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"Fundamentos de transferencia de momento, calor
Profesor & DIrecfor del Departamento !"
de Ingeniera Mecnica Universidad Estatal de Oregdn
CHARLES E. WICKS Profesor y Director del Departamento de
Ingeniera Qumica Universidad Estatal de Oregn
ROBERT E. WILSON Profesor de Ingeniera MecAnica Universidad
Estatal de Oregn
NORIEGA EDITORES -~
MXICO Espalla Venezuela Colombia
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VERSIN AUTORIZADA EN ESPANOL DE LA OBRA
PUBLICADA EN INGLS POR JOHN WILEY & SONS, INC., CON EL
T~TULO: FUNDAMENTALS OF MOMENTUM, HEAT & MASS TRANSFER O JOHN
WILEY & SONS, INC.
COLABORADOR EN LA TRADUCCI~N: CONCEPC16N CALDER6N ACOSTA
IDIOMAS BERLITZ. INTRPRETE TRADUCTORA DE LA ESCUELA DE
REVISI~N: JOSC LUIS FERNANDEZ ZAYAS DOCTOR EN INGENIER~A DE LA
UNIVERSIDAD DE BRISTOL, INGLATERRA. PROFESOR INVES-
LA UNIVERSIDAD NACIONAL AUT~NOMA DE M x l c o .
TIGADOR DE LA FACULTAD DE INGENIERA DE
LA PRESENTACION Y DISPOSICI~N EN CONJUNTO DE
FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE 1 6 $ 5 0 $ MOMENTO, CALOR Y
MASA SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NINGUNA PARTE DE
TIDA, MEDIANTE NINGN SISTEMA o MTODO, ESTA OBRA PUEDE SER
REPROWCIDA O TRANSMI-
ELECTRNICO O MECNICO (INCLUYEN00 EL FOTO-
COPIADO, LA GRABACIN O CUALQUIER SISTEMA
DE RECUPERACIN Y ALMACENAMIENTO DE IN-
FORMACI~N), SIN CONSENTIMIENTO POR ESCRITO
DEL EDITOR.
DERECHOS RESERVADOS:
O 1994, EDITORIALLIMUSA, S.A. DE C.V. GRUPO NORIEGA EDITORES
BALDERAS 95, M x l c o , D.F. C.P. 06040 TELFONO 521 -21 -05 FAX
512-29-03
CANIEM NM. 121
SEXTA REIMPRESI~N
HECHO EN M x l c o ISBN 968-18-1306-5
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PROLOG01
Los objetivos bsicos de esta edicin son los mismos que los de la
primera. El proceso de transferencia sigue siendo el tema biisico a
tratar, para el cual este libro es el instrumento de estudio.
En esta edicin hemos actualizado el material, introduciendo
aplicacio- nes de la tecnologa actual. Tambin hemos modificado la
presentacin para incluir un estudio adicional y ms detallado en
aquellas reas que parecen presentar mayor grado de dificultad para
el est.udiante. Creemos? y, verdade- ramente confiamos en que esta
edicin mantendr los aci&-tb$:&$.ofciide 10s que tantas
personas han comentado.
Realmente el cambio ms obvio en esta edicin es la incorporacin
de unidades SI. Hemos introducido un tratamiento equilibrado de
unidades SI y sistema ingls, tanto en los problemas que se
presentan como ejemplo, co- mo en los que aparecen al final de cada
captulo. Tambin hemos modificado las tablas de propiedades fsicas
para incluir en ellas datos en SI correspon- dientes a slidos y
gases. No existe, a nuestro juicio, ninguna buena recopila- cin de
ras propiedades de los lquidos en unidades SI. Por esta razn, sigue
siendo necesario que tanto el profesor como el estudiante efecten
las conver- siones pertinentes para los lquidos, cuando las
propiedades se requieran en unidades SI. En cada uno de los
problemas de ejemplo se ha agregado el valor correspondiente entre
parntesis y seguido del resultado final, en el sistema alterno, ya
sea que se haya trabajado en sistema ingls o SI. Estamos conven-
cidos de que la buena comprensin as como la facilidad para resolver
proble- mas en el rea del proceso de transferencia, son
indispensables para el ingeniero competente sin importar su campo
fundamental dentro de la ingeniera. El curso para el cual se ha
utilizado como texto durante los ltimos seis aos en la Universidad
Estatal de Oregn, ha tenido c,ada vez mayor aceptacin en
5
-
6 Prlogo
todos los campos de la ingeniera. Esperamos que el tratamiento
unificado de los procesos de transferencia se popularice cada vez
ms tambin en otras instituciones.
La asistencia y los comentarios crticos de numerosos estudiantes
en aos pasados nos han sido de gran ayuda en la preparacin de esta
edicin. En especial, queremos agradecer el apoyo que nos han
brindado varios de nuestros colegas, quienes la han utilizado en
sus ctedras. Esperamos haber incorporado todo aquello que
contribuya a mejorar el texto.
Corvallis, Oregn J. R. Welty
C. E. Wicks
R. E. Wilson
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PROLOG0 A LA PRIMERA EDICION
EN INGLES
Tradicionalmente los programas de estudio de ingeniera
incluancursos acerca de la transferencia de momento en mecnica de
fluidos, por lo general en los departamentos de Ingeniera Civil o
Mecnica. Los programas de estu- dios de Ingeniera Qumica y Mecnica
han abarcado cursos de transferencia de energa o calor y el tema de
la transferencia de masa o difusin ha sido casi del dominio
exclusivo de los ingenieros qulaicos. Cuando se les estudia en esta
forma fragmentada, las semejanzas en las descripciones tanto
cualita- tivas como cuantitativas entre ambos temas, a menudo o se
ignoran o se piensa que son coincidencias.
En 1960, con la publicacin de Transport Phenomena, de R. B.
Bird, W. E. Stewart y E. N. Lightfoot, de la Universidad de
Wisconsin, estos tres te- mas, previamente fragmentados, se unieron
en urr solo volumen con un enfo- que unificado hacia el proceso de
transferencia. As, los estudiantes pueden aprender una sola
disciplina en lugar de tres y utilizar las semejanzas en des-
cripcin y clculo para reforzar su conocimiento de los procesos
individuales de transferencia. Una razn adicional para la
popularidad del enfoque unifi- cado es el inters creciente en
situaciones en las que aparecen implicadas en un solo proceso dos o
a veces hasta tres clases de transferencia. Es invaluable una
descripcin fundamental y sistemtica del proceso de transferencia, a
este respecto.
La gradual evolucin de los programas de estudio de ingeniera
para incluir ms reas importantes de temas bsicos ha llevado a
muchas institu- ciones a ofrecer cursos de transferencia de
mom'ento, calor y masa. En estos casos, el proceso de transferencia
se considera tan fundamental para los conocimientos bsicos del
estudiante de ingeniera como la mecnica, la termodinmica, la
ciencia de los materises y la electricidad y el magnetismo bsicos.
Fue en este contexto en el que evolucion la presente obra. Desde
1963 este material ha sido desarrollado y utilizado, en parte, por
grupos de
7
-
8 Prlogo a la primera edicin en ingls
alumnos a nivel de segundo ao de la Universidad Estatal de
Oregn, en el curso titulado Procesos de Transferencia y Cambio.
Este libro es el resultado de los apuntes de clase, que se han
revisado y reescrito al menos una vez du- rante cada uno de los
cinco aos anteriores. Las opiniones y crticas de los estudiantes y
profesores, han sido de gran ayuda para los autores.
Es necesario hacer ciertas concesiones para escribir un libro de
esta na- turaleza. El inters primordial de los autores ha sido
escribir un texto bsico para aumentar la comprensin del estudiante
de la transferencia de momen- to, energa y masa. Hemos mantenido
las aplicaciones especficas de este material en un mnimo; esperamos
que los cursos de laboratorio planeados para impartirlos
posteriormente, tratarn las aplicaciones especficas as como las
tcnicas para la solucin de problemas. En este texto hemos incluido
tres captulos de aplicaciones (captulos 14, 2 2 y 31). Estos
aparecen cerca del final de cada seccin con el objeto de
proporcionar informacin sobre el equipo y para indicar la clase de
problemas que se pueden tratar de resolver con el material
contenido en el texto. Estos captulos se han incluido con el fin de
motivar al alumno, dando sin embargo, un mnimo de aplicaciones para
aquellos estudiantes para quienes ste sea un estudio final acerca
de la transferencia de momento, energa y masa.
La obra se ha escrito a nivel de segundo ao de ingeniera. Se
presupone que el estudiante ha tomado anteriormente cursos de
mecnica y matemticas, en lo referente a ecuaciones diferenciales,
as como cursos de introduccin a la qumica y a la fsica. Adems sera
muy til que hubiera tomado un curso de termodinmica anterior o
simultneamente al uso de este texto.
El nivel matemtico de la obra ha preocupado mucho a los autores.
He- mos empleado la notacin vectorial principalmente en el
desarrollo de las ecuaciones fundamentales. La compacidad,
generalidad y exactitud de la no- tacin vectorial nos parecieron
suficientes para rechazar las objeciones de aquellos que han
sugerido que este tratamiento es demasiado sofisticado. Otros,
aunque en pequeo nmero, han sugerido que habra sido mejor usar
tanto notacin como operacianes tensoriales ms generales. La
seleccin ha sido un trmino medio, estimado por los autores como el
mejor. Es necesario un conocimiento de las ecuaciones diferenciales
en lo que se refiere a la solu- cin de ecuaciones de segundo orden.
Se incluyen, a manera de ejemplo, tres problemas que comprenden la
solucin a ecuaciones diferenciales parciales por el mtodo de
separacin de variables; sin embargo, puede omitirse SU estudio sin
ocasionar ningn perjuicio en cuanto a la comprensin.
Pueden emplearse dos diferentes enfoques en el uso de este
material. Ambos son diagramticamente opuestos. El texto est
organizado en forma vertical. Los temas de transferencia de
momento, energa y masa, estn presentados en ese orden. El enfoque
horizontal alterno, aparece indicado en el diagrama. Este enfoque
implica el estudio de temas semejantes para 10s tres tipos de
transferencia, considerando un mecanismo de transferencias a la
vez. Los autores estamos conscientes de que los profesores pueden
preferir
-
Prlogo a la primera edicin 9
r"z1 r-* r---h 1-4, I I I I I I I I
I I I I I I I I I I I I I I I 1
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-
10 Prlogo a la primera edicin en ingls
cualquiera de estos enfoques y hemos organizado el libro para
que se acomo- de a ambas escuelas de pensamiento.
Los primeros tres captulos pueden estudiarse u omitirse, a
criterio del profesor. Probablemente el material contenido en ellos
ya se haya estudiado en cursos previos, pero puede ayudar a igualar
el nivel de conocimientos de los estudiantes de diversas ramas,
antes de empezar el estudio de los procesos de transferencia.
Los captulos 4, 5 y 6 son fundamentales para la comprensin de
todo el texto, por lo que debe profundizarse en su estudio y
asegurarse su compren- sin total antes de proceder al estudio de
los subsecuentes. El concepto de vo- lumen de control que se
introduce en este punto, es bsico para la compren- sin de los
siguientes captulos. Esta forma de estudiar los procesos de trans-
ferencia es una de las principales diferencias entre este texto y
el de Bir, Ste- wart y Lightfoot.
