FUNGSI Pemahaman akan konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu ekonomi, mengingat ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Baik fungsi yang berbentuk persamaan maupun yang berbentuk pertidaksamaan. Yang dimaksud dengan fungsi berbentuk persamaan di sini ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk pertidaksamaan ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan (≤atau≥). Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan vaariabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap bentuk fungsi. Akan tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Sebuah fungsi, yang secara kongkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan, mungkin sekali mengandung sebuah konstanta dan mungkin pula tidak. Walaupun sebuah persamaan atau sebuah pertidaksamaan tidak mengandung konstanta, tidaklah mengurangi artinya sebagai fungsi. Variabel ialah unsur pembentukan fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf-huruf latin. Dalam matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan lazimnnya ditulis Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4 Fekon 9
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
FUNGSI
Pemahaman akan konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari disiplin ilmu
ekonomi, mengingat ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Baik fungsi yang berbentuk
persamaan maupun yang berbentuk pertidaksamaan. Yang dimaksud dengan fungsi
berbentuk persamaan di sini ialah fungsi yang ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan
dengan tanda kesamaan (=), sedangkan fungsi berbentuk pertidaksamaan ialah fungsi yang
ruas kiri dan ruas kanannya dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan (≤ atau≥).
Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan vaariabel lain. Sebuah
fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel,
koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap bentuk
fungsi. Akan tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Sebuah fungsi, yang secara
kongkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan, mungkin sekali
mengandung sebuah konstanta dan mungkin pula tidak. Walaupun sebuah persamaan atau
sebuah pertidaksamaan tidak mengandung konstanta, tidaklah mengurangi artinya sebagai
fungsi.
Variabel ialah unsur pembentukan fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor
tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf-huruf latin. Dalam
matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan lazimnnya ditulis dengan huruf-huruf
kecil, melambangkan sumbu-sumbu dalam sistem koordinat (absis dan ordinat) dalam
ekonomika, tidak terdapat ketentuan bahwa variabel dalam suatu persamaan harus ditulis
dengan huruf kecil. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua
macam variabel yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas (independent
variabel ) ialah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel
terikat (dependent variabel) ialah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain.
Koefisien dan konstanta. Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan
terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Adapun konstanta ialah bilangan atau
angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai
bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu.
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
Notasi sebuah fungsi secara umum : y=f(x)
Contoh konkret : y= 5 + 0,8x
Atau, karena y =f(x), bisa pula : f(x)= 5 + 0,8x
Bentuk y= f(x) diatas berarti menyatakan bahwa y merupakan fungsi x,besar kecilnya
nilai y tergantung pada atau fungsional terhadap nilai x. Masing-masing x dan y adalah
variabel. Dalam hal ini, x adalah variabel bebas karena nilainya tidak tergantung pada
variabel lain (y) dalam fungsi tersebut. Sebaliknya, y adalah variabel terikat karena nilainya
tergantung pada nilai x. Angka 0,8 adalah koefisien variabel x, karena ia terkait pada variabel
tersebut. Pada variabel y sesungguhnya terkandung sebuah koefisien lagi, yang besarnya
sama dengan 1. Namun karena angka 1 di depan sebuah variabel biasanya tidak di tuliskan,
maka koefisien koefisien 1 yang terikat pada variabel y itu seakan-akan tidak ada. Angka 5
dalam persamaan di atas adalah sebuah konstanta. Fungsi dapat digolongkan menjadi
beberapa kelompok. Secara garis besar fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar
dan kelompok fungsi non-aljabar. Rincian jenis-jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada
skema berikut ini :
Dalam makalah kali ini akan dibahas mengenai bagian dari fungsi rasional yaitu
fungsi kubik atau fungsi pangkat tiga.
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
FUNGSI KUBIK
Fungsi kubik atau berderajat tiga ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya
adalah pangkat tiga.Bentuk umum persamaan fungsi kubik:
y=a+bx+cx2+d x3
Setiap fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok (inflexion point ),
yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung. Selain titik belok, sebuah
fungsi kubik mungkin pula mempunyai satu titik ekstrim (maksimum ataau minimum ) atau
dua titik ekstrim (maksimum atau minimum ). Ada tidaknya titik ekstrim dalam suatu fungsi
kubik tergantung pada besarnya nilai-nilai b,c dan d di dalam persamaannya. Dengan
demikian terdapat beberapa kemungkinan mengenai bentuk kurva suatu fungsi kubik.
Kemungkinan-kemungkinan tersebut di perlihatkan oleh gambar-gambar berikut.
