1/35 Introducere Integrarea func¸ tiilor cunoscute prin date Integrarea func¸ tiilor cunoscute prin cod Integrarea numeric ˘ a Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina Universitatea "Politehnica" Bucure¸ sti, Facultatea de Inginerie Electric˘ a Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 Gabriela Ciuprina Integrarea numeric ˘ a
48
Embed
Introduceregabriela/studenti/lmn/2017/Slideuri2017/... · 2017. 9. 25. · 1/35 Introducere Integrareafunc¸tiilor cunoscute prin date Integrareafunc¸tiilor cunoscute prin cod Integrarea
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Integrarea numerica
Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Universitatea "Politehnica" Bucuresti, Facultatea de Inginerie Electrica
Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
2/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Cuprins
1 IntroducereImportanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
2 Integrarea functiilor cunoscute prin dateMetoda dreptunghiurilorMetoda trapezelorMetoda Simpson
3 Integrarea functiilor cunoscute prin codAnaliza eroriiMetoda trapezelor recursiveMetoda Romberg
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
3/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Importanta evaluarii integralelor
Relatii utile pentru evaluarea unor marimi:
u =
∫
C
E · dl ϕ =
∫
S
B · dA q =
∫
D
ρ dv
Rezolvarea ecuatiilor diferentiale
dx
dt= f (x(t), f ) ⇒ x(t) = x(t0) +
∫ t
t0
f (x(t ′), t ′) dt ′
"rezolvare" = "integrare" (în acest context)
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
4/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Formularea problemei - cazul cel mai simplu
Se da functia f : [a,b] → IR (cunoscuta prin date sau prin cod)Se cere evaluarea numerica a integralei definite
∫ b
a
f (x) dx
unde f este presupusa continua si marginita.
Numeric: idei inspirate din matematica.
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
5/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric (I)
T. fundamentala a analizeiDaca f e continua si F este o primitiva a ei (F ′ = f ) atunci
∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a)
În problemele reale F nu este cunoscuta ⇒ aplicarea acesteimetode este foarte grea / imposibila.
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
5/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric (I)
T. fundamentala a analizeiDaca f e continua si F este o primitiva a ei (F ′ = f ) atunci
∫ b
a
f (x) dx = F (b)− F (a)
În problemele reale F nu este cunoscuta ⇒ aplicarea acesteimetode este foarte grea / imposibila.:(
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
6/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric (II)
Semnificatia geometrica a integralei
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
x
y
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
y
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
6/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric (II)
Semnificatia geometrica a integralei
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
x
y
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
y
În calculator functiile nu au reprezentari continue.
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
6/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric (II)
Semnificatia geometrica a integralei
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
x
y
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
y
În calculator functiile nu au reprezentari continue.:|
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
7/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric (III)
Definitia integralei folosind sume DarbouxPartitia P : a = x0 < x1 < . . . < xn = b
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
x
y
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
y
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
7/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric (III)
Definitia integralei folosind sume DarbouxPartitia P : a = x0 < x1 < . . . < xn = b
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
x
y
0 2 4 6 8 10 120
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
x
y
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
7/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric (III)
Definitia integralei folosind sume DarbouxPartitia P : a = x0 < x1 < . . . < xn = b
mi = inf{f (x) : xi ≤ x ≤ xi+1} ⇒ L(f ,P) =∑n−1
i=0 mi(xi+1 − xi)
Mi = sup{f (x) : xi ≤ x ≤ xi+1} ⇒ U(f ,P) =∑n−1
i=0 Mi(xi+1 − xi)
L(f ,P) ≤
∫ b
a
f (x) dx ≤ U(f ,P)
Daca infP U(f ,P) = supP L(f ,P) atunci aceasta valoare esteintegrala (Riemann). :)T. Orice functie continua, marginita, definita pe un domeniu închis este integrabila Riemann.
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
8/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric (recap.)
Metodele de integrare numerica
Sunt inspirate de metodele care calculeaza arii;
Cea mai simpla metoda - aria e aproximata de o reuniunede dreptunghiuri.f ≈ g, unde g este constanta pe portiuni si
∫ b
a
f (x) dx ≈
∫ b
a
g(x) dx
Aproximari mai rafinate pentru g pot conduce la rezultatemai bune.
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
9/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Importanta evaluarii integralelorFormularea problemei integrarii numericeIdei de calcul numeric
Idei de calcul numeric
Algoritmii depind de modul în care este definita functia:
printr-un tabel de valori
{xk , yk = f (xk )}, k = 0,n
prin codf (x) poate fi evaluat în orice x din domeniul de definitie.
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
10/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Metoda dreptunghiurilorMetoda trapezelorMetoda Simpson
Metoda dreptunghiurilor - Ideea
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
y
xx
y
i i+1
i+1
y
L
i
i
Li = (xi+1−xi)∗min(yi , yi+1)
L =n−1∑
i=0
Li
0 2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
ix i+1x
yi+1
i
i
yU
Ui = (xi+1−xi)∗max(yi , yi+1)
U =n−1∑
i=0
Ui
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
11/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Metoda dreptunghiurilorMetoda trapezelorMetoda Simpson
Metoda dreptunghiurilor - Algoritm
functie integrala_dreptunghi(n,x,y); calculeaza integrala numerica prin metoda dreptunghiurilorîntreg n
tablou real x [n], y [n] ; tabelul de valori, indici de la 0· · ·
L = 0U = 0pentru i = 0, n − 1
mi = min(yi , yi+1)Mi = max(yi , yi+1)h = xi+1 − xiL = L + mhU = U + Mh
•
val.L = Lval.U = Uîntoarce val
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
11/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Metoda dreptunghiurilorMetoda trapezelorMetoda Simpson
Metoda dreptunghiurilor - Algoritm
functie integrala_dreptunghi(n,x,y); calculeaza integrala numerica prin metoda dreptunghiurilorîntreg n
tablou real x [n], y [n] ; tabelul de valori, indici de la 0· · ·
L = 0U = 0pentru i = 0, n − 1
mi = min(yi , yi+1)Mi = max(yi , yi+1)h = xi+1 − xiL = L + mhU = U + Mh
•
val.L = Lval.U = Uîntoarce val
T = O(5n) M = O(2n)
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
12/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod
Metoda dreptunghiurilorMetoda trapezelorMetoda Simpson
Metoda dreptunghiurilor - Pe scurt
În metoda dreptunghiurilor f este aproximata cu o functie g
constanta pe portiuni care încadreaza inferior/superior functia.Variante mai bune
g este liniara pe portiuni - metoda trapezelor;g parabola pe portiuni - metoda Simson
Integrala este mult mai robusta decât derivarea numerica.Nu numai ca erorile de trunchiere sunt mai mici pentru acelasitip de functie de intepolare (lpp), dar si efectul erorilor derotunjire este mai mic.
Gabriela Ciuprina Integrarea numerica
25/35
IntroducereIntegrarea functiilor cunoscute prin dateIntegrarea functiilor cunoscute prin cod