-
Furijeovi redovi
Kao xto smo videli, prostori funkcija koje prouqavamo su qesto
ve-ktorski prostori. Prirodno se name�e pitaƬe egzistencije baze
iprikazivaƬa vektora u toj bazi. Me�utim, prostori funkcija kojinam
se pojavƩuju su obiqno beskonaqno dimenzioni, pa treba
bitioprezniji prilikom rexavaƬa prethodnih pitaƬa.
1. Unitarni prostori
Definicija 1. Neka je X vektorski prostor nad poƩem skalara
C.PreslikavaƬe 〈·, ·〉 : X × X → C sa osobinama:
(1) 〈λx + µy, z〉 = λ〈x, z〉 + µ〈y, z〉 za sve λ, µ ∈ C i x, y, z ∈
X,(2) 〈x, y〉 = 〈y, x〉 za sve x, y ∈ X,(3) 〈x, x〉 > 0 za svako x
∈ X i pritom se jednakost dostiжe ako i
samo ako je x = 0,se naziva skalarnim proizvodom, a prostor X na
kojem postoji
skalarni proizvod se naziva unitarnim prostorom.
Iz definicije neposredno sledi da je 〈0, x〉 = 0 i 〈x, 0〉 = 0 za
svakox ∈ X, kao i antilinearnost po drugoj promenƩivoj, 〈z, λx +
µy〉 =λ〈x, z〉+µ〈y, z〉 za sve λ, µ ∈ C i x, y, z ∈ X. Tako�e,
ispostavi�e se (lema1) da je izraz ‖x‖ =
È〈x, x〉 je norma na X. Ukoliko je X kompletan
u odnosu na metriku indukovanu ovom normom, kaжemo da je X
(sauoqenim skalarnim proizvodom) Hilbertov prostor. U ovom delu,ako
nije drugaqije naglaxeno, podrazumeva�emo da su 〈·, ·〉
skalarniproizvod u uoqenom unitarnom prostoru, a ‖ · ‖ norma
indukovana timskalarnim proizvodom.
Definicija 2. Neka je X unitaran prostor. kaжemo da je vektor
xortogonalan (normalan) na y, u oznaci x ⊥ y, ako i samo ako
vaжi〈x, y〉 = 0.
Neposredno iz definicije sledi da je ortogonalnost u
unitarnimprostorima simetriqna, tj. vaжi x ⊥ y ako i samo ako je y
⊥ x, pa seqesto govori i da su x i y me�usobno normalni. Tako�e,
sledi da jex⊥ = {y | 〈y, x〉 = 0} vektorski potprostor prostora X.
Pritom, vaжix⊥ = X ako i samo ako je x = 0 (jasno je da je 0⊥ = X,
a kako za x 6= 0sledi x 6∈ x⊥, sledi da za takvo x ne moжe biti x⊥
= X).
Lema 1. U unitarnom prostoru X vaжi:(a) ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + 2
Re〈x, y〉 + ‖y‖2 za svako x, y ∈ X.
-
(b) |〈x, y〉| 6 ‖x‖ · ‖y‖ za svako x, y ∈ X (nejednakost
Koxi–Xvarc–BuƬakovskog). Pritom, jednakost vaжi ako i samo ako su x
i y linea-rno zavisni.
(v) ‖ · ‖ je norma na X.(g) Ako xn, x, y ∈ X za n ∈ N i vaжi ‖xn
− x‖ → 0 kad n → ∞, onda
〈xn, y〉 → 〈x, y〉 i 〈y, xn〉 → 〈y, x〉 kad n → ∞.(d) Ako je n >
2 i x1, . . . , xn ∈ X takvi da je xi ⊥ xj za xi 6= xj , onda
je ‖x1 + . . . + xn‖2 = ‖x1‖2 + . . . + ‖xn‖2 (Pitagorina
teorema).
Dokaz. (a) Za svako x, y ∈ X vaжi ‖x + y‖2 = 〈x, x〉 + 〈x, y〉 +
〈y, x〉 +〈y, y〉 = ‖x‖2 + 〈x, y〉 + 〈x, y〉 + ‖y‖2 = ‖x‖2 + 2 Re〈x, y〉
+ ‖y‖2.
(b) Za sve x, y ∈ X i λ ∈ C vaжi 0 6 ‖x + λy‖2 = ‖x‖2 + 2 Reλ〈x,
y〉 +|λ|2‖y‖2. Ako je y = 0, nejednakost (zapravo i jednakost)
trivijalnovaжi za svako x ∈ X, a ako je y 6= 0, zamenom λ = −
〈x,y〉‖y‖2 dobija se0 6 ‖x‖2− 2|〈x,y〉|
2
‖y‖2 +|〈x,y〉|2‖y‖4 · ‖y‖2, odnosno
|〈x,y〉|2‖y‖2 6 ‖x‖2, odakle direktno
sledi ostatak tvr�eƬa.(v) Vaжi ‖λx‖2 = 〈λx, λx〉 = λλ〈x, x〉 =
|λ|2 · ‖x‖2 za svako λ ∈ C
i x ∈ X. Tako�e, vaжi ‖x‖ = 0 ako i samo ako je 〈x, x〉 = 0,
xtoje taqno ako i samo ako je x = 0. Za x, y ∈ X, po delovima (a)
i(b), vaжi ‖x + y‖2 = ‖x‖2 + 2 Re〈x, y〉 + ‖y‖2 6 ‖x‖2 + 2 · |〈x,
y〉| + ‖y‖2 6‖x‖2 + 2 · ‖x‖ · ‖y‖ + ‖y‖2 = (‖x‖ + ‖y‖)2, odakle
sledi i nejednakosttrougla.
(g) Kako je |〈xn, y〉−〈x, y〉| = |〈xn−x, y〉| 6 ‖xn−x‖·‖y‖ → 0 kad
n → ∞,sledi prvo tvr�eƬe, a analogno sledi i drugo tvr�eƬe.
(d) Ako je x1 ⊥ x2, iz dela (a) sledi ‖x1 +x2‖ = ‖x1‖2 +2 Re〈x1,
x2〉+‖x2‖2 = ‖x1‖2+‖x2‖2. Ako je x1 ⊥ xi za 2 6 i 6 n, sledi x1 ⊥ x2
+ . . .+xn,pa je ‖x1 + x2 + . . . + xn‖2 = ‖x1‖2 + ‖x2 + . . . +
xn‖2, pa tvr�eƬe dela (d)sledi indukcijom.
Primer 1. Po nejednakosti Koxi–Xvarc–BuƬakovskog, ako su f ig
kvadratno integrabilne funkcije na [a, b], vaжi
��R ba f(x)g(x)dx
�� 6ÈR ba |f(x)|2dx ·
ÈR ba |g(x)|2dx, tj. konvergentan je
R ba f(x)g(x)dx. Ovaj
integral oqigledno zadovoƩava osobine (1) i (2) skalarnog
proizvoda,
me�utim, ne mora biti zadovoƩna osobina (3), poxto izR b
a |f(x)|2dx = 0ne sledi da je f(x) = 0 za svako x ∈ [a, b] (na
primer, ako je f(x) funkcijakoja je jednaka 0, sem u konaqno mnogo
taqaka). Ako je f ∼ g ako i samoako je
R ba |f(x) − g(x)|2dx = 0, lako se vidi da je ∼ relacija
ekviva-
lencije na skupu R2[a, b] svih kvadratno integrabilnih funkcija
na[a, b]. Na skupu R2[a, b] /∼ klasa ekvivalencije pomenute
relacije, akosu [f ] i [g] dve klase i f0 ∈ [f ], g0 ∈ [g], lako je
proveriti da je sa〈[f ], [g]〉 =
R ba f0(x)g0(x)dx definisan skalarni proizvod (i Ƭegova vre-
dnost ne zavisi od izbora predstavnika klase), pa je R2[a, b] /∼
sa timskalarnim proizvodom unitarni prostor.
Primer 2. Za funkciju f kaжemo da je deo po deo neprekidna na[a,
b] ako je neprekidna, sem eventualno u konaqno mnogo unutraxƬih
2
-
taqaka intervala [a, b], a u tim taqkama postoje leva i desna
graniqnavrednost funkcije. Neka je H prostor takvih funkcija, sa
osobi-nom da za svaku taqku y ∈ (a, b) prekida funkcije f ∈ H vaжi
f(y) =
limx→y−
f(x)+ limx→y+
f(x)
2 . Lako se vidi da je H vektorski prostor. Za f, g ∈ Hizraz
R ba f(x)g(x)dx je skalarni proizvod (osobine (1) i (2)
skalarnog
proizvoda slede kao i u prethodnom primeru; ako jeR b
a |f(x)|2dx = 0,sledi da je f ≡ 0 na intervalima na kojima je
neprekidna, a po defini-ciji funkcija iz H, onda mora biti jednaka
0+02 = 0 i u taqkamaprekida, pa je identiqki jednaka 0 na celom [a,
b], tj. ispuƬena je iosobina (3) skalarnog proizvoda).
Definicija 3. Niz (en)n∈N vektora iz X, tako da za sve i 6= j
vaжi〈ei, ej〉 = 0, a za svako i ∈ N vaжi 〈ei, ei〉 = 1 se naziva
ortonormiraniniz (sistem).
Lema 2. Ako je X unitaran prostor, (en)n∈N ortonormiran niz
eleme-nata iz X.
(a) Za svako x ∈ X vaжi ‖x‖2 = ‖x −nP
k=1
〈x, ek〉ek‖2 +nP
k=1
|〈x, ek〉|2.
(b) Za svako x ∈ X je∞P
n=1
|〈x, ek〉|2 6 ‖x‖2 (Beselova nejednakost).
