Sprawy organizacyjne Jak mo˙ zna si ˛ e ze mn ˛ a skontaktowa´ c dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 [email protected]www.math.us.edu.pl/bp 10 wykladów, Zaliczenie wykladu: ocena z wykladu jest ´ sredni ˛ a oceny z ´ cwicze ´ n(material wykladów 1-5) i z egzaminu (material wykladów 6-10) obecno´ s´ c na wykladzie mo˙ ze podwy˙ zszy´ c ocen ˛ e z egzaminu (10 obecno´ sci (w tym ostatnie 5)- 40 punktów, 9 obecno´ sci (w tym ostatnie 5) - 30 punktów, 8 obecno´ sci (w tym ostatnie 5)- 20 punktów, 7 obecno´ sci (w tym ostatnie 5) - 10 punktów. Skala: 0-50 ndst, 50-60 dst, 60-70 dst+, 70-80 db, 80-90 db+, 90-100 bdb. Wyklad 1
87
Embed
Funkcje elementarne i ich w asnosci. Przekszta cenia ... · 1. Funkcje elementarne, własnosci funkcji, zło´ zenia funkcji,˙ funkcja odwrotna. 2. Ciagi˛ i ich granice. 3. Granica
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Sprawy organizacyjne
Jak mozna sie ze mna skontaktowacdr Barbara PrzebieraczBankowa 14, [email protected]/bp
10 wykładów,Zaliczenie wykładu:ocena z wykładu jest srednia oceny z cwiczen(materiałwykładów 1-5) i z egzaminu (materiał wykładów 6-10)obecnosc na wykładzie moze podwyzszyc ocene z egzaminu(10 obecnosci (w tym ostatnie 5)- 40 punktów, 9 obecnosci (wtym ostatnie 5) - 30 punktów, 8 obecnosci (w tym ostatnie 5)-20 punktów, 7 obecnosci (w tym ostatnie 5) - 10 punktów.Skala: 0-50 ndst, 50-60 dst, 60-70 dst+, 70-80 db, 80-90 db+,90-100 bdb.
Wykład 1
Plan wykładu
1. Funkcje elementarne, własnosci funkcji, złozenia funkcji,funkcja odwrotna.2. Ciagi i ich granice.3. Granica funkcji, ciagłosc funkcji.4. Pochodna funkcji i jej zastosowania.5. Całka nieoznaczona i oznaczona Riemanna.6. Liczby zespolone i elementy algebry liniowej.7. Rachunek rózniczkowy i całka Riemanna w Rn.8. Równania rózniczkowe zwyczajne.9. Rachunek prawdopodobienstwa.10. Statystyka.
Wykład 1
Zacznijmy od powtórki...
Wykład 1
Elelementy rachunku zdan. Alternatywa.
Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p i q sa zdaniami, top ∨ q nazywamy alternatywa zdan p, q, czytamy: p lub q.Wartosc logiczna zdania p ∨ q zalezy od wartosci logicznychzdan p i q nastepujaco:p q p ∨ q1 1 11 0 10 1 10 0 0
Wykład 1
Elelementy rachunku zdan. Koniunkcja.
Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p i q sa zdaniami, top ∧ q nazywamy koniunkcja zdan p, q, czytamy: p i q. Wartosclogiczna zdania p ∧ q zalezy od wartosci logicznych zdan p i qnastepujaco:p q p ∧ q1 1 11 0 00 1 00 0 0
Wykład 1
Elelementy rachunku zdan. Implikacja.
Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p i q sa zdaniami, top ⇒ q nazywamy implikacja zdan p(poprzednik implikacji),q(nastepnik implikacji), czytamy: jezeli p, to q. Wartosclogiczna zdania p ⇒ q zalezy od wartosci logicznych zdan p i qnastepujaco:p q p ⇒ q1 1 11 0 00 1 10 0 1
Wykład 1
Elelementy rachunku zdan. Równowaznosc.
Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p i q sa zdaniami, top ⇔ q nazywamy równowaznoscia zdan p, q, czytamy: pwtedy i tylko wtedy, gdy q. Wartosc logiczna zdania p ⇔ qzalezy od wartosci logicznych zdan p i q nastepujaco:p q p ⇔ q1 1 11 0 00 1 00 0 1
Wykład 1
Elelementy rachunku zdan. Negacja.
Zdanie ma wartosc logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jestfałszywe.Jesli p jest zdaniem, to∼ p nazywamy negacja zdania p, czytamy: nieprawda, ze p.Wartosc logiczna zdania ∼ p zalezy od wartosci logicznejzdania p nastepujaco:p ∼ p1 00 1
Wykład 1
Elementy rachunku zdan. Tautologie.
Tautologie, to zdania złozone, których wartosc logiczna wynosizawsze 1, niezaleznie od wartosci logicznych zdan, z którychsa złozone.
czytamy: istnieje taki x ze zbioru X , ze zachodzi φ(x).
Przykłady praw logicznych dotyczacych kwantyfikatorów
∼ ∀x∈X φ(x)⇔ ∃x∈X ∼ φ(x)
∼ ∃x∈X φ(x)⇔ ∀x∈X ∼ φ(x)
Wykład 1
Elementy rachunku zbiorów
x ∈ A czytamy: x nalezy do zbioru A, x jest elementem zbioruA.∅- zbiór pusty.A ⊂ B: A jest podzbiorem zbioru B, czyli ∀xx ∈ A⇒ x ∈ B.Niech X bedzie pewna przestrzenia, A,B ⊂ X ,suma zbiorów: A ∪ B = {x ∈ X ; x ∈ A ∨ x ∈ B},iloczyn(przekrój, czesc wspólna) zbiorów:A ∩ B = {x ∈ X ; x ∈ A ∧ x ∈ B},róznica zbiorów: A \ B = {x ∈ X ; x ∈ A ∧ x /∈ B},dopełnienie zbioru: A′ = X \ A,iloczyn kartezjanski zbiorów: A× B = {(x , y); x ∈ A ∧ y ∈ B},zbiór potegowy: P(A) = 2A = {B ⊂ X ; B ⊂ A}.
Wykład 1
Oznaczenia
N = {1,2,3, . . .}– zbiór liczb naturalnych,N0 = {0,1,2,3, . . .}– zbiór liczb naturalnych z zerem,Z = {. . . ,−3,−2,−1,0,1,2,3, . . .}– zbiór liczb całkowitych,Q = {p
q ; p ∈ Z,q ∈ N}– zbiór liczb wymiernych,R– zbiór liczb rzeczywistych,C– zbiór liczb zespolonych.
Wykład 1
Funkcje. Podstawowe pojecia.
f : X → Y
↗ ↖ ↖
nazwa funkcji dziedzina przeciwdziedzina
f (X ) = {f (x) ∈ Y ; x ∈ X}– zbiór wartosci funkcji. (f (X ) ⊂ Y ).Funkcja f : X → Y jest róznowartosciowa (injekcja), gdy
∀x ,y∈X x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y).
Piszemy f : X 1−1−→ Y .Funkcja f : X → Y jest na (surjekcja), gdy
f (X ) = Y .
Piszemy f : X na−→ Y .Funkcja f : X → Y jest bijekcja, gdy jest róznowartosciowa i na.
Wykład 1
Monotonicznosc
Niech X ⊂ R. Funkcja f : X → R jest (silnie) rosnaca w zbiorzeA ⊂ X , gdy
∀x ,y∈A x < y ⇒ f (x) < f (y).
Niech X ⊂ R. Funkcja f : X → R jest słabo rosnaca(niemalejaca) w zbiorze A ⊂ X , gdy
∀x ,y∈A x < y ⇒ f (x) ≤ f (y).
Niech X ⊂ R. Funkcja f : X → R jest (silnie) malejaca w zbiorzeA ⊂ X , gdy
∀x ,y∈A x < y ⇒ f (x) > f (y).
Niech X ⊂ R. Funkcja f : X → R jest słabo malejaca(nierosnaca) w zbiorze A ⊂ X , gdy
Niech D ⊂ R i niech f : D → R.Mówimy, ze f jest parzysta , gdy
∀x∈D − x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).
