Funktio - Edita Publishing · Piirrä funktion g(x) = –x4 + 7x3 – 6x + 1 kuvaaja. Määritä kuvaajasta funktion suurin arvo välillä –1 ≤ x ≤ 7 ja tällä välillä olevat

Funktio 91

Funktio

Funktion ja muuttujan arvon laskeminen

Funktio on kahden luvun riippuvuuden ilmaiseva sääntö, joka annetaan usein laskulausekkeena.

ESIMERKKI 1 Tarkastele funktiota f(x) = –3x + 17.a) Laske funktion arvo, kun x = 4.b) Millä muuttujan x arvolla funktio saa arvon 25?

Ratkaisu a) f(4) = –3 · 4 + 17 = 5

b) Selvitetään kysytty arvo yhtälön avulla.–3x + 17 = 25 –3x = 8 | : (–3)

8 22

3 3x = − = −

Vastaus a) f(4) = 5, b) x = 2

23

−

ESIMERKKI 2 Määritä funktion g(x) = –x2 + 7x – 6a) arvo kohdassa –1b) nollakohdat.

Ratkaisu a) Arvo kohdassa –1 tarkoittaa funktion arvoa, kun x = –1.

g(–1) = –(–1)2 + 7 · (–1) – 6 = –14

b) Nollakohdissa g(x) = 0. Selvitetään nollakohdat yhtälön avulla. –x2 + 7x – 6 = 0 a = –1, b = 7 ja c = –6

27 7 4 ( 1) ( 6) 7 25 7 5

2 ( 1) 2 2x

− ± − ⋅ − ⋅ − − ± − ±= = =⋅ − − −

7 51

2x

− += =−

tai 7 5

62

x− −= =

−

Vastaus a) g(–1) = –14, b) nollakohdat ovat x = 1 ja x = 6

Funktio92

Funktion kuvaaja

Koordinaatistoon piirretyssä funktion kuvaajassa funktion arvo on kuvaajan pisteen y-koordinaatti.

ESIMERKKI 3 Vastaa kysymyksiin kuvaajan perusteella.a) Määritä kuvaajasta f(1).b) Millä muuttujan x arvoilla f(x) = 2?c) Määritä funktion f(x) nollakohdat.

y

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

–2

–1–4 –3 –2 –1

f(x)

Ratkaisu a) f(1) = 5b) f(x) = 2, kun x = –3 tai x = 4c) x = –4 ja x = 5

y

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

–2

–1–4 –3 –2 –1

f(x)

Funktio 93

ESIMERKKI 4 Onko funktion kuvaaja nouseva suora, laskeva suora, ylöspäin aukeava paraabeli tai alaspäin aukeava paraabeli?a) f(x) = –8x + 5b) g(x) = 3x2 – 4x – 9c) h(x) = x – x2

d) r(x) = x3 + x2 – 4x + 1

Ratkaisu a) Funktio on ensimmäisen asteen polynomifunktio, joten sen kuvaaja on suora. Koska kulmakerroin –8 on negatiivinen, suora on laskeva.

b) Funktio on toisen asteen polynomifunktio, joten sen kuvaaja on paraabeli. Koska toisen asteen termin kerroin 3 on positii-vinen, paraabeli aukeaa ylöspäin.

c) Funktio on toisen asteen polynomifunktio, joten sen kuvaa-ja on paraabeli. Funktion lausekkeen termien järjestyksen voi vaihtaa: x – x2 = –x2 + x. Koska toisen asteen termin kerroin –1 on negatiivinen, paraabeli aukeaa alaspäin.

d) Funktio on kolmannen asteen polynomifunktio. Sen kuvaaja ei ole suora eikä paraabeli.

Vastaus a) laskeva suora, b) ylöspäin aukeava paraabeli, c) alaspäin aukeava paraabeli, d) ei suora eikä paraabeli

Funktio94

ESIMERKKI 5 Piirrä funktioiden f(x) = x3 ja g(x) = 50 · 0,8x kuvaajat samaan koordinaatistoon. Selvitä kuvaajien avulla ainoa muuttujan x arvo, jolla funktiot saavat saman arvon. Anna vastaus kolmen desimaalin tarkkuudella.

Ratkaisu Piirretään kuvaajat geometria- tai laskentaohjelmalla. Funktion g(x) kuvaaja ei välttämättä näy ohjelman piirtotilan perusasetuk-silla, jolloin koordinaattiakselien asteikkoja täytyy ensin muut-taa.

y

2 4 6 8 10 12 x

5

10

15

20

25

30

–5–4 –2

f(x)

g(x)

Funktiot saavat saman arvon sillä muuttujan x arvolla, jolla ku-

vaajat leikkaavat. Määritetään ohjelman avulla kuvaajien leikkaus-piste. Tarvittaessa muutetaan pyöristysasetuksia riittävän tark-kuuden saamiseksi. Leikkauspisteen x-koordinaatiksi saadaan x ≈ 2,957, joten f(x) = g(x), kun x ≈ 2,957.

