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Apuntes de Curso, No. 1 2014ISBN XXXXXXXX
Deduccion Natural:Fundamentos de Razonamiento Logico y del
Metodo Cientfico
Juan Mayorga-Zambrano, [email protected]
Version preliminar: junio 2014
Resumen
Se construyen las herramientas de la Logica necesarias para el
estudio de la Ciencia, desde la perspectiva de laDeduccion Natural
(Calculo Proposicional formalizado por Gentzen y Jaskowsky). A
partir de un conjunto basicode Principios y Reglas de Argumentacion
basicas se derivan las Reglas Derivadas, el concepto de
EquivalenciaLogica y se presentan los Metodos de Argumentacion. La
construccion del conocimiento se apoya con un volumenapropiado de
ejemplos de diferentes ambitos.
Topicos
1. Introduccion 21.1. Definiciones de proposicion y declaracion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21.2. Solidez y validez de un razonamiento . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Principios de la Logica 5
3. Conectores y operadores logicos 9
4. Reglas de Inferencia Fundamentales 104.1. Introduccion de la
conjuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 104.2. Eliminacion de la conjuncion . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 114.3. Introduccion del condicional . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4.
Eliminacion del condicional (Modus Ponens) . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.5. Introduccion de la
disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 144.6. Eliminacion de la disyuncion
(Dilema) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 154.7. Introduccion de la negacion (Reduccion al
Absurdo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164.8. Eliminacion de la Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5. Falacias 185.1. Falacia de la Afirmacion del Antecedente . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
185.2. Falacia de la Negacion del Consecuente . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6. Conectores logicos derivados 196.1. Bicondicional . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 196.2. Disyuncion Exclusiva . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206.3. Conjuncion Negativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7. Reglas de Inferencia Derivadas 217.1. Silogismo Hipotetico .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 217.2. Mutacion de las Premisas . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227.3. Conmutatividad y Asociatividad de la Conjuncion . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.4. Introduccion de
la Doble Negacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 23
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7.5. Principio del Tercer Excluido y Principio de Contradiccion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.6. Modus Tollens
y Contrapositiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 247.7. Carga de Premisa . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 257.8. Inferencia Alternativa . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257.9. Silogismo Disyuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.10. Dilema
Destructivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.11. Conmutatividad y
Asociatividad de la Disyuncion . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 277.12. Definicion del Condicional . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 27
8. Equivalencia e implicacion logicas 288.1. Leyes Distributivas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 288.2. Leyes de Absorcion . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 298.3. Leyes de De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298.4. Leyes
de Reemplazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9. Metodos de Demostracion 299.1. Metodo Directo . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 299.2. Contrarrecproca . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309.3. Reduccion al Absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
10. Ejercicios 30
A. Lecturas 33A.1. Iman Abu Hanifa . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33A.2. Tomas de Aquino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33A.3. Ivan el
Terrible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Referencias 33
1. Introduccion
La Ciencia requiere de un mecanismo robusto y aceptable por la
razon humana, que le permita distinguir lavalidez de los procesos
propios de su construccion interna y de su aplicacion a situaciones
externas; la Logica,1
con su formalismo, constituye este mecanismo, [10]. Por lo
expuesto, la Jusrisprudencia (entendida como Cienciadel Derecho),
la Ingeniera, etc., requieren de la Logica.
En el presente trabajo abordamos los rudimentos de la Logica
desde la perspectiva del Calculo Proposicionalde Gentzen y
Jaskowski, mejor conocido como Deduccion Natural (veanse e.g. [8],
[14] y [9]). Esta es unaherramienta fundamental que debera
estudiarse en el primer ano de carreras de Derecho, Ingeniera y
CienciasExactas, donde los procesos argumentativos son esenciales
para un ejercicio profesional eficaz y eficiente.
Desde la perspectiva matematica hemos recurrido a [1], [5] y [3]
como referencias principales. Para una resenahistorica sobre la
Deduccion Natural recomendamos [12]. Desde la perspectiva jurdica
han sido muy importanteslas referencias [6], [13] y [11].
1.1. Definiciones de proposicion y declaracion
Los principios de la Logica, que presentaremos en la Seccion 2,
son los mismos que sostienen a la Cienciay, entonces, tambien al
Metodo Cientfico, [10]. Empezamos con las definiciones de los
elementos basicos de laLogica: proposicion y razonamiento.
Definicion 1.1. Declaracion.- Es una oracion o una parte de una
oracion que expone una proposicion.
Definicion 1.2. Proposicion.- Es un enunciado del que se puede
establecer su valor de verdad, es decir se puedeverificar si es
verdadero (denotado por V o 1) o falso (denotada F o 0).
1Del griego o (logike) que significa dotado de razon,
intelectual, dialectico, argumentativo.
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Ejemplo 1.1. Las siguientes oraciones
Carlos H. es culpable de homicidio en primer grado.Carlos H. is
guilty of first degree murder.
Del cargo de asesinato en primer grado, Carlos H. es
culpable.
son declaraciones que expresan el mismo contenido (que
necesariamente es verdadero o falso), es decir la
mismaproposicion.
Observacion 1.1. Debe tenerse presente que, en el ambito del
Derecho, una declaracion se encuentra como unamanifestacion formal
que realiza una persona con efectos jurdicos, especialmente la que
hacen las partes, testigos o peritosen un proceso, [7]. Las
declaraciones presentes en el Ejemplo 1.1 podran representar a
grosso modo la parte finalde un veredicto o sentencia de un juez o
jurado.
Preguntas, suposiciones y exhoraciones no son declaraciones pues
de los contenidos de estas no se puedeestablecer un valor de
verdad.
Ejemplo 1.2. Ninguna de las siguientes oraciones es una
declaracion:
1) El abogado defensor debera ser claro y conciso en la
presentacion de sus argumentos.2) Podras ser claro?3) Supongamos
ahora que los zombies existen.
Cuando se busca discernir entre lo verdadero y lo falso lo
fundamental es el contenido - la proposicion - masalla del
envoltorio - la declaracion. Por tanto, de aqu en adelante nuestra
presentacion considera basicamenteproposiciones.
Una proposicion es simple cuando esta formada por un unico
enunciado. Las proposiciones simples sonusualmente representadas
por letras. Por otro lado, una proposicion compuesta esta formada
por dos o massimples vinculadas entre s por conectores logicos como
la conjuncion, y, la disyuncion,o, condicional, si... entonces,
etc.
Ejemplo 1.3. Representemos algunas proposiciones:
P: El pizarron es negro.PS: El pizarron es negro y rosado.Q: Mi
nombre es Pedro.WQ: Mi nombre es Juan o Pedro.U: 3+6 = 9.UU: 3+6 =
9 y 3+6 , 9.LM: Si llueve entonces el patio se moja.Es claro que
las proposiciones P, Q, W, L, M y U son proposiciones simples.
Como se puede ver en el Ejemplo 1.3 se usan habitualmente letras
mayusculas para representar proposiciones.En la Tabla 1 se
presentan los principales conectores y operadores logicos.
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Tabla 1: Conectores logicosConector Operador Aplicacion
Interpretacion 1 Interpretacion 2
Conjuncion PQ P y Q Q y PDisyuncion PQ P o Q Q o PCondicional PQ
Si P entonces Q Q si P
Negacion P No P Es falso P
1.2. Solidez y validez de un razonamiento
Abordemos ahora el proceso esencial en el estudio de la Logica,
el razonamiento o argumento.
Definicion 1.3. [Razonamiento o argumento]Un razonamiento o
argumento consiste en pasar de un conjunto de proposiciones -
llamadas premisas, a unaproposicion - llamada conclusion.
En el esquema simple (1.1), a par-tir de las premisas P1, P2, P3
y P4 seobtiene la conclusion C, sin enun-ciarse paso intermedio
alguno. Sinembargo, en un razonamiento es ha-bitual sacar
conclusiones parcialesantes de obtener la conclusion final,esto se
refleja en el esquema (1.2)donde se obtienen las
conclusionesparciales Q1 y Q2, antes de alcanzarla conclusion final
C.
1 P1
2 P2
3 P3
4 P45 C
(1.1)
1 P1
2 P2
3 P3
4 P4
5 Q1
6 Q27 C
(1.2)
Observe que la Definicion 1.3 incluye los procesos de deduccion
de personas mentalmente desequilibradas,de ninos pequenos, etc.,
esto es, no establece condiciones para la solidez o no-solidez de
un argumento.
Definicion 1.4. [Solidez de un argumento]Un razonamiento o
argumento es solido si y solo si su estructura es valida y (al
mismo tiempo) sus premisas sonverdaderas.
