Fyzika plazmatu - home.zcu.czhome.zcu.cz/~ptacnik0/res/phd/prednasky.pdf · vysokoteplotní chemie – např. výroba acetylénu ze zemního plynu, detoxikace PCB, DDT a Dioxinu plazmovou

Fyzika plazmatu

Přednášející: Prof. RNDr. Jaroslav Vlček, CSc.

Fyzika plazmatu

1. Úvod (výskyt plazmatu na Zemi a ve vesmíru, význam fyziky plazmatu pro rozvoj plazmových

technologií) 2. Elementární procesy v plazmatu 2.1. Základní částice plazmatu (základní charakteristika, vnitřní struktura atomů a molekul, excitované stavy

a jejich popis) 2.2. Srážkové procesy 2.2.1. Základní charakteristiky srážek (účinný průřez, rychlost procesu, srážková frekvence, střední volná

dráha, obecná formule pro rychlost procesu a její zjednodušení) 2.2.2. Přenos energie při binárních srážkách (pružné a nepružné srážky) 2.2.3. Srážky nabitých částic (účinný průřez pro přenos hybnosti) 2.2.4. Nepružné srážky (nepružné srážky elektron-těžká částice, účinné průřezy, nepružné srážky těžkých

částic) 2.3. Záření plazmatu 2.3.1. Popis radiačních procesů (spektrální hustota toku záření, diferenciální rychlost procesu mezi fotony a

látkovými částicemi) 2.3.2. Základní typy interakce foton-látková částice (čárové a spojité spektrum, fotoexcitace, Einsteinovy

koeficienty, fotoionizace) 2.3.3. Rozšíření spektrálních čar (přirozené rozšíření čar, rozšíření tlakem, starkovské a dopplerovské

rozšíření, využití v diagnostice plazmatu) 2.3.4. Opticky tenké a tlusté plazma (charakteristika, optické únikové faktory) 2.4. Vztahy platné v termodynamické rovnováze (Boltzmannův vztah, Sahova rovnice, využití v diagnostice

plazmatu, Maxwellovo rozdělení, Planckův zákon, lokální termodynamická rovnováha, princip detailní rovnováhy a jeho aplikace)

3. Rozdělovací funkce částic a zákony zachování 3.1. Boltzmanova rovnice (formulace, srážkový člen) 3.2. Zákony zachování (obecná formule pro rovnici kontinuity, zákon zachování energie, rovnice pro energii

elektronů v neizotermickém plazmatu, rovnice pro rozložení teplot ve stacionárním DC výboji, rovnice kontinuity pro elektrony, tok elektronů ve výboji, rovnice pro difúzi, difúze v cylindrickém systému, ambipolární difúze)

3.3. Srážkově-radiační model atomárního plazmatu (výchozí rovnice a jejich zjednodušení, uvažované procesy a jejich rychlostní koeficienty, tvar bilančních rovnic a jejich řešení, interpretace výsledných vztahů)

4. Základní makroskopické charakteristiky plazmatu 4.1. Kvazineutralita plazmatu a Debyeův poloměr stínění (Poissonova rovnice a její řešení) 4.2. Oblast prostorového náboje na rozhraní plazma-pevná látka (potenciál plovoucí elektrody, tloušťka

vrstvy prostorového náboje) 4.3. Doba odezvy plazmatu a plazmová frekvence (rovnice pro oscilaci elektronů v plazmatu a její řešení,

souvislost plazmové frekvence z Debyeova poloměru) 4.4. Sondová diagnostika plazmatu (metoda jedné sondy, měřící obvod, Langmuirova teorie, plovoucí

potenciál a potenciál plazmatu, teoretické stanovení V-A charakteristiky, způsob stanovení teploty a koncentrace elektronů)

4.5. Šíření elektromagnetických vln v plazmatu (Maxwellova rovnice pro elmag. pole v plazmatu, rovnice pro E

r a , disperzní vztah, elmag vlnění v bezesrážkovém plazmatu, vliv srážek, způsob stanovení

koncentrace elektronů a střední frekvence srážek elektronů s těžkými částicemi) Jr

2004 Strana 1

Fyzika plazmatu

1.ÚvodVýskyt plazmatu na Zemi a ve vesmíruPlazma jako stav hmoty znám lidem od nepaměti: Empedoklés (430 př. n. l.): vše je tvořeno čtyřmi živly – země, voda, vzduch a oheň Crookes (r. 1879): prostředí vytvořené elektrickým výbojem je čtvrtým stavem hmoty Langmuir (r 1923): prostředí tvořené elektrony, několika druhy iontů a neutrálními atomy a molekulami

= plazma Výskyt plazmatu ve vesmíru: 99% hmoty ve vesmíru je v plazmatickém stavu (všechny hvězdy včetně Slunce jsou masami

vysokoteplotního plazmatu, mezihvězdný prostor a hvězdné mlhoviny jsou v plazmatickém stavu) ⇒ Crookes neměl pravdu: plazma není čtvrtým, ale prvním stavem hmoty Pozn.: Možný vznik života na Zemi – plazmochemickými reakcemi ve výbojích v atmosféře (bouře)

- výzkum ukázal, že za atmosférických podmínek lze jiskrovým a následným tichým výbojem ve směsi CH4, NH3, H2 a vodních par syntetizovat aminokyseliny, nukleové kyseliny a jiné organické sloučeniny (uvedená směs se mohla vyskytovat na Zemi v prvních fázích jejího vývoje)

Význam fyziky plazmatu pro rozvoj plazmových technologiíMimořádný význam plazmových technologií pro průmysl v USA, Japonsku a v zemích EU (mimořádné zisky a investice) 5 hlavních oblastí: (i) Úprava materiálů, zejména jejich povrchů, a změny látek v nízkotlakém plazmatu (LPP = low-pressure

plazma processing) Obvykle: doutnavé DC, RF a mikrovlnné výboje za tlaku ≤ 1Torr

- depozice tenkých vrstev požadovaných vlastností (tvrdé, otěruvzdorné, odolné proti korozi, optické vlastnosti, atd.), plazmové leptání – mikroelektronika, plazmové modifikace povrchů (např. difúze dusíku do oceli ⇒ vznik tvrdých nitridů Fe), preparativní chemie – syntéze O3, NH3, snížení obsahu SOx a NOx ve spalinách motorů, atd.

(ii) Úprava materiálů a změny látek ve vysokotlakém plazmatu (HPP = high-pressure plasma processing) Obvykle: obloukové výboje za atmosférického tlaku (často tryska do atmosféry) - metalurgie: svařování a řezání materiálu, zpracování šrotu, tavení rud, znovuzískání kovů z odpadu,

vysokoteplotní chemie – např. výroba acetylénu ze zemního plynu, detoxikace PCB, DDT a Dioxinu plazmovou pyrolýzou, plazmový nástřik nových materiálů (odolné keramické nebo kovokeramické vrstvy), atd.

(iii) Nové zdroje světla - lasery a vysoce účinné výbojové lampy (nízkotlaké: Na a Hg, vysokotlaké) (iv) Vypínače „vysokovýkonových“ obvodů (elektrárny) - okamžité přerušení elektrických obvodů při napětí až několik MV a proudech až stovky kA: plazma

obloukového výboje (v) Pulzní zdroje o velmi vysokém výkonu - opakované nahromadění obrovské energie kapacitní nebo induktivní vazbou, její rychlé jednorázové

přenesení - využití pro nukleární fúzi, intenzivní elektronové a iontové svazky k ovlivnění povrchů materiálů,

v medicíně, sterilizace jídla – elektronový svazek, iontová implantace, realizace některých unikátních chemických reakcí, rozklad NOx a SOx na výstupu tepelných elektráren

2. Elementární procesy v plazmatu2.1. základní částice plazmatu- v částečně ionizovaných plynech se vyskytuje 5 typů částic (i) Foton – nemá vnitřní strukturu, nabývá libovolných energií νε h= , h…Planckova konstanta ν…frekvence fotonu (ii) Elektron – nemá vnitřní strukturu, energie volného elektronu závisí jen na jeho translační rychlosti

2

21 vme=ε (nerelativistický případ)

(iii) Atom nebo molekula (v základním nebo excitovaném stavu) - elektronová excitace v atomu nebo v molekule (taková molekula je tvořena atomy, z nichž alespoň u

jednoho byl elektron vybuzen ze základního stavu) - molekula s vybuzenými vibračními stavy (vibrační energie odpovídá oscilacím jader atomů vzhledem

k rovnovážné poloze)

2004 Strana 2

Fyzika plazmatu

- molekula s vybuzenými rotačními stavy (rotační energie odpovídá otáčení molekuly kolem osy jdoucí jejím těžištěm)

Pozn.: Tzv. jednoelektronová excitace víceelektronových systému je mnohem pravděpodobnější, než dvouelektronová excitace (v jednom atomu vybuzeny současně 2 elektrony), atd.

(iv) Kladný iont (atomový nebo molekulární) - může být jednou i vícekrát ionizovaný (viz např. výskyt iontů Fe25+, Fe24+, atd. jako nečistot

v systémech pro termonukleární syntézu – vznikají intenzivním bombardováním stěn z nerezové oceli) - může být v základním nebo v excitovaném stavu (elektronová excitace atomárních i molekulárních

iontů, molekulární ionty s vybuzenými vibračními a rotačními stavy) (v) Záporný iont (atomový nebo molekulární) - vzniká zachycením elektronu některými atomy nebo molekulami (soustava energetických hladin je

tvořena pouze základní hladinou a hranicí kontinua – vzdálenost mezi nimi určuje tzv. elektronová afinita: dodání takové energie vede k uvolnění elektronu od atomu nebo molekuly)

Vnitřní struktura atomů (viz. cvič. 1-2) Zjednodušený energetický diagram atomu (vodíkovský model)

Platí: εij – excitační energie pro přechod elektronu i → j εi – ionizační energie pro i-tou energetickou hladinu gi – statistická váha i-té hladiny kontinuum – oblast nad ionizační energií zákl. hladiny ε1, kde již elektron není vázán v atomu; vzniká

volný elektron a iont, které mohou mít vůči sobě libovolnou energii v závislosti na vzájemné dodané kinetické energii ⇒ název „energetické“ kontinuum

Pozn.: V KM při stanovení energetického spektra je obvykle hranice kontinua, resp. hrana série, ztotožněna s nulovou energií, potom základní hladina má „nejzápornější“ hodnotu energie – elektron je v tomto případě nejsilněji vázán k jádru, tj. v atomu

Metastabilní stavy- vybuzený elektron v atomu, tj. vybuzený atom, spontánně přechází za typickou dobu 10-8s (viz. souvislost s E-koeficienty) do nižšího energetického stavu, při tom vyzáří foton - metastabilním stavem nazveme takový stav elektronu v atomu, ze kterého jsou optické přechody elektronu zakázány (viz. výběrová pravidla cvič. 1-2), a pravděpodobnost přechodu je tudíž velmi nízká ⇒ doba života takového stavu je 10-3s a více Pozn.: Metastabilní atomy ztrácejí svou energii srážkami s elektrony, s jinými atomy a molekulami nebo se

stěnami reakčních komor, jde o důležité „zdroje“ energie: význam nejen pro interakce v plazmatu, ale i pro interakci plazma-pevná látka (modifikace povrchů materiálů)

2004 Strana 3

Fyzika plazmatu

Některé údaje o struktuře atomůAtomové číslo Z

Element Atomová hmotnost

Excitační energie 1.excitované hladiny

ε12 (eV)

Ionizační energie zákl. stavu (tzv. první ioniz. potenciál)

ε1 (eV) 1 H 1.008 10.2 13.6 2 He 4.003 19.8 24.6 : 6 C 12.010 1.26 11.3 7 N 14.010 2.38 14.6 :

11 Na 23.0 2.10 5.14 :

18 Ar 39.94 11.6 15.8 :

26 Fe 55.85 0.859 7.90 :

80 Hg 200.6 4.67 10.4 Pozn.: Velikost excitační a ionizační energie Střední kinetická energie částic v plazmatu je definována vztahem:

kT23

=ε T …obecně tzv. kinetická teplota částic

- o teplotě částic lze (přesně vzato) hovořit pouze v termodynamické rovnováze, kdy jsou teploty všech částic stejné; mimo termodynamickou rovnováhu – což je typická situace pro téměř všechny výboje využívané v plazmových technologiích – je kinetická teplota elektronů Te ≥ Ta kinetická teplota atomů (často Te >> Ta v důsledku urychlení elektronů elektrickým polem) Míra energie částic je charakterizována faktorem:

[ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]1119

23123

1160910602.11038.11038.1 −−

−

−−− =

××

=××= KeVKTKeVKTKTJKkT

…tj. částice musí mít teplotu 11609 K, aby faktor kT = 1eV ⇒ střední kin. energie jedné částice bude eV 5.1=ε : tato hodnota je výrazně nižší než ε12 a ε1 pro mnoho atomů (viz zejména vodík a inertní

plyny), přesto dochází k jejich excitaci a ionizaci srážkami s částicemi z chvostu jejich rozdělení podle rychlosti, resp. energie

- v případě doutnavých výbojů za nízkých tlaků (p ≅ 10-3 ÷ Torr) je plazma výrazně neizotermické: Te ≅ 10 000 ÷ 50 000K >> Ta ≅ 300 ÷ 350K - v případě obloukových výbojů za atmosférického tlaku (p = 760 Torr) je plazma kvaziizotermické: Te ≥ Ta = 2 000 ÷ 20 000K Vnitřní struktura molekul- významnou roli v teorii molekul sehrává fakt, že je mm << ⇒ je vv >> mj…hmotnost jader atomů tvořících molekulu ve…rychlost pohybu elektronů v molekule vj…rychlost pohybu jader ⇒ je uplatněn následující postup:

jádra jsou považována za zcela nehybná pro různou vzdálenost jader v molekule jsou stanoveny možné hodnoty celkové energie elektronů

v molekule, tzv. elektronové termy (elektronově excitované stavy) - případ atomů: energetické hladiny elektronů jsou charakterizovány množinou hodnot energie - případ molekul: elektronové termy jsou charakterizovány závislostí ( )rEE elel =

Eel – celková energie molekuly pro danou vzdálenost nehybných jader r = celková energie soustavy elektronů + energie elstat. působení jader mezi sebou

Pozn.: pro každou kombinaci excitovaných atomů tvořících molekulu (viz. např. atom v zákl. stavu + atom v zákl. stavu, resp. atom v zákl. stavu + atom v různých excitovaných stavech) dostáváme jinou závislost Eel = Eel (r) – viz diagram N2

Označení elektronově excitovaných stavů (termů) dvouatomové molekuly- v případě atomů byly excitované stavy charakterizovány hodnotou kvantového čísla L určujícího celkový orbitální moment hybnosti elektronů - v případě molekul jsou elektronově excitované stavy charakterizovány hodnotou kvantového čísla Λ určujícího průmět orbitálního momentu hybnosti elektronů do osy symetrie molekuly (spojnice obou jader)

2004 Strana 4

Fyzika plazmatu

Platí analogie: ATOM ↔ MOLEKULA kvantové číslo stav kvantové číslo stav

L=0 S Λ=0 Σ L=1 P Λ=1 Π L=2 D Λ=2 ∆

výše ležící stavy molekuly nejsou obvykle zkoumány

- násobnost elektronového termu molekuly je dána stejným vztahem jako v případě atomů: 2S+1, kde S - celkový spin všech elektronů v molekule

- označení elektronového termu molekuly: Λ+12S př.: Λ=1, S=1 ⇒ 3Π (tripletní term) Pozn.: Další symboly (+ nebo – v horním indexu Σ-termů, resp. g nebo u v dolním indexu všech termů

dvouatomové molekuly se stejnými atomy) souvisejí s geometrickou symetrií molekuly, která se projeví v symetrii vlnové funkce

Platí: [Laudan, Lifšic: Kvantovaja mechanika, Nauka, Moskva 1974] Σ+ - term popsaný vlnovou funkcí, která nezmění znaménko při odrazu v rovině jdoucí osou symetrie Σ- - term popsaný vlnovou funkcí, která změní znaménko při odrazu v rovině jdoucí osou symetrie

molekuly - odraz v rovině jdoucí osou symetrie nemůže vést k jiné energii molekuly V dolním indexu symbolu termu vystupuje: g – pokud nedojde ke změně znaménka vlnové funkce při změně znaménka souřadnic všech elektronů,

tzv. sudý term u – pokud dojde ke změně znaménka vlnové funkce při změně znaménka souřadnic všech elektronů, tzv.

lichý term - hamiltonián systému se nemůže změnit při změně znaménka souřadnic všech elektronů při konstantních souřadnicích jader, neboť dvouatomová molekula se stejnými atomy má střed symetrie (= počátek souřadného systému) Základní stav naprosté většiny dvouatomových molekul (chemicky stabilních):

+Σ1 , neboť S = 0 (celkový spin molekuly – celkově sudý počet elektronů) a vlnová funkce se nemění při odrazu

+Σg1 , když oba atomy jsou stejné (platí totéž), navíc: g – vlnová fce nezávisí na změně znaménka souřadnic elektronů)

Základní elektronový term molekuly H2, resp. N2, atd.