(v) Za svako x ∈ X red∞P
n=1
|〈x, ek〉|2 konvergira, a 〈x, en〉 → 0 kadn → ∞.
(g) Za svako x ∈ X, svaki kompleksan niz (an)n∈N i svako n ∈ N
vaжi‖x −
nPk=1
〈x, ek〉ek‖ 6 ‖x −nP
k=1
akek‖.
Dokaz. Kako je¬x −
nPk=1
〈x, ek〉ek, ek¶
= 〈x, ek〉 − 〈x, ek〉〈ek, ek〉 = 0 za
1 6 k 6 n, po Pitagorinoj teoremi sledi ‖x‖2 = ‖x −nP
k=1
〈x, ek〉ek‖2 +nP
k=1
|〈x, ek〉|2, xto je tvr�eƬe dela (a). Iz dobijene veze, kako
je
‖x −nP
k=1
〈x, ek〉ek‖2 > 0, sledi (b), xto povlaqi i (v) (dobijena
konve-rgencija reda povlaqi da Ƭegov opxti qlan teжi ka 0). Iz
uoqene
ortogonalnosti, sledi i
x − nP
k=1
akek
2 =
x − nP
k=1
〈x, ek〉ek−
nPk=1
(ak −
〈x, ek〉)ek
2 =
x − nP
k=1
〈x, ek〉ek
2 + nP
k=1
��ak − 〈x, ek〉��2 >
x − nPk=1
〈x, ek〉ek
2,
a pritom se jednakost dostiжe ako i samo ako je ak = 〈x, ek〉 za
svako1 6 i 6 n.
Prethodna lema govori da je najboƩa aproksimacija elementa
xkonaqnim linearnim kombinacijama ako uz en uzmemo 〈x, en〉. Ova
vre-dnost se zove Furijeov koeficijent (koji odgovara vektoru
en).
3
-
Kao xto razmatramo ortonormiran niz, mogli smo razmatrati
iortonormiran sistem (eα)α∈A i aproksimiraƬe konaqnim
linearnimkombinacijama elemenata iz uoqene familije. Me�utim, kao u
dokazuBeselove nejednakosti, tada bi vaжilo da je
Pα∈B
|〈x, eα〉|2 6 ‖x‖2, za
svaki konaqan B ⊂ A. Sledi da je skup En = {α ∈ A | |〈x, eα〉|
> 1n}konaqan, pa je skup {α ∈ A | 〈x, eα〉 6= 0} =
∞∪
n=1En najvixe prebrojiv, pa
je prilikom razlagaƬa elementa x suma korektno definisana.Da ne
bi imali tih problema, na daƩe �emo posmatrati samo se-
parabilne prostore. Ako e1, . . . , en qine ortonormirane
vektore, onisu i linearno nezavisni (zaista, ako je λe1 + . . . +
λnen = 0, skalarnimmnoжeƬem sa ei dobija se λi = 0). U ovom
sluqaju, ukoliko je pro-stor konaqno dimenzionalan, dobi�e se
konaqna baza, a ukoliko jebeskonaqno dimenziona, prebrojiva baza,
pa je dovoƩno xto smo po-smatrali ortonormiran niz.
Teorema 1. Neka je X unitaran prostor i (en)n∈N ortonormiran
nizu Ƭemu.
(a) Slede�i uslovi su ekvivalentni:
(1) Skup� nP
k=1
λiei | n ∈ N ∧ λi ∈ C za 1 6 i 6 n©
je gust u X (u
metriciindukovanoj skalarnim proizvodom).
(2) Za svako x ∈ X vaжi ‖x −nP
k=1
〈x, ek〉ek‖ → 0 kad n → ∞.
(3) Za svako x ∈ X vaжi ‖x‖2 =∞P
n=1
|〈x, en〉|2 (Parsevalova jedna-kost).
(4) Za sve x, y ∈ X vaжinP
k=1
〈x, ek〉〈ek, y〉 =¬ nP
k=1
〈x, ek〉ek, y¶→ 〈x, y〉
kadn → ∞.
(b) Ako je X Hilbertov, onda su prethodni uslovi
ekvivalentnisa:
(5) ako za x ∈ X vaжi 〈x, en〉 = 0 za svako n ∈ N, onda je x =
0.
Dokaz. (1) ⇔ (2). Po delu (d) prethodne leme, ako je ‖x−nP
k=1
λkek‖ <
ε, onda je ‖x −nP
k=1
〈x, ek〉ek‖ 6 ‖x −nP
k=1
λkek‖ < ε, pa ako neka linearnakombinacija aproksimira x do
na neku taqnost, onda to radi i kombi-nacija u kojoj uqestvuju
Furijeovi koeficijenti. Obrnuto je trivi-jalno, poxto je
kombinacija u kojoj uqestvuju Furijeovi koeficijentii linearna
kombinacija.
(2) ⇔ (3). Po delu (a) prethodne leme je ‖x‖2 −nP
k=1
|〈x, ek〉|2 = ‖x −
4
-
nPk=1
〈x, ek〉ek‖2, odakle direktno sledi ova ekvivalencija.
(2) ⇒ (4). Ova implikacija sledi iz neprekidnosti
skalarnogproizvoda (deo (g) leme 1).
(4) ⇒ (3). Za x = y sledinP
k=1
|〈x, ek〉|2 =¬ nP
k=1
〈x, ek〉ek, x¶→ 〈x, x〉 =
‖x‖2 kad n → ∞.(2) ⇒ (5). Ako je 〈x, ek〉 = 0 za svako k ∈ N, po
(2) sledi ‖x‖ → 0 kad
n → ∞, pa je ‖x‖ = 0, odnosno x = 0.(5) ⇒ (2). Ako je x ∈ X,
red
∞Pn=1
|〈x, en〉|2 je konvergentan, pa za svako
ε > 0 postoji n0, tako da za n > n0 i k ∈ N
vaжin+kPi=n
|〈x, ei〉|2 < ε. Kako
je¬n+kP
i=n
〈x, ei〉ei,n+kPi=n
〈x, ei〉ei¶
=n+kPi=n
|〈x, ei〉|2 < ε za n > n0 i k ∈ N i kako je
X kompletan, po Koxijevom kriterijumu sledi da je∞P
n=1
〈x, en〉en konve-
rgentan u X. Ako je y = x−∞P
n=1
〈x, en〉en, zbog neprekidnosti skalarnog
proizvoda sledi 〈y, em〉 = 〈x, em〉−∞P
n=1
〈x, en〉 · 〈en, em〉 = 〈x, em〉−〈x, em〉 =0, pa je y = 0, odnosno
sledi (2).
Osobina (1) dela (a) prethodne teoreme se naziva
zatvorenox�uortonormiranog sistema (en)n∈N, a osobina (5)
potpunox�u ortono-rmiranog sistema. Primetimo da smo kompletnost u
prethodnomdokazu koristili samo u smeru (5) ⇒ (2), tj. svaki
zatvoren sistemje i potpun, a obrnuto je taqno u kompletnim
prostorima. Direktnaposledica potpunosti ortonormiranog sistema je
da su dva elementaiz X jednaka ako i samo ako su im jednaki svi
Furijeovi koeficijenti.
2. Trigonometrijski redovi
U ovom delu posmatra�emo 2π periodiqne funkcije na R (pritom
2πne mora biti osnovni period). Vrednosti takve funkcije na celomR
su jednoznaqno odre�ene ako znamo Ƭene vrednosti na nekom
inte-rvalu duжine 2π, pa �emo se od sada ograniqiti na interval
[−π, π].Osnovne trigonometrijske funkcije koje su 2π periodiqne su
cosnxza n ∈ N0 i sin nx za n ∈ N (za n = 0 funkcija cosnx je
zapravofunkcija koja je identiqki jednaka 1), pa je 2π periodiqna i
bilokoja konaqna linearna kombinacija ovakvih funkcija, a kandidat
zatakvu funkciju, ako ima smisla, je i beskonaqna linearna
kombinacijatakvih funkcija. Jedan od glavnih zadataka ovog dela je
opis ,,svih”2π periodiqnih funkcija.
5
-
Lema 3. Vaжi:(a)
R π−π 1 · cosnxdx = 0,
R π−π 1 · sin nxdx = 0,
R π−π 1 · 1 dx = 2π, za svako
n ∈ N.(b)
R π−π cosmx · sinnxdx = 0, za svako m, n ∈ N.
(v)R π−π cosmx · cosnxdx = 0,
R π−π sinmx · sin nxdx = 0, za sve m, n ∈ N,
takve da je m 6= n.(g)
R π−π cos
2 nxdx = π,R π−π sin
2 nxdx = π, za svako n ∈ N.
Dokaz. Sve navedene funkcije su neprekidne, pa su i
integrabilnena [−π, π].
(a) VaжiR π−π cosnxdx =
sin nx
n
��π−π = 0, kako je sin nx neparna
(a integracija je po intervalu simetriqnom u odnosu na 0),
slediR π−π sinnxdx = 0, za svako n ∈ N, a vaжi i
R π−π 1 dx = 2π.
(b) VaжiR π−π cosmx · sin nxdx
R π−π
sin(m+n)x+sin(n−m)x2 dx = 0, jer su
sin(m + n)x i sin(n − m)x neparne funkcije.(v) Vaжi
R π−π cosmx · cosnxdx =
R π−π
cos(m+n)x+cos(m−n)x2 dx =
12 ·
sin(m+n)xm+n +
sin(n−m)xn−m
��π−π = 0 za svako m 6= n, m, n ∈ N (primetimo
da za ovakve m i n u prethodnom izrazu ne dolazi do deƩeƬa sa
0).
