FUNGSI BESSEL DISUSUN OLEH KELOMPOK III Nama Anggota : Desrianah 2007.121.246 Titin Yuniarti 2007.121.254 Okta Herlaiza 2007.121.2 Septia Julita 2007.121.278 Dessy Adetia 2007.121.440 Esca Oktarina 2007.121.459 Semester : 6L Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Matematika Lanjutan FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG 2009/2010
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
FUNGSI BESSEL
DISUSUN OLEH KELOMPOK III
Nama Anggota : Desrianah 2007.121.246 Titin Yuniarti 2007.121.254 Okta Herlaiza 2007.121.2 Septia Julita 2007.121.278 Dessy Adetia 2007.121.440 Esca Oktarina 2007.121.459 Semester : 6L Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Matematika Lanjutan
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI PALEMBANG
2009/2010
FUNGSI BESSEL
PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL
Fungsi Bessel dibangun sebagai penyelesaian persamaan diferensial.
( ) 0''' 222 =−++ ynxxyyx , 0≥n (1)
yang dinamakan persamaan diferensial Bessel. Penyelesaian umum (1) diberikan
oleh
)()( 21 xYcxJcy nn += (2)
Penyelesaian )(xJ n , yang mempunyai limit berhingga untuk x mendekati nol
dinamakan fungsi Bessel jenis pertama dan berorde n. penyelesaian )(xYn
yang tak mempunyai limit berhingga [yaitu tak terbatas] untuk x mendekati
nol dinamakan fungsi Bessel jenis keduan dan berorde-n atau fungsi
Neumann.
Jika peubah bebas x pada (1) diganti xλ di mana λ suatu konstanta,
persamaan yang dihasilkan adalah
( ) 0''' 2222 =−++ ynxxyyx λ (3)
Yang mempunyai penyelesaian umum )()( 21 xYcxJcy nn λλ += (4)
FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA
Didefinisikan fungsi Bessel jenis pertama berorde n sebagai
( ) ( ) ( )( )
−++⋅
++
−+Γ
= ...422242222
112
)(42
nn
x
n
x
n
xxJ
n
n
n (5)
Atau ( )
( )∑∞
=
+
++Γ
−=
0
2
1!2
1)(
r
rnr
n rnr
x
xJ (6)
Di mana ( )1+Γ n adalah fungsi gamma [Bab 9]. Jika n bilanngan bulat positif,
( ) !1 nn =+Γ , ( ) 11 =Γ . Untuk n = 0, (6) maka
...642422
1)(222
6
22
4
2
2
0 +−+−= xxxxJ (7)
Deret (6) konvergen untuk setiap x. Grafik )(0 xJ dan )(1 xJ ditunjukkan pada
Gambar 10-1.
Jika n setengah atau bilangan ganjil positif, )(xJ n dapat dinyatakan dalam
suku-suku sinus dan cosinus. Lihat Soal 10.4 dan 10.7.
Sebuah fungsi )(xJ n− , n > 0 dapat didefinisikan dengan mengganti n oleh –n
pada (5) atau (6). Jika n suatu bilangan bulat, maka kita dapat menunjukkan
bahwa [lihat Soal 10.3]
( ) )(1)( xJxJ nn
n −=− (8)
Jika n bukan suatu bilangan bulat, maka )(xJ n dan )(xJ n− bebas linear, dan
untuk kasus ini penyelesaian umum (1) adalah
)()( xJBxAJy nn
n −+= , ,...3,2,1,0≠n (9)
FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA
Kita akan mendefinisikan fungsi Bessel jenis kedua berorde n sebagai
( )
( ) ( )
( ) ( )
−
−
=−
−
→ ππ
ππ
p
xJpxJn
xJnxJ
xYpp
nn
n
np sin
cossin
cos
lim
,...3,2,1,0
,...3,2,1,0
=
≠
n
n
(10)
Untuk kasus di mana n =0,1,2,3,… diperoleh uraian deret berikut untuk ( )xYn .