Definicion 1.5. [Validez de la estructura de un argumento]La
estructura de un argumento es valida si y solo si la negacion de su
conclusion es incompatible con laspremisas.2
Como veremos en la Seccion 2, la mayora de los Principios de la
Logica nos ayudan a identificar la no-solidezde un razonamiento,
(en la mayora de los casos) mediante la identificacion de la
no-validez de su estructura.Por otro lado, para establecer la
solidez de un argumento es necesaria la aplicacion de reglas de
inferencia; estoes abordado en las Secciones 4 y 7 y tiene que ver
con la estructura del razonamiento (en tanto que las premisassean
todas verdaderas).
No se deben confundir los terminos verdadero y falso - que se
aplican a una proposicion - con los terminos valido y no valido -
quese aplican a la estructura de un razonamiento. Por otro lado por
simplicidad, diremos que un razonamiento es valido si su estructura
lo es.
Ejemplo 1.4. En el ambito tecnico - cientfico, especialmente
cuando esta inmerso un estudio experimental querequiere el analisis
estadstico de un conjunto de datos, es habitual terminar el proceso
mediante una Prueba deHipotesis. Pero, que es una hipotesis? y que
es una prueba de hipotesis?
2Esta definicion, presente en [1] tiene su origen en el filosofo
estoico griego Crisipo de Solos (281 AEC - 208 AEC, aprox.).
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Una hipotesis es una proposicion. Estrictamente, una prueba de
hipotesis corresponde a la determinacion delvalor de verdad de la
hipotesis.Cuando no se cuenta con la poblacion bajo estudio y solo
se cuenta con una muestra, la conclusion mantiene elsentido pero se
anade el concepto de confianza de la prueba. Por ejemplo, en lugar
de concluir que
La tasa de analfabetismo digital es mayor en Ecuador que en
Francia;
se concluye algo como
Con un 97% de confianza, la tasa de analfabetismo digital es
mayor en Ecuador que en Francia
Como se evidenciara en la Seccion 4.7, el mecanismo que sigue
una prueba (estadstica) de hipotesis correspondea una version
(probabilstica) del metodo der demostracion conocido como Reduccion
al Absurdo.
Observacion 1.2. Recuerde que los conceptos de poblacion y
muestra se refieren a conjuntos de numeros y no apersonas, animales
o cosas; estos ultimos son fuentes de informacion o unidades
muestrales.
2. Principios de la Logica
A base de razonamientos, solidos o equivocados, nuestra mente
toma decisiones; por tanto, es fundamentalconocer bajo que
condiciones o principios un razonamiento es o no solido, es decir
debemos contestar a lasiguiente pregunta: bajo que condiciones
podemos asegurar que las conclusiones obtenidas estan
sustentadaspor las premisas?
En esta seccion, enunciamos los principios que deberan guiar
nuestra mente cuando razonamos; por ello, es muy importante
tenerpresente que, al analizar un argumento, los conceptos de
solidez y validez (de su estructura) son equivalentes en tanto que
todaslas premisas sean verdaderas.
Principio 1. Un razonamiento que usa alguna premisa falsa no es
solido.
Por tanto, para que no perdamos el tiempo con un razonamiento,
es una costumbre sana verificar primero que laspremisas sean todas
verdaderas. Al principio anterior se le refiere como el Principio
de Pureza de las Premisas.
Ejemplo 2.1. El siguiente razonamiento no es valido porque la
segunda premisa es falsa.
Premisa 1: En una monarqua, la maxima autoridad es el
rey.Premisa 2: En Ecuador se tiene una monarqua.Conclusion: Por
tanto, en Ecuador la maxima autoridad es el rey.
Ejemplo 2.2. En una escena de la pelcula Monty Python and the
Holy Grail (1975), el Rey Arturo nombra caballeroal juez Bedevere y
lo recluta para su divina mision, gracias a las dotes logicas
mostradas por este ultimo.Bedevere logra demostrar la hipotesis de
que una mujer es bruja al evidenciar (en una balanza
fraudulenta)que pesa lo mismo que un pato. Para ello, ayuda a un
grupo de ignorantes campesinos (que queran establecerla
culpabilidad de la mujer) a establecer el siguiente
razonamiento:
Premisa 1: Si ella esta hecha de madera entonces es una
bruja.Premisa 2: Si ella pesa lo mismo que un pato entonces esta
hecha de madera.Conclusion: Por tanto, si ella pesa lo mismo que un
pato entonces es una bruja.
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Como veremos mas adelante, en la Seccion 7.1, la estructura del
razonamiento anterior es valida y recibe elnombre de Silogismo
Hipotetico. Sin embargo el razonamiento no es solido pues,
evidentemente, las premisasson falsas.
Para establecer el siguiente principio de la Logica, necesitamos
el concepto de consistencia.
Definicion 2.1. [Consistencia]Un conjunto de premisas es
inconsistente si de ellas se puede inferir una proposicion as como
su negacion; casocontrario se dice que el conjunto de premisas es
consistente
Principio 2. Un razonamiento que usa un conjunto inconsistente
de premisas no es solido.
En otras palabras, un argumento no puede ser solido cuando sus
premisas provocan contradicciones. Al principioanterior se le
refiere como el Principio de Consistencia de las Premisas.
Ejemplo 2.3. El siguiente razonamiento no es solido porque las
premisas provocan una conclusion parcial quecontradice la primera
premisa.
Premisa 1: Pedro es ambateno.Premisa 2: Si alguien es ambateno,
es tungurahuense.Premisa 3: Pedro no es tungurahuenseConclusion
parcial: Pedro no es ambatenoConclusion: Por tanto, Pedro es
ambateno pero no tungurahuense.
Como veremos mas adelante, en la Seccion 7.6, la conclusion
parcial resulta de las premisas 2 y 3 mediante laaplicacion del
Modus Tollens.
Ejemplo 2.4. En el ambito de la Jurisprudencia, el concepto de
inconsistencia esta ligado al concepto de dudarazonable. Para
ejemplificar, supongamos que en un juicio el abogado A quiere
demostrar la hipotesis que
P : Carlos H. es culpable de asesinato;
y que, para su defensa, Carlos H. cuenta con el abogado B. Por
supuesto el abogado B quiere que el jurado o juezestablezca como
veredicto final que
P : Carlos H. no es culpable de asesinato.Por defecto es mas
facil la tarea del abogado B que la de su colega. Por un lado, el
abogado A tiene que usarsu argumentacion para demostrar con total
claridad y sin dejar lugar a dudas P. Por otro lado, al abogado B
lebasta con establecer una duda razonable, es decir que P no es
necesariamente consecuencia de las premisas yconclusiones parciales
que se establecieron a lo largo del proceso judicial. Una forma de
crear una duda razonableconsiste en establecer que las premisas y
conclusiones parciales establecidas por el abogado A podran
provocaruna contradiccion.Otro mecanismo a disposicion del abogado
B es la reduccion al Absurdo (o Introduccion de la Negacion),
quesera tratado en la Seccion 4.7.
Ahora bien, podra lo falso estar contenido en lo verdadero? Es
decir, es valido obtener una conclusion falsaa partir de premisas
verdaderas? Esto nos lleva a un nuevo principio de la Logica.
Principio 3. Si a partir de premisas verdaderas se produce una
conclusion falsa, la estructura del argumento no es valida.
Al principio anterior se le refiere como el Principio de Pureza
de la Conclusion.
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Ejemplo 2.5. El siguiente razonamiento no es valido porque lleva
de premisas verdaderas a una conclusion falsa.
Premisa 1: Pedro es ambateno.Premisa 2: Si alguien es ambateno,
es tungurahuense.Conclusion: Por tanto, Pedro no es
tungurahuense.
Ejemplo 2.6. Mara W. es asesinada un sabado en torno a las 23h30
por alguien que entro en su domicilio,violento sus pertenencias y
dejo residuos de marihuana. En el juicio pertinente, el principal
sospechoso, CarlosH., es condenado a 25 anos de reclusion
basicamente por el siguiente razonamiento (respecto al da del
evento):
Hecho 1: Carlos H. tuvo hasta hace poco una relacion sentimental
con Mara W.Hecho 2: Carlos H. es un consumidor esporadico de
marihuana.Hecho 3: Carlos H. estuvo en el Mall Los Andes entorno a
las 20h10.Hecho 4: Mara W. estuvo en el Mall Los Andes entorno a
las 20h20.Hecho 5: Carlos H. estuvo en el condominio donde vive
Mara W. entorno a las 22h00.Conclusion: Por tanto, Carlos asesino a
Mara W.
