Fundamentos de modelagem matemática e técnicas de simulação aplicados a sistemas ambientais

Fundamentos de modelagem matemática e

técnicas de simulação aplicados a sistemas

ambientais

CESET, LimeiraMarço, 2005

... da matemática de considerações ambientais

• Poluição de corpos aquáticos: lagos, represas, rios, estuários, mares costeiros.

• Poluição do ar: efeitos aerossóis de usinas, de concentrações de indústrias, de centros urbanos.

• Poluição do solo: lixões, lençóis freáticos, vazamentos em depósitos de produtos tóxicos.

• Combinações dos anteriores.

Matemática e vida: isso combina?

• ... foi assim que começou

• É para isso que existe o campo da matemática aplicada/aplicável

• Na escola, hoje, tem até nome: “temas transversais”!

• e como acontece?

Problema Real Hipóteses de Simplificação

Problema Matemático

Resolução(aproximada!)do ProblemaMatemático

ValidaçãoMatemáticada solução

ValidaçãoSocial

da solução

Processosdecisórios

Muito trabalho por fazer

Estudando modelos prontos,Usando-os em testes e simulações,Modificando/melhorando modelos

existentes,

Criando modelagens novas:Desafios enormes!

... e imediatos

Um exemplo desta roda viva:

a poluição, ou um acidente...

as prefeituras

Rios, lagos e

Represas.

F F

V

C(n)

–d.C(n)

A figura é homeomorfa a uma represa qualquer (esta é uma hipótese aceitável?)...Degradação: do volume da represa: V unidades de volume

o fluxo do rio que entra (e sai):F unidades de volume

F F

V

C(n)

q(n) –d.C(n)

Ainda: além da degradação do poluente,

suposta proporcional à quantidade podehaver um aporte semanal: q(n).

Avaliar acontaminação

Meio homogêneo,Instantaneamente,

e tudo regular

ProgressãoMatemática

Resoluçãodo ProblemaMatemático

(nem que sejaNo Excel!)

ValidaçãoMatemáticada solução

ValidaçãoSocial:

Essa respostaserve?

Processosdecisórios

O (na verdade “um”) modelo:

A quantidade de poluente na semana que vem =

= a quantidade de poluente desta semana –

– a quantidade que sai com o fluxo do rio –

– a quantidade que se degrada ++ ( se houver) algum aporte semanal.

Literalmente, em outras palavras:

C( n+1 ) =

= C( n ) –

– F. C( n ) /V –

– d. C( n ) +

+ q( n )

... alguns casos

1. Não há rio F = 0

2. Não há aporte semanal q(n) = 0

3. Não há degradações d = 0

1. Não há rio, nem degradação F = 0 e d = 0

C( n+1 ) =

= C( n ) +

+ q( n ) ou seja,

C( n+1 ) = C( n ) + q( n ) é uma

Progressão Aritmética!

Outro caso, q(n) = 0: não há aporte semanal

C( n+1 ) =

= C( n ) .( 1 – F/V – d ) ou

para = 1 – F/V – d,

C( n+1 ) = .C( n ) ou seja, é

uma Progressão Geométrica

Como é uma P.G.,Tudo depende da razão, = 1 – F/V – d

> 1 C( n ) cresce,

< 1 C( n ) decresce, e

= 1 C( n ) permanece.

Um caso, com V=1e+5, F=5e+2, d=0.0001

aporte semanal de 10 unidades sem aporte semanal

0 200 400 600 800 10000

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 200 400 600 800 10000

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

E quando há de tudo acontecendo: aporte, fluxo,

degradação etc?... Nem P.Aritm. nem P.Geom., mas

uma mistura das duas coisas!

Modelagem matemática ... E usa-se a equação de diferenças linear de primeira ordem vista antes.

O modelo, então, é:

C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V –

– d. C( n ) + q( n )

ou

C( n+1 ) = C( n ) .( 1 – F/V – d ) +

+ q( n )

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Modelo com aporte semanal, com degradação e comfluxo constante.

Tempo – em unidades escolhidas

contaminante

Além desta aula, isto serve para alguma coisa?

Tentativas: como se comporta o acúmulo de contaminante se o aporte se der semana sim, semana não?

... Matlab ou alguma planilha.

0 5 10 15 20 25 3090.2

90.3

90.4

90.5

90.6

90.7

90.8

90.9

91

E se fosse duas semanas não, a outra semana sim?

Em outras palavras, teríamos nessa simulação:

C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V –

– d. C( n ) + q( n )

Sendo q( n ) = q com n múltiplo de três e q = 0 caso contrário

0 5 10 15 20 25 30 3589.2

89.4

89.6

89.8

90

90.2

90.4

90.6

90.8

Aporte a cada três semanas

Nos ensaios, F<<V. O que aconteceria se isto não fosse assim?

É o caso de um rio...

A(n) B(n)C(n) D(n) E(n)

O que temos, então, é um sistema, em que o que sai de um compartimento entra no seguinte:

A(n+1) = A(n).(1 – F/V1 - d1) + q1

B(n+1) = A(n). F/V1 + B(n).(1 – F/V2 - d2) + q2

C(n+1) = B(n). F/V2 + C(n).(1 – F/V3 - d3) + q3

D(n+1) = C(n). F/V3 + D(n).(1 – F/V4 - d4) + q4

E(n+1) = D(n). F/V4 + E(n).(1 – F/V5 - d5) + q5

0 100 200 300 400 500 600 700 8000

50

100

150

200

250

tempo

indi

ces

de c

onta

min

ante

trecho 1trecho 2trecho 3trecho 4trecho 5

E, se em vez de um córrego, fosse um rio de ‘verdade’?

Outra possibilidade: um contaminante que “demora” para começar a degradar-se: 1 semana

C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V –

– d. C( n-1 ) + q( n )

uma equação de diferenças ainda linear de segunda ordem: envolve duas semanas.

Uma equação linear de diferenças de segunda ordem

O que se pode fazer é testar para ver se a solução geral da PG serve aqui. E serve!

Fazendo Cn = A.n, e substituindo na equação original, obtem-se:

Cn = A1. (1)n + A2. (2)n + q.V/(F+d.V)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5010

12

14

16

18

20

22

24contaminacion X tiempo

semanas

ind.

de

cont

am.

Estudo de impacto:

por estudar?

•Efeitos nas dinâmicas de populações

•Nas possibilidades epidemiológicas

•E as contribuições para efeitos globais

•Além da economia!

Ainda, poderíamos ter avaliação instantânea dos fenômenos:

... daí, teríamos Equações Diferenciais,

sistemas de equações diferenciais (ordinárias),

com variação no tempo: d.../dt