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5-1
5. NATURALEZA Y PROPAGACIN DE LA LUZ
La naturaleza de la luz es una cuestin que ha intrigado a los
cientficos desde tiempos muy remotos. Su comprensin es de enorme
importancia, ya que la luz es uno de los componentes esenciales que
hacen posible, por ejemplo, la vida en la tierra a travs de la
fotosntesis de las plantas, la recepcin y transmisin de informacin
sobre objetos a nuestro alrededor y de todo el universo.
Desde tiempos antiguos se ha especulado con gran inters sobre
la
naturaleza y propiedades de la luz. Los griegos pensaban que la
luz estaba formada por pequeas partculas corpsculos que eran
emitidos por una fuente, y al chocar con el ojo del observador
estimulaban en l la percepcin de la visin. Newton empleo esta teora
corpuscular de la luz para explicar algunos fenmenos experimentales
por entonces conocidos como la reflexin y la refraccin. Sin
embargo, en 1678, un contemporaneo suyo, el fsico y astrnomo
Christian Huygens, propuso que la luz poda considerarse un tipo de
movimiento ondulatorio, y fue capaz de explicar las leyes de la
reflexin y refraccin con la teora ondulatoria. La primera
demostracin convincente de la naturaleza ondulatoria de la luz la
dio Thomas Young en 1801 al probar que, en condiciones apropiadas,
los haces de luz pueden interferir, es decir se pueden combinar y
cancelar entre s debido a la interferencia destructiva. En aquella
epoca, este comportamiento no poda explicarse con la teora
corpuscular. El suceso ms importante, relacionado con la comprensin
de la naturaleza de la luz fue el trabajo de Maxwell en 1873 que
desarrollo una brillante teora en la que se demostraba que la luz
es una forma de onda electromagntica de alta frecuencia que viaja
con una velocidad aproximada de 3x108 m/s.
Sin embargo, a principios del siglo XX, el fsico aleman Max
Planck, retoma la
teora corpuscular de la luz al introducir el concepto de
cuantificacin para poder explicar la radiacin emitida por cuerpos
calientes. El modelo de cuantificacin presupone que la energa de la
onda luminosa se presenta en paquetes de energa llamados fotones.
Albert Einstein utiliz el mismo concepto para explicar el llamado
efecto fotoelctrico relacionado con la emisin de electrones por un
metal expuesto a la luz.
Hoy en da se considera que existe una dualidad onda-corpsculo en
lo
referente a la naturaleza de la luz, dualidad que se extiende a
todo tipo de ondas y partculas a escala microscpica, de forma que
la luz una vez se comporta como onda y otras como partcula. A
continuacin pasaremos a analizar en detalle cada uno de los modelos
propuestos.
-
5-2
5.1 Naturaleza ondulatoria de la luz La teora electromagntica de
la luz fue elaborada por Maxwell y comprobada experimentalmente por
Herz en 1888 quin por primera vez produjo y detect las ondas
electromagnticas por medio de circuitos oscilantes observando, como
en las ondas luminosas, la reflexin, refraccin, interferencia y
polarizacin. Las ecuaciones de Maxwell en un medio dielctrico, s=0
y j=0, istropo, e y m constantes en todos los puntos y donde no
existen cargas libres, r=0, pueden escribirse como
E. = 0 [5.1]
H. = 0 [5.2]
Ex = tH
-
m [5.3]
Hx = tE
e [5.4]
Cuando en un punto del espacio se produce un campo elctrico
variable con el tiempo, sus variaciones producen un campo magntico
variable tambin. A su vez, este campo magntico variable de origen a
un campo elctrico. Estos campos elctrico y magntico variables,
consecuencia uno del otro, sin que pueda existir ninguno de ellos
aisladamente, se propagan por el espacio constituyendo las ondas
electromagnticas. Para hallar las ecuaciones de propagacin operemos
de la siguiente forma
)()()( EE
H xtt
xxx
=
= ee [5.5]
utilizando la igualdad HHH 2)( -= gradxx [5.6] y dado que por
[5.2] la divergencia de H es cero y utilizando [5.3] queda
HH 22
2 1=
emt [5.7]
Tomando rotacionales en [5.3] y operando anlogamente se llega
a
-
5-3
EE 22
2 1=
emt [5.8]
Tal y como vimos en el captulo 2, las ecuaciones [5.7] y [5.8]
muestran que los campos electromagnticos se propagan obedeciendo la
ecuacin diferencial del movimiento ondulatorio con una
velocidad
em1
=v [5.9]
En el vaco, donde tenemos e0 y m0, la velocidad de propagacin de
las ondas electromagnticas es igual a c=2.99793x108 m/s. La forma
de las soluciones depender en cada caso de la situacin fsica.
Adoptemos como solucin una onda plana armnica, para lo cual, en
medios istropos, bastar suponer que el emisor est muy alejado del
lugar donde se realiza la observacin, propagndose segn la direccin
u(a,b ,g). Los campos elctricos y magnticos tomarn la forma
)(
)(
0
0
tksen
tksen
w
w
-=
-=
ruHH
ruEE [5.10]
Apliquemos las ecuaciones de Maxwell a los campos elctricos y
magnticos definidos por [5.10]. La componente x de [5.4] ser igual
a
t
Ez
H
yH xyz
=
-
e [5.11]
De forma anloga para las otras dos componentes y calculando
estas derivadas obtenemos
zxy
yzx
xyz
vEHH
vEHH
vEHH
eba
eag
egb
-=-
-=-
-=-
[5.12]
Estas tres ecuaciones, teniendo en cuenta que los primeros
trminos son las componentes del producto vectorial uxH equivalen a
la ecuacin vectorial EuH vx e= [5.13] y operando igual con el campo
elctrico
-
5-4
HEuv
xe1
= [5.14]
Las ecuaciones [5.13] y [5.14] indican que en la propagacin H y
E son siempre perpendiculares entre si y ambos los son a la
direccin de propagacin u, lo que demuestra que las ondas
electromagnticas, y por ende la luz, son transversales. De las
mismas ecuaciones se deduce que E y H van en fase ya que ambos se
anulan y se hacen mximos simultaneamente como se indica en la
figura 5.1 y las magnitudes estn relacionadas por la expresin vEH
e= .
