LISTRIK MAGNET Gaya Magnet pada Arus Listrik (Gaya Lorentz) Gaya yang terjadi akibat interaksi medan magnetik dengan arus listrik atau muatan listrik yang bergerak/mengalir disebut gaya magnetik ataun gaya Lorentz. Gaya ini bisa terjadi pada penghantar berarus yang terletak di dalam medan magnetik, muatan listrik yang bergerak di dalam medan magnetik, atau dua buah penghantar yang dialiri arus listrik. a. Gaya Magnetik Pada Penghantar Berarus dalam Medan Magnetik Apabila sebuah penghantar dialiri oleh arus listrik terletak di dalam medan magnetik, maka penghantar tersebut bergerak karena pengaruh suatu gaya yang bekerja padanya. Arah gaya Lorentz yang terjadi pada penghantar dapat ditentukan dengan kaidah tangan kanan. Bila tangan kanan dibuka dengan ibu jari menunjukkan arah arus I dan keempat jari lain yang dirapatkan menunjukkan arah medan magnetik B, maka arah keluar dari telapak tangan menunjukkan arah gaya Lorentz. Besar gaya Lorentz yang dialami oleh kawat berarus listrik di dalam medan magnetik berbanding lurus dengan kuat arus listrik, panjang kawat di dalam medan magnetik, kuat medan magnetik , serta Gambar 1. Kaidah Tangan Kanan
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
LISTRIK MAGNET
Gaya Magnet pada Arus Listrik (Gaya Lorentz)
Gaya yang terjadi akibat interaksi medan magnetik dengan arus listrik atau muatan
listrik yang bergerak/mengalir disebut gaya magnetik ataun gaya Lorentz. Gaya ini bisa terjadi
pada penghantar berarus yang terletak di dalam medan magnetik, muatan listrik yang bergerak di
dalam medan magnetik, atau dua buah penghantar yang dialiri arus listrik.
a. Gaya Magnetik Pada Penghantar Berarus dalam Medan Magnetik
Apabila sebuah penghantar dialiri oleh arus listrik terletak di dalam medan magnetik, maka
penghantar tersebut bergerak karena pengaruh suatu gaya yang bekerja padanya. Arah gaya Lorentz
yang terjadi pada penghantar dapat ditentukan dengan kaidah tangan kanan.
Bila tangan kanan dibuka dengan ibu jari menunjukkan arah arus I dan keempat jari lain
yang dirapatkan menunjukkan arah medan magnetik B, maka arah keluar dari telapak tangan
menunjukkan arah gaya Lorentz.
Besar gaya Lorentz yang dialami oleh kawat berarus listrik di dalam medan magnetik
berbanding lurus dengan kuat arus listrik, panjang kawat di dalam medan magnetik, kuat medan
magnetik , serta sinus sudut antara arah arus dan arah induksi magnetik. Secara matematik besar
gaya Lorentz dapat dituliskan sebagai berikut:
F = B I l sin θ
dengan: F = gaya Lorentz (N)
B = induksi magnetik (T)
I = kuat arus listrik (A)
θ = sudut yang dibentuk oleh I dengan B
Gambar 1. Kaidah Tangan Kanan
B2 B1
Dalam bentuk vektor, persamaan di atas dapat dinyatakan dengan perkalian silang yaitu:
F = I l x B
Arah F diperoleh dengan memutar ujung vektor I ke ujung vektor B sesuai dengan putaran
keempat jari kanan seperti pada gambar arah ibu jari menunjuk adalah arah gaya Lorentz F. Pada
gambar tampak bahwa gaya F tegak lurus B dan gaya F tegak lurus I l.
Arah F dapat juga ditentukan dengan kaidah sekrup, yaitu bila I diputar menuju B melalui
sudut terkecil, jika ternyata arah itu putar kanan, maka arah F akan masuk seperti sekrup, tetapi jika
putar kiri, maka sebaliknya yang berlaku.
b. Gaya Magnetik Antara Dua Penghantar Lurus Sejajar Berarus
Perhatikan dua penghantar lurus sejajar dan terpisah sejauh a masing-masing dialiri oleh
arus listrik I1 dan I2. Pada gambar, I1 searah dengan I2 dan pada gambar, I1 berlawanan arah dengan
I2.
Pada gambar, arus listrik I1 menimbulkan induksi magnetik B1 di titik P. Besar B1 adalah.
B1 =
I1 I2
B1
F2
B2 F1
α
Gambar a
I1 I2
jjm
F1 F2
Gambar 2. Gaya Lorentz
α
Gambar b
Penghantar berarus I2 akan dipengaruhi oleh induksi magnetik B1 sehingga mengalami gaya
Lorentz sesuai dengan Persamaan.