95Funktio

TEORIA- YHTEENVETO

Funktion käsite

• Funktio on sääntö, jonka mukaan suureen y arvo saadaan laskettua suureen x arvosta yksikäsitteisellä tavalla. Tällöin käytetään merkin-tää y = f(x).

• Funktion sääntö voidaan esittää joko laskulausekkeena tai koordinaa-tiston kuvaajana. Koordinaatistossa muuttujan arvot ovat kuvaajan pis-teiden x-koordinaatteja ja funktion arvot pisteiden y-koordinaatteja.

Polynomifunktioiden kuvaajia

• Ensimmäisen asteen polynomifunktion f(x) = kx + b (k ≠ 0) kuvaaja on suora. Suora on nouseva, kun k > 0 ja laskeva, kun k < 0.

x

k > 0

x

k < 0

• Toisen asteen polynomifunktion f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) kuvaaja on paraabeli. Sen aukeamissuunnan näkee toisen asteen termin kertoi-mesta a. Paraabeli aukeaa ylöspäin, kun a > 0 ja alaspäin, kun a < 0.

xa > 0

x

a < 0

Eksponenttifunktioiden kuvaajia

• Eksponenttifunktion f(x) = kx (k > 0 ja k ≠ 1) kuvaaja on kaareva käy-rä. Käyrä on nouseva, kun k > 1 ja laskeva, kun 0 < k < 1.

k > 1 0 < k < 1

x x

• Funktion lausekkeen kertominen positiivisella vakiolla säilyttää ku-vaajan perusmuodon.

Funktio96

Laskimet ja laskentaohjelmat

Funktion arvon laskeminen

• Kokeen B-osassa funktioiden arvoja voidaan laskea laskenta-ohjelmilla. Tästä on erityistä hyötyä silloin, kun pitää laskea useita saman funktion arvoja.

• Kun ohjelmaan syöttää funktion lausekkeen, esimerkiksi f(x) = 4 – x2, f(3) laskee funktion arvon, kun x = 3. Joissain ohjelmissa voi käyttää myös ns. sijoitusviivaa: 4 – x2 | x = 3.

• Kun funktion arvo lasketaan laskentaohjelmalla, sijoituksen välivaiheiden ei tarvitse näkyä. Ohjelmasta on hyvä tällöin ot-taa kuvakaappaus, jossa näkyvät sekä laskettu arvo että funk-tion lauseke.

Funktion kuvaajan piirtäminen ja analysoiminen

• Kokeen B-osassa funktion kuvaaja voidaan piirtää geometria- tai laskentaohjelmalla.

• Ohjelmilla pystyy usein analysoimaan kuvaajaa. Taulukossa on yleisiä toimintoja ja niiden mahdollisia nimiä ohjelmissa.

Toiminto Nimi

Nollakohtien määrittäminen Juuret (Roots), Nollakohta (Zero)

Kahden kuvaajan leikkauspiste Leikkauspiste (Intersect)

Suurin arvo tai pienin arvoÄäriarvot (Turning Point), Mini-mipiste/Maksimipiste (Minimum/Maximum)

• Kuvaajaa voidaan tutkia ohjelman mukaan myös esimerkiksi liikuttamalla kuvaajalla olevaa pistettä tai käyttämällä toimin-toa Jäljitys (Trace). Kuvaajalle saa sijoitettua pisteen joissakin ohjelmissa esimerkiksi toiminnolla Piste objektilla.

Funktio 97

TEHTÄVIÄ

Perustehtävät

233. Tarkastele funktiota f(x) = 8x – 1. Laske funktion arvo, kuna) x = 5 b) x = –4.

234. Tarkastele funktiota g(x) = –6x + 24.a) Millä muuttujan x arvolla funktio saa arvon 54?b) Määritä funktion nollakohta.

235. a) Määritä kuvaajan perusteella f(4).b) Millä x:n arvolla f(x) = –6?c) Määritä funktion nollakohta.