Figura 5.1. Onda electromagntica propagndose con los vectores E
y H perpendiculares a la
direccin de propagacin, onda transversal, y en fase 5.1.1
Espectro electromagntico. Los diversos tipos de ondas
electromagnticas difieren solo en su longitud de onda y frecuencia,
relacionadas con la velocidad c por la expresin lf=c y en principio
no se conoce ninguna limitacin para los calores posibles de l f. En
la figura 5.2 se expone el espectro electromagntico y los nombres
normalmente asociados con los diversos intervalos de frecuencia y
longitud de onda. Estos intervalos no estn a veces bien definidos y
frecuentemente se solapan. La clasificacin habitual del espectro
electromagntico es la siguiente:
a) Ondas de radiofrecuencia. stas tienen longitudes de onda que
van desde algunos kilmetros a 0.3 m y el intervalo de frecuencias
es desde algunos Hz hasta 109 Hz. Son las ondas que habitualmente
se utilizan en los sistemas de radio y televisin y son generadas
por medio de dispositivos electrnicos, principalmete circuitos
oscilantes
b) Microondas. Las longitudes de onda estn entre 0.3 m y 10-3 m
y el intervalo de frecuencia es desde 109 Hz hasta 3x1011 Hz. Estas
ondas se usan en el radar y otros sistemas de telecomunicacin y se
generan con dispositivos electrnicos.
c) Espectro infrarrojo. Cubre las longitudes de onda entre 10-3
m y 7.8x10-7 m (7800 ) y el intervalo de frecuencia es entre 3x1011
Hz y 4x1014 Hz. Esta zona se subdivide a su vez en infrarrojo
cercano, medio y lejano. Estas ondas son producidas por cuerpos
calientes y molculas.
-
5-5
d) Luz espectro visible. Es una banda angosta formada por las
longitudes de onda a las cuales nuestra retina es sensible. Se
extiende desde 7.8x10-7 m hasta 3.8x10-7 m y en frecuencias desde
4x1014 Hz hasta 8x1014 Hz. Las longitudes de ondas ms cortas del
espectro visible corresponden a la luz violeta y las ms largas a la
luz roja, y entre estos extremos se encuentran todos los colores
del arco iris. La luz es producida por tomos y molculas como
resultado de procesos electrnicos.
e) Rayos ultravioletas. Cubren desde 3.8x10-7 m hasta alrededor
de 6x10-10 m con frecuencias desde 8x1014 Hz a 3x1017 Hz. Estas
ondas son producidas por tomos y molculas en descargas elctricas y
tienen fuertes efectos en procesos qumicos.
f) Rayos X. Esta parte del espectro electromagntico abarca una
gama de longitudes de onda entre 10-9 m y 6x10-12 m y frecuencias
entre 3x1017 Hz y 5x1019 Hz. Son producidos por transiciones
electrnicas en niveles profundos del tomo.
g) Rayos g: Estas ondas electromagnticas son de origen nuclear y
se superponen al lmite superior de los rayos X; sus longitudes de
onda van desde 10-10 m hasta 10-14 m con frecuencias entre 3x1018
Hz y 3x1022 Hz.
Figura 5.2. Espectro electromagntico
-
5-6
5.1.2 Energa de una onda electromagntica. Como todo tipo de
onda, las ondas electromagnticas transportan energa y cantidad de
movimiento. La energa transportada viene descrita por la
intensidad, es decir, por la potencia media por unidad de rea
incidente sobre una superficie perpendicular a la direccin de
propagacin. La cantidad de movimiento por unidad de tiempo y por
unidad de rea transportada por una onda electromagntica se denomina
presin de radiacin. Sabemos del captulo 2 que la intensidad de una
onda viene dada por el producto de la densidad energtica media por
la velocidad de la onda. Las densidades de energa asociadas al
campo elctrico y al campo magntico de una onda electromagntica que
se propaga en el vaco son
20
22
0
2
0
20
21
21
21
21
EEB
E
emm
e
===
=
cu
u
B
E
[5.15]
donde se ha utilizado el hecho de que cEB = . La densidad de
energa total de la
onda electromagntica es igual a 20Ee=+= BE uuu [5.16] y la
intensidad de la onda electromagntica queda 20EecI = [5.17] Para el
caso de una onda electromagntica armnica plana, E=E0sen(kru-wt), la
intensidad media en el tiempo de la onda electromagntica, teniedo
en cuenta que el valor medio del seno al cuadrado es , queda
20021
EcI e= [5.18]
Se define el vector de Poynting S como
0m
ExBS = [5.19]
siendo ste un vector que tiene por unidades W/m2, como valor
promedio del mdulo la intensidad de la onda, y como direccin la
direccion de propagacin de la onda electromagntica. Comprobemos
este hecho para una onda electromagntica plana donde ExB=EB y el
mdulo del vector de Poynting queda
-
5-7
0
2
0
2
0 mmmcB
cEEB
S === [5.20]
El valor promedio de este mdulo, haciendo de nuevo uso del valor
promedio del seno al cuadrado queda
c
ES
0
20
2m= [5.21]
Por otro lado la intensidad de la onda, sabiendo que 00
1me
=c , queda
=== Sc
EEcI
0
202
00 221
me [5.22]
Las ondas electromagnticas, adems de energa transportan cantidad
de
movimiento. Por tanto, una onda electromagntica que incide sobre
una superficie ejerce una presin sobre ella que se denomina presin
de radiacin Pr. Si la superficie absorbe toda la radiacin
incidente, la cantidad de movimiento total p por unidad de volumen
V cedida a la superficie por la onda en caso de incidencia normal
es
cuV
cp =
E= [5.23]
donde se ha hecho uso de que la cantidad de movimiento y la
energ a de la onda electromagntica se relacionan por la expresin
[5.30] E=pc, frmula que posteriormente se explicar. La presin de