Los captulos del 7 al 14 tratan exclusivamente de transferencia
de momento, del 15 al 23, de transferencia de energa y del 24 al 31
de trans- ferencia de masa. Todos pueden considerarse en secuencia
horizontal como se mencionit anteriormente. La nica parte separada
es el captulo 23 que trata de la transferencia de energa radiante
que no tiene paralelo en la trans- ferencia de momento ni en la de
masa.
Los autores estamos firmemente convencidos de que los procesos
de cambio son fundamentales para los estudios ingenieriles. Creemos
que la falta de un texto ampliamente aceptado ha obstaculizado la
adopcin de este punto de vista en numerosas instituciones.
Esperamos que este texto pueda persua- dir a algunas escuelas a
aceptar, como parte de sus programas, latransferencia de momento,
energa y masa, dotando as a sus egresados de un conocimiento
vital.
Corvallis, Oregn J. R. Welty
C. E. Wicks
R. E. Wilson
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CONTENIDO
Captulo 1 CONCEPTOS Y DEFINICIONES 1.1 Fluidos y el continuo, 21
1.2 Propiedades en un punto, 22 1.3 Variacin de las propiedades de
un fluido de un punto
1.4 Unidades, 30 a otro, 27
Captulo 2 ESTATICA DE FLUIDOS 2.1 Variacin de presin en un
fluido esttico, 35 2.2 Aceleracin recti1 nea uniforme, 39 2.3
Fuerzas sobre las superficies sumergidas, 40 2.4 Flotacin, 44 2.5
Conclusin, 46
21
35
Captulo 3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO EN MOVIMIENTO 53 3.1 Leyes
fsicas fundamentales, 53 3.2 Campos de flujo de fluidos:
representaciones lagrangiana y
3.3 Flujos permanentes y no permanentes, 55 3.4 Lneas de
corriente, 56 3.5 Sistemas y volmenes de control, 57
euleriana, 54
Captulo 4 OBSERVACION DE LA MASA: ENFOQUE DE VOLUMEN DE CONTROL
59
4.1 Relacin integral, 59 4.2 Formas especficas de la expresin
integral, 60 4.3 Conclusin, 65
11
-
12 Contenido
Captulo 5 SEGUNDA LEY DE NEWTON DEL MOVIMIENTO: ENFOQUE DE
VOLUMEN DE CONTROL 71
5.1 Relacin integral para el momento lineal, 71 5.2 Aplicaciones
de la expresin integral para el momento
5.3 Relacin integral para el momento de momento, 83 5.4
Aplicaciones a las bombas y turbinas, 85 5.5 Conclusin, 90
lineal, 76
Captulo 6 CONSERVACION DE LA ENERGIA: ENFOQUE DE VOLUMEN DE
CONTROL 101
6.1 Relacin integral para la conservacin de la energa, 101 6.2
Aplicaciones de la expresin integral, 109 6.3 La ecuacin de
Bernoulli, 113 6.4 Conclusin, 118
Captulo 7 ESFUERZO CORTANTE EN EL FLUJO LAMINAR 127 7.1 Relacin
de Newton para la viscosidad, 127 7.2 Fluidos no newtonianos, 129
7.3 Viscosidad, 130 7.4 Esfuerzo cortante en los flujos laminares
multidimensionales
7.5 Conclusin, 140 de un fluido newtoniano, 135
Captulo 8 ANALISIS DE UN ELEMENTO DIFERENCIAL DE FLUIDO EN EL
FLUJO LAMINAR 1 43
8.1 Flujo laminar totalmente desarrollado en un conducto
8.2 Flujo laminar de un fluido newtoniano hacia abajo por
8.3 Conclusin, 150
circular de seccin transversal constante, 1 4 4
una superficie plana inclinada, 147
Captulo 9 ECUACIONES DIFERENCIALES DE FLUJO DE FLUIDOS 153
9.1 La ecuacin de continuidad diferencial, 153 9.2 Ecuaciones de
Navier-Stokes, 157 9.3 Ecuacin de Bernoulli, 167 9.4 Conclusin,
169
Captulo 10 FLUJO DE FLUIDOS NO VISCOSOS 173 10.1 Rotacin de un
fluido en un punto, 173 10.2 La funcin de corriente, 175 10.3 Flujo
no rotacional, noviscoso,alrededorde un cilindro
10.4 Flujo no rotacional. El potencial de la velocidad, 180
infinito, 177
-
Contenido 13
10.5 10.6 10.7
Captulo 1 1 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6
Captulo 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5
12.6 12.7 12.8
Captulo 13
13.1 13.2 13.3 13.4
13.5 13.6
13.7 13.8
13.9
Captulo 14 14.1 14.2
14.3
14.4
Carga total en el flujo no rotacional, 182 Utilizacin del flujo
potencial, 182 Conclusin, 184
ANALISIS DIMENSIONAL 187 Dimensiones, 187 Semejanzas geomtrica y
cinemtica,, 188 Anlisis dimensional de la ecuacin de Navier-Stokes,
189 El mtodo de Buckingham, 191 Teora de modelos, 194 Conclusin,
196
203 FLUJO VISCOSO Experimento de Reynolds, 203 Arrastre, 205 El
concepto de capa I mite, 208 Las ecuaciones de capa I mite, 21 1
Solucin de Blasius para la capa laminar limite en una placa plana,
212 Flujo con un gradiente de presin, 2'18 Anlisis integral de von
Krmn del momento, 220 Conclusin, 225
EL EFECTO DE LA TURBULENC1.A EN LA TRANSFERENCIA DE MOMENTO
Descripcin de la turbulencia, 229 Esfuerzos cortantes turbulentos,
231 Hiptesis de la longitud de mezclado, 234 Distribucin de la
velocidad a partir de la teora de la longitud de mezclado, 235
Distribucin universal de velosidades, 236 Relaciones empricas
adicionales para un flujo turbulento, 239 La capa lmite turbulenta
en una placa plana, 240 Factores que afectan la transicin de flujo
laminar a turbulento, 242 Conclusin, 243
229
FLUJO EN CONDUCTOS CERRADOS Anlisis dimensional del flujo en los
conductos, 245 Factores de friccin para flujos laminar, turbulento
y de transicin totalmente desarrollados en conductos circulares,
247 Factor de friccin y determinacin dle la prdida de carga en el
flujo de un tubo, 252 Anlisis del flujo en un tubo, 256
245
-
14 Contenido
14.5
14.6
Cap tu lo 1 5
15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6
Factores de friccin correspondientes a un flujo a la entrada de
un conducto circular, 259 Conclusin, 263
FUNDAMENTOS DE LA TRANSFERENCIA Y / p DE CALOR 269 Conduccin,
270 Conductividad trmica, 271 Conveccin, 278 Radiacin, 279
Mecanismos combinados de transferencia de calor, 280 Conclusin,
286
Cnptulo 16 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA / TRANSFERENCIA DE
CALOR
16.1 La ecuacin diferencial general de transferencia de energa,
293
16.2 Formas especiales de la ecuacin diferencial de energ a,
297
16.3 Condiciones de frontera comnmente encontradas, 299
16.4 Conclusin, 300
Captulo 17 CONDUCCION EN EL ESTADO b PERMANENTE
17.1 Conduccin unidimensional, 303 17.2 Conduccin unidimensional
con generacin
17.3 Transferencia de calor de superficies interna de energa,
312
extendidas, 317 Sistemas en dos y tres dimensiones, 325
7.5 Conclusin, 339 P Captulo 18 CONDUCCION EN ESTADO NO L /
PERMANENTE
18.1 Soluciones analticas, 351 18.2 Tablas de temperatura y
tiempo correspondientes
18.3 Solucin grfica del flujo transitorio unidimensional
18.4 Un mtodo integral de conduccin unidimensional
18.5 Conclusin, 375
.a formas geomtricas simples, 362
de energa, grfica Schmidt, 366
no permanente, 370
293
303
35 1
-
Cap tu lo 19
19.1
19.2
19.3
19.4 19.5
19.6
19.7
TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE J CALOR Consideraciones
fundamentales acerca de la transferencia convectiva de calor, 381
Parmetros importantes en la transferencia convectiva de calor, 382
Anlisis dimensional de la transferencia convectiva de energ a, 384
Anlisis exacto de la capa laminar I limite, 388 Anlisis integral
aproximado de la c:apa trmica I mite, 393 Analogas entre
transferencias de energa y momento, 396 Consideraciones acerca del
flujo turbulento, 398
Contenido 15
38 1
Captulo 20 CORRELACIONES EN LA TRANSFERENCIA J CONVECTIVA DE
CALOR 413
20.1 Conveccin natural, 413 20.2 Conveccin forzada en el flujo
interno, 422 20.3 Conveccin forzada en el flujo externo, 429 20.4
Transferencia de calor en el punto de estancamiento, 437 20.5
Conclusin, 441
Captulo 21 EBULLICION Y CONDENSACIOIU /' 447 21.1 Ebullicin, 447
21.2 Condensacin, 454 21.3 Conclusin, 461
Captulo 22 EQUIPO PARA LA TRANSFEREINCIA DE CALOR 22.1 Tipos de
cambiadores de calor, 46Ei / 465 22.2 Anlisis de cambiadores de
calor de un solo paso: diferencia
logar tmica media de temperatura, 468 22.3 Anlisis de
cambiadores de calor de contraflujo y de
tubo y coraza, 474 22.4 El mtodo de nmero de unidades de
transferencia (NUT)
de anlisis y diseo de cambiadores; de calor, 477 22.5
Consideraciones adicionales acerca del diseo de
cambiadores de calor, 487 22.6 Conclusin, 488
Captulo 23 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADlAClON ' 493 23.1
Naturaleza de la radiacin, 493 23.2 Radiacin trmica, 494 23.3 La
intensidad de la radiacin, 497
-
16 Contenido
23.4 23.5 23.6 23.7 23.8
23.9
23.10
23.1 1 23.12 23.13
Captulo 24
24.1 " h 4 . 2
24.3 24.4
Cap tu lo 25
25.1 25.2
25.3 25.4
Captulo 26
26.1
26.2
26.3 26.4 26.5
"+e Ca tulo 27 27.1 27.2
27.3
27.4
Ley de Planck de la radiacin, 498 Ley de Stefan-Boltzmann, 500
Emitancia y absorbencia de las superficies slidas, 502
Transferencia de calor radiante entre cuerpos negros, 508
Intercambio de energa radiante en cavidades negras cerradas, 513
Intercambio de energa radiante habiendo superficies rerradiantes
presentes, 516 Transferencia de energa radiante entre superficies
grises, 51 7 Radiacin de los gases, 521 " El coeficiente de
transferencia de calor radiante, 525..' Conclusin, 526
' -\
FUNDAMENTOS DE LA TRANSFERENCIA DE MASA Transferencia de masa
molecular, 534 El coeficiente de difusin, 546 Transferencia
convectiva de masa, 562 Conclusin, 563
533
ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA TRANSFERENCIA DE MASA 571 La
ecuacin diferencial de transferencia de masa, 571 Formas especiales
de la ecuacin diferencial de transferencia de masa, 575 Condiciones
de frontera encontradas usualmente, 578 Conclusin, 581
DlFUSlON MOLECULAR EN ESTADO PERMANENTE 587 Transferencia
unidimensional de masa, independiente de reacciones qumicas, 588
Sistemas unidimensionales asociados con la reaccin qumica, 601
Sistemas bidimensionales y tridimensionales, 610 Transferencia
simultnea de momento, calor y masa, 617 Conclusin, 627
DlFUSlON MOLECULAR EN ESTADO NO PERMANENTE 639 Soluciones anal
ticas, 640 Tablas de tiempos de concentracin correspondientes a
algunas formas geomtricas simples, 644 Solucin grfica
correspondiente al flujo unidireccional transitorio de masa: la
grfica modificada de Schmidt, 647 Conclusin, 651
-
4 Captulo 28 28.1
28.2
28.3
28.4
28.5 28.6
28.7 28.8
Contenido 17
TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA 657 Consideraciones
fundamentales acerca de la transferencia convectiva de masa, 657
Parmetros importantes en la transferencia convectiva de masa, 659
Anlisis dimensional de la transferencia convectiva de masa, 661