( ) ( ) ( )nkn
knn
xknxJ
xxY
−−
=
−−−
+
= ∑21
0 2!1
12
ln2
πγ
π
( ) ( ) ( ){ } ( )!!211
1
2
1
0 knk
x
kk
nk
n
k
k
+
+Φ+Φ−−
+
−
=∑π
(11)
Di mana ...5772156,0=γ adalah konstanta Euler dan
( )p
p1
...3
1
2
11 ++++=Φ , ( ) 00 =Φ (12)
FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK ( )xJn
(GENERATING FUNCTION)
Fungsi ( )∑∞
−∞=
−=
n
nn
tt
x
txJe1
2 (13)
dinamakan fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel jenis pertama berorde
bulat, yang sangat banyak gunanya dalam memperoleh sifat-sifat fungsi ini
untuk nilai n bulat dan kemudian seringkali dapat dibuktikan berlaku untuk
semua n.
RUMUS-RUMUS PENGULANGAN (RECURRENCE FORMULA)
Hasil berikut ini berlaku untuk setiap nilai n.
1. ( ) ( ) ( )xJxJx
nxJ nnn 11
2−+ −=
2. ( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJ nnn 112
1' +− −=
3. ( ) ( ) ( )xxJxnJxxJ nnn 1' +−=
4. ( ) ( ) ( )xnJxxJxxJ nnn −= −1'
5. ( )[ ] ( )xJxxJxdx
dn
nn
n1−=
6. ( )[ ] ( )xJxxJxdx
dn
nn
n1+
−− −=
Jika n adalah suatu bilangan bulat rumus tersebut dapat dibuktikan dengan
fungsi pembangkit. Perhatikan bahwa hasil 3 dan 4 berturut-turut setara
dengan 5 dan 6.
Fungsi ( )xYn memenuhi hasil yang sama seperti di atas, di mana ( )xYn
menggantikan ( )xJ n .
FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL
1.Fungsi Hankel Jenis Pertama dan Kedua, yang berturut-turut
Dimana kita telah menggunakan soal 10.3(a). samakan bagian riil dan imajinernya
untuk peroleh hasil yang diinginkan.
3)Buktikanlah ,...2,1,0,)sincos(1
)(0
=−= ∫ ndxnxJ n θθθπ
π
Kalikan hasil pertama dan kedua soal 2.berturut-turut dengan cara θncos dan
θnsin dan integralkan dari 0 sampai π dengan menggunakan
=∫0
20
coscos π
π
θθθ dnm nm
nm
=≠
=∫0
20
sinsin π
π
θθθ dnm 0≠=
≠nm
nm
Kemudian jika n genap atau nol diperoleh :
θθθπ
π
dnxxJ n cos)sincos(1
)(0∫= , θθθ
π
π
dnx sin)sinsin(1
00∫=
Dan dengan menjumlahkannya diperoleh :
[ ] ∫∫ −=+=ππ
θθθπ
θθθθθπ 00
)sincos(1
sin)sinsin(cos)sincos(1
)( dxndnxnxxJ n
Dengan cara serupa ,jika n ganjil ,maka
θθθπ
π
dnxxJ n sin)sinsin(1
)(0∫= , θθθ
π
π
dnx sin)sincos(1
00∫=
Dan dengan menjumlahkannya diperoleh
θθθπ
π
dxnxJ n ∫ −=0
)sincos(1
)(
Jadi kita memperoleh hasil yang berlaku untuk n genap atua ganjil ,yaitu n=0,1,2,…
4)Buktikanlah hasil soal 10.6(b) untuk nilai bulat n dengan menggunakan fungsi
pembangkit.
Diferensialkan kedua ruas fungsi pembangkit terhadap t tanpa menuliskan limit
∞− sampai ∞+ untuk indeks n.