radiacin, dada por la fuerza dividida entre el rea, es por tanto
igual a
cS
cI
Adt
dpPr
=== [5.24]
En caso de que la superficie sea un reflector perfecto, la onda
reflejada tambin cede la misma cantidad de movimiento a la
superficie y la presin de radiacin para incidencia normal es igual
a
cS
cI
Pr
== 22 [5.25]
-
5-8
5.2 Naturaleza corpuscular de la luz A principios del siglo XX,
la fsica se enfrent a una serie de fenmenos, analizados a
continuacin, que conducian a que la radiacin electromagntica era de
caracter corpuscular en su interaccin con la materia a diferencia
de su caracter ondulatorio cuando se propaga. Estos resultados
marcaran el comienzo de una nueva disciplina conocida como fsica
cuntica. 5.2.1 Radiacin del cuerpo negro. Se llama radiacin trmica
a la radiacin emitida por un cuerpo como consecuencia de su
temperatura. Todos los cuerpos
emiten esta radiacin a su derredor, y la absorben de l. Recibe
el nombre de cuerpo negro todo cuerpo que absorbe toda la energa
radiante de cualquier frecuencia que llega sobre l. Si un cuerpo
que cumple con estas condiciones se ilumina con luz visible,
ninguna radiacin retorna y presentar color negro. Un cuerpo negro
perfecto no existe en la naturaleza, pero se aproxima mucho a l en
la zona del espectro visible la pequea boca de una cavidad
recubierta de negro de humo, tal y como se muestra en la figura
5.3, ya que toda la luz que penetra por ella es absorbida en la
primera sucesivas reflexiones internas. Pues bien, si calentamos la
cavidad a una temperatura T, por la boca de la cavidad sale una
radiacin
cuyo espectro frecuencial podemos analizar. La fsica clasica
arroja el siguiente resultado para la densidad de energa por
intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro
dfc
kTfdffuT 228)( p= [5.26]
conocida como frmula de Rayleigh-Jeans y representada en la
figura 5.4 junto a los resultados experimentales medidos. La
discrepancia entre modelo terico y resultados experimentales es
evidente. En el lmite de frecuencias bajas, el espectro clsico se
aproxima a los resultados experimentales, pero a medida que la
frecuencia crece, la prediccin terica tiende a infinito mientras
que los experimetos muestran que la densidad de energa siempre
permanece finita y de hecho tiende a cero para frecuencias muy
altas. Este fallo de la teora clsica es conocido en fsica como la
catstrofe ultravioleta.
Figura 5.3. Cuerpo negro definido como aquel que absorbe toda la
energa que llega sobre l
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5-9
Figura 5.4. Densidad de energa por intervalo frecuencial emitida
por el cuerpo negro, frmula de
Rayleigh-Jeans, junto a los resultados experimentales De acuerdo
con la fsica clsica, la energa de una onda en particular puede
tener cualquier valor de forma continua entre cero e infinito y
bajo esa hiptesis se desarrollo la teora de Rayleigh-Jeans. Plank,
sin embargo hizo la sorprendente suposicin de que la densidad de
energa de las ondas electromagnticas variaba de forma discreta segn
mltiplos de un valor elemental de la forma nhf=e [5.27] donde n es
un nmero entero, f la frecuencia de la radiacin y h es una
constante universal llamada constante de Plank cuyo valor
encontrado experimentalmente es igual a h= 6.63x10-34 J.s Con esta
hiptesis se llega a que la densidad de energa por intervalo
frecuencial emitida por el cuerpo negro es igual al conocido como
espectro del cuerpo negro de Plank
dfe
hfc
fdffu
KThfT
1
8)( 3
-=
p [5.28]
que reproduce adecuadamente los resultados experimentales tal y
como muestra la figura 5.5. La drstica suposicin de Plank implica
que la emisin de luz, y en general de toda onda electromagntica, se
realiza en forma de partculas, corpsculos cuantos de energa hf.
-
5-10
Figura 5.5. Densidad de energa por intervalo frecuencial emitida
por el cuerpo negro segn el modelo de Plank 5.2.2 Efecto
fotoelctrico. Este fenmeno consiste en que cuando un metal recibe
luz, emite electrones denominado fotoelectrones. Analizando esta
emisin de fotoelectrones se observan los siguientes hechos:
a) La corriente de fotoelectrones es proporcional a la
intensidad del haz incidente
b) La energa cintica mxima de los electrones arrancados no
depende de la intensidad del haz incidente, solo depende de la
frecuencia
c) La energa cintica mxima de los fotoelectrones es una funcin
lineal de la frecuencia de la luz utilizada de la forma
WAfEmv -== max2
21 [5.29]
d) Existe para cada metal una frecuencia umbral por debajo de la
cual no se
produce emisin de electrones cualquiera sea la intensidad de la
luz incidente
e) La emisin es instantanea con la llegada de la luz al
metal
La explicacin que di Einstein a este fenmeno se basa en que un
haz de luz es un chorro de partculas, fotones, de energa hf. Cuando
sobre el metal llega un fotn, ste puede ceder toda su energa a un
electrn el cual puede ser arrancado del metal, en cuyo caso la
energa cintica mxima del electrn ser igual a WhfE -=max donde W es
la energa de ligadura del electrn. Esta ecuacin se ajusta con la
experiencia [5.29]. Si hn no es igual mayor que W, no se arrancan
electrones. La frecuencia umbral ser por tanto f=h/W y la constante
A de [5.29] ser la constante de Plank.