F2 = B1 I2 I2 sin α = ( ) I2 I2 sin 90o
F2 = I2
Selanjutnya, penghantar berarus I2 menimbulkan induksi magnetik B2 di titik Q. Besar B2
adalah:
B2 =
Penghantar berarus I1, akan dipengaruhi oleh induksi magnetik B2 sehingga mengalami gaya
Lorentz sesuai dengan persamaan
F1 = B2 I1 I1 sin α = I1 I1 sin 90o
F2 = I1
Dari kedua persamaan di atas, tampak bahwa gaya per satuan panjang (F/l) untuk kedua
penghantar adalah sama. Apabila arah arus I1 dan I2 berlawanan seperti gambar, ternyata arah gaya
F1 dan F2 mengakibatkan kedua penghantar menjadi tolak-menolak. Dengan demikian dapatlah
disimpulkan bahwa: pada dua penghantar lurus sejajar yang dialiri arus listrik akan terjadi gaya
tarik-menarik bila kedua arus listriknya mempunyai arah yang sama dan terjadi gaya tolak-menolak
bila kedua arus listriknya berlawanan arah.
Besar gaya tarik-menarik atau tolak menolak antara dua kawat berarus ini berbanding lurus
dengan kuat arus yang mengalir pada kedua kawat dan panjang kawat, tetapi berbanding terbalik
dengan jarak antara kedua kawat sebagaimana hubungan berikut:
F1 = F2 = I
c. Gaya Magnetik pada Muatan yang Bergerak dalam Medan Magnetik
Arus listrik adalah muatan listrik yang bergerak per satuan waktu dengan arah sesuai dengan
pergerakan muatan positif. Jika muatan listrik q bergerak dengan kecepatan v, maka kuat arus I =
q/t. Sesuai dengan persamaan gaya magnetik (Lorentz) yang bekerja pada muatan yang bergerak di
dalam medan magnetik dapat ditentukan sebagai berikut:
F = BIl sin α = B l sin α
Lintasan yang ditempuh muatan dalam suatu selang waktu sama dengan besar kecepatan (v
= ), sehingga
F = Bqv sin α
dengan : v = laju muatan (m/s)
α = sudut apit kecepatan v dengan induksi magnetik B.
Dalam bentuk vektor, persamaan di atas dapat dinyatakan dengan perkalian silang, yaitu:
F = qv x B
Arah F diperoleh dengan memutar vektor v ke B melalui sudut terkecil sesuai dengan aturan
sekrup untuk muatan q positif dan sebaliknya untuk muatan q yang negatif. Arah gaya Lorentz
yang dialami oleh muatan yang bergerak dalam medan magnetik dapat juga ditentukan sebagai
berikut:
1. untuk muatan positif, gunakan kaidah tangan kanan.
2. untuk muatan negatif, gunakan kaidah tangan kiri.
Agar lebih jelas, perhatikan gambar berikut ini:
A. Gaya magnet pada kawat berarus listrik
Arus listrik adalah suatu aliran muatan-muatan listrik yang bergerak dalam ruang hampa
atau melalui penghantar. Besarnya arus listrik didefinisikan sebagai banyaknya muatan yang lewat
tiap satuan waktu. Melalui suatu luasan dari penghantar. Misal, pada penampang lintang suatu
penghantar dilalui muatan dengan kecepatan v. jika n adalah banyaknya partikel tiap satuan volume,
jumlah total dari partikel-partikel yang lewat melalui satuan luas tiap waktu adalah nv dan rapat
arus ditentukan sebagai muatan yang lewat pada suatu luasan tiap waktu, maka:
…………………………………….. (1)
Jika A adalah luas penampang penghantar dan tegak lurus J, maka arus listriknya:
……………………………… (2)
Seandainya penghantar dalam medan magnet, maka gaya pada masing-masing muatan dapat
ditentukan. Karena n adalah banyaknya partikel tiap satuan volume, maka gaya magnet tiap volume
adalah:
……………………….… (3)
Gaya total pada volume dV dari medium tersebut adalah:
Gambar. (a) Kaidah Tangan Kiri; (b) Kaidah Tangan Kanan
………………………… (4)
sehingga
………………………………. (5)
gambar dibawah adalah suatu penghantar yang dialiri arus listrik dan berada dalam medan magnet.
Gambar 3. Penghantar dialiri arus listrik
Elemen volume dV dinyatakan dengan dV=A dl. Berdasarkan persamaan (5), maka besarnya gaya
magnetnya adalah
……………………………… (6)
Dalam hal ini , dimana = vector satuan. Dengan demikian persamaan (6) menjadi:
…………………………. (7)
Dengan JA=I, maka:
…………………………… (8)
Sebagai contoh, sebuah kawat penghantar lurus berada dalam medan magnet (lihat gambar
dibawah).
Gambar 4. Gaya magnet pada kawat lurus berarus dalam medan B
Berdasarkan persamaan (8) dapat ditentukan gaya magnetnya yaitu:
…………………….. (9)
dan konstan, maka:
………………………(10)
Gaya F=0, jika kawat konduktor parallel dengan medan magnet , dan gaya F mempunyai
gaya maksimum jika medan magnet sejajar dengan kawat konduktor . Arah dari gaya dapat
ditentukan dengan hukum tangan kanan.
B. Medan magnet disekitar kawat berarus listrik
Di sekitar kawat yang berarus listrik terdapat medan magnet yang dapat mempengaruhi
medan magnet lain. Magnet jarum kompas dapat menyimpang dari posisi normalnya jika
dipengaruhi oleh medan magnet.
Gejala ini pertama kali dikaji oleh Hans Christian Oersted. Melalui percobaan, ia berhasil
mengungkap hubungan antara listrik dan magnet. Ia berhasil membuktikan bahwa penghantar yang
berarus listrik dapat menghasilkan medan magnetik.