(g) VaжiR π−π cos
2 nxdx =R π−π
1+cos 2nx2 dx =
12 ·
x + sin 2nx2n
��π−π = π iR π
−π sin2 nxdx =
R π−π
1−cos 2nx2 dx =
12 ·
x − sin 2nx2n
��π−π = π za n ∈ N.
Primetimo da su funkcije iz prethodne leme i deo po deo
nepre-kidne (zapravo neprekidne na celom R) i kvadratno
integrabilne na[−π, π] (pripadaju prostoru H za [a, b] = [0, 2π] iz
primera 2; ako zatakve funkcije jox nametnemo da postoje lim
x→−π+f(x), lim
x→π−f(x), da je
f(π) =lim
x→−π+
f(x)+ limx→π−
f(x)
2 i da su 2π periodiqne, taj prostor �emo
nazivati ÜC(−π, π)), pa ovaj prostor moжemo posmatrati i kao
uni-tarni prostor, sa skalarnim proizvodom 〈f, g〉 = 1
π·R π−π f(x)g(x)dx
(a ako budemo radili sa realno vrednosnim funkcijama,
posledƬikonjugat �e biti ,,vixak”). Uoqimo i potprostor ovog
prostora,funkcije koje su deo po deo neprekidno diferencijabilne, a
u taqkamaprekida izvoda postoje levi i desni izvod (ako je x taqka
prekida
izvoda, postoje f ′−(x) = limt→0−
f(x+t)−f(x)t
i f ′+(x) = limt→0+
f(x+t)−f(x)t
). Taj
prostor oznaqimo sa ÜC(1)(−π, π).Na osnovu prethodne leme sledi
da je skup
�1√2
©∪�cosnx, sin nx |
n ∈ N©
ortonormiran sistem. Specijalno, ako funkcija f(x) =
a02 +
∞Pn=1
(an cosnx + bn sin nx) =a0√
2· 1√
2+
∞Pn=1
(an cosnx + bn sin nx) pri-
pada ÜC(−π, π), sledi da su Ƭeni Furijeovi koeficijenti 〈f, 1√2〉
=
1√2· 1
π·R π−π f(x)dx, 〈f, cosnx〉 = 1π ·
R π−π f(x) cos nxdx i 〈f, sin nx〉 = 1π ·
6
-
R π−π f(x) sin nxdx, odnosno vaжi
a0 =1
π·Z π−π
f(x) dx, an =1
π·Z π−π
f(x) cosnxdx, bn =1
π·Z π−π
f(x) sin nxdx,
za n ∈ N (sad vidimo razlog deƩeƬa faktora a0 sa 2 u polaznom
redu,da ne bi imali formulu za a0 bitno razliqitu od formula za
ostalekoeficijente; ako primetimo da je cos 0x = 1 za svako x ∈ R,
moжemoformule za a0 i an, n ∈ N, pamtiti kao jednu formulu).
Ukoliko primenimo zakƩuqke prethodnog dela, izme�u ostalogmoжemo
zakƩuqiti da vaжi an → 0 i bn → 0 kad n → ∞ za funkcijeiz ÜC(−π,
π). Me�utim, izrazi kojim su definisani (an)n∈N0 i (bn)n∈Nsu
definisani i za xiru klasu funkcija, za apsolutno
integrabilnefunkcije na [−π, π].
Definicija 4. Ako je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno
inte-grabilna funkcija na [−π, π], Ƭoj pridruжujemo Ƭen Furijeov
red, uoznaci f(x) ∼ a02 +
∞Pn=1
(an cosnx + bn sin nx), gde je
an =1
π·Z π−π
f(x) cos nxdx, za n ∈ N0, bn =1
π·Z π−π
f(x) sin nxdx, za n ∈ N.
Izraz Sn(f ; x) =a02 +
nPk=1
(ak cos kx + bk sin kx) nazivamo n–tom parcija-
lnom sumom Furijeovog reda funkcije f . Qlanove nizova (an)n∈N0
i(bn)n∈N nazivamo Furijeovim koeficijentima i u ovom sluqaju.
Lema 4 (Dirihleovo jezgro). Neka je f : R → R 2π periodiqna
iapsolutno integrabilna funkcija na [−π, π] i
Dn(x) =
( sin(n + 12 )xsin x2
, za x ∈ [−π, 0)∪ (0, π]2n + 1, za x = 0
.
.(a) Za svako n ∈ N vaжi Sn(f ; x) = 12π ·
R π−π f(t)Dn(x − t)dt = 12π ·R π
−π f(x − t)Dn(t)dt.(b) Funkcija Dn je neprekidna i vaжi
12π ·
R π−π Dn(x)dx = 1 i
12π ·R π
0 Dn(x)dx =12 za svako n ∈ N.
Dokaz. Kako je Sn(f ; x) =a02 +
nPk=1
(ak cos kx+bk sin kx) =12 · 1π ·
R π−π f(t)dt+
nPk=1
cos kx · 1
π·R π−π f(t) cos ktdt+sinkx · 1π ·
R π−π f(t) sin ktdt
= 12π ·
R π−π f(t)
1+
2nP
k=1
(cos kx cos kt + sin kx sin kt)dt = 12π ·
R π−π f(t)
1 + 2
nPk=1
cos k(x − t)dt,
7
-
sledi Dn(x) = 1 + 2nP
k=1
cos kx. Vaжi Dn(0) = 2n + 1, a za x ∈ [−π, π] \ {0}
vaжi Dn(x) =1
sin x2
·sin x2 +
nPk=1
sin(k + 12 )x − sin(k + 12 )x
=
sin(n+ 12)x
sin x2
.
Smenom y = x− t i kako su f i Dn 2π periodiqne funkcije, za
svakox ∈ R i svako n ∈ N sledi 12π ·
R π−π f(t)Dn(x − t)dt = 12π ·
R π+x−π+x f(x −
y)Dn(y)dy =12π ·
R π−π f(x − y)Dn(y)dy.
Kako je Dn(x) = 1 + 2nP
k=1
cos kx, sledi da je Dn neprekidna i parna,
pa lako slede tvr�eƬa dela (b).
Na osnovu Xtolcove teoreme, ako postoji limn→∞
zn, onda postoji i
limn→∞
z1+...+znn
= limn→∞
zn, me�utim, ne mora vaжiti obrnuto (moжe po-
stojati drugi navedeni limes i kada ne postoji prvi; na primer,
ako
je zn =n
1, za n neparno0, za n parno
), pa ovaj postupak moжemo shvatiti kao
,,popravƩaƬe konvergencije”. Ono �e nam biti potrebno u
kasnijemradu (videti teoremu 7).
Definicija 5. Neka je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno
inte-grabilna funkcija na [−π, π]. Izraz Cn(f ; x) = 1n ·
n−1Pk=0
Sk(f ; x) nazivamo
n–tom �ezarovom parcijalnom sumom Furijeovog reda funkcije f
.
Lema 5 (Fejerovo jezgro). Neka je f : R → R 2π periodiqna i
apso-lutno integrabilna funkcija na [−π, π] i
Fn(x) =
( 1n· sin
2 nx2
sin2 x2, za x ∈ [−π, 0)∪ (0, π]
n, za x = 0
.
.(a) Za svako n ∈ N vaжi Cn(f ; x) = 12π ·
R π−π f(t)Fn(x − t)dt = 12π ·R π
−π f(x − t)Fn(t)dt.(b) Funkcija Fn je neprekidna i vaжi
12π ·
R π−π Fn(x)dx = 1 i
12π ·R π
0 Fn(x)dx =12 za svako n ∈ N.
(v) Vaжi Fn(x) > 0 za svako x ∈ R i svako n ∈ N.(g) Za svako
δ ∈ (0, π) vaжi lim
n→∞
R δ−π |Fn(x)|dx +
R πδ |Fn(x)|dx
= 0.
Dokaz. Kako je Cn(f ; x) =1n·n−1Pk=0
Sk(f ; x) i kako je integral linearan,
sledi da je Fn(x) =1n·n−1Pk=0
Dk(x). Za x = 0, sledi Dn(0) =n−1Pk=0
(2k+1) = n2,
a za x ∈ [−π, 0)∪ (0, π] sledi Fn(x) = 1n · 12 sin2 x2
·n−1Pk=0
2 sin(k + 12 )x sinx2 =
1n· 1
2 sin2 x2
·n−1Pk=0
cos kx − cos(k + 1)x
= 1
n· 1
2 sin2 x2
· (1 − cosnx) = 1n· sin
2 nx2
sin2 x2
.
8
-
Odavde neposredno slede delovi (a) i (v), a koriste�i
osobineDirihleovog jezgra sledi i deo (b).
Za 0 < δ 6 |x| 6 π vaжi |Fn(x)| = Fn(x) =�� 12π · 1n ·
sin2 xn2
sin2 x2
�� 6 1n· 1
2π sin2 δ2
,
pa jeR δ
−π |Fn(x)|dx +R π
δ |Fn(x)|dx
= 2R πδ Fn(x)dx 6
1n· 1
π sin2 δ2
→ 0 kadn → ∞, xto je deo (g).
Zbir integrala koji se javƩa u delu (g) prethodne leme �emo
odsada qesto oznaqavati sa
Rδ6|x|6π |Fn(x)|dx (i u situacijama u kojima
bude druga podinegralna funkcija).
Na daƩe �emo smatrati da su Dirihleovo i Fejerovo jezgro
dateformulama koje vaжe na [−π, π]\{0}, a da se u 0 produжuju po
nepreki-dnosti. Vidimo da ova jezgra imaju dosta sliqnih osobina,
ali bitnarazlika je pozitivnost Fejerovog jezgra, iz koje sledi, na
primer, daR π−π |Fn(x)|dx postoji (zapravo, posledƬi integral je
jednak 2π), dok to
nije taqno zaR π−π |Dn(x)|dx (moжe se pokazati da ovaj integral
dive-
rgira).
