Vibraciones/JHT 1 / 28 Fundamentos de espectroscopia: Vibraciones Jes ´ us Hern ´ andez Trujillo Facultad de Qu´ ımica, UNAM Agosto de 2017
Vibraciones/JHT 1 / 28
Fundamentos de espectroscopia:
Vibraciones
Jesus Hernandez Trujillo
Facultad de Quımica, UNAM
Agosto de 2017
Oscilador armonico
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 2 / 28
Movimiento oscilatorio:
Una partıcula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio)
cuando se mueve alrededor de una posicion de equilibrio.
Oscilador armonico
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 2 / 28
Movimiento oscilatorio:
Una partıcula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio)
cuando se mueve alrededor de una posicion de equilibrio.
Un cuerpo elastico se deforma cuando se le aplica una fuerza.
ℓ x
Faplicada
longitud de equilibrio
deformacion
Oscilador armonico
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 2 / 28
Movimiento oscilatorio:
Una partıcula describe un movimiento oscilatorio (vibratorio)
cuando se mueve alrededor de una posicion de equilibrio.
Un cuerpo elastico se deforma cuando se le aplica una fuerza.
ℓ x
Faplicada
longitud de equilibrio
deformacion
Fuerza de restitucion:
La fuerza con que el material se opone a la defor-
macion.
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 3 / 28
Relacion entre las fuerzas de restitucion y aplicada:
F ≡ Frestitucion = −Faplicada
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 3 / 28
Relacion entre las fuerzas de restitucion y aplicada:
F ≡ Frestitucion = −Faplicada
Ley de Hooke:
La magnitud de la fuerza de restitucion es
proporcional a la deformacion
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 3 / 28
Relacion entre las fuerzas de restitucion y aplicada:
F ≡ Frestitucion = −Faplicada
Ley de Hooke:
La magnitud de la fuerza de restitucion es
proporcional a la deformacion
Matematicamente:
F = −kx , k > 0
donde:
k es la constante de rigidez del material
x < 0 compresion F > 0x > 0 extension F < 0
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 4 / 28
Intervalo de validez de la ley de Hooke:
deformaciones pequenas
x
F ≡ |F |
(depende la naturaleza del material, la temperatura, . . . .)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 5 / 28
Movimiento armonico simple:
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
ℓk
m O
xlongitud de equilibrio
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 5 / 28
Movimiento armonico simple:
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
ℓk
m O
xlongitud de equilibrio
A partir de la segunda ley
de Newton
F = md2x
dt2
y de la ley de Hooke:
F = −kx
se obtiene
md2x
dt2= −kx
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 6 / 28
Por lo tanto:
md2x
dt2+ kx = 0
d2x
dt2+ ω2x = 0 (1)
donde
ω2 =k
m
ω: Frecuencia circular
La solucion de (1) (o sus formas equivalentes anteriores) describe
el movimiento armonico simple.
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 7 / 28
Las soluciones de (1) son de la forma
x(t) = A sen(ωt + φ) (2)
A: Amplitud
φ: angulo de fase
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 7 / 28
Las soluciones de (1) son de la forma
x(t) = A sen(ωt + φ) (2)
A: Amplitud
φ: angulo de fase
{A,φ} son las constantes de integracion
de la solucion general de (1)
=⇒ Demuestra que (2) es solucion de (1)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 8 / 28
Resumen: Cinematica del oscilador armonico
posicion: x(t) = A sen(ωt + φ)velocidad: v(t) = Aω cos(ωt + φ)aceleracion: a(t) = −Aω2 sen(ωt + φ)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 9 / 28
tt1 t2 t3 t4 t5
tt1 t2 t3 t4 t5
tt1 t2 t3 t4 t5
τx(t) = A sen(ωt + φ)
v(t) = Aω cos(ωt + φ)
a(t) = −Aω2 sen(ωt + φ)
A
−Aφ
(a ∼ −x)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 10 / 28
Definiciones:
Periodo:
τ =2π
ω
Frecuencia:
ν =1
τ=
ω
2π=
1
2π
√
k
m
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 11 / 28
Energıa mecanica del oscilador armonico
Energıa cinetica:
T =1
2mv2 =
1
2mA2ω2 cos2(ωt + φ) (4)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 11 / 28
Energıa mecanica del oscilador armonico
Energıa cinetica:
T =1
2mv2 =
1
2mA2ω2 cos2(ωt + φ) (4)
Energıa potencial:
La fuerza del oscilador armonico es conservativa:
∃V (x) tal que F (x) = −dV (x)
dx
Por lo tanto:
V (x) = −
∫
F (x)dx =
∫
kxdx =kx2
2+ c
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 12 / 28