Kumparan kawat berinti besi yang dialiri listrik dapat menarik besi dan baja. Hal ini
menunjukkan bahwa kumparan kawat berarus listrik dapat menghasilkan medan magnet. Medan
magnet juga dapat ditimbulkan oleh kawat penghantar lurus yang dialiri listrik. Berdasarkan hasil
percobaan tersebut terbukti bahwa arus listrik yang mengaliri dalam kawat penghantar ini
menghasilkan medan magnetik, atau disekitar kawat berarus listrik terdapat medan magnetik.
Pada saat arus listrik yang mengalir dalam penghantar diperbesar, ternyata kutub utara jarum
kompas menyimpang lebih jauh. Hal ini berarti semakin besar arus listrik yang digunakan semakin
besar medan magnetik yang dihasilkan.
Arah medan magnetik di sekitar kawat penghantar lurus berarus listrik dapat ditentukan
dengan kaidah tangan kanan. Jika arah ibu jari menunjukkan arah arus listrik (I), maka arah
keempat jari yang lain menunjukkan arah medan magnetik (B). Kaidah tangan kanan ini juga dapat
digunakan untuk menemukan arah medan magnetik pada penghantar berbentuk lingkaran yang
dialiri listrik.
Gambar 3. Penyimpangan magnet kompas
Gambar 4. Kaidah tangan kanan
2.1 Hukum Coulomb
Berdasarkan hasil eksperimen yang dilakukan oleh Charles Augustin de Coulomb (1736-
1806) diperoleh beberapa kesimpulan bahwa: (a) terdapat dua jenis muatan listrik yaitu muatan
positif dan muatan negatif, (b) dua muatan titik mengerjakan gaya satu sama lain sepanjang garis
penghubung kedua muatan tersebut, (c) besar gaya tersebut berbanding lurus dengan hasil kali
kedua muatan dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak kedua muatan tersebut.
Dari ketiga pernyataan diatas, pernyataan a dan c disebut dengan hukum Coulomb. Berikut
ini merupakan penggambaran konsep hukum coulomb untuk dua buah muatan titik.
Dari gambar dan uraian tersebut, hukum Coulomb dapat dirumuskan sebagai berikut:
……………………….………………………(1)
Keterangan:
q & q = masing-masing muatan titik (Coulomb),
r = jarak antara q dan q (meter),
F = gaya interaksi antara q dan q (Newton),
k = konstanta pembanding yang besarnya 8,9874
di mana k = , dengan adalah permitivitas ruang hampa yang besarnya 8,854
.
Hukum Coloumb jika dituliskan secara vektor, maka bentuknya sebagai berikut (Sujanem,
2001).
………
………… ………………………… (2)
r12 = r1 – r2
0
r2
F21
r1
F12
q1
q2
r12 = r1 - r2
Gambar 2. Gaya listrik antara dua muatan.
q qr
Gambar 1. Gaya interaksi antar dua muatan dengan jarak r
dengan r12 adalah jarak 1 dan 2, F21 adalah gaya pada partikel 2 oleh partikel 1, dan = - adalah
vektor satuan yang berarah dari q2 menuju q1. Persamaan di atas hanya berlaku untuk muatan titik,
jika bukan merupakan muatan titik maka persamaan tersebut tidak berlaku.
2.1.1 Gaya Coulomb oleh Beberapa Muatan.
Jika ada muatan titik lebih dari dua, maka gaya total yang dialami oleh satu muatan titik
adalah penjumlahan vektor gaya dari setiap gaya yang ditimbulkan oleh masing-masing muatan titik
yang lain.
Tinjaulah empat buah muatan titik seperti gambar berikut.
Bila q , q , q ,
dan q terpasang
kuat pada posisi
masing-masing,
gaya resultan
pada q karena
q , q , dan q
adalah:
………………………………………………… (3)
Dengan adalah gaya antara q dan q , adalah gaya antara q dan q , serta adalah
gaya antara q dan q . Jadi, gaya pada q oleh beberapa muatan adalah superposisi gaya interaksi
(a)
Xr
0 (b)
qq
q
Y
q
rr
X
Y
q qq
0q
rr r
r
Gambar 3. Gaya Coulomb oleh Beberapa Muatan.
antara q dengan masing-masing muatan. Pernyataan ini merupakan prinsip superposisi pada
interaksi Coulomb.
Pada dasarnya prinsip ini berlaku selama interaksi antara q1 dengan masing-masing muatan
tidak saling mengganggu. Misalnya interaksi q1 dan q2 tidak terganggu oleh muatan lain. Dan hal ini
hanya dapat terjadi selama posisi muatan tetap, seolah-olah tiap muatan titik terpaku kuat pada
posisi masing-masing.
