Fundamentos de Matemática - Universidade Federal Fluminense · 2021. 1. 21. · Fundamentos de Matemática Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade

Fundamentos de Matemática

Humberto José Bortolossi

Departamento de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense

Aula 3

6 de janeiro de 2012

Aula 3 Fundamentos de Matemática 1

Aplicação: Resolução de Equações


Resolvendo equações. . .

x · x = x

[PA27]

⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)

⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x

[PA27]

⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)

⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)

⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)

⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)

⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)

⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0

[PA29]

⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0

[PA27]

⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0

(C4)⇐⇒ x · (x − 1) = 0[PA29]⇐⇒ x = 0 ou x − 1 = 0[PA27]⇐⇒ x = 0 ou (x − 1) + 1 = 0 + 1

(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)

⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1

[PA07]

⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)

⇐⇒ x = 0 ou x = 1



x · x = x[PA27]⇐⇒ x · x − x = x − x

(C6)⇐⇒ x · x − x = 0

(C5)⇐⇒ x · x − x · 1 = 0


(C3)⇐⇒ x = 0 ou x + (−1 + 1) = 0 + 1[PA07]⇐⇒ x = 0 ou x + 0 = 0 + 1

(C5)⇐⇒ x = 0 ou x = 1


R é um corpo

O conjunto dos números reais (R) munido das operações de adição (+) emultiplicação (·) é um corpo, pois satisfaz as seguintes propriedades:

(C1) Fechamento:a + b ∈ R e a · b ∈ R, ∀a, b ∈ R.

(C2) Comutatividade:a + b = b + a e a · b = b · a, ∀a, b,∈ R.

(C3) Associatividade:a + (b + c) = (a + b) + c e a · (b · c) = (a · b) · c, ∀a, b, c ∈ R.

(C4) Distributividade:a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ R.

(C5) Existência dos elementos neutros:∃0 ∈ R tal que a + 0 = a, ∀a ∈ R. ∃1 ∈ R tal que a · 1 = a, ∀a ∈ R.

(C6) Existência do elemento simétrico:∀a ∈ R, ∃b ∈ R tal que a + b = 0. Notação: b = −a.

(C7) Existência do elemento inverso para elementos diferentes de zero:∀a ∈ R − {0}, ∃b ∈ R tal que a · b = 1. Notações: b = a−1 e b = 1/a.

Axiomas e Propriedades dos Números Reais Pré-Cálculo 1

Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

• 0 + a = a, ∀a ∈ R. [PA03]• 1 · a = a, ∀a ∈ R. [PA04]• −a + a = 0, ∀a ∈ R. [PA07]• (1/a) · a = 1, ∀a ∈ R − {0}. [PA08]• −(−a) = a, ∀a ∈ R. [PA09]• 1/(1/a) = a, ∀a ∈ R − {0}. [PA10]• (b + c) · a = b · a + c · a, ∀a, b, c ∈ R. [PA11]• a · 0 = 0 · a = 0, ∀a ∈ R. [PA12]• (−1) · a = −a = a · (−1), ∀a ∈ R. [PA13]• −(a · b) = (−a) · b = a · (−b), ∀a, b ∈ R. [PA14]• (−a) · (−b) = a · b, ∀a ∈ R. [PA15]• (a · b)/c = a · (b/c) = (a/c) · b, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}. [PA16]• −(1/a) = (−1)/a = 1/(−a), ∀a ∈ R − {0}. [PA17]• 1/(a · b) = (1/a) · (1/b), ∀a, b ∈ R − {0}. [PA18]• (a · b)/(c · d) = (a/c) · (b/d), ∀a, b ∈ R, ∀c, d ∈ R − {0}. [PA19]• (a + b)/c = a/c + b/c, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}. [PA20]