+Σu

3 - pro tripletní stav energie Eel monotónně klesá s růstem vzdálenosti r, což odpovídá odpuzování obou atomů, hovoříme o tzv. repulsivním stavu molekuly, ⇒ disociace molekuly (systém zaujímá stav s nejnižší energií)

+Σg1 - singletní elektronový term odpovídá vytvoření stabilní molekuly – viz. výrazné minimum pro rovnovážnou vzdálenost jader r = r0

Vibrační a rotační stavy (viz cvič. 3-4) - platnost vztahu me << mj dává možnost počítat celkovou energii molekuly (včetně vibračního a rotačního pohybu) ve dvou krocích

(i) nejprve stanovit celkovou energii soustavy elektronů pro nehybná jádra v závislosti na vzájemné vzdálenosti jader, tj. funkci Eel = Eel (r) pro různé elektronově excitované stavy (ii) potom pro daný elektronový stav započítat pohyb jader (vzájemná vibrace jader a rotace kolem osy jdoucí hmotným středem molekuly)

2004 Strana 5

Fyzika plazmatu

Platí: rotvibel EEEE ++= E…celková energie molekuly Eel…celková energie elektronů (včetně coulombické interakce jader) pro

rovnovážnou vzdálenost jader Evib…vibrační energie molekuly (je kvantována) Erot…rotační energie molekuly (je kvantována)

Platí: (viz cvič. 3-4) rotvibel EEE ∆>>∆>>∆ ∆Eel…interval mezi elektronově excitovanými stavy jedné molekuly

∆Evib…interval mezi vibračními stavy, které odpovídají danému elektronově excitovanému stavu

∆Erot…interval mezi rotačními stavy, které odpovídají danému elektronově excitovanému stavu

⇒ vibrační pohyb jader štěpí elektronové termy na poměrně blízko ležící hladiny, tyto hladiny jsou dále jemně rozštěpeny v důsledku rotačního pohybu molekuly Pozn. Metastabilní stavy- také v případě molekul vznikají excitované stavy s dlouhou dobou života (deexcitace je zakázána výběrovými pravidly), tzv. metastabilní stavy molekuly; vliv na průběh srážek v plazmatu, plazmochemických procesů a interakce plazma–pevná látka Excitace, ionizace a disociace molekul

Platí: - molekula s oběma atomy A v základním stavu, tj. jejich elektrony nejsou vybuzeny 2A

*2A - molekula tvořená jedním atomem v základním stavu A a jedním atomem v excitovaném stavu A*

+2A - molekulární iont tvořený jedním atomárním iontem v základním stavu A+ a jedním atomem

v základním stavu A disε - energie pro tepelnou disociaci molekuly, molekula se rozloží na atomy přes vibrační stavy

(disociační energii odpovídá vibrační kvantové číslo ∞→′v ) Křivka b : disociace molekuly A2 v důsledku její srážky s elektronem – excitace molekuly ze základního stavu na křivku Eel = Eel (r), která odpovídá nestabilnímu řešení, tj. vede k disociaci (pro molekulu je výhodné zaujmout stav s nejnižší energií)

ionε - ionizační energie molekuly (odpovídá energetickému rozdílu mezi stavy 0=′vKřivka a : ionizace molekuly v důsledku její srážky s elektronem, nezbytná energie nemusí být nutně rovna εion (posun minim)

Křivka c : excitace molekuly po srážce s elektronem

2004 Strana 6

Fyzika plazmatu

Tepelná disociace a disociace dopadem elektronuDISOCIAČNÍ ENERGIE (eV)

Molekula Tepelná Dopadem elektronu H2 4.476 8.8 N2 9.760 24.3 O2 5.080 7.0 NO 6.48 >10.0

Ionizační energie některých molekulMolekula Ionizační energie (eV)

H2 15.427 N2 15.576 O2 12.063

NO2 9.78 NH3 10.19 CH4 12.704

2004 Strana 7

Fyzika plazmatu

2.2. Srážkové procesy 2.2.1. Základní charakteristiky srážek Účinný průřez Svazek nalétávajících Terčová částice 2 částic 1

Platí: gn11 =Γ , kde n1 – objemová koncentrace nalétávajících částic g – relativní rychlost nalétávajících částic vzhledem k terčovým částicím Γ1 – intenzita svazku = plošná hustota toku dopadajících částic (počet

nalétávajících částic, které projdou za 1s jednotkovou plochou kolmou na směr svazku)

Platí:

( )1

12 Γ=

XgQtot , kde X je počet dopadajících částic, které se za 1s srazí s terčovou částicí

( )gQtot12 - celkový účinný průřez pro srážku nalétávající částice 1 s terčovou částicí 2

Pozn.: (i) rozměr účinného průřezu: , tj. účinný průřez je efektivní plocha „překážky“, kterou představuje terčová částice pro svazek nalétávajících částic – charakterizuje pravděpodobnost interakce

[ ] 213

1

12 mmsm

sQtot ==−−

−

(ii) celkový účinný průřez je atomovou veličinou, která závisí pouze: na typu interagujících částic – pro různé částice v různých stavech registrujeme odlišnou

pravděpodobnost různých procesů na jejich vzájemné rychlosti

Platí: ineleltot QQQ 121212 Σ+= elQ12 …účinný průřez pro pružnou srážku částic 1a 2 (nedochází ke změně vnitřní energie částic)

inelQ12Σ …suma účinných průřezů pro všechny nepružné srážky 1 a 2 (př. nepružné srážky – excitace částice 2: m→n, kde m charakterizuje jednotlivé energetické hladiny částice 2) → při definici jednotlivých „dílčích“ účinných průřezů je nutno příslušný proces charakterizovat v čitateli definičního výrazu

Diferenciální účinný průřez

Platí: ( )∫ Ω=

π

ϕχ4

1212 , dIQ …diferenciální účinný

průřez pro rozptyl částice 1 po srážce s částicí 2 do tělesového úhlu d )sin ϕχχ ddsin 22ϕχχ rdrdd =Ω=Ω (viz.

- za předpokladu azimutální symetrie lze provést integraci přes úhel πϕ 2,0∈ : Q ( )∫=π

χχχπ0

1212 sin2 dI

2004 Strana 8

Fyzika plazmatu

Účinný průřez pro přenos hybnosti Platí: gg

rr=′ , neboť při pružné

srážce se zachovává celková hybnost a celková kinetická energie

Platí (pro 1 částici): ( )χχ cos1cos 111 −=− gmgmgm

444 3444 21

pohybu) původního směr-(z částice

hybnostisložky ové-z pokles

Platí (pro n částic):

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ Ω−Γ=ΩΓ−

Ω

ππ

ϕχχϕχχ4

1211

4

1211 ,cos1,cos1 dIgmdIgm elel

321

444444 8444444 76

4434421

plochou) jedn. 1s zaprojdou které svazku,částic (hybnostčástic

chdopadající svazku vehybnosti toku hustota

1s začástic všechhybnostisložky ové-z zmenšení celkové

d úhlu íhoelementárndo rozptýleny srážkou

pružnou 1s za jsou kteréčástic, chdopadající počet

S ohledem na definici účinného průřezu lze psát: ( )( ) ( ) ( )∫ Ω−=

π

ϕχχ4

121

12 ,cos1 dIgQ el ..účinný průřez pro přenos hybnosti

Rychlost procesu Předpoklady:

(i) Pro jednoduchost zatím předpokládáme, že vzájemná rychlost všech interagujících částic je konstantní (nerealistický předpoklad – později opuštěn) (ii) Zvolíme jednu částici jako terčovou, ionizovaný plyn budeme považovat za superpozici

cích částic o nekonečně malé intenzitě dΓ

elementárních svazků nalétávají

latí: 1 gd P 1dn⋅=Γ

ustota toku chlosti) –

c, které mají týž směr

o sumaci přes všechny svazky:

Γících částic, které za 1s interagují s jednou terčovou částicí

Po vynásobení objemovou koncentrací terčových částic n2 dostáváme:

dΓ1…h částic ve svazku (mají týž směr rydiferenciální hustota toku nalétávajících částic dn1…objemová koncentrace nalétávajících částirychlosti P

121 Qgn - počet nalétávaj

1

122112 gQnnR = …celková rychlost procesu (celkový počet srážek mezi nalétávajícími a terčovými částicemi v jedn

Rychlostotce objemu za 1s)

vybraného procesu p:

( )ggQnnR pp122112 = Q12…účinný průřez pro p-tý proces

2004 Strana 9

Fyzika plazmatu

Srážková frekvence

( )ggQnn

R122

1

1212 ==ν Platí:

ν12…celková frekvence srážek = počet všech srážek jedné nalétávající částice za 1s se všemi terčovými částicemi

Pro jednotlivé procesy platí: ( )ggQn pp12212 =ν

Příklad frekvence srážek s přenosem hybnosti: ( )ggQn 1122

112 =ν

Platí: …celková frekv. srážek dopadajících částic s terčovými částicemi různého typu ∑∑ ==s

sss

s gQn 111 νν

Střední volná dráha

Platí: 1

11ν⋅= gl …kde l1 je střední volná dráha = střední dráha nalétávající částice mezi dvěma po sobě

jdoucími srážkami

1

1ν

…střední doba mezi dvěma srážkami nalétávající a terčové částice

Po dosazení: ∑∑

==

sss

sss QnQng

gl11

111

Pozn.: Jsou-li terčovými částicemi neutrální částice, p

l 1~1 , neboť (viz. Daltonův zákon) snp ~

Obecný výraz pro rychlost procesů - budeme uvažovat skutečné rozdělení částic podle rychlosti (viz. bod (i) výše) Platí:

( ) CdCfnWCd 3111

rrr−=Γ

…diferenciální hustota toku nalétávajících částic 1Γd

WCrr

− …okamžitá velikost rel. rychlosti nalétávající a terčové částice

Wr

...rychlost terčové částice ( ) CdCfndn 3

111

r= …objemová koncentrace částic ve svazku, které mají rychlost v

intervalu ( )CdCCrrr

+,

( ) CdCf 31

r…pravděpodobnost, že nalétávající částice má v daném čase v daném místě rychlost

v intervalu ( )CdCCrrr

+, Normovací podmínka pro rozdělovací funkci:

( ) 131 =∫

+∞

∞−

CdCfr

…celková pravděpodobnost výskytu částice 1 v rychlostním prostoru

Platí: ( ) ( ) ( )

( )

4434421

r

44444 344444 21

rrrrr

rrrWdWW

pp WdWfnWCQWCCdCfndR

+

−−=

,

32212

31112

intervalu v rychlost majíkteré objemu, jednotce v

částic terčových početčásticí terčovou jednou s 1s za interagují které

svazku, ímelementárn včástic chdopadající počet

…diferenciální rychlost procesu p = počet procesů za 1s v jednotce objemu mezi nalétávajícími částicemi s rychlostmi ( )CdCC

rrr+, a terčovými částicemi s rychlostmi ( )WdWW

rrr+,

Po integraci:

( ) ( ) ( )44444444 344444444 21

rrrrrr

integrál rychlostní tzv.

∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

−−= WCddWCQWCWfCfnnR pp 3312212112

Pozn.: (i) Rychlostní integrál vyjadřuje střední hodnotu veličiny gQ12, která charakterizuje pravděpodobnost procesu

2004 Strana 10

Fyzika plazmatu

(ii) V případě procesů s prahovou energií (viz excitace, ionizace, atd.) je integrál nenulový pouze tam, kde 012 ≠

pQDůležitý případ z hlediska modelování výbojového plazmatu: Často platí: CW

rr<< , viz. srážky elektronů s těžkými částicemi (me<<mh.p.)

Potom lze psát:

( ) ( ) ( )CQCQWCQ

CCg

ppp121212 ==−

≡=rrr

rr

…tj. účinný průřez pro daný proces závisí pouze na rychlosti nalétávajících částic

Po dosazení:

( ) ( ) ( )∫ ∫+∞

∞−

+∞

∞−

=

4434421

rr

podmínka) normovací (viz 1

WdWfCdCCQCfnnR pp 32

31212112

Dostáváme formuli pro rychlost procesu:

( ) ( )∫+∞

∞−

= CdCCQCfnnR pp 31212112

r, tj. rychlost procesu závisí na objemových koncentracích interagujících

částic, na účinném průřezu srážky a na rozdělovací funkci nalétávajících částic 2.2.2. Přenos energie při binárních srážkách (cvič. č. 6) (i) Pružné srážky (ii) nepružné srážky 2.2.3. Srážky nabitých částic Případ pružných srážek dvou nabitých částic: (i) Výhoda oproti popisu srážek nenabitých částic

- známe přesný výraz pro diferenciální účinný průřez pro rozptyl (Rutherfordova formule) – důsledek využití C-zákona:

( ) ( )

2sin

2,4

20

χχ bgI = , kde 2

12

0

2

00 4

2 gm

Ze

bbbtg πεχ

== ,

m12…redukovaná hmotnost obou částic b0…záměrná vzdálenost nalétávající částice pro její rozptyl pod úhlem 90° (χ = 90°, potom b = b0, viz tangens)

2χI(χ,g) je největší pro χ→0, kdy b >> b0 (viz. tg )

Pozn.:

Platí: 21

2112 mm

mmm+

= ; lze ukázat, že 2

2

12gm=ε je kinetická energie vzájemného pohybu obou částic; g je

vzájemná rychlost obou částic (ii) Problém vznikne při výpočtu účinného průřezu pro přenos hybnosti při takové srážce (důležitá veličina pro popis chování nabitých částic v plazmatu, zejména při stanovení jejich rozdělovacích funkcí podle energie)

Po dosazení do výchozí formule:

( ) ( ) ( )∫ −=π

χ χχχπ0 2

4

2

2112 sin

sincos12

0

dgQb

Platí: 22

22

22

22 sin2cos1sin21sincoscos χχχχ χχ =−⇒−=−=

2004 Strana 11

Fyzika plazmatu

Po dosazení:

( ) ( )

dtdt

dgQb

=⋅⇒=

= ∫χ

χπ

χχ

πχχ

χχ

21cossin

cossin2sin

sin22

22

022

24

2

22

2112

0

:substituce

Po dosazení:

( ) +∞→== ∫ 01ln414 2

0

1

0

20

112 bdt

tbgQ ππ , tj. integrál diverguje!!

Fyzikální objasnění:

Ř

P

P

P

VP

P

P

2

Divergence integrálu je způsobena silnou tendencí částic k rozptylu pod velmi malými úhly; efektivníplocha překážky, kterou představuje terčová částice pro svazek nalétávajících částic (viz fyzikální význam účinného průřezu), se jeví nekonečně velká, neboť díky coulombické interakci „na dlouhou vzdálenost“ (viz rU ) interagují s terčovou částicí současně prakticky všechny částice. pot 1~

ešení problému ozději bude ukázáno, že pole bodového náboje q je vždy v plazmatu stíněno náboji opačné polarity, lze psát:

( ) Drer

qr λ

πεϕ /2

04−= …potenciál ve vzdálenosti r od náboje q

21

20

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

enkT

e

eD

ελ …Debyeův poloměr stínění – charakterizuje rozměr oblasti, v níž je narušena

kvazineutralita Te…teplota elektronů ne…koncentrace elektronů

odmínka platnosti modelu (splněna prakticky vždy):

134 3 >>= eDD nN πλ …počet elektronů v debyeovské kouli – musí být dostatečný, abychom mohli

hovořit o kolektivním chování nabitých částic, které vede ke stínění náboje opačné polarity ozn.: Ve výrazu pro ND vystupuje koncentrace elektronů, přestože stínění záporného náboje je prováděno

kladnými ionty; mimo D-kouli totiž platí podmínka kvazineutrality plazmatu: ie nn = ni…objemová

koncentrace iontů ( , atd.) +++ >> ii nn

první aproximaci lze psát: ozn.: Dostaneme stejný výsledek jako při těžkopádném postupu se stíněným potenciálem

( )r

Zer04πε

ϕ = pro r ≤ λD ⇒ b ≤ bmax = λD

Platí: ( ) 0, ≠gI χ (viz formule výše), tj. max

02min

bbtg =χ

ozn.: Musí být 1max

0 <<bb , aby χmin bylo co nejmenší, tj. abychom neignorovali rozptyl do velmi malých úhlů

(automaticky zaplněno, když ND>>1) ( ) 0=rϕ pro r > λD ⇒ pro b > bmax = λD

Platí: ( ) 0, =gI χ , tj. žádný rozptyl o dosazení (viz výše):

( ) ( ) ( ) ( )

∫

∫∫

=

==−=

π

χχ

χ

π

χ

χχχ

χπ

χχ

χπ

χπχχχπ

min

min

0

min

0

2

220

222

4

2

22

2

24

2

2112

sincos

2

cossin2sin

sin22sinsin

cos12

db

ddgQbb

004 Strana 12

Fyzika plazmatu

Substituce: θχθπχθπχ dd 222

2 −=⇒−=−= tj. ,

Po dosazení:

( ) max20

0

20

112 cosln4

cossin4

max

θπθθθπ

θ

bdbgQ −== ∫

Platí (snaha vyjádřit názorněji cosθmax):

( ) ( )( )

21

max

min

2

0

max2

0

max

max22

22

max

0

cot

max

max

max2

max22

1

1

1coscos

11

1cossin

sincos

cossin

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⇒=+

=+

==−−

=

bb

bb

tg

bbtg

θ

θθ

θθ

θ

π

πχ

43421g

= λD (bmax=λD)

Po dosazení:

( )2

12

0

20

112 1ln4

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

bbgQ Dλπ , kde 20

1~g

b

Přechod ke středním hodnotám (zbavíme se závislosti účinného průřezu na vzájemné rychlosti obou částic) - v případě srážky elektron-iont obvykle není problém se stanovením g, neboť g ≡ C (viz. C>>W, W –rychlost iontu), avšak v případě srážky elektron-elektron je situace komplikovaná ⇒ je praktické přejít ke středním hodnotám účinných průřezů - zavádí se veličina Λ:

0bDλ=Λ kde

2120

2

04 gm

Zebπε

= …záměrná vzdálenost, při které se jakási „střední částice“ systému

rozptýlí pod úhlem 90°

ee kTgmkTgm23

2,3

2122

12 ==321

ener. kin. vzáj.hodnota střední

neboť

- za předpokladu lnΛ >>1, který je dost dobře splněn ve většině výbojů, kde lnΛ ≅ 5 ÷15 Dostáváme:

Λ= ln6 20

1 bQei π …střední hodnota účinného průřezu pro srážku s přenosem hybnosti mezi elektronem a iontem

lnΛ…tzv. Coulombův logaritmus (viz. C-interakce) (Pozn.: ( ) ( ) ( ) ∆=∆=∆+=∆+ lnln211ln211ln 22212 )

6…faktor daný středováním, tj. integrací Pozn.: Pro Z = 1 (náboj iontu) 11

eeei QQ =

2004 Strana 13

Fyzika plazmatu

Formule pro číselné vyjádřeni uvedených veličin a jejich hodnoty pro dva typické výboje

