Funkcje logiczne –układy kombinacyjne · 2017. 11. 4. · 04.11.2017 TCiM Wydział EAIiI Katedra EiASPE 13. Układy kombinacyjne •Bramka –funkcja Exclusive OR –alternatywa

Część 2

Funkcje logiczne – układy kombinacyjne

Zapis funkcji logicznych – układ funkcjonalnie pełny

Arytmetyka Bool’a – najważniejsze aksjomaty i tożsamości

Minimalizacja funkcji logicznych

Układy kombinacyjne – realizacja funkcji logicznych w układach cyfrowych

04.11.2017 TCiM Wydział EAIiIB Katedra EiASPE 1

Układ cyfrowy

• Podstawowe informacje


Układ

cyfrowy

x1

x2

xn

y1

y2

ym

X = (x1, ... , xn) – sygnały wejściowe (wektor)

Y = (y1, ... , yn) – sygnały wyjściowe (wektor)

10,B – jednowymiarowy zbiór Boole’a (boolowski)

𝒙𝒊 ∈ 𝑩

𝒊=𝟏,𝟐,…,𝒏

𝒚𝒊 ∈ 𝑩

𝒋=𝟏,𝟐,…,𝒎

Układ cyfrowy

• Podstawowe informacje


{X} – zbiór wartości (stanów) sygnału wejściowego

Zmienna boolowska 1-no wymiarowa – zmienna przyjmująca wartości (stany) ze zbioru Boole’a B

nBXX

mBYY {Y} – zbiór wartości (stanów) sygnału wyjściowego

Sygnały X, Y przyjmują różne wartości w dyskretnych chwilach tWtedy można stosować oznaczenia Xt , Yt

Wyróżnia się dwa przypadki:

Yt = f(Xt) – układ kombinacyjny

Yt = f(Xt, Xt-t1, Xt-t2 ... ) – układ sekwencyjny

𝒕 ∈ 𝒕 = 𝒕𝟏, 𝒕𝟐,…

Układy kombinacyjne

• Podstawy - Opis


Układ kombinacyjny opisuje się określając funkcję f przekształcającą zbiór stanów wejściowych w zbiór stanów wyjściowych tj.

Y = f(X), gdzie X{X}, Y{Y}

YX:f

mffff ,...,, 21

BX:fi yi = fi(X), gdzie X{X}, yiB

Funkcję fi nazywamy funkcją przełączającą bo przyjmuje tylko 2 wartości 0 lub 1 ( można te stany interpretować jako stany załączenia/wyłączenia, stany zwarcia/rozwarcia styków, lub jako prawda/fałsz. Funkcje przełączającą nazywa się także często funkcją logiczną lub funkcją boolowską.


• Algebra Boole’a

Funkcje logiczne – funkcje Boole’owskie mogą być określone przy pomocy:

• tablicy prawdy (tablicy funkcyjnej),

• formuły boolowskiej – zapis kanoniczny i dziesiętny,

• tabeli Karnaugh’a

• lub w formie graficznej (przy pomocy odpowiednich symboli graficznych).


W algebrze Boole’a zdefiniowane są operacje:

– sumy i iloczynu jako operacje dwuargumentowe,– negacji jako operacji jednoargumentowej,– stałe 0,1 jako operacje zero argumentowe.

Algebra Boole’a (zerojedynkowa)

10,,,,,B Np. w matematycefunkcja y=2


• SUMA


Symbole operatora sumy dwuargumentowej:np

or,,

21 xxy 21 xxy 21 xorxy

Tablica prawdy:

x1,x2

00 0

01 1

10 1

11 1

21 xxy


• ILOCZYN


Symbole operatora sumy dwuargumentowej:np

Tablica prawdy:

and,,&,

21 xxy 21 xxy

21 xandxy 21 x&xy

21xxy

x1, x2

00 0

01 0

10 0

11 1

21xxy


• NEGACJA


Symbole operatora negacji: not,~,

np. x~y xy )x(noty

xx

0 1

1 0


• Prawa algebry Boole’a – aksjomaty i tożsamości


(idempotentność)

(rozdzielność)

(łączność)

(przemienność)

xxx xxx

1221 xxxx 1221 xxxx

321321 xxxxxx 321321 xxxxxx

3121321 xxxxxxx

3121321 xxxxxxx




1211 xxxx 1211 xxxx (pochłanianie)

xx 0 xx 1 operacje ze stałą

1 xx 0xx operacja z negacją

xx operacje podwójnej negacji

2121 xxxx 2121 xxxx (prawa de Morgana)