-
5-11
Teniendo en cuenta que la velocidad de los fotones en el vaco es
c, de la teora de la relatividad se deducen las propiedades de
masa, energa y cantidad de movimiento del fotn
lh
p
pcE
reposoMasa
=
=
= 0)(
[5.30]
5.2.3 Efecto Compton. En 1920 se observ, estudiando la dispersin
de rayos
X por la materia, que los rayos que salan dispersados en
diferentes direcciones tenan diferentes longitudes de onda y
mayores que la radiacin incidente,
independientemente del material atravesado. Este hecho no se
puede interpretar por la fsica clasica pues si se supone que la
difusin de rayos X se debe a que los electrones de la materia
entran en vibracin con la frecuencia de la onda electromagntica
incidente, debera radiar con la misma frecuencia, cosa que no
ocurre.
El fenmeno fue explicado por Compton admitiendo que la luz est
constituida
por fotones de energa hf, los cuales sufren choque elsticos con
los electrones libres dbilmente ligados de la materia, en cuyos
choques se conserva la energa y el momento tal y como se muestra en
la figura 5.6.
6.2.4 Dualidad onda-corpsculo. Las experiencias que acabamos de
analizar
y su justificacin exigen considerar los haces de luz como
chorros de partculas, denominadas fotones, de energa hf. Por otro
lado, los fenmenos de la interferencia y difraccin de luz, bien
estudiados y experimentados, certifican el caracter ondulatorio de
la misma. Esta situacin induce a la siguiente interpretacin:
a) Los aspectos ondulatorio y corpuscular de la luz no son
incompatibles ni
contradictorios, son dos aspectos complementarios de un mismo
ente fsico, la luz, y los fenmenos lumnicos no pueden ser
enteramente descritos si no se tiene en cuenta ambos aspectos
b) La propagacin de la luz viene gobernada por sus propiedades
ondulatorias
c) El intercambio de energa entre luz y materia viene
determinado por sus propiedades corpusculares a travs del fotn de
energa hf y cantidad de movimiento h/l.
Figura 5.6. Choque de un fotn con un electrn
-
5-12
5.3 Velocidad de la luz La primera medicin no astronmica de la
velocidad de la luz la llev a cabo el fsico francs Fizeau en 1849.
Sobre una colina se sita una fuente luminosa y un sistema de lentes
dispuesto de tal forma que la luz reflejada en un espejo
semitransparente se enfoca sobre uno de los huecos existentes en
una rueda dentada como se ve en la figura 5.7.
Sobre otra colina distante se sita un espejo que refleja la luz
hacia atrs, de modo que pudiera ser vista por un observador del
modo que se muestra en la figura. La rueda dentada puede girar
siendo variable su velocidad de rotacin. A bajas velocidades de
rotacin, la luz es visible por el observador porque la luz que pasa
a travs de un hueco de la rueda dentada no queda obstruida por el
diente siguiente despus de reflejada en el espejo. Entonces se
aumenta la velocidad de rotacin hasta que la luz que pasa a travs
del hueco de la rueda dentada queda obstruida por el diente
siguiente y se deja de observar luz. El tiempo necesario para que
la rueda gire a travs del ngulo comprendido entre dos huecos
sucesivos es igual al tiempo empleado por la luz en recorrer la
distancia de la rueda al espejo y volver a la rueda.
Figura 5.7. Mtodo de Fizeau para la medida de la velocidad de la
luz
Se define en la actualidad que la velocidad de la luz en el
vaco, y por ende del resto de las ondas electromagnticas, es c=
299.792.457 m/s [5.31] y entonces se define en funcin de esta
velocidad la unidad estndar de longitud, el metro. El valor 3x108
m/s para la velocidad de la luz es suficientemente exacto para la
mayora de las aplicaciones
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5-13
5.3.1 Principio de relatividad. A finales del siglo XIX, los
fsicos asuman que la naturaleza ondulatoria de la luz llevaba
aparejada la necesidad de la vibracin de alguna sustancia
desconocida, que denominaban eter que llenaba el espacio, de forma
anloga a las vibraciones del aire que dan lugar al sonido.
Asumiendo que este supuesto eter fuese estacionario, encontramos
que la luz se desplaza con respecto al eter a una velocidad c. Si
la tierra se moviera a travs del eter con velocidad v, entonces la
velocidad de la luz con respecto a la tierra debera depender de la
direccin de propagacin. Por ejemplo, debera ser c-v para un rayo de
luz que se propaga en la misma direccin del movimiento de la tierra
y c+v en la direccin opuesta.
En 1881, Michelson y Morley demostraron experimentalmente que
la
velocidad de la luz era la misma en todas las direcciones. Estos
resultados obligaron a abandonar el concepto de eter, las ondas
electromagnticas se propagan en el vaco, y movieron a Einstein en
1905 a enunciar su principio de relatividad basado en el hecho de
que la velocidad de la luz es una invariante fsico que tiene el
mismo valor para todos los observadores.
Esta invariancia obliga a profundos cambios en el movimiento
relativo entre
observadores tal y como se asuma en la mecnica clsica. En
especial la hiptesis de que el tiempo es igual para todo observador
no puede ser cierta. Dado que velocidad es distancia dividida entre
tiempo, tenemos que ajustar el tiempo y la distancia, si el
cociente debe ser el mismo para observadores en movimiento
relativo, como en el caso de la velocidad de la luz. Las nuevas
transformaciones, denominadas transformaciones de Lorentz, entre
dos observadores en movimiento relativo con velocidad v segn el eje
x, compatibles con la invariancia de la velocidad de la luz son
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
cv
mm
cv
cvx
tt
zzyy
cv
vtxx
-
=
-
-=
==
-
-=
[5.32]
Estas nuevas transformaciones obligaron al desarrollo de una
nueva rama de la fsica, fsica relativista, que encuentra su
principal aplicacin en el rango de las altas energas cuando las
velocidades de las partculas se aproximan a la velocidad de la
luz.
-
5-14
5.4 Propagacin de la luz Hemos visto como la propagacin de la
luz viene gobernada por la ecuacin de ondas desarrollada en el
apartado 5.1. Sin embargo, antes de que Maxwell desarrollara la
teora de las ondas electromagnticas, la propagacin de la luz fue
descrita empricamente por dos principios desarrollados por Huygens
y Fermat, posteriormente deducidos a partir de la ecuacin de ondas.