( )( ) ∑ −− =
+ 12
12 )(1
12
nn
ttx txnJt
xe
Atau ∑∑ −=
+ 12
)()(1
12
nn
nn txnJtxJ
t
x
Yaitu ∑∑ −=
+ 12
)()(1
12
nn
nn txnJtxJ
t
π
Ini dapat ditulis sebagai
∑∑∑ −− =+ 12 )()(2
)(2
nn
nn
nn txnJtxJtxJ
ππ
Atau n
nnn
n txJnttxJ )()1(2
)(2 1∑∑∑ ++=+ ππ
Yaitu n
nn
nn txJntxJxJ )()1()(2
)(2 12 ∑∑ ++ +=
+ ππ
Karena koefisien nt harus sama ,maka
)()1()(2
)(2 2 xJnxJxJ nnn +=+ +
ππ
Dan dari sini hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti n oleh n-1.
FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA
1 (a)Tunjukkan bahwa jika n bilangan bulat,penyelesaian umum persamaan Bessel adalah
y = EJn ( ) ( ) ( )
−+ −
ππn
xJnxJFx nn
sin
cos
(b)Jelaskanlah bagaimana anda dapat menggunakan bagian (a) untuk
memperoleh penyelesaian umum persamaan bessel dalam kasus n bulat.
FUNGSI BESSEL
(a) Karena nJ− dan nJ bebas linear,Penyelesaian umum persamaan bessel
dapat ditulis : y = ( ) ( )xJcxJc nn −+ 21
dan hasil yang diinginkan diperoleh dengan mengganti konstanta sebarang
21 cc ⋅ oleh E dimana
πππ
n
Fc
n
nFEc
sin,
sin
cos21
−=−+=
Perhatikanlah bahwa kita mendefinisikan fungsi bessel jenis kedua bila n bukan suatu bilangan bulat dengan
Y ( ) ( ) ( )π
πn
xJnxJx nn
n sin
cos −−=
(b) Bentuklah ( ) ( )
ππn
xJnxJ nn
sin
cos −−
Menjadi suatu “tak tentu / indeterminate” yang berbentuk 0/0 untuk kasus n suatu bilangan bulat.Hal ini disebabkan untuk suatu bilangan n,diketahui
( ) ( ) ( ) ( )xJxdanJn nn
nn 11cos −=−= −π lihat soal 10.3. “ bentuk tak tentu”
ini dapat dihitung dengan rumus L’Hospital,yaitu
( ) ( )
− −
→ ππp
xJpxJ np
np sin
coslim
Gunakanlah soal 1 untuk memperoleh penyelesaian umum persamaan untuk n=0 Dalam kasus ini harus dihitung
( ) ( )
− −
→ ππp
xJpxJ pp
p sin
coslim
0
Gunakanlah rumus L’Hospital (turunkan pembilang dan penyebut terhadap p)pada limit (1),diperoleh
00
1
cos
/(cos)/(lim
=
−−
→
∂∂−
∂∂=
∂∂−∂∂
p
PPPp
p p
J
p
J
p
JpJppJ
ππππ
Dimana lambang yang digunakan menyatakan bahwa kita mengambil turunan parsial dari ( ) ( )xdanJxJ pP − terhadap p dan kemudian mengambil p=0.Karena
( ) .// pJpJ pP ∂−∂=−∂∂ −− limit yang diinginkan juga sama dengan 0
2=∂
∂p
p
p
J
π
Untuk memperoleh pJ p ∂∂ / diturunkan deret
( ) ( ) ( )( )∑
∞
=
+
++−=
0
2
1!
2/1
r
rpr
p rprr
xxJ
Terhadap p dan diperoleh
( ) ( )( )
++∂∂−=
∂∂ +∞
=∑ 1
2/
!
1 2
0 rpr
x
prp
J rp
r
rP
Sekarang jika seandainya ( )( ) G
rpr
x rp
=++
+
1
2/ 2
, maka
Ln ( ) ( ) ( )1ln2/ln2 ++−+= rprxrpG
Sehingga turunanya terhadap p memberikan
( ) ( )( )1
112/ln
1
++++−=
∂∂
rpr
rpx
p
G
G
Maka untuk p=0 diperoleh
( )( ) ( ) ( )
( )
++−
+=
∂∂
= 1
1'2/ln
1
2/ 2
0rr
rrx
rr
x
p
G r
p
Gunakan (2) dan (3) , diperoleh
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
++−
+−=
∂∂
∑∞
== 1
1'2/ln
1!