Prinsip superposisi juga dapat diterapkan untuk menentukan gaya pada sebuah muatan oleh
muatan yang lain. Misalkan ada N benda bermuatan titik 1, 2,…,N dengan besaran skalar q , q ,
….,q yang terletak pada , secara berturut-turut, dari titik asal 0. Gaya yang bekerja
pada muatan q yang terletak pada jarak r dengan semua muatan yang lain yaitu:
…………………………………………… (4)
Dengan
2.1.2 Distribusi Muatan Kontinu
Kita sering menjumpai muatan suatu benda yang terdistribusi secara kontinu. Kita tinjau
elemen distribusi muatan yang sangat kecil dq’ dan di perlakukan sebagai muatan titik yaitu,
Gambar 4. Elemen muatan dari distribusi kontinu
Dimana untuk kasus seperti pada gambar diatas, dapat menggunakan persamaan (4), namun
tanda sigma diubah menjadi integral seluruh distribusi muatan, dimana rumusnya:
Dengan mengambil titik A berada jauh tak berhingga, potensial listrik VA pada jarak tak hingga ini
diambil secara sembarang sebagai nol (VA = 0), dan dengan menghilangkan indeks-indeks bawah
(subscripts), maka diperoleh:
0q
WV ………………………………………………………………………. (39)
Misalkan, A dan B pada Gambar 10 adalah dua titik di dalam sebuah medan listrik uniform E
(medan listrik homogen E), dan A berjarak d dari B di dalam arah medan. Anggaplah bahwa sebuah
muatan uji positif q0 digerakkan dari A ke B sepanjang garis lurus yang menghubungkan A dan B.
Gaya listrik pada muatan tersebut adalah q0E dan mengarah ke bawah. Untuk menggerakkan
muatan maka kita harus menetralkan gaya ini dengan memakaikan sebuah gaya luar F yang
besarnya sama tetapi berarah ke atas. Kerja W yang dilakukan oleh pengaruh yang membekali gaya
ini adalah:
Ed q = Fd = W 0AB .......................................................................................... (40)
dengan mensubstitusikan persamaan (39) ke persamaan (38) maka akan diperoleh:
dEq
WVV AB
AB 0
…………………………………………...………….. (41)
Persamaan ini memperlihatkan hubungan di antara perbedaan potensial dan kekuatan medan untuk
sebuah kasus khusus yang sederhana.
Seperti halnya pada medan listrik homogen E, misalkan A dan B adalah dua titik di dalam
sebuah medan listrik tak homogen E (Gambar 11). Anggap sebuah muatan uji q0 digerakkan oleh
suatu pengaruh luar dari A ke B sepanjang lintasan yang menghubungkan A dan B. Medan listrik
mengerahkan sebuah gaya q0E pada muatan uji tersebut. Untuk mempertahankan supaya muatan uji
tersebut tidak dipercepat, maka sebuah pengaruh luar harus memberikan sebuah gaya F = - q0 E
(tanda minus menunjukkan arah yang berlawanan) untuk semua kedudukan benda uji tersebut.
q0E
F
E
q0
dld
A
B
Gambar 10.Sebuah muatan uji positif q0 digerakkan dari A ke B didalam sebuah medan listrik uniform E oleh sebuah pengaruh luar yang mengarahkan sebuah gaya F pada muatan uji tersebut.
Jika pengaruh luar (gaya F) menyebabkan benda uji bergerak melalui pergeseran dl
sepanjang lintasan dari A ke B, maka elemen kerja yang dilakukan oleh pengaruh luar (gaya F)
adalah F. dl. Kerja total WAB yang dilakukan oleh pengaruh luar dalam menggerakkan muatan uji
dari A ke B, dapat dicari dengan menjumlahkan (mengintegrasikan) kontribusi-kontribusi kerja
untuk seluruh segmen yang sangat kecil sepanjang lintasan tersebut, yaitu:
ldEqldFWB
A
B
A
AB
.. 0 ………………………………….………………. (42)
B
A
ABAB ldEqWVV
./ 0 …………………………..……..……………. (43)
Gambar 12.
Diketahui bahwa , integral garis E di dalam gambar tersebut adalah nol. Karena
, integral E dari titik a ke titik b adalah sama untuk semua jalan. Oleh karena itu, dapat
kita tulis bahwa :
………………………………….………………………………… (44)
Dengan ref menyatkan titik acuan di mana V bernilai nol. V hanya tergantung pada titik r. Inilah
yang disebut potensial listrik-statik. Diferensiasi potensial antara kedua titk adalah:
Gambar 11. Sebuah muatan uji positif qo digerakkan dari A ke B di dalam medan E yang tak homogen oleh gaya F pada muatan uji tersebut.