Lema 6 (Riman–Lebegova lema). Ako je f apsolutno
integrabilnafunkcija na [a, b] i [c, d] ⊆ [a, b]. Onda vaжi
limλ→∞
Z dc
f(x) sin λxdx = 0 i limλ→∞
Z dc
f(x) cosλxdx = 0.
Dokaz. Na kompaktu [a, b] funkcija f moжe imati konaqno
mnogosingularnih taqaka, s1 < s2 < . . . < sn, pa za svako
ε > 0 posto-
ji δ, tako da vaжinP
k=1
��R sk+δsk−δ f(x) sin λxdx
�� < ε (pre toga f dodefini-xemo na [a − δ, a) i (b, b + δ]
da je identiqki jednaka 0 ukoliko je
s1 = a ili sn = b). Ako je g(x) =
§0, za x ∈
n∪
k=1(ck − δ, ck + δ)
f(x), inaqe,
vaжi��R d
c f(x) sin λxdx�� 6 ��R dc g(x) sin λxdx�� + ε za svaki [c, d] ⊆
[a, b] i
funkcija g nema singulariteta. Sledi da za svako ε > 0
posto-ji δ1, tako da za svaku podelu c = x0 < x1 < . . . <
xn = d inte-rvala [c, d] parametra maƬeg od δ1, postoje m1, . . . ,
mn tako da je��R d
c
g(x) −
nPk=1
mkχ[xk−1,xk](x)
sin λxdx�� < ε (gde je χ[xk−1,xk] karakteri-
stiqna funkcija intervala [xk−1, xk]; pritom, ako je M =
supx∈[a,b]
|g(x)|,
vaжi |mk| 6 M za svako 1 6 k 6 n). Kako je��R d
c g(x) sin λxdx�� 6��R d
c
g(x) −
nPk=1
mkχ[xk−1,xk](x)
sin λxdx��+ ��R dc nP
k=1
mkχ[xk−1,xk](x) sin λxdx�� <
ε +�� nPk=1
mkR xk
xk−1sinλxdx
�� 6 ε + M · nPk=1
��R xkxk−1
sinλxdx��, dovoƩno je jox
procenitiR xk
xk−1sin λxdx.
9
-
Me�utim, za λ > 0 vaжiR xk
xk−1sin λxdx =
h− cos λx
λ
i���xkxk−1
= cos λx0−cos λx1λ
,
pa je��R xk
xk−1sin λxdx
�� 6 2λ
. Konaqno, sledi��R d
c f(x) sin λxdx�� 6 2ε + 2nM
λ.
Ako su za proizvoƩno ε > 0 izabrani δ i δ1 kako je opisano
gore, δ1odre�uje n, pa za te δ, δ1, n posledƬi izraz teжi ka 2ε kad
λ → ∞, pakako je ε proizvoƩno, sledi prvo tvr�eƬe leme.
Dokaz drugog tvr�eƬa (za kosinusnu funkciju) je analogan.
Kao trivijalna posledica Riman–Lebegove leme (ako se uzme
di-skretna graniqna vrednost, n → ∞), sledi da i Furijeovi
koefi-cijenti apsolutno integrabilne funkcije na [−π, π] teжe ka 0
kadn → ∞. Tako�e, kako je cos(λx + µ) = cosλx cos µ − sin λx sin µ,
izleme neposredno sledi da za apsolutno integrabilnu funkciju f
vaжi
limλ→∞
R dc f(x) cos(λx + µ)dx = 0 za svaki [c, d] ⊆ [a, b] i svako µ ∈
R, a
analogno je i limλ→∞
R dc f(x) sin(λx + µ)dx = 0. Tako�e, ako je f apsolutno
integrabilna na [a,∞) ili (−∞,∞) tvr�eƬe leme se direktno
prenosii na ove situacije.
Primer 3. VaжiR∞−∞ sinx
2dx =È
π2 i
R∞−∞ cosx
2dx =È
π2 (Frenelovi
integrali) iR∞−∞ sin x
2 cosλxdx =
1
2·Z ∞−∞
sin(x2 + λx) + sin(x2 − λx)
dx
=1
2·Z ∞−∞
sin
��x +
λ
2
�2− λ
2
4
�+ sin
��x − λ
2
�2− λ
2
4
�dx
=1
2·Z ∞−∞
sin
�x +
λ
2
�2cos
λ2
4+ cos
�x +
λ
2
�2sin
λ2
4
+ sin�x − λ
2
�2cos
λ2
4+ cos
�x − λ
2
�2sin
λ2
4
dx.
Smenom t = x + λ2 , odnosno t = x − λ2 , slediR∞−∞ sin(x ± λ2
)2dx =R∞
−∞ cos(x ± λ2 )2dx =È
π2 , pa sledi
R∞−∞ sinx
2 cosλxdx =È
π2 ·
cos λ
2
4 −sin λ
2
4
=
√π · cos λ2+π4 6→ 0 kad λ → ∞. Ovaj primer pokazuje da se
tvr�eƬe prethodne leme ne moжe proxiriti na funkcije koje su
inte-grabilne, ali nisu apsolutno integrabilne.
Navedimo i da je mogu�e posmatrati razvoj u
trigonometrijskiFurijeov red funkcija i koje imaju druge periode.
Ako je funkcija f2T periodiqna, kao i u navedenom sluqaju, dovoƩno
ju je posmatratina [−T, T ]. Me�utim, onda �e funkcija f(xT
π) biti 2π periodiqna,
pa se ovaj sluqaj svodi na sluqaj koji prouqavamo. Konkretno,
odgo-varaju�i Furijeovi koeficijenti �e biti an =
R T−T f(x) cos
nπxT
dx za
n ∈ N0 i bn =R T−T f(x) sin
nπxT
dx za n ∈ N, a analogno se prenose ipreostale definicije i
zakƩuqci. Iz tog razloga �emo se u ostatkuteksta zadrжati samo na
sluqaju 2π periodiqnih funkcija.
10
-
Qest zahtev je da se funkcija f razvije u red u kojem
uqestvujusamo sinusne ili samo kosinusne funkcije. Kako su sinusne
funkcijeneparne, a kosinusne parne, ako je funkcija definisana na
[0, T ], redkoji sadrжi samo sinusne funkcije �e se dobiti
razvijaƬem u Furi-jeov red funkcije koja se dobija tako xto se f
produжi na [−T, T ] poneparnosti, dok red koji ne sadrжi sinusne
funkcije (odnosno sadrжisamo kosunusne i konstantnu funkciju)
dobijamo razvijaƬem u Furi-jeov red funkcije koja se dobija tako
xto se f produжi na [−T, T ] poparnosti.
3. Funkcije ograniqene varijacije
U ovom delu definisa�emo klasu funkcija koja �e nam trebati
udaƩem radu. Me�utim, ona ima mnogo ve�u vaжnost (prirodno
jenastala prilikom prouqavaƬa neprekidnih funkcionala na
prostoruneprekidnih funkcija). Tako�e, ona je uopxteƬe nizova
ograniqenevarijacije u situaciji kada domen funkcije ne mora biti
skup N. Ovajdeo se obiqno predaje u okviru Analize 1, ovde ga
dajemo zarad potpu-nosti (ili u sluqaju da neko nije sluxao ovaj
deo u okviru Analize 1,poxto je bitan za nastavak).
Definicija 6. Neka je f : [a, b] → C. Konaqnoj podeli P
inte-rvala, a = x0 < x1 < . . . < xn = b, pridruжimo
veliqinu VP (f) =
nPk=1
|f(xi) − f(xi−1)|. Veliqinu V (f ; a, b) = supP∈P
VP (f), gde je P skupsvih konaqnih podela [a, b], nazivamo
varijacijom funkcije f na in-tervalu [a, b]. Funkcija f je
ograniqene varijacije na [a, b] ako jeV (f ; a, b) < ∞, a
prostor svih takvih funkcija oznaqavamo sa BV [a, b].
Za f : R → C varijaciju definixemo sa V (f ; R) = supa,b∈R,a
|f(a)− f(b)|, kao i da za monotonu funkcijuvaжi V (f ; a, b) =
|f(a) − f(b)|.
Primer 4. Neka je f(x) =n
1, za x = 120, za x ∈ [0, 1] \ { 12}
,
g(x) =n
1, za x ∈ Q0, za x ∈ [0, 1] \ Q i h(x) =
nx sin 1
x, za x ∈ (0, 1]
0, za x = 0.
Kako je |f(x) − f(y)| jednako 0 ako su x, y 6= 12 , odnosno 1
ako je jednaod x i y jednaka 12 , sledi da je V (f ; 0, 1) = 2. Za
svako n ∈ N neka su0 = q1 < . . . < qn = 1 racionalni brojevi
i qk < ik < rk+1 iracionalnibrojevi (kako su skupovi
racionalnih i iracionalnih gusti u [0, 1]),
11
-
za podelu P generisanoj tim brojevima vaжi VP (g) = 2n. Kako je
n ∈ NproizvoƩno, sledi da g nije ograniqene varijacije na [0, 1].