2/122
0
2
0rr
rrx
rrr
x
p
J
r
rr
p
p
ππ
= ( ){ } ( )
+
+−++ ...2
11
422
22/ln
222
4
2
3
0
xxxJx
πγ
π
Dimana deret terakhir diperoleh dengan menggunakan hasil (6)dihalaman 240.deret terakhir ini adalah deret untuk Y)(0 x .Dengan cara yang sama kita
dapat memperoleh deret (11) dihalaman 241 untuk Y)(xn dimana n sebuah
bilangan bulat.Jika n sebuah bilangan bulat,maka penyelesaian umumnya diberikan oleh ( ) ( )xYcxJcy nn 21 +=
FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL
2. Buktikanlah rumus pengulangan untuk fungsi bessel jenis pertama
yangtelah dimodifikasi ln (x)yang diberikan oleh
I ( ) ( ) ( )xIx
nxIx nnn
211 −= −+
Dari soal 10.6(b)kita memperoleh
)()(2
)( 11 xJxJx
nxJ nnn −+ −=
Gantilah x dengan ix untuk memperoleh
)()(2
)( 11 ixJixJx
inixJ nnn −+ −−=
Sekarang menurut definisinya )()( ixnJixI nn −= atau )(xIi n
n sehingga
(2)menjadi )()(2
)( 11
1 xIixIix
inxIi n
nn
nn
n −+
+ −−=
Bagilah dengan 1+ni ,maka hasil yang diinginkan tercapai.
3. Jika n bukan suatu bilangan bulat,tunjukkanlah bahwa
(a) πni
xJexJxH n
inxn
n sin
)()()()1(
−− −=
Menurut definisi makaxdanYxH nn ),()()1(
−+=+= −
ππn
xJnxJixJxiYxJxH nn
nnnn sin
)(cos)()()()()()1(
=π
ππn
xiJnxiJnxJ nnn
sin
)(cos)(sin)( −−+
=
−− −
πππ
n
xJninxJi nn
sin
)()sin)(cos(
=
− −−
πn
xJexJi n
inxn
sin
)()(
=πni
xJexJ ninx
n
sin
)()( −− −
(b) πni
xJxJexH nn
inx
n sin
)()()()2( −−=
Karena ),()()()2( xiYxJxH nnn −= denhan mengganti i oleh –i pada hasil (a)
maka diperoleh
πni
xJexJxH n
inxn
n sin
)()()()2(
−−= −
=πni
xJxJe nninx
sin
)()( −−
4. Tunjukkanlah (a) Ber ...864242
1)(2222
8
22
4
0 −+−= xxx
Bei ...1086426422
)(22222
10
222
6
2
2
0 −+−= xxxx
FUNGSI BESEEL
Diketahui:
+−+
−+−=
−+−−+=
−+−+−=
−
+
−
+
−=
...6422
...864242
1
...8642642422
1
...8642642422
1
...8642642422
1
222
8
2
2
2222
8
22
4
2222
8
222
6
22
4
2
2
2222
812
222
69
22
46
2
23
2222
82
3
222
62
3
22
42
3
2
22
3
23
0
zzi
zz
zizziz
zizizizi
zizizizizir
Dan hasil yang diinginkan tercapai dengan mengingat bahwa
( ) ( )daniBeiBerJ zzzi
+=
00 2
33menyamakan bagian riil dan imajinernya.perlu
dicat bahwa kadang-kadang menghilangkan indeks nol dalam ( ) ( ).00 zdanBeizBer
PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN NKE DALAM PERSAMAAN BESSEL
1.. tentukan penyelesaian umum persamaan .0''' =++ ayyxy