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
Gambar-ganbar diatas memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang hanya mempunyai
titik belok, tanpa titi ekstrem.Gambar dibawah memperlihatkan fungsi-fungsi kubik yang
mempunyai titik ekstrim.
Banyaknya penyelesaian, atau akar dari persamaan pangkat tiga, tergantung pada
berapa kali kurva memotong sumbu x dan kemungkinannya ada satu,dua,atau tiga
akar.Grafik fungsi pangkat tiga sedikit rumit untuk digambarkan dibandingkan dengan fungsi
kuadrat karena untuk menentukan titik-titik ekstrimnya dibutuhkan pengetahuan kalkulus.
Soal 1. Y= x3-x2-5x+2 = 0
Penyelesaian soal 1 :
1. x=-3
y=(-3)3-(-3)2-5(-3)+2
=-27-9+15+2
=-36+17
=-19
2. x=-2
y=(-2)3-(-2)2-5(-2)+2
=-8-4+10+2
=0
3. x=-1
y=(-1)3-(-1)2-5(-1)+2
=-1-1+5+2
=5
4. x=0
y=2
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -19 0 5 2 -3 -4 -5
5. x=1
y=(1)3-(1)2-5(1)+2
=1-1-5+2
=-3
6. x=2
y=(2)3-(2)2-5(2)+2
=8-4-10+2
= -4
7. x=3
y=(3)3-(3)2-5(3)+2
=27-9-15+2
=5
Kurva:
Soal 2 : x3-1 =0
Y= x3-1
1. y=(-3)3-1 = -27
2. y=(-2)3-1 = -8
3. y=(-1)3-1 = -2
4. y=(0)3-1 = -1
5. y=(1)3-1 = 0
6. y=(2)3-1 = 7
7. y=(3)3-1 =26
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -27 -8 -2 -1 0 7 26
Soal 3 : x3-2x2=2x-2
Penyelesaian soal no 3
x3-2x2=2x-2
x3-2x2-2x+2=0
1. (-3)3-2(-3)2-2(-3)+2=-37
2. (-2)3-2(-2)2-2(-2)+2=2
3. (-1)3-2(-1)2-2(-1)+2=1
4. (0)3-2(0)2-2(0)+2=2
5. (1)3-2(1)2-2(1)+2=-1
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
X -3 -2 -1 0 1 2 3
Y -37 2 1 2 -1 -2 -5
6. (2)3-2(2)2-2(2)+2=--2
7. (3)3-2(3)2-2(3)+2=-5
1. Titik Ekstrim dan Titik Belok Fungsi Kubik
Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi kubik (jika ada), serta titik beloknya,
dapat dicari melalui penulusuran terhadap derivatif pertama dan derivatif kedua dari
fungsinya. Derivatif pertama berguna untuk menentukan letak titik beloknya. Perhatikan
fungsi kubik berikut dan turunan-turunannya, serta hubungan mereka secara grafik.
y=13
x3−3 x2+8 x−3 ……………… …………. fungsi kubik
y I=x2−6 x+8 …………………… Fungsi kuadrat parabolik
y II=2 x−6……… ………………………………… Fungsi linear
jika y I=0 , x2−6 x+8=0 , (x−2 ) ( x−4 )=0→ x 1=2 , x2=4
untuk x=x 1=2 , → y=13
(2 )3−3 (2 )2+8 (2 )=3,67
[fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim maksimum]
→ yII=2 (2 )−6=−2<0(derivatif keduanegatif )
untuk x=x 2=4 , → y=13(4)3−3(4)2+8 (4 )−3=2,33
[fungsi kubik y = f(x)berada di titik ekstrim minimum]
→ yII=2 (4 )−6=2<0(derivatif kedua positif )
Jika y II=0,2 x−6=0→ x=3
→ y=13
(3 )3−3 (3 )2+8 (3 )=3 , (fungsi kubik y=f ( x )berada pada titik belok )
y I=32−6 (3 )+8=−1
[derivatif pertama berada di titik ekstrim, dalam hal ini titik minimum]
Jadi fungsikubik : y=13
x3−3 x2+8 x beradadi :
Titik maksimum pada koordinat (2;3,67)
Titik belok pada koordinat (3;3)
Titik minimum pada koordinat (4;2,33)
Soal no 4
Tentukan titik ekstrem dan titik belok fungsi kubik
y=− x3+15 x2−48 x
Tugas Matematika Ekonomi Kelompok 4Fekon 9
y=− x3+15 x2−48 x → y I=−3 x2+30 x−48 → yII=−6 x+30