PROBABILITAS Probrabilitas adalah ukuran kemungkinan bagi suatu kejadian yang terjadi dalam suatu percobaan pada kondisi tertentu. Jenis Probabilitas 1. Probabilitas Klasik P(A) = banyakanya cara kejadian A dapatmuncul Total banyaknyakemungkianan hasil 2. Probabilitas Relatif P(A) = lim n→∞ m n 3. Probabilitas Subjektivitas Syarat Probabilitas 1. P (A) > 0 2. P (A) + P ‘(A) = 1 Jika dalam n percobaan x sukses maka akan ada ( n-x ) gagal, sehingga : x + ( n−x ) = n x n + ( n−x) n = 1
38
Embed
fygy.files. file · Web viewPROBABILITAS. Probrabilitas adalah ukuran kemungkinan bagi suatu kejadian yang terjadi dalam suatu percobaan pada kondisi tertentu. Jenis Probabilitas
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
PROBABILITASProbrabilitas adalah ukuran kemungkinan bagi suatu kejadian yang terjadi dalam suatu percobaan pada kondisi tertentu.Jenis Probabilitas
1.Probabilitas KlasikP(A) = banyakanya carakejadian A dapat muncul
Totalbanyaknyakemungkianan hasil
2. Probabilitas RelatifP(A) = lim
n → ∞
mn
3.Probabilitas SubjektivitasSyarat Probabilitas 1. P (A) > 02. P (A) + P ‘(A) = 1 Jika dalam n percobaan x sukses maka akan ada
( n-x ) gagal, sehingga : x + ( n−x ) = n
xn + (n−x)
n = 1
P ( sukses ) P ( gagal ) = 1….
Asas-asas dalam probabilitas 1.Peristiwa / Kejadian saling lepas ( mutually
exclusive )- 2 kejadian saling lepas bila ke-2 kejadian
tidak terjadi bersamaan A ∩B = φ
Teorema 1 :P ( A U B ) = P (A) + P(B) ( A B ) = φP ( A∩B ) = 0Contoh :
1.Sebuah dadu dilempar 1 kali. Berapa peluang munculnya mata dadu 5 atau 6 ?
Jawab : P (A) = P (5) P (B) = P (6) P ( A U B ) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3Teorema 2 :
A B
P ( A U B U C ) = P (A) + P (B) + P (C)P ( A1 U A2 ….. Am ) = P (A1) + P (A2) + ….. + P (Am)
2.Kejadian ( Peristiwa tidak saling lepas mutually inclussive ) Bila 2 kejadian tidak tak terpisah ( berbarengan
) Bila 2 kejadian merupakan gabungan ( U ) dan
tidak saling lepas
Contoh 2 :Suatu himpunan terdiri dari pegawai BUMN, 50% karyawan dan 50% karyawati.60% karyawan adalah pegawai ikatan dinas. 20% karyawati adalah pegawai ikatan dinas.
a.Perapa peluang terpilihnya karyawati atau pegawai berstatus ikatan dinas ?
b.Berapa peluang terpilihnya karyawan atau karyawati berstatus ikatan dinas ?