Pesamaan tersebut dapat ditulis sebagai 0''' =++ axyxyyx z dan merupakan suatu ------khusus dari persamaan (24) di halaman 242dimana
,,0 aak == r = 0,21
=β maka penyelesaian seperti diberikan 242
adalah
( ) ( )axycaxJcy 22 0201 +=
KETEGAK LURUSAN FUNGSI BESEEL
2.Buktikanlah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
''1
0 µλλµλµλµµλ
−−
=∫ nnnnn
n
JJJJdxxJxxJ jika .µλ ≠
Dari (3) dan (4) dihalaman 240,kelihatan bahwa ( )xJy n λ=1 dan
( )xJy n µ=2
Adalah penyelesaian persamaan
( ) ( ) 0,0 2222'
2''
22
1222'
1''
12 =−++=−++ ynxxyyxynxxyyx µλ
Dengan pengalikan persamaan dengan 2y dan 2 dengan 1y dan kemudian kurangkan, kita memperoleh
[ ] [ ] ( ) 21222'
21'
12''
21''
122 yyxyyyyxyyyyx λµ −=−+−
Setelah dibagi dengan x dapat ditulis sebagai berikut
[ ] [ ] ( ) 2122'
21'
12'
21'
12 yxyyyyyyyyydx
dx λµ −=−+−
Atau
[ ]{ } ( ) 2122'
21''
12 yxyyyyyxdx
d λµ −=−
Kemudian integralkan dan hilangkan konstanta pengintegralannya,
( ) [ ]∫ −=− '21
'1221
22 yyyyxdxyxyλµ
Lalu gunakan ( ) ( )xJyxJy nn µλ == 21 , dan bagikan dengan ,022 ≠− λµ
maka
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫ −
−=
22
''
λµµλµλµλµλ xJxJxJxJx
dxxJxxJ nnnnnn
Jadi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22
''1
0 λµµλµλµλµλ
−−
=∫ nnnnnn
JJJJdxxJxxJ
Yang ekivalen dengan hasil yang diinginkan.
3. buktikan ( ) ( ) ( ) .12
1 2
2
221
0
2
−+=∫ λ
λλλ nnn J
nJdxxxJ
misalkan λµ → pada hasil soal no 2.dengan mengunakan rumus L hospital diperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
µµλµµλλµλλµ
λµ 2
'''1
0
2
lim nnnnnnn
JJJJJJdxxJ
−−=
→∫
( ) ( ) ( ) ( )
λλλλλλλλ
2
'''2'nnnnn JJJJJ −−
=
Tetapi karena ( ) ( ) ( ) ( ) ,022'''2 =−++ λλλλλλ nnn JnJJ dengan menyelesaikan
untuk ( )λ''nJ dan mensubstusikannya diperoleh
( ) ( ) ( )
−+=∫ xJ
nJdxxxJ nnn
22
22'1
0
2 12
1
λλλ
4.buktikan bahwa jika µλdan adalah dua akar berbeda dari prsamaan
N ( ) ( ) 0' =+ xSxJxRJ nn dimana R dan S kostanta, maka
( ) ( )∫ =1
00dxxJxxJ nn µλ
Yaitu ( )xJx n λ dan ( )xJx n µ saling tegak lurus pada (0,1).
Karena λ dan µ akar dari ( ) ( ) ,0' =+ xSxJxRJ nn kita mempunyai
( ) ( ) ,0' =+ xSxJRJ Nn λ ( ) ( ) 0' =+ µµ µ nn JSRJ
Kemudian, jika 0,0 ≠≠ SR dari (1) kita memperoleh
( ) ( ) ( ) ( ) 0'' =− λµµµλµ nnnn JJJJ
Sehingga dari soal 2.kita mendapatkan hasil yang diinginkan
( ) ( )∫ =1
00dxxJxxJ nn λλ
Dalam kasus 0,0 ≠≠ SR atau ,0,0 =≠ SR hasil tersebut juga dapat dibuktikan dengan mudah.