Anlisis exacto de la concentracin laminar de la capa I mite, 664
Anlisis aproximado de la capa I mite de concentracin, 672 Analogas
de transferencia de masal, energa y momento, 675 Modelos de
coeficientes de transferencia de masa, 684 Conclusin, 687
,&
Captulo 29 TRANSFERENCIA DE MASA ENi UNA INTERFASE
29.1 Equilibrio, 697 29.2 Teora de las dos resistencias, 701
29.3 Conclusin, 709
697
30.1 30.2
30.3 30.4
30.5 30.6 30.7
Cap tu lo 3 1 31.1 31.2
31.3
31.4
31.5 31.6 31.7
CORRELACIONES DE TRANSFERENCIA CONVECTIVA DE MASA 717
Transferencia de masa a placas, cilindros y esferas, 717
Transferencia de masa para flujo turbulento a travs de tubos, 727
Transferencia de masa en columnas de pared mojada, 727
Transferencia de masa en camas empacadas y fluidificadas, 730
Transferencia de masa con reaccin qumica, 731 Coeficientes de
capacidad para torres industriales, 732 Conclusin, 733
EQUIPO DE TRANSFERENCIA DE MASA 739 Tipos de equipos de
transferencia (le masa, 740 Tanques o estanques de transferencia de
masa intermitentes, 743 Balance de masas correspondiente a torres
de contacto continuo: ecuaciones de la lnea de operacin, 746
Balances de entalpia correspondierltes a las torres de contacto
coqtinuo, 757 Coeficientes de capacidad de transferencia de masa,
758 Anlisis de equipo de contacto conltinuo, 760 Cortclusin,
771
-
18 Contenido
NOMENCLATURA
APENDICES
A
B
C D E
F
G H I J
K L
M N
783
Transformaciones de los operadores V y Vz a coordenadas
cilndricas, 791 Sumario de operaciones diferenciales vectoriales en
diversos sistemas de coordenadas, 795 Simetra del tensor de
esfuerzo, 799 La contribucin viscosa al esfuerzo normal, 801 Las
ecuaciones de Navier-Stokes correspondientes a p y p constantes en
coordenadas cartesianas cilndricas y esfricas, 803 Tablas para la
solucin de problemas de transferencia en estado no permanente, 805
Propiedades de la atmsfera estndar, 819 Propiedades fsicas de los
slidos, 823 Propiedades fsicas de gases y I quidos, 827
Coeficientes de transferencia de masa por difusin en sistemas
binarios, 855 Constantes de Lennard-Jones, 859 La funcin error, 863
Tamaos estndar de tubera, 865 Medidas estndar de tubera, 867
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
INDICE
869
879
-
Fundamentos de transferencia de momento, calor
y masa
-
CONCEPTOS Y DEFINICIONES
La transferencia de momento en un fluida incluye el estudio del
movi- miento de los fluidos asi como de las fuerzas que producen
dicho movimiento. A partir de la segunda ley de Newton del
movimiento, se sabe que la fuerza se relaciona directamente con la
rapidez de cambio del momento de un siste- ma. Excluyendo a las
fuerzas de accin a distancia, tales como la gravedad, se puede
demostrar que las que actan sobre un fluido, como la presin y el
es- fuerzo cortante, son el resultado de una transferencia
microscpica (molecular) de momento. As pues, al tema que estamos
estudiando, al que histricamente se le ha llamado mecnica de
fluidos, se le puede denominar tambin transfe- rencia de
momento.
La historia de la mecnica de fluidos nos muestra la hbil
combinacin del trabajo analtico realizado en hidrodinmica en los
siglos XIX y XX, y el conocimiento emprico acerca de la hidrulica
(que el hombre ha acumulado a lo largo del tiempo. Launin de estas
disciplinas desarrolladas separadamente fue realizada por primera
vez por Ludwig Prandtl. en 1904, con su teora de la capa lmite, que
fue verificada por medio de la experimentacih. La mecnica de
fluidos o moderna transferencia de momento es tanto analtica, como
ex- perimental.
Cada rea de estudio tiene su fraseologa y su nomenclatura
propias. Ya que la transferencia de momento es tpica,
introduciremos las definiciones y conceptos bsicos para tener una
base de comunicacin.
1.1 F L U I D O S Y E L CONTINUO - -
i Un fluido se define como una substancia que se deforma
continuamente ";bajo la accin de un esfuerzo cortante. Una
consecuencia importante de esta
definicin es que cuando un fluido se encuentra. en reposo, no
pueden existir
21
-
22 Conceptos y definiciones
esfuerzos cortantes. lanto los lquidos como los gases son
fluidos. Algunas substancias, como el vidrio, se clasifican
tcnicamente como fluidos. Sin em- bargo, la rapidez con la que se
deforma el vidrio a temperaturas normales es tan pequea que no es
prctico considerarlo como fluido.
Concepto de Continuo. 1,os fluidos, a l igual que el resto de la
materia, estin formados por molculas, cuya cantidad supera a la
imaginaciOn. En una pul- gada cbica de aire a temperatura arnbimte,
hay apro>timadamente 102 o mo- lculas. Para poder predecir el
movimiento individual de tales moli-culas se necesitara una teora
extremadamente complicada, que estara ~ n i s alli de nuestra
capacidad actual. Y a que tanto la teora cintica de l o s gases
como la mecnica estadstica estudian el movimiento dc las molculas,
este estudio se realiza en trminos de grupos estadsticos y no de
molculas individuales.
En ingeniera, la mayor parte del traba,(> se rclaciona con el
compor- tamiento por lotes o rnacroscbpico y no con el molecular o
microscpico. En muchos casos, es conveniente imaginar un fluido
como una distribucih continua de materia, o un continuo. llestle
luego, en algunos casos no es vilido utilizar dicho concepto.
Consideremos, por ejemplo, el nmero de moltculas que hay en un
pequeo volumen de gas en reposo. Si el volumen se toma su-
ficientemente pequeo, el nmero de molculas por unidad de volumen
depen- der del tiempo para el volumen macroscilpico aunque este
ltimo contenga un nmero constante de molculas. El concepto de
continuo sblo sera vilido en el ltimo caso. As pues, se ve que la
validez de este concepto depende del tipo de informacin que desee
obtenerse y no de la naturaleza del fluido. 1% vlido tratar a los
fluidos como continuos siempre que el menor volumen de fluido del
cual nos ocupemos contenga un nmero suficiente de molculas para que
tenga sentido hacer promedios estadsticos. Se considera que las
pro- piedades macroscbpicas de un continuo varan continuamente de
uno a otro punto del fluido. Procederemos ahora a definir estas
propiedades en un punto.
1.2 PROPIEDADES EN UN PUNTO
Cuando un fluido se encuentra en movimiento variarn las
cantidades que se asocian con el estado y con el movimiento de
dicho fluido, de un punto a otro. A continuacin daremos la
definicin de algunas variables de los flui- dos en un punto.
Densidad en un Punto. La densidad de un fluido se define como la
masa por unidad de volumen. Bajo condiciones de flujo,
particularmente en los gases. la densidad puede variar
considerablemente en todo el fluido. Se define la densidad, p ,
como:
-
Propiedades en un punto 23
donde Am es la masa contenida en un volumen AV, y SV es el
volumen m- nimo, para el cual tienen sentido los promedios
estadsticos que circunda al punto. El lmite se muestra en la figura
1.1.
El concepto de densidad en un punto matemtico, esto es, en A V =
O ob- viamente es ficticio. Sin embargo, tomar p = limAv+,,
(Arn/AV) es muy til ya que nos permite describir el flujo de un
fluido en trminos de funciones continuas. En general, la densidad
puede variar de uno a otro punto del fluido as como con respecto al
tiempo, como en un neumtico perforado de auto- mvil.
AV
Figura 1.1 Densidad en un punto
Propiedades de los Fluidos y del Flujo. Algunos rluidos,
especialmente los l- quidos, poseen densidades que permanecen
constantes dentro de un amplio rango de temperatura y presibn. Los
fluidos que tienen esta cualidad usual- mente se tratan como
fluidos incomprensibles; sin embargo los efectos de la
compresibilidad son una propiedad de la situacin ms que del fluido.
Por ejemplo, el flujo de aire a bajas velocidades se describe
exactamente mediante las mismas ecuaciones que describen el flujo
del agua. Desde un punto de vista esttico, el aire es un fluido
compresible y el agua es un fluido incompresible. En lugar de
clasificarlos de acuerdo con el fluido, los efectos de la compresi-
bilidad se consideran como una propiedad del flujo. A menudo se
hace una distinciGn sutil entre las propiedades del fluido y las
del flujo, y el estudiante debe estar consciente de l a importancia
de este concepto.
Esfuerzo en un Punto. Consideremos la fuerza AF , la cual actha
sobrc un elemento AA delcuerpo que se observa en la figura 1.2. La
fuerza AF se des- compone en sus componentes normal y paralela a la
superficie del elemento.
9 . ,..I
-
24 Conceptos y definiciones
Figura 1.2 Fuerza ejercida sobre un elemento de fluido
La fuerza por unidad de rea o esfuerzo en un punto, se define
como el l- mite de hF/AA cuando AA -+ 6A, donde 6A es el rea mnima
para la cual tienen sentido los promedios estadsticos:
Aqu o;, se llama esfuerzo normal ~ i , esfuerzo cortante. En
este texto se utilizar la notacin de subndice doble como en la
mecnica de slidos. El estudiante recordar que el esfuerzo normal es
positivo en la tensi6n. El pro- ceso lmite para el esfuerzo normal
aparece en l a figura 1.3.
AA
Figura 1.3 Esfuerzo normal en un punto
Las fuerzas que se ejercen sobre un fluido pueden clasificarse
en dos grupos: fuerzas que actan sobre el cuerpo y fuerzas
superficiales. Las primeras
-
Propiedades en un punto 25
son las ejercidas sin contacto fsico; por ejemplo, la gravedad y
las fuerzas elec- trostticas. Por el contrario, la presin y las
fuerzias de friccin requieren del contacto fsico para su
transmisin. Ya que se requiere de una superficie para la accin de
estas fuerzas, se llaman fuerzas superficiales. Por lo tanto, el
es- fuerzo es una fuerza superficial por unidad de rea.*
Presin en un Punto en un Fluido Esttico. Para un fluido esttico,
puede de- terminarse el esfuerzo normal en un punto a partir de la
aplicacin de las leyes de Newton a un elemento del fluido haciendo
que este elemento tienda a cero. Debe recordarse que n o puede
existir esfuerzo cortante en uTfluido esttico. Por esto, las nicas
fuerzas superficiales presentes sern las debidas a esfuerzos
normales. Analcese el elemento de la figura 1.4. Mientras este
elemento per- manece en reposo, la gravedad y los esfuerzos
nclrmales actan sobre l. El peso de un elemento de fluido es pg(Ax
Ay Az/2).