Teorema 3 :Tiga peristiwa tidak saling lepas :
P ( A U B ) = P (A) + P (B) – P (AnB)
P ( AUBUC ) = P(A) + P (B) + P (C) – P (A∩B) – P (A∩C) – P(B∩C) – P(A∩B∩C)Empat peristiwa tidak saling lepas P (AUBUCUD) = P( A ) + P( B ) + P( C ) + P( D ) − P( AB ¿¿ − P( A ∩C ¿ – P( B ∩C ¿– P( B ∩ D ¿ – P( C ∩ D ¿+ P(A ∩ B ∩C ¿ + P( B∩C ∩ D ¿+ P( A ∩ B ∩ D¿ + P( A ∩C ∩ D ¿ + P( A ∩ B ∩C ∩ D ¿
3. Peristiwa Komplementer ( bebas ) Bila peristiwa A dan Ā dalam sampel yang
sama dan Ā meliputi semua unsur kecuali di A , maka Ā adalah peristiwa komplementer bagi A
Peristiwa saling lepas Teorema 4 : P (Ā ) = 1 − P( A ) P ( A U Ā ) = P( A ) + P( Ā ) = 1 P( Ā ) = 1 – P( A )4. Peristiwa independent (bebas)
Bila dan hanya terjadi atau tidak terjadinya peristiwa pertama tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa ke-2
Peristiwa saling lepas ≠bebas Teorema 5P (A∩B) = P(A).P(B)
Contoh 3 : Kota kecil memiliki 1 mobil pemadam kebakaran dan 1 mobil Ambulans.Jika peluang waktu bagi mobil pemadam kebakaran siap 0,98 dan peluang waktu bagi mobil ambulans siap 0,92.Berapakah peluang ke-2 nya.Jika terjadi kebakaran rumah.Contoh:Kotak berisi 20sekering , lima diantaranya cacat. Bila dua sekering dikeluarkan dari kotak satu persatu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke dalam kotak) Berapakah peluang kedua sekering cacat?P(A)=1/4P(B)=4/19
P(A∩ B ¿=14
x 419
= 119
Contoh 4 :Berapakah peluang dua buah dadu A dan B dimana mata dadu A muncul mata dadu X ≤ 3 dadu B muncul mata dadu Y≥5?Jawab: P(A)=3/6P(B)=2/6P(A∩ B ¿=¿3/6 x 2/6 = 1/6
5. Probabilitas Bersyarat Bila P(B) > 0 probabilitas peristiwa A dengan
syarat peristiwa B terjadi P(A І B) = P (A ∩B)
P(B) ; P(B)>0
Contoh 5 :
Pada pelemparan 2 dadu,probabilitas x+y <4 dinyatakan sehingga B = {(1,1),(1,2),(2,1)} atau P(B)= 3
36.
Probabilitas x=1 dengan syarat x+y <4 adalah 23 atau P(A І B) probabilitas x=1 tanpa syarat x+y<4 adalah A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)} atau P(A) = 636Sehingga P (A∩B) = P(B) . P(A І B)
236 = 336 . 23
Atau
P(A І B) = P (A ∩B)P(B)
Sedangkan P (A∩B) = P(A) . P(B І A)
P(B І A) = P (B ∩ A)P( A)
6. Probabilitas Bersyarat dari Peristiwa Independent
Bila A dan B merupakan peristiwa independent dan probabilitas >0
Maka P(A І B) = P(A)P(B І A) = P(B)
Pembuktian :
P (A|B) = P ( A ) . P(B)P(B)
TUGAS:Dua buah dadu dilempar dua kali.
a.Berapa peluang mendapatkan jumlah (NIM terakhir, jika 0 ambil angka NIM sebelumnya)dan 10 dalam dua kali lemparan.
b.Berapa peluang mendapatkan jumlah (NIM terakhir, jika 0 ambil angka NIM sebelumnya) atau 10 dalam dua kali lemparan.
SISTEM BILANGAN RIILBilangan Riil
Himpunan bilangan riil terdiri dari :a.Bilangan rasional (Bulat positif,Bulat
negatif,nol) dan bilangan ab , a dan b =B(bulat)
Bilangan yang dapat dinyatakan sebagai rasio 2 bilangan bulat a,b yang dapat dinyatakan dalam bentuk desimal 1 positif dan negatif(desimal berulang).Contoh : 13 = 0,3333
19 = 0,1111b.Bilangan Irrasional
Bilangan dengan bentuk desimal yang tak berulang,tak berakhir dan bukan rasio 2 bilangan bulat.