Předpoklad: ΛΛ⇒= ln~,1~~,1 10 eiQ

ZZbZ viz

Formule Doutnavý výboj Te = 25 000K ne = 1×1016m-3

Obloukový výboj Te = 10 000K ne = 1×1022m-3

[ ]m2

1

0.69 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

e

eD n

Tλ 1.09 × 10-4 m ≈ 0.1mm 6.9 × 10-8 m ≈ 7×102Å

[ ]meT

b6

01056.5 −×

= 2.22 × 10-10 m ≈ 2Å 5.56 × 10-10 m ≈ 6Å

21

371024.1 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×=Λ

e

e

nT 4.9 × 105 (lnΛ = 13.1) 1.24 × 102 (lnΛ = 4.82)

[ ]22

101 ln1085.5e

ei TQ Λ

×= − m 1.22 × 10-17 m2 2.82 × 10-17 m2

1eeQ= ↑ vysoké hodnoty ↑

(viz C-interakce dlouhého dosahu) Pozn.: Typická hodnota pro účinný průřez srážky s přenosem hybnosti mezi elektronem a neutrální částicí je

2191 10 m−≅enQ , tj. zhruba o dva řády nižší hodnota než 1eiQ

2.2.4. Nepružné srážky (i) Nepružné srážky elektron-těžká částice (atom, iont a molekula) - nepružné srážky elektronů s těžkými částicemi jsou nejdůležitějšími srážkami v plazmatu: elektrony jsou „nejaktivnějšími“ částicemi plazmatu (urychlovány elektrickým polem) a neutrální těžké částice tvoří výbojový plyn Excitace a deexcitace atomů

( ) ( ) enAemA +↔+excitace

deexcitace

m stavu ve Aatom321

- účinné průřezy pro excitaci různých atomů při srážce s elektronem vykazují velkou podobnost ⇒ lze použít univerzálních poloempirických formulí, viz např. Drawin (1963): Opticky dovolené přechody m→n Platí: , tj. spontánní přechod n → m existuje 43421

ostimultipletn změnou se přechodnačníinterkombi o nejde tj.

a 01 =∆±=∆ Sl

( )( )

( )mnmnmn

mnAmnmn

mn

HAmn faQ εεβ

εεεεα

εεπε 25.1ln14 2

2

120

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

( )εAmnQ …účinný průřez pro excitaci m → n; index A = allowed = dovolen

22020 10879.0 m −×=aπ , neboť (1. Bohrův poloměr) (typická hodnota charakter.

vel. účinných průřezů) m 10

0 10529.0 −×=a

ε…relativní kinetická energie nalétávajícího elektronu vzhledem k terčové částici eV 59.131 =Hε …ionizační energie vodíku

mnmn 11 εεε −= , excitační energie pro přechod m → n

mnf ... tzv. síla oscilátoru pro daný přechod (charakterizuje pravděpodobnost dovoleného přechodu, fmn ~ Anm – Einsteinův koeficient)

mnamn βα a - tzv. „filtrovací“ koeficienty – číselné faktory dané porovnáním teoretických křivek

s experimentálními (tvar křivky, poloha maxima, celkový souhlas) - když o účinném průřezu ( )εA

mnQ není experimentální údaj, obvykle se volí:

11 == mnAmn βα a

Pozn.: - Einsteinův koeficient Anm charakterizuje pravděpodobnost spontánního přechodu elektronu n→m, tj. pravděpodobnost tzv. radiační deexcitace (je vyzářen foton o energii mnmn hνε = )

2004 Strana 14

Fyzika plazmatu

- Platí (viz uvedená formule):

( ) mnAmnQ εεε −~ , tj. lineární růst (obvykle rychlý), mnεε ≥ pro , tj. blízko prahové energie

souhlas s experimenty

( )εεε ln~A

mnQ mnεε >> pro

souhlas s kvantově-mechanickými výpočty Opticky zakázané přechody

4342143421

splněno pravidlovýběrové tj. osti,multipletn

změně ke nedochází

KM) (viz.parity zachovánízákon tzv. pravidlo,

výběrové narušeno

ale )0,1( =∆±≠∆

⎪⎩

⎪⎨⎧

Sl

zakázán je mn přechod spontánní tj.

→

( )( )2

20

14mn

mnPmn

Pmn aQ

εεεε

απε−

= Pmnα …číselný faktor daný porovnáním s experimentem

P…parity forbidden = „paritně“ zakázáno Opticky zakázané přechody

43421

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠∆

přechodnačníinterkombi tzv.

osti,multipletn změna

)0( S

zakázán je mn přechod spontánní tj.

→

( ) ( )( )5

220

14mn

mnSmn

Smn aQ

εεεε

απε−

= Smnα … číselný faktor daný porovnáním s experimentem

S…spin forbidden = „spinově“ zakázán Pozn.: - Účinné průřezy pro opticky zakázané přechody mohou být svou velikostí srovnatelné s účinnými

průřezy pro opticky dovolené přechody - V případě a zejména registrujeme posun maxima směrem k nižším energiím a rychlejší

pokles hodnot za maximem oproti (viz obr. pro He)

PmnQ S

mnQAmnQ

Ionizace atomů a tříčásticová rekombinace ( ) ( )

m

eeAemA

ε energii ztratilsrážce při který

el., cínalétávají

uvolnil se který elektron,

vázáný dříve erekombinac

ionizace

↓↓

+

←→ +++ 1

Pozn.: Ionizace srážkou s elektrony je nejdůležitějším procesem pro udržení výboje (viz. vytváření nosičů náboje), ionizace obecně podstatně mění chemickou aktivitu prvků (viz. reaktivnost iontů inertních plynů – vnější slupka není uzavřena) ⇒ plazmochemie

Drawin (1963) (viz podobnost s ): AmnQ

( )( )

( )mmm

mmm

m

H

m aQ εεβεεεεαξ

εεπε 25.1ln14 2

2

120

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

…účinný průřez pro ionizaci atomu ve stavu m mε …ionizační energie pro m-tou energetickou hladinu

mξ …počet energeticky ekvivalentních elektronů na m-té hladině (počet elektronů se stejnými n a l)

mα a mβ …“fitovací“ parametry, v případě neexistence experimentálních dat: 67.0=mα a 1=mβ

Pozn. - ξ1 = 1 pro H, 2 pro He, 6 pro Ar (18 el.): ( ) – viz. struktura atomů

4847648476 el. 8

el. 6

el. 8el. 262622 33221 pspss

ξn = 1 pro n ≥ 2, neboť uvažujeme pouze jednoelektronovou excitaci atomů, tj. excitovaný atom má vybuzen pouze 1 elektron - Rychlosti inverzních procesů (deexcitace, tříčásticová rekombinace) je možno vyjádřit pomocí účinných průřezů pro přímé procesy (excitace, ionizace) pomocí principu detailní rovnováhy (viz. dále)!!

2004 Strana 15

Fyzika plazmatu

Některé účinné průřezy pro nepružné srážky v He (Carman, Maitland 1987)

Excitace, ionizace a disociace molekul (viz. partie o vnitřní struktuře molekul)

( ) eABeAB ++←

→ *

deexcitace excitace

molekula v excitovaném stavu (excitace elektronových stavů, rotačních a vibračních stavů)

Pozn.: (viz. obr. – rozdíly v prahových energiích ↔ souvislost s energetickou strukturou N2): S postupným narůstáním energie nalétávajících elektronů startují procesy excitace: Rotačních stavů (ε ≅ 10-2 – 10-1 eV) Vibračních stavů (ε ≅ 100 eV) Elektronových stavů (ε ≅ 100 – 101 eV)

eBAeAB +++ →disociace

Pozn.: Jde o disociaci molekuly přes její repulzivní stav (viz dříve), obvyklým výsledkem disociace je vzrůst

chemické aktivity produktů vzhledem ke zdrojové molekule

( )eeBAeAB

eeABeAB+++⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯+

++⎯⎯⎯⎯ →⎯++

+

ionizace nídisociativ

ionizace přímá

2004 Strana 16

Fyzika plazmatu

Některé účinné průřezy pro srážky elektronů s molekulami N2 (Y. Itikawa 1986)

(ii) Nepružné srážky těžkých částic Excitace a deexcitace atomů

( ) ( ) ( ) ( )11 BnABmA ++←

→deexcitace

excitace

B(1)…nalétávající částicí je atom v základním stavu, neboť téměř vždy ( ) ( ) ( )3B>>> 21 BB ,

atd.; velmi často: ( ) ( )11 AB ≡ (viz. případ výboje v jednom plynu) Pozn.: - na rozdíl od srážek elektron-atom není k dispozici tolik experimentálních údajů o účinných průřezech,

ani realistických poloempirických formulí - v případě stanovení rychlosti procesu je nutno vzít T ≡ Ta – teplota atomů Ionizace a tříčásticová rekombinace

( ) eBABmA +++ +

←→

erekombinac vátříčástico ionizace

B…opět obecně uvažujeme A ≠ B, opět (viz. výše) B ≡ B(1) Pozn.: - ionizace základní hladiny atomu A, tj. m = 1, má obvykle dost vysokou prahovou energii a je málo

efektivní, neboť nalétávající atomy mají většinou mnohem menší energii než A1ε

- proces ionizace při srážkách atom-atom je mnohem účinnější při srážce dvou různých atomů, pro něž

platí: B1εε >A

m1 …ionizační energie základního stavu atomu B B1ε

…excitační energie m-tého stavu atomu A Am1ε

potom lze psát: ( ) ( ) ( )

BAm

eBABmA

11

11

εε −

↓

+ ++↔+

energii kinetické oelektron uvolněný

Zvláštní případ této srážky: Penningova ionizace V tom případě: ( ) atomu stav nímetastabil - mA Pozn.: - Metastabilní stavy atomů jsou významné mezi excitovanými stavy, neboť jejich obsazení je vysoké,

pokud stupeň ionizace není poměrně vysoký (potom by srážky s elektrony snižovaly přepopulování metastabilních stavů) ⇒ rychlost Penningovy ionizace je vysoká (zejména když p ≤ 10-2 Torr, kdy je střední volná dráha částic dostatečně dlouhá)

- Penningova ionizace vede k existenci iontů materiálu terče, který je rozprašován při depozičních procesech (bombardováním ionty inertních plynů, nejčastěji Ar+), a ke zvýšení stupně ionizace plazmatu

2004 Strana 17

Fyzika plazmatu

(jeden z důvodů použití Ar, resp. He, kde , resp. , při plazmových technologiích)

eV Ar 6.111 =mε eV He 8.191 =mε

Asociativní ionizace a disociativní rekombinace ( ) eABBmA ++

↓

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

←→

iont ímolekulárn

erekombinac nídisociativionizace íasociativn

- Asociativní ionizace a disociativní rekombinace určují v mnoha případech rychlost vzniku a zániku nabitých částic v plazmatu:

- asociativní ionizace je významná zejména v počáteční fázi vzniku výboje ve slabě ionizovaném plazmatu (např. těsně po průchodu silné rázové vlny), kdy koncentrace elektronů ne je ještě relativně nízká

- disociativní rekombinace probíhá při dostatečném výskytu molekulárních iontů v plazmatu (jde o jeden z nejrychlejších rekombinačních procesů) Platí: koncentrace molekulárních iontů

α+−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2nn

dtdn

ee

rek.dis.

, kde ∑=m

mdα …rychlostní koeficient pro disociat. rekombinaci (až 10-6cm3s-1)

koncentrace elektronů rychlostní koeficient pro rekombinaci, která rychlost úbytku počtu elektronů vede ke vzniku atomu v m-tém stavu Pozn.: Ionizačně-rekombinační nerovnováha v plazmatu

- když převládá ionizace nad rekombinací, hovoříme o plazmatu v ionizační nerovnováze (tj. plazma je vytvářeno) Příklad: tzv. ionizační zóny výbojů, kde Te je relativně vysoká v důsledku dodávání energie elmag pole

Oblast v ose výbojů mezi elektrodami (doutnavé a obloukové výboje) Oblast plazmových trysek Oblast vinutí a těsně nad ním u induktivně vázaných RF výbojů (ICP) – proud ve vinutí

cívky ⇒ Br

nejsilnější v ose ⇒ kruhový pohyb elektronů ⇒ průraz - když převládá rekombinace nad ionizací, hovoříme o plazmatu v rekombinační nerovnováze (tj. plazma zaniká) Příklad: tzv. rekombinační zóny výbojů, kde Te je relativně nízká

Plazma dohasínajících výbojů – fáze po vypnutí zdroje energie (Te klesá s časem); např.: před dalším pulzem

Expandující plazma vytvořené např. plazmovými tryskami – při vzdalování od ionizační zóny Te klesá

- za stacionárních podmínek ve výboji se nemění koncentrace elektronů, resp. iontů ani v ionizační zóně, odkud nosiče náboje odtékají (difúze, konvekce – viz. trysky), ani v rekombinační zóně, kam nosiče náboje přitékají

Konverze atomárních iontů v molekulární ( ) XABXBA +++ +

←→+

iontu mol. rozpad iontu atom. konv.

- proces konverze atomárních iontů v molekulární je velmi efektivní v plazmatu slabě ionizovaných plynů za vyšších tlaků (p ≥ 100 Torr) - v případě TR (plazma je však většinou mimo TR) lze psát:

( ) ( ) kT

disE

eR

nnnR

ABRB

RA

−++ ⋅=⋅ 30

1 …tj. poměrné zastoupení atomárních iontů je vyšší, když disociační energie molekulárních iontů je nižší (snazší rozpad) a teplota je vyšší (snazší disociace)

+An …rovnovážná koncentrace atomárních iontů RBn …rovnovážná koncentrace atomů B +ABn …rovnovážná koncentrace molekulárních iontů

0R …vzdálenost odpovídající řádově lin. rozměru molekulárního iontu

2004 Strana 18

Fyzika plazmatu

Přenos náboje V případě atomů:

( )

( ) ( )mAAAmA

BABmAe

e

+⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →←+

+⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →←+

++

++

−

−

náboje přenos rez. symetrický

náboje přenos ýasymetrick

Pozn.: - oba typy náboje jsou důležité v příelektrodové oblasti výbojů využívaných v plazmových technologiích, kde výrazně ovlivňují energii iontů a neutrálních částic, které dopadají na elektrodu

Příklad: Plazmová nitridace (modifikace povrchu katody doutnavého výboje difúzí dusíku z výbojové směsi – vytváření tvrdých,

otěruvzdorných a nekorozivních nitridů kovů v povrchové vrstvě kovových materiálů) Přenos náboje v příkatodové oblasti Symetrický přenos náboje:

elektronu) zisku po iontu íhomolekulárn z (vznikla

molekula neutrální rychlá

molekuly) neutrálnípomalé z (vznikl iont

ímolekulárn pomalý

oblasti) ípříkatodovv polem melektrický

silným (urychlen iontímolekulárn rychlý

molekulaneutrální pomalá

FS

e

FS NNNN 2222 +→+ ++

−

Důsledek: Neutrální molekuly přispívají k ohřátí katody, které je nezbytné pro difúzy dusíku do materiálu (400-

550 °C); nemohou být zahřáty el. polem (nenesou náboj), ani pružnou srážkou s elektrony (nízký stupeň ionizace)

Asymetrický (disociativní) přenos náboje:

molekulaneutrální rychlá

(disociaceatom pomalý

náboje přenesení po iontu vého

-molekulo pomaléhodisociací (vznikl iont

atomární pomalýiont

ímolekulárn rychlýmolekula

neutrální pomaláF

N

SS

e

FS NNNNN

S

2

)

22

2

++→+

+

−

+

Důsledek: Na nitridovanou katodu dopadají rychlé neutrální molekuly, ale i pomalé atomární ionty (ty však mohou

vzniknout i disociací molekulárního iontu ) a pomalé atomy +2N

Vznik záporných iontů Nejdůležitější proces: BAeAB ++ −

←→

elektronu uvolnění íasociativn záchyt nídisociativ

Pozn.: Proces disociativního záchytu se vyskytuje v částečně ionizovaném plazmatu při nízkých teplotách, existence záporných iontů podstatně ovlivňuje elektrickou vodivost plazmatu (přítomnost dalších záporných nosičů náboje kromě elektronů), rychlost ionizace a rekombinace (zánik nosičů při rekombinaci kladných a záporných iontů), a rychlost difúze plazmatu

- Základní veličinou, která charakterizuje záporný iont, je tzv.elektronová afinita = energie, kterou je nutno dodat elektronu, aby byl uvolněn od atomu nebo molekuly

Atom Elektronová afinita (eV) Molekula Elektronová afinita (eV) H 0.754 O2 0.43 C 1.25 Cl2 <1.7 O 1.465 CN 3.8 Cl 3.613 HBr 3.03 NO2 2.4 CCl4 2.12 SF6 3.39

Z tabulky je vidět, že záporné ionty se nejsnáze tvoří v halogenových plynech (Cl, F, Br, I) a v plynech, které obsahují prvky halogenů (CCl4, SF6 – náplň pro zhášení oblouků při vypínání vysokoproudých obvodů) V plynech o vyšším tlaku BABAe +⎯⎯⎯⎯⎯⎯ →←++ −záchyt výtříčástico

2004 Strana 19

Fyzika plazmatu

2.3. Záření plazmatu Záření plazmatu je jedním ze základních projevů jeho existence (význam pro diagnostiku plazmatu) 2.3.1. Popis radiačních procesů Vzájemnou interakci záření s látkovým prostředím budeme uvažovat jako srážkový proces fotonů s terčovými částicemi o nenulové klidové hmotnosti (viz. analogie s výše zmíněnými srážkovými procesy) Platí:

rychlosti

a frekvenci o fotonu hybnost

frekvenci ofotonu energie

Ω=Ω=

==

chhp

hh

c

νλπ

π

νπνπ

ε

ν

ν

ν

ν

22

22

Ω …jednotkový vektor ve směru pohybu fotonu

Analogicky jako dříve: - počet fotonů v jednotce objemu, které mají v daném čase a v daném místě

hybnost v intervalu ( )ννν pdpp +,

( )

( )