Para un cuerpo en reposo,C F = 0.En la direccin de x,
AFx - AF, sin 6 = O
A;;;
Figura 1.4 Elemento de un fluido 1:sttico
Ya que sen O = Ay/As, la ecuacin anterior se convierte en:
AFx -AF,-=O AY As
Dividiendo toda la ecuacin por A y A z y tornando el lmite
cuando el volumen del elemento tiende a cero, se obtiene:
*Matemticamente, el esfuerzo est clasificado como tensor de
segundo orden, ya que requiere magni- tud, direccin y orientacin
con respecto a un plano para quedar perfectamente determinado.
-.--.-,,. .. " ..... "..
-
26 Conceptos y definiciones
Recordando que el esfuerzo normal es positivo en la tensin,
evaluando la ecuacin anterior, se obtiene:
o;, = u s , (1-1)
En la direccin de y, al aplicar 1 F = O queda:
AFy - AFs COS 0 - pg = o Ax Ay AZ 2
Como el cos e = AxjAs , se tiene:
AFy - AF,- - pg = o Ax Ax Ay Az As 2
Dividiendo toda la ecuacin por Ax AZ y tomando el mismo lmite
que to- mamos anteriormente, se obtiene:
lo cual se reduce a:
-uyy +a,, - q o ) = o 2
u y y = a s s O
Se notar que el ngulo 8 no aparece en la ecuacin ( 1-11 ni en la
(I-Z) , por esto el esfuerzo normal en un punto de un fluido
esttico es independiente de la direccin y , por lo tanto, es una
cantidad escalar.
. I
Como el elemento se encuentra en reposo, las nicas fuerzas
superficiales que actan son las debidas al esfuerzo normal. Si se
fuera a medir l a fuerza por unidad de rea que estuviera actuando
sobre un elemento sumergido, se observara que, o actuara hacia
adentro, o colocara al elemento en compre- sin. L a cantidad que se
medira sera, desde luego, la presibn, la cual debido
al desarrollo anterior, debe ser el negativo del esfuerzo
normal. Esta importante simplificacin, la reduccin del esfuerzo que
es un tensor, a la presin que es un escalar, tambin puede
observarse para el caso en que el esfuerzo constante es nulo en un
fluido en movimiento. Cuando se encuentran presentes los es-
fuerzos cortantes, las componentes del esfuerzo normal en un punto
pueden no ser iguales, sin embargo, la presin sigue siendo igual al
esfuerzo normal promedio. Esto es:
P = -$(uxx + U y y + u z z )
-
Variacin de las \propiedades de un fluido 27
con muy pocas excepciones, una de ellas, el flujo en las ondas
de choque. Ahora se han estudiado algunas de las propiedades que
existen en un
punto, investiguemos la forma en que varan las propiedades de un
fluido de un punto a otro.
1.3 V A R I A C I O N D E L A S P R O P I E D A D E S D E U N F
L U I D O D E U N P U N T O A O T R O
En el enfoque del continuo a la transferencia de momento, se
usarn campos de presin, temperatura, densidad, velocidad y
esfuerzo. Ya en estu- dios previos se ha introducido el concepto de
campo gravitacional. L a gravedad es desde luego un vector, y por
lo tanto el campo gravitacional es un campo vectorial. En este
libro se escribirn los vectores en letras negritas. Todos los das
se publican en los diarios de este pas, mapas 'que describen las
variacio- nes de presin. Ya que la presin es una cantidad escalar,
dichos mapas re- presentan un campo escalar. Los escalares se
encontrarn en tipo normal en este libro.
En la figura 1.5, las lneas trazadas representan el lugar
geomtrico de los puntos con igual presin. Desde luego, la presikln
vara continuamente en toda la regin y podemos observar sus niveles
y deducir la forma en que vara la presin, examinando uno de estos
mapas.
La descripcin de la variacin de la presin d,e un punto a otro es
inte- resante especialmente en la transferencia de momento. Llamado
x e y a las direcciones este y norte de la figura 1.5,
respectivamente, podemos repre- sentar la presin en toda la regin
por medio de la funcin general P(x, y ) .
Figura 1.5 Mapa climatolgico, ejemplo de un campo escalar
-
28 Conceptos y definiciones
El cambio en P entre dos puntos cualesquiera dentro de la regibn
(que se escribe dP), separados por las distancias dx y d y , est
dado por la diferen- cial total:
En la ecuacin (1-3), las derivadas parciales representan la
forma en la
A lo largo de la trayectoria arbitrarias en el plano xy, la
derivada total es: que cambia P a lo largo de los ejes x e y,
respectivamente.
dP aPdx aPdy ds ax ds ay ds ""+- - "
En la ecuaciim (1-4), el trmino dp/ds es l a derivada
direccional y su relacihn funcional describe l a rapidez de cambio
de P en la direccin s.
En la figura 1.6 se ha representado una pequea porcin del campo
de presin. Puede observarse la trayectoria arbitraria S y fcilmente
se ve que los trminos: dx/ds y
X
Figura 1.6 'Trayectoria S en el plano xy
dy/ds son el coseno y el seno del ngulo de trayectoria, 01, con
respecto al eje x. La derivada direccional, por lo tanto, puede
escribirse:
dP aP aP -=-cos CY +-sena ds ax
(1-5)
Existe un nmero infinito de trayectorias que pueden escogerse en
el plano xy. Sin embargo, hay dos trayectorias que son de especial
inters: aquella para l a cual dP/ds es igual a cero y aquella para
l a que dP/ds es un miximo.
Es muy fcil de encontrar l a trayectoria para la cual la
derivada direc- cinal es igual a cero. Haciendo dplds igual a cero,
se tiene:
-
Variacin de las lpropiedades de un fluido 29
o, ya que tan 01 = d y / d x , tenemos
A lo largo de l a trayectoria cuya pendiente est definida en la
ecuacin (1-6), tenemos dP = O , y por lo tanto P es constante. Las
trayectorias a lo largo de las cuales una cantidad escalar es
constante se llaman isolineas.
Para encontrar la direccin para la que dP/ds es un mximo, la
derivada (dl&) (dP/ds) debe ser igual a cero, o sea:
d dP aP aP ""
da ds - sena-+cos (Y- = O
ax ay
O
tan al - " d P / d s es mx dP/dx
. ( 4 - 7 )
Comparando las relaciones (1-6) y (1-7) se puede observar que
las dos direcciones definidas por estas ecuaciones son
perpendiculares. La magnitud de la derivada direccional, cuando es
mrixima, es:
donde cos 01 y sen 01 se evalan a lo largo de la trayectoria
representada por l a ecuacin (1-7). Ya que el coseno se relaciona
con la tangente por medio de:
1 cos a =
JTGz
se tiene:
Calculando sen 01 en forma semejante, se obtiene:
. . ._ " ,
-
30 Conceptos y definiciones
Las ecuaciones (1-7) y (1-8) sugieren que la mixima derivada
directional es un vector de la forma:
dP aP ax ay -e, +- ey
donde ex y ey son vectores unitarios en las direcciones x e y ,
respectivamente. L a derivada direccional a lo largo de la
trayectoria de mximo valor se
encuentra con frecuencia en el anlisis de los procesos de
transferencia y se le da el nombre de gradiente. As, el gradiente
de P, o sea, grad P, es:
aP ap ax ay
grad P=--,+-ee,
donde P = P (x, y). Este concepto se puede extender para incluir
casos en los que P = P (x, y, z ) . En este caso ms general,
ap ap ap ax ay az
gradP=-e,+-ee,+-ee,
La ecuaci6n (1-9) puede escribirse de manera ms compacta por
medio del operador (llamado nabla), en l a forma siguiente:
ap aP a~ ax ay az
VP=-ee,+-ey+-ee,
donde:
a a a V=-e,+-ey+-ee,
ax ay az (1-10)
L a ecuacin (1-10) es la relacin que define al operador en
coordenadas cartesianas. Este smbolo indica que se va a realizar
una diferenciacin en una forma prescrita. En otros sistemas de
coordenadas, tales como el de coorde- nadas cilndricas o el de
esfricas, el gradiente adopta una forma diferente.* Sin embargo, el
significado geomtrico del gradiente permanece idntico, es un vector
cuyas direccin y magnitud son las de la mxima rapidez de cambio de
la variable dependiente con respecto a l a distancia.
1.4 U N I D A D E S
Adems del sistema internacional estgndar de unidades hay dos
diferen- tes sistemas ingleses de unidades que se utilizan
comnmente en ingeniera. Estos sistemas tienen su origen en la
segunda ley de Newton del movimiento:
*Las formas del operador gradiente en sistemas de coordenadas
rectangulares, cilndricas y esfricas, aparecen en el Apndice B.
-
Unidades 31
L a fuerza es igual a la rapidez de cambio del momento con
respecto al tiempo. Al definir cada uno de los trminos de esta ley
se ha establecido una relacin directa entre las cuatro cantidades
fsicas bsicas usadas en mecnica, que son: la fuerza, la masa, la
longitud y el tiempo. I\ causa de esta seleccicin arbitraria de
dimensiones fundamentales, se han originado algunas confusiones en
el uso de los sistemas ingleses de unidades. La adopcibn del
sistema de unidades SI como norma en todo el mundo servir para
superar estas dificultades.
La relacin entre fuerza y masa se puede expresar por medio del
siguiente enunciado de la segunda ley de Newton del movimiento:
donde g, es un factor de conversibn que se incluy para hacer la
ecuacin consistente en cuanto a dimensiones.
En el sistema SI, la masa, la longitud y el tiempo, se toman
como unida- des bsicas. Las unidades bsicas son: la masa en
kilogramos (kg), la longitud en metros (m) y el tiempo en segundos
(seg). L a unidad correspondiente para la fuerza es el newton (N).
Un newton es la fuerza que se necesita para acelerar una masa de un
kilogramo con la rapidez de un metro por segundo por segundo (
lm/seg ). E1 factor de conversin,g,, es entonces, igual a un
kilogramo metro por newton por segundo por segundo (1 kg. m/n seg2
).
En la prctica ingenieril, la fuerza, la longitud y el tiempo se
escogen recuentemente como unidades fundamentales. Usando este
sistema, la fuerza se expresa en libras fuerza (lbf), la longitud
en pies ( t) y el tiempo en segun- dos. La unidad correspondiente
para la masa ser aquella que sea acelerada con la rapidez de 1
ft/(seg) por 1 lb,.
Esta unidad de masa cuyas dimensiones son (lb,) (seg)2/(ft) se
llama slug. Entonces el factor de conversibn g, es un factor de
multiplicacin para convertir slugs en (lb,) (seg)2/(Et), y su valor
es 1 (slug) (ft)/(lb,)(seg)2.