Al hacer V (0) = 0 se obtiene: c = 0
Por lo tanto:
V (x) =1
2kx2 =
1
2kA2 sen2(ωt + φ) (5)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 12 / 28
Al hacer V (0) = 0 se obtiene: c = 0
Por lo tanto:
V (x) =1
2kx2 =
1
2kA2 sen2(ωt + φ) (5)
Energıa mecanica:
E = T + V
Ejercicio: Utiliza (4) y (5) para obtener:
E =1
2kA2
(6)
Es decir, E es constante en el tiempo
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 13 / 28
Graficamente:
en
erg
ía
t
E=T+V
TV
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 14 / 28
Movimiento armonico simple vs movimiento circular
r(t) = R cosωt ı + R senωt
F (t) = −ω2r(t)
Fy ∼ y
Movimiento armonico:
y
y = R senωt,φ = 0
ω
R
luz placa
sombra
Oscilador amortiguado
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 15 / 28
Observacion experimental:
En un movimiento amortiguado, la amplitud de la oscila-
cion disminuye gradualmente en el tiempo
La friccion afecta el movimiento
�����������������
�����������������
�����������������
�����������������
Oscilador amortiguado
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 15 / 28
Observacion experimental:
En un movimiento amortiguado, la amplitud de la oscila-
cion disminuye gradualmente en el tiempo
La friccion afecta el movimiento
Ejemplo:
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
����������������
lıquido
Aproximacion:
La fuerza de friccion es
proporcional a la velocidad:
Ffric ∼ v
Funciona bien a velocidades pequenas
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 16 / 28
Ejemplo: Ley de Stokes:
Ffric = −6πηrv
η: viscosidad
r: radio de la esfera
v velocidad
Esfera en un fluido viscoso
η constante, fluido Newtoniano
En contraste, en la salsa catsup: η ∼ fuerza
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 17 / 28
Segunda ley de Newton para una partıcula sujeta a la accion de
una fuerza armonica y a una de amortiguamiento lineal
md2x
dt2= −kx − λ
dx
dt
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 17 / 28
Segunda ley de Newton para una partıcula sujeta a la accion de
una fuerza armonica y a una de amortiguamiento lineal
md2x
dt2= −kx − λ
dx
dt
Al reordenar:
d2x
dt2+ 2γ
dx
dt+ ω2x = 0 (7)
donde
ω2 = k/m2γ = λ/m
Ecuacion diferencial homogenea de
coeficientes constantes
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 18 / 28
Ejercicio Verifica que la ecuacion caracterıstica
r2 + 2γr + ω2 = 0
tiene por raıces:
r1 = −γ +√
γ2 − ω2
r2 = −γ −√
γ2 − ω2
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 18 / 28
Ejercicio Verifica que la ecuacion caracterıstica
r2 + 2γr + ω2 = 0
tiene por raıces:
r1 = −γ +√
γ2 − ω2
r2 = −γ −√
γ2 − ω2
7→ Analizar las situaciones posibles:
subamortiguamiento: γ < ω.
amortiguamiento crıtico: γ = ω.
sobreamortiguamiento: γ > ω.
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 19 / 28
Resumen:
subamortiguado
amortiguamiento crítico
sobreamortiguado
t
x
Oscilador amortiguado forzado
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 20 / 28
Considerar ahora un oscilador
armonico amortiguado sujeto a
una fuerza externa Fext:
����������������
����������������
����������������
����������������
����
��
Fext
x
m
k
ω2
0= k/m
Frecuencia natural del
sistema masa-resorte
Oscilador amortiguado forzado
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 20 / 28
Considerar ahora un oscilador
armonico amortiguado sujeto a
una fuerza externa Fext:
����������������
����������������
����������������
����������������
����
��
Fext
x
m
k
ω2
0= k/m
Frecuencia natural del
sistema masa-resorte
Segunda ley de Newton:
md2x
dt2= −kx − λ
dx
dt+ Fext
Oscilador amortiguado forzado
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 20 / 28
Considerar ahora un oscilador
armonico amortiguado sujeto a
una fuerza externa Fext:
����������������
����������������
����������������
����������������
����
��
Fext
x
m
k
ω2
0= k/m
Frecuencia natural del
sistema masa-resorte
Segunda ley de Newton:
md2x
dt2= −kx − λ
dx
dt+ Fext
En el caso:
Fext = F0 cosωft
fuerza externa periodica con fre-
cuencia circular ωf
Oscilador amortiguado forzado
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 20 / 28
Considerar ahora un oscilador
armonico amortiguado sujeto a
una fuerza externa Fext:
����������������
����������������
����������������
����������������
����
��
Fext
x
m
k
ω2
0= k/m
Frecuencia natural del
sistema masa-resorte
Segunda ley de Newton:
md2x
dt2= −kx − λ
dx
dt+ Fext
En el caso:
Fext = F0 cosωft
fuerza externa periodica con fre-
cuencia circular ωf
Se tiene
md2x
dt2+ kx + λ
dx
dt= F0 cosωft (11)
Oscilador amortiguado forzado
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 20 / 28
Considerar ahora un oscilador
armonico amortiguado sujeto a
una fuerza externa Fext:
����������������
����������������
����������������
����������������
����
��
Fext
x
m
k
ω2
0= k/m
Frecuencia natural del
sistema masa-resorte
Segunda ley de Newton:
md2x
dt2= −kx − λ
dx
dt+ Fext
En el caso:
Fext = F0 cosωft
fuerza externa periodica con fre-
cuencia circular ωf
Se tiene
md2x
dt2+ kx + λ
dx
dt= F0 cosωft (11)
Ecuacion diferencial no homogenea
de coeficientes constantes
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 21 / 28
Solucion de la forma
x(t) = xamort(t) + xf(t)
donde
xamort(t): solucion de la ecuacion de movimiento amortiguado
xf(t): solucion particular del movimiento forzado
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 21 / 28
Solucion de la forma
x(t) = xamort(t) + xf(t)
donde
xamort(t): solucion de la ecuacion de movimiento amortiguado
xf(t): solucion particular del movimiento forzado
Mediante el metodo de los multiplicadores indeterminados:
xf(t) = c1 cosωft + c2 senωft (12)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 22 / 28
Graficamente:
t
xxamort (t)+xf (t)
xf (t)El sistema amortiguado se
mantiene en movimiento si
se le suministra energıa
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 22 / 28
Graficamente:
t
xxamort (t)+xf (t)
xf (t)El sistema amortiguado se
mantiene en movimiento si
se le suministra energıa
Dado que
lımt→∞
xamort(t) = 0
entonces
lımt→∞
x(t) = xf(t)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 23 / 28
Ejercicio:
Obtener los valores de c1 y c2 de xf(t), ec.(12):
c1 =F0(k − ω2
fm)
(k − ω2
fm)2 + ω2
fλ2
(13)
c2 =F0ωfλ
(k − ω2
fm)2 + ω2
fλ2
(14)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 24 / 28
Al sustituir (13) y (14) en (12):
xf(t) =F0
(k − ω2
fm)2 + ω2
fλ2
×[
(k − ω2
fm) cosωft + ωfλ senωft
]
Ademas, el termino entre corchetes es
[ ] = a sen(ωft + α)
donde
a =√
(k − ω2
fm)2 + ω2
fλ2
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 25 / 28
Por lo tanto, la solucion particular de (11) es:
xf(t) = A sen(ωft + α) (19)
donde
α = arctank − ω2
fm
ωfλ= arctan
(ω2
0− ω2
f)m
λωf
(20)
y
A(ωf) =F0
√
(k/m − ω2
f)2m2 + ω2
fλ2
(21)
⇒ ω0 es la frecuencia natural (frecuencia de resonancia) del
oscilador.
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 26 / 28
λ3>λ2>λ1=0
ω0ωf
A(ω)λ1λ2λ3
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 26 / 28
λ3>λ2>λ1=0
ω0ωf
A(ω)λ1λ2λ3
A(ωf) =F0
√
(ω2
0− ω2
f)2m2 + ω2
fλ2
Amax en ωf =√ω2
0− 2γ2
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 26 / 28
λ3>λ2>λ1=0
ω0ωf
A(ω)λ1λ2λ3
A(ωf) =F0
√
(ω2
0− ω2
f)2m2 + ω2
fλ2
Amax en ωf =√ω2
0− 2γ2
︸︷︷︸
Amax
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 26 / 28
λ3>λ2>λ1=0
ω0ωf
A(ω)λ1λ2λ3
A(ωf) =F0
√
(ω2
0− ω2
f)2m2 + ω2
fλ2
Amax en ωf =√ω2
0− 2γ2
︸︷︷︸
Amax
→ A es grande cuando
ωf ∼ ω0 (resonancia)
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 27 / 28
Observaciones:
La velocidad maxima del oscilador es
vmax = ωfA =F0
√(
ω2
0−ω2
f
ωf
)2
m2 + λ2
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 27 / 28
Observaciones:
La velocidad maxima del oscilador es
vmax = ωfA =F0
√(
ω2
0−ω2
f
ωf
)2
m2 + λ2
Cuando ωf = ω0 la velocidad y la energıa cinetica son
maximos cuando λ = 0.
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 27 / 28
Observaciones:
La velocidad maxima del oscilador es
vmax = ωfA =F0
√(
ω2
0−ω2
f
ωf
)2
m2 + λ2
Cuando ωf = ω0 la velocidad y la energıa cinetica son
maximos cuando λ = 0.
La gran amplitud en la frecuencia de resonancia se debe a la
favorable transferencia de energıa hacia el oscilador cuando
Fext esta en fase con el.
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 28 / 28
Ejemplos:
El movimiento de un columpio en fase con la fuerza aplicada.
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 28 / 28
Ejemplos:
El movimiento de un columpio en fase con la fuerza aplicada.
Las ondas captadas por el sintonizador de un radio.
Oscilador armonico
Oscilador amortiguado
Oscilador amortiguado
forzado
Vibraciones/JHT 28 / 28
Ejemplos:
El movimiento de un columpio en fase con la fuerza aplicada.
Las ondas captadas por el sintonizador de un radio.
Un cantante que destruye una copa con su voz.