FUNDAMENTOS DE ALGEBRA primera unidad ago-dic 2014

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA

INGENIERIA EN COMUNICACIONES Y ELECTRÓNICA

Dr. Alberto del Ángel-Hernández Academia de Matemáticas

FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA

TEMARIO

I. Números Complejos.

II. Sistema de Ecuaciones Lineales.

III. Matrices y Determinantes.

IV. Vectores.

V. Introducción a Espacios Vectoriales.

BIBLIOGRAFÍA

Kolman,B. “Algebra lineal”.

Smith et. al “Álgebra,Trigonométria y G.Analítica”.

Marsden Trombo “Cálculo Vectorial”.

Grossman “Álgebra lineal”

EVALUACIÓN

Examen unidad 1 y 2

Examen 3

Examen 4 y 5




UNIDAD I “Números Complejos”

1.1 Introducción.

1.2 Representación del numero complejo

cartesiana.

polar.

exponencial.

1.3 Operaciones.

Suma, resta, multiplicación, potencia, división y raíces.

1.4 Formulas de Euler y de De Moivre.

1.5 Fasores.




INTRODUCCIÒN.

Cuando encontramos las raíces del siguiente polinomio.

2

+ b +c = 0

Empleando la formula

√

Podemos tener