Estos dos principios, que pasamos a continuacina enunciar,
permitieron explicar muchos de los fenmenos asociados a la
propagacin de la luz. 5.4.1 Principio de Huygens. Consideremos un
frente de ondas esfrico que procede de un foco puntual. Vimos en
captulos anteriores como el frente de ondas es el lugar geomtrico
de los puntos con fase constante. Si en el instante t el radio del
frente de ondas es r, su radio en el instante t+Dt es r+cDt siendo
c la velocidad de la onda. Sin embargo, si una parte de la onda se
ve bloqueada por un obstculo, si la onda pasa a travs de diferentes
medios, es mucho ms difcil la determinacin del nuevo frente de
ondas en el instante t+Dt. La propagacin de una onda a travs del
espacio puede describirse utilizando un mtodo geomtrico conocido
como principio de Huygens
Cada punto de un frente de ondas primario sirve como foco de
ondas esfricas secundarias que avanzan con una velocidad y
frecuencia igual a las de la onda primaria. El frente de ondas
primario al cabo de un cierto tiempo es la envolvente de estas
ondas elementales. La figura 5.8 muestra la aplicacin del principio
de Huygens a la propagacin de una onda plana y una onda esfrica.
5.4.2 Principio de Fermat. En un medio homogeneo de ndice de
refraccin n, definido n como n=c/v, se define el camino ptico (L)
de la luz que ha recorrido
un trayecto desde A hasta B de longitud s como nsL =)( [5.33] Si
el medio es heterogeneo con variacin continua del ndice de
refraccin tenemos que el camino ptico es igual a
====B
A
B
A
B
Actdtc
vdscndsL )( [5.34]
Figura 5.8. Principio de Huygens para la propagacin de la
luz
-
5-15
As pues, el camino ptico puede definirse como el producto de la
velocidad de la luz en el vaco por el tiempo que tarda en recorrer
la trayectoria. El principio de Fermat establece que La trayectoria
seguida por la luz para pasar de un punto A a otro punto B es
aquella para la cual el camino ptico es mnimo Esta definicin, y
dado que c es una constante, es equivalente a afirmar que el tiempo
de recorrido de la luz debe ser un mnimo. 5.5 Reflexin y refraccin
Un medio transparente a la luz se define por su ndice de refraccin
n que como hemos visto viene dado por la ecuacin
vc
n = [5.35]
siendo c la velocidad de la luz en el vaco y v la velocidad en
el medio. De las definiciones de ambas velocidades llegamos al
resultado
rrvcn me
meem
===00
[5.36]
Para la mayora de los materiales pticos de inters mr=1 dado que
no son ferromagnticos con lo que el ndice de refraccin es igual a
la raiz cuadrada de la constante dielctrica relativa. De [5.35] se
deduce que el ndice de refraccin es una parmetro adimensional mayor
que la unidad, dado que c siempre es mayor igual que v. La tabla
5.1 muestra los ndices de refraccin de varias sustancias. Tabla
5.1. ndice de refraccin de diferentes sustancias para luz de
longitud de onda l=589 nm
Sustancia n Sustancia n
Slidos a 20 C Lquidos a 20 C
Diamante (C) 2.419 Benceno 1.501 Fluorita (CaF2) 1.434 Alcohol
Etlico 1.361
Cuarzo (SiO2) 1.458 Glicerina 1.473 Vidrio crown 1.52 Agua
1.333
Hielo (H2O) 1.309 Gases a 0 C, 1 atm Poliestireno 1.49 Aire
1.000293
Cloruro sdico (NaCl) 1.544 CO2 1.00045
-
5-16
Cuando un haz de luz incide sobre una superficie lmite de
separacin entre dos medios, tal como una superficie aire-vidrio,
parte de la energa luminosa se refleja y parte se transmite dando
lugar al fenmeno de la reflexin y refraccin ya analizados en el
captulo 2. Siguiendo el esquema de la figura 5.9, las leyes que
rigen este fenmeno son la ley de la reflexin, el ngulo incidente
es igual al ngulo reflejado
11 JJ = [5.37]
y la ley de la refraccin de Snell que liga ngulo incidente y
ngulo refractado en funcin de los ndices de refraccin de los
medios
2211 JJ sennsenn = [5.38] Experimentalmente se ha comprobado que
no hay un cambio de frecuencia al pasar la luz del primer medio al
segundo medio. Dado que si que hay un cambio de velocidades de
propagacin, esto implica que la longitud de onda debe cambiar. Si
la longitud de onda en el vaco es l, la longitud de onda len un
medio de ndice de refraccin n es
nl
l = [5.39]
5.5.1 Deduccin mediante el principio de Huygens. Analicemos los
fenmenos
de reflexin y refraccin utilizando la construccin de Huygens. La
figura 5.10.a muestra un frente de ondas plano AA que incide sobre
un espejo en el punto A. El ngulo f1 que forma el frente de ondas
con el espejo es igual al ngulo de incidencia q1 que forma la
perpendicular al espejo y los rayos perpendiculares al frente de
ondas. De acuerdo con el principio de Huygens cada punto de un
frente de ondas puede considerarse como un punto de una fuente de
ondas elementales secundarias. La posicin del frente de ondas al
cabo de un tiempo t se encuentra construyendo las ondas elementales
de radio ct con centros en el frente de ondas AA. Las ondas
elementales que no inciden sobre el espejo forman la parte BB del
nuevo frente de ondas. Los frentes de onda que inciden sobre el
espejo se reflejan y forman la parte BB del nuevo frente de ondas.