Tambin se encuentra un tercer sistema en la prctica ingenieril,
que in- cluye las cuatro unidades fundamentales. L a unidad de
fuerza es 1 lb,, la de masa 1 lb,, la longitud y el tiempo estn
dadas en unidades de pies y segundos, respectivamente. Cuando 1 lb,
al nivel del mar se deja caer bajo la influencia de la gravedad, su
aceleracihn ser de 32.1 74 (ft)/(s:eg). La fuerza que la gra- vedad
ejerce sobre 1 lb, al nivel del mar se define como 1 lb,. Por lo
tanto, el factor de conversibng,, para este sistema, es 32.1 74
(lb, )(ft)/(lb,)(seg)2.*
En la Tabla 1.1 se proporciona un sumario de .los valores de gc
para estos tres sistemas ingleses de unidades ingenieriles, junto
con las unidades de lon- gitud, tiempo, fuerza y masa.
*En clculos subsecuentes comprendidos en este libro,& ser
redondeado al valor de 32.2 lb, ftlsegzlbf.
-
32 Conceptos y definiciones
Ya que los tres sistemas son de uso comn en la literatura
tcnica, el estudiante debe ser capaz de utilizar las frmulas en
cualquier situacin par- ticular. En todos los clculos se requiere
de una verificacin cuidadosa de la consistencia en cuanto a las
dimensiones. El factor de conversin g,, relacio- nar correctamente
las unidades que correspondan a un sistema. Los autores no tratarn
de incorporar el factor de conversin en ninguna de las ecuaciones;
en cambio, se deja al lector la responsabilidad de utilizar
unidades que sean consistentes con todos los trminos de la ecuac ih
.
TABLA 1 . 1
Sistema Longitud Tiempo I>uerza Masa &
1 Metro Segundo Newton Kilogramo I- k g . m N . S'
2 Pie Segundo lb f Slug
32.174 (Ib,)(ft) 3 Pie Segundo lbf lb, (Ib,)(s)*
P R O B L E M A S
1.1 El nmero de molculas que atraviesa una unidad de rea por
unidad de tiempo en una direccibn est dado por:
N=' - I nv
donde n es el nmero de molculas por unidad de volumen y 77 la
velo- cidad molecular promedio. Como la velocidad molecular es
aproximada- mente igual a la velociad del sonido en un gas
perfecto, calcule el nmero de molculas que atraviesa un hoyo
circular de in. de dimetro. Su- pngase que el gas se encuentra en
condiciones estndar. En condiciones estndar hay 4 X 1 O2' molculas
por in3.
1.2 Encuentre el gradiente de l a presiim en el punto (a, b ) ,
cuando el campo de presiones est dado por:
donde val, a y b son constantes.
1.3 Fhcuentre el gradiente de temperatura en el punto (a, 6 ) en
el tiempo t = (4L2/a)ln e cuando el campo de temperaturas est dado
por
-
Problemas 33
T = T,,e -w1/4I.J x sen - cosh :- 'Y a li
donde To, a, d y b son constantes.
1.4 Son dimensionalmente homogneos los catmpos descritos en los
pro- blemas 1.2 y 1.3? ;Cules deben ser las unidades de p,, para
que la presin est dada en libras por pie cuadrado cuando urn est
dado en pies por segundo (pro- blema 1.2)?
1.5 Guiles de las cantidades enumeradas a continuacin son
propiedades de flujo y cuiiles son propiedades de fluido?
presin temperatura velocidad densidad esfuerzo velocidad del
sonido calor especfico gradiente de p re s ih
1.6 Demuestre que los vectores unitarios e, y e, en un sistema
de coorde- nadas cilndricas estn relacionados con los; vectores
unitarios e, y ey por medio de:
e, = e, cos 8 + e , sen I3
e, = -e, sen@+e, COS 8
1.7 Usando los resultados del problema 1.6, dernuestre que d e ,
/ & ) = e o y d e
1.8 Usando las relaciones geomtricas que aparecen a continuacin
y la regla ,/de = -er.
de la cadena para l a diferenciacin, demuestrce que:
a sen8 a a -=-- -+cos 6- ax r a8 ar
Y
a cos 8 a a ay r 30
-+ seno- - "- ar
1.9 Transforme el operador V a coordenadas cilndricas (r, 8, z )
usando los resultados de los problemas 1.6 y 1.8.
1.10 Para un fluido cuya densidad es p y en el cual se
encuentran uniforme- mente dispersadas algunas partculas slidas
cuya densidad es p,, demues-
-
34 Conceptos y definiciones
tre que si x es la fraccihn de masa de s6lido en l a mezcla, la
densidad es t i dada por:
1 . I 1 En campo escalar est dado por la funcibn 4 = 3 x 2 y + 4
y 2 . (a) Encuentre V4 en el punto (3,j). (b) Encuentre la
componente de V+ que forme un ngulo de -60" con el eje x sobre el
e.je x.
1.1 2 Si el fluido del problema 1 .lo, cuya densidad es p,
obedece la ley de los gases perfectos, obtenga l a ecuacin de
estado de la mezcla, o sea P = ~ ( P , ~ , (RTIM), pmr x). ;Ser
vAlido este resultado si se encuentra pre- sente un lquido en lugar
de un slido?
1.13 Usando la expresin para el gradiente en coordenadas
polares, (Apndice A), encuntrese el gradiente de +(r, 0 )
cuando
LDnde es mximo el gradiente? Los trminos A y a son
constantes.
-
2 ESTATICA DE FLUIIDOS
Ya en el Captulo 1 se vio la definicin de 'una variable de
fluido en un punto. En este captulo se estudiar la variacin de una
variable particular, la presin, de un punto a otro, de un fluido en
reposo.
Con frecuencia, en un fluido estacionario que se encuentre sobre
la su- perficie terrestre, se hallar una situacin esttica. Aunque
la Tierra tiene mo- vimiento propio, es correcto, dentro de los
lmites normales de la exactitud, despreciar la aceleracin absoluta
del sistema de coordenadas que, en esta si- tuacin, permanece fijo
con respecto a la Tierra. Un sistema de coordenadas como ste se
denomina sistema inercial de referencia. Si por el contrario, el
fluido es estacionario con respecto a un sistema de coordenadas que
posea una aceleracin se llama no inercial. Un ejemplo de este ltimo
sera el fluido con- tenido en un carro tanque de ferrocarril al
viajar a. lo largo de una parte curva de la va.
La aplicacin de la segunda l e y de Newton del movimiento a una
masa fluida fija, se reduce a la expresin que establece: que la
suma de las fuerzas externas es igual al producto de la masa y la
aceleracin. En el caso de un sis- tema inercial, desde luego se
tendra la relacin: x F = O; en tanto que la re- lacin ms general, x
F = ma debe usarse para el caso no inercial.
2.1 V A R l A C l O R l D E P R E S I O N E N U N FLUIDO1 E S T
A T I C O
A partir de la definicin de fluido, se sabe que no se puede
existir nin- gn esfuerzo cortante en un fluido en reposo. Esto
significa que las nicas fuerzas que actan sobre el fluido son las
debidas :2 la gravedad y a la presin. Como la suma de las fuerzas
debe ser igual a cero en todo el fluido, se puede satisfacer la ley
de Newton aplicndola a un cuerpo arbitrario libre, de fluido
35
-
36 Esttica de fluidos
de tamaiio diferencial. E1 cuerpo libre que se seleccioni)
aparece en la ligura 2- 1 J. es el elemento de fluido Ax Ay Az que
tiene uno de sus vbrtices en el punto xyz. I.:l s istema x ~ ~ z es
inercial.
Figura 2.1 luerzas de presi6n sobre un elemento esttico
fluido
Las presiones que actan sobre las di\.ersas caras del elemento
estn nu- meraclas tlel l al 6. Para encontrar la suma de l a s
I'uerzas que actan sobre el elemento, se debe primero evaluar la
presihn sobre cada una de las caras.
Designaremos a la presihn de acuerdo con la cara tlel elemento
sobre la cual acta. Por ejempIo,P, = P I , P2 = J. as sucesinmente.
Calculando las fuerzas que actan sobre cada una de las caras,
ademis de la fuerza debida a la gravedad que acta sobre el elemento
pg Ax Ay Az, se 1.w; que la suma de las fuerzas es:
Si se divide entre el volumen del elemento AX Ay Az, se observa
que la ecuacicin anterior se convierte en:
donde se ha invertido el orden de los trminos que indican
presibn. Al tender ;I cero el tamao del elemento, A, , A,, y 4
tambidn tienden a cero J. el clc- mento tiende al punto (x, y , 2 )
. 1.h el lmite:
-
Variacin de presin en un fluido esttico 37
aP aP aP ax ay a2
pg=-e,+-e, +-e , (2-1)
Al recordar la forma del gradiente, se puede escribir la
ecuacibn (2-1) en la forma:
p g = V P (2-2 )
La ecuacin (2-2) es la ecuacin bsica de la esttica de fluidos y
establece que la mxima rapidez de cambio de la presibn ocurre en la
direccibn del vec- tor pv i tac ibn . Adems, ya que las isolneas
son perpendiculares al gradiente, las lneas de presi6n constante
son perpendiculares al vector gravitacibn. L a variacin de presibn
de un punto a o t ro se puede obtener integrando la ecua- cibn
(2-2).
EJEMPLO 1
I:.l manmetro, instrumento que se utiliza para medir la presin,
puede analizarse a partir del estudio previo. C1 tipo de manmetro
ms sencillo es el de tubo U, que aparece en la figura 2-2.
Fluido contenido en el tanque -pT Fluido del rnanmetro -p,
Figura 2.2 Un manmetro de tubo U.
Se va a medir la presin del tanque en el punto A . 1-1 fluido
del tanque llega al manmetro hasta el punto R. Si escogemos el eje
1' en la direccin marcada en la figura, observamos que la ecuacin (
2 - 2 ) se convierte en:
dP -ey = -pge, dY
Si se integra en el fluido del manmetro entre los puntos C y n,
se obtendr
- . ".I., . .. . 1 . .. . . , I . .
-
38 Esttica de fluidos
Y despus integrando entre los puntos H y A que se encuentran en
el tanque de fluido, re- sultar:
Ya que el principio de Pascal establece que la presin en un
mismo fluido en reposo es la misma en todos los puntos que tenga la
misma elevacin, podemos combinar la ecua- cin anterior para
obtener:
El manmetro de tubo U mide la diferencia que existe entre las
presiones absoluta y atmos- frica. Esta diferencia se denomina
presibn rnanomtrica y con frecuencia se utiliza en la medicin de
presiones.
EJEMPLO 2
En la esttica de fluidos de los gases se necesita una relacin
entre la presin y la densidad para integrar la ecuacin ( 2 - 2 ) .