Los cinco hechos del razonamiento anterior fueron presentados
por el abogado acusador y fueron verificados:
por el testimonio del medico de Carlos H.,por registros de video
del condominio y del mall, ypor el registro de una compra que
realizo Carlos H. con su tarjeta de credito.
Sin embargo, realmente es suficiente el conjunto de hechos para
establecer la culpabilidad de Carlos H.?
He aqu lo que realmente sucedio. Carlos H. compro dos entradas
para ver una pelcula que arranco a las 20h15 yque presencio con su
nueva enamorada. Mara W. llego al mall y realizo un reclamo en una
empresa de telefonaentre las 20h18 y las 20h30. Carlos H. y Mara W.
nunca se encontraron. Tan pronto termino la pelcula, CarlosH. dejo
en su domicilio a su enamorada que, coincidencialmente, vive en el
mismo condominio que Mara W.Jose U., el asesino y adicto a la
marihuana, es el conserje del condominio. Al tener un impulso de
consumo yal no tener dinero, ingresa al departamento de Mara W.
tratando de conseguir algo de dinero pensando queella no estaba
presente. Al tratar de evitar el robo, Mara establece un
enfrentamiento con el agresor que llevo aldesenlace fatal.
Asimismo necesitamos una herramienta que nos permita establecer
la no-validez de un razonamiento quepartiendo de premisas
verdaderas lleva a una conclusion verdadera. Los dos principios que
se enuncian acontinuacion salvan esta situacion.
Principio 4. La validez o no-validez de la estructura de un
razonamiento es independiente de los contenidos.
Al principio anterior se le conoce como Principio de Validez.
Tengase presente que por estructura de unrazonamiento nos referimos
a la forma en que se lo enuncia.
Cuando la estructura de un razonamiento admite un cambio de
contenidos que provoca que las premisas seanverdaderas y la
conclusion sea falsa, a la nueva situacion se la refiere como un
contraejemplo.
Principio 5. Si la estructura de un razonamiento admite un
contraejemplo, entonces no es valida.
Por tanto, si intuimos que un razonamiento no es solido y
queremos probar que esa es efectivamente la situacion,deberamos
extraer su estructura y buscar un contraejemplo, es decir una
situacion en que las premisas seanverdaderas y la conclusion falsa.
Al principio anterior se le conoce como el Principio del
Contraejemplo.
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Ejemplo 2.7. Consideremos el siguiente razonamiento:
Premisa 1: Si llueve en mi barrio entonces mi jardn se
moja.Premisa 2: Mi jardn esta mojado.Conclusion: Por tanto, ha
llovido.
Es equivocado pues el siguiente razonamiento tiene la misma
estructura pero lleva a una conclusion falsa.
Premisa 1: Si hago mucho ejercicio entonces sudo.Premisa 2:
Estoy sudando (porque estoy en un sauna).Conclusion: Por tanto, he
hecho mucho ejercicio.
Ejemplo 2.8. Retomemos el Ejemplo 2.6. Observemos, desde otra
perspectiva, el razonamiento que establece queCarlos H. es
culpable:
Premisa 1: Si Carlos H. es el asesino, entonces hay hechos que
respaldan la culpabilidad.Premisa 2: Hay hechos que respaldan la
culpabilidad.Conclusion: Por tanto, Carlos H. es el asesino.
Es mas, este razonamiento parecera ser respaldado por el
siguiente:
Premisa 1: Si llueve en mi barrio entonces mi jardn se
moja.Premisa 2: Mi jardn esta mojado.Conclusion: Por tanto, ha
llovido.
Sin embargo, los dos razonamientos anteriores son no-solidos
pues el siguiente razonamiento tiene la mismaestructura pero lleva
a una conclusion falsa.
Premisa 1: Si hago mucho ejercicio entonces sudo.Premisa 2:
Estoy sudando (porque estoy en un sauna).Conclusion: Por tanto, he
hecho mucho ejercicio.
Finalmente, el siguiente principio enuncia las herramientas que
permiten administrar un conjunto de premisasverdaderas para obtener
- de una forma valida - conclusiones verdaderas.
Principio 6. La validez de la estructura de un razonamiento se
puede establecer con la ayuda de las Reglas de Inferencia.
Al principio anterior se le refiere como el Principio de las
Reglas de Inferencia.
Para cerrar esta seccion evidenciaremos mediante un ejemplo la
conexion entre los conceptos de calidad de lainformacion,
protocolo3 y solidez de un argumento.
Ejemplo 2.9. El Dr. Ignacio R. es uno de los endocrinologos mas
prestigiosos del Ecuador; vive y trabaja en Quito.En el ambito
medico es conocido que practicamente no acepta los resultados de
examenes clnicos realizados enprovincia a sus pacientes. Tendra
probabilidades de exito una posible demanda de un Colegio de
Medicos deprovincia que lo acusara de discriminar a los
profesionales de provincia que realizan los examenes clnicos
querequiere el mencionado profesional?
La respuesta es no. Esta justificada su postura.
3De acuerdo a [7], por protocolo es un plan escrito y detallado
de un experimento cientfico, un ensayo clnico o una actuacion
medica.
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Para poder tomar decisiones que ayuden a establecer un
diagnostico correcto - en otras palabras que la conclusionsea
correcta - y, a posteriori, el tratamiento mas idoneo para uno de
sus pacientes, el Dr. Ignacio R. necesita quela informacion
presente en los resultados de los examenes clnicos reflejen la
realidad - dicho de otra manera quelas premisas sean verdaderas.
Lastimosamente, en la gran mayora de los casos de pacientes que
traen examenesrealizados en provincia, este no es el caso. Por
tanto, para poder brindar el servicio medico de la mejor
calidadposible el profesional se ve en la necesidad de tomar una
poltica inflexible de no confiar en los resultados deexamenes
practicados en provincia.Por que se da este problema? A pesar de
que para cualquier examen medico existen protocolos
preestablecidosy probados, no siempre el equipo medico utilizado
esta calibrado tecnicamente y, lastimosamente, para ahorrarrecursos
muchas veces no se usan los reactivos apropiados o se saltan etapas
del protocolo o simplemente no secumplen todas las etapas con el
rigor necesario.
3. Conectores y operadores logicos
A partir de la Seccion 4.1 abordamos las Reglas de Inferencia.
En el Cuadro 1 se presentan los conectoreslogicos basicos y los
operadores que los representan.
Con respecto al orden o jerarqua de los operadores se deben
tener en cuenta los siguientes puntos.
1) Cuando hay parentesis la ubicacion de estos indicara cual es
el operador dominante.2) Cuando hay signos de puntuacion se los
puede reemplazar por signos de agrupacion.3) Cuando no hay
puntuaciones ni parentesis se mantiene el siguiente orden de
jerarqua:4
a) ;b) ;c) ;d) , , Y, .
4) Si la proposicion tiene el mismo tipo de operador o de igual
fuerza se colocan los parentesis de izquierda aderecha.
El cambio de lugar de un signo de puntuacion, digamos una coma,
puede cambiar sustancialmente el sentido logico de un texto
Ejemplo 3.1. La proposicionP SQ R
se puede escribir como[(P S)Q] R
La proposicionPQRS
se puede escribir como[(PQ)R]S
Condicion necesaria. Condicion suficiente
Consideremos las proposiciones R y S.Se dice que S es condicion
suficiente para R si cada vez que S ocurre inmediatamente sabemos
que tambien
ocurre R. Como veremos mas adelante esto quiere decir que la
proposicion
S R4Los operadores, Y y se definen en la Seccion 6.
9
-
Mayo
rga-
Zamb
rano
, J.
es verdadera.
Ejemplo 3.2. Es claro que
soy ecuatoriano
es condicion suficiente para concluir que
nac en Ecuador o uno de mis padres es ecuatoriano o tome
legalmente la ciudadana ecuatoriana.
Se dice que S es condicion necesaria para R si cada vez que R
ocurre inmediatamente sabemos que tambienocurre S. Como veremos mas
adelante esto quiere decir que la proposicion
R Ses verdadera.
Ejemplo 3.3. Es claro que
mi patio esta mojado
es condicion necesaria para sospechar que
ha llovido en mi barrio.
Ejemplo 3.4. Retomamos el Ejemplo 2.6. Se tiene que
Carlos H. es el asesino
es condicion suficiente para concluir que
hay hechos que respaldan la culpabilidad.
Por tanto, que existan hechos que sugieran la culpabilidad de
Carlos H. es condicion necesaria (pero no suficiente)para tenerlo
como sospechoso.