Mediante una construccin semejante se obtiene el frente de ondas CC
a partir de las ondas elementales de Huygens que se originan en el
frente de ondas BB. La figura 5.10.b es una parte aumentada de la
figura 5.10.a en la que se muestra AP, parte del frente de ondas
original. Durante el tiempo t, la onda elemental procedente del
punto P alcanza al espejo en el punto B y la onda elemental
procedente del punto A alcanza el punto
Figura 5.9. Reflexin y refraccin de la luz en la superficie
lmite entre dos medios
-
5-17
B. El frente de ondas reflejado BB forma un ngulo f1 con el
espejo que es igual al ngulo de reflexin q1 entre el rayo reflejado
y la normal al espejo. Los tringulos ABP y BAB son ambos tringulos
rectngulos con la hipotenusa comn AB y los catetos iguales
AB=BP=ct. De aqu que estos tringulos sean semejantes y que los
ngulos f1 y f1 sean iguales lo cual implica que el ngulo de
reflexin q1 es igual al ngulo de incidencia q1, ley de la
reflexin.
(a)
(b)
Figura 5.10.a) Frente de ondas plano incidiendo sobre un espejo
y b) detalle del proceso de reflexin del frente de ondas AP
La figura 5.11 muestra una onda
plana que incide sobre una superficie plana. Apliquemos la
construccin de Huygens para hallar el frente de ondas de la onda
transmitida. El segmento AP indica una porcin del frente de ondas
en el medio 1 que incide sobre la superficie con un ngulo de
incidencia f1. En el instante t la onda elemental procedente de P
recorre la distancia v1t y alcanza el punto B sobre la lnea AB que
separa ambos medios, mientra que la onda elemental procedente
del punto A recorre una distancia v2t dentro del segundo medio.
El nuevo frente de ondas BB no es paralelo al frente de ondas
original AP porque son diferentes las velocidades de transmisin en
ambos medios. Del tringulo APB
1
1
1
1
11
qf
f
sentv
sentv
AB
ABtv
sen
==
= [5.40]
Anlogamente y a partir del tringulo ABB
Figura 5.11. Refraccin de un frente de ondas plano
-
5-18
2
2
2
2
22
qf
f
sentv
sentv
AB
ABtv
sen
==
= [5.41]
Igualando valores obtenemos
2211
2
2
1
1
qq
qq
sennsennv
senv
sen
=
= [5.42]
obteniendo la ley de Snell de la refraccin.
5.5.2 Deduccin mediante el principio de Fermat. La figura 5.12
muestra dos trayectorias en las cuales la luz sale del punto A,
choca contra la superficie plana y
se propaga hasta el punto B. Aplicando el principio de Fermat el
recorrido entre A y B ser aquel que se realize en el menor tiempo
posible. Como en este problema la luz siempre se mueve en el mismo
medio, el tiempo ser mnimo cuando la distancia sea mnima. Esta
distancia APB es mnima cuando el ngulo de incidencia es igual al de
reflexin.
En el caso de la refraccin, la
figura 5.13 indica la geometra que sirve para encontrar el
trayecto de mnimo tiempo entre los puntos A y B. Si la distancia
recorrida en el medio 1 es L1 y la recorrida en el medio 2 es L2,
el tiempo que tarda la luz en recorrer el trayecto AB es
cLn
cLn
ncL
ncL
vL
vL
t
2211
2
2
1
1
2
2
1
1
+=
=+=+=
[5.43]
Figura 5.12. Trayectorias posibles de la luz en un proceso de
reflexin para ir de A a B
Figura 5.13. Trayectoria de mnimo tiempo entre A y B en un
proceso de refraccin
-
5-19
Utilizando las igualdades deducidas de la figura 5.13
2222
2221
)( xdbL
xaL
-+=
+= [5.44]
y haciendo el tiempo un mnimo respecto a x obtenemos
01 2
21
1 =
+=
dxdL
ndxdL
ncdx
dt [5.45]
A partir de [5.44]
22
2
11
1
q
q
senL
xddx
dL
senLx
dxdL
-=-
-=
== [5.46]
Introduciendo estos resultados en [5.45] tenemos
2211
2211 0)(qq
qqsennsenn
sennsenn=
=-+ [5.47]
que es la ley de Snell de la refraccin.
5.5.3 Factores de reflexin y transmisin. La fraccin de energa
luminosa reflejada y transmitida al incidir la onda sobre una
superficie lmite depende del ngulo de incidencia, la orientacin del
vector campo elctrico y de los ndices de refraccin segn unas
ecuaciones denominadas frmulas de Fresnel. Para el caso especial de
incidencia normal el factor de reflexin r0, fraccin de intensidad
reflejada, y el factor de transmisin t0, fraccin de intensidad
transmitida, vienen dados por
2
21
210
+-
==nnnn
II
ri
r [5.48]
221
210 )(
4nnnn
II
ti
t
+== [5.49]
donde II es la intensidad incidente, Ir la reflejada y It la
transmitida y n1 y n2 los indices de refraccin de los dos medios.
La conservacin de la energa obliga a que la suma de r y t sea igual
a 1.
-
5-20
5.5.4 Reflexin interna total. Cuando el ndice de refraccin del
segundo medio es menor que el del primero n1>n2, la ley de Snell
implica que qr > qi. Al ir aumentando el ngulo de incidencia
sobre la superficie, el ngulo del rayo refractado subir de valor
hasta alcanzar los 90 para un ngulo de incidencia crtico qc tal y
como se muestra en la figura 5.14. Para ngulos de incidencia
mayores que qc no existe rayo refractado y toda la energa se
refleja, fenmeno conocido como reflexin interna total. Una
aplicacin muy interesante de este fenmeno es la transmisin de un
haz de luz a lo largo de una fibra de vidrio transparente
denominada fibra ptica.