Ako jex0 = 0, xn =
12nπ+ π
2
i yn =1
2nπ za n ∈ N, nizovi (xn)n∈N i (yn)n∈N suopadaju�i i vaжi xk
< yk < xk−1 za k > 2, kao i h(xn) =
12nπ+ π
2
i
h(yn) = 0 za n ∈ N, pa podeli x0 < xn < yn < xn−1 <
. . . < x1 < y1 < 1odgovara varijacija koja je ve�a od
nPk=1
|h(xk) − h(yk)| =nP
k=1
12kπ+ π
2
, a
kako∞P
n=1
12nπ+ π
2
divergira, sledi da h nije ograniqene varijacije.
Po prethodnom primeru vidimo da je klasa funkcija
ograniqenevarijacije neuporediva sa klasom neprekidnih
funkcija.
Lema 7. (a) Prostor BV [a, b] je vektorski prostor.(b) Ako je
funkcija f : [a, b] → C Lipxicova (tj. ako postoji L ∈ R,
tako da za sve x, y ∈ [a, b] vaжi |f(x)−f(y)| 6 L|x−y|), onda je
f ∈ BV [a, b].(v) Ako je f : [a, b] → R neprekidna na [a, b],
diferencijabilna na
(a, b) i supx∈(a,b)
|f ′(x)| < ∞, onda je f ∈ BV [a, b].
Dokaz. (a) Ako je f, g ∈ BV [a, b], kako je |(f + g)(x) − (f +
g)(y)| =|(f(x)−f(y))+(g(x)−g(y))| 6 |f(x)−f(y)|+|g(x)−g(y)| i
|(cf)(x)−(cf)(y)| =|c| · |f(x) − f(y)|, sledi tvr�eƬe (a).
(b) Za podelu P datu sa a = x0 6 x1 6 . . . xn = b vaжi VP (f)
=nP
k=1
|f(xi)−f(xi−1)| 6 L·nP
k=1
|xi−xi−1| = L·(b−a), pa je i V (f ; a, b) 6 L·(b−a).(v) Ako je M
= sup
x∈(a,b)|f ′(x)|, za svako x, y ∈ [a, b], x 6= y, po
Lagranжevoj teoremi, za neko ξ izme�u x i y vaжi |f(x) − f(y)|
=|f ′(ξ)(x − y)| 6 M · |x − y|, pa tvr�eƬe sledi iz dela (b).
Primetimo da iz pokazanog u delu (a) sledi i vixe, da vaжi V (f
+g; a, b) 6 V (f ; a, b) + V (g; a, b) i V (cf ; a, b) 6 |c| · V (f
; a, b) za svako c ∈ C.Me�utim, iz V (f ; a, b) = 0 sledi da je f
konstantna funkcija. Akoжelimo da varijacija predstavƩa normu,
moжemo se ograniqiti dapotprostor prostora BV [a, b], prostor
funkcija za koje je f(a) = 0i taj prostor nazivamo normiranim
prostorom funkcija ograniqenevarijacije na [a, b], u oznaci NBV [a,
b]. Sliqna konstrukcija se moжesprovesti na funkcijama ograniqene
varijacije na R (na primer, uzuslov lim
x→−∞f(x) = 0).
Lema 8. Neka je f : [a, b] → C.(a) Ako je P ′ finija podela od
podele P (tj. svi qvorovi podele P
su i qvorovi podele P ′), onda je VP (f) 6 VP ′ (f).(b) Ako je
[c, d] ⊆ [a, b], onda je V (f ; c, d) 6 V (f ; a, b).(v) Ako je a
< c < b, onda je V (f ; a, b) = V (f ; a, c) + V (f ; c,
b).
Dokaz. (a) Sledi neposredno iz nejednakosti trougla za
apsolutnuvrednost.
12
-
(b) Za proizvoƩnu podelu P , c = x0 < x1 < . . . < xn =
d intervala[c, d] uoqimo podelu P1 intervala [a, b], datu sa a 6 x0
< x1 < . . . <xn 6 b. Oqigledno je VP (f) 6 VP1(f) 6 V (f
; a, b), odakle se prelaskomna supremum po svim podelama intervala
[c, d] dobija tvr�eƬe.
(v) Ako je P podela intervala [a, b], a P ′ podela kojoj nastaje
od PdodavaƬem taqke c (ukoliko ve� nije u podeli), vaжi VP (f) 6 VP
′(f).Podela P ′ se moжe razdvojiti na dve podele, P1 koja je podela
inte-rvala [a, c] i P2 koja je podela intervala [c, b], pa je VP
(f) 6 VP ′(f) =VP1(f) + VP2(f) 6 V (f ; a, c)+ V (f ; c, b), odakle
se prelaskom na supremumpo svim podelama intervala [a, b] dobija V
(f ; a, b) 6 V (f ; a, c)+V (f ; c, b).Sa druge strane, svaka
podela P1 intervala [a, c] i podela P2 inte-rvala [c, b] generixe
podelu P intervala [a, b] (podela u kojoj uqestvujusve podeone
taqke koje uqestvuju u uoqenim podelama), pa je VP1(f) +VP2(f) = VP
(f) 6 V (f ; a, b). Prelaskom na supremum po svim podelamaP1
intervala [a, c] i supremum po svim podelama P2 intervala [c,
b],dobija se V (f ; a, c) + V (f ; c, b) 6 V (f ; a, b).
Za x ∈ R, neka je x+ = max{x, 0} i x− = −min{x, 0}. Jasno, vaжix
= x+ − x− i |x| = x+ + x−.
Definicija 7. Neka je f : [a, b] → R. Za podelu P , datu
qvorovimaa = x0 < x1 < . . . < xn = b, neka je V
+P (f) =
nPk=1
(f(xk) − f(xk−1))+ i
V −P (f) =nP
k=1
(f(xk) − f(xk−1))−. Veliqinu V +(f ; a, b) = supP∈P
V +P (f), gde je
P skup svih konaqnih podela [a, b], nazivamo pozitivnom
varijacijomfunkcije f na intervalu [a, b], a veliqinu V −(f ; a, b)
= sup
P∈PV −P (f), gde je
P skup svih konaqnih podela [a, b], nazivamo negativnom
varijacijomfunkcije f na intervalu [a, b].
Oqigledno je V +P (f) + V−P (f) = VP (f) i V
+P (f) − V −P (f) = f(b) − f(a).
Tako�e, neposredno sledi da su V (f ; a, x), V +(f ; a, x) i V
−(f ; a, x)neopadaju�e funkcije (po x ∈ [a, b]), kao i da je 0 6 V
+(f ; a, x) 6V (f ; a, x) i 0 6 V −(f ; a, x) 6 V (f ; a, x) za
svako x ∈ [a, b]. Iz nave-denog, sledi da ako je f ∈ BV [a, b]
realnovrednosna funkcija, ondaje V −(f ; a, b), V +(f ; a, b) <
∞ i vaжi V −(f ; a, b) + V +(f ; a, b) = V (f ; a, b) iV +(f ; a,
b) − V −(f ; a, b) = f(b) − f(a).
Teorema 2 (Жordanovo razlagaƬe). Ako je f : [a, b] → R onda
suslede�a tvr�eƬa ekvivalentna:
(1) f ∈ BV [a, b];(2) postoje neopadaju�e ograniqene f1, f2 :
[a, b] → R, takve da je
f(x) = f1(x) − f2(x) za svako x ∈ [a, b].
Dokaz. Trivijalno je (2) ⇒ (1), dok funkcije f1(x) = V +(f ; a,
x) if2(x) = V
−(f ; a, x), po prethodno dokazanom, zadovoƩavaju uslove
dela(2), pa sledi i (2) ⇒ (1).
13
-
Primetimo da razlagaƬe iz prethodne teoreme nije jedinstveno(ako
je g : [a, b] → R neopadaju�a funkcija, onda i funkcije f1 + g if2
+ g daju traжeno razlagaƬe).
Primer 5. Ako je f funkcija iz primera 4, onda za
f1(x) =n
0, za x ∈ [0, 12 )1, za x ∈ [ 12 , 1]
i f2(x) =n
0, za x ∈ [0, 12 ]1, za x ∈ (12 , 1]
vaжi f = f1 − f2 i f1 i f2 su neopadaju�e i ograniqene.
Lema 9. Ako je f ∈ BV [a, b] i c ∈ (a, b), onda postoje
limx→c−
f(x) i
limx→c+
f(x).
Dokaz. Po Жordanovoj dekompoziciji, vaжi f = f1 − f2, gde su f1i
f2 neopadaju�e funkcije. Sledi da postoje lim
x→c−f1(x), lim
x→c+f1(x),
limx→c−
f2(x) i limx→c+
f2(x), odakle sledi tvr�eƬe leme.
4. Taqka po taqka i ravnomerna konvergencija
trigonometrijskih redova
Lema 10 (Princip lokalizacije). Ako je f : R → R 2π periodiqnai
apsolutno integrabilna funkcija na [−π, π], onda za svako δ ∈ (0,
π)vaжi
limn→∞
hSn(f ; x) −
1
2π·Z δ
0[f(x + t) + f(x − t)]Dn(t)dt
i= 0.
Dokaz. Po delu (a) leme 4 i kako je Dn parna funkcije, vaжi
Sn(f ; x) =12π ·
R π−π f(x − t)Dn(t)dt = 12π ·
R 0−π f(x − t)Dn(t)dt +
R π0 f(x −
t)Dn(t)dt
= 12π ·R π0
f(x + t) + f(x − t)
Dn(t)dt (u prvom integralu je
sprovedena smena u = −t), pa je Sn(f ; x)− 12π ·R δ0
[f(x+t)+f(x−t)]Dn(t)dt =
12π ·
R πδ [f(x+ t)+f(x− t)]Dn(t)dt = 12π ·
R πδ
f(x+t)+f(x−t)sin t
2
·sin(n+ 12 )tdt → 0 kadn → ∞, po Riman–Lebegovoj lemi, poxto na
[δ, π] vaжi sin t2 > sin δ2 , paje funkcija f(x+t)+f(x−t)
sin t2
apsolutno integrabilna na [δ, π].