El caso ms sencillo es el del g a s perfecto isotr- mico,donde P= p
RT/M. Aqu, R es la constante universal de los gases,M el peso
molecular del gas y T la temperatura, que en este caso es
constante. Escogiendo el eje y paralelo a g, se observar que la
ecuacin (2-2) se transforma en:
Si se separan las variables, se observar que la ecuacin
diferencial anterior queda:
Al integrar entre y = O (donde P = patm) e y = y (donde la
presin es P ) , se obtiene
O
En los ejemplos anteriores aparecieron en los resultados la
presin at- mosfrica y un modelo de variacin de la presin con la
elevacibn. Ya que el desempeo de los aviones, cohetes y diversos
tipos de maquinaria industrial vara con la presibn, la temperatura
y la densidad ambientales, se ha fijado una atmsfera estndar para
poder evaluar correctamente dicho desempeo. Al nivel del mar las
condiciones atmosfricas estndar son:
-
Acelleracin rectlinea uniforme 39
P = 29.92 in. Hg= 21 16.2 Ibf/ft2 = 14.696 1bf/in.* = 101 325
N/mZ
T=519"R=59"F=288K
p = 0.07651 lb,/ft3 = 0.002378 slug/ft3 = 1 .;!26 kg/m3
En el Apndice G* aparece una tabla de 1a.s propiedades
atmosfricas estndar en funcin de la altitud.
2.2 A C E L E R A C I O N R E C T l L l N E A U N I F O R M
E
En el caso en el que el sistema de coordenadas que aparece en la
figura 2.1 no sea inercial, l a ecuacin (2-2) no ser vlida. En el
caso de la ace- leracin rectilnea uniforme; sin embargo, el fluido
se encontrar en reposo con respecto al sistema acelerado de
coordenadas.. Si se tiene una aceleracin cocstante se podr aplicar
el mismo anlisis que en el caso del sistema inercial de coordenada,
excepto porque C F = m a = p n x n y n z a , como la estipula la
segunda le!. de Newton del movimiento. El resultado ser:
V P = p(g-a) ( 2 - 3 )
La mxima rapidez de cambio de la presin se encuentra ahora en la
di-
La variacihn de la presin de un punto a otro se obtiene
integrando la reccii~n $-a y las lncas de presi6n constante son
perpcndiculares a g-a.
ecuacin (2-3).
EJEhlPLO 3
En la figura (2-3) aparece un tanque con combustible. Si se
aplica al tanque una aceleracin constante hacia la derecha 2Cul ser
la presin en el punto B? De la ecuacin (2-3) se deduce que el
gradiente de la presin est en la direccin g-a por lo tanto la su-
perficie del fluido ser perpendicular a esta direccin.
Ventila
I
Figura 2.3 Tanque de combustible en reposo
*Estas condiciones estndar de desempeo al nivel del mar no deben
confundirse con las condiciones estndar de la ley de los gases, de:
P=29.92 in; Hg= 14.696 lb/in* =lo1 325 Pa;T=492"R=3Z0 F =
273Ok.
-
40 Esttica de fluidos
1;scogiendo el eje , I ' de tal manera que quede paralelo a g- a
se observa que la ecuacicin (2-3) se puede integrar entre el punto
H y la superficie. E.l gradiente de la presin se con- vierte en d p
/ d y e y, seleccionando el e,je y paralelo a g--a conlo puede
verse en l a figura 2.4. As:
dP -ey = -p lg-ale, = - p & G F e , dY
La integracin entre los puntos = O e 1' = a' , da:
O
PH -Pa, , = pJRz+a'(d)
Figura 2.4 Tanque de combustible uniformemente acelerado
La profundidad del fluido d , en el punto H, se determina a
partir de la geometra del tan- que y del ngulo 6.
2.3 F U E R Z A S S O B R E L A S S U P E R F I C I E S S U M E
R G I D A S - "
La determinacihn de las fuerzas que actan sobre las superficies
sumer- gidas se realiza frecuentemente en estitica de fluidos. \-a
que estas I'uerzas se deben a la presin, se usarn las relaciones
que describen la v-ariacibn d e la presin de un punto a otro y que
se han desarrollado en secciones anteriores. L a superficie plana
mostrada en la figura 2.5 est inclinada formando un ngulo a con la
superficie del fluido. El rea del plano inclinado es A y l a
densidad del fluido, p.
I,a magnitud de la fuerza sobre el elemento d A es P,dA, donde
1% cs 1:1 presihn manomtrica ; PC = -pgy =pgq sen O! , dando como
resultado:
dF = pgr) sin CY dA
-
Fuerzas sobre las superficies sumergidas 41
Figura 2.5 Superficie plana sumergida
Si se integra sobre la superficie de la placa, se obtiene
La ttefinicibn de centroide de Area es:
Por esto, la fuerza debida a la prcsi6n es igual a la prcsihn
cvaluacla cn el centroide del rea sumergida, multiplicada por el
rea sumergida. 1 1 punto en el que acta esta fuerza (centro de
presiim) no es el centroide del Arca. Para encontrar el centro de
presihn, deber encontrarso el punto en cl que debe estar
concentrada la fuerza total e,jercida sobre la placa para producir
el mismo momento que la presibn disrribuitla, o sea:
Substituyendo la presihn, queda:
FqC+ = /A pg sin CY q2 dA
-
42 Esttica de fluidos
1 %p. = - 7) dA=- 2 Iaa
'477 Af A (2-5)
El momento del rea cerca de la superficie se puede trasladar de
un eje aa lo- calizado en la superficie del fluido, a un eje bb que
pase por el centroide, por medio de:
Zaa = Ibb i- f j A 2
y as:
12l centro de presi6n se encuentra bajo el centroide a una
distancia
EJEMPLO 4
Se va a colocar una ventana circular de observacin a 1.5 ft.
bajo la superficie de un tanque tal como aparecen en la figura 2.6.
Encuentre la magnitud y la localizacin de la fuerza que acta sobre
la ventana.
Figura 2.6 Ventana sumergida
La fuerza que acta sobre la ventana es:
donde :
F'= pg sen cy A7)
(Y =IT/? Y 7)= 1 . S f t ;
la fuerza es:
F = p g A r ) = - (62.3 lb,/ft')(32.2 ft/s')(rr/4 ft')( 1 .S
ft)
32.2 Ib,ft/s2 lb,
= 73.5 lb, (327 N)
-
Fuerzas sobre las superficies sumergidas 43
EJEMPLO 5
Se ha ido almacenando el agua de lluvia detrs del muro de
concentracin que apa- rece en la figura 2.7. Si la tierra saturada
con agua (gravedad especfica 2.2) acta como fluido, determine la
fuerza y el centro de presin en una porcin de un metro de la
pared.
Figura 2.7 Muro de contencin
SOLUCION
L a fuerza ejercida sobre la pared se obtiene integrando la
presin. Tomando el origen en la parte superior de la pared, la
fuerza de la presin es:
de manera que:
- 1
F = [ ; Y P d l ) d Y = P H d [ l Y d Y + 2 . 2 l ; Y d Y ]
F = ( 1 0 0 0 k g / m ) ( Y . 8 0 7 m / s ) ( l m)(17m2)=
166700N(374801bs)
E1 centro de presin de la pared se obtiene tomando los momentos
cercanos a la parte superior de la pared.
= L 7 0 0 N ) ( I O 0 0 kg/m3)(Y.8O7 m/s)(l m)(-47.27 m)=-2.78
m(-C).12ft)
Se puede encontrar la fuerza que acta sobre una superficie curva
surner- gida a partir del conocimiento que se tiene acerca de l a
fuerza sobre una SU- pericie plana y de las leyes de la estlitica.
Ilstudiemos la superficie curva BC, de la figura 2.8.
-
44 Estitica de fluidos
Figura 2.8 Superficie curva sumergida
I , a fuerza del lquido sobre la placa curva es el ncgati\-o de
l a expresihn ante- rior, o sea: W + F,, . Por l o tanto, la
I'uerza ejercida sobre una superficie curva sumergida pucde
obtenerse ;I partir del peso s o b r e el \,olumt.n HCO y la fuerza
e,jercida sobre una superficie plana sulnergida.
d F = (P i - P2) d A e, -p,gh d A e,.
-
Flotacin 45
1,a integraci0n sobre el volumen del cuerpo, suporliendo que las
densidades son constantes, da como resultado:
I;igura 2.9 I'uerzas que actlan en un volumen sumergido
donde I.' c's el voluruen del cuerpo. l,a I'uerm result ante,
I:, est& l'ormatla por dos partes: el peso --p,gVe, y la
l'uerza hoyante pgve,. l$l l cuerpo sure la ac- cibn de una l'ucrza
hacia arriba igual al peso del fluido cksplazado. liste es el
conocido principio dc .Irqumcdcs. Cuando p >pB. la I'uerza
resultante harh que el cuerpo Ilote en la superlicie. 1:,n el caso
tie un cuerpo que est; Ilotando, la fuerza boyante es pgV,e,, donde
1.: es el volumen sumergido.
Un cubo de 1 ft por lado se encuentra sumergido de t:xl manera
que su cara superior est a 10 ft bajo la superficie libre del agua.
Determnese la magnitud y direccin de la fuerza necesaria para
mantener el cubo en esta posicin, si dicho cubo est hecho de:
(a) corcho ( p = 1 0 lb,,,/ft3) (b) acero ( p = 490
Ib,,/ft')
Las fuerzas debidas a la presin se cancelan en todas las
superficies laterales del cubo, pero las que actan en las caras
superior e inferior no se cancelan porque stas se encuen- tran a
diferentes profundidades.
Sumando las fuerzas que actan en direccin vertical, se
obtiene:
donde k , es la fuerza adicional requerida para rnantcner en
posicin al cubo.
tiene, para el equilibrio de nuestras fuerzas, kixpresando cada
una de las presiones en la forma Pa,, + pwgh,y W como p,gV, se
ob-
-
46 Esttica de fluidos
-pcgv+p,g ( 1 1 ft)(l ft2)-pwg (lOft)(l ft2)+Fy = o
Se ve que el primer trmino es una fuerza boyante igual al peso
del agua desplazada. Finalmente, resolviendo la ecuacin para Fy, se
obtiene:
(a) pc = 10 lb,/ft3
F = - (62.4 lb,/ft3)(32.2 ft/s2)(1 ft)+(101b,,,ft3)(32.2
ft/s2)(1 ft) 32.2 Ib,,,ft/sz lb, 32.2 lb,,, ft/s2 lb,
= -52.4 lb, (hacia abajo) (-233 N) (b) pc = 490 Ib,/ft3
= -(62.4 lb,/ft3)(32.2 ft/s2)(1 ft) (490 lb,,,/ft3)(32.2
ft/s2)(1 ft) Y + 32.2 lb, ft/s2 lb, 32.2 lb, ft/s2 lb, = +427.6 lb,
(hacia arriba) (1902 N)
I-n el caso (a), la fuerza boyante fue mayor que el peso del
cubo, de manera que, para mantenerlo sumergido a 10 ft bajo la
superficie, se requiri una fuerza hacia abajo mayor de 5 2 lb. En
el segundo caso, el peso fue superior a la fuerza boyante y se
necesit una fuerza que actuara hacia arriba.
2.5 C O N C L U S I O N
En esta captulo hemos examinado el funcionamiento de la esttica
de fluidos. La aplicacin de las leyes de Newton del movimiento llev
a la des- cripcin de la variacin de presihn en un fluido, de un
punto a otro, a partir de la cual se obtuvieron relaciones de
fuerza. Se han estudiado aplicaciones especficas, incluyendo los
manhmetros, las fuerzas en un plano, las super- ficies curvas
sumergidas y la flotacin de los objetos susceptibles de flotar.