Mówimy, ze f jest nieparzysta , gdy
∀x∈D − x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).
Mówimy, ze f jest okresowa o okresie T 6= 0 , gdy
∀x∈D x + T ∈ D ∧ f (x) = f (x + T ).
Wykład 1
I jeszcze kilka własnosci
Niech D ⊂ R i niech f : D → R.Mówimy, ze f jest parzysta , gdy
∀x∈D − x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).
Mówimy, ze f jest nieparzysta , gdy
∀x∈D − x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).
Mówimy, ze f jest okresowa o okresie T 6= 0 , gdy
∀x∈D x + T ∈ D ∧ f (x) = f (x + T ).
Wykład 1
I jeszcze kilka własnosci
Niech D ⊂ R i niech f : D → R.Mówimy, ze f jest parzysta , gdy
∀x∈D − x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).
Mówimy, ze f jest nieparzysta , gdy
∀x∈D − x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).
Mówimy, ze f jest okresowa o okresie T 6= 0 , gdy
∀x∈D x + T ∈ D ∧ f (x) = f (x + T ).
Wykład 1
I jeszcze kilka własnosci
Niech D ⊂ R i niech f : D → R.Mówimy, ze f jest parzysta , gdy
∀x∈D − x ∈ D ∧ f (x) = f (−x).
Mówimy, ze f jest nieparzysta , gdy
∀x∈D − x ∈ D ∧ f (−x) = −f (x).
Mówimy, ze f jest okresowa o okresie T 6= 0 , gdy
∀x∈D x + T ∈ D ∧ f (x) = f (x + T ).
Wykład 1
Funkcja parzysta
Wykład 1
Funkcja nieparzysta
Wykład 1
Funkcja okresowa
Wykład 1
Złozenie funkcji
definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.
Przykład 1
Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).
Przykład 2
Funkcja f (x) =√
3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =
√x , tj. f = h ◦ g.
Wykład 1
Złozenie funkcji
definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.
Przykład 1
Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).
Przykład 2
Funkcja f (x) =√
3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =
√x , tj. f = h ◦ g.
Wykład 1
Złozenie funkcji
definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.
Przykład 1
Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).
Przykład 2
Funkcja f (x) =√
3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =
√x , tj. f = h ◦ g.
Wykład 1
Złozenie funkcji
definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.
Przykład 1
Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).
Przykład 2
Funkcja f (x) =√
3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =
√x , tj. f = h ◦ g.
Wykład 1
Złozenie funkcji
definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.
Przykład 1
Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).
Przykład 2
Funkcja f (x) =√
3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =
√x , tj. f = h ◦ g.
Wykład 1
Złozenie funkcji
definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.
Przykład 1
Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).
Przykład 2
Funkcja f (x) =√
3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =
√x , tj. f = h ◦ g.
Wykład 1
Złozenie funkcji
definicja złozenia funkcjiNiech dane beda odwzorowania f : X → Y i g : Y → Z .Odwzorowanie g ◦ f : X → Z dane wzorem g ◦ f (x) = g(f (x))nazywamy złozeniem (superpozycja) odwzorowan f i g.Funkcja f jest funkcja wewnetrzna, a g zewnetrzna tegozłozenia.
Przykład 1
Niech f (x) = sin x , a g(x) = x2 + 3x − 5. Wtedyg ◦ f (x) = g(sin x) = sin2 x + 3 sin x − 5,f ◦ g(x) = f (x2 + 3x − 5) = sin(x2 + 3x − 5).
Przykład 2
Funkcja f (x) =√
3x jest złozeniem funkcji g(x) = 3x ih(x) =
√x , tj. f = h ◦ g.
Wykład 1
Funkcja odwrotna
Niech f : X 1−1−→ Y . Funkcje f−1 : f (X )→ X okreslonanastepujaco:
f−1(y) = x ⇔ f (x) = y ,
nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f .
Wykład 1
Funkcje elementarne. Wielomiany
Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.
Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)
Wykład 1
Funkcje elementarne. Wielomiany
Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.
Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)
Wykład 1
Funkcje elementarne. Wielomiany
Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.
Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)
Wykład 1
Funkcje elementarne. Wielomiany
Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.
Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)
Wykład 1
Funkcje elementarne. Wielomiany
Wielomianem stopnia n, n ∈ N0, nazywamy funkcje W : R→ Rpostaci W (x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0, gdziean 6= 0. Funkcje W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym.
Przykładywielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe):W (x) = a0, a0 6= 0wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe):W (x) = ax + b, a 6= 0wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe):W (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0wielomiany wyzszych stopni, np. W (x) = x3 − x ,W (x) = (x2 − 4)(x3 − 3x2 + x − 3)
Q(x) okreslona dla x ∈ R \ Z , nazywamyfunkcja wymierna.W szczególnosci, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj.P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d , przy czym ad − bc 6= 0, takafunkcje wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcjihomograficznej R(x) = ax+b
Q(x) okreslona dla x ∈ R \ Z , nazywamyfunkcja wymierna.W szczególnosci, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj.P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d , przy czym ad − bc 6= 0, takafunkcje wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcjihomograficznej R(x) = ax+b
Q(x) okreslona dla x ∈ R \ Z , nazywamyfunkcja wymierna.W szczególnosci, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj.P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d , przy czym ad − bc 6= 0, takafunkcje wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcjihomograficznej R(x) = ax+b
Q(x) okreslona dla x ∈ R \ Z , nazywamyfunkcja wymierna.W szczególnosci, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj.P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d , przy czym ad − bc 6= 0, takafunkcje wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcjihomograficznej R(x) = ax+b
cx+d , gdy c 6= 0 jest hiperbola.
Wykład 1
Funkcja homograficzna
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.
Definicja potegi o wykładniku wymiernym.
Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1
an , dla n ∈ N,
apq := q
√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.
Własnosciax · ay = ax+y
ax : ay = ax−y
(ax)y = axy
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.
Definicja potegi o wykładniku wymiernym.
Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1
an , dla n ∈ N,
apq := q
√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.
Własnosciax · ay = ax+y
ax : ay = ax−y
(ax)y = axy
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.
Definicja potegi o wykładniku wymiernym.
Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1
an , dla n ∈ N,
apq := q
√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.
Własnosciax · ay = ax+y
ax : ay = ax−y
(ax)y = axy
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.
Definicja potegi o wykładniku wymiernym.
Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1
an , dla n ∈ N,
apq := q
√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.
Własnosciax · ay = ax+y
ax : ay = ax−y
(ax)y = axy
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.
Definicja potegi o wykładniku wymiernym.
Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1
an , dla n ∈ N,
apq := q
√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.
Własnosciax · ay = ax+y
ax : ay = ax−y
(ax)y = axy
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.
Definicja potegi o wykładniku wymiernym.
Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1
an , dla n ∈ N,
apq := q
√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.
Własnosciax · ay = ax+y
ax : ay = ax−y
(ax)y = axy
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza.
Definicja potegi o wykładniku wymiernym.
Niech a ∈ (0,∞).a0 := 1,an+1 := an · a, dla n ∈ N0,a−n := 1
an , dla n ∈ N,
apq := q
√ap, dla p ∈ Z, q ∈ N.
Własnosciax · ay = ax+y
ax : ay = ax−y
(ax)y = axy
Wykład 1
Funkcja wykładnicza
TwierdzenieJesli funkcja f : R→ R spełnia równanie
f (x)f (y) = f (x + y) dla x , y ∈ R
oraz a := f (1) 6= 0, to f (r) = ar dla r ∈ Q.
TwierdzenieDla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcjarosnaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.Dla dowolnego a ∈ (0,1) istnieje dokładnie jedna funkcjamalejaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.
ax := fa(x), dla a ∈ (0,1) ∪ (1,∞), x ∈ R
Wykład 1
Funkcja wykładnicza
TwierdzenieJesli funkcja f : R→ R spełnia równanie
f (x)f (y) = f (x + y) dla x , y ∈ R
oraz a := f (1) 6= 0, to f (r) = ar dla r ∈ Q.
