que carga el ca-ballo, y y es el
nmero de bultos que carga el burro.Resolviendo este sistema se
encuentra que x = 7 y y = 22.
3 Notemos que entre las 12 y antes de la 1, las manecillas hacen
dos veces ngulo de 90, y lo mismo entre 1 y antes de las 2. Pero
entre las 2 y antes de las 3, slo ocurre 1 vez (la segunda ocurre
exactamente a las 3). Entre 3 y antes de las 4, 4 y antes de las 5,
y 5 y antes de las 6 tambin ocurre 2 veces. Entonces en total hay
slo 11 veces en que las manecillas hacen un ngulo de 90.
4 Al dividir 5 entre 8, resulta que a cada nio se le deben dar
5/8 de pliego. Esto se lograra recortan-do a la mitad cuatro
pliegos, y el ltimo en octavos, pero esto inutilizara los ltimos
trozos. Sin em-bargo, si en lugar de repartirles sus 5/8 como 1/2 +
1/8 se les reparten como 1/4 + 3/8, tambin se tienen 5/8 sin cortar
en trozos de 1/8. Esto se logra cortando un pliego en cuartos y los
otros cuatro en trozos de 3/8, 3/8 y1/4, con lo que se reparte a
cada nio un trozo de 1/4 y uno de 1/8, sin que haya
desperdicio.
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Sudoku
Fcil
Difcil
Solucin al anterior
Solucin al anterior
1
1
1
1
11
1
1
1
2
22
2
2
2
2
2
23
3
3
3
3
3
3
3
34
4
4
4
4
4
4
4
45
55
55
5
5
5
5
6
6
6
6
6
66
6
6
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
88
88
8
8
99
9
9
9
99
9
9
11
11
1
1
11
1
2
22
2
22
22
2
3
33
3
3
3
33
3
44
4
4
4
4
44
4
55
5
5
55
55
5
66
6
6
6
66
6
6
77
7
7
7
7
7
7
7
88
8
88
8
8
8
8
99
9
9
9
99
9
9
23
4
4
5
7
7
7
9
2
3
3
4
45
5
9
6
7
8
8
8
8
9 1
1
2
17
6
6
4
5
5
5
5
1
1
11
2
3
3
3
7
9
9
8
89
68
8
57