Los anlisis estticos que se han realizado se vern despus como
casos especiales de relaciones ms generales que rigen el
comportamiento de los fluidos. Nuestra pr6xima tarea ser examinar
el comportamiento de los fluidos en movimiento y describir el
efecto de dicho movimiento.
Se necesitarn otras leves fundamentales adems de las de Xewton
para este anlisis.
P R O B L E M A S
2.1 ?,Cud sera la altura de l a atmOsfe1-a si fuera
incompresible? Utilice con-
2.2 El mdulo global, p, de una substancia, est dado por p =
dP/(dp/p). diciones estndar para determinar la densidad del
aire.
Calcule 0 correspondiente a un gas perfecto.
-
Problemas 47
2.3 En el agua, el mdulo 0, definido en el problema 2.2 es casi
constante y tiene un valor de 300,000 psi. Determine el porcentaje
de cambio de vo- lumen en el agua debido a una presin de 2000
psi.
2.4 Encuentre la presin en el punto A
Mercurio ' 2.5 El carro que aparece en la figura est
uniformemente acelerado hacia
la derecha. 2Hacia dnde se mover el globo con relacin al
carro?
Agua
2.6 El tanque est uniformemente acelerado hacia arriba. 2Subir o
bajar el nivel del manmetro?
2.7 Se van a instalar en un acuario ventanas de vidrio para
poder observar los peces. Cada ventana ser de 0.6 m de dimetro y
estar centrada a 2m por debajo del nivel del agua. Encuentre la
fuerza que acta sobre la ven- tana y diga en qu lugar acta.
2.8 Cierto da la presin baromtrica al nivel del mar es de 30.1
in de Hg. y la temperatura es de 70" F. El manmetro de un aviGn en
vuelo indica
-
48 Esttica de fluidos
que hay una presibn de 10.6 psia y la lectura tiel term0metro e
s -1.6" I . Calcule, l o mis exactamente posible, la altitud del
a\zihn sobre el nivel del mar.
2.9 Se utiliza un manOmet1-o diferencial para medir el cambio de
presiGn ocasionado p o r una rcduccihn de flu.jo en el sistema cle
tubos que spa- rece cn la I'igura. Determine la dil'erencia de
presihn entre l o s puntos A J. B en libras por pulgada cuadrada.
;Cui1 secciOn tiene la presihn mis alta?
2.1 O E1 extremo abierto dc un tanque cilndrico de 2 't de
tliimetro y 3 f t de altura est5 sumergido en agua, como puede
\.erst en la figura. Si el tanque pesa 230 I t ) , ?.a qu6
prol'undidad, 12, se sumcrgirri el tanque? 1,a presihn haromtrica
local es de 14.7 psia. Se tlespreciari el grosor de la pared d e l
tanque. 2Qu fuerza adicional se requiere para que la parte superior
del tanque quede al mismo ni\.el que la superficie del agua?
2.1 1 En el problema anterior, 2.1 O, encuentre la prol'undidada
la cual la fuer- za neta sobre el tanque es nula.
2.1 2 Encuentre el valor mnitno de h para el cual la compuerta
que se ve en la figura girar en direccihn contraria a las
rnanecillas del reloj, si la sec- ci6n transversal de la compuerta
es (a) rectangular, de 4 ft X 4 i t ; (b) triangular, de 4 ft de
base X 4 f t de altura. Desprecie la fricci6n.
-
Problemas 49
2.13 Un trozo cbico de madera cuyo permetro tiene una longitud L
, flota en agua. La gravedad especfica de la madera es de 0.90. 2Qu
momento M se requiere para sostener al cubo en la posicin que se ve
en la figura? La arista derecha del cubo est al nivel del agua.
2.14 Se va a usar un tronco circular como barrera, en la forma
que muestra la figura. Si el punto de contacto es O, determine la
densidad que debe tener el tronco.
2.15 Un cubo rectangular de concreto de 4 ft X 4 ft. X 6 in
tiene su lado de 6 in semi enterrado en el fondo de un!ago de 23
pies de profundidad. ZCuI es la fuerza que se necesita para liberar
al cubo del fondo? iQu fuerza se requiere para mantener el bloque
en esta posicin? (El concreto pesa 150 Ib/ft3)
2.16 La compuerta del vertedor de una presa contiene agua con
una profun- didad h. La compuerta pesa 500 Ib/ft y tiene una
bisagra en A . iA qu profundidad del agua subir la compuerta
permitiendo la salidad del agua?
-
50 Esttica de fluidos
t+" lo f t " 4 2.17 Se ,$esea utilizar una pelota de playa de
0.75 m de dimetro para tapar
tl desage de una piscina. Obtenga una expresin que relacione el
di- metro, D, del desage y la altura mnima, h , del agua para la
cual la pe- lota permanezca en su lugar.
2.1 8 Si la densidad del agua de mar se logra calcular
aproximadamente por medio de la ecuacin de estado p = po exp [(p
-patm)/p)], donde (.? es la compresibilidad, determnese la presin y
la densidad en un punto loca- lizado a 30,000 ft bajo la superficie
del mar. Suponga que (.?= 300,000 psi.
2.19 El cambio en la densidad debido a la temperatura hace que
las velocida- des de despegue y aterrizaje de los vehculos areos y
ms pesados que el aire aumenten en proporcin al cuadrado de la
temperatura 2Qu efec- to tienen los cambios de densidad inducidos
por la temperatura sobre la potencia de despegue de los vehculos
rgidos ms ligeros que el aire?
2.20 Encuntrese una expresin que corresponda a la fuerza boyante
que ac- ta sobre un objeto sumergido en un fluido que tiene una
densidad
2.21 La materia es atrada hacia el centro de la tierra con una
fuerza propor- cional a su distancia radial del centro. Usando el
valor conocido de g en la superficie, donde el radio es de 6,330
km, calcule la presin en el cen- tro de la tierra, suponiendo que
el material se comporta como un lquido y que la gravedad media
especfica es 5.67 (para comodidad se puede considerar un tubo de
dimetro constante en lugar de un segmento es- frico). Obtngase
primero una frmula en smbolos antes de substituir valores
numricos.
P = d Y ) .
-
Problemas 51
2.22 Un muro de contencin a prueba de agua, de 22 ft de altura,
sirve de dique para un trabajo de construccin. Los 12 ft superiores
que se en- cuentran detrs del muro consisten en agua de mar, cuya
densidad es de 2 slugs/ft3 pero los 10 ft inferiores estn formados
por una mezcla de lodo y agua, que puede ser considerada como un.
fluido cuya densidad es de 4 slugs/ft3. Calclese la carga
horizontal total por unidad de ancho y la localizacin del centro de
presin medido desde el fondo.
-
3 DESCRIPCION DE UN FLUIDO
EN MOVIMIENTO
El desarrollo de una descripcin analtica de un fluido en
movimiento se basa en la expresin de las leyes fsicas relacionadas
con el flujo de fluidos, en una forma matemtica apropiada. Por lo
tanto, se expondrn las leyes fsicas necesarias y se presentarn los
mtodos utilizados para describir un fluido en movimiento.
3.1 L E Y E S F l S l C A S F U N D A M E N T A L E S
Hay tres leyes fsicas fundamentales que, a excepcin de los
fenmenos relativistas y nucleares, se aplican a todos y cada uno de
los flujos, indepen- dientemente de la naturaleza del fluido que se
e:;t considerando. Estas leyes se encuentran en la lista que se
proporciona a continuacin, con las denomi- naciones de sus
formulaciones matemticas.
Ley' Ecuacin
1. Ley de conservacin de la masa ecuacin de continuidad 2.
Segunda ley de Newton del movimiento teorema del momento 3. Primera
ley de la termodinmica ecuacin de la energa
Los tres captulos siguientes estn dedicados exclusivamente al
desarrollo de una forma de estas leyes que resulte apropiadal para
su uso.*
Adems de las leyes arriba citadas, se emplean ciertas relaciones
auxiliares o secundarias en la descripcin de un fluido. Estas
relaciones dependen de la
*La segunda ley de la termodinmica tambin es fundamental para el
anlisis $el movimiento de 10s fluidos, pero su consideracin
analtica est ms all del alcance de la presente obra.
53
-
54 Descripcin de un fluido en movimiento
naturaleza del fluido bajo estudio. Desafortunadamente, a la
mayora de estas relaciones auxiliares tambin se les ha llamado
leyes. Ya en nuestros estu- dios anteriores nos hemos topado con
las leyes de Hooke, cog la ley de los gases ideales y con algunas
otras, y aunque son precisas, slo son vlidas den- tro de un lmite
restringido; su validez depende totalmente de la naturaleza del
material del que se est tratando. As, en tanto que a algunas de las
rela- ciones auxiliares que se utilizarn se les llamar leyes, el
estudiante deber distinguir la diferencia de alcance entre las
leyes fsicas fundamentales y las relaciones auxiliares.
3.2 C A M P O S D E F L U J O D E F L U I D O S : R E P R E S E
N T A C I O N E S L A G R A N G I A N A Y E U L E R I A N A
El trmino campo se refiere a una cantidad definida como funcin,
tanto de la posicin, como del tiempo, en una regin dada. Existen
dos formas di- ferentes de representar campos en la mecnica de
fluidos: la representacin de Lagrange y la de Euler. La diferencia
entre ambos enfoques est en la for- ma de identificar la posicin en
el campo.
En el enfoque Lagrangian0 se describen las variables fsicas para
un ele- mento particular de dicho fluido al moverse a lo largo del
flujo. Esta es la nota- cin con la que estamos familiarizados en
dinmica de partculas y de cuerpos rgidos. En la representacin
Lagrangiana, las coordenadas (x, y, z) son varia- bles
dependientes. El elemento de fluido se identifica por medio de su
posicin en el campo en un tiempo arbitrario, usualmente t = O. El
campo de veloci- dad en este caso, se escribe en forma funcional,
de la siguiente manera:
v = v(a, b, c, t ) (3-1)
donde las coordenadas (a, b, c ) se refieren a la posicin
inicial del elemento de fluido. Las otras variables de flujo de
fluido, siendo funcin de las mismas coordenadas, se pueden
representar de modo semejante. La notacin Lagran- giana se utiliza
rara vez en mecnica de fluidos ya que el tiempo de informacin
deseado es usualmente el valor de una variable particular del
fluido en un punto fijo de ste y no el valor de una variable
experimentado por un elemento de fluido a lo largo de su
trayectoria. Por ejemplo: La determinacin de la fuerza ejercida
sobre un campo estacionario en un campo de flujo, requiere del co-
nocimiento de la presin y el esfuerzo cortante en todos los puntos
del cuerpo. La representacin Euleriana proporciona este tipo de
informacin.
El enfoque Euleriano nos da el valor de la variable de un fluido
en un punto y en un tiempo determinados. El campo de velocidad, en
forma funcio- nal, se escribe de la siguiente manera:
v = v(x, y, 2, t ) ( 3 - 2 )
-
Flujos permanentes y no permanentes 55
donde x, y, z, t , son todas ellas variables independientes. En
un punto par- ticular ( x *, y ,, z , ) y en un tiempo t l , la
ecuacin (3-2) nos proporciona la velocidad del fluido en ese lugar
en el tiempo t , . En este texto se utilizar exclusivamente la
notacin Euleriana.