TwierdzenieDla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcjarosnaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.Dla dowolnego a ∈ (0,1) istnieje dokładnie jedna funkcjamalejaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.
ax := fa(x), dla a ∈ (0,1) ∪ (1,∞), x ∈ R
Wykład 1
Funkcja wykładnicza
TwierdzenieJesli funkcja f : R→ R spełnia równanie
f (x)f (y) = f (x + y) dla x , y ∈ R
oraz a := f (1) 6= 0, to f (r) = ar dla r ∈ Q.
TwierdzenieDla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcjarosnaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.Dla dowolnego a ∈ (0,1) istnieje dokładnie jedna funkcjamalejaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.
ax := fa(x), dla a ∈ (0,1) ∪ (1,∞), x ∈ R
Wykład 1
Funkcja wykładnicza
TwierdzenieJesli funkcja f : R→ R spełnia równanie
f (x)f (y) = f (x + y) dla x , y ∈ R
oraz a := f (1) 6= 0, to f (r) = ar dla r ∈ Q.
TwierdzenieDla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcjarosnaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.Dla dowolnego a ∈ (0,1) istnieje dokładnie jedna funkcjamalejaca fa : R→ R spełniajaca równanief (x)f (y) = f (x + y) i taka, ze fa(1) = a.
ax := fa(x), dla a ∈ (0,1) ∪ (1,∞), x ∈ R
Wykład 1
Wykład 1
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna.
przypomnienie
Jesli funkcja f : X → Y jest róznowartosciowa, to funkcjef−1 : f (X )→ X zdefiniowana przez warunek
f−1(y) = x ⇔ f (x) = y
nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f .
Funkcja logarytmiczna
Funkcje odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = ax nazywamyfunkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy loga.To znaczy
loga y = x ⇔ ax = y .
Bezposrednio z definicji otrzymujemy tez:
loga ax = x , dla x ∈ R, aloga x = x , dla x ∈ (0,∞).
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna.
przypomnienie
Jesli funkcja f : X → Y jest róznowartosciowa, to funkcjef−1 : f (X )→ X zdefiniowana przez warunek
f−1(y) = x ⇔ f (x) = y
nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f .
Funkcja logarytmiczna
Funkcje odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = ax nazywamyfunkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy loga.To znaczy
loga y = x ⇔ ax = y .
Bezposrednio z definicji otrzymujemy tez:
loga ax = x , dla x ∈ R, aloga x = x , dla x ∈ (0,∞).
Wykład 1
Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna.
przypomnienie
Jesli funkcja f : X → Y jest róznowartosciowa, to funkcjef−1 : f (X )→ X zdefiniowana przez warunek
f−1(y) = x ⇔ f (x) = y
nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f .
Funkcja logarytmiczna
Funkcje odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = ax nazywamyfunkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy loga.To znaczy
loga y = x ⇔ ax = y .
Bezposrednio z definicji otrzymujemy tez:
loga ax = x , dla x ∈ R, aloga x = x , dla x ∈ (0,∞).
Wykład 1
wykres funkcji logarytmicznej i wykładniczej
Wykład 1
Własnosci funkcji logarytmicznej
Wykład 1
Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .
własnosci logarytmów
loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1
b loga c,
loga b =logc blogc a ,
loga b = 1logb a .
Wykład 1
Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .
własnosci logarytmów
loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1
b loga c,
loga b =logc blogc a ,
loga b = 1logb a .
Wykład 1
Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .
własnosci logarytmów
loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1
b loga c,
loga b =logc blogc a ,
loga b = 1logb a .
Wykład 1
Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .
własnosci logarytmów
loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1
b loga c,
loga b =logc blogc a ,
loga b = 1logb a .
Wykład 1
Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .
własnosci logarytmów
loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1
b loga c,
loga b =logc blogc a ,
loga b = 1logb a .
Wykład 1
Oznaczenie: log x := log10 x , ln x := loge x .
własnosci logarytmów
loga b + loga c = loga(bc),loga b − loga c = loga(b : c),loga bc = c loga b,logab c = 1