4. Reglas de Inferencia Fundamentales
En la Seccion 2 mencionamos que existen Reglas de Inferencia que
permiten a nuestra mente realizar ra-zonamientos validos, es decir
sacar (de una forma logicamente valida) conclusiones verdaderas a
partir depremisas verdaderas y consistentes. Las reglas que
presentaremos a partir de esta seccion constituyen la base dela
Deduccion Natural ([8], [14], [9]).
4.1. Introduccion de la conjuncion
Empezamos nuestro estudio con el conector logico llamado
conjuncion. Es representado por el operador demanera que la
proposicion compuesta
PQse interpreta como P y Q. Es importante entender bajo que
circunstancias se puede introducir una conjuncion y,de la misma
manera, saber cuando se pueden separar las proposiciones simples
que componen una conjuncion.
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Mayo
rga-
Zamb
rano
, J.
Ejemplo 4.1. Es verdad que
P: 5 es un numero entero
y tambien que
Q: 5 es un numero real positivo;
por tanto
PQ: 5 es un numero entero y 5 es un numero real positivoy
tambien es cierto que
QP: 5 es un numero real positivo y 5 es un numero entero
La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.1 es
valida, independiente de sus contenidos, y seesquematiza de la
siguiente manera:
1 P
2 Q3 PQ I, 1, 2
(4.3)
Tambien es valido el razonamiento
1 P
2 Q3 QP I, 1, 2
(4.4)
Mas adelante veremos que las proposiciones PQ y QP son
equivalentes.
4.2. Eliminacion de la conjuncion
Ejemplo 4.2. Sabemos que
PQ : pi es un numero irracional y positivo;por tanto es cierto
que
P: pi es un numero irracional
y tambien es cierto que
Q: pi es un numero positivo
La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.2 es
valida, independiente de sus contenidos, y seesquematiza de la
siguiente manera:
1 PQ2 P E, 1
(4.5)
11
-
Mayo
rga-
Zamb
rano
, J.
Tambien es valido el esquema
1 PQ2 Q E, 1
(4.6)
Tablas de verdad de la conjuncion
Por lo visto en las Secciones 4.1 y 4.2, para que PQ sea
verdadera es condicion necesaria y suficiente quetanto P como Q
sean verdaderas. Observe las tablas de verdad presentes en las
Tablas 2 y 3.
Tabla 2: La veracidad de P y Q es suficiente para establecer la
veracidad de PQ.P Q PQ0 0 00 1 01 0 01 1 1
Tabla 3: La veracidad de P y Q es necesaria para establecer la
veracidad de PQ.PQ P Q
1 1 1
4.3. Introduccion del condicional
El conector logico llamado condicional es representado por el
operador. La proposicion compuestaPQ
se interpreta como si P entonces Q. Es importante entender bajo
que circunstancias se puede introducir uncondicional y, de la misma
manera, saber cuando se lo puede eliminar.
Ejemplo 4.3. Recordemos que, por definicion, un numero es
natural si es entero y positivo. Ahora bien,supongamos que
N : n es un numero natural
esto quiere decir que
EP : n es un numero entero y n es un numero positivopor tanto,
por eliminacion de la Conjuncion, se tiene que
P : n es un numero positivo
Por tanto hemos probado que
N P : Si n es un numero natural, entonces n es un positivo
La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.3 es
valida, independiente de sus contenidos, y seesquematiza de la
siguiente manera:
12
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Mayo
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Zamb
rano
, J.
1 P...
...
n Qn+1 PQ I, 1n
(4.7)
Metodo de Demostracion Directo
Puesto que la estructura de un Teorema5 esPQ,
la Introduccion del Condicional establece el Metodo de
Demostracion Directo de un Teorema. En efecto, en (4.7)P representa
la conjuncion de todas las hipotesis o condiciones del Teorema, los
puntos verticales representantodos los resultados o conclusiones
parciales en el proceso de demostracion de la tesis Q.
4.4. Eliminacion del condicional (Modus Ponens)
Ejemplo 4.4. Sabemos que
PQ : Si llueve en mi barrio, entonces mi jardn se moja.Ahora
bien, miro que
P : Llueve en mi barrio
por lo que puedo concluir, con toda seguridad, que
Q : Mi jardn se esta mojando
La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.4 es
valida, independiente de sus contenidos, y seesquematiza de la
siguiente manera:
1 PQ2 P3 Q E, 1, 2
Observacion 4.1. El Modus Ponens es utilizado cada vez que
aplicamos un Teorema a la resolucion de unproblema practico de
Ingeniera. En este caso, deben verificarse todas condiciones
establecidas en su enunciado.
Ejemplo 4.5. En un cuerpo legal, las sanciones son consecuencia
de faltas cometidas; es decir que se utiliza elModus Ponens.
Consideremos, por ejemplo, el Artculo 31 de [4]:
En caso de que un profesor o estudiante incurriera por primera
vezen alguna accion u omision que constituya fraude academico,
recibira una amonestacion escrita por parte de Consejo Directivo
de la PUCESA.
En particular, esta disposicion legal establece que
Si un estudiante comete por primera vez fraude academicoentonces
recibira una amonestacion escrita por parte de Consejo Directivo de
la PUCESA.
5Que es la misma estructura de los Lemas, Corolarios y
Proposiciones.
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-
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rga-
Zamb
rano
, J.
Por tanto, si Consejo Directivo de la PUCESA constata que el
estudiante Carlos H. comete plagio (e.g. en unaconsulta) y que
(hasta donde conoce) es su primera vez, debe emitirle una
amonestacion por escrito.
Ejemplo 4.6. Para poder establecer una disposicion legal como la
mencionada en el Ejemplo 4.5 es necesario quecumpla con una serie
de principios propios de la Ciencia del Derecho; en particular debe
ser racional y mnima-mente aceptable por todos los sujetos de
aplicabilidad (e.g. estudiantes y profesores) y, para su
establecimiento,debe seguirse el procedimiento adecuado y ser
consagrada por la autoridad autorizada para ello.
Considere el siguiente razonamiento:
Premisa 1: Si alguien es judo entonces no puede ser contratado
por un empleador aleman.Premisa 2: Jaim R. es judo.Conclusion: Por
tanto, Henry M. (que es aleman) no puede contratar a Jaim R..
La Premisa 1 corresponde a una de las Leyes de Nuremberg que
establecio Alemania en 1935. Si bien la estructuradel razonamiento
anterior es valida (es el Modus Ponens), el argumento no es solido
porque la Premisa 1:
no es racional;no es aceptable por parte de judo
alguno;contradice principios universales (e.g. la igualdad ante la
ley de todos los seres humanos).
Tablas de verdad del condicional
Para que P Q sea falsa es condicion necesaria y suficiente que
el antecedente, P, sea verdadero y que elconsecuente, Q, sea falso.
Observe las tablas de verdad presentes en los Cuadros 4 y 5.
Tabla 4: La veracidad del antecedente y la falsedad del
consecuente son condicion suficiente para la falsedad
delcondicional.
P Q PQ0 0 10 1 11 0 01 1 1
Tabla 5: La veracidad del antecedente y la falsedad del
consecuente son condicion necesaria para la falsedad
delcondicional.
PQ P Q0 1 0
4.5. Introduccion de la disyuncion
El conector logico llamado disyuncion es representado por el
operador . La proposicion compuestaPQ
se interpreta como P o Q. Es importante entender bajo que
circunstancias se puede introducir una disyunciony, de la misma
manera, saber cuando se puede eliminarla.
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, J.
Ejemplo 4.7. Es cierto que
P: El autor de estas notas se llama Juan
por tanto
PQ: El autor de estas notas se llama Juan o Arturoy tambien es
cierto que
RP: El autor de estas notas se llama Carlos o Juan
La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.7 es
valida, independiente de sus contenidos, y seesquematiza de la
siguiente manera:
1 P2 PQ I, 1
1 Q2 PQ I, 1
Como se vera mas adelante, las proposiciones PQ y QP son
equivalentes.
4.6. Eliminacion de la disyuncion (Dilema)
Ejemplo 4.8. Sabemos que
PQ : Carlos es patateno o pillarenoAsimismo sabemos que
P T : Si alguien es patateno entonces es tungurahuensey que
Q T : Si alguien es pillareno entonces es tungurahuensepor
tanto
R : Carlos es tungurahuense
La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.8 es
valida, independiente de sus contenidos, y seesquematiza de la
siguiente manera:
1 PQ2 P R3 Q R4 R E, 13
Tablas de verdad de la disyuncion
Para que PQ sea falsa es condicion necesaria y suficiente que
tanto P como Q sean falsas. Observe las tablasde verdad presentes
en los Cuadros 6 y 7.