Operacje na stałych:

10 01 111

111 11001 01001


• Symbole graficzne funkcji Boole’a – bramki logiczne

• System funkcjonalnie pełny • AND

• OR

• NOT



• Bramka – funkcja Exclusive OR – alternatywa rozłączna, wykluczająca


y = x1 x2= 2121 xxxx

21 xxy x1, x2

00 0

01 1

10 1

11 0


• Zapis form/funkcji boolowskich • Forma boolowska i tabela prawdy


Liczba Argumenty𝒙 𝒚 𝒛

𝒙 ∙ 𝒚 𝒛 ∙ ഥ𝒙 𝒇 (𝒙, 𝒚, 𝒛)

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1 1

4 1 0 0 0

5 1 0 1 0

6 1 1 0 1 1

7 1 1 1 1 1

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑧 ҧ𝑥

Przykład funkcji:


• Zapis form/funkcji boolowskich • Korzystając z tabeli prawdy udowodnić tożsamość:


Argumenty𝒙 𝒚

ഥ𝒙 + 𝒚 𝒙(ഥ𝒙 + 𝒚) 𝒙 ∙ 𝒚

0 0 1 0 0

0 1 1 0 0

1 0 0 0 0

1 1 1 1 1

𝑥 ҧ𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑦

Te dwie kolumny są sobie równe cbdu.

UWAGA:Zrobić jeszcze przykład - udowodnienie jednej z reguł pochłaniania


• Zapis form/funkcji boolowskich • W oparciu o znajomość tablicy prawdy

można sformułować dwie podstawowe formuły:

• Dla skrócenia zapisu tych form – stosuje się też powszechnie postaci dziesiętne form sumacyjnych i iloczynowych

• Kanoniczna forma (postać) sumacyjna – dysjunkcja: • Na podstawie wierszy tabeli prawdy gdzie funkcja przyjmuje wartość 1 – prawda;

• 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ҧ𝑥 ത𝑦𝑧 + ҧ𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 ҧ𝑧 + 𝑥𝑦𝑧

• Kanoniczna forma (postać) iloczynowa – koniunkcja:• Na podstawie wierszy tabeli prawdy gdzie funkcja przyjmuje wartość 0 – fałsz;

• 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 𝑥 + ത𝑦 + 𝑧 ҧ𝑥 + 𝑦 + ҧ𝑧


=∪ (1,3,6,7)

=∩ (0,2,4,5)

Dla poprzedniego przykładu funkcji:


• Zapis form/funkcji boolowskich • Kanoniczną postać sumacyjną funkcji uzyskuje się tworząc

sumę iloczynów pełnych odpowiadających kombinacjomargumentów we wszystkich punktach, w których funkcjaprzyjmuje wartość jeden.

• Kanoniczną postać iloczynową funkcji uzyskuje się tworząciloczyn sum pełnych odpowiadających kombinacjomargumentów we wszystkich punktach, w których funkcjaprzyjmuje wartość zero.

• Minimalizacja funkcji/form boolowskich • W praktycznej realizacji funkcji logicznych, w szczególności w formie cyfrowych układów

kombinacyjnych, dąży się do tego aby minimalna forma sumacyjna (iloczynowa): >>> zawierała minimalną liczbę iloczynów (sum), >>> żaden z iloczynów (żadna z sum) nie mógł być zastąpiony przez inny o mniejszej liczbie literałów.



• Podstawowe metody minimalizacji układów jednowyjściowych: • Tablica Karnaugha,

• Metoda Quine’a – Mc Cluskey’a

• Tablica Karnaugha – prezentacja tablicy prawdy funkcji boolowskiej/logicznej w specyficznej, uporządkowanej formie


Tablica dla funkcji 3 argumentowej

x2,x3

x1

00 01 11 10

0

1

KOD Gray’a !!! >>> WAŻNE !!!


• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a


Tablica dla funkcji 4 argumentowej

WAŻNE!!! Warto spojrzeć na kolejne komórki tablicy jak na macierz z przypisanymi spółrzędnymikolejnymi numerami …

POLECAM… Dobre wyjaśnienie tablic Karanugh’ai metody minimalizacji z ich wykorzystaniem na kanale ElektroPrzewodnik YOUTUBE:

x3,x4

x1,x2

00 01 11 10

00

01

11

10

0 1 23

4 5 67

8 9 1011

12 13 1415

https://www.youtube.com/watch?v=ns4GHC-KdwI

https://www.youtube.com/watch?v=ns4GHC-KdwI


• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a


Tablica dla funkcji 5 argumentowej >>> przeanalizować współrzędne komórek – odbicia, symetrie …

x3,x4,x

5

x1,x2

000 001 011 010 110 111 101 100

00

01

11

10


• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a• Algorytm – zasady:

• W tablicy zaznaczmy grupy 1 -ek lub 0 -er – sąsiadujących ze sobą w wierszach lub kolumnach

• Staramy się objąć w jednej grupie jak największą liczbę elementów – 1 lub 0

• Elementy grup 1 lub 0 – mogą być pokrywane grupami wielokrotnie, jeśli to prowadzi dopowiększenia poszczególnych grup

• Liczba elementów w grupie – musi być kolejną potęgą liczby 2 – zatem: 2,4,8,16 … (nie może być 6 !!!)



• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a• Przykład – funkcja z trzema argumentami (z wcześniejszego przykładu):


Dla poprzedniego przykładu funkcji:

y, z

x

00 01 11 10

0 0 1 1 0

1 0 0 1 1

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑧 ҧ𝑥Liczba Argumenty𝒙 𝒚 𝒛

𝒇 (𝒙, 𝒚, 𝒛)

0 0 0 0 0

1 0 0 1 1

2 0 1 0 0

3 0 1 1 1

4 1 0 0 0

5 1 0 1 0

6 1 1 0 1

7 1 1 1 1

W tym wypadku grupa żółta – nie potrzebna !!!

𝑓𝑚𝑖𝑛1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ҧ𝑥𝑧 + 𝑥𝑦

𝑓𝑚𝑖𝑛0 𝑥, 𝑦, 𝑧 = ( ҧ𝑥 + 𝑦) 𝑥 + 𝑧

Funkcja minimalna: - przez jedynki

- przez zera


• Minimalizacja funkcji boolowskich/logicznych z tablicami Karnaugh’a• Przykład – funkcja z czterema argumentami:


𝑓𝑚𝑖𝑛1 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 𝑎 ҧ𝑐 + 𝑎𝑑 + ത𝑏 ҧ𝑐 + ത𝑎 ത𝑏 ҧ𝑑

𝑓𝑚𝑖𝑛0 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = (𝑎 + ത𝑏) 𝑎 + ҧ𝑐 + ҧ𝑑 ത𝑎 + ҧ𝑐 + 𝑑

c, d

a, b

00 01 11 10

00 1 1 0 1

01 0 0 0 0

11 1 1 1 0

10 1 1 1 0

𝑓 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 =∩ (3,4,5,6,7,10,14)


• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych

• System funkcjonalnie pełny • AND

• OR

• NOT

• Jednak … • Układy realizuje się

w praktyce na bramkach NAND lub NOR…

• A współcześnie – na matrycach bramek PLA i FPGA…

• Dlaczego… ???



• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych • Bramka NAND – najmniej tranzystorów !!! PLA – Programable Logic Array



• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych • FPGA – Field-Programmable Gate Array

• Dla projektanta ma funkcjonalność taką samą jak specjalizowany układ scalony, jednak może być wielokrotnie programowany bez demontażu, po jego wytworzeniu i zainstalowaniu w urządzeniu docelowym

• Bezpośrednio programowalne macierze bramek są zazwyczaj wolniejsze od odpowiadających im specjalizowanychukładów scalonych i pobierają więcej mocy. Mają natomiast wiele innych zalet takich jak krótszy czas projektowania, niższe koszty produkcji (dla małych serii)



• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych • Bramki AND, OR, NOT - realizacja na NAND-ach i na NOR-ach


POKAZAĆ… Symulacja w Digital Works …

Wyjaśnić – na tablicy – dlaczego OR za pomocą NAND – prawa de Morgana >>> NAND z zaprzeczeniem sygnałów wejściowych


• Synteza układów kombinacyjnych – realizacja na bramkach logicznych

• Tu skorzystać z materiału – notatek odręcznych – plik PDF z notatkami …


POKAZAĆ… Przykłady, wyjaśnienia – plik PDF

KLIKNIJ!!!

PDF-notatki-synt-ukl-kombinac.pdfPDF-notatki-synt-ukl-kombinac.pdf

Koniec Części 2

Kontynuacja materiałów wykładowych

w pliku cz-3


Funkcje logiczne –układy kombinacyjne · 2017. 11. 4. · 04.11.2017 TCiM Wydział EAIiI Katedra EiASPE 13. Układy kombinacyjne •Bramka –funkcja Exclusive OR –alternatywa

Documents