Propriedades decorrentes do fato de R ser um corpo

• −(a + b) = −a − b, ∀a, b ∈ R, ∀c, d ∈ R − {0}, ∀a, b ∈ R. [PA21]• −((a + b)/c) = (−a − b)/c, ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}. [PA22]• 1/(a/b) = b/a, ∀a, b ∈ R − {0}. [PA23]• (a/b)/(c/d) = (a/b) · (d/c), ∀a ∈ R, ∀b, c, d ∈ R − {0}. [PA24]

• ∀a, b, c ∈ R, a = b ⇒ a · c = b · c. [PA25]• ∀a, b, c ∈ R, a + c = b + c ⇔ a = b. [PA27]• ∀a, b ∈ R, ∀c ∈ R − {0}, a · c = b · c ⇔ a = b. [PA28]• ∀a, b ∈ R, a · b = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0. [PA29]• ∀a, b, c ∈ R, a · c = b · c ⇔ a = b ou c = 0. [PA30]• ∀a, c ∈ R, ∀b, d ∈ R − {0}, (a/b) = (c/d) ⇔ a · d = b · c. [PA31]


R é ordenado

Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos númerosreais positivos e designado por R

+, que satisfaz as seguintes propriedades:

(O1) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluemmutualmente: ou a é positivo, ou a = 0 ou −a é positivo.

Em símbolos: se a ∈ R, então ou a ∈ R+, ou a = 0 ou −a ∈ R

+.

(O2) A soma e produto de números positivos são ainda números positivos.

Em símbolos: se a, b ∈ R+, então a + b ∈ R

+ e a · b ∈ R+.

Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, quea ∈ R

+.

Diremos que um número real a é negativo se −a é positivo. O conjunto dosnúmeros reais negativos será designado por R

−. Escrevemos a < 0 para indicarque a é um número negativo, isto é, que a ∈ R

−.

Escrevemos a 0 e escreveremos a > b para indicarque b − a < 0.


Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado

• ∀a ∈ R, ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0 (tricotomia). [PO01]• ∀a, b, c ∈ R, a 0, a b · c. [PO04]• ∀a, b, c ∈ R, a b. [PO06]• ∀a, b, c ∈ R, a 0 ⇔ 1/a > 0 e (ii) a < 0 ⇔ 1/a < 0. [PO08]• ∀a, b ∈ R, ∀c > 0, a b · c. [PO10]• ∀a, b ∈ R, (i) a −b e (ii) a > b ⇔ −a < −b. [PO11]• ∀a, b ∈ R, a · b > 0 ⇔ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0). [PO12]• ∀a, b ∈ R, a · b < 0 ⇔ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0). [PO12]• ∀a ∈ R, a �= 0 ⇔ a2 > 0. [PO16]


O que está errado neste argumento?

x = 1

⇐⇒

x2 = x

⇐⇒

x2 − 1 = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0

É verdade que x = 1⇒ x2 = x , mas é falso que x2 = x ⇒ x = 1.

Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒

x2 − 1 = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒

(x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒

x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒ x + 1 = 1

⇐⇒

x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒ x + 1 = 1

⇐⇒ x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒ x + 1 = 1

⇐⇒ x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒ x + 1 = 1

⇐⇒ x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒ x + 1 = 1

⇐⇒ x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



x = 1 ⇐⇒ x2 = x

⇐⇒ x2 − 1 = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1) = x − 1

⇐⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

⇐⇒ x + 1 = 1

⇐⇒ x = 0


Apenas para x 6= 1,(x − 1) · (x + 1)

x − 1=

x − 1x − 1

⇔ (x − 1) · (x + 1) = x − 1.

#

#



Verdadeiro ou falso?

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐=

2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐=


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐=


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐= 2 · x2 − 5 · x = 0 (x = 0 é um contraexemplo)

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0


2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

#

#

!

!


Cuidado com as implicações e equivalências!

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

=⇒

2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒

x · (2 · x − 5) = 0

=⇒

x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒

x = 0 ou x =52

Cuidado!