Contoh : √2 = √3 =
Garis Bilangan RiilHimpunan bilangan riil yang dapat dinyatakan :(a,b) = {x І a < x < b }(a,b) = {x I a ≤ x < b }(a,b) = {x I a ≤ x ≤ b }(a,b) = {x I a < x ≤ b }Untuk memenuhi pertidaksamaan (a , +u) = {x I a < x > a }
Contoh 1 : Tentukan Hp dan nyatakan pada garis bilangan Riil
1.2 + 3x < 5x + 82.4 < 3x – 2 ≤ 103. 7x > 2
Teorema Nilai Mutlak (1)Nilai mutlak dari x dinyatakan IxI didefinisikan sebagai
IxI = { x jk x>0−x jk x<0}
Contoh : I3I = I5I =
Teorema 2a.IxI < a jika dan hanya jika –a < x < a dimana a
> 0b.IxI ≤ a jika dan hanya jika –a ≤ x ≤ a , a > 0c. IxI > a jika dan hanya jika x > a atau x < -a : a
> 0d.IxI ≥ a jika dan hanya jika x ≥ a atau x ≤-a : a
> 0
Contoh 2 :
a.Ix-5I < 4b.I3x + 2I > 5c. I7xI = 4-x
Teorema 3Jika a dan b bilangan riil , maka : IabI = IaI . IbIIabI = √(ab)2
√a2b2
√a2
Teorema 4Jika a adalah suatu bil riil dan b bukan bilangan nol
Maka ; |ab| =|a|
|b|
Teorema 5Jika a dan b merupakan bilangan rii , maka :Ia + bI ≤ IaI + IbI Ia – bI ≤ IaI – IbI IaI – IbI ≤ Ia – bI
FUNGSIFungsi f merupakan pasangan berurut (x,y) shg x dan y memenuhi persamaan tsbF = {(x,y)I y = 4x + 16}Pasangan berurut (Himpunan Penyelesaian)(0,16),(-1,12),(1,20) dstDaerah asal : (-,+)Daerah hasil : (-,+)Tentukan daerah asal dan hasil dari :
1.Y = √ x−5 2.Y = √ x2−9
3.Y = √9−x2
Teorema 1Jika f adalah suatu fungsi , maka grafik fungsi f adalah mempunyai titik-titik (x,y) di R2 sehingga (x,y) merupakan pasangan berurut dari f : Contoh :F(x) = 5x−2
x+2 , Tentukan daerah asal yang memenuhi f(x) tsb.Teorema 2
Diberikan 2 fungsi f dan g (1) ( f+g )(x) = f(x) + g(x)(2) ( f-g )(x) = f(x) - g(x)(3) ( f.g )(x) = f(x) . g(x)(4) ( f/g )(x) = f(x) / g(x)(5) (f o g)(x) = f(g(x))
Contoh 5 :→ f (x) = √5 g (x) = 2x – 3 Tentukan fungsi daerah asal fungsi koposisi ( f o g )(x)
Jawab : f (x) = f ( g(x)) = f ( 2x – 3 ) = √2x−3
Daerah asal f(x)= [ 0,+4 ] g(x)= [ −∞,+∞ ]
F(x)= [ 32,+∞
¿¿ ]
Teorema 31.Fungsi genap jika untuk tiap x didaerah asal f
f (−x) = f (x)Grafiknya Simetri terhadap sumbu y
2.Fungsi ganjil jika untuk tiap x didaerah asal ff (−x) = −f (x)Grafiknya Simetri terhadap titik awal OContoh 6 : 1.y = x2
2.y = x3 Contoh 7 :
1.f(x) = { (x,y) |x2+ y2= 9 }
SISTEM BILANGAN KOMPLEK√a2 = a√−a2 = √ (−1 )(a)
= √(−1) . a = j.aj = √−1
j2 = −1
j3 = ( j2) j = −√−1 = −j
j 4 = ( j2 ¿ j2 = 1j15 = ( j 4¿3 . j3 = − j
j20 = ( j 4¿5 = 1Conth :x2 – 6x + 10 = 0
x1,2 = 6±√36−402 = 3 ± √−4
2
= 3 ± j.2 Riil imajinerBilangan kompleks = bilangan riil + bilangan imajiner A + jb = a + jb
Teorema penjumlahan dan pengurangan ( a + jb ) + ( c + jb ) = ( a + c ) + j ( b + d )( a + jb ) – ( c + jd ) = ( a – c ) + j ( b – d )Contoh : ( 6 + j5 ) + ( 2 – j3 ) + j( b – d )
