COLGIO PEDRO II - UNIDADE SO CRISTVO III 3 SRIE MATEMTICA II
PROF WALTER TADEU www.professorwal tertadeu.mat.brLISTA DE CUBO E
PARALELEPPEDO -GABARITO 1. (PUCCAMP-SP) Usando uma folha de lato,
deseja-se construir um cubo com volume de 8dm3. A rea da folha
utilizada para isso ser, no mnimo:a) 20cm2b) 40cm2c) 240cm2d)
2000cm2e) 2400cm2Soluo. A rea utilizada para cobrir o cubo total
dada pela frmula At = 6a2, onde a aresta. O volume do cubo
calculado por V = a3. Temos:2 8 883 33 'a aa VV. Logo a rea ser 2 2
2 22400 24 ) 2 .( 6 6 cm dm A a At t .2. (PUC-PR) As trs dimenses
de um paraleleppedo reto retngulo de volume 405m3, so proporcionais
a 1, 3 e 5. A soma do comprimento de todas as arestas :a) 108mb)
36mc) 180md) 144m e) 72mSoluo. As dimenses so proporcionais a 1,3 e
5. Logo,' k ck bk akc b a535 3 1.O volume do paraleleppedo V = abc.
Igualando ao valor indicado no problema, temos:3 27 k 2715405k 405
k 15405 Vk 15 ) k 5 )( k 3 )( k ( abc V3 3 33 ' .As arestas so 3, 9
e 15. H quatro arestas para cada dimenso. A soma dos comprimentos :
4(3 + 9 +15) = 4(27) = 108m. 3. (ACAFE-SC) Num paraleleppedo reto,
as arestas da base medem 8dm e 6dm e a altura mede 4dm. Calcule a
rea da figura determinada pela diagonal do paraleleppedo, com a
diagonal da base e a aresta lateral.a) 20dm2 b) 24dm2c) 32dm2d)
40dm2e) 48dm2Soluo. A rea pedida est sombreada na figura. um
tringulo retngulo com base d e altura (cateto) 4dm. A base d a
diagonal da base:10 100 8 62 2 + d .Logo a rea 2202402) 4 )( 10
(2.dmh bA .4.(UDESCO-SC) Aumentando-se de 1m a aresta de um cubo,
sua rea lateralaumenta de 164m2. Ento, o volume do cubo original em
metros cbicos era:a) 1000b) 8000 c) 27000 d) 3375 e)
9261Soluo.Areatotal docubomenorvaleA=6a2eadomaiorA=6(a+1)2.
Asreaslateraiss contemplam quatro faces, excluindo as bases
(superior e inferior). A diferena entre essas reas laterais 164m2.
Expressando essa informao, temos:( )20 160 8 164 4 4 8 61644 1 42
21 22 21 2 + + ' + a a a a aA Aa a A AA aresta do cubo original
(menor) mede a = 20m. Logo seu volume mede V = a3 = (20)3 =
8000m3.5. (PUC-SP) Uma caixa dgua em forma de prisma reto tem
aresta igual a 6m e por base um losango cujas diagonais medem 7m e
10m. O volume dessa caixa em litros : a) 42000 b) 70000c) 200000d)
210000e) 420000Soluo. O volume do prisma ser dado pela rea da base
multiplicado pela altura. Como o prisma reto, sua altura a prpria
aresta.i) rea da base (losango): 2352702) 7 )( 10 (2.md DA ii)
Volume do prisma: ( )l dmdm m h A Vbase1 1210000 210 ) 6 .( 35 .33
3 6. (PUC-PR) Se a razo entre os volumes de dois cubos 31, a medida
da aresta maior igual medida da menor multiplicada por:a) 31b) 33c)
32 d) 3 e) 3Soluo. Ovolumepossui dimensotridimensional eaaresta,
unidimensional. Utilizandoumadas propriedadesdasrazesepropores,
temos:3 3 3. . . .
,_
,_
,_
fedcbaf d be c afedcba, ondeo produto dastrs
dimensesrepresentaum volumeecada antecedenteouconseqente,umaaresta.