Toda solução de2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,

mas nem toda solução de 2 · x2 − 5 · x = 0 é solução de2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒

x · (2 · x − 5) = 0

=⇒

x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒

x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒

x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒

x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒

x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!


x − x3 = 0 é solução de 2 · x2 − 5 · x = 0,


x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!

Você pode usar implicações (⇒) para resolver equações, mas

nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original.



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!

Você pode usar implicações (⇒) para resolver equações, mas

nem todo número obtido no final pode ser solução da equação original.



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!

É preciso tirar a “prova real”!

x = 0 não é solução da equação2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0!



2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 =⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0

=⇒ x · (2 · x − 5) = 0

=⇒ x = 0 ou 2 · x − 5 = 0

=⇒ x = 0 ou x =52

Cuidado!

É preciso tirar a “prova real”!

x = 0 não é solução da equação2 · x2 − 5 · x

x − x3 = 0!



Usando-se equivalências, esta particularidade não aparece!

2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0

⇐⇒

2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒

x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒

[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]

⇐⇒

x =52




2 · x2 − 5 · xx − x3 = 0 ⇐⇒ 2 · x2 − 5 · x = 0 e x − x3 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x2) 6= 0

⇐⇒ x · (2 · x − 5) = 0 e x · (1− x) · (1 + x) 6= 0

⇐⇒[x = 0 ou x =

52

]e[x 6= 0 e x 6= 1 e x 6= −1

]⇐⇒ x =

52


Implicações e teoria dos conjuntos



f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)

Hipótese: f (x) = g(x). Tese: u(x) = v(x).

A proposição é verdadeirase, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese!

Defina os conjuntos:

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} e T = {x ∈ R | u(x) = v(x)}.

A proposição é verdadeira se, e somente se, H ⊆ T .



f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)








f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)








f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)








f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)








f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)








f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)








f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)








f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)








f (x) = g(x) ⇒ u(x) = v(x)







Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo

A sentença abaixo é verdadeira ou falsa?

(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.

A proposição é falsa, pois H * T .

Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T ⊆ H.




(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.






(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.






(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.






(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.






(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.






(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.






(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.






(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.






(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.






(x − 1) · (x + 1) = x − 1 ⇒ (x − 1) · (x + 1)x − 1

=x − 1x − 1

H = {x ∈ R | f (x) = g(x)} = {0,1}, T = {x ∈ R | u(x) = v(x)} = {0}.




Seção de Exercícios


Conectivos Lógicos


Conectivo “ou” (∨)

Dizemos um objeto matemático x satisfaz o predicado

p ou q

se x satisfaz pelo menos um dos predicados p e q. Notação parao conectivo “ou”: ∨.

Regras do Jogo

Quais são todos os valores de x ∈ R que satisfazem o predicadoabaixo?

Resposta: x = 1 (satisfaz p), x = −2 (satisfaz q) e x = 2 (satisfaz q).




p ou q


Regras do Jogo






p ou q


Regras do Jogo


x + 1 = 2 ou x2 = 4 .





p ou q


Regras do Jogo


x + 1 = 2︸︷︷︸p

ou x2 = 4︸︷︷︸q

.





p ou q


Regras do Jogo

Relação com a Teoria dos Conjuntos: se

A = {x | x satisfaz p} e B = {x | x satisfaz q},

então{x | x satisfaz p ∨ q} = A ∪ B.




p ou q


Regras do Jogo







p ou q


Regras do Jogo







p ou q


Regras do Jogo





Conectivo “e” (∧)


p e q

se x satisfaz simultaneamente dos predicados p e q. Notação parao conectivo “e”: ∧.