43421

ννν

ννν

ν

ν

pdpp

pdpfn

+

⋅

,

3

intervalu v hybnost má foton že

bnost,pravděpodo

frekvenci o fotonů

ekoncentrac objemová

Normovací podmínka pro rozdělovací funkci fotonů:

( ) 13 =∫+∞

∞−

ννν pdpf

Po úpravě: ( )[ ] cpdpfn ⋅νννν

3 … diferenciální hustota toku fotonů (viz. dΓ1)

(počet fotonů s hybností v intervalu ννν pdpp +, , které projdou jednotkou plochy za 1s) Po vynásobení hν:

cpdpfnh ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

ννννν 3 …diferenciální hustota toku energie fotonů

Ω=Ω= ddchpddpppd ννννν

223

dΩ… element tělesového úhlu určeného jednotkovým vektorem Ω Po dosazení: ( ) ( ) ΩΩ=Ω ddIddpfnph ννν ννννν

22

( )ΩνI …spektrální hustota toku záření (intenzita záření o frekvenci ν ve směru Ω ) = energie záření připadající na interval frekvence dν a tělesový úhel dΩ, která projde jednotkou plochy za 1s

Platí (viz analogie s ): PdR12

( ) ( )

( )

4434421

WdW

PP WdWfncQpdpfndR

+

=

,

322

3

Wrychlostí s objemu

jednotce včástic terčových počet

cemiterč.části afotony mezi p

procesu rychlostlnídiferenciá

νννννν

Po dosazení:

( )( ) ( ) PP Qddh

IWdWfndR νν

ν νν

44 344 21

fotonů tokuhustota lnídiferenciá

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛Ω

Ω= 3

22 , tj. musíme znát ( ) ( ) PQIWf νν ,,2 Ω

2.3.2. Základní typy interakce foton-látková částice Absorpce a stimulovaná emise fotonů Rozptyl fotonů

Pozn.: Vybuzená částice se stává zdrojem záření také samovolně při spontánní emisi záření, resp. fotonů Platí: Procesy emise fotonů a jejich absorpce jsou vzájemně vázány tzv. principem detailní rovnováhy (viz.

později), který obecně spojuje přímé a inverzní procesy ⇒ dále se proto zaměříme pouze na proces absorpce záření

Při dopadu svazku fotonů na terčové částice registrujeme po průchodu:

2004 Strana 20

Fyzika plazmatu

(i) Čárové spektrum Záření definovaných vlnových délek je (často velmi silně) absorbováno v důsledku přechodu terčových částic z jednoho energetického (vázaného) stavu do druhého (viz. rotační, vibrační a elektronové stavy), tzv. bound-bound transitions Př.: fotoexcitace atomů ( ) ( )nAhmA mn deexc. spontánní

cefotoexcita←

→+ ν

hνmn…toto přesně definované kvantum (hνmn=ε1n-ε1m) je absorbováno ⇒ prudký pokles v intenzitě procházejícího záření, pokud jeho frekvence ν=νmn

(ii) Spojité spektrum Dopadající záření je absorbováno při fotoionizaci terčových částic (bound-free transitions) Př.: fotoionizace atomů ( ) eAhmA ++ +

←→

erekombinac radiační cefotoionizaν

hν…libovolné kvantum (hν≥εm) je absorbováno ⇒ spojitá změna v absorpčním spektru e…kinetická energie uvolněného elektronu závisí na rozdílu hν-εm

ad i) Fotoexcitace Platí:

( ) ( )νϕνϕεν mnmn

e

nm ffcm

eQ 6

0

2

1065.24

−→ ×==

Qν…účinný průřez pro fotoexcitace atomu m→n fmn…síla oscilátoru pro absorpci záření (atomová konstanta, viz. rozsáhlé tabulky pro jednotlivé atomy, obvykle v rozsahu od 0 do 1) ϕ(ν)…funkce profilu čáry při absorpci (charakterizuje pravděpodobnost absorpce záření o frekvenci ν)

Pozn.: Síla oscilátoru 0=mnf ⇔ radiační deexcitace n→m je opticky zakázána (viz. souvislost mezi fmn a

Anm, cvič. č. 8) Účinný průřez není atomovým parametrem, neboť šířka čáry závisí na okolí atomu (viz faktory

rozšíření spektrálních čar později)

nmQ →ν

Funkce profilu čáry ∆ν – tzv. pološířka spektrální čáry (charakterizuje „šířku“ čáry) = „šířka“ čáry v místě odpovídajícím ½ hodnoty ϕmax(ν) ≡ ϕ(νmn) analogicky: ∆ν = FWHM („full width at half maximum“)

Normovací podmínka:

( ) 10

=∫∞

ννϕ d

Pozn.: ( ) 0≠νϕ pouze pro mnνν ≈ (viz. rozšíření spektrálních čar dále) Po dosazení za dostáváme: PQν

( )( ) ( ) ( ) ννϕνε

νν d

hIdf

cmeWdWfndR mn

emm

nm ΩΩ=→

0

23

4

2004 Strana 21

Fyzika plazmatu

Po integraci:

( ) ( ) ( )44 844 76

4434421

fotonů chdopadajícífrekv.hodnoty možné

všechny přes integrál

částic terčových rychlosti

hodnoty možnévšechny přes integrál

1

∫∫∞

=

∞+

∞−

→ ΩΩ=∆

00

23

4ννϕ

νεν

ν dh

Idfcm

eWdWfnR mne

mmnm

mn ( )

4434421podmínka normovací

10

=∫∞

ννϕ d

( ) ( )mnh

Ih

I mn

νννν

Ω→

Ω …předpokládáme, že funkce ( )ΩνI a hν, resp. jejich

podíl, jsou jen slabě závislé na ν tam, kde ϕ(ν) ≠ 0 Dostáváme:

…celkový počet přechodů m→n v jednotce objemu za 1s v důsledku absorpce záření z tělesového úhlu dΩ (většinou „silná“ neizotropnost – dopad paprsku)

( ) ΩΩ=∆ → dIfchm

enRmn

mn

mn

B

mnmne

mnm

νν νε444 3444 21

záření absorpci prokoeficient Einsteinův -

0

2

4 Potom:

( ) ΩΩ dIBmnmn ν …počet přechodů m→n připadajících na jeden atom ve stavu m za 1s v důsledku

absorpce záření z tělesového úhlu dΩ, viz. samozřejmá závislost na ( )Ωmn

Iν Jiná interpretace:

- pravděpodobnost toho, že za 1s dojde v atomu k jednomu přechodu m→n v důsledku absorpce záření z tělesového úhlu dΩ

Analogicky lze psát: - pravděpodobnost toho, že za 1s dojde v atomu k jednomu přechodu n→m v důsledku

dopadu záření do tělesového úhlu dΩ

Einsteinův koeficient pro stimulovanou emisi

( ) ΩΩ dIBmnnm ν

Pozn.: Nalétávající fotony indukují vyzáření fotonů o téže frekvenci, šířících se týmž směrem (dopadající a vznikající záření jsou koherentní – viz lasery)

Podobně platí: - pravděpodobnost toho, že za 1s dojde v atomu k jednomu spontánnímu přechodu n→m

s vyzářením fotonu do tělesového úhlu dΩ ΩdAnm

π4 Anm…Einsteinův koeficient pro spontánní emisi Platí: Spontánní záření je izotropní, tj. pravděpodobnost, že za 1s dojde ke spontánnímu přechodu n→m

v libovolném směru, je Anm (viz. π4Ωd - poměr určující část záření jdoucí do tělesového úhlu dΩ)

Pozn.: Pro intenzivní emisní čáry je -1s 810≈nmA , tj. za 1s se stav n „rozpadne“ 108krát v důsledku spontánní emise do všech směrů ⇒ krátká doba života excitovaných stavů (kromě metastabilů)

ad ii) Fotoionizace Pro vodík a vodíku podobné atomy platí:

( ) ][1091.733

64 23

222

3

220

4 0

2

m bfm

bfm

em g

hZmg

hZma

cQ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛= −

νε

νεππε

νh

účinný průřez pro fotoionizace hladiny popsané hlavním kvantovým číslem m gbf…Gauntův faktor (většinou velmi blízký 1) m…hlavní kvantové číslo dané hladiny Z=1 pro vodík εm…ionizační energie m-té hladiny

Pozn.: Účinný průřez je atomovým parametrem mQν

0≠mQν pro mh εν = , tj. pro prahovou hodnotu frekvence mm hνQ ε

νν >pro 13~

2004 Strana 22

Fyzika plazmatu

2.3.3. Rozšíření spektrálních čar Rozšíření, resp. tvar, spektrálních čar jsou dány následujícími čtyřmi mechanismy:

(i) přirozené rozšíření čar – dáno spontánním zářením atomů (ii) rozšíření tlakem – dáno vzájemným působením zářících atomů se sousedními částicemi (neutrální

částice, elektrony) (iii) dopplerovské rozšíření – dáno tepelným pohybem zářících atomů (iv) rozšíření kombinací zmíněných mechanismů ad i) přirozené rozšíření čar V KM lze ukázat, že platí tzv. Heisenbergovy relace neurčitosti: htEpx x ≈∆∆=∆∆ ∆E…neurčitost stanovení energie částice v jejím určitém stavu

∆t…neurčitost stanovení doby života částice v daném stavu Ukážeme platnost vztahu:

tEpx x ∆∆=∆∆ pro volnou částici Pravděpodobnostní popis KM: Pohybující se částici si představujeme jako postupující vlnový balík o „šířce“ ∆x Platí: tvx ∆=∆ ∆x…neurčitost ve stanovení polohy částice ∆t…neurčitost ve stanoveni doby dopadu částice v…rychlost pohybu částice Pro energii volné částice platí:

mpE x

2

2

=

Po diferenciaci:

xxx pv

mppE ∆=

∆=∆

22

neurčitost ve stanovení energie částice způsobená neurčitostí hybnosti Po dosazení:

tEvEtvpx x ∆∆=

∆∆=∆∆

Pozn.: Tato rovnost platí i pro vázané systémy Platí:

hnn ≈∆ τε , kde n

n γτ 1

=

…střední doba života částic v daném stavu (dá se ukázat, že tato veličina charakterizuje nejen jakousi průměrnou dobu života částic, ale i neurčitost jejího stanovení) …rozšíření n-té energetické hladiny (neurčitost stanovení energie)

Po dosazení: nn hγε ≈∆ , kde ∑

<

=nj

njn Aγ

…převrácená hodnota doby života částice v n-tém stavu (celkový počet přechodů z n-té hladiny za 1s v důsledku spontánní emise)

Pro funkci tvaru čáry pro absorpci m→n platí:

( )( ) ( )22 4

41πγνν

πγπ

νϕmnmn

mn

+−= ,

kde

hladiny hornírozšířeníurčujícíparametr

hladiny dolnírozšířeníurčujícíparametr ↓↓

+= nmmn γγγ

Jde o tzv. lorentzovský tvar čáry, pro její pološířku platí:

πγν2

mnN =∆

Pozn.: Funkce ϕ(ν) je pro přirozené rozšíření pouze charakteristikou daného atomu (viz. závislost na Anm)

2004 Strana 23

Fyzika plazmatu

Pro záření ve viditelné oblasti ∆λN ≈ 10-4Å (rozlišovací schopnost poměrně kvalitního monochromátoru je 0.1 Å); v částečně ionizovaných plynech je přirozená šířka čáry téměř vždy mnohokrát menší než šířka způsobená tlakem nebo Dopplerovým efektem (viz. dále)

ad ii) rozšíření čar tlakem Na rozdíl od emisních čar izolovaného atomu vykazují tytéž čáry v reálném prostředí statistické rozšíření v důsledku srážek zářícího atomu s okolními částicemi

Vzájemná interakce s neutrálními částicemi téhož typu Vzájemná interakce s neutrálními částicemi jiného typu

Pozn.: V mnoha případech je rozšíření čar tlakem omezováno pouze na tyto dvě interakce, tj. starkovské rozšíření je uvažováno samostatně

starkovské rozšíření – dáno vzájemným působením atomu s okolními nabitými částicemi, především s elektrony

Pozn.: Starkův jev spočívá v rozštěpení energetických hladin ve vnějším elektrickém poli (viz. Zeemanův jev: rozštěpení v magnetickém poli)

Ve všech těchto případech, kromě S-rozšíření čar vodíku a některých čar He, je tvar čáry přibližně lorentzovský (γmn musí být nahrazeno Γmn, které je dáno jinou formulí) Představa o „velikosti“ efektu:

Při tlaku 100 kPa (atmosférický tlak) je pološířka čáry ve viditelné oblasti způsobená interakcí s neutrálními částicemi řádově ∆λL ≅ 0.05 Å

Pro ne ≅ 1016cm-3 (hodnota typická pro obloukové výboje) vede S-efekt k pološířkám ∆λS ≅ 100 – 101 Å v závislosti na atomu a zkoumané čáře

Význam S-rozšíření pro diagnostiku plazmatu: Platí:

32~ eS nλ∆ ...pro lineární S-jev, viz. např. Hβ (n = 4 → n = 2, tj. druhá čára Balmerovy série ve

vodíku), λ = 4861.3 Å eS n~λ∆ …pro kvadratický S-jev

V případě dostatečně vysoké stupně ionizace plazmatu, viz. tzv. kvaziizotermické plazma (Te≅Ta) – např. v obloukových výbojích, kde S-efekt výrazně ovlivňuje rozšíření čar, lze využít uvedených formulí k měření koncentrace elektronů ne

Výhoda : – plazma nemusí být ve stavu LTE (lokální termodynamická rovnováha), není třeba znát ani teplotu, ani chemické složení;

postup Obvyklý : – slabé přimísení vodíku (≈1%, aby nedošlo k ovlivnění výboje) do výbojové směsi, studium rozšíření čáry Hβ (výrazný efekt, teorie zvládnuta, viditelná oblast)

ad iii)Dopplerovské rozšíření V důsledku tepelného pohybu zářících atomů registruje pozorovatel různé frekvence záření v závislosti na hodnotě relativní rychlosti atomů vůči němu Podle Dopplerova jevu:

mnxvc

c νν−

=

ν…frekvence registrovaná pozorovatelem, vůči němuž se zdroj pohybuje νmn…frekvence v soustavě zdroje (klidný atom) vx…rychlost pohybu zdroje (atomu): vx > 0 – pohyb k pozorovateli, vx < 0 – pohyb od pozorovatele

Platí (viz přednáška F III):

( ) xkTvm

a

axx dve

kTmdvvf a

xa2

21 2

2−

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

π …Maxwellovo rozdělení částic podle rychlosti

pravděpodobnost, že atom má x-ovou složku rychlosti v intervalu (vx,vx+dvx) Pozn.: Maxwellovo rozdělení bylo odvozeno za předpokladu, že systém se nachází ve stavu termodynamické

rovnováhy; v případě atomů platí velmi dobře i v případech velmi vzdálených od TR. Po úpravě:

( )( ) c

vc

vcvcvcc x

cvx

x

x

mnx

+=−

+=

−+

= 11 2

222νν

<<1, tj. uvažujeme nerelativistický případ

2004 Strana 24

Fyzika plazmatu

Dostáváme:

ννν

ν dcdvcvmn

xmn

x =⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 1

Po dosazení:

( )( )

ννπ

νν νν

ννϕ

dcekT

mdfmn

kTcm

a

a

d

mna

a22

122

1

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

≡

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=321

- pravděpodobnost naměření frekvence ν z hlediska pozorovatele Pozn.:

Rozšíření čáry závisí na pravděpodobnosti výskytu různých hodnot vx atomů Čára je velmi úzká, neboť pro ν ≠ νmn se projeví silný útlum díky faktoru c2 v exponentu

Podmínka pro pokles ϕmax(ν =νmn) na ½ ϕmax(νmn): 21

221

2 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

mna

a

kTcm

e νν

Po úpravě:

2ln12

22

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

mna

a

kTcm

νν

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛±=± 2ln21 2cm

kT

a

amnνν

Po dosazení:

( ) 2121

2 2ln22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆

cmkT

a

amnD νν …pološířka čáry rozšířené Dopplerovským efektem

Číselná hodnota:

mna

aD M

T νν 71016.7 −×=∆ Ma…poměrná atomová hmotnost

Pozn.: V případě D-čáry Na, ∆λD = 0.04Å při Ta=2000K Využití v diagnostice: měření teploty atomů v plazmatu (využití Fabry-Perotova interferometru pro

stanovení tvaru čáry), D-efekt je výrazný pro lehké prvky (viz. formule) při relativně vysokých hodnotách Ta – je výhodné použít těch čar, které nejsou příliš citlivé na Starkův efekt (Ta relativně vysoká ⇔ ne je relativně vysoká)

Platí:

( )D

mn

a

a

ckTm

νν

∆=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ 21212ln2

2

Po dosazení:

( ) ( )

2

212ln2

2121

2ln2

1 ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆−

−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∆=

D

mn

eD

ννν

νπνϕ …dopplerovský (obecně gaussovský) tvar čáry

- rychlejší pokles (viz. exponenciála) na křídlech rozdělení oproti lorentzovskému tvaru (důležité při identifikaci efektů při identifikaci efektů, které se projevují současně)

2004 Strana 25

Fyzika plazmatu

2.3.4. Opticky tenké a tlusté plazma Analogicky jako v případě srážek látkových částic platí:

∑=

P

PQnl

νν

2

1…střední volná dráha fotonu o frekvenci ν

n2…objemová koncentrace terčových částic účinný průřez pro daný radiační proces P (tento proces mění hustotu toku fotonů v daném místě plazmatu)

Jestliže platí: (i) RLl resp. ,>>ν L…tloušťka vrstvy plazmatu R…poloměr sloupce plazmatu; v případě uzavřených systémů ≡ poloměr výbojové trubice

potom hovoříme o plazmatu, které je opticky tenké pro dané záření, tj. fotony téměř nejsou v dané vrstvě pohlcovány ⇒ záření vystupuje z plazmatu (ii) RLl resp. ,<<ν potom hovoříme o plazmatu, které je opticky tlusté pro dané záření, tj. téměř všechny fotony jsou v dané vrstvě reabsorbovány ⇒ záření neopouští plazma