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Zamb
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, J.
Tabla 6: La falsedad de P y Q es suficiente para establecer la
falsedad de PQP Q PQ0 0 00 1 11 0 11 1 1
Tabla 7: La falsedad de P y Q es necesaria para establecer la
falsedad de PQPQ P Q
0 0 0
4.7. Introduccion de la negacion (Reduccion al Absurdo)
El conector logico llamado negacion es representado por el
operador . La proposicion compuesta P seinterpreta como no P o lo
contrario de P o no es cierto P. Es importante entender bajo que
circunstanciasse puede introducir una negacion y, de la misma
manera, saber cuando se la puede eliminar.
Ejemplo 4.9. Supongamos que
C : El rey de Ecuador es tolerante.
Ahora bien, es claro que
C E : Si el rey de Ecuador es tolerante, el rey existe.Pero
entonces, por el Modus Ponens,
E : El rey de Ecuador existe.
Pero, puesto que Ecuador es una Republica,
E : El rey de Ecuador no existe.Entonces tenemos que
E E : El rey de Ecuador existe y el rey de Ecuador no existeque
es una contradiccion. Estamos entonces autorizados a concluir
que
C : No es cierto que el rey de Ecuador es tolerante.
La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.9 es
valida, independiente de sus contenidos, y seesquematiza de la
siguiente manera:
1 P...
...
n EEn+1 P I, 1n
La Reduccion al Absurdo establece que si se parte de una
suposicion y se llega a una contradiccion, entoncespodemos negar
tal suposicion. Como vermos adelante la Reduccion al Absurdo es una
herramienta para lademostracion de teoremas, proposiciones,
etc.
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, J.
Ejemplo 4.10. Lo que sigue es una adaptacion de la obra de
Platon, Apologa de Socrates, a partir de [5].
Corra el ano 399 EC cuando Meleto, motivado por la envidia,
llevo a juicio a Socrates bajo la siguiente acusacion:
Socrates corrompe a los jovenes:no cree en los dioses en los que
cree la ciudad y,
en cambio, tiene extranas creencias relacionadas con genios.
En la votacion final de los miembros del jurado, 281 declararon
culpable a Socrates en tanto que 275 votaron porsu inocencia. Como
resultado, Socrates fue condenado a muerte por envenenamiento y
tuvo que beber la cicuta.
En su defensa, Socrates dejo en evidencia la falsedad de la
acusacion de Meleto mediante el metodo de Reduccional Absurdo:
Quien cree en cosas de genios, cree en genios.Quien cree en
genios, necesariamente cree en dioses (pues los genios son hijos
bastardos de los dioses).Suponiendo verdadera la acusacion de
Meleto, yo no creo en los dioses pero s creo en cosas de
genios.
Pero, bajo este supuesto, yo creo en dioses y, al mismo tiempo,
no creo en dioses.Por tanto, la acusacion de Meleto es falsa.
Observacion 4.2. En su defensa, Socrates uso lo que se conoce
como el metodo Socratico: mediante una secuenciade preguntas se
provoca que el interlocutor se contradiga a s mismo, [2].
Pruebas de Hipotesis
Retomamos la discucion iniciada en el Ejemplo 1.4. Para
demostrar que una hipotesis H0 es falsa, la Reduccional Absurdo nos
provee el siguiente esquema:
Suponemos H0Mediante las Reglas de Inferencia, se estable una
contradiccion.
Por tanto, se rechaza H0, estableciendo que es falsa.Como
consecuencia H0 es verdadera.
Teniendo presente que las pruebas (estadsticas) de hipotesis
tienen un factor probabilstico de confianza, no sepuede establecer
en terminos absolutos la verdad o falsedad de una hipotesis H0. Por
ello se la contrasta o ponea competir con una hipotesis alternativa
Ha. Lo anterior se puede esquematizar de la siguiente manera:
Suponemos H0Mediante la aplicacion de la Estadstica, se estable
informacion que contradice H0 y favorece Ha.
Por tanto, con un cierto nivel de confianza, se rechaza H0,
estableciendo que es probablemente falsa.Como consecuencia se
acepta Ha pues probablemente es verdadera.
Lo expuesto nos permite decir que las pruebas (estadsticas) de
hipotesis no son mas que versiones probabilsticasdel metodo de
Reduccion al Absurdo.
4.8. Eliminacion de la Negacion
Ejemplo 4.11. Leemos en una enciclopedia que
M : Es falso que el terreno de Marte no tiene
nutrientes.Entonces estamos en condiciones de concluir que
M : El terreno de Marte tiene nutrientes.
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Zamb
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, J.
La estructura del razonamiento utilizado en el Ejemplo 4.11 es
valida, independiente de sus contenidos, y seesquematiza de la
siguiente manera:
1 P2 P E, 1
Tablas de verdad de la negacion
Es clara la validez de las tablas de verdad presentes en los
Cuadros 8 y 9.
Tabla 8: Tabla de verdad de la NegacionP P0 11 0
Tabla 9:P P0 11 0
5. Falacias
Las dos falacias que presentamos a continuacion son muy comunes
y es importante reconocerlas para evitarcaer en ellas.
5.1. Falacia de la Afirmacion del Antecedente
Se presenta cuando se utiliza la siguiente estructura:
1 PQ2 Q3 P AA, 1, 2
Ejemplo 5.1. Supongamos que
PQ : Si llueve entonces el patio de mi casa se mojaPor otro
lado, al llegar a casa vemos que
Q : el patio esta mojado
Si concluimos que
P : llovio
hemos razonado falazmente. Efectivamente un miembro de la
familia podra haber limpiado el patio.
18
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, J.
Ejemplo 5.2. Como vimos en los Ejemplos 2.6 y 2.8, el siguiente
argumento no es solido:
Premisa 1: Si Carlos H. es el asesino, entonces hay hechos que
respaldan la culpabilidad.Premisa 2: Hay hechos que respaldan la
culpabilidad.Conclusion: Por tanto, Carlos H. es el asesino.
Es evidente que se trata de un caso de la Falacia de la
Afirmacion del Antecedente.
5.2. Falacia de la Negacion del Consecuente
1 PQ2 P3 Q NC, 1, 2
Ejemplo 5.3. Supongamos que
PQ : Si llueve entonces el patio de mi casa se mojaPor otro
lado, sabemos que ese da
P : no ha llovidoSi concluimos que
,Q : el patio no esta mojado
hemos razonado falazmente.
Ejemplo 5.4. Una vez mas retomamos el Ejemplo 2.6.
Premisa 1: Si Jose U. tuvo una relacion sentimental con Mara W.
entonces tendra algun motivo para asesinarla.Premisa 2: Jose U.
nunca tuvo una relacion sentimental con Mara W.Conclusion: Por
tanto, Jose U. no tuvo motivo alguno para asesinarla.
Este razonamiento es incorrecto pues usa una estructura falaz:
es un caso de la Falacia de la Negacion delConsecuente.
6. Conectores logicos derivados
Los conectores logicos junto con las correspondientes reglas de
inferencia presentados en las Secciones 4.1-4.7constituyen la base
del Calculo Proposicional que consideramos, la Deduccion Natural.
Por comodidad suelenconsiderarse, adicionalmente, tres conectores
logicos derivados; esa es la materia de esta seccion.
6.1. Bicondicional
Dadas las proposiciones P y Q se escribePQ
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Mayo
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Zamb
rano
, J.
para abreviar la proposicion(PQ) (Q P)
En este caso, se suele utilizar alguna de las frases
siguientes
P ocurre cuando y solo cuando Q ocurre;P es condicion necesaria
y suficiente de Q (y viceversa);P ocurre si y solo si Q ocurre.
Esto suele abreviarse P ssi Q.
Para que PQ sea verdadera es condicion necesaria y suficiente
que P y Q tengan el mismo valor de verdad.Observe la tabla de
verdad presente en el Cuadro 10.
Tabla 10: El bicondicional PQ establece que P es condicion
necesaria y suficiente para Q y viceversa.P Q PQ0 0 10 1 01 0 01 1
1
6.2. Disyuncion Exclusiva
Dadas las proposiciones P y Q se escribePYQ
para abreviar la proposicion(PQ)
En este caso, se suele utilizar alguna de las frases
siguientes
o bien P ocurre o bien Q ocurre;ocurre P o Q ocurre;ocurre P o
Q, pero no las dos.
Para que PYQ sea verdadera es condicion necesaria y suficiente
que P y Q tengan diferente valor de verdad.Observe la tabla de
verdad presente en el Cuadro 11.
