FUNDAMENTOS TEÓRICOS

1. FUNDAMENTOS TEÓRICOS

1.1 Aplicação da equação da energia e o conceito de perda de carga

Sendo a carga Hi de uma seção i definida pela Energia Mecânica do escoamento por unidade de peso, onde o escoamento é incompressível e as variações de pressão e cota ao longo da seção são desprezíveis, vale que:

onde pi é a pressão estática na seção transversal, é o peso específico do fluido, é a cota em relação ao PHR, α é o coeficiente de energia cinética, Vi é a velocidade média na seção e g é a aceleração da gravidade.

Para um escoamento incompressível e permanente em um duto, sem trabalhos externos de quaisquer natureza, com pressão e cota uniformes nas seções de entrada (1) e saída (2), chega-se, através de integração, a:

em que hL é a perda de carga (decorrente da conversão da Energia Mecânica em Energia Interna e transferência de calor). Para um duto horizontal analisando trechos de mesma seção transversal, V e z também são constantes. Daí, é possível simplificar (1) para:

A perda divide-se em duas parcelas: hL, perda distribuída, consequência do atrito presente em um trecho reto da tubulação, e a perda localizada, hs, decorrente de elementos específicos da tubulação (válvulas, tês, cotovelos etc).

1.2 Perda de carga distribuída

Em relação aos escoamentos laminares, há três grandes diferenças quanto à perda de carga distribuída:

1) seu valor é muito maior, graças à ação de tensões turbulentas decorrentes das variações aleatórias de velocidades;

2) sua dependência da vazão não é linear, mas depende de um fator maior que 1;

3) os efeitos da rugosidade da superfície interna do tubo passam a ter significativa importância para esse escoamento, ao contrário do que acontece para a perda de carga de um escoamento laminar.

Ao contrário do escoamento laminar, a perda distribuida em escoamento turbulento não pode ser deduzida analiticamente, sendo de suma importância o entendimento de como é realizada a quantificação dessa grandeza a partir de experimentos, análise dimensional e equações empíricas.

Calcula-se a perda de carga distribuída através da análise dimensional. Experimentalmente, descobre-se que a pressão Δp de um escoamento turbulento plenamente desenvolvido, em um trecho reto e horizontal de tubo sem variações no diâmetro é função de seis parâmetros:

,

sendo D o diâmetro do tubo, L o comprimento do trecho considerado, ε a rugosidade equivalente da superfície interna do tubo, a velocidade média do escoamento, ρ a massa específica e μ a viscosidade dinâmica do fluido. Reescrevendo a relação:

Partindo do princípio de que a perda de carga ocorra exclusivamente pela parcela distribuída, substitui-se o resultado na equação (2):

Ademais, também se verifica experimentalmente que a perda de carga é

proporcional a . Então:

Figura 5 – (a) Perfis de velocidade de escoamentos no interior de tubos, laminar e turbulento para

diversos valores de n, (b) Subcamada viscosa e efeito de elementos de rugosidade (Munson et al., 2004)

Define-se a função como fator de atrito, f, e portanto

Tem-se, então, a fórmula universal Darcy-Weisbach da perda de carga.

1.2.1 Efeito da rugosidade na perda de carga distribuída Diferentemente do escoamento laminar, o escoamento turbulento não pode ter

o perfil de velocidades dado com exatidão por uma expressão analítica advinda de uma solução teórica do problema. Ao invés disso, recorre-se a dados experimentais para a análise desse caso. Nesse sentido é comum encontrar uma expressão de potências para o perfil de velocidades, dada a seguir:

, sendo a velocidade no centro do tubo e n uma função do número de Reynolds. Os valores típicos para essa função vão de 6 (Re = ) a 10 (Re = ). A Figura 5 mostra o perfil de velocidades para diversos valores de n para o escoamento turbulento.

Através da análise dos perfis de velocidade nos escoamentos turbulentos, é possível identificar que as regiões próximas da parede do tubo são as únicas onde os efeitos viscosos são relevantes. Nessas regiões existe a subcamada viscosa, que possui uma espessura . Sendo a rugosidade do tubo dada por ε, ter-se-á dois casos importantes:

(1) > ε: nesse caso, há um amortecimento das pertubações causadas pelos elementos de rugosidade e não haverá nenhuma perda adicional significativa além das dissipações dadas pela viscosidade e pela turbulência. Esse regime é chamado de hidraulicamente liso e seu fator de atrito é influenciado apenas pelo número de Reynolds, Re.