Pozn.: V případě čárového spektra je možné za určitých podmínek, že plazma je opticky tlusté pro střed čáry ( , tj. pro ( )νϕν ~nmQ → Ll

mnmn <<⇒→ ννν ), ale opticky tenké na jejích křídlech ( , neboť Ll >>ν

( ) 0→νϕ ), v takovém případě se výrazně mění tvar čar vyzařovaných plazmatem (složitý problém přenosu záření – význam pro spektroskopickou diagnostiku plazmatu: plazmové technologie, plazmochemie, astrofyzika, realizace termonukleární fůze)

Optické únikové faktory Slouží ke zjednodušenému popisu přenosu záření v plazmatu, započítávají parametricky lokální vliv absorpce záření a stimulované emise, a tak simulují různou optickou tloušťku plazmatu pro přechody elektronů mezi dvěma energetickými hladinami, Λmn, resp. mezi excitovanou hladinou a kontinuem, Λm

Platí: Λmn, Λm ∈⟨0,1⟩ 01→=Λ

0…plazma je opticky zcela tlusté, tj. veškeré záření je reabsorbováno ⇒ z plazmatu nevystupuje žádné záření ( 0=Λ , tj. výstupu: 0% záření) 1…plazma je opticky zcela tenké, tj. žádné záření není reabsorbováno ⇒ veškeré záření vystupuje z plazmatu ( 1=Λ , tj. výstupu: 100% záření)

Příklad: 1.021 =Λ , tj. při spontánní deexcitace 2→1 (dána Einsteinovým koeficientem A21) vystupuje

z plazmatu pouze 10% záření, neboť 90% záření je neabsorbováno Pozn.: K největší reabsorpci záření dochází při tzv. rezonančních přechodech 12 →≥n (zákl. hladina),

neboť n1>>n2, n3, atd. ⇒ atd. ,,321 nnn

lll ννν <<

2.4. Vztahy platné v termodynamické rovnováze Lze ukázat, že v termodynamické rovnováze platí:

Boltzmannův vztah (pro obsazení jednotlivých energetických hladin částic daného typu – atomů, molekul a iontů)

Sahova rovnice (pro obsazení excitovaného stavu částice daného typu při známé koncentraci volných elektronů a iontů v základním stavu, které z daných částic vznikly)

Maxwellovo rozdělení (pro rozdělení částic podle rychlosti) Planckův zákon (pro spektrální intenzitu záření)

(i) Bolztmannův vztah Platí:

tato rovnost platí pouze za předpokladu, že atomy, ionty nebo molekuly mají pouze jednu ionizační mez

…poměr mezi objemovými koncentracemi částic daného typu (atomy, ionty a molekuly) ve dvou vybuzených stavech

gm…statistická váha m-tého (dolního) stavu

kT

m

n

m

nmn

egg

nn ε

−=

T...teplota všech částic plazmatu je TR stejná kde nmmnmn εεεεε −=−= 11 excitační energie pro excitaci m→n

2004 Strana 26

Fyzika plazmatu

Uvážíme m = 1, tj. dolní hladinou bude základní stav Platí:

kT

n

nn

egn

gn 1

1

1ε

−= , tj. známe-li n1 (viz měření tlaku) a hodnotu T (platí: Te = Ta = Ti ≡ T) známe nn

Po úpravě: ( ) ( ) kTgngn nnn 111lnln ε−=

Pozn.:

Směrnice B-přímky: ( nn

n fgn

1ln ε= ) určuje teplotu částic

Význam pro diagnostiku: V případě, že plazma je v nerovnovážném stavu (Te ≠ Ta), koncentrace základní hladiny n1 a často i koncentrace n2, resp. n3 neleží na Boltzmannově přímce, koncentrace výše položených stavů však na ní leží, přičemž její směrnici určuje teplota elektronů Te – význam pro stanovení hodnoty Te z měření emisní intenzity dvou čar, které vede ke stanovení obsazení dvou vysoko položených excitovaných stavů (tzv. metoda dvou čar)

(ii) Sahova rovnice

extrapolací naměřené B-přímky

Platí:

…poměr mezi koncentrací atomů v n-tém stavu a koncentrací volných elektronů a jednou ionizovaných iontů v základním stavu

statistická váha iontu v základním stavu

kT

e

n

e

nn

ekTm

hgg

nnn ε

π

232

11 22 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

++

ionizační energie n-tého stavu atomu

Po úpravě:

( ) kTe

kTe

en

nnn

egnTnSe

gn

Tn

kmh

gn εε

π +

+

<

+

+

×

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

1

1

11

123

10066.2

232

,22

1

216

4342144 344 21

podmínek)ickýchrelativist (za

Kcm 33

Dostáváme:

( )kTg

nTnSgn n

en

n ε++= +

+

< 1

1ln,lnln43421

0

Pro εn = 0, tj. pro energetický stav atomu na hranici kontinua:

( ) +

+

<∞

∞ +=1

1

0

ln,lnlngnTnS

gn

e43421⇒ ( )TnS

gn

gn

e,lnlnln1

1 +=∞

∞+

+

, viz. obr.

…extrapolovaná hodnota koncentrace v excitovaném stavu na ionizační mezi ( )TnS e,ln …sahovský skok Po dosazení:

kTgn

gn n

n

n ε+=

∞

∞lnln , viz. souhlas s B-přímkou

2004 Strana 27

Fyzika plazmatu

Pozn.:

Obě přímky na B-S grafu, zachycujícím B-vztah a S-rovnici, mají stejné směrnice Význam pro diagnostiku plazmatu: V případě, že plazma je v nerovnovážném stavu (Te≠Ta), je možno

využít experimentálních hodnot pro sahovský skok, pokud (podmínka neutrality plazmatu v případě dominance jednoho plynu ve výbojové směsi), ke stanovení hodnoty T

+= 1nne

e (metoda 2 čar je považována za poměrně nespolehlivou, i když využijeme vysoko položených stavů – nízká intenzita čar, nespolehlivost odpovídajících E-koeficientů):

( )

obr. viz.

stavy, ležící vysokopro hodnot naměřených z stanovenéhodnoty anéextrapolov ačáry rozšíření-S z určené hodnoty álníexperiment pomocí stanoví se hodnota álníExperiment

nn

eee

gngnHnnTnS

∞∞

+=

β

1,

Zobecněná Sahova rovnice:

kT

er

rn

re

rn

rn

ekTm

hgg

nnn ε

π

232

11

11 22 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= ++ , kde r≥0 je stupeň ionizace atomu resp. iontu

…vztah mezi obsazením n-tého stavu r-krát ionizovaného atomu, resp. iontu, koncentrací volných elektronů a obsazením zákl. stavu (r+1)-krát ionizovaného atomu, resp. iontu

(iii) Maxwellovo rozdělení Pro všechny částice (elektrony, těžké částice) plazmatu platí:

( ) kTmW

M ekT

mWf 223 2

2−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=π

…hustota pravděpodobnosti, že částice má rychlost v intervalu (W,W+dW)

m…hmotnost částic T…teplota (iv) Planckův zákon B-vztah, S-rovnice a M-rozdělení jsou důsledkem termodynamické rovnováhy v látkovém prostředí Planckův zákon je důsledkem termodynamické rovnováhy mezi látkovým prostředím a zářením Platí:

( )1

2 23

−=Ω kThe

chI ννν

-1…neboť fotony jsou bosony (viz. FIII)

Pozn.: ( )ΩνI nezávisí v TR na směru toku (neboť záření je izotropní), je dána pouze hodnotou teploty (silná

závislost, viz. exponenciála – obr.)

spektrální hustota záření (intenzita záření o frekvenci ν ve směru Ω )

2004 Strana 28

Fyzika plazmatu

Wienův zákon posuvu:

.konstTm =λ λm je vlnová délka odpovídající Iλ maxim pro danou T (roste-li T, posun λm k nižším hodnotám; viz. objevení tmavorudé barvy materiálů s růstem T – při nižších T pouze infračervené záření)

Pozn.: Planckova formule vyjadřuje spektr

Přibližn ně černého tělesa

ální rozdělení intenzity záření pro tzv. absolutně černé těleso (těleso zahřáté na určitou teplotu, pohlcuje veškeré záření, které na ně dopadne) ý model absolut

Pozn.: V rovnovážném stavu platí rovnost mezi rychlostmi absorpce a vyzáření energie stěnami

íLokáln termodynamická rovnováha Úplná termodynamická rovnováha je pro plazmové systémy zcela netypická, neboť téměř vždy dochází k jejímu

ýbojů) blízko tzv.

Plazma je ve stavu LTE, když rychlosti srážek vedoucích k obsazení excitovaných stavů látkových

du (Nick 1984: p = 760

I [A S-vztah fel(ε) stav plazmatu ≥

narušení v důsledku úniku záření ze systému, tj. je narušena platnost Planckova zákona. Plazmové systémy se však mohou nacházet (viz. kvaziizotermické plazma obloukových vlokální termodynamické rovnováhy (LTE), kdy je možno použít B-vztahu, S-rovnice a M- rozdělení, neboť látkové částice jsou ve vzájemné rovnováze a plazma je charakterizováno jednou teplotou. Pozn.:

částic jsou mnohem vyšší než rychlosti odpovídajících radiačních procesů Růst odklonu od LTE v ose obloukového výboje s poklesem výbojového prouTorr – Argon, poloměr výbojové trubice R = 0.2 cm)

] ne[cm-3] Te[K] Ta[K] B- &≥ 40 7 × 1016 12 100 11 900 PLATÍ M LTE 20 2 × 1016 10 400 9 500 NEPL O n1ATÍ PR M PLTE 2 2 × 1015 9 800 5 400 NEPLATÍ PRO n1,

porucha i pro n2

slabý odklon

da es pokles silný pokles chvostu od M

PLTE

lší pokles pokl( kle .

Te – T roste

pla de postupně se

detailní rovnováhy

při velkém po su I, respne již nepůjde o obloukový výboj)

a

tí pouze pro nn, kindex n je dostatečně vysoko ležící hladina

odklon o M roste naruší PLTE

Princip ké rovnováhy platí: V podmínkách termodynamic

Diferenciální rychlost libovolného mikroskopického procesu je rovna diferenciální rychlosti odpovídajícího inverzního procesu.

2004 Strana 29

Fyzika plazmatu

Příklad: Excitace a deexcitace atomu srážkou s elektronem ( ) ( ) enAemA ++

←→

deexcitace srážková excitace srážková 2

21 Cmemn ′=−=′ εεε (kinetická energie el. po srážce)

2

21 Cme=ε (kinetická energie elektronu před srážkou)

Předpoklad: C >> W (velmi dobře splněno, viz. dříve) W = W′, tj. po nárazu elektronu nedojde ke změně kinetické energie atomu (realistické zjednodušení,

které vede rychleji k výsledku) Platí (viz. dříve): ( ) ( ) ( ) WdWfnCCQCdCfndR MR

mexcmn

Me

excmn

33 ⋅=

→

321

TR v nm excitacerychlost lnídiferenciá

koncentrace atomů v m-tém stavu v případě TR ( ) ( ) ( ) WdWfnCQCCdCfndR MR

ndeexcnm

Me

deexcnm

33 ′′⋅′′= Po dosazení a porovnání diferenciálních rychlostí:

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) WdWfnQm

dmm

eekTe

mn

WdWfeggnQ

md

mme

kTmn

MRnmn

deexcnm

C

mne

CdC

Cd

mne

C

e

mn

Cf

kTkTee

M

n

kT

n

mRn

excmn

C

e

dCCCd

dC

e

C

e

Cf

kT

e

ee

M

e

mn

e

Rm

e

mn

M

e

321

4

212123

321

4

212123

221224

2

221224

2

2

2

23

2

εεεεεεεεεππ

εεεεεππ

π

εε

ε

π

ε

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

′′′

′

−

′′

+−

=

−−

444 8444 764444444 84444444 76

4444 34444 21434214444 34444 21

48476484764444 84444 76

444 3444 21444 3444 21

Dostáváme:

( ) ( ) ( mndeexcnmmnn

excmnm QgQg εεεεεε −−= )

Fyzikální význam: Pomocí principu detailní rovnováhy dostáváme vztah mezi účinnými průřezy pro přímý a inverzní proces, tento vztah je dán pouze atomovými parametry ⇒ platí i mimo LTE!! ⇒ význam pro modelování nerovnovážného plazmatu (srážkovou deexcitaci popisujeme pomocí účinného průřezu pro srážkovou excitaci)

Pozn.: pro ( ) 0≠εexcmnQ mnεε > (excitace je procesem s prahem) ⇒ ( ) 0≠′εdeexc

nmQ pro 0>′ε , tj. deexcitace nemá práh

V termodynamické rovnováze platí:

deexcnm

excmn RR =

rychlost srážkové excitace m→n

rychlost srážkové deexcitace n→m

Po dosazení

deexcitacisrážkovou pro

koef. rychlostní

integrál) í(rychlostnexcitaci

srážkovou prokoef. rychlostní

↓=

↓

deexcnm

Rne

excmn

Rme SnnSnn

Po úpravě:

excmn

kT

n

mdeexcnm Se

ggS e

mnε

= ...známe-li koeficient S (viz. integ. dříve), je snadné okamžitě stanovit S excmn

deexcnm

Příklad (cvičení 8): Dokažte, že tento vztah proS platí i mimo LTE, avšak pouze tehdy, je-li rozdělovací funkce elektronů maxwellovská

deexcnm

Cvič. 8: Odvoďte vztah mezi Anm a fmnCvič. 7: Ilustrativní – obsah není předmětem zkoušky Optická emisní spektroskopie

2004 Strana 30

Fyzika plazmatu

3. Rozdělovací funkce částic a zákony zachování Stanovení rozdělovací funkce je klíčové pro popis plazmatu – slouží k určení středních hodnot veličin, rychlostí procesů a veličin charakterizujících přenos částic, hybnosti a energie plazmatu 3.1. Boltzmannova rovnice Platí: ( ) ( ) CdtCrftrndn sss

3,,,rr

=

počet částic s-tého druhu v jednotce objemu v místě rr

, jejichž rychlosti leží v intervalu ( )CdCC +,

( ) CdtCrfs3,,

r…pravděpodobnost, že částice se nachází v daném čase t v místě r

ra má rychlost ( )CdCC +,

( trns , )r…objemová koncentrace částic s v daném místě r

rv daném čase t

Po integraci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )44 344 21

rrrrr

podmínka normovací - 1

33 ,,,,,,, ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−

== CdtCrftrnCdtCrftrntrn sssss

Po další integraci:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞− Ω

+∞

∞−

== 43421rrr

321

prostoru fázovémrnémšestirozmě v

integrace -

systému v typutého-sčástic

počet celkový dssss rCddtCrftrnrdtrntN 333 ,,,,

rychlost změny počtu částic s v důsledku pružných srážek

Platí:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( )434214444 34444 21

rr

4444 34444 21

rrr

444 3444 21

rr

444 3444 21

rr

rrrsrážek důsledku

včástic počtuzměny rychlost

zdrojem) vyvolanou E pole intenzitou dánelektronů případě (v polem silovýmčástic

urychlení důsledku vzměny rychlost

částic) proudění resp. stěnám, ke difúzeradiální např. difúze, existuje prostoru v ínehomogennčástic rozdělení

je když nenulový, je člen (tentočástic toku důsledku vzměny rychlost

energie) zdroje zapnutí a vypnutí při významný člen

tento je elektronů případě (vzměny časové čistě rychlost

prostoru fázovéhobodě jednom v tj. t, čase

daném v C rychlostí s r místě v objemu jednotce v sčástic

počtuzměny rychlost celková.

,,,,,,,,,,,,sr

ss

nF

ssC

C

ssrssss tfn

tCtCrftrn

trtCrftrntCrftrn

ttCrftrn

dtd

sS

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∂∂

⋅∇+∂∂⋅∇+

∂∂

=

⇒

δδ

Po úpravě:

( ) ( ) ( )

.sr

sssCs

s

sssr

ss

tfnfn

mFfnC

tfn

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=∇+∇⋅+

∂∂

δδ

…B-rovnice pro rozdělovací funkci ( )tCrfs ,,r

Srážkový člen Platí:

( ) ..