3.3 F L U J O S P E R M A N E N T E S Y NO PERMANE.NTES
Al adoptar la notacin Euleriana se percata. uno de que, en
general, el flujo del fluido ser una funcin de las cuatro variables
independientes (x, y, 2, t ) .
Figura 3.1 Flujo variable con respecto a un sistema fijo de
coordenadas.
Si el flujo en todos los puntos del fluido es independiente del
tiempo, se le llama flujo permanente. Si el flujo en un punto vara
con el tiempo se le llama pujo no permanete. En algunos casos es
posible reducir un flujo no permanente a flujo permanente cambiando
el marco de referencia. Tmese como ejemplo un aeroplano que vuela
con una velocidad constante vo, como puede verse en la figura 3.1.
Cuando se le observa desde el sistema fijo de coordenadas x, y, z ,
el patrn de flujo es no permlanente. El flujo en el punto P, que se
ilustra, por ejemplo, variar al aproximrsele un vehculo.
Ahora consideremos la misma situacin cuando se le observa desde
el sistema de coordenadas x , y , z , el cual se mueve con una
velocidad constante u,, , como se muestra en la figura 3.2.
Ahora las condiciones de flujo son indepen'dientes del tiempo en
todos los puntos del campo de flujo y as, el flujo es permanente
cuando se le ob- serva desde el sistema de coordenadas en
movimiento. Siempre que un cuerpo se mueve a travs de un fluido con
una velocidad constante, el campo de flujo, puede transformarse de
flujo no permanente en flujo permanente, seleccio- nando un sistema
de coordenadas que se encuentre fijo con respecto al cuerpo en
movimiento.
I l l
-
56 Esttica de fluidos
't
Figura 3.2 Flujo constante con respecto a un sistema de
coordenadas en mo- vimiento.
En las pruebas de modelos que se realizan en el tnel del viento,
se uti- liza este concepto. Los datos obtenidos en relacin con un
modelo esttico en un fluido en movimiento sern los mismos que los
de un modelo mvil en un fluido esttico. Las simplificaciones
fsicas, as como las analticas que esta transformacin logra, son
considerables. Se utilizari esta transformacin cuan- do sea
posible.
3.4 L l N E A S D E C O R R I E N T E
Un concepto muy til para describir el movimiento de un fluido es
el de linea de corriente. Esta se define como la tangente al vector
velocidad en cada uno de los puntos del campo de flujo. La figura
3.3 muestra el patrn de l- neas de corriente para un flujo ideal
que pasa por un objeto cuya figura se asemeja a la de un baln de
futbol. En un flujo permanente, ya que todos los vectores velocidad
no varian con el tiempo, la trayectoria de una particula del fluido
sigue una lnea de corriente, por lo tanto, una lnea de corriente
es
Figura 3.3 Ejemplo de lneas de flujo.
-
Sistemias y volmenes de control 57
la trayectoria de un elemento de fluido en la situacin descrita.
En un flujo no permanente, los patrones que siguen las lneas de
corriente cambian de un instante a otro. As, la trayectoria de un
elemento de fluido ser diferente de la de una lnea de corriente en
cualquier momento dado. La trayectoria real de un elemento de
fluido al moverse a lo largo del flujo se denomina lnea de
trayectoria.
Obviamente, las lneas de trayectoria y las lneas de corriente
coinciden nicamTnte en los flujos permanentes.
Las lneas de corriente son tiles para relacionar las componentes
de la velocidad del fluido con la geometra del campo de flujo. En
un flujo bidimen- sional. la relacin es:
ya que la lnea de corriente es tangente al vector velocidad y
sus componentes en x y en y son u, y u y . En tres dimensiones
resulta esta relacin:
La utilidad de las relaciones anteriores es la obtencin de una
relacin analtica entre las componentes de la velocidad y las del
patrn de lneas de corriente.
3.5 S I S T E M A S Y V O L U M E M E S D E C O N T R O L
Las tres leyes fsicas bsicas enunciadas en la seccin 3.1 se
definen en trminos de un sistema. Un sistema se define corr~o una
porcin de materia cuya identidad permanece fija. Las leyes bsicas
esta.blecen la interaccin de un sistema con sus alrededores. La
seleccin del sistema para la aplicacin de estas leyes es muy
flexible y , en algunos casos, representa un problema complejo.
CuaIquier anlisis que se realice utilizando una ley fundamental
debe estar de acuerdo con la designacin de un sistema especfico y
la dificultad para en- contrar la solucin vara enormemente con
relacin al sistema escogido.
Como ejemplo, analcese la segunda ley de Newton, F = ma. Los
trmi- nos que sta incluye son los siguientes:
F = fuerza resultante ejercida sobre el sistema por los
alrededores. m = masa del sistema. a = aceleracin del centro de
masa del sistema.
En el sistema, que consta de un pistn y un cilindro, de l a
figura 3.4, un sistema conveniente para ser analizado, fcilmente
identificable en virtud
-
58 Esttic: de fluidos
de su aislamiento, es la masa de materia encerrada por el pistn
dentro del cilindro.
En el caso de la tobera de la figura 3.5, el fluido que se
encuentra dentro de sta cambia cada instante. De este modo, en
diferentes momentos, distintos fluidos ocupan la tobera.
Figura 3.4 Un sistema fcilmente identificable,
Fibmra 3.5 Volumen de control para el anlisis de flujo a travs
de la tobera.
Un mtodo ms conveniente para analizar la tobera sera el de
considerar la regin limitada por la lnea punteada. Dicha regin se
denomina volumen de colttrol. Un volumen de control es una regin
del espacio a travs de la cual circula un fluido." La movilidad
extrema de los fluidos convierte en un trabajo tedioso a la
identificacin de un sistema particular. El anlisis del mo- vimiento
de un fluido se simplifica grandemente si se desarrollan las leyes
f- sicas aplicables a un volumen de control (en el cual cambie el
sistema en cada momento). El mtodo del volumen de control salva los
obstculos para iden- tificar el sistema. En los captulos
subsecuentes las leyes fsicas fundamentales se convertirn del mtodo
del sistema al del volumen de control. El volumen de control que se
seleccione puede ser tanto finito como infinitesimal. De hecho, se
obtendrn las ecuaciones diferenciales de flujo de un fluido
aplicando las leyes fundamentales, utilizando volmenes de control
infinitesimales.
* Un volumen de control puede permanecer fijo o moverse
uniformemente (inercial), o puede estar acelerado (no inercial).
Aqu se conceder la mayor importancia a los volmenes inerciales
controlados.
-
OBSERVACION DE LA, MASA: E,NFOQUE DE VOLUMEN DE
CONTROL
La aplicacin inicial de las leyes fundamentales de la mecnica de
fluidos incluye la ley de la conservacin de la masa. En este
captulo se obtendr una relacin integral que exprese la ley de la
conservacin de la masa para un vo- lumen general de control. La
relacin integral obtenida se aplicar a algunas situaciones que
encontraremos a menudo en el flujo de fluidos.
4.1 R E L A C I O N I N T E G R A L -. -
La ley de la conservacin de la masa establece que la masa no
puede ser ni creada ni destruida. Con respecto a un volumen de
control, se puede enun- ciar la ley de la conservacin de la masa en
la forma siguiente:
Rapidez de flujo Rapidez de flujo Rapidez de acumu- de salida de
ma- de masa al volu- lacin de la masa sa, del volumen men de
control dentro del volu- de control men de control
= O
Vase ahora el volumen general de control localizado en un campo
de flujo de un fluido, que aparece en la figura 4.1.
Para el pequeo elemento de rea d A que se encuentra en la
superficie de control, la rapidez de flujo de salida de la masa =
(pu) (dA cos B),donde d A cos 6' es la proyeccin del rea dA en un
plano normal al vector velocidad, v, y 6 es el ngulo formado por el
vector velocidad, v !I el vector unitario normal a dA y dirigido
hacia afuera, n.
Recordando el lgebra vectorial, reconoceremos el producto:
p~ dA COS 8 = p d A I v I In1 COS 8 59
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60 Observacin de la masa
como el producto escalar o punto:
p(v n) d A
que es la forma que se utilizar para designar la rapidez de
flujo de salida a travs de dA. 1 go0, y el cos 8 es, por lo tanto,
negativo. As, si la integral es:
positiva, hay un llujo neto de salida de masa; negativa, hay un
flujo neto de entrada de masa; cero, la masa que se encuentra
dentro del volumen de control es cons- tante.
La rapidez de acumulacin de masa dentro del volumen de control,
se puede expresar como:
y la expresibn integral que corresponde al equilibrio de la masa
en un volumen general de control, se convierte en:
4.2 FORMAS ESPECIFICAS DE LA EXPRESION INTEGRAL
La ecuaciiln (4-1) representa el equilibrio de la masa en su
forma mis general. Ahora se estudiarn algunas situaciones
frecuentemente encontradas y en las que se puede aplicar la
ecuacibn (4-1).
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Formas especficas de la expresin intregral 61
Figura 4.1 Flujo de un fluido a travs de un volumen de
control.
Si el flujo es permanente en relacin con las coordenadas fijadas
al volu- men de control, el trmino de acumulacin d / d t fjjC.", p
dV, ser igual a cero. Esto se puede ver fcilmente cuando se
'recuerda que, debido a la definicin de flujo permanente, las
propiedades de un campo de flujo no varan en el tiempo, de ah que
la derivada parcial con respecto .al tiempo sea igual a cero. Por
esto, para esta situaciim, la forma conveniente de la expresin de
conti- nuidad es:
Otro caso importante es el de un flu.jo incompresible donde el
volumen de control est lleno de fluido. En un flujo incompresible,
l a densidad, es constante, por lo que el tirmino de acumulacin que
incluye a la derivada parcial con respecto al tiempo, es, de nuevo,
igual a cero. Adems, el trmino de la densidad 'que aparece en la
integral de superfi.cie, se puede cancelar. La expresin
correspondiente a la conservacihn de la ]nasa para un flujo incom-
presible de esta naturaleza, se convierte entonces, en:
, I , . (v * n) dA = 0 (4-3)
Los siguientes ejemplos servirn para explicar la aplicacibn de
la ecuacibn (4-1) a algunos casos que se repiten con frecuencia, en
la transferencia de mo- mento.
EJEMPLO 1
Como primer ejemplo, considrese la situacin ordinaria de un
volumen de control para el cual los flujos de salida y entrada son
permanentes y unidimensionales. Especfica- mente, considrese el
volumen de control indicado por medio de lneas punteadas en la
figura 4.2.
Se puede usar la ecuacin (4-2). Como la masa atraviesa la
superficie de control sola- mente en las posiciones (1) y (2), la
expresin es:
" . . ..
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62 Observacin de la masa
Figura 4.2 Flujo permanente unidimensional hacia adentro y hacia
afuera de un volumen de control.
El valor absoluto del producto escalar, (v n) es igual a la
magnitud de la velocidad en cada una de las integrales ya que los
vectores velocidad, as como los vectores normales dirigidos hacia
afuera, son colineales, tanto en ( 1 ) como en (2). En (2) ambos
vectores tienen el mismo sentido, por lo que este producto es
positivo, como debe ser para un flujo hacia afxera de masa. En (l),
donde la masa fluye hacia el volumen de control, ambos vectores
tienen sentidos opuestos, por lo que el signo es negativo. Ahora se
puede expresar la ecua- cin de continuidad en forma escalar:
La integracin produce