Regras do Jogo


Resposta: x = 1 (satisfaz p e q). Note que x = −1satisfaz q mas nãosatisfaz p.




p e q


Regras do Jogo






p e q


Regras do Jogo


x + 1 = 2 e x2 = 1 .





p e q


Regras do Jogo


x + 1 = 2︸︷︷︸p

e x2 = 1︸︷︷︸q

.





p e q


Regras do Jogo


x + 1 = 2︸︷︷︸p

e x2 = 1︸︷︷︸q

.





p e q


Regras do Jogo



então{x | x satisfaz p ∧ q} = A ∩ B.




p e q


Regras do Jogo







p e q


Regras do Jogo







p e q


Regras do Jogo





Aplicação:solução da equação |x + 1| = |x − 2|


Módulo (ou valor absoluto) de um número real

|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



|x | ={

x , se x ≥ 0,−x , se x < 0.

Definição

Exemplos:

|2| = 2, | − 2| = 2, |0| = 0, |x2| = x2,

|x − 1| ={

x − 1, se x ≥ 1,−x + 1, se x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Mais exemplos:

|1−√

2| =√

2− 1, |π − 3.14| = π − 3.14, |x2 + 1| = x2 + 1,

|�| ={

�, se � ≥ 0,−�, se � < 0,

|x2 − 1| =

{x2 − 1, se x2 − 1 ≥ 0,− x2 + 1, se x2 − 1 < 0,

=

{x2 − 1, se x ≤ −1 ou x ≥ 1,

− x2 + 1, se − 1 < x < 1.



Observação:

|x | =

{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0

=

{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0

=

x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.



Observação:

|x | =

{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0

=

{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0

=

x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.



Observação:

|x | =

{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0

=

{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0

=

x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.



Observação:

|x | =

{x , se x ≥ 0,−x , se x < 0

=

{x , se x > 0,−x , se x ≤ 0

=

x , se x > 0,0, se x = 0,−x , se x < 0.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.

|p| < a⇔ −a a⇔ p < −a ou p > a. Vale também que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a.

∀a,b ∈ R, |a + b| ≤ |a|+ |b| (desigualdade triangular).

∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Propriedades

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.




∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Aplicação: solução da equação |x + 1| = |x − 2|

Encontre todos os valores de x ∈ R tais que |x + 1| = |x − 2|.

Solução. Basta usar a segunda propriedade de módulo:

|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))

⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)

⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1

⇔ x =12.





|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))

⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)

⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1

⇔ x =12.





|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))

⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)

⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1

⇔ x =12.





|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))

⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)

⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1

⇔ x =12.





|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))

⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)

⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1

⇔ x =12.





|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))

⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)

⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1

⇔ x =12.





|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))

⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)

⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1

⇔ x =12.





|x + 1| = |x − 2| ⇔ (x + 1 = x − 2) ou (x + 1 = −(x − 2))

⇔ (1 = −2) ou (x + 1 = −x + 2)

⇔ x + 1 = −x + 2 ⇔ 2 x = 1

⇔ x =12.


Propriedade [PM01]: demonstração

∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.

Demonstração. Se a ∈ R, então, por [PO01], ou a > 0, ou a = 0 ou a < 0. Se a > 0,então |a| = a > 0. Se a = 0, então |a| = 0. Se a < 0, então |a| = − a > 0 (pois sea < 0, então −a > 0). Em todos os três casos, |a| ≥ 0.

Vamos agora demonstrar que |a| = 0⇔ a = 0.

(⇒) Suponha, por absurdo, que exista a ∈ R tal que |a| = 0 e a 6= 0. Se a 6= 0,então a > 0 ou a < 0. Nos dois casos, |a| > 0, uma contradição. Portanto, vale que|a| = 0⇒ a = 0.

(⇐) Se a = 0, então, por definição, |a| = 0.



∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







∀a ∈ R, |a| ≥ 0. Além disso, |a| = 0⇔ a = 0.







|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = |b|. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordocom os sinais de a e de b. Em todos eles, veremos que |a| = |b| ⇒ a = b ou a = −b.

a = 0 e |a| = |b| ⇒ |b| = |a| = 0 ⇒ b = 0 e a = 0 ⇒ a = b.b = 0 e |a| = |b| ⇒ |a| = |b| = 0 ⇒ a = 0 e b = 0 ⇒ a = b.a > 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ a = b.a > 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ a = −b.a < 0,b > 0 e |a| = |b| ⇒ −a = b ⇒ a = −b.a < 0,b < 0 e |a| = |b| ⇒ −a = −b ⇒ a = b.