……………………………….………………… (45)
………..……….……………………………….. (46)
………………..………………………………………….. (47)
Sehingga:
……….…………..…………………………………………(48)
…………………….…..…………………………………………(49)
Jadi untuk titik sembarang a dan b, persamaan diatas menjadi:
……………………………….…..…………………………………………(50)
Untuk mencari nilai potensial listrik yang ditimbulkan oleh muatan titik q1 ditentukan
dengan :
……………..………………………………………………………(51)
Karena potensial listrik V diketahui bernilai, maka dapat pula dituliskan:
..……..………………………………………………………(52)
Dari definisi gradien, diperoleh bahwa :
…………………..………………………………………………………(53)
Dengan mensubstitusikan persamaan (52) ke persamaan (53), sehingga:
…………………………………………….………(54)
Apabila batas bawah atau titik acuan integral diambil pada tak terhingga, dengan potensial di sana
nol, maka hasilnya adalah:
…………………………………………………………………………(55)
2.4 Hukum Gauss
Hukum Gauss menyatakan jumlah garis gaya yang keluar (fluks listrik total) dari suatu
permukaan tertutup sebanding dengan dengan jumlah muatan listrik yang dilingkupi oleh
permukaan tertutup itu. Ada hubungan penting antara integral komponen normal medan listrik pada
permukaan tertutup dengan muatan total yang dilingkupi permukaan itu. Medan listrik di titik r
yang ditimbulkan oleh muatan titik q yang terletak di titik asal adalah
……………………………………………………………… (54)
Kita tinjau integral permukaan dari komponen normal medan listrik ini pada permukaan tertutup yang melingkupi titik asal, yang berarti juga melingkupi muatan q. Integral ini adalah:
………………………………………….. (55)
Dengan adalah proyeksi da pada bidang tegak lurus r. Bidang yang diproyeksikan dan
dibagi dengan r2 ini merupakan sudut ruang yang dilingkupi oleh da, yang dituliskan sebagai dΩ. Dari gambar jelas bahwa sudut ruang yang dilingkupi da yaitu bagian luas permukaan pada bola S’ yang pusatnya terdapat di titik asal dan jejarinya r’. Selanjutnya dapat dituliskan:
……………………………………… (55)
Sehingga persamaan di atas menjadi:
…………………………………………….. (56)
Gambar 13. Suatu permukaan rekaan tertutup S yang melingkupi muatan titik di titik asal
Jika q terletak di luar S, maka jelas bahwa S dapat di bagi menjadi 2 bagian bidang S1 dan S2 yang masing masing melingkupi sudut ruang yang sama pada muatan q. Meskipun demikian arah normal S2 menuju q, sedangkan arah normal untuk S1 menjauhi q. Oleh karena itu sham yang diberikan S1
dan S2 pada integral permukaan itu sam tetapi berlawanan tanda sehingga integral totalnya sama dengan nol. Jadi jika permukaan itu melingkupi suatu muatan titik q maka integral permukaan dari
komponen garis–normal, medan listriknya sama dengan , sedangkan jika q terletak diluar
permukaan tersebut, maka harga integral permukaan tertutup, bahkan untuk permukaan tertutup yang dikatakan berarah ke dalam.
Gambar 14. Penentuan sudut
Gambar 15. Permukaan tertutup S dapat dibagi menjadi dua bagian permukaan, yaitu S1
dan S2, yang masih melingkupi sudut ruang yang sama di q
Jika beberapa muatan titik q1,q2,....qN dilingkupi oleh permukaan tertutup S, maka medan
listrik totalnya dapat dinyatakan dengan suku pertama persamaan (2.8). Setiap muatan melingkupi
suatu sudut ruang penuh ( sehingga persamaan (2.2) menjadi :
……………………………………………………. (57)
Hasil ini mudah dirampatkan untuk hal sebaran muatan malar yang dicirikan oleh rapat
muatan. Jika setiap bagian muatan dipandang sebagai muatan titik, maka bagian tersebut
memberikan tambahan . Pada integral permukaan dari komponen garis-normal medan listrik,
asalkan terdapat di dalam permukaan yang di integralkan. Oleh karena itu integral permukaan
totalnya muatan yang terletak di dalam permukaan tersebut. Jadi jika S merupakan permukaan
tertutup yang membatasi volum V, maka:
………………………………………………… (58)
Persamaan (57) dan (58) di kenal sebagai hukum gauss. Ruas kiri persamaan tersebut, yaitu integral
komponen garis normal lisriknya pada permukaan S, kadang-kadang disebut fluks medan listrik
pada permukaan S.
Gambar 15. Bagian sudut ruang yang memotong permukaan S lebih dari sekali
Hukum gauss dapat pula dinyatakan dalam bentuk lain dengan menggunakan teorema
divergensi. Teorema divergensi menyatakan bahwa:
………………………………………………. (59)
Jika teorema ini di terapkan pada integral permukaan ciri komponen garis normal medan listrik E,
maka di peroleh:
……………………………………………….. (60)
Yang jika persamaan dimasukkan ke dalam persamaan (58), di peroleh:
…………………………………………………… (61)
Persamaan (61) harus berlaku untuk semua jenis volum, yaitu untuk sebarang pilihan volum V.
Satu-satunya cara agar pernyatan ini benar adalah dengan menyamakan faktor yang diintegralkan
pada kedua ruas persamaan (61). keabsahan persamaan (61) untuk pilihan V yang mana pun
menunjukkan bahwa:
……………………………………………………………………. (62)
Hasil ini dapat di anggap sebagai bentuk difrensial dari hukum Gauss.
2.1 Persamaan Laplace dalam Satu Dimensi
Misalkan V hanya bergantung pada variabel x saja, maka persamaan Laplace
(1-1)
menjadi (1-2)
Penyelesaian umum persamaan (1-2) adalah
(1-3)
Persaman (1-2) berisi dua tetapan yang tidak diketahui (m dan b) yang diharapkan sebagai
jawaban dari persamaan differensial orde dua. Kedua tetapan tersebut ditentukan dengan
menggunakan syarat batas. Syarat batas dapat dipilih karena belum ada persoalan fisis yang
ditentukan, kecuali hipotesis asal yang menyatakan bahwa potensialnya hanya berubah terhadap
x
Misalkan pada saat dan pada , maka melalui persamaan (1-3)
diperoleh:
,
,
Dan
(1-4)
Jika diperoleh syarat batas untuk dan pada , maka
Sehingga
Sebagai ilustrasi misalkan pada saat di dan di maka diselesaikan.