Teorema Perkalian ( a + jb ) ( c + jb ) = ( ae ) + j( bc + ad ) + j2 bdDimana j2 = 1Teorema Pembagian(c+ jd )(a+ jb ) = (c+ jd )
(a+ jb ) x (a− jb)(a− jb)
Contoh :10– j 53− j =
Kesamaan Bilangan KompleksJika ke- 2 Bilangan riil sama dan ke- 2 Bilangan Imajiner sama.Contoh :( a + b ) – j( a – b ) = 8 + j6Bilangan Kompleks dalam bentuk ( Diagram Argand, (x,y) )y
5 4 + j5
4 x
Penjumlahan
y 2 + j7z1 = 4 + j5
z2 = 2 + j8 4 + j5
xBilangan kompleks dalam bentuk bilangan kutub / polar ( r , θ )
r2 = a2 + b2
r b r = √a2+b2
θ
a sin θ = br b = r . sin θ
tan θ = ba cos θ = a
r a = r . cos θ
z = ( a + jb ) = r ( cos θ )
r = modus bilangan komplek
= | z |
θ = argument bilangan komplek
Bentuk eksponensial dari bilangan komplek
e-jd = cos θ + j sin θ
e-jd = cos ( -θ ) + j sin ( -θ )
= cos θ – j sin θ
Contoh :
e-j π3 = cos ( -π
3 ) + jsin ( -π3 )
= cos π3 – j sin π
3
= 12 – j 12 √3
Perkalian bilangan kutub
r1 ( cos θ1 + j sin θ1 ) . r2 ( cos θ2 + j sin θ2 )
= r1r2 [ cos ( θ1 + θ2 ) + j sin ( θ1 + θ2 ) ]
Pembagian bilangan kutub
r 1 ¿¿ = r1r 2
¿]
Bilangan kutub dalam bentuk pangkat
zn = [ r ( cos θ + j sin θ ) ]n
= rn [ cos ( nθ ) + j sin ( nθ ) ]
LIMIT FUNGSIF(x) = x2 , maka untuk x mendekati 2,fungsi akan bernilai
limx →2
f ( x )=4
x→a bukan berarti x = a
contoh : f(x) = 2x2+x−3x−1 = x≠1
X F(x)0 30.9 4.80.99 4.980.999 4.9980.9999
4.9998
Terlihat x < 1 sebesar 0.0001 maka f(x) < 5 sebesar 0.0002X > 1 sebesar 0.0001 maka f(x) > 5 sebesar 0.0002 f(x) mendekati 5 jika x mendekati 1→ |f(x) – 5| sekecil mungkin dengan jalan |x − 1| kecilSetiap bilangan positif ε yang diberikan terdapat bilangan positif 5 yang dipilih sesuai sehingga |x – 1| < 5 dan |x − 1| 1 maka |f(x) – 5| < ξBesar δtergantung besarnya ξ . Jika 0 < |x − 1|< δDefinisi Limit FungsiMisalkan f suatu fungsi terdefinisi tiap bilangan pada selang terbuka yang memuat a , kecuali mungkin di a itu sendiri. Limit f(x) maka x mendekati a adalah L ditulis :
x F(x)2 71.1 5.21.01 5.021.001 5.0021.0001
5.0002
Jika Pernyataan Berikut Benar :“Diberikan ξ > 0 yang kecil terdapat suatu δ>0 shg jika 0<|x-a|<δ maka |f(x) – L| < ξ.”
F(x) : ; x≠1X<1 sebesar 0,0001 f(x) < 5 sebesar 0,0002x>2 sebesar 0,0001 f(x) > 5 sebesar 0,0002f(x) mendekati 5 jika x mendekati 1
|f(x) -5| sekecil mungkin dengan jalan |x-1| kecil
Setiap bilangan ξ yang diberikan terdapat bilangan δ yang dipilih sesuai sehingga |x-1| < δ dan |x-1| ≠1 (x≠1)
Besarnya δ tergantung ξ Jika 0<|x-1| < δ maka |f(x) – 5| < ξ
Tentukan δa.ξ = 0,01 , b.ξ = 0,01 ,
c. ξ = 0,01 ,
Teorema 1Jika 1 , 2
Maka L1=L2
Teorema 2Jika m dan b suatu konstanta , maka :
Teorema 3Jika c suatu konstanta , maka :
Teorema 4Jika
Teorema 5
1.