Prethodna lema govori da na konvergenciju Furijeovog reda
apso-lutno integrabilne funkcije u nekoj taqki (da li konvergira,
i, akokonvergira, ka qemu konvergira) utiqu samo vrednosti te
funkcije uproizvoƩnoj okolini te taqke (qak, poxto na vrednost
integrala neutiqe izmena funkcije u konaqno mnogo taqaka, qak ne
utiqe ni samavrednost funkcije u toj taqki). Ovo nam omogu�ava da u
nastavkuizvedemo zakƩuqke o konvergenciji Furijeovog reda u
proizvoƩnojtaqki.
14
-
Teorema 3. Neka je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno
integrabilnafunkcija na [−π, π] i x ∈ R takva da postoje f(x−) =
lim
t→x−f(t) i f(x+) =
limt→x+
f(t).
(a) (Dinijev kriterijum) Ako za neko 0 < δ < π apsolutno
konver-
giraR δ0
ϕx(t)t
dt, gde je ϕx(t) = f(x + t) + f(x− t)− f(x+)− f(x−), onda
jelim
n→∞Sn(f ; x) =
f(x+)+f(x−)2 .
(b) (Lipxicov kriterijum) Ako postoji L > 0, tako da za
svakot > 0 vaжi |f(x − t) − f(x−)| < Lt i |f(x + t) − f(x+)|
< Lt, onda jelim
n→∞Sn(f ; x) =
f(x+)+f(x−)2 .
(v) Ako je f ∈ ÜC(1)(−π, π), onda je limn→∞
Sn(f ; x) = f(x) .
Dokaz. (a) Po principu lokalizacije, dovoƩno je dokazati da
je
limn→∞
12π ·
R δ0 [f(x + t) + f(x − t)]Dn(t)dt =
f(x+)+f(x−)2 . Kako za svako n ∈
N vaжi 12π ·R π0 Dn(t)dt =
12 , sledi
12π ·
R δ0 [f(x + t) + f(x − t)]Dn(t)dt −
f(x+)+f(x−)2 =
12π ·
R δ0 [f(x + t) + f(x− t)− f(x+)− f(x−)]Dn(t)dt− (f(x+) +
f(x−)) · 12π ·R π
δ Dn(t)dt.
Podintegralna funkcija u prvom integralu je ϕx(t)t
· tsin t
2
·sin(n+ 12 )t,pa kako je t
sin t2
ograniqena, a ϕx(t)t
apsolutno integrabilna na [0, δ],
prvi integral teжi ka 0 kad n → ∞, na osnovu Riman–Lebegove
leme.Podintegralna funkcija u drugom integralu je 1
sin t2
·sin(n+ 12 )t, pa kakoje 1
sin t2
apsolutno integrabilna na [δ, π] i ovaj integral teжi ka 0,
na
osnovu Riman–Lebegove leme.
(b) Kako je��ϕx(t)
t
�� 6 �� f(x+t)−f(x+)t
��+��f(x+t)−f(x+)t
�� 6 2L, tvr�eƬe sledina osnovu dela (a).
(v) Ako postoje f ′−(x) i f′+(x), sledi Lipxicov uslov, pa na
osnovu
dela (b) sledi da je limn→∞
Sn(f ; x) =f(x+)+f(x−)
2 . Me�utim, za funkcije
iz ÜC(1)(−π, π) vaжi f(x+)+f(x−)2 = f(x), pa sledi i
tvr�eƬe.Lema 11. (a) Ako je δ > 0 i f : (x, x + δ] → R
neopadaju�a funkcija.Onda je lim
λ→∞
R δ0 f(x + t) · sin λtt dt = π2 · f(x+).
(b) Ako za neko δ > 0 i interval [a, b] je f : [a−δ, b+δ]
monotona, ondalim
λ→∞
R δ0 f(x + t) · sin λtt dt = π2 · f(x+) i limλ→∞
R δ0 f(x − t) · sin λtt dt = π2 · f(x−)
ravnomerno po x ∈ [a, b].
Dokaz. (a) Kako je f monotona, postoji f(x+). Definiximo f(x)
=
f(x+). Onda je J =R δ0 f(x + t) · sin λtt dt =
R δ0 (f(t) − f(x)) · sin λtt dt + f(x) ·R δ
0sin λt
tdt.
Kako je I =R∞0
sin tt
dt konvergentan (Dirihleov integral; videti ideo posve�en
parametarskim integralima) i vaжi
15
-
I =
Z ∞0
sin t
Z ∞0
e−atdadt =
Z ∞0
Z ∞0
e−at sin tdtda
=
Z ∞0
−ae−at sin t − e−at cos t1 + a2
��∞0
da =
Z ∞0
da
1 + a2=
π
2,
smenom u = λt sledi da jeR δ0
sin λtt
dt =R λδ0
sin uduu
→ π2 kad λ → ∞, padrugi sabirak u J teжi ka π2 · f(x) kad λ → ∞,
odnosno, dovoƩno jepokazati da prvi teжi ka 0, kad λ → ∞.
Po drugoj teoremi o sredƬoj vrednosti za integrale, slediR δ0
(f(x+
t) − f(x)) · sin λtt
dt = (f(x + δ) − f(x))R δ
ξsin λt
tdt, za neko ξ ∈ [0, δ). Ako je
ξ = 0, slediR δ0 (f(x+ δ)−f(x+ t)) · sin λtt dt = 0 i
podintegralna funkcija
je nenegativna, pa je f konstantna i u tom sluqaju je prvi
sabirak u Jjednak 0. Ako je ξ > 0, smenom u = λt dobija se da je
prvi sabirak u Jjednak (f(x+δ)−f(x))
R λδλξ
sin uu
du → 0 kad λ → ∞ (jer je I konvergentan).(b) U proceni iz dela
(a), primetimo da (pored dobre definisa-
nosti svih izraza koji se javƩaju, pod uslovima teoreme), vaжi
f(x) ·R δ0
sin λtt
dt ⇉ f(x+)2 na [a, b], jer je f ograniqena na [a, b], kao i
(f(x+ δ)−f(x))
R δξ
sin λtt
dt ⇉ 0 na [a, b], jer je f(x+δ)−f(x) ravnomerno ograniqenana [a,
b], a uoqeni integral ne zavisi od x i teжi ka 0.
Teorema 4. Neka je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno
integrabilnafunkcija na [−π, π].
(a) (Жordan–Dirihleov kriterijum) Ako za neko 0 < δ < π
vaжi
f ∈ BV [x − δ, x + δ], onda je limn→∞
Sn(f ; x) =f(x+)+f(x−)
2 .
(b) (Dirihleova teorema) Ako f ima konaqno prekida prve vrstei
konaqno ekstremnih vrednosti na [x− δ, x + δ], onda je lim
n→∞Sn(f ; x) =
f(x+)+f(x−)2 .
Dokaz. Po lemi 9 postoje f(x−) i f(x+). Tako�e, kako se
funkcijaograniqene varijacije moжe prikazati kao razlika dve
neopadaju�e(videti teoremu 2) i kako su obe strane linearne po f ,
dovoƩno jedokazati tvr�eƬa za neopadaju�u funkciju.
(a) Na osnovu leme 11 je 12π ·R δ0 f(x + t)Dn(t)dt =
1π·R δ0 f(x + t)
t2
sin t2
·sin(n+ 1
2)t
tdt → f(x+)2 kad n → ∞, jer su f(x + t) i
t2
sin t2
neopadaju�e na
(0, δ] i vaжi limt→0
t2
sin t2
= 1. Analogno, 12π ·R δ0 f(x − t)Dn(t)dt →
f(x−)2 kad
n → ∞.(b) Kako je funkcija sa navedenim svojstvima i ograniqene
vari-
jacije na [x − δ, x + δ], ovaj deo sledi direktno iz dela
(a).Primetimo da smo pored apsolutne integrabilnosti u svakom
tvr�eƬu traжili jox neki (i to netrivijalan) uslov. Qak ni
podjaqim uslovom od apsolutne integrabilnosti, na primer pod
uslovom
16
-
neprekidnosti 2π periodiqne funkcije nije mogu�e obezbediti
konve-rgenciju odgovaraju�eg Furijeovog reda (postoji neprekidna
funkcijaqiji Furijeov red ne konvergira u nekim taqkama). Ovde su
nave-deni neki od uslova koji obezbe�uju konvergenciju u
odgovaraju�ojtaqki. Me�utim, takvih uslova ima mnogo (po ubeniqkoj
literaturise obiqno, pored navedenih, obiqno navode jox Helderovi
uslovi, kojiuopxtavaju navedeni Lipxicov kriterijum). Ovi uslovi
nisu upore-divi, a ne postoje uslovi koji bi objediƬavali sve
uslove. Pritom�e za naxe potrebe do sada navedeni uslovi biti
dovoƩni, pa stogane�emo navoditi daƩe uslove koji mogu obezbediti
pomenutu konve-rgenciju.
Kako su parcijalne sume Furijeovog reda neprekidne, ukoliko
onena nekom intervalu konvergiraju, graniqna vrednost mora biti
nepre-kidna funkcija. Stoga, prilikom ispitivaƬa ravnomerne
konver-gencije na nekom intervalu, dovoƩno je posmatrati samo
neprekidnefunkcije na tom intervalu.
Teorema 5. Neka je f : R → R 2π periodiqna, apsolutno
integrabilnafunkcija na [−π, π] i neprekidna na [a, b].