Sehingga
Dengan demikian keadaan potensialnya dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 1. Distribusi potensial listrik pada setiap harga x
2.2 Persamaan Laplace dalam Dua Dimensi
Jika V bergantungg dari dua variable, missal x dan y, maka persamaan Laplace, maka dapat
dituliskan
Penyelesaian yang didapat akan memiliki dua sifat, yaitu:
i). V ditulis (x,y) adalah rata-rata dari sekeliling titik. Jika digambarkan lingkaran dengan jari-jari R
yang terkait dengan titik (x,y), maka harga rata-rata V pada lingkaran adalah sama dengan harga
pada pusat lingkaran.
ii). V tidak ada lokasi maksimum atau minimal, harga ekstreme terjadi pada batas.
2.3 Persamaan Laplace Tiga Dimensi
Jika V tergantung dari segitiga variable x, y, z, maka persamaan Laplace
Penyelesaian V yang diperoleh akan memiliki dua sifat, yaitu;
i). Nilai V pada titik P adalah merupakan nilai rata-rata pada permukaan bola berjari-jari R dengan
titik pusat P.
ii). Sebagai konsekuensinya, V dapat tidak ada lokasi maksimum atau minimum sedangkan nilai
ekstrim V terjadi pada batas. Jika V maksimum di P, maka dapat digambarkan suatu bola
mengelilingi P yang semua harga dari V akan lebih kecil daripada harga V di P.
2.4 Syarat Batas dan Teorema Keunikan
Persamaan Laplace tidak langsung dengan sendirinya dapat digunakan untuk menentukan V,
tetapi harus ditambah dengan seperangkat syarat batas sehingga penyelesaian V menjadi lengkap.
Untuk persamaan Laplace satu dimensi pencarian V adalah mudah, sebab penyelesaian umum
persamaan Laplace , yang mengandung dua konstanta dan selanjutnya dibutuhkan dua
syarat batas.
Dalam persamaan Laplace dua atau tiga dimensi dijumpai adanya persamaan diferensial parsial dan
hal itu tidak mudah untuk diperoleh syarat batas yang sesuai. Untuk itu V akan ditentukan harganya
secara khusus pada batas. Demikian juga syarat batas yang lain juga dapat digunakan. Bukti bahwa
seperangkat syarat batas dapat digunakan dalam bentuk teorema keunikan. Teorema keunikan
tersebut sebagai berikut:
1. Teorema Kunikan Pertama
Penyelesaian persamaan Laplace dalam suatu daerah ditentukan secara unik (khusus)
jika harga V merupakan fungsi yang dinyatakan pada seluruh batas dalam daerah tersebut.
Pembuktian teorema keunikan pertama ini adalah sebagai berikut:
Dalam gambar 6.2 menunjukkan suatu daerah dan perbatasn.
Misalnya ada dua penyelesaian persamaan Laplace, V1 dan V2 yang keduanya merupakan
fungsi dari koordinat yang digunakan, maka:
dan
Keduanya dianggap memberikan nilai V tertentu pada permukaan, dan keduanya memiliki
nilai seimbang / sama ( . Pembuktiannya adalah sebagai berikut.
Misalnya diambil perbedaan antar keduanya,
dan memenuhi persamaan Laplace
Penerapan teorema keunikan pertama ini dengan ketentuan bahwa
a. Penyelesaiannya memenuhi persamaan Laplace
b. Persamaan memiliki nilai pada semua perbatasan.
2. Teorema keunikan kedua
Cara sederhana untuk menentukan syarat batas pada elektrostatistik adalah dengan
memberikan harga V pada semua permukaan yang mengelilingi daerah tertentu. Dalam
laboratorium, misalkan kawat penghantar dihubungkan baterai dengan potensial tertentu,
atau dihubungkan dengan tanah (V=0). Tetapi ada keadaan dimana potensial diperbatasan
tidak diketahui, melainkan rapat muatan pada berbagai permukaan penghantar diketahui
harganya.
2.5 Teorema Keunikan Kedua
Cara sederhana untuk menentukan syarat batas pada masalah elektrostatik adalah dengan
memberikan harga V pada semua permukaan yang mengelilingi daerah tertentu. Misalkan dalam
praktek laboratorium, kawat penghantar dihubugkan baterai dengan potensial tertentu, atau
dihubungkan dengan tanah (V=0). Tetapi, ada keadaan dimana potensial diperbatasan tidak
diketahui, melainkan rapat muatan pada berbagai permukaan penghantar diketahui harganya.
Misalkan muatan Q1 pada penghantar 1, Q2 pada penghantar 2, dan seterusnya. Daerah antar
penghantar diketahui juga rapat muatannya , seperti terlihat pada gambar 1
Gambar. 3 Daerah dengan muatan pada berbagai konduktor
Mungkin timbul pertanyaan, apakah medan listrik untuk kasus diatas dapat ditentukan secara unik.