DERET FUNGSI BESSEL
1.Jika ( ) ( )∑= 0,xJAxf pnp λ < x >1, dimana ,...,3,2,1, =ppλ akar positif dari
( ) ,0=xJ n ditunjukkan bahwa
( ) ( ) ( )∫+
=1
021
2dxxfxxJ
JA pn
pnP λ
λ
Kalikan deret untuk f(x) dengan ( )xxJ kn λ dan integralkan suku demi suku
dari 0 sampai 1.maka
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∑ ∫≈
=
=1
01p
pnknpkn dxxJxxJAdxxfxxJ λλλ
= ( )∫1
0
2 dxxxJA knk λ
= ( )kNK JA λ2'
2
1
Dimana kita telah menggunakn soal 10.22.dan 10.23 bersama-sama dengan kenyataan bahwa
( ) ( ) ( )∫=1
02'
2dxxfxxJ
JA kn
kn
K λλ
Untuk memperoleh hasil yang diinginkan dari sini,digunakan rumus pengulangan 3 dihalaman 240 yang ekivalen denga rumus 6 dihalaman itu, kita memperoleh
( ) ( ) ( )knknknk JnJJ λλλλλ 1
'+−=
Atau karena ( ) 0=knJ λ
( ) ( )knkn JJ λλ 1'
+−=
2.uraikan f(x)=1 dalam suatu deret yang berbentuk
( )∑∞
=10
ppp xJA λ
Untuk 0<x<1,jika pλ ,p=1,2,3,…, adlah akar positif dari ( ) ,00 =XJ
( ) ( ) ( ) ( )∫∫ == p
dvvvJJ
dxxxJJ
App
pp
p
λ
λλλ
λ 0 021
2
1
0 021
22
= ( ) ( ) ( )pppip JvvJ
Jp
λλλλλ
10122
22 =
Dimana kita telah menggunakan penggantian xv pλ= dalam intergralnya
dan hasil soal 10.8 dengan n=1 Jadi kita memperoleh deret yangdiinginkan
( ) ( ) ( )∑∞
=
==1
01
21
pp
pk
xJJ
xf λλλ
Yang dapat ditulis sebagai ( )
( )( )
( ) 2
1...
222
20
111
10 =++λλ
λλλ
λJ
xJ
J
xJ
SOAL-SOAL TAMBAHAN PERSAMAAN DEFERENSIAL BESSEL 10.26. Tunjukanlah bahwa jika x diganti oleh xλ dimana λ kostanta, maka persamaan Bessel ( ) 022'''2 =−++ ynxxyyx ditransformasikan menjadi
( ) 0222'''2 =−++ ynxxyyx λ FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA
10.27.(a) tunjukan ( ) ...8642642422 222
7
22
5
2
5
1 +−+−= xxxxxJ dan periksalah bahwa
selang kekonvergenan adalah ∞− <x<∞ 10.28.tunjukan ( ) ( ).1
10 xJXJ −=
10.29. tunjukanlah ( )[ ] ( )xxJxxJdx
d01 =
10.30.Hitunglah (a) ( )xJ
25 dan (b) ( )xJ
25− dalam suku-suku sinus dan cosinus.
10.31.tentukanlah ( )33J dalam suku-suku ( ) ( ).10 xdanJxJ
10.32. buktikanlah bahwa ( )a ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJxJxJ
xJxJxJxJ
nnnnn
nnnn
3113'''
22''
334
1
22
1
++−−
+−
−+−=
+−=
Dan buatlah perumusan hasil ini.
10.33 hitunglah (a) ( )∫ ,23 dxxJx (b). ( )∫
1
0 03 dxxJx (c). ( )∫ dxxJx 0
2
10.34 hitunglah (a) ( )∫ dxxJ 31 (b).
( )∫ dx
x
xJ2
2
10.35.hitunglah ( )∫ .sin0 xdxxJ
FUNGSI PEMBANGKIT DAN HASIL-HASIL TAMBAHAN 10.36 gunakanlah fungsi pembangkit untuk membuktikan bahwa
( ) ( ) ( )[ ]xJxJxJ nnn 11'
2
1+− += untuk kasus dimana n bulat.
10.37 gunakanlah fungsi pembangkit untuk mengerjakan soal 10.30 dalam kasus n bulat.
10.38 tunjukanlah ( ) ( )∫= 2
00 sincos2 π
θθπ
dxxJ
10.39 tunjukanlah ( ) ( )∫ ∑∞
=+=
x
kk xJdttJ
00
120 2
FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA 10.40. Buktikanlah ( ) ( )xYxY 1