.

inels

els

sr

ss CCtfn

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

δδ

rychlost změny počtu částic s v důsledku nepružných srážek

Platí:

( ) ( )[ ( ) ( )]( )

∑ ∫ ∫+∞

∞−

′′

Ω−′′=r

dQ

sr

s

rs

s

rsrsels WddIgWfCfWfCfnnC

sr

π4

3.876

4342143421

C naC z rychlost změnila

se srážce (při Crychlostí s typu

částic počtu sníženícíodpovídají člen

C naC z rychlost změnila

se srážce (při Crychlostí s typu

částic počtu přírůstkucíodpovídají člen

velikost relativní rychlosti

diferenciální účinný průřez pro srážku s-r

Pružná srážka mezi částicemi s a r

integrace přes všechny rychlosti částic typu r

Přímá srážka: Inverzní srážka:

2004 Strana 31

Fyzika plazmatu

Platí (viz dříve): ( ) ( ) ( ) WCdddggIWfCfnn srrsrs

33, Ωχ

…počet srážek částic s z intervalu ( )CdCC +, a částic r z intervalu ( )WdWW +, v jednotce objemu za 1s, kdy nalétávající částice se odchylují pod úhlem χ

Při popisu inverzní srážky bylo užito:

WdCdWCdd

WCWCg

′′=

′−′≡−=

≡′

3333

χχ

Pozn.: V případě srážek nabitých částic je nutno započítat debyeovské stínění v dolní mezi integrálu přes dΩ (χmin≠0)

3.2. Zákony zachování Zákony zachování počtu částic, resp. hmotnosti, hybnosti a energie jsou základními zákony pro objasnění procesů ve výbojích

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

Lze je získat po vynásobení B-rovnice funkcí 1)( =Φ C , resp. ms, Cms a 2

21 Cms a po její integraci přes celý

rychlostní prostor

∫∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞

∞

Φ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=Φ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇+Φ⋅∇⋅+Φ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣ ∂

C na pouze závisí

CdCtfnCdCfn

mFCdCfnCCdC

tfn ss

sCss

sssr

ss 3333

δδ

∫+⎡∂

Dostáváme: − Po úpravě:

(i) ( ) ( )( )

( ) ( )rychlostivšechny

přes hodnota střední

C na nezávisí

nezávislé jsou a

funkcí expl. není

↵Φ

∂∂

=Φ∂∂

=Φ⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∫∫∞+

∞−

Φ

∞+

∞−

Cnt

CdCfnt

CdCtfn

s

n

ss

tC

tC

ss

s

rr

33

(ii) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅Φ⋅∇=⋅Φ∇=∇⋅⋅Φ ∫∫

∞+

∞−

∇

∞+

∞−

CCnfnCCCdfnCCCd sr

rC

n

ssrssr

s

nezávislé jsou a

za bude ale,C na nezávisí r na explicitně

nezávisí

r

rr

rr

48476

4342133

(iii) Předpokládáme, že působící síla F je elmag. povahy, tj. F nezávisí naC v elektrickém poli a F ⊥C v magnetickém poli, tj. Fx nezávisí na Cx, Fy na Cy a Fz na Cz v magnetickém poli Potom:

( ) ( )( )

( )[ ]

( ) ( )∫∫∫∞+

∞−

±∞→→→Φ

∞+

∞−

∞+

∞−

Φ⋅∇−=Φ∇−Φ∇=∇Φ

∞+

∞−

CnmFCCfdn

mFfCCdn

mFfn

mFCCd Cs

s

sCss

s

s

CffC

sCss

ssCs

s

s

s

s

3

0,0

,0

33

444 3444 21

876

pro protože neboť

partes" per" složky néstejnojmen

nezávislé

Po dosazení:

( ) ( ) ( ) ( )( ).sr

sCss

ssrs Cn

tCn

mFCCnCn

t ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ Φ=Φ∇−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ Φ⋅∇+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ Φ

∂∂

δδ

…obecná formule vyjadřující zmíněné zákony zachování Aplikace:

(i) Po dosazení ( ) 1=ΦC dostáváme zákon zachování počtu částic (rovnice kontinuity pro částice s)

2004 Strana 32

Fyzika plazmatu

Platí:

.

0sr

ssr

s

tnCn

tn

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∇+

∂∂

δδ

43421

místědaném včástic toku

hustota objemová

časová změna počtu částic v jednotce objemu v daném místě v důsledku srážkových procesů

kde …tzv. difúzní (jinde označovaná jako unášivá, resp. driftová) rychlost = střední

rychlost, kterou se celý oblak částic s pohybuje určitým směrem, přičemž částice v tomto oblaku vykonávají neuspořádaný tepelný pohyb

∫+∞

== uC∞−

CdfC ss3

Platí: .terms vuC +=

C …okamžitá rychlost

su …tzv. difúzní rychlost (o čistě difúzní rychlost půjde pouze v případě neutrálních částic, pokud nebudou unášeny jinými částicemi; na částice s nábojem působí elmag. pole ⇒ drift)

termv …termální rychlost částic Pozn.:

Platí: ( )( ) ( )

s

S

s

Vs

ssr SddVun Φ=⋅Γ=

Γ

⋅∇ ∫∫věta-G

321 celkový tok částic s uzavřenou plochou S

Γs…hustota toku částic s v daném místě = počet částic, které projdou jednotkou plochy za 1s v daném místě

Pro pozorovatele, který se pohybuje rychlostí su , tj. s mrakem částic, bude rozdělení částic podle termv

zcela symetrické od počátku rychlostního prostoru, tj. 03 =∫+∞

∞−

Cdfv sterm (viz. zavedení su )

(ii) Po dosazení ( ) CmC s=Φ dostáváme zákon zachování hybnosti

(iii) Po dosazení ( ) 2

21 CmC s=Φ dostáváme zákon zachování energie

Po netriviálních úpravách:

444 3444 21

32143421321 .

2

21

25

23

srsssss

s Cmnt

qupdt

dp⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅∇+⋅∇+

δδ

, kde sss kTnp = …parciální tlak částic s

změna energie částic s v jednotce objemu za 1s při změně jejich parciálního tlaku (změna ns, resp. Ts), komprese nebo expanze částic při zapnutí a vypnutí

změna energie v důsledku proudění částic v nehomogenním plazmatu

( )ruu ss =

změna energie v důsledku přenosu tepla (viz. např. tepelné ztráty)

změna energie částic s v důsledku jejich srážek s ostatními částicemi

Pozn.:

Platí: sss Tq ∇−= λ , kde λs je tepelná vodivost částic vektor toku tepla, které je přenášeno částicemi s (energie, která projde jednotkou plochy za 1s) – vždy, když se okamžitá rychlost částic v daném místě liší od střední unášivé rychlosti, tj. částice mají vyšší nebo nižší teplotu, než je průměrná

Rovnice pro energii elektronů v neizotermickém plazmatu Vzdaluje-li se plazma od stavu LTE, začíná se lišit teplota elektronů Te od teploty těžkých částic Ta≅Ti (≡Th); hovoříme o tzv. dvouteplotním plazmatu

2004 Strana 33

Fyzika plazmatu

Pro elektrony platí: tento člen nutno přidat v případě nabitých částic

( ) ( )in

heeeeeeeeee C

TTknEJTukTnkTn

dtd

−−

−⋅=∇−⋅∇+⋅∇+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

44 344 213214434421 τ

λ 23

25

23

ztráta energie elektronů při pružných srážkách s těžkými částicemi

úbytek energie elektronů při nepružných srážkách

celková energie zdroje předaná elektronům v jednotce objemu za 1s EJe //σ=

Pozn.: Objasnění ztrátového členu na pravé straně rovnice

ee T∆−λ za předpokladu, že

( )ree

rλλ ≠ (ztráta

energie odvedením tepla)

( he TTk −23 )…energie přenesená z elektronu na těžkou částici při srážce

τ…tzv. charakteristická doba pro přenos energie (doba mezi dvěma srážkami elektronu s těžkými částicemi, při nichž jim elektron předá svou kinetickou energii)

Platí:

Eehν

τ 1= , kde ( )12 eh

h

eEeh m

m νν321

=

frekvence srážek elektronu, při kterých elektron předá svou kinetickou energii těžkým částicím

Zjednodušený tvar rovnice pro rozložení teplot ve stacionárním dc výboji

faktor přenosu energie, tj. střední hodnota poměrné části kinetické energie elektronu, kterou elektron ztratí při pružné srážce s těžkou částicí

frekvence srážek elektronu s těžkými částicemi, při nichž je přenášena hybnost, tj. energie obecně

Platí: 0=dtd (viz. stacionární)

Navíc předpokládáme, že členy s eu⋅∇ a jsou zanedbatelné, inC ( )ree

rλλ ≠

Potom:

( )

023

=∆+−

−⋅ eehee

e TTTkn

EJ λτ

Případ homogenní, stacionární oblasti plazmatu (viz. např. kladný sloupec výboje):

( )τ

heee

TTknEJ

−=⋅ 2

3

Po úpravě:

τ⋅⋅+=

knEJTT

e

ehe 3

2…formule pro rozdíl Te − Th

Te…kinetická teplota elektronů ( ekT23=ε )

Th…teplota atomů (většinou mají M-rozdělení) EJe ⋅ …výkon zdroje předaný do jedn. objemu

Pozn.: V první aproximaci lze psát: pnUEnJ

hvýbee

1~1~,~,~ τ , kde p je tlak; je vidět, že Te – Th nabývá

poměrně velkých hodnot v nízkotlakých doutnavých výbojích (E a τ poměrně velké), zatímco Te≈Ta v obloukových výbojích za atmosférického tlaku (E a τ poměrně malé)

Rovnice kontinuity pro elektrony Elektrony jsou nejaktivnějšími částicemi plazmatu (urychlovány elektrickým polem) – jejich popis je proto velmi významný

2004 Strana 34

Fyzika plazmatu

Jednou ze základních charakteristik plazmatu je objemová koncentrace elektronů ne, která je dána rovnicí kontinuity:

( ) 4444 84444 76 srážkách při elektronů počtuzměně ke vedou které procesy, hlavní

.. zácheeioneeee nnnnunt

n ναν −−=⋅∇+∂∂

+

νion....frekvence jednostupňové ionizace atomů nebo molekul po srážce s elektronem (počet ionizačních aktů po srážce s 1 elektronem za 1s) α…koeficient pro rekombinaci elektron-iont (předp. ne≅n+) νzách....frekvence záchytu elektronu neutrálními částicemi

Platí (viz. vztah pro ): PR12

∑=s

ionssion gQn .ν , kde ns je objemová koncentrace atomů, resp. molekul v určitém energet. stavu

.ionsgQ …střední hodnota výrazu − rychlostní integrál .ion

sgQ

Tok elektronů ve výboji: Platí:

eee un=Γ …hustota toku elektronů ue…unášivá rychlost elektronů V obecném případě lze napsat:

E,kde µe je pohyblivost elektronů, intenzita vloženého elektrického pole, koeficient difúze pro elektrony:

driftový tok elektronů (proti směru E , tj. směrem od – k +), driftová rychlost:

Ev ed µ−=

difúzní tok elektronů (proti směru nárůstu ne)

1ehe

ee

mkTDν

=

Pozn.: Platí E-vztah mezi pohyblivostí a koeficientem difúze: ee

e ekTD µ= (viz tok nosičů náboje v

střední frekvence srážek s přenosem hybnosti mezi elektronem a všemi těžkými částicemi

321321 eeeee nDEn ∇−−=Γ µ

polovodičích) Rovnice pro difúzi Budeme předpokládat, že ve výrazu pro eΓ dominuje difúzní člen. Tento případ je velmi důležitý v mnoha prakticky zajímavých situacích pro elektrony (viz. např. dohasínající výboj po vypnutí zdroje nebo oblast výboje mimo působení elektrického pole); mimoto, stejná situace je řešena i pro neutrální částice při jejich difúzi z místa jejich vzniku Další předpoklady:

všechny členy na pravé straně považujeme za nulové (viz. princip superpozice – zajímá nás pouze vliv difúze)

zatím zanedbáváme vliv iontů na difúzi elektronů (viz. ambipolární difúze později) uvažujeme, že De je konstantní

Potom lze napsat:

0=∆−∂∂

eee nDt

n…rovnice pro difúzi

ee nD ∆− …tok elektronů z místa jejich vzniku⇒ 0<∂∂

tne v místě odkud elektrony odtékají (ve

stacionárním případě ne ≅ konst. , neboť difúze je v rovnováze s rychlostí ionizace) Řešení hledáme ve tvaru: ( ) ( ) ( )tTrRtrne

rr=,

2004 Strana 35

Fyzika plazmatu

Po dosazení:

( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )konstanta být musí→

−=∆=∂

∂

∆=∂

∂

τ11 rR

rRD

ttT

tT

rRtTDttTrR

e

e

rr

rr

Pro časovou závislost dostáváme:

( )( ) dttTtdT

τ1

−=

( ) ( ) τt

eTtT−

⋅= 0 , tj. ( ) τt

e etrn−

~,r

, kde τ je tzv. difúzní rozpadová doba (ne klesne e-krát za t=τ) Pozn.: ne by klesla v důsledku difúze, kdyby byl vypnut zdroj (viz. „vypnutí“ ionizačního členu na pravé straně

rovnice kontinuity) Pro prostorovou závislost platí:

( ) ( ) ( ) ( )rRD

rRrRrR

D

e

e rrrr

ττ11

−=∆⇒−=∆⋅

Lze psát:

( ) ( )rnrn ee

rr2

1Λ

−=∆ , kde τeD=Λ

...difúzní rovnice pro prostorovou závislost koncentrace difundujících elektronů (řešení závisí na geometrii)

Difúze v cylindrickém systému Cylindrická geometrie je velmi významná pro fyziku plazmatu a plazmové technologie (viz. tvar výbojových trubic a komor) – nabité i nenabité částice difundují z oblasti svého vzniku (většinou v ose výboje), kde Te, Ta, Ti, ne≅ni a nn nabývají svých maximálních hodnot, radiálním směrem ke stěnám výbojových trubic a komor reaktorů

Po zavedení válcových souřadnic:

( ) 2

2

2

2

211

znn

rrnr

rrrn eee

e ∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

=∆ϕ

r

Předpokládáme, že:

0=∂∂

zne , tj. žádný tok ve směru osy z

0=∂∂ϕ

en, tj. symetrie kolem osy

Po dosazení:

222

2

011 rnrn

rrnr

reee =

Λ+

∂∂

+∂∂

02

2

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

+∂∂

+∂∂

eee nr

rnr

rnr ...Besselova rovnice pro 0=n (je snadné se zbavit zlomku

Λ=

ry )

Pozn.: Besselova rovnice

( ) 0222

22 =−++ ynx

dxdyx

dxydx

( ) ( )funkce) (Weberova

2.druhu funkce-B

indexu1.druhu funkce-B

↓↓+= xYCxJCy n

n

n 21 Obecný tvar řešení:

tzv. difúzní délka (charakterizuje pokles koncentrace ne v prostoru v důsledku difúze)

2004 Strana 36

Fyzika plazmatu

V našem případě splňuje určitě B-rovnici B-funkce ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ΛrJ0 , řešení pro ne(r) píšeme ve tvaru:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Λ

=rJnrn ee 00 ...výraz pro radiální závislost koncentrace elektronů

...tzv. dominantní difúzní mód – představuje dominantní člen v obecném řešení Besselovy rovnice (rozpadová konstanta pro další člen je mnohokrát kratší)

Průběh závislosti J0(x)

Okrajová podmínka:

( ) Rrrne == pro 0 ...tj. na stěnách výbojové trubice, resp. komory nejsou v důsledku rekombinace na stěně žádné elektrony

Vztah pro difúzní délku:

( ) 2.405 x pro J graf viz.

0 ==↓

=Λ⇒=Λ

0

405.2405.2

x

RR

Po dosazení:

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

RrJnrn ee 405.20 0

koncentrace elektronů v ose výboje koncentrace elektronů ve vzdálenosti r od osy

Difúzní rozpadová doba pro dominantní mód:

405.2RDe =τ ⇒

2

405.21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

RDe

τ ,

Ambipolární difúze Zatím jsme předpokládali, že difúze elektronů není ovlivněna existencí iontů, to je možné jedině při velmi nízkém stupni ionizace ae nn , resp. 1nne , kde n1 je objemová koncentrace atomů na základní hladině

tj. pRDR

e

22

~~τ ⇒ pokles ne v důsledku difúze je rychlý,

když poloměr výbojových trub je malý a tlak je nízký

V reálných výbojích je difúze elektronů ovlivněna ionty (viz. např. radiální difúze ve výbojových trubicích) Platí:

11ihi

ii

ehe

ee

mkTD

mkTD

νν=>>= , neboť me<<mi a často Te>>Ti

De...koeficient difúze pro elektrony Di...koeficient difúze pro ionty (dále píšeme Di ≡ D+) ⇒ při stejném koncentračním spádu je difúzní tok elektronů mnohokrát větší než difúzní tok iontů, to vede ke

vzniku vnitřního elektrického pole o intenzitě vnE , které bude působit proti difúznímu toku elektronů a zároveň zvyšovat tok iontů o jejich drift, tím bude zachována kvazineutralita plazmatu (základní vlastnost plazmatu viz. dále)

2004 Strana 37

Fyzika plazmatu

Platí:

43421 vneeeee EnnD µ−∇−=Γ driftový tok elektronů proti směru vzniklého vnitřního elektrického pole, tj. celkový tok elektronů ve směru poklesu ne se zmenší

43421 vnEnnD +++++ +∇−=Γ µ driftový tok iontů ve směru vzniklého vnitřního elektrického pole, tj. celkový tok iontů ve směru poklesu n+ se zvětší

Po úpravě:

evnvn

evnevneeeeee

nEEnnDt

n

nEEnnDt

n

µµµ

µµµ

++++++++

+

∇−⋅∇−∆=Γ⋅−∇=∂∂

∇+⋅∇+∆=Γ⋅−∇=∂∂

Platí: nnne ≡≅ + (podmínka kvazineutrality, zajištěna působením vnitřního elektr. pole) Po úpravě:

( ) ( ) nDDtn

eee ∆+=∂∂

+ +++ µµµµ

nDDtn

aD

e

ee ∆++

=∂∂

+

++

4434421µµµµ

Dostáváme:

e

eea

DDDµµµµ

++

=+

++ ...koeficient ambipolární difúze (je stejný pro elektrony i ionty, tj. částice obou typů „difundují“ stejnou rychlostí – viz. vliv vnitřního elektrického pole)

Pozn.: V reálném výboji, kde nelze zanedbat vliv iontů, je nutno De (viz dříve) nahradit DaPlatí:

++

+ =>>=>> DkTeD

kTeDD e

eeae µµ a neboť

11ihiehe

em

em

eν

µν

µ =>>= +

Potom dostáváme:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

+

+=

++++

+

+

<<

++

+ TTDD

TT

ekTD

D eeD

a

e

e

e

11

1

µµ

µµ

µ faktor zvětšení „difúzního“ koeficientu iontů v důsledku vnitřního elektrického pole

Pozn.: V případě nízkotlakých doutnavých výbojů (depozice vrstev, modifikace povrchů: Te>>T+) +>> DDa ,

pro obloukové výboje za atmosférického tlaku (tzv. kvaziizotermické plazma Te ≅ T+) +≅ DDa 2 (nejmenší zvětšení Da oproti D+)

Stanovení intenzity vnitřního elektrického pole vnE

Platí: vnvneee EnnDEnnD +++ +∇−=−∇−=Γ=Γ µµ43421

rovnováhynastavení po

Po úpravě:

nnDDE

e

evn

∇+−

−=+

+

µµ

2004 Strana 38

Fyzika plazmatu

Pro De>>D+ a µe>>µ+ dostáváme:

nn

ekT

nn

D

E e

e

DD

e

vn

e

e

∇−=

∇

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−=

<<

<<

+

+

1

1

1

1

µµµ

...tj. intenzita vytvořeného elektrického pole závisí na teplotě elektronů, koncentraci nosičů náboje a jejím gradientu

Cvičení 10-11: Srážkově-radiační model plazmatu (ilustrativně ukázat případ reálného řešení pro Ar plazma,

viz. Paper I – ukázat tvorbu modelu, fitování účinných průřezů, zákl. rovnice – srážky atom-atom, difúze metastabilů, tvar, B-rovnice – to nebude předmětem zkoušky)

4. Základní makroskopické charakteristiky plazmatu Zatím jsme se zabývali především chováním a vlastnostmi jednotlivých částic v částečně ionizovaném plynu. Nyní se zaměříme na studium makroskopických charakteristik systému nabitých částic, které vykazují kolektivní chování (viz. ambipolární difúze) 4.1.Kvazineutralita plazmatu a Debyeův poloměr stínění Základní vlastností plazmatu je jeho s

znikne-li v nějakém místě plazmatu náboj, dojde k tomu, že v jeho okolí

latí:

naha nastavit v jakémkoliv místě kvazineutralitu

obe

jemová koncentracelektronů v místě r

r

objemová

ístě koncentraceelektronů v m

( ) 0=rUpot

r, tj. l vliv

nábotam, kde by

je odstíněn

Vjsou v důsledku coulombické interakce shromažďovány náboje opačné polarity. Tím je vliv daného náboje odstíněn.