Untuk menjawabnya, kami akan menggunakan teorema keunikan kedua yaitu:
Di dalam daerah yang terdapat beberapa penghantar yang diisi dengan muatan tertentu
dengan rapat muatan , maka medan listrik ditentukan khusus jika muatan total pada masing-
masing penghantar diketahui.
Pembuktian teorema tersebut:
Misalkan ada dua buah medan yang memenuhi syarat dari suatu problem. Untuk keduanya
dikenai hukum Gauss dalam bentuk differensial untuk daerah diantara penghantar-penghantar
tersebut.
Dan dalam bentuk integral permukaan yang meliputi masing-masing penghantar
Perbedaan keduanya dapat dinyatakan:
Dalam daerah antara penghantar-penghantarnya dan meliputi masing-masing permukaan
perbatasan.
Meskipun tidak mengetahui bagaimana distribusi muatan tersebut maka dapat diketahui
bahwa masing-masing konduktor merupakan equipotensial, sehingga V3 adalah konstan meliputi
masing-masing permukaan konduktor. Dalam hal ini V3 tidak perlu nol, sebab V1 dan V2 harganya
boleh tidak sama.
Selanjutnya dengan berdasarkan aturan dalam identitas vektor, yaitu hukum perkalian
Maka dapat dinyatakan bahwa:
(1-5)
Karena kita dapatkan bahwa dan (gradien potensial)
Maka persmaan (1-5) menjadi
(1-6)
Atau dalam bentuk integral dituliskan:
(1-7)
Integral ruas kiri pada persamaan (1-7) melalui teorema divergensi dapat diubah menjadi
integral permukaan, sehingga
(1-8)
Integral permukaan meliputi semua pembahasan dari daerah yang telah ditentukan, termasuk semua
permukaan penghantar dan batas luar. Karena V3 konstan meliputi setiap permukaan, (jika batas
luar adalah tak berhingga, V3 = 0 ), maka persamaan (1-8) menjadi:
Tetapi integralnya tak pernah negative, namun integral dapat diabaikan jika disetiap tempat,
akibatnya
2.6 Metode Pemisahan Variabel Koordinat Cartesian
Metode pemisahan variabel digunakan untuk pemecahan persamaan laplace. Pada koordinat
cartesian, persamaan laplace dinyatakan dengan:
Dengan menyatakan nilai Z adalah tetap, maka persamaan diatas menjadi
(1-9)
Jika diasumsikan bahwa penyelesaiannya merupakan perkalian dan besarnya tiap-tiap fungsi
maka,
V(x,y) = X.Y (1-10)
Jika persamaan (1-5) didistribusikan (1-6), diperoleh
Dapat dituliskan,
(1-11)
Karena X tidak mengandung y dan Y tidak mengandung x dapat ditulis
(1-12)
Persamaan (1-8) dibagi dengan XY, akan diperoleh
Atau dapat dituliskan,
(1-13)
Agar ruas kiri dan ruas kanan dalam persamaan (1-13) sama, maka tidak boleh
merupakan fungsi x dan tidak boleh merupakan fungsi y. Oleh karena itu agar sama, maka
keduanya harus merupakan konstanta (tetapan).
Misalkan tetapan tersebut = k2, maka
Sehingga
(1-14)
Sehingga,
(1-15)
Dengan k2 = tetapan pemisah, karena dipakai untuk memisahkan seatu persamaan menjadi
dua persamaan yang lebih sederhana.
Penyelesaian persamaan (1-10) dan (1-11) masing-masing adalah:
Sehingga
2.7 Metode Pemisahan Variabel Koordinat Bola
Persamaan laplace untuk koordinat bola adalah sebagai berikut;
Dengan nilai V adalah tetap untuk , sehingga persamaan diatas menjadi
Bagi persamaan diatas dengan
(1-16)
Berdasarkan persamaan diatas diketahui bahwa solusi persamaan tersebut mengandung fungsi
Persamaan (1) kami bagi dengan , diperoleh
Kedua ruas memiliki fungsi yang berbeda. Untuk menyamakan kedua ruas yang memiliki fungsi
yang berbeda tersebut, maka keduanya harus merupakan konstanta (tetapan)
Misal tetapannya adalah l(l+1), maka persamaan diatas menjadi
Sehingga
Solusi umumnya menjadi,
(1-17)
Sehingga
Dengan menggunakan Legendre Polynomials, solusi umumnya menjadi
(1-18)
Dengan digambarkan dengan formula Roudrigues:
Sehingga solusi potensial untuk fungsi r dan menjadi:
Berikut kami sajikan beberapa tabel Legendre polynomials
2.8 Ekspansi Multipol
a. Perkiraan Potensial Pada Jarak Yang Jauh
Tabel 1. Legendre Polynomials
Jika kita berada sangat jauh dari pusat distribusi muatan, maka hal tersebut akan terlihat
seperti muatan titik dan perkiraan potensialnya adalah yang mana Q adalah muatan total.
Pada pembahaan ini kita akan mengulas topik mengenai potensial pada suatu titik yang jaraknya
jauh.