Tabla 11: Tabla de verdad de la Disyuncion ExclusivaP Q PYQ
0 0 00 1 11 0 11 1 0
6.3. Conjuncion Negativa
Dadas las proposiciones P y Q se escribeP Q
para abreviar la proposicionPQ
Para que P Q sea verdadera es condicion necesaria y suficiente
que tanto P como Q sean falsas. Observe lastablas de verdad
presentes en los Cuadros 12 y 13.
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, J.
Tabla 12: Tabla de verdad de la Conjuncion NegativaP Q PQ0 0 10
1 01 0 01 1 0
Tabla 13:P Q P Q
1 0 0
7. Reglas de Inferencia Derivadas
A partir de las Reglas de Inferencia Fundamentales, que fueron
presentadas en la Seccion 4, se derivan unaserie de reglas que son
muy utiles y que le permiten a nuestra mente alcanzar las
conclusiones de una maneramas rapida.
Por su importancia, recalcamos nuevamente que al analizar un
argumento, los conceptos de solidez y validez (de su estructura)
sonequivalentes en tanto que todas las premisas sean
verdaderas.
7.1. Silogismo Hipotetico
Ejemplo 7.1. Es claro que
PQ : Si alguien es quiteno entonces es pichinchano.Tambien es
claro que
Q S : Si alguien es pichinchano entonces es
ecuatoriano.Concluimos entonces que
P S : Si alguien es quiteno entonces es ecuatoriano.
Una vez que las premisas son verdaderas (vease el Ejemplo 2.2),
el razonamiento descrito en el Ejemplo 7.1es solido por su
estructura y no por sus contenidos. Esquematizamos ahora esta
estructura de razonamiento,denominada Silogismo Hipotetico, e
inmediatamente demostramos su validez a partir de las ocho reglas
deinferencia basicas.
1 PQ2 Q R3 P R SIL, 1, 2
21
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Mayo
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Zamb
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, J.
Demostracion.
1 PQ2 Q R3 P Suposicion,
4 Q E, 1, 35 R E, 2, 46 P R I, 35
7.2. Mutacion de las Premisas
Ejemplo 7.2. Consideremos las siguientes premisas
P : Pedro estudio mucho.Q : Pedro esta tranquilo.R : Pedro
obtiene buena nota en el examen.
Es claro que
P (Q R) : Si Pedro estudio mucho, Pedro obtiene buena nota en el
examen si esta tranquilo.Por tanto tambien es cierto que
Q (P R) : Si Pedro esta tranquilo, Pedro obtiene buena nota en
el examen si estudio mucho.
Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento
descrito en el Ejemplo 7.2 es solido por su estructuray no por sus
contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura,
denominado Mutacion de las Premisas.
1 P (Q R)2 Q (P R) MUT, 1
7.3. Conmutatividad y Asociatividad de la Conjuncion
Ejemplo 7.3. Es claro que
PQ : Mi nombre es Juan y mi nombre es Ricardo.Por tanto tambien
es cierto que
QP : Mi nombre es Ricardo y mi nombre es Juan.
Una vez que las premisas son verdadera, el razonamiento descrito
en el Ejemplo 7.3 es solido por su estructuray no por sus
contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura,
denominada Conmutatividad de laConjuncion.
1 PQ2 QP CC, 1
22
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Zamb
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, J.
La validez de la estructura que a continuacion esquematizamos,
referida como Asociatividad de la Conjuncion,es clara.
1 P (QR)2 (PQ)R AD, 1
7.4. Introduccion de la Doble Negacion
Ejemplo 7.4. Es cierto que
P : Mi nombre es Juan.
Por tanto, aun cuando suena latoso, podemos concluir que
P : No es cierto que mi nombre no es Juan.
Una vez que las premisas son verdadera, el razonamiento descrito
en el Ejemplo 7.3 es solido por su estructuray no por sus
contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura,
denominada Introduccion de la DobleNegacion.
1 P2 P IDN, 1
7.5. Principio del Tercer Excluido y Principio de
Contradiccion
Ejemplo 7.5. Es cierto que
PP : Mi nombre es Juan o mi nombre no es Juan.Tambien es cierto
que
QQ : Soy matematico o no soy matematico.
Los razonamientos descritos en el Ejemplo 7.5 son validos por su
estructura y no por sus contenidos. Es-quematizamos ahora este tipo
de razonamiento, denominado Principio del Tercer Excluido, e
inmediatamentedemostramos su validez.
1 PP TE,
23
-
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, J.
Demostracion.
1 (PP) Suposicion,2 P Suposicion,
3 PP I, 24 (PP)(PP) I, 1, 35 P I, 246 PP I, 57 (PP)(PP) I, 1, 68
(PP) I, 17
Puesto que una contradiccion es falsa, su negacion tiene que ser
(por el principio del tercer excluido), necesa-riamente verdadera.
Ese es el contenido del Principio de Contradiccion que a
continuacion esquematizamos.
1 (PP) PC,
7.6. Modus Tollens y Contrapositiva
Ejemplo 7.6. Es cierto que
PQ : Si llueve entonces mi patio se moja.Ahora bien, llego a
casa y veo que
Q : mi patio no esta mojadopor lo que se puede concluir que
P : no ha llovido.
Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento
descrito en el Ejemplo 7.6 es solido por su estructuray no por sus
contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura de
razonamiento, denominado ModusTollens.
1 PQ2 Q3 P MT, 1, 2
Ejemplo 7.7. Retomamos el Ejemplo 2.6. Paul F. vive en un
departamento justo al lado del de Mara W.
Premisa 1: Si Paul F. es el asesino, entonces hay hechos que
respaldan la culpabilidad.Premisa 2: No hay hechos que respaldan la
culpabilidad.Conclusion: Por tanto, Paul F. no es el asesino.
Este razonamiento es solido.
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Zamb
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, J.
Una vez que conocemos el Modus Tollens, es facil entender que la
siguiente estructura de razonamiento,referida como Contrapositiva,
es tambien valida.
1 PQ2 Q3 P Cp, 1, 2
7.7. Carga de Premisa
El siguiente esquema, denominado Carga de Premisa, establece que
la verdad es consecuencia de cualquierpremisa, independiente de si
es verdadera o falsa.
1 P2 Q P CP, 1
7.8. Inferencia Alternativa
Ejemplo 7.8. Es cierto que
PQ : Soy matematico o soy sociologoAhora bien, es claro que
Q : no soy sociologopor lo que se puede concluir que
P : soy matematico.
Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento
descrito en el Ejemplo 7.8 es solido por su estructuray no por sus
contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura de
razonamiento, denominada InferenciaAlternativa.
1 PQ2 P3 Q IA, 1, 2
1 PQ2 Q3 P IA, 1, 2
Ejemplo 7.9. Retomamos el Ejemplo 2.6. Al considerar, entre
otros factores, que en la escena del crimen habaresiduos de
marihuana y que los unicos sospechosos que la consumen son Jose U.
y Carlos H. se establece que
El asesino es Carlos H. o el asesino es Jose U.
Si en el proceso se hubieran hecho todas las indagaciones
pertinentes muy probablemente se hubiera establecidoque
Carlos H. no es el asesino.
En este caso, la conclusion hubiera sido la correcta, es decir
que
Jose U. es el asesino.
25
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Mayo
rga-
Zamb
rano
, J.
7.9. Silogismo Disyuntivo
Ejemplo 7.10. Es cierto que
PQ : Soy matematico o soy sociologoPor un lado, es claro que
P R : Si soy matematico entonces soy un profesional de las
Ciencias Exactas.Por otro lado, tambien es claro que
Q S : Si soy sociologo entonces soy un profesional de las
Ciencias Sociales.Por tanto podemos concluir que
RS : Soy un profesional de las Ciencias Exactas o de las
Ciencias Sociales.
Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento
descrito en el Ejemplo 7.10 es solido por suestructura y no por sus
contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura de
razonamiento, denominadaSilogismo Disyuntivo.
1 PQ2 P R3 Q S4 RS SILD, 13
7.10. Dilema Destructivo
Ejemplo 7.11. Es cierto que
R P : Si Pedro es ambateno entonces por lo menos una vez estuvo
en la ciudad de Ambato.Tambien es cierto que
RQ : Si Pedro es ambateno entonces nacio en Ambato.Por otro
lado,
PQ : Pedro nunca ha estado en la ciudad de Ambato ni nacio en
Ambato.Por tanto podemos concluir que
R : Pedro no es ambateno.