Aplicando na situao descrita temos:( )( )( ) ( ) ( )31331 23132
3231321213 . . 3 . 331) () () () (a a a a aaamaior a menor amaior V
menor V
,_
.7. Aumentando-se a aresta de um cubo de 3m, obtm-se outro cubo,
cuja diagonal mede 15m. Calcule a rea do cubo primitivo.a) 258m2b)
624m2 c) 288m2 d) 432m2e) 675m2Soluo. A diagonal do cubo dada pela
frmula 3 a d , onde a aresta. Considerando a aresta do cubo
primitivo como a, o cubo aumentado ter aresta valendo 3 + a, cuja
diagonal vale 15. Resolvendo, temos:( )( ) 3 43 . 3 3 1231215 3 3
15 3 . 3153 . 3 + + '+ a a ada daumentadoaumentado. A rea do cubo
primitivo ser ento( )222288 ) 48 ( 6 3 4 . 6 . 6 m a A .8.
(FATEC-SP) Um prisma quadrangular reto, cujas arestas medem x,xe
2xpossuiuma diagonalmedindo 2 3a. A rea total desse prisma :a)
30a2b) 24a2 c) 18a2 d) 12a2e) 6a2Soluo. A rea total de um prisma
dada por At = 2(ab + bc + ac), onde a, b e c so as arestas.
Utilizando a frmula da diagonal temos:( ) ( ) ( )3612 362 32 3 62
36 6 22 2 2 2 2 2 2aa ax a xa dx x x x x c b a d ' + + + + Logo, (
)22230 3 10310 ) . 2 . 2 . ( 2a a Aa xx x x x x x x Att ' + + .9.
(ITA-SP) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura
mede 3m e que tem rea total de 80m2. O lado dessa base quadrada
mede:a) 1mb) 8m c) 4md) 6m e) 16mSoluo. A base um quadrado de
aresta desconhecida x. A rea total do prisma ser expressa pela
frmula: At = 2(3x + 3x + x2) = 2x2 + 12x. Igualando essa expresso a
80, temos:' + < t t + + '+ ! 42 14 6) ( 02 14 62 196 62) 80 )( 1
( 4 36 60 40 6 80 12 28012 22 22ok xnegativo xxx x x x xAx x
Att.10. (UFOP-MG) Uma caixa dgua em forma de paraleleppedo
retngulo, tem dimenses 1,8m, 15dm e 80cm. Sua capacidade : (dado:
1dm3 = 1 litro)a) 2,16 Lb) 21,6 Lc) 216 Ld) 1080 Le) 2160 LSoluo.
Como a capacidade pedida em litros, todas as medidas sero
representadas em decmetros. O volume ser o produto das dimenses: l
dm Vdm cmdmdm m2160 2160 ) 8 ).( 15 ).( 18 (8 801518 8 , 13
'.11.(MACK SP) Um paraleleppedo retngulo tem 142cm2de rea total e a
soma dos comprimentos de suas arestas vale 60cm. Sabendo que seus
lados esto em progresso aritmtica, eles valem em centmetros:a) 2,
5, 8b) 1, 5, 9c) 12, 20, 28d) 4, 6, 8 e) 3,5,7Soluo. Uma progresso
aritmtica com nmero mpar de termos pode ser representada de forma a
facilitar clculos como: (x r), (x), (x + r) onde r a razo. Cada
termo a medida de uma aresta e no paraleleppedo h quatro arestas
com mesma medida num total de 12 arestas. Considerando a soma de
todas as medidas como 60, temos: ( )5 60 1260 :12 ) 3 .( 4 ) ( ) (
4 : ' + + + x xSomax x r x x r x Soma.Utilizando a frmula da rea
total, temos:( ) ( ) ( )( )' ' + + + + + + + 2 4 2 44 8 2 142 2 150
142 75 2142 :75 2 25 5 25 5 25 2 ) 5 ).( 5 ( 5 ). 5 ( ) 5 ).( 5 ( 2
:2 2 2 22 2r r r r rAr r r r r r r r AttLogo, as dimenses so: (5 2)
= 3, 5 e (5 + 2) = 7. OBS: Repare que se consideramos a razo
negativa ainda assim teremos: (5 (-2)) = 7, 5 e (5 + (-2) = 3.12.
(FUVEST-SP) Um tanque em forma de paraleleppedo tem por base um
retngulo horizontal de lados 0,8m e 1,2m. Um indivduo, ao mergulhar
completamente no tanque, faz o nvel da gua subir 0,075m. Ento o
volume do indivduo, em m3, :a) 0,066b) 0,072c) 0,096 d) 0,600 e)
1,000Soluo.A figura mostra uma representao onde o valor da altura h
inicial do tanque no importa e sim a variao. A parte sombreada
Corresponde ao deslocamento de gua igual ao volume do indivduo.
Esse volume de gua calculado peloproduto das dimenses: ( )3072 , 0
) 075 , 0 ).( 8 , 0 .( 2 , 1 m V