Contoh:
Apakah yang dimaksud dengan dipol listrik? Jadi, dipol listrik merupakan terdapatnya dua
buah muatan yang besarnya sama namun berlawanan jenis ( terpisah pada jarak d. Sekarang
coba kita tentukan perkiraan besar potensial pada suatu titik yang jaraknya jauh dari dipol tersebut.
Perhatikan gambar di bawah ini!
Gambar 4. Potensial Pada Suatu Titik dari Suatu Dipol
Berdasarkan gambar di atas, maka:
(1-19)
Dari aturan cosinus, kita akan memperoleh:
(1-20)
Dalam hal ini kita tertarik pada r>>d, jadi suku dapat kita abaikan karena nilai akan sangat
kecil. Jadi bentuk lain dari persamaan di atas jika kita ubah dalam bentuk ekspansi binomial
menghasilkan:
(1-21)
(1-22)
Jadi,
(1-23)
Sehingga besar potensial pada titik P adalah
(1-24)
Jadi sudah terbukti bahwa potensial dipol
Sekarang jika kita mengusulkan untuk mengembangkan ekspansi yang sistematis untuk potensial
dari distribusi muatan sembarang seperti gambar di bawah ini.
Gambar 5. Potensial Pada Suatu Titik Dari Distribusi Muatan
Jadi, (1-25)
Dengan menggunakan aturan cosinus, maka persamaannya menjadi:
(1-26)
Kita misalkan:
(1-27)
Dengan menggunakan ekspansi binomial, maka persamaan di atas menjadi:
(1-28)
Jika kita ubah persamaan (1-28) dalam bentuk r,r’ dan θ, maka:
Ternyata persamaan di atas menggunakan polynomial Legendre dari cos θ’, sehingga persamaan di
atas menjadi
(1-29)
Sehingga nilai V menjadi
(1-30)
Sehingga secara eksplisit, (1-31)
Hasil di atas merupakan hasil yang diinginkan yang mana ruas pertama adalah monopol, kemudian
ruas kedua adalah dipol dan seterusnya.
b. Monopol dan Dipol
Persamaan potensial untuk monopol adalah sebagai berikut
(1-32)
Dimana yang merupak muata total dari suatu susunan untuk muatan yang terdistribusi
secra kontinyu.
Kemudian dari persamaan (1-31) kita telah memperoleh dipole sebesar
(1-33)
Pada gambar di bawah ini, θ’ merupakan sudut antara dengan maka:
(1-34)
Gambar 7. Potensial Pada Suatu Titik Dari Distribusi Muatan
Sehingga potensial dipol dapat ditulis secara ringkas seperti di bawah ini
(1-35)
Suku yang diintegralkan tersebut yang disebut momen dipol
(1-36)
Sehingga,
(1-37)
Momen dipol merupakan suatu ukuran terhadap derajat kepolaran. Momen dipol ditentukan
berdasarkan sifat geometrinya (ukuran, bentuk serta kerapatan) dari distribusi muatan. Momen dipol
pada kumpulan muatan titik berlaku:
(1-38)
Contoh:
Untuk memntukan momen dipol dari muatan pada gambar di atas, maka
PEMBAHASAN HUKUM FARADAY
1. Medan Magnet
Ilmu pengetahuan magnetisme tumbuh dari pengamatan bahwa ”batu-batu” (magnet) tertentu
akan menarik potongan besi yang kecil-kecil. Arus di dalam sebuah kawat dapat juga menghasilkan
efek-efek magnetik, yaitu bahwa arus tersebut dapat mengubah arah (orientasi) sebuah jarum
kompas. Kita dapat mengintensipkan (memperbesar) efek magnetik sebuah arus di dalam sebuah
kawat dengan membentuk kawat tersebut ke dalam sebuah koil yang terdiri dari banyak lilitan dan
dengan menyediakan sebuah teras (core) besi. Kita dapat mendefinisikan ruang di sekitar sebuah
magnet atau di sekitar sebuah penghantar yang mengangkut arus sebagai tempat medan magnet
(magnetic field), sama seperti kita telah mendefinisikan ruang di dekat sebuah tongkat bermuatan
sebagai tempat tempat medan listrik (Halliday Resnick, 1999: 250-251).
Medan magnet di sembarang titik dapat didefinisikan sebagai vektor yang dinyatakan dengan
simbol B dan arahnya ditentukan dengan jarum kompas. Besar B dapat didefinisikan dalam momen
yang diberikan pada jarum kompas ketika membentuk sudut tertentu terhadap medan magnet.
Makin besar momen maka makin besar kuat medan magnetnya (Giancoli, 2001: 134).
Secara mikroskopis di dalam bahan magnet terdapat arus-arus kecil. Arus-arus kecil tersebut
disebabkan oleh gerakan elektron mengelilingi inti atau gerakan elektron pada sumbunya (spin).
Sedangkan secara makroskopis, dalam bahan magnet terdapat dipole-dipole magnet. Arah dipole-
dipole magnet ini adalah acak sehingga saling meniadakan (Suyoso, 2003).
Seperti halnya bahan yang dipengaruhi oleh medan listrik akan terjadi polarisasi, maka bahan
yang dipengaruhi medan magnet juga akan terjadi polarisasi magnetik atau magnetisasi.
Magnetisasi timbul disebabkan pengaruh medan magnet tersebut membentuk pembarisan dipole-