P( )0ε

ρ rEr

=⋅∇

ρ...objemová hustota volného náboje (zdroj existence elektrického pole)

Po dosaz

) ( ) ( )

E...intenzita vzniklého elektrického pole ení:

( ( ) ( )0ε

ϕ rnrner ei

rrr −

=∇

−⋅∇

( ) ( ) ( )[ ]rnrner ei

rrr−−=∆

0εϕ ...Poissonova rovnice pro potenciál vzniklého elektrického pole

ϕ...potenciál elektrického pole v daném místě rr

ro prost p lížení použít rovnovážné Boltzmannovo rozdělení

P orové rozložení elektronů i iontů lze v dobrém řib(viz. FIII):

( )( ) ( )

kTre

kTrU

ee enenrnpot

rr

r ϕ+−

⋅=⋅= označíme:

nnn ie ≡= (rovnovážná ntů koncentrace elektronů a io

v místě, kde byl vliv náboje odstíněn, tj. ( ) 0=r

rϕ

2004 Strana 39

Fyzika plazmatu

Pozn.: Pro malé r lze psát: ( ) obrázek) (viz. pokud , 004 0

>>≈ qr

qrπε

ϕr

, tj. ( ) nrne >r

a (viz.

formule) pro r ≈ 0 ⇒ blízko kladného náboje q se hromadí elektrony (důsledek C-interakce)

( ) nrni <r

Po dosazení:

( )( )

( )

( )

( ) ( )( )

0 q důsledku v r neboť >

>>

+−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=∆

0,0

r

rr

r

r

r

321321r

ϕ

ϕϕ

εϕ

rnrn

kTre

rn

kTre

iei

eeenr

Řešení rovnice pro ϕ: Zavedeme sférické souřadnice a využijeme izotropie, tj. zajímá nás jenom závislost na vzdálenosti od náboje q, tj. funkce ϕ=ϕ(r)

Platí: ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∆

drdr

drd

rr ϕϕ 2

21r

Pro oblast, kde se začne projevovat stínění, tj. v oblasti poklesu ( )rr

ϕ pro dostatečně velká r, lze psát:

1<<kTeϕ

Potom:

( ) ( ) ( ) ( )rrkT

nekT

rekT

reendrdr

drd

r D

ϕλ

ϕε

ϕϕε

ϕ2

0

2

0

22

22111==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−+−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

LL

Substituce: 21

20 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=ne

kTD

ελ ...zatím pouze konstanta (fyzikální smysl později)

Zavedeme funkci:

( ) ( )rrgr =ϕ

Platí:

( ) ( ) ( )dr

rdgr

rgrdr

rd 112 +−=

ϕ

Po dosazení:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )r

D

D

D

DeCrg

rgdr

rgd

rgdr

rgdrdr

rdgdr

rdgr

rrg

drrdg

rrg

rr

drd

r

λ

λ

λ

λ

2

22

2

22

2

222

2

2

21

2111

±

⋅=

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+ nemá fyzikální smysl, neboť ϕ(r)→0 pro r→∞

Po dosazení:

( )r

eCrr

Dλ

ϕ

2−

⋅=

průběh potenciálu pro dostatečně velkou vzdálenost od náboje (r musí být tak velké, aby platilo

1<<kTeϕ )

Stanovení konstanty C: Pro dostatečně malou vzdálenost r od náboje q se efekt stínění neprojevuje, tj.

( )r

qr04πε

ϕ = ...obyčejný coulombický potenciál vyvolaný nábojem q ve vakuu

2004 Strana 40

Fyzika plazmatu

Po dosazení:

objemová koncentrace elektronů mimo oblast prostorového náboje, neboť v ní nedochází ke srážkám

velikost hustoty toku elektronů (ve směru osy y), které dopadnou na elektrodu

na povrch elektrody dopadnou pouze ty elektrony, které se pohybují směrem k ní a které překonají potenciálovou bariéru danou existencí záporného náboje na elektrodě

, kde λD je délkový parametr [m] určující faktor stínění, tzv. Debyeův poloměr

stínění průběh potenciálu vyvolaného nábojem q, který vznikne v plazmatu

Pozn.: Debyeův poloměr λD vymezuje oblast existence elektrického pole vyvolaného nábojem v plazmatu, tj. oblast narušení kvazineutrality plazmatu; pro r = λD dostáváme faktor stínění C-potenciálu:

24.02 =−e 4.2. Oblast prostorového náboje na rozhraní plazma-pevná látka Jedním z důležitých případů narušení kvazineutrality v plazmatu je oblast prostorového náboje, která vzniká na rozhraní plazma-pevná látka. Pochopení tohoto jevu je důležité pro objasnění principu sondových metod diagnostiky plazmatu a dějů v oblasti elektrod využívaných v plazmových technologiích. Předpoklady:

Do stacionárního plazmatu je vložena tzv. plovoucí elektroda (taková, jejíž potenciál není dán vnějším zdrojem), která neemituje elektrony.

Pro jednoduchost uvažujeme rovnost TTT ie ≡= , tj. teplota elektronů a těžkých částic je stejná v celém systému.

Platí:

iei

ie

e mmmkTC

mkTC <<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=>>⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= neboť ,

212188ππ

eC ...tepelná rychlost elektronů se kterou dopadají na elektrodu

iC ...tepelná rychlost iontů Tok elektronů na elektrodu v první fázi mnohokrát převyšuje tok dopadajících iontů ⇒ elektroda se velmi rychle nabije záporným nábojem takové hodnoty, která brání dopadu dalších elektronů a vede k vyrovnání elektronového a iontového toku.

Dvě základní otázky řešení problému:

Stanovit hodnotu potenciálu plovoucí elektrody ϕ0 < 0 Určit rozměr oblasti, kde je narušena kvazineutralita, tj. tloušťku vrstvy prostorového náboje, kde

ϕ(y)≠0 Hodnota ϕ0Předpokládáme, že

tloušťka vrstvy prostorového náboje < střední volná dráha elektronů a iontů ( ie ll , ), tj. uvnitř oblasti nedochází ke srážkám

rozdělovací funkce elektronů ( )Cfe je maxwellovská Platí: ( )∫

>

=Γ0

3

yy CC

yee CdCCfn

( )r

Der

qr λ

λεϕ

2

04

−

⋅=

2004 Strana 41

Fyzika plazmatu

Platí:

Platí:

0

2

20 ϕe

Cm ye −= ϕ0<0 – hodnota potenciálu plovoucí elektrody

Po dosazení:

4444 34444 214444 34444 211

221

22

2

221

1

221 2

2

0

22

222 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=Γ ∫∫∫∞+

∞−

−

=

=

∞+−

+∞∞

∞+

∞−

−

zkTCm

e

dtkT

dCCm

tkTCm

C

yykTCm

ex

kTCm

ee dCe

kTmdCCe

kTmdCe

kTmn

ze

yye

ye

y

yexe

πππ

:Substituce

,- intervalu vC rychlosti složkou ovou- xs částice

výskytu bnostpravděpodo celková -podmínka) normovací (viz.

x

Po dosazení: , tj. tok elektronů je brzděn

záporným nábojem plovoucí elektrody (ϕ0<0)

[ ] kTe

ekTe

t

e

kTe

t

e

ee eCne

mkTndte

mkT

kTmn

0

0

04

842

2121 ϕ

ϕϕ

ππ=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=Γ

∞+

−

−+∞

−

−∫ Analogicky pro ionty:

ii Cn4

=Γ ...velikost hustoty toku iontů ve směru osy y (žádná bariéra pro ionty)

n...objemová koncentrace iontů mimo oblast prostorového náboje (uvnitř ní nedochází ke srážkám) Potenciál plovoucí elektrody ϕ0 se nastaví na takovou hodnotu, že platí:

ie Γ=Γ 2121

84

84

0

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

i

kTe

e mkTne

mkTn

ππ

ϕ

0ln

0

21

0 <⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

>43421 e

i

mm

ekTϕ , viz. silnou závislost na teplotě částic (důsledek závislosti Γe na T)

hodnota potenciálu plovoucí elektrody Tloušťka vrstvy prostorového náboje: Obdobně jako v případě stínění náboje q získáváme:

( )( )

( )

( )

( ) ( )⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−=∆

<

+−

321321r

rr

r

r

r

rnrn

kTre

rn

kTre

iei

eeenrϕϕ

εϕ

0

Poissonova rovnice pro průběh potenciálu

elektrického pole v oblasti prostorového náboje e

( )rr

ϕ

Na okraji vrstvy platí:

neboť ( ) 0<rr

ϕ , tj. blízko záporně nabité elektrody převládá kladný náboj (viz. obrácenou situaci vzhledem k případu náboje q>0, který vznikl v plazmatu)

( ) 1<<

kTrer

ϕ

V jednodimenzionálním případě dostáváme pro dostatečně velké y (vzdálenost od plovoucí elektrody): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )yy

kTne

kTye

kTyeen

dyyd

D

ϕλ

ϕε

ϕϕε

ϕ2

0

2

02

2 2211 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−+−−= LL

Řešení má tvar:

( )y

Dey λϕ2

~−

Pro všechny y lze v dobré aproximaci psát:

2004 Strana 42

Fyzika plazmatu

( )y

Dey λϕϕ2

0

−

⋅=, tj. tloušťka vrstvy prostorového náboje je zhruba rovna Debyeovu poloměru stínění – kolem elektrody se vytváří vrstva kladného náboje, která brání tomu, aby do plazmatu pronikalo elektrické pole, viz. základní vlastnost plazmatu

λD...Debyeův poloměr ϕ(y)...potenciál ve vzdálenosti y od plovoucí elektrody 4.3. Doba odezvy plazmatu a plazmová frekvence Při jakémkoli narušení kvazineutrality plazmatu vznikají značné síly, které mají tendenci nastavit znovu kvazinuetralitu ⇒ dochází ke vzniku oscilací elektronů a iontů v plazmatu. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že ionty jsou v plazmatu zcela nehybné, neboť ei mm >> , tj. jsou jakýmsi pozadím při rychlých oscilacích elektronů. Nechť v daném místě plazmatu dojde v určitém čase k elementární změně objemové koncentrace elektronů, tj. platí: ( ) ( )tnntne δ+= ne(t)...okamžitá hodnota objemové koncentrace elektronů n...stacionární hodnota ne=ni≡n před poruchou δn(t)...elementární změna objemové koncentrace Platí:

( ) ( ) ( )0εδ tnetE −

=⋅∇ ...Gaussova věta (viz. dříve)

okamžitá lokální hodnota intenzity elektrického pole vytvořeného prostorovým nábojem Podle 2.N-zákona:

( )

e

e

nEe

tu −

=∂∂

, kde eu - (střední) unášivá rychlost elektronů

okamžité zrychlení el., které jsou odpuzovány z místa přebytku záporného náboje (δn>0) V daném místě dochází k přerozdělení koncentrace elektronů, platí zákon zachování počtu elektronů:

( ) 0=⋅∇+∂∂

eee unt

n

zanedbáváme srážkový člen Pozn.:

Je-li ( ) 0>⋅∇ eeun , tj. elektrony odtékají z daného místa, potom 0<∂∂

tne , tj. koncentrace elektronů

v daném místě klesá, až se δn stane v důsledku setrvačnosti pohybu elektronů záporným ⇒ v tom okamžiku se směr E obrátí, tj. elektrony začnou přitékat do daného místa, tj. ( ) 0<⋅∇ eeun , potom

0>∂∂

tne ,tj. koncentrace elektronů v daném místě roste, až se δn stane kladným – děj se opakuje:

hodnota δn osciluje s časem, směr pohybu elektronů se v okolí daného místa mění (hovoříme o oscilacích elektronů)

Základní otázka řešení problému: Stanovit tzv. plazmovou frekvenci, tj. frekvenci oscilací elektronů Po dosazení:

( )( ) ( ( ))( )

0=+⋅∇++∂∂

<<↓

e

n

utnntnnt 321

zanedbáme aproximaci

první vtn tj. ,čase na nezávisí

δ

δδ

Dostáváme:

( ) ( )( )

( )( )

( )výše viz.

prostoru malém velmi ve probíhá n

změna neboť ,rnn předp.

0

0

2

2

=∂∂

⋅∇+∂∂

∂∂

=⋅∇+∂∂

−=

≠

emtEe

e

e

tunn

t

tunn

t

δ

δ

δ

r

2004 Strana 43

Fyzika plazmatu

Po úpravě:

(viz. výše) – tato úprava vede k rovnici pro kmity

( ) ( )( )

0

0

2

2

=⋅∇−∂∂

−=

321

εδ

δtnee

tEmenn

t

Po dosazení:

- tzv. plazmová frekvence (viz. dále)

( )kontinuity rovnici v srážek zanedbání důsledku vtlumeny nejsoukmity ↓

=+∂∂ 0

2

0

2

2

2

nm

nent

p

e

δε

δ

ω321

Tvar řešení:

( ) ( )pptXtn αωδ += sin

okamžitá hodnota elementární změny koncentrace elektronů po poruše ( 0><nδ ) v daném místě

kruhová frekvence oscilací elektronů

Platí: p

Tωπ2

= , tj. pω

1 - tzv. doba odezvy plazmatu (charakterizuje dobu, za níž plazma zareaguje na narušení kvazineutrality)

doba jedné periody kmitů

π-krát kratší doba než interval mezi maximální kladnou a maximální zápornou hodnotou δn

Souvislost plazmové frekvence a Debyeova poloměru

e

e

e

epD C

mkT

mne

nekT

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=2121

0

221

20

εεωλ velikost střední tepelné rychlosti elektronů Platí: e

Po úpravě:

Dp

eC λω

≈⋅1

poloměr oblasti, v níž je narušena kvazineutralita

→ doba odezvy plazmatu pω

1 je čas, za který se elektrony dostanou z místa vzniku poruchy do vzdálenosti λD

Pozn.:

Platí: [ -3m214.56 ep n×=ω ] ⇒ 2~11en1

pω, tj. reakce plazmatu na poruchu kvazineutrality je rychlá,

když ne je dostatečně vysoká (př. obloukové výboje) Je-li plazma narušováno dopadem elmag. vlny o kruhové frekvenci ω, potom elektrony plazmatu jsou

schopny udržet jeho kvazineutralitu, tj. stínit plazma před elmag. polem, pokud pωω < - elmag. vlna se odrazí ⇒ plazmatem se mohou šířit pouze elmag. vlny o kruhové frekvenci ω≥ωp (uvedený závěr je třeba modifikovat, když budou započteny srážky).