2.3.
1.2.
Teorema 7 jika dan hanya jika
Contoh :Tentukan Limit fungsi bentuk
1. 2. 3.
LIMIT SEPIHAKMisal f merupakan fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka ( a,c ) maka limit f(x) untuk x mendekati a dari kanan adalah L.
Jika tiap terdapat sehingga jika 0< x – a < maka | f(x) – L | < Misal f fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka ( a,c ) maka limit f(x) untuk x mendekati a dari kiri adalah L.
Teorema 1 ada dan besarnya = L
Jika dan hanya jika dan
Maka keduanya ada dan besarnya = LContoh :
1.f(x) = { 4 – f(x) = { 2 +
LIMIT – TAK BERHINGGA
f(x) =
X f(x)3 3
122730030.000
X F(x)1 3
122730030.000
Misal f fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka yang memuat a kecuali mungkin di a sendiri untuk x mendekati a , f(x) memperbesar tanpa batas .
Jika tiap N > 0 terdapat δ > 0 sehinggaJika 0< | x−a |< δ maka f(x) > NMisal f fungsi yang terdefinisi pada selang terbuka yang memuat a kecuali mungkin di a sendiri untuk x mendekati a , f(x) memperkecil tanpa batas .
Jika tiap N < 0 terdapat δ > 0 sehinggaJika 0< | x−a |< δ maka f(x) < NTeorema 1
jika r suatu bilangan bulat positif maka
Teorema 2
Jika
Teorema 3
C > 0
C < 0
Teorema 4
C > 0
C < 0
Teorema 5
Dimana C ≠ 0, maka ;1) C > 0 : f(x) → 0 sepanjang nilai positif f(x)
2) C > 0 : f(x) → 0 sepanjang nilai negatif f(x)
3) C < 0 : f(x) → 0 sepanjang nilai positif f(x)
4) C < 0 : f(x) → 0 sepanjang nilai negatif f(x)
Contoh ;Tentukan Limit Fungsi Berikut !
1).
2).
3).
ASIMTOTAsimtot gerak Garis x = a dikatakan asimtot gerak dari grafik fungsi, jika paling sedikit salah satu pernyataan berikut ini benar :
limx→ a+¿ f ( x )=+∞¿
¿
x = a
limx→ a+¿ f ( x )=−∞¿
¿
x = a
limx→ a−¿f ( x )=+∞¿
¿
x = a
limx→ a−¿f ( x )=−∞¿
¿
x = a
KEKONTINUAN FUNGSI di SATU TITIKFungsi f dikatakan kontinu di bilangan a jika dan hanya jika ke-3 syarat ini terpenuhi :
1) f(a) ada2) lim
x→ af ( x ) ada
3) limx→ a
f ( x )=f (a)
Contoh :1.f(x) = 2x + 3 , jika x ≠ 1
2 , jika x = 1
Jawab :1.f(1) = 22.limx →1
2x+3=5
3.limx →1f (1 )≠ f (1)
Maka fungsi tersebut f(x) diskontunu pada x = 1
Secara umum jika fungsi tak kontinu di a tetapi limx→ a
f ( x ) ada maka 1.f(a) ≠ limx→ a
f ( x )
2.f(a) tidak ada ketakkontinuan ini disebut dengan ketakkontinuan terhapus ( Removable discontinaty ) kondisi ini dapat dijadikan kontinu jika, didefinisikan kembali di a sehingga
f(a) ≠ limx→ af ( x )
maka fungsi baru tersebut menjadi kontinu di ajika syarat ke-2 tidak terpenuhi, limx→ a
f ( x ) tidak terdefinisiMaka ketak
kontinuan ini merupakan ketakkontinuan essensial yang tidak dapat diubah menjadi kontinu.Contoh :Tentukan kekontinuan fungsi berikut di x = 4f(x) = √ x − 2 , x ≠ 4 x – 4 , x = 4