Una vez que las premisas son verdaderas, el razonamiento
descrito en el Ejemplo 7.11 es solido por suestructura y no por sus
contenidos. Esquematizamos ahora este tipo de estructura de
razonamiento, denominadaDilema Destructivo.
26
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rga-
Zamb
rano
, J.
1 PQ2 R P3 RQ4 R DILD, 13
7.11. Conmutatividad y Asociatividad de la Disyuncion
Ejemplo 7.12. Es cierto que
PQ : Me llamo Juan o me llamo Pedro.Por tanto podemos concluir
que
QP : Me llamo Pedro o me llamo Juan.
Esquematizamos ahora la estructura del razonamiento anterior,
denominada Conmutatividad de la Disyun-cion.
1 PQ2 QP CD, 1
La validez de la estructura que a continuacion esquematizamos,
referida como Asociatividad de la Disyuncion,es clara.
1 P (QR)2 (PQ)R AD, 1
7.12. Definicion del Condicional
Ejemplo 7.13. Es cierto que
PQ : Si llueve en mi barrio entonces mi patio se moja.Por
tanto
(PQ) : No es cierto que, al mismo tiempo, ha llovido y el patio
no este mojado.
Esquematizamos ahora este tipo de estructura de razonamiento,
denominada Definicion del Condicional.
1 PQ2 (PQ) DC, 1
De hecho tambien es valido el camino de regreso, es decir:
1 (PQ)2 PQ DC, 1
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8. Equivalencia e implicacion logicas
Los conceptos de implicacion y equivalencia logicas, que a
continuacion definimos, son sumamente impor-tantes y permiten
aumentar los recursos validos para razonar y, por tanto, establecer
conclusiones de formacorrecta.
Definicion 8.1. [Equivalencia logica]Existe equivalencia logica
entre dos proposiciones (posiblemente compuestas) P y Q, denotado P
Q, si esverdadera la proposicion PQ.En este caso se pueden utilizar
como reglas de inferencia
1 P2 Q EQ, 1
(8.8)
y
1 Q2 P EQ, 1
(8.9)
Definicion 8.2. [Implicacion logica]Se dice que la proposicion Q
es una implicacion logica de P si la proposicion PQ es verdadera.En
este caso se puede utilizar como regla de inferencia
(8.8).Observacion 8.1. Antes de intentar demostrar una equivalencia
logica (o una implicacion logica) es usualmenteapropiado verificar
mediante una tabla de verdad que PQ (respectivamente PQ) es una
tautologa, es decirque la columna final correspondiente contiene
solo valores 1. Pero recuerde que esto no es una demostracion!
Ejemplo 8.1. Consideramos las proposiciones P y PQ. Sospechamos
que PQ es una implicacion logica de Ppor lo que construimos la
tabla de verdad de P (PQ) (vease el Cuadro 14). Puesto que la tabla
de verdad deP (PQ) es una tautologa procedemos a probar que
efectivamente PQ es una implicacion logica de P:
1 P Suposicion,
2 PQ I, 13 P (PQ) I, 12
Tabla 14: Tabla de verdad de P (PQ)P Q PQ P (PQ)0 0 0 10 1 1 11
0 1 11 1 1 1
8.1. Leyes Distributivas
La conjuncion es distributiva respecto de la disyuncion:
P (QR) (PQ) (PR) (8.10)La disyuncion es distributiva respecto de
la conjuncion:
P (QR) (PQ) (PR) (8.11)
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8.2. Leyes de Absorcion
Se cumplen las siguientes equivalenciasP P (PQ) (8.12)P P (PQ)
(8.13)
8.3. Leyes de De Morgan
Se cumplen las siguientes equivalencias
DM1: (PQ) PQDM2: (PQ) PQDM3: (PQ) PQDM4: (PQ) PQ
Por las leyes de De Morgan se evidencia que realmente no son
necesarios cuatro conectores logicos basicos sino, solamente, dos;
e.g.la negacion y la conjuncion o la negacion y la disyuncion. De
la misma manera, extrictamente no son necesarias ocho reglas de
inferenciafundamentales sino, solamente, cuatro.
8.4. Leyes de Reemplazo
CuandoP Q,
son validas las siguientes reglas de reemplazo por
equivalencia:
1 PR2 QR RE, 1
1 PR2 QR RE, 1
1 P R2 Q R RE, 1
1 R P2 RQ RE, 1
9. Metodos de Demostracion
Recordemos que todo Teorema (o Lema o Corolario o Proposicion)
tiene la estructura
PQ (9.14)donde P representa la conjuncion de las hipotesis y Q
representa la tesis.
9.1. Metodo Directo
Se trata de aplicar la regla de Introduccion del Condicional
visto en la Seccion 4.3. Se supone P y medianteargumentos validos
se obtiene Q.
Teorema 9.1. Sea n Z impar. Entonces n2 es impar.Demostracion.
Supongamos que n Z es impar. Entonces, por definicion de numero
impar, existe un k Z talque
n = 2k+1.
Se tiene entonces quen2 = 2m+1,
donde m = 2k2+2k Z. Por tanto, por definicion de numero impar,
se sigue que n2 Z es impar.
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9.2. Contrarrecproca
La siguiente equivalencia establece un metodo indirecto de
demostracion de Teoremas, Lemas, etc.
PQ QP
Teorema 9.2. Sea a Z tal que a2 es impar. Entonces a Z es
impar.Demostracion. Equivalentemente, probemos que si a Z es par,
entonces a2 es par.
Supongamos entonces que a Z es par. Por definicion de numero
par, existe un k Z tal quea = 2k.
Se tiene entonces quea2 = 2m,
donde m = 2k2 Z. Por tanto, por definicion de numero par, se
sigue que a2 Z es par.
9.3. Reduccion al Absurdo
Se aplica la regla de Introduccion de la Negacion que fue
presentada en la Seccion 4.7. Se suponen P y Q ymediante argumentos
validos se llega a una contradiccion, probandose entonces que Q es
verdadera.
Teorema 9.3. El numero
2 es irracional.
Demostracion. Supongamos que
2 es un numero racional. Por la defincion de numero racional,
existen a Z yb Z\ {0}, enteros primos entre s tales que
2 =ab.
Se tiene entonces quea2 = 2b2, (9.15)
de manera que a2 es par y, por tanto, a tambien es par. Entonces
existe un k Z tal quea = 2k,
de manera que, por (9.15), se tiene que4k2 = 2b2,
es decirb2 = 2k2,
as que b2 es par y b tambien lo es. Tenemos una contradiccion
pues si a y b son numeros pares, no pueden serprimos entre s.
10. Ejercicios
10.1. Trate de sustentar la validez del Principio de
Consistencia de las Premisas a partir del Principio de Purezade las
Premisas.
10.2. Demuestre la validez de la Mutacion de las Premisas. Solo
puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las reglas
derivadas presentadas antes de la Mutacion de las Premisas.
10.3. Demuestre la validez de la Conmutatividad de la
Conjuncion. Solo puede usar las ocho reglas de
inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de
la Conmutatividad de la Conjuncion.
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10.4. Demuestre la validez de la Introduccion de la Doble
Negacion. Solo puede usar las ocho reglas de
inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de
la Introduccion de la Doble Negacion.
10.5. Demuestre la validez del Modus Tollens. Solo puede usar
las ocho reglas de inferencia fundamentales ylas reglas derivadas
presentadas antes del Modus Tollens.
10.6. Demuestre la validez de la Contrapositiva. Solo puede usar
las ocho reglas de inferencia fundamentales ylas reglas derivadas
presentadas antes de la Introduccion de la Contrapositiva.
10.7. Demuestre la validez del Principio de Contradiccion. Solo
puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las reglas
derivadas presentadas antes del Principio de Contradiccion.
10.8. Demuestre la validez de la Carga de Premisa. Solo puede
usar las ocho reglas de inferencia fundamentalesy las reglas
derivadas presentadas antes de la Introduccion de la Carga de
Premisa.
10.9. Demuestre la validez de la Inferencia Alternativa. Solo
puede usar las ocho reglas de inferencia fundamen-tales y las
reglas derivadas presentadas antes de la Introduccion de la
Inferencia Alternativa.
10.10. Demuestre la validez del Silogismo Disyuntivo. Solo puede
usar las ocho reglas de inferencia fundamen-tales y las reglas
derivadas presentadas antes del Silogismo Disyuntivo.
10.11. Demuestre la validez del Dilema Destructivo. Solo puede
usar las ocho reglas de inferencia fundamentalesy las reglas
derivadas presentadas antes del Dilema Destructivo.