(a) (Dinijev kriterijum) Ako za neko 0 < h < π ravnomerno
po
x ∈ [a, b] konvergiraR h0
|ϕx(t)|t
dt, gde je ϕx(t) = f(x + t) + f(x− t)− 2f(x),onda Sn(f ; x) ⇉
f(x) na [a, b], kad n → ∞.
(b) (Lipxicov kriterijum) Ako postoje L > 0 i h > 0, tako
da zasve x, y ∈ [a − h, b + h] vaжi |f(x) − f(y)| < L|x − y|,
onda Sn(f ; x) ⇉ f(x)na [a, b], kad n → ∞.
(v) Ako je f diferencijabilna i |f ′(x)| ograniqen na [a, b],
ondaSn(f ; x) ⇉ f(x) na (a, b), kad n → ∞.
Dokaz. (a) Kako jet2
sin t2
pozitivna i ograniqena na (0, π] (i neka joj je
ograniqeƬe M), za svako ε > 0 postoji δ, tako da je prvi od
integrala
u zagradi (u izrazu koji sledi) ne ve�i od 1π·R δ0
��ϕx(t)t
�� · �� t2sin t
2
��dt 6Mπ
·R δ0
|ϕx(t)|t
dt < ε, a ako jox izaberemo δ < h, posledƬe vaжi za svex ∈
[a, b] (po ravnomernoj konvergenciji integrala iz uslova
teoreme).
Kako je Sn(x)−f(x) = 1π ·hR δ
0ϕx(t)
t·
t2
2 sin t2
· sin(n+ 12 )tdt+R π
δϕx(t)
t·
t2
2 sin t2
·
sin(n + 12 )tdti, dovoƩno je jox proceniti drugi integral koji
se javƩa
u prethodnoj zagradi.Za izabrano ε, kako je 1
sin t2
rastu�a na (0, π], sledi da je drugi inte-
gral u zagradi jednak 12π · 1sin δ2
·R ξ
δ ϕx(t) sin(n +12 )tdt +
12π ·
R πξ ϕx(t) sin(n +
12 )tdt za neko ξ ∈ [δ, π] (po drugoj teoremi sredƬe vrednosti
zaintegrale), pa je dovoƩno dokazati da posledƬe dobijeni
integraliravnomerno konvergiraju na [a, b] ka 0 kad n → ∞.
VaжiR ξ
δ f(x) sin(n +12 )tdt → 0 kad n → ∞, po Riman–Lebegovoj lemi
i u ovom sluqaju je konvergencija trivijalno i ravnomerna na [a,
b].
17
-
Sliqno,R ξ
δ f(x + t) sin(n +12 )tdt =
R ξ+xδ+x f(u) sin(n +
12 )(u − x)du = cos(n +
12 )x·
R ξ+xδ+x f(u) sin(n+
12 )udu−sin(n+ 12 )x·
R ξ+xδ+x f(u) cos(n+
12 )udu kad n → ∞,
po Riman–Lebegovoj lemi, a lako se vidi da je i u ovom sluqaju
konve-rgencija ravnomerna na [a, b]. Analogno se ravnomerna
konvergencijapokazuje za f(x − t), kao i za integrale po [ξ,
π].
(b) Vaжi |ϕx(t)| 6 |f(x + t) − f(x)| + |f(x − t) − f(x)| 6 2Lt
za svakox ∈ [a + δ, b − δ] i 0 < t < δ, pa je |ϕx(t)|
t6 2L za 0 < t < δ. Sledi da su
ispuƬeni uslovi dela (a), qijom primenom sledi tvr�eƬe.(v) Ako
je L = sup
x∈[a,b]|f ′(x)|, po Lagranжevoj teoremi, za svako x, y ∈
[a, b] je |f(x)− f(y)| = |f ′(ξ)(x− y)| 6 L|x− y| (za neko ξ
izme�u a i b), pasu zadovoƩeni uslovi Lipxicovog kriterijuma, pa po
delu (b) sleditvr�eƬe.
Teorema 6. Neka je f : R → R 2π periodiqna i apsolutno
integrabilnafunkcija na [−π, π].
(a) (Жordan–Dirihleov kriterijum) Ako za neko 0 < δ < π
vaжif ∈ BV [a − δ, b + δ], onda Sn(f ; x) ⇉ f(x) kad n → ∞ na [a,
b].
(b) (Dirihleov kriterijum) Ako je f neprekidna i ima
konaqnoekstremnih vrednosti na [a − δ, b + δ], onda je Sn(f ; x) ⇉
f(x) na [a, b],kad n → ∞.
Dokaz. (a) Kako je f ∈ BV [a−δ, b+δ], predstavƩa se kao razlika
dveneopadaju�e funkcije, a kako su strane u uoqenoj graniqnoj
vrednostilinearne, dovoƩno je tvr�eƬe dokazati za neopadaju�u
funkciju.
Na osnovu dela (b) leme 11 je 12π ·R δ0 f(x+t)Dn(t)dt =
1π·R δ0 f(x+t)
t2
sin t2
·sin(n+ 1
2)t
tdt ⇉ f(x)2 na [a, b], kad n → ∞, jer su f(x+ t) i
t2
sin t2
neopadaju�e
na (0, δ] i vaжi limt→0
t2
sin t2
= 1. Analogno, 12π ·R δ0 f(x − t)Dn(t)dt ⇉
f(x)2 na
[a, b], kad n → ∞. Iz prethodno dokazanog sledi tvr�eƬe.(b) Kako
je funkcija sa navedenim svojstvima i ograniqene vari-
jacije na [a − δ, b + δ], ovaj deo sledi direktno iz dela (a).I
za ravnomernu konvergenciju i uslove koji je obezbe�uju vaжe
sliqni komentari kao i komentari dati nakon teoreme 3, pa ihovog
puta ne�emo navoditi. Kako niz parcijalnih suma neprekidnefunkcije
ne mora konvergirati ni taqka po taqka, tim pre ne morakonvergirati
ni ravnomerno. Ipak, uz ,,malo popravƩaƬe konverge-ncije”, moжe se
dobiti slede�i vrlo interesantan rezultat.
Teorema 7 (Fejer). Ako je f : R → R neprekidna 2π
periodiqnafunkcija, onda Cn(f ; x) ⇉ f(x) na R, kad n → ∞.
Dokaz. Kako je f neprekidna na [−2π, 2π], onda je ograniqena
iravnomerno neprekidna, tj. postoje M tako da je |f(x)| 6 M za
svakox ∈ [−2π, 2π] i za svako ε > 0 postoji δ > 0 tako da za
|x − y| < δ vaжi|f(x) − f(y)| < ε za sve x, y ∈ [−2π, 2π].
Kako je f 2π periodiqna, vaжi
18
-
|f(x)| 6 M za x ∈ R, a (uzevxi δ < π), sledi i da iz |x − y|
< δ sledi|f(x) − f(y)| < ε za sve x, y ∈ R.
Na osnovu osobina Fejerovoj jezgra, sledi��Cn(f ; x) − f(x)�� =
�� 12π ·R π
−π(f(x−t)−f(x))Fn(t)dt�� 6 12π ·hR δ−δ
|f(x−t)−f(x)|Fn(t)dt+Rδ6|x|6π |f(x−
t) − f(x)|Fn(t)dti
6 12π ·hε ·
R δ−δ Fn(t)dt + 2M
Rδ6|x|6π Fn(t)dt
i6 12π ·
h2πε +
2MR
δ6|x|6π Fn(t)dti→ ε kad n → ∞, pa kako je ε > 0 proizvoƩno
i
procena vaжi za svako x ∈ R, sledi da Cn(f ; x) ⇉ f(x) na R kad
n →∞.
5. Potpunost trigonometrijskog sistema
Po Fejerovoj teoremi, za svaku neprekidnu 2π periodiqnu
funkcijuf , postoji trigonometrijski polinom koji je aproksimira do
naproizvoƩnu taqnost u uniformnoj normi. Kako konvergencija u
uni-formnoj normi na [−π, π] povlaqi sredƬe kvadratnu
konvergenciju,sledi da su polinomi gusti i u neprekidnim funkcijama
u metriciindukovanoj sredƬe kvadratnom konvergencijom.
Primetimo jox da ako je f kvadratno integrabilna funkcijana [−π,
π], onda se |f | moжe do na proizvoƩnu taqnost aproksimi-rati
neprekidnom funkcijom. Zaista, svaka kvadratno integra-bilna u
nesvojstvenom smislu se moжe do na proizvoƩnu taqnostaproksimirati
kvadratno integrabilnom u svojstvenom smislu, aona se moжe do na
proizvoƩnu taqnost aproksimirati jednostavnomfunkcijom (funkcijom
qija je slika konaqna), pa se problem svodi naaproksimaciju do na
proizvoƩnu taqnost karakteristiqne funkcijeintervala. PosledƬe se
moжe uraditi izmenom te karakteristiqnefunkcije u linearnu na
dovoƩno malom skupu (poxto takva izmenautiqe na vrednost integrala
do na proizvoƩnu taqnost).
Po svemu navedenom, sledi da je sistem�
1√2
©∪�cosnx, sin nx | n ∈
N©
potpun u skupu svih kvadratno integrabilnih funkcija.
Primenom
rezultata dela 1.3.1, dobijaju se odgovaraju�e posledice za
uoqenitrigonometrijski sistem. Navex�emo neke od Ƭih.
Teorema 8. Neka je f : R → R 2π periodiqna i kvadratno
integrabilnafunkcija na [−π, π], a (an)n∈N0 i (bn)n∈N Ƭeni
Furijeovi koeficijenti.