Figura 5.14.a) Reflexin interna total para un ngulo de
incidencia mayor que qc y b) ejemplo del
fenmeno en la superficie de separacin agua/aire A partir de la
ley de Snell se puede deducir el valor de este ngulo crtico
1
2
nn
sen c =q [5.50]
5.5.5 Espejismos. Cuando el
ndice de refraccin de un medio cambia de forma continua, la
refraccin es continua de forma que la luz se va curvando
gradualmente. Un ejemplo interesante de este caso es la formacin de
un espejismo. En un da caluroso es frecuente tener cerca del suelo
una capa de aire ms caliente, y por tanto menos denso que el aire
que tiene encima. La velocidad de la luz es ligeramnete mayor en
esta capa menos densa, de manera que el haz que pasa de la capa ms
fra a la ms caliente se curva tal y como se muestra en la figura
5.15.
Figura 5.15. Espejismo motivado por aire caliente en las
cercanas del suelo
-
5-21
5.6 Polarizacin En toda onda tranversal, la vibracin es
perpendicular a la direccin de propagacin de la onda. Por ejemplo,
una onda luminosa que se mueva en la
direccin X, tendr un campo elctrico E perpendicular a esta
direccin, por ejemplo el Y segn se muestra en la figura 5.16, con
un campo magntico B segn el eje Z. Si la vibracin se mantiene
paralela a una lnea del espacio se dice que la onda est linealmente
polarizada. El plano de polarizacin se define como el plano en el
que oscila el campo elctrico, en este caso el plano XY. Otra
solucin posible en forma de onda plana de la ecuacin de ondas es
aquella en la que los campos electricos y magnticos tienen una
magnitud constante, pero rotan alrededor de la direccin de
polarizacin dando como resultado una onda polarizada circularmente
tal y como se indica en la figura 5.17. Esta nueva solucin se
obtiene combinando dos soluciones linealmente polarizadas como por
ejemplo
)(),cos(
)cos(),(
tkxsenBBtkxBB
tkxEEtkxsenEE
ozoy
ozoy
ww
ww
-=-=
-=-=
m [5.51]
que corresponde a un defasaje de p /2 entre las componentes de
cada campo. El extremo del vector E define una circunferencia en el
espacio. En caso de que las amplitudes de cada componente sean
diferentes se obtiene una polarizacin elptica. La mayora de la
ondas producidas por una fuente estn polarizadas. Por ejemplo las
ondas electromagnticas producidas por una antena dipolar estn
linealmente polarizadas con el vector campo elctrico paralelo a la
antena. En cambio las ondas producidas por muchas fuentes
normalmente no estn polarizadas. Una fuente luminosa tpica contiene
millones de tomos que actan independientemente dando lugar a luz no
polarizada.
Figura 5.16. Onda de luz propagndose segn el eje X linealmente
polarizada
Figura 5.17. Onda de luz propagndose segn el eje X circularmante
polarizada
-
5-22
5.6.1 Polarizacin por absorcin. Algunos cristales cortados
adecuadamente presentan la propiedad de transmitir solo la luz
polarizada segn una direccin
determinada, denominada eje de transmisin. Al incidir luz no
polarizada sobre estos cristales, la luz transmitida presentar una
campo elctrico paralelo al eje de transmisin. Si situamos un
segundo cristal polarizador cuyo eje de transmisin forma un ngulo q
con el primero, figura 5.18, la componente del campo elctrico a lo
largo del eje de transmisin del segundo polarizador sera Ecosq,
siendo E el campo elctrico entre
ambos cristales. Dado que sabemos que la intensidad de la onda
es proporcional a la amplitud al cuadrado, la intensidad de la luz
transmitida por ambos cristales ser igual a
q20 cosII = [5.52]
donde I0 es la intensidad sobre el segundo polarizador,
denominado analizador, que es la mitad de la intensidad incidente
sobre el primer polarizador.
5.6.2 Polarizacin por reflexin. Cuando luz no polarizada se
refleja en una superficie plana entre dos medios transparentes, la
luz reflejada est parcialmente
polarizada. El grado de polarizacin depende del ngulo de
incidencia y de los ndices de refraccin de ambos medios. Brewster
descubri en 1812 que cuando los rayos refractados y reflejados son
perpendiculares, la onda reflejada est totalmente polarizada,
estando su campo elctrico perpendicular al plano de incidencia tal
y como se muestra en la figura 5.19. El ngulo de incidencia para el
que ocurre este fenmeno se denomina ngulo de polarizacin qp y su
determinacin es sencilla a partir de 5.19 donde se observa que pJJ
-= 902 que
junto a la ley de Snell lleva a
1
2
nn
tg p =q [5.53]
Figura 5.18. Proceso de polarizacin por absorcin utilizando
cristales polarizadores
Figura 5.19. Proceso de polarizacin por reflexin al incidir la
luz sobre la superficie con qp
-
5-23
Mientras, la luz transmitida est solo parcialmente polarizada
debido a que solo se refleja una pequea fraccin de la luz
incidente.
Debido al fenmeno de la polarizacin de la luz reflejada, las
gafas fabricadas
con cristales polarizantes son muy eficaces a la hora de evitar
deslumbramientos. La luz reflejada en lagos en la nieve presentar
un plano de incidencia prcticamente vertical con lo que el campo
elctrico de la luz reflejada ser horizontal. Los cristales
polarizados con sus ejes de transmisiones verticales absorbern gran
parte de la luz reflejada evitando los deslumbramientos. 5.7
Dispersin La dependencia del ndice de refraccin de un material con
la longitud de onda, y por tanto con la frecuencia, recibe el
nombre de dispersin. Para la mayora de los vidrios pticos y
sustancias transparentes, n disminuye con la longitud de onda segn
la frmula de Cauchy
2)( l
lB
An += [5.54]
donde A y B son constantes a determinar experimentalmente.
Cuando un haz de luz blanca incide formando un cierto ngulo sobre
un prisma de vidrio, el ngulo de refraccin correspondiente a las
longitudes de onda ms cortas es ligeramente mayor que el
correspondiente a las longitudes de onda ms largas. Por
consiguiente, las longitudes de onda ms cortas (violeta) se desvan
ms que las largas (rojo) dando lugar a la dispersin del haz de luz
blanca en sus colores longitudes de onda constituyentes, figura
5.20.