10.12. Demuestre la validez de la Conmutatividad de la
Disyuncion. Solo puede usar las ocho reglas de
inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de
la Conmutatividad de la Disyuncion.
10.13. Demuestre la validez de la Ley Asociativa de la
Disyuncion. Solo puede usar las ocho reglas de
inferenciafundamentales y las reglas derivadas presentadas antes de
la Ley Asociativa de la Disyuncion.
10.14. Demuestre la validez de la Definicion del Condicional.
Solo puede usar las ocho reglas de inferenciafundamentales y las
reglas derivadas presentadas antes de la Definicion del
Condicional.
10.15. Pruebe la validez de las Leyes Distributivas 8.10 y 8.11.
Construya las tablas de verdad correspondientes.
10.16. Pruebe la validez de las Leyes de Absorcion 8.12 y 8.13.
Construya las tablas de verdad correspondientes.
10.17. Pruebe la validez de las Leyes de De Morgan. Construya
las tablas de verdad correspondientes. Paraprobar DM3 pruebe
primero que
PQ PQ (10.16)10.18. Pruebe la validez de las Leyes de Reemplazo.
Construya las tablas de verdad correspondientes.
10.19. Formalice, simbolice y demuestre la solidez del
razonamiento de Socrates presente en el Ejemplo 4.10.
10.20. Es solido el siguiente razonamiento? Justifique su
respuesta.
Si Pedro es ambateno entonces conoce la Fiesta de la Fruta y de
las Flores.Si Pedro es ambateno entonces nacio en Ambato.
Pedro ni conoce la Fiesta de la Fruta y de las Flores ni nacio
en Ambato.Por tanto, Pedro no es ambateno.
Sugerencia. Compare este razonamiento con el expuesto en el
Ejemplo 7.11.
10.21. En la mancion 6 de Lady Arundell algunos objetos de valor
han sido robados. La duena de la casa hacontratado a un detective
para dar con el ladron. Una vez realizada la investigacion, el
detective llego a averiguarlo siguiente:
Algun delincuente robo varios objetos de valor que se guardaban
dentro de la caja fuerte en la casa de LadyArundell.
6Tomado de [3] con autorizacion del responsable de la edicion
Mag. Juan Carlos Trujillo.
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Nadie puede robar la mansion de Lady Arundell, a menos que
engane al guardian.Si el delincuente logro enganar al guardian,
debe haber sido un actor genial.O bien el ladron tena como complice
a la dama de compana (pues era la unica persona que, a mas de
LadyArundell, conoca la combinacion de la caja fuerte), o bien tuvo
que acceder, por s mismo, al interior de lacaja fuerte.Para acceder
al interior de la caja fuerte o bien era necesario perforar la
puerta, o bien abrir la cerradura.Solamente una persona con un odo
extremadamente fino puede abrir la cerradura de una caja fuerte
sinconocerla. (Tal persona podra, al girar la perilla, distinguir
el sonido ligeramente diferente de aquellosengranajes que, al
encajar, hacen que se abra la puerta de la caja fuerte).Si el
ladron hubiera perforado la puerta de la caja fuerte, esta
presentara un orificio. Pero la puerta esta sinorificio alguno.El
detective esta firmemente convencido que ningun delincuente puede
tener, al mismo tiempo, un odoextremadamente fino y ser un actor
genial.
De todo esto el detective ha concluido que la dama de compana
haba sido complice del delincuente. Crees queesta acusacion es
procedente?
10.22. Represente simbolicamente el siguiente razonamiento,
analice su solidez y la validez de su estructura.
1) La materia es divisible y, por tanto, destruible; pues,
cualquier cosa que esta dividida esta destruida, (Leibniz).2) El
pacifismo total sera un buen principio si todos estuvieran
dispuestos a seguirlo. Pero no todos lo siguen, de
manera que no es (un buen principio), (Harman).
10.23. Pruebe las siguientes equivalencias logicas
P (QYP) PQ(P R) (Q R) (PQ) R
[(RS)R] T R T10.24. Pruebe la validez de los siguientes
razonamientos. Justifique los pasos.
1 QS2 PQ3 P R4 SR5 S
1 P (QR)2 P(QR)3 P
1 M (EN)2 ME3 MN4 M
1 T A2 A E3 UE4 UT
1 (LM)P2 I P3 M I4 L
1 AB2 A C3 DB4 CD
10.25. Pruebe la validez de los siguientes razonamientos.
Justifique los pasos.
1 T (RT)2 T S3 S (R T)
1 P (S Q)2 Q T3 T4 (PQ) (S Q)32
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1 P Q2 (S (PQ))Q3 S(PQ)
1 RP2 TS3 P
4 (RS) T
1 (SQ)T2 P T3 S4 SQ5 P
1 RT2 TQ3 QR
1 RQ2 R T3 QS4 TS5 S
1 P(R T)2 (SB) P3 BS4 TR
A. Lecturas
Se presentan tres lecturas extradas de [5] con autorizacion
explcita del Mag. Juan Carlos Trujillo, responsablede la
edicion.
A.1. Iman Abu Hanifa
[5, Unidad 1]
A.2. Tomas de Aquino
[5, Unidad 6]
A.3. Ivan el Terrible
[5, Unidad 7]
Referencias
[1] R. Arthur, Natural Deduction: An Introduction To Logic With
Real Arguments, A Little History and Some Humour,Broadview Press,
2011.
[2] H. Benson, Socratic Wisdom: The Model of Knowledge in Platos
Early Dialogues, Oxford University Press, 2000.
[3] I. Cobacango, El toro salvaje, Coleccion Descubre las
Matematicas, Escuela Politecnica Nacional, Ecuador,1999.
[4] Consejo Directivo PUCESA, Reglamento de Etica de
Investigacion, Innovacion, Desarrollo y del Aprendizaje de
laPontificia Universidad Catolica del Ecuador Sede Ambato, Version
final, (Junio de 2014).
[5] I. Cuenca, Que puedes concluir?, Coleccion Descubre las
Matematicas, Escuela Politecnica Nacional, Ecuador,1998.
[6] D. Echave, M. Urquijo, and R. Guibourg, Logica, proposicion
y norma, Editorial Astrea, 2008.
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[7] R. A. Espanola, Diccionario de la Lengua Espanola, Vigesimo
segunda edicion, Espana, 2001.
[8] G. Gentzen, Untersuchungen uber das logische Schliessen
(Investigations into Logical Deduction), MathematischeZeitschrift,
39 (1934).
[9] S. Jaskowski, On the Rules of Suppositions in Formal Logic,
Studia Logica, 1 (1934).
[10] W. Jevons, The Principles of Science: a Treatise on Logic
and Scientific Method, Macmillan and Co, New York,1874.
[11] U. Klug, Logica Jurdica, Editorial Temis S.A., 2004.
[12] F. Pelletier, A history of natural deduction and elementary
logic textbooks, Simon Fraser University, (2004).
[13] U. Schill, Logica y Derecho, Distribuciones Fontamara,
2008.
[14] M. Szabo, The Collected Papers of Gerhard Gentzen,
North-Holland Publishing Company, Amsterdam, first ed.,1969.
34
IntroduccinDefiniciones de proposicin y declaracinSolidez y
validez de un razonamiento
Principios de la LgicaConectores y operadores lgicosReglas de
Inferencia FundamentalesIntroduccin de la conjuncinEliminacin de la
conjuncinIntroduccin del condicionalEliminacin del condicional
(Modus Ponens)Introduccin de la disyuncinEliminacin de la disyuncin
(Dilema)Introduccin de la negacin (Reduccin al Absurdo)Eliminacin
de la Negacin
FalaciasFalacia de la Afirmacin del AntecedenteFalacia de la
Negacin del Consecuente
Conectores lgicos derivadosBicondicionalDisyuncin
ExclusivaConjuncin Negativa
Reglas de Inferencia DerivadasSilogismo HipotticoMutacin de las
PremisasConmutatividad y Asociatividad de la ConjuncinIntroduccin
de la Doble NegacinPrincipio del Tercer Excluido y Principio de
ContradiccinModus Tollens y ContrapositivaCarga de
PremisaInferencia AlternativaSilogismo DisyuntivoDilema
DestructivoConmutatividad y Asociatividad de la DisyuncinDefinicin
del Condicional
Equivalencia e implicacin lgicasLeyes DistributivasLeyes de
AbsorcinLeyes de De MorganLeyes de Reemplazo
Mtodos de Demostracin Mtodo DirectoContrarrecprocaReduccin al
Absurdo
EjerciciosLecturasImn Abu HanifaToms de AquinoIvn el
Terrible
Referencias