(a) (Beselova nejednakost) Za svako n ∈ N vaжi |a0|2
2 +nP
k=1
(|ak|2 +
|bk|2) 6 1π ·R π−π |f(x)|2dx. Sledi, red u prethodnoj vezi je
konvergentan
i vaжi an → 0 i bn → 0 kad n → ∞.(b) Sn(f ; x) teжi ka f(x) kad
n → ∞, sredƬe kvadratno.
19
-
(v) (Parsevalova jednakost) 1π·R π−π |f(x)|2dx =
|a0|22 +
∞Pn=1
(|an|2+|bn|2).(g) Ako je i f : R → R 2π periodiqna i kvadratno
integrabilna
funkcija na [−π, π], vaжiR π−π Sn(f ; x)g(x)dx →
R π−π f(x)g(x)dx kad n → ∞.
(d) Ako je f ∈ ÜC(−π, π) i vaжi an = 0 za n ∈ N0 i bn = 0 za n ∈
N,onda je f ≡ 0.
Primer 6. Dokaжimo da za |t| 6 π vaжi t3 − π2t = 12 ·∞P
n=1
(−1)n · sin ntn3
i koriste�i dobijeni rezultat izraqunajmo∞P
n=1
1n6
. Kako je funkcija
f(t) = t3 − π2t je neprekidna na [−π, π] i vaжi f(−π) = f(π),
moжe serazviti u Furijeov red i jednaka mu je u svakoj taqki. Kako
je fneparna funkcija, sledi an = 0 za n ∈ N0, a za n ∈ N vaжi
bn =2
π·Z π
0f(t) sin ntdt =
2
nπ·§
(t3 − π2t) cosnt����π
0
−Z π
0(3t2 − π2) cos ntdt
ª= − 2
n2π·§
(3t2 − π2) sin nt����π
0
−Z π
06t sinntdt
ª=
12
n3π·§
t cosnt
����π0
−Z π
0cosntdt
ª=
12
n3π·§
(−1)nπ −sin nt
n
����π0
ª= 12 · (−1)
n
n3,
odakle sledi prvi traжeni identitet (poxto je f neprekidna
funkci-
ja, izraz f(t−)+f(t+)2 je u svakoj taqki jednak f(t)).
Iz Parsevalove jednakosti sledi∞P
n=1
144n6
=∞P
n=1
b2n =2π·R π0 f
2(t)dt =
2π·R π0 (t
6−2π2t4+π4t2)dt = 2π·h
t7
7 − 2π2t5
5 +π4t3
3
i���π0
= 2π6 ·�
17 − 25 + 13
�= 16π
6
105 ,
pa sledi∞P
n=1
1n6
= π6
945 .
6. Integracija i diferenciraƬe trigonometrijskih redova
Kako je pokazano u odeƩku o ravnomernoj konvergenciji redova,
uko-liko red ravnomerno konvergira, moжe se integraliti qlan po
qlan.Tako�e, izveli smo i oggovaraju�u teoremu o diferenciraƬu.
Me�u-tim, kako je vi�eno u prethodnom delu, uslovi ravnomerne
konverge-ncije Furijeovih redova je priliqno neprijatni za
ispitivaƬe, pa�emo u ovom delu pokazati da se integracija i
diferenciraƬe Fu-rijeovih redova moжe sprovesti i drugim metodama,
koje su lakxe zaprimenu.
20
-
Lema 12. Neka je f : [−π, π] → R apsolutno integrabilna
funkcija, ko-joj odgovara razvoj u Furijeov red f(x) ∼ a02 +
∞Pn=1
(an cosnx + bn sin nx).
Onda za sve c, d ∈ [−π, π], c < d, vaжiR d
c f(x)dx =R d
ca02 dx +∞P
n=1
R dc (an cosnx + bn sin nx)dx.
Dokaz. Neka je F (x) =R x0 (f(t)− a02 )dt (smatramo da je
R x0 = −
R 0x , ako
je x < 0; analogno smatramo za integral ako se desi da je c
> d). Ondaje F (π)−F (−π) =
R π−π f(t)dt−2π · a02 = 0. Ako je −π = x0 < x1 < . . .
< xn =
π, onda jenP
k=1
|F (xk)−F (xk−1)| 6nP
k=1
R xkxk−1
|f(t)− a02 |dt 6R π−π |f(t)− a02 |dt <
∞, jer je f apsolutno integrabilna. Sledi da je F ograniqene
vari-jacije na [−π, π], pa ima razvoj u Furijeov red. Tako�e, po
Жordan–Dirihleovom kriterijumu, sledi da Ƭen Furijeov red
konvergira (qakravnomerno na [−π, π]).
Ako su (An)n>0 i (Bn)n>1 Ƭeni Furijeovi koeficijenti,
vaжiAn =
1π
·R π−π F (x) cos nxdx =
1π
·R π−π cosnx
R x0 (f(t) − a02 )dtdx = 1π ·R π
−π(f(t) − a02 )R π
t cosnxdxdt = − 1nπ ·R π−π(f(t) − a02 ) sin ntdt = −
bnn
i Bn =1π·R π−π F (x) sin nxdx =
1π·R π−π sin nx
R x0 (f(t) − a02 )dtdx = 1π ·
R π−π(f(t) −
a02 )
R πt sin nxdxdt =
1nπ
·R π−π(f(t) − a02 )(cos nt − (−1)n)dt =
ann
za n ∈ N.Kako je F (x) = A02 +
∞Pn=1
(An cosnx + Bn sin nx) =∞P
n=1
− bn
n· cosnx +
ann· sin nx
(jednakost za svako x je ustanovƩena Жordan–Dirihleovim
kriterijumom), zamenom x = 0 dobijamo 0 = F (0) = A02 −∞P
n=1
bnn
, odakle
dobijamo i A0.
Konaqno, slediR x0 f(t)dt − a02 · x =
∞Pn=1
bnn
· (1 − cosnx) + ann
· sinnx,
xto je tvr�eƬe za [c, d] = [0, x]. Me�utim, kako jeR d
c =R d0 −
R c0 , odavde
sledi i celo tvr�eƬe.
Primetimo da tvr�eƬe vaжi bez obzira da li Furijeov redfunkcije
f konvergira, tj. Furijeov red apsolutno integrabilnefunkcije uvek
moжemo integraliti. Tako�e, u dokazu je pokazano
da za koeficijente (bn)n∈N te funkcije je red∞P
n=1
bnn
uvek konverge-
ntan (xto ima vaжnost i mimo ove teoreme). U dokazu teoreme
jezapravo ,,izokola” sprovedena parcijalna integracija. Razlog
tomeje xto funkcija F ne mora biti diferencijabilna (takva je ako
je fneprekidna). Dokaz je mogao biti i sproveden parcijalnom
integraci-jom, ali za Riman–Stiltjesov integral (ispuƬeni su uslovi
za takvuparcijalnu integraciju, poxto je F ograniqene varijacije na
[−π, π]).
Lema 13. Neka je f : R → R 2π periodiqna diferencijabilna
funkcija.
21
-
Ako je f(x) ∼ a02 +∞P
n=1
(an cosnx+bn sin nx), onda je f ′(x) ∼∞P
n=1
(nbn cosnx−nan sin nx).
Dokaz. Primetimo da zbog 2π periodiqnosti vaжi f(−π) = f(π).Ako
su (An)n∈N0 i (Bn)n∈N Furijeovi koeficijenti funkcije f
′, vaжi
A0 =1π·R π−π f
′(x)dx =f(x)
��π−π = 0 i za svako n ∈ N parcijalnom
integracijom sledi An =1π·R π−π f
′(x) cosnxdx = 1π·f(x) cosnx
��π−π +
nπ·R π
−π f(x) sin nxdx = nbn i Bn =1π·R π−π f
′(x) sin nxdx = 1π·f(x) sin nx
��π−π −
nπ·R π−π f(x) cosnxdx = −nan, odakle sledi tvr�eƬe.
Primetimo da, ukoliko f ′ zadovoƩava neki od uslova
konverge-ncije u nekoj taqki x (na primer Dinijev, Lipxicov ili
Жordan–Dirihleov), onda u prethodnoj teoremi vaжi i jednakost
funkcije utoj taqki sa odgovaraju�im Furijeovim redom.
Primer 7. Funkcija iz primera 6 je diferencijabilna na (−π, π)
ivaжi f(−π) = f(π). ƫena izvodna funkcija 3t2 − π2 je
Lipxicova.Iskoristimo dobijene rezultate da izraqunamo
∞Pn=1
1n2
i∞P
n=1
1n4
.
Red∞P
n=1
(−1)n · 12n2
· cosnt apsolutno konvergira, pa se dobijeni Fu-
rijeov red moжe diferencirati qlan po qlan i vaжi 3t2 − π2
=∞P
n=1
(−1)n · 12n2
· cosnt. Za t = π dobija se 2π2 = 12 ·∞P
n=1
1n2
, pa sledi
∞Pn=1
1n2
= π2
6 .
Iz Parsevalove jednakosti, primeƬenog na razvoj funkcije f
′(t),
dobija se∞P
n=1
144n4
= 2π·R π0 (f
′(t))2dt = 2π·R π0 (9t
4 − 6π2t2 + π4)dt = 2π·
9t5
5 −
2π2t3 + π4t��π
0= 2π4 ·
95 − 2 + 1
= 8π
4
5 , pa sledi∞P
n=1
1n4
= π4
90 .
Primer 8. Funkciju f(x) = tg x4 razviti u Furijeov red na [−π,
π].Primer 9. Funkciju f(x) = ln(5 − 4 cosx) razviti u Furijeov red
na[−π, π]. Koriste�i dobijeni razvoj, izraqunati
∞Pn=1
123n+1(3n+1) .
22