(⇐) Se a = b, então |a| = |b|. Se a = −b, então

|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = |b| ⇔ a = b ou a = −b.

Demonstração.




|a| = | − b| ={

− b, se − b ≥ 0,− (−b), se − b < 0

=

{−b, se b ≤ 0,

b, se b > 0= |b|.



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.

(⇒) Sejam a,b ∈ R tais que |a| = b. Por [PM01], b ≥ 0. Portanto, b = |b|. Sendo assim,|a| = b ⇒ |a| = |b|. Por [PM02], segue-se então que a = b ou a = −b.

(⇐) Por [PM02], se a = b ou a = −b, então |a| = |b|. Como b ≥ 0, |b| = b. Logo,|a| = b.

Observação.

A sentença |a| = b ⇒ a = b ou a = −b é verdadeira!

Mas sua recíproca é falsa!

(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



|a| = b ⇔ b ≥ 0 e (a = b ou a = −b).

Demonstração.



Observação.



(Exercício!)



∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.

Demonstração. Vamos dividir a prova em vários casos, de acordo com os sinais de a ede b.

a = 0⇒ a · b = 0 e |a| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.b = 0⇒ a · b = 0 e |b| = 0⇒ |a · b| = 0 e |a| · |b| = 0⇒ |a · b| = |a| · |b|.a > 0 e b > 0⇒ a · b > 0 e |a| = a e |b| = b ⇒ |a · b| = a · b = |a| · |b|.a > 0 e b < 0⇒ a · b < 0 e |a| = a e |b| = −b ⇒ |a · b| = −a · b = a · (−b) = |a| · |b|.a < 0 e b > 0⇒ a · b < 0 e |a| = −a e |b| = b ⇒ |a · b| = −a · b = (−a) · b = |a| · |b|.a < 0 e b < 0⇒ a · b > 0 e |a| = −a e |b| = −b ⇒ |a · b| = a · b = (−a) · (−b) = |a| · |b|.

Em todos os casos, vemos que sempre |a · b| = |a| · |b|.



∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a,b ∈ R, |a · b| = |a| · |b|.






∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.

Demonstração. Vamos mostrar primeiro que ∀b ∈ R − {0}, |1/b| = 1/|b|. Se b > 0,então 1/b > 0 e |b| = b. Portanto, |1/b| = 1/b = 1/|b|. Se b < 0, então 1/b < 0 e |b| =−b. Portanto, |1/b| = − 1/b = 1/(−b) = 1/|b|. Mostramos assim que |1/b| = 1/|b|para todo b 6= 0.

De posse deste resultado e usando [PM04], temos que ∀a ∈ R e ∀b ∈ R− {0},∣∣∣∣ab∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a · 1

b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.



∀a ∈ R,∀b ∈ R− {0}, |a/b| = |a|/|b|.



b

∣∣∣∣ = |a| · ∣∣∣∣1b∣∣∣∣ = |a| · 1

|b|=|a||b|.




Demonstração. Vamos demonstrar que |p| < a⇔ −a < p < a. A demonstração de que|p| ≤ a⇔ −a ≤ p ≤ a fica como exercício.

Se a ≤ 0, então a equivalência é verdadeira por vacuidade: não existe nenhum númeroreal p tal que |p| < a, como não existe nenhum número real p tal que −a 0. Temos então que

|p| < a ⇔ (p < 0 e − p = |p| < a) ou (p ≥ 0 e p = |p| < a)⇔ (p < 0 e p > −a) ou (p ≥ 0 e p < a)⇔ − a a ⇔ p < −a ou p > a. A demonstraçãode que |p| ≥ a⇔ p ≤ −a ou p ≥ a fica como exercício.