(2) para números de Reynolds suficientemente elevados, ocorre a diminuição da espessura da subcamada viscosa, fazendo com que os elementos de rugosidade possam ultrapassá-la, aumentando, assim, a aleatoriedade da velocidade do escoamento. Nessa condição, temos o regime hidraulicamente

rugoso ou completamente turbulento, cujo fator de atrito depende apenas de .

A partir dos estudos de Johann Nikuradse em 1933 com tubos com rugosidade uniforme controlada, obteve-se o gráfico apresentado na Figura 6, que é separada por 5 regiões mais bem descritas a seguir.

(I) Re < 2000: região do diagrama na qual o escoamento é laminar e o

fator de atrito é função única do número de Reynolds (f ), logo, há apenas uma reta para os diferentes valores de rugosidade.

(II) 2000 < Re < 4000: região de transição entre os regimes laminar e turbulento.

(III) Reta na parte inferior da região de escoamento turbulento: região onde o regime é hidraulicamente liso. Como já comentado, nessa região, o fator de atrito é função apenas do número de Reynolds. Conforme ele aumenta, tem-se a diminuição da espessura da subcamada e as curvas acabam deixando a região (III), para um determinado Re. As curvas que exigem menor Re para sair desta região são as que possuem maior rugosidade relativa.

(IV) Região entre a reta (III) e a linha tracejada que delimita a região (V): essa região representa um espaço intermediário entre os regimes hidraulicamente liso e rugoso. Nela, há dependência tanto do número de Reynolds quanto da rugosidade relativa.

(V) Região de curvas paralelas ao eixo das abscissas: esta região representa o regime hidraulicamente rugoso, em que o fator de atrito é função apenas da rugosidade relativa, o que é percebido pela invariância das curvas com Re.

Figura 6 – Variação de f (representado por λ) em função de log(Re), da rugosidade k e do raio r dos tubos

Já em 1939, Colebrook, repetindo o experimento de Nikuradse com tubos comerciais (e, portanto, sem uma rugosidade uniforme), criou o conceito de rugosidade equivalente, que permitiu a superposição de seus resultados aos de Nikuradse.

Uma observação importante é a de que na maioria dos tubos existe um aumento da rugosidade relativa com o tempo, devida à corrosão e à criação de depósitos de impurezas na periferia do tubo.

1.2.2 Cálculo do fator de atrito O cálculo da perda de carga distribuída da equação (3) é precedido pelo cálculo de f, o fator de atrito, que é determinado experimentalmente em regimes turbulentos. Após diversas medições, Lewis Moody, em 1944, agrupou diversos resultados do fator de atrito, para também diversos números de Reynolds, associados ainda a vários valores de rugosidade equivalente. O gráfico -- posteriormente conhecido como Diagrama de Moody -- construído a partir de tais medições é reproduzido na Figura 7.

No entanto, a fim de evitar a consulta a gráficos para obter o fator de atrito em regimes turbulentos, criaram-se expressões matemáticas pelo ajuste de dados experimentais, dentre as quais se destaca a de Colebrook.

Figura 7 – Diagrama de Moody (retirado de http://www.esta.ipt.pt/7_1_mostra.asp?n=5925. Acesso em 26/10/2015)

O diagrama de Moody apresenta a região de escoamento laminar, transitório e turbulento, esta região sendo a de maior interesse. São evidenciadas ainda três regiões distintas dentro do próprio regime turbulento:

-Escoamento Turbulento Hidraulicamente Liso. Quando os tubos tendem a lisos a dependência do fator de atrito é basicamente com o Reynolds, de maneira análoga ao que ocorre no regime laminar.

-Escoamento Turbulento Rugoso. Para combinações elevadas de rugosidade relativa e número de Reynolds (indo em direção ao canto superior direito do diagrama), o fator de atrito passa a independer do Reynolds, sendo as curvas paralelas ao seu eixo (horizontais).

-Escoamento Turbulento Misto. Na região entre as outras duas regiões turbulentas o fator de atrito depende tanto do Reynolds quanto da rugosidade relativa.