1 2 3 4–2 –1 x

1

2

3

4

–9

–7

–8

–6

–5

–4

–2

–3

–15 6

y

f(x)

Funktio98

236. Alla on funktion g(x) kuvaaja välillä –5 ≤ x ≤ 6. Vastaa kuvaajan perus-teella, ovatko väittämät oikein vai väärin.a) g(5) = 6b) g(0) = 2c) Funktiolla on kolme nollakohtaa.d) g(x) = –1, kun x ≈ 3,5e) g(x) = 3, kun x ≈ –3,1, x ≈ –0,6 tai x ≈ 5,7f) Funktion pienin arvo on –2,8.

y

1 2 3 4 5 6 x

1

2

3

4

5

–2

–1–3 –2–4–5 –1

–3

–4

–5

–6

g(x)

237. Onko funktion kuvaaja nouseva suora, laskeva suora, ylöspäin aukea-va paraabeli vai alaspäin aukeava paraabeli?a) f(x) = –3x + 8b) g(x) = 2x2 – x – 5c) h(x) = –x2 + 6x

Sarja 1

238. Laske funktion f(x) = x2 + 7x – 3 arvoa) f(4) b) f(–1).

239. Määritä funktion g(x) = x2 – x – 12 nollakohdat.

Funktio 99

240. a) Määritä kuvaajasta funktion nollakohdat ja f(0).b) Millä x:n arvoilla f(x) = 4?

1 2

1

2

3

5

4

3 4 x

–4

–3

–2

–1

–5

–4 –3 –2 –1

y

f(x)

241. Onko funktion kuvaaja nouseva suora, laskeva suora, ylöspäin aukea-va paraabeli tai alaspäin aukeava paraabeli?a) f(x) = 8x – 6b) g(x) = 7 – x2

c) h(x) = 4x2 – x3

242. Piirrä funktion f(x) = –x2 + 9x + 8 kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla funk-tion nollakohdat kahden desimaalin tarkkuudella.

243. Piirrä paraabeli y = x2 + 10x – 7. Määritä kuvaajan avulla paraabelin huipun koordinaatit.

244. Funktiosta g(x) = 2x + b tiedetään arvo g(–3) = 8. Määritä vakio b.

245. Määritä funktion f(x) = x3 + 8 nollakohdat.

246. Tarkastele funktiota f(x) = 10x.a) Laske funktion arvo, kun x = 3.b) Millä muuttujan x arvoilla funktion arvo on 1 000 000?

247. Anna esimerkki toisen asteen polynomifunktiosta f(x), joka toteuttaa ehdot f(0) = 4 ja f(1) = –2. Perustele kummankin ehdon voimassaolo.

Funktio100

Sarja 2

248. Tarkastele funktiota f(x) = –x2 + 5x + 8.a) Laske f(–4).b) Millä muuttujan x arvoilla f(x) = 2?

249. Etsi kutakin kuvaajaa vastaava funktion lauseke.

A f(x) = 1,4x

B g(x) = 0,25x2 – 0,25x – 1,5

C h(x) = –x2 + 4x + 2,5

D r(x) = 0,7x

E s(x) = x2 – x – 6

F t(x) = –0,5x2 + 2x + 2,5

250. Tarkastele funktioita f(x) = 3x – 1 ja g(x) = 3x2 + 4x – 5.a) Selvitä funktioiden kuvaajien avulla, millä muuttujan x arvoilla funk-

tiot f(x) ja g(x) saavat saman arvon.b) Määritä laskemalla, millä muuttujan x arvoilla funktiot f(x) ja g(x)

saavat saman arvon.c) Mitä eroa on a- ja b-kohdan vastauksissa?

y

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

–2

–1–4 –3 –2 –1

y

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

–2

–1–4 –3 –2 –1

y

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

–2

–1–4 –3 –2 –1

y

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

–2

–1–4 –3 –2 –1

y

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

–2

–1–4 –3 –2 –1

y

1 2 3 4 5 x

1

2

3

4

5

–2

–1–4 –3 –2 –1

1 2

3

Funktio 101

251. Piirrä funktion g(x) = –x4 + 7x3 – 6x + 1 kuvaaja. Määritä kuvaajasta funktion suurin arvo välillä –1 ≤ x ≤ 7 ja tällä välillä olevat funktion nol-lakohdat. Anna vastaukset kolmen desimaalin tarkkuudella.

252. Millä vakion a arvoilla a) funktiolle f(x) = ax4 – x3 – 5 on voimassa ehto f(2) = 11b) x = –2 on funktion g(x) = x3 – 3ax – a2 nollakohta?

253. Määritä funktion nollakohdat.a) f(x) = x4 – 625b) g(x) = 36x – 81c) h(x) = (x2 – 9)(x + 4)

254. a) Ratkaise yhtälö 2 51 0

2t t− + = .

b) Ratkaise yhtälö [f(x)]2 – 5

2f(x) + 1 = 0, missä f(x) on kuvion funk-

tio.

1

2

x

y

y = f(x)

1 2 3–1

(YO syksy 2016/4)

255. Perustele, miksi alla oleva kuvaaja ei voi olla sellaisen funktion kuvaa-ja, jonka muuttuja on x.

y

1 2 3 4 5 x6

1

2

3

4

5

–2

–1–3 –2 –1

256. Tutki laskentaohjelman avulla, miten vakio a vaikuttaa funktion f(x) = log

a x kuvaajan muotoon. Millä vakion a ja muuttujan x arvoil-

la funktio on määritelty?