4.4. Sondová diagnostika plazmatu Velmi důležitá pro stanovení základních charakteristik plazmatu: koncentrace a teploty elektronů, potenciálu a rozdělovací funkce elektronů v různých místech výboje. Langmuirova sonda (r. 1924)

Tenká kovová elektroda (Pt, Mo, W nebo nerez – dostatečně vysoká teplota tání a odolnost proti bombardování nabitých částic) v trubičce z izolátoru, která svým hrotem 5 až 10mm dlouhým zasahuje do plazmatu, kam je vnořena (může být pohyblivá)

Metoda jedné sondy Je používána, když alespoň jedna elektroda výboje je v plazmatu Pozn.:

V případě bezelektrodových výbojů (RF, mikrovlnné výboje) je nutno použít metody dvou sond

2004 Strana 44

Fyzika plazmatu

Měřící obvod s jednou sondou

Měříme volt-ampérovou charakteristiku sondy, resp. I-ϕ charakteristiku (změnou napětí zdroje měníme hodnotu potenciálu sondy ϕp(probe potential), vůči vztažné elektrodě: K, A nebo komora) v daném místě plazmatu ⇒ získáváme lokální hodnoty ( )εϕϕ elsfee fTn resp. a ,, ϕf...plovoucí potenciál(floating potential)

ϕs...potenciál plazmatu (plasma space potential) Teorie sondových měření je vypracována jen pro specifické podmínky v plazmatu, interpretace měření musí být dělána s ohledem na analýzu teoretických předpokladů (hlavním problémem je otázka vlivu srážek mezi částicemi v plazmatu na V-A charakteristiku). Platí následující předpoklady:

Nejjednodušší případ – výboje za nízkého tlaku (p ≤ 0.1 Torr = 13.3 Pa) – Langmuirova teorie

(i) Plazma jako celek je nehybné, tj. drift elektronů je zanedbatelný vzhledem k jejich tepelné rychlosti (ii) Sonda neemituje elektrony

(iii) Rozměr sondy ie llL ,<< , tj. dopadající nabité částice nevykonávají v oblasti sondy srážky

~p1 , kde p je tlak ve výbojové komoře

(iv) Rozměr sondy DL λ>> (Debyeův poloměr), tj. příelektrodovou oblast lze považovat za rovinnou (viz.

vztah pro Γe a Γi), nedochází v ní ke srážkám ( lLD <<<<λ ) Pro jednoduchost navíc předpokládáme (viz. odvození formulí pro Γe a Γi): (tyto předpoklady budou oslabeny na cvičení) (v) Rozdělovací funkce elektronů a iontů je maxwellovská (vi) Teplota elektronů a iontů je stejná, tj. TTT ie ≡= (toto zjednodušení je velmi silné)

2004 Strana 45

Fyzika plazmatu

Typický tvar V-A charakteristiky sondy

Závislost I = I(ϕp)lze rozdělit na 3 oblasti:

AOblast : fp ϕϕ ≤ Platí: 0, == Ifp když ϕϕ

celkový tok na sondu je nulový, neboť elektroda má takový záporný potenciál vzhledem k potenciálu plazmatu (viz. ie CC >> ), že elektronový tok je redukován na hodnotu iontového toku

fp ϕϕ < Pro : iontový tok začne převládat nad tokem elektronů, tj. I<0 – elektrony jsou odpuzovány sondou

fpp ϕϕϕ >>< Pro 0 : registrujeme tzv. iontový saturační proud (jeho hodnota pomalu roste s dalším

poklesem ϕp v důsledku růstu efektivní plochy sondy při zvětšování tloušťky oblasti prostorového náboje u sondy – v okolí záporné sondy je oblast kladného prostorového náboje, tou prolétne iont beze srážky na sondu, viz. Child-Langmuirova rovnice v LS)

BOblast : spf ϕϕϕ ≤<

fp ϕϕ > Pro : I > 0 → celkový tok na sondu je kladný, neboť převládá tok elektronů nad tokem iontů

pϕrůstu dalším Při : I roste, neboť vrůstá tok elektronů na sondu v důsledku dalšího snížení bariéry, kterou

vytvářejí na sondě záporné náboje, protože ie CC >>

sp ϕϕ = případě V : bariéra pro elektrony zcela zaniká, tj. celkový tok na sondu je dán rozdílem neredukovaných toků elektronů a iontů, jež jsou důsledkem jejich tepelného pohybu (sonda na potenciálu plazmatu nenarušuje kvazineutralitu plazmatu v daném místě ⇒ v okolí sondy se netvoří oblast prostorového náboje)

COblast : sp ϕϕ >

sp ϕϕ > Pro : tok iontů na sondu je redukován nutností iontů překonávat potenciálovou bariéru (sonda narušuje kvazineutralitu plazmatu, neboť v jejím okolí se hromadí záporný náboj odpovídající kompenzaci rozdílu ϕp - ϕs > 0)

sp ϕϕ >> Pro : téměř všechny ionty jsou odpuzovány sondou, je registrován tzv. elektronový saturační proud (jeho hodnota roste s dalším růstem ϕp v důsledku růstu efektivní plochy sondy při zvětšování tloušťky záporného prostorového náboje u ní, ale i v důsledku ionizace atomů a molekul elektrony, při jejich toku na sondu)

2004 Strana 46

Fyzika plazmatu

Teoretická závislost I = I(ϕp) Platí: ie III −= ...celkový tok elektronů a iontů na sondu Ie...tok elektronů Ii...tok iontů Po uplatnění výchozích předpokladů a výsledků pro Γe a Γi (viz. dříve) dostáváme: (i) B) aA oblast (viz. Pro sp ϕϕ ≤

Tok elektronů je snižován bariérou a tok je dán tepelným pohybem přičemž zanedbáváme vliv ϕp na efektivní plochu sondy

ne = ni ≡ n (v oblasti prostorového náboje u sondy nedochází ke srážkám, ieD llL ,<<<<λ )

Platí:

( )

**i

kTe

e IeIIps

−=−

−ϕϕ

, kde

4* ee

CneAI ⋅⋅=

velikost hustoty toku elektronů ve směru kolmém na rovinnou vrstvu prostorového náboje

A...plocha sondy ...saturační proud elektronů *

eI

4* ii

CneAI ⋅⋅=

Pozn.:

Pro velké záporné hodnoty ϕp dostáváme: *iII −=

Pro ϕp = ϕs: **ie III −= , tj. žádná redukce chaotických toků

(ii) C)oblast (viz. Pro sp ϕϕ > Tok iontů je snižován bariérou a tok elektronů je dán tepelným pohybem, přičemž zanedbáváme vliv ϕp na efektivní plochu sondy

Platí:

( )

kTe

ie

sp

eIIIϕϕ −

−−= **

Pozn.:

Pro ϕp = ϕs: **ie III −=

Pro velké kladné hodnoty ϕp: *eII =

Sondová diagnostika plazmatu Pozn.: Stále platí zjednodušující předpoklady (maxwellovské rozdělení elektronů a iontů, Te = Ti ≡ T) Obvyklý postup: (i) Nastavením dostatečně velkého záporného potenciálu na sondě lze po extrapolaci k ϕf (viz. obrázek) získat

hodnotu saturačního proudu iontů *iI

(ii) V oblasti B, kde je hodnota I velmi citlivá na ϕp, platí:

( )

kTe

ei

ps

eIIIϕϕ −

−=+ **

Po zlogaritmování:

( )kTe

eIII pkTe

ei

s ϕϕ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+

−** lnln

dostáváme lineární závislost ( )*ln iII + na ϕp, směrnice určuje teplotu elektronů Te ≡ T

2004 Strana 47

Fyzika plazmatu

Pozn.: V případě nemaxwellovské rozdělovací funkce elektronů (viz. ochuzování jejího chvostu při nízkém stupni ionizace plazmatu) je stanovení teploty elektronů problematické a tudíž nespolehlivé, neboť závislost není obecně lineární, dostáváme pouze odhad hodnoty T( ) ( )pi fII ϕ=+ *ln e

(iii) Známe-li: AmTTI iei a ii), bod (viz. i), bod (viz. ≡* , stanovíme pomocí formule 21

* 84 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅=

ii m

kTneAIπ

hodnotu nne ≡ Poznámka o metodě dvou sond Dvě sondy jsou používány v případě RF a mikrovlnných bezelektrodových výbojů, kde není obvykle dostupná referenční elektroda (viz. metoda jedné sondy). Diagnostika plazmatu je prováděna na základě měření V-A charakteristiky dvou sond, které jsou před vložením napětí na plovoucím potenciálu, tj. žádná z nich není uzemněna. Je měřena závislost celkového proudu mezi sondami na rozdílu potenciálů mezi nimi (zajišťován vložením napětí ze zdroje). 4.5. Šíření elektromagnetických vln v plazmatu Lze ukázat, že plazmatem se šíří rovinné elmag. vlny schopné přenášet energii. Budeme se zabývat studiem vlivu plazmatu na šíření elmag. vln a využitím tohoto efektu pro diagnostiku plazmatu. Budeme předpokládat:

Plazma je homogenní, neomezené, nehybné a nestlačitelné Koncentrace elektronů je ne, střední hodnota frekvence srážek s přenosem hybnosti elektronů na

všechny těžké částice eneieH νννν +=≡ Maxwellovy rovnice pro elmag. pole v plazmatu:

ρ=Ddiv ...zobecněná G-věta: zdrojem elektr. pole jsou volné náboje a vázané náboje impl. zap. v D ρ...objemová hustota volného prostorového náboje Pozn.: V důsledku nenulové vodivosti plazmatu (kvazineutralita) ( ) 0≈r

rρ

0=Bdiv ...neexistence magnetických nábojů

tBErot∂∂

−= ...zobecněný F-zákon

tDjHrot∂∂

+=r

...zobecněný A-zákon: Zdrojem magnet. pole jsou volné proudy, posuvný proud tD∂∂

a vázaný proud impl. započ. v H Materiálové vztahy:

ED ε= , kde ( )eχεε += 10 započítává schopnost prostředí polarizovat se v elektr. poli (vliv vázaných elektronů neutrálních částic a iontů)

HB 0µ= , tj. použijeme stejného vztahu jako ve vakuu, potom H nebude zahrnovat vliv tzv. vázaných proudů na vznik magnetického pole, jak je obvyklé v případě mnoha pevných

látek, kde HM mχ= , kde χm je magnetická susceptibilita (vyjadřuje schopnost látky magnetizovat se)

M ...vektor magnetizace (objemová hustota magnetického dipólového momentu) H ...intenzita magnetického pole v látce

V plazmatu:

B

M 1~ , kde B je velikost magnetické indukce vnějšího magnetického pole

BM ↑↓ , tj. plazma vykazuje diamagnetické chování (χm<0), magnetické pole vyvolané vnějším magnetickým polem působí v látce proti němu

Závěr: Oddělení vlivu volných a vázaných proudů se neprovádí, potom jr

představuje hustotu celkového proudu v A-zákoně

2004 Strana 48

Fyzika plazmatu

Vtah pro proudovou hustotu j

r:

Vzhledem k předpokládané nehybnosti plazmatu je možno zanedbat konvenční proud a napsat:

Jj = J ...hustota celkového vodivostního toku Platí:

( )eeii ununeJ −=

eu ...unášivá rychlost elektronů

iu ...unášivá rychlost iontů Tvar Ohmova zákona: V částečně ionizovaném plynu je vztah pro proudovou hustotu velmi komplikovaný. Pouze v případě kvazineutrálního, stacionárního a homogenního plazmatu bez magnetického pole (vnějšího i vlastního, tj. nerelativistický případ) lze použít obvyklého (viz pevné látky) tvaru Ohmova zákona:

EJ σ= , kde ν

σe

e

men 2

= je měrná vodivost plazmatu pro konstantní proud (případ AC výbojů v LS)

měrná vodivost Pozn.: Každá komponenta plazmatu (elektrony, ionty a neutrální částice, obecně různých prvků, se liší

hmotnostmi a unášivými rychlostmi) je uvažována jako oddělená tekutina, která interaguje s druhými při pohybu „skrz“ ně, viz. zásadní odlišnost od modelu krystalové mříže s mrakem volných elektronů.

Za výše zmíněných výchozích předpokladů (nyní uplatníme, že plazma je homogenní, nehybné, nestlačitelné a kvazineutrální) a za předpokladu, že vnější magnetické pole je nulové a vlastní magnetické pole se neuplatní, neboť uvažujeme nerelativistický pohyb částic, lze psát:

JEtJ

−≈∂∂ σ

ν1

, 1. rovnice pro E a J

Po úpravě F-zákona:

( ) ( )0) plazmatu, alitakvazineutr (viz. ≈→

∂∂

−=∆−=ρ

µ Hrott

EEdivgradErotrot 0

0321

dosadíme z A-zákona

Po dosazení z A-zákona:

2

2

00 tE

tJE

∂∂

+∂∂

=∆ εµµ , 2. rovnice pro E a J

Dostáváme dvě rovnice pro E a J . Řešení budeme hledat ve tvaru rovinné vlny: Vztah mezi vlnovým číslem k a kruhovou frekvencí šířících se vln ω dostaneme po dosazení za E a J do obou výchozích rovnic.

( )

( tkxi

tkxi

eJJ

eEEω

ω

−

−

=

=

1

1

) , kde 1E a 1J jsou konstantní vektory kolmé na směr šíření vlny ve směru osy x

k...velikost vlnového vektoru, tzv. vlnové číslo (obecně komplexní číslo, nelze přímo napsat λπ2=k ) ω...kruhová frekvence šířící se elmag. vlny (reálné číslo)

Platí:

( ) JEJi −=− σων1 ⇒ EiJ σ

νω

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −1

( ) ( ) ( ) EiJiEik 200

2 ωεµωµ −+−= ⇒ EJiEk 200

2 ωεµωµ +=

Po dosazení za J :

Ei

iEEkνω

ωσµωεµ−

+=1

020

2

2004 Strana 49

Fyzika plazmatu

Po přepsání:

νω

ωσµωεµi

ik−

+=1

020

2

...tzv. disperzní vztah, který musí platit mezi k,ω a parametry prostředí,abychom dostali řešení pro E a J ve tvaru rovinné vlny

Po úpravě:

( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )( )

( ) ( )( )

( )( ) 0

2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

20

202

100

0

02

20

202

02

111

111

11

0

022

0

02

2

2

εω

ω

ωµωµ

ωµεεεε

σµωσµωεµ

ωνων

νωνω

ωω

ωνων

νω

νω

νω

εε

ννω

νω

εε

ν

νωνω

νω

e

ep

men

men

cR

meniRkc

cik

ik

ppp

e

e

e

e

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅

+

⋅+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⋅

+−+=

+

⋅−

+

⋅+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

+=

+−

++=

kde ,

321

Dostáváme:

( )( )

( ) ( )( )22

2

2

2

22

111

ωνων

ωω

ων

ωω

ω ++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+−+=

pp

iRkc

příspěvek vázaných elektronů Vlnové číslo lze psát ve tvaru (viz. formule výše): αβ ik += Po dosazení:

( txixeeEE ωβα −−⋅= 1) , kde β je konstanta určující fázový posun: λπβ 2= , λ...délka vlny

faktor útlumu vlny, tj. α - konstanta útlumu (reálné číslo)

Platí: fv

cn = , kde 00

1µε

=c ...rychlost světla ve vakuu

index lomu prostředí βω

=fv ...fázová rychlost

Po dosazení:

βωcn =

Vliv veličiny R V případě, že ne = 0, tj. neexistují žádné volné elektrony ⇒ ωp = 0 (kruhová frekvence kmitů elektronů v plazmatu) Potom (viz. výše): β≡k , tj. k je reálné číslo, a dostáváme:

Rnkc+== 12

2

22

ω R...tzv. lámavost prostředí

Platí: V případě plynů: 1<<R V případě plazmatu v širokém rozsahu podmínek (viz. formule výše):

( )( )2

2

1 ων

ωω

+<<

p

R

...tj. veličinu R započítávající vliv vázaných elektronů lze zanedbat (tím spíše, čím je pro danou hodnotu ω koncentrace elektronů ne vyšší)

2004 Strana 50

Fyzika plazmatu

Šíření elmag vln v plazmatu

(i) Limitní případ 0→ων , tj. srážky elektronů s těžkými částicemi lze zanedbat

Platí: 22

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ωω

ωpck

pokud ωω <p , potom k je reálné číslo ⇒ elmag vlna by se šířila bez útlumu (α=0, tj. útlumový faktor je 1): elektrony se nestačí přesouvat tak rychle, aby dokázaly stínit plazma před poruchou, tj. rozruch jde do něho

Pokud ωω >p , potom k je ryze imaginární číslo, tj. platí:

tix eeEE ωα −− ⋅⋅= 1

řešení nepopisuje šíření rozruchu

útlumový faktor (kmitů)

Závěr: Elmag. vlnění, jehož frekvence ω je nižší než plazmová frekvence ωp, by se v případě neexistence srážek odrazilo od plazmatu (kmity elektronů jsou tak rychlé, že stačí kompenzovat vzniklou poruchu kvazineutrality)

(ii) Započítání vlivu srážek, tj. neplatí ων << Zavádí se tzv. kritická koncentrace elektronů pro danou kruhovou frekvenci elmag. vln ω: krit

en

0

22

εω

e

krite

men

=

koncentrace elektronů v plazmatu (určuje plazmovou frekvenci ωp)

Útlum vlnění pro případ ω = 7×1010 s-1, tj. λ ≈ 2.7 cm a tloušťku homogenní vrstvy plazmatu d = 3.82 cm.

Potom platí:

Pokud ωω << pkritee nn tj., (v bezesrážkovém plazmatu

elmag. vlny procházely bez útlumu), registrujeme útlum vln rostoucí s poměrem ων (viz. obrázek).

Pokud ωω >> pkritee nn tj., (v bezesrážkovém plazmatu

se elmag. vlny vůbec nešířily), registrujeme velmi silný útlum nepříliš závislý na poměru ων (viz. obrázek).

Pozn.:

[ ] ( )( )dI

I 0log10=dB útlum

I(x)...intenzita elmag vlny v daném místě

HES ×=I ~ , pro rovinou vlnu: EHHE ~ a ⊥

velikost Poyintingova vektoru Po dosazení:

[ ] ( )

( )( )

ded

edxE

xE d

αα

α

686.8log20

log100

log10 22

2

=

===

==

výše viz.

dB

=

útlum

2004 Strana 51

Fyzika plazmatu

Závislost koeficientů α a β na ων a ωωp

Pravou stranu rovnice pro 2

22

ωkc napíšeme ve tvaru:

ImRe iKKK += , kde ( )( )2

2

Re 11

ων

ωω

+−=

p

K a ( )

( )22

Im 1 ων

ων

ωω

+=

p

K

Pro levou stranu platí:

χ

αω

µ

βωω

cicck+=

Potom:

ImRe

222

22

2K

iK

kc

K

µχχµω

+−= 43421321

....první vztah pro µ a χ

Platí: ( ) 222222Im

2Re

2 χµχµ +=⇒+=+= KKKK ...druhý vztah pro µ a χ Po sečtení výrazů pro µ a χ:

KK += Re22µ ⇒

21Re

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +==

KKc βω

µ

dostáváme informaci o indexu lomu, tj. o fázové rychlosti, tj. o β, neboť ω známe)

Po odečtení výrazů pro µ a χ:

Re22 KK −=χ ⇒

21Re

2 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

KKc αω

χ

Stanovení ne a ν pro známou hodnotu kruhové frekvence ω Změníme-li konstantu útlumu α (viz. vztah pro útlum v dB) a konstantu fázového posuvu β (viz. vztah pro fázový posun níže), dostáváme dvě rovnice o neznámých ωωp a ων , tj. rovnice pro ne a ν . Platí:

( )1212122200

0

000 −=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=−=∆Φ nddddddd

fv

c

λπ

λπ

λλ

λπ

λπ

λπββ

ν

ν

∆Φ...fázový posun d...tloušťka vrstvy plazmatu (viz. formule pro útlum)

na pravé straně rovnice jsou funkce závislé na ( ωωp ) a ( ων )

β0...fázová konstanta ve vakuu (výboj vypnut) λ0...délka vlny ve vakuu Pozn.: Pro danou ω žádáme dostatečně vysokou hodnotu ne v plazmatu, aby R bylo zanedbatelné ve výrazu pro

222 ωkc (např. interferometrická metoda pro měření fázového posuvu ve viditelné oblasti spektra je použitelná pro ne ≥ 1016 cm-3).

2004 Strana 52