Se a < 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R. Logo, se a < 0, então|p| > a⇔ p < −a ou p > a.

Se a = 0, então |p| > a ⇔ p ∈ R − {0} e p < −a ou p > a ⇔ p ∈ R − {0}. Logo, sea = 0, então |p| > a⇔ p < −a ou p > a.


|p| > a ⇔ (p < 0 e − p = |p| > a) ou (p ≥ 0 e p = |p| > a)⇔ (p < 0 e p < −a) ou (p ≥ 0 e p > a)⇔ p < −a ou p > a.




































































































































































































Demonstração. Observe que, para todo x ∈ R, − |x | ≤ x ≤ |x | (exercício). Assim:

− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.





− |a| ≤ a ≤ |a| e − |b| ≤ b ≤ |b|

⇓

− |a| − |b| ≤ a + b ≤ |a|+ |b|

⇓

− (|a|+ |b|) ≤ a + b ≤ |a|+ |b|[PM06] ⇓ [PM06]

|a + b| ≤ |a|+ |b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.

Demonstração. Usando a desigualdade triangular, temos que

|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.

Desta maneira: −|a − b| ≤ |a| − |b| e |a| − |b| ≤ |a − b|. Segue-se então, por [PM06],que

∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.



∀a,b ∈ R,∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


|a| = |b + (a− b)| ≤ |b|+ |a− b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a− b|e

|b| = |a + (b − a)| ≤ |a|+ |b − a| = |a|+ |a− b| ⇒ −|a− b| ≤ |a| − |b|.


∣∣|a| − |b|∣∣ ≤ |a− b|.


Interpretação geométrica

−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



−3 −2 −1 0 1 2 3

A BCDE

d(A,B) = +2 d(B,C) = +1 d(B,E) = +5 d(D,E) = +2



a b

d(a,b) ={

b − a, se b ≥ a,a− b, se b < a

= |b − a|.

Moral: |b − a| representa a distância entre os números a e b na retanumérica.



a b

d(a,b) ={


= |b − a|.




a b

d(a,b) ={


= |b − a|.




a b

d(a,b) ={


= |b − a|.



Duas propriedades importantes

|p| < a ⇔ −a a ⇔ p < −a ou p > a

Para justificar estas propriedades,lembre-se que |p| = |p − 0| é a distância entre p e 0.

0

−a ap


Duas propriedades importantes

|p| < a ⇔ −a a ⇔ p < −a ou p > a

Para justificar estas propriedades,lembre-se que |p| = |p − 0| é a distância entre p e 0.

0

−a ap


Aplicação

Resolva a desigualdade |3 + 2 x | < 2.

|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação


|3 + 2 x︸︷︷︸p

| < 2 ⇔ −2 < 3 + 2 x︸︷︷︸p

< 2 ⇔ −2− 3 < 2 x < 2− 3

⇔ −5 < 2 x < −1 ⇔ −52< x < −1

2

S =

]−5

2,−1

2

[


Aplicação

Resolva a desigualdade |2 x + 5| > 3.

|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação


|2 x + 5︸︷︷︸p

| > 3 ⇔ 2 x + 5︸︷︷︸p

< −3 ou 2 x + 5︸︷︷︸p

> 3

⇔ 2 x < −3− 5 ou 2 x > 3− 5

⇔ 2 x < −8 ou 2 x > −2

⇔ x < −4 ou x > −1

S =]−∞,−4[ ∪ ]− 1,+∞[


Aplicação

Resolva geometricamente a desigualdade |x + 1| < |x − 2|.

|x + 1| = |x − (−1)| é a distância de x a −1.

|x − 2| é a distância de x a 2.

Se |x − (−1)| < |x − 2|, entãoa distância de x a −1 deve ser menor do que a distância de x a 2.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).


Aplicação





−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

1/2

S =

(−∞, 1

2

).

Fundamentos de Matemática - Universidade Federal Fluminense · 2021. 1. 21. · Fundamentos de Matemática Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade

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