1.3 Perda de carga singular

Além das perdas distribuídas, também podem acontecer outras perdas, que estão relacionadas à geometria do lugar em que o escoamento ocorre. Tais perdas são as perdas de carga localizadas e acontecem quando ocorre separação do escoamento, o que, por sua vez, acontece quando o fluido passa por curvas e dispositivos tais como válvulas, cotovelos e tês. Dependendo do dispositivo, essas perdas podem ser variadas e, devido à complexidade de descrever o escoamento, as medidas da perda de carga são feitas experimentalmente e fornecidas, majoritariamente, em equações adimensionais. A principal fórmula que descreve tais perdas é:

onde é função da geometria da singularidade (dispositivo, curva etc) e do número de Reynolds do escoamento.

Quando Re é suficientemente grande, o escoamento passa a ser dominado pelos efeitos de inércia e, assim, o valor Ks passa a depender minimamente de Re, tornando-se função apenas da geometria do dispositivo.

Além disso, para (4), é considerada a velocidade da seção de menor diâmetro.

1.4 Linhas piezométrica e de energia

As Linhas Piezométrica (LP) e de Energia (LE) permitem um estudo geométrico do escoamento e podem fornecer um melhor entendimento sobre o mesmo. Essas linhas estão indicadas na Figura 8.

Figura 8 – Linhas Piezométrica (LP) e de Energia (LE), com as perdas distribuídas e localizadas (retirada do roteiro da Experiência 2)

A soma das cargas de pressão e elevação, denominada carga piezométrica, fornece a pressão estática, que se mede através de tubos piezométricos. A LP de um escoamento corresponde ao gráfico em que as medidas da carga piezométrica são feitas em função do comprimento longitudinal do tubo. Ou seja, é a linha formada pelo conjunto de medições piezométricas feitas durante o escoamento.

Por outro lado, a LE corresponde ao gráfico para o qual os valores da carga total são obtidos em função da distância longitudinal. Para a carga total, considera-se a Energia Cinética, a pressão e a cota.

Usando um tubo de Pitot, é possível medir a pressão de estagnação, a partir da qual pode-se obter a elevaçao da linha de energia.

A LP e a LE estao separados pela distância , de modo que a LP está sempre abaixo da LE. Para uma tubulação reta de diâmetro constante e sem a ocorrência de perdas de carga localizada, as linhas são paralelas, pois a distância

é constante. Quando ocorre perda de carga localizada, ambas se inclinam para baixo, na direção do escoamento; quanto maior a perda por unidade de comprimento, maior a inclinação das linhas. Com base nesses dados, a perda de carga distribuída pode ser obtida através da Linha de Energia usando-se a diferença de cota entre dois pontos quaisquer de um trecho da Linha de Energia.

Quando ocorre uma mudança súbita da geometria, ocorre também uma mudança súbita nas LP e LE, como exposto na Figura 8. Dependendo de o valor do

diâmetro à jusante ser maior ou menor do que o diâmetro à montante, o valor da LP pode apresentar um salto positivo ou negativo. No entanto, a Linha de Energia vai apresentar uma queda de valor, pois, nesse caso, ocorre perda de Energia Mecânica devido à mudança abrupta de diâmetros. Ao traçar as LE para as regiões à montante e à jusante da singularidade e ao prolongá-las até a posição da singularidade, pode-se determinar, como indicado na Figura 8, a perda de carga suplementar hs, originada na instalação devido à singularidade.

1.5 Tubo de Venturi

O tubo de Venturi é um medidor por diferencial de pressão, sendo, assim, um medidor indireto de vazão. Seu funcionamento se dá alterando a seção de escoamento a fim de verificar alterações decorrentes nos outros membros da equação da energia entre dois pontos (entrada e saída do medidor).

Uma dada alteração na velocidade causa uma alteração na pressão p, que se mede com um manômetro, e a vazão pode ser calculada a partir de uma análise teórica ou de uma correlação experimental para o dispositivo. Há, no entanto, uma possível zona de recirculação formada pela separação do escoamento, que se dá da garganta do dispositivo. A corrente do escoamento ainda acelera após a garganta e cria uma vena contracta na seção 2, desacelerando em sequência no enchimento do duto. Nessa vena, a área de escoamento é mínima e é possível aproximar as linhas de corrente para retas, bem como a pressão para algo uniforme na seção do canal.

Figura 1 – Escoamento interno através de um bocal genérico, mostrando o volume de controle

para análise. (Fox et al., 2011)

O Tubo de Venturi é projetado para gerar a perda de pressão porém com mínima perda de carga(minimizando efeitos de recirculação e vena contracta), sendo mais caro do que outros medidores por diferencial de pressão.

Tabela 1 – Características de medidores de vazão do tipo placa de orifício, bocal e tubo Venturi

(Fox et al., 2011)