Analicemos este fenmeno considerando un prisma ptico como un
medio transparente limitado por dos superficies planas que forman
un ngulo diedro a. De la marcha del rayo en la figura 5.21 y del
tringulo AI1I2 se deduce, teniendo en cuenta que e2 y e2 son
negativos y e1 y e1 positivos aee =- 2
,1 [5.55]
El ngulo d que forma la proyeccin del rayo incidente con el
emergente se llama desviacin angular del rayo y se toma como
positiva si al llevar el rayo emergente sobre el incidente se va en
sentido antihorario. Para calcular d basta considerar que es el
ngulo externo en el tringulo JI1I2 aeeeeeed --=-+-=+= 21
22
11 )()(21 [5.56]
-
5-24
Figura 5.20. Dispersin de un haz de luz blanca en un prisma
dando lugar a sus longitudes de onda,
colores, constituyentes
Si el rayo est compuesto de dos haces monocromticos l y l+dl, y
debido al fenmeno de la dispersin, a la salida del prisma habr una
variacin en la desviacin de cada uno de los haces denominada
dispersin angular dd, figura 5.22. Para calcular este ngulo
diferenciamos [5.55], [5.56] y la ley de Snell considerando que e1
y a son constantes
21 ee dd = ,
2ed dd -=
0cos 11
1 =+ dnsendn eee
2
2222 coscos eeeee ddnsendn =+
y operando, junto a [5.55], llegamos a la ecuacin
dnsend 2
1 coscos ee
ad = [5.57]
Figura 5.21. Difraccin de un rayo de luz en las superficies de
un prisma
Figura 5.22. El rayo de luz incidente sobre el prisma est
compuesto de dos longitudes de onda
-
5-25
Problemas
1. Una bombilla elctrica de 50 W emite ondas electromagnticas
uniformemente en todas las direcciones. Calcular la intensidad, la
presin de radiacin y los campos elctricos y magnticos a una
distancia de 3 m.
2. La distancia entre los espejos en el dispositivo de Fizeau es
de 20 km, la rueda dentada tiene 25 mm de radio y 250 dientes. Cul
debe ser la velocidad de giro de la rueda para que la luz deje de
verse?
3. Un rayo de luz que se propaga en el aire entra en el agua con
un ngulo de incidencia de 45. Si el ndice de refraccin del agua es
de 1,33, cul es el ngulo de refraccin?
4. Considerese un haz de luz monocromtica con longitud de onda
en el vaco de 590 nm. Calcular la longitud de onda de este haz en
un vidrio con ndice de refraccin n=1,5.
5. Una radiacin de frecuencia n=5x1014 s-1 se propaga en el
agua. Calcular la velocidad de propagacin y la longitud de onda de
dicha radiacin.
6. En el fondo de una vasija llena de lquido de ndice de
refraccin n2 hay un pequeo objeto. La vasija tiene una altura hr.
Hallar la altura aparente a la que se encuentra el objeto cuando se
mira ste con incidencia normal siendo el ndice de refraccin del
medio donde se encuentra el observador n1.
7. Hallar el desplazamiento que experimenta un rayo de luz al
atravesar una lmina de 1 cm de espesor e ndice de refraccin 1,5 si
el rayo incidente forma un ngulo de 45 con la normal.
8. En una lmina plana de cuarzo, n=1,544, de caras paralelas
incide un rayo con un ngulo cercano a cero. Calcular el porcentaje
de la intensidad luminosa del rayo que emerge a travs de la
lmina.
9. Un vidrio dado posee un ndice de refraccin de n=1,5. Cul es
el ngulo crtico para la reflexin total de la luz que sale del
vidrio y entra en el aire?
10. Sea una lmina de vidrio, n=1,75, con forma de cua y rodeada
de aire. Calcular el ngulo a que forman las dos caras de la cua
sabiendo que un rayo de luz que incide sobre una de las caras con
un ngulo de 30 se refracta sobre la otra segn el ngulo crtico.
11. Un rayo de luz incide sobre la cara exterior de un vidrio
con ndice de refraccin 1,655. Sobre la cara superior se condensa un
lquido desconocido. La reflexin interna total sobre la superficie
vdrio-lquido se produce cuando el ngulo de incidencia en la
superficie vdrio-lquido es 53,7. Cul es el ndice de refraccin del
lquido desconocido? Si se eliminase el lquido, cul sera el ngulo de
incidencia para la reflexin interna total?. Para el ngulo de
incidencia hallado en el apartado anterior, cul es el ngulo de
refraccin del rayo dentro de la pelcula del lquido? Emerger un rayo
a travs de la pelcula del lquido hacia el aire que est encima?
12. Luz no polarizada de intensidad 3 W/m2 incide sobre dos
pelculas polarizadoras cuyos ejes de transmisin forman entre si un
ngulo de 60.Cul es la intensidad de la luz transmitida por la
segunda pelcula?
-
5-26
13. Hallar la velocidad de grupo de un haz de luz en un vidrio
ptico que cumple la frmula de Cauchy.
14. Calcular la variacin de desviacin que experimenta un rayo
luminoso despus de atravesar un prisma de vidrio, a=60 y n=1,6,
sobre el que incide con un ngulo de 40 cuando el medio que lo rodea
cambia de aire a agua.
15. Calcular el ngulo diedro a de un prisma, n=1,5204 para una
longitud de onda de l=656,3 nm, sabiendo que un rayo que incide con
un ngulo de 60 se desva un ngulo de 481330.
16. Demostrar que el ngulo de incidencia e1 sobre un prisma, de
ngulo diedro a e ndice de refraccin n, que hace mnima la desviacin
d a la salida del mismo
cumple que 21a
e nsensen = .
17. Para el prisma del problema 15 se conoce que su ndice de
refraccin para l=486,1 nm es 1,5293. Calcular la dispersin angular
existente al incidir sobre el prisma un haz luminoso, compuesto de
dos longitudes de onda, l=656,3 nm y l=589,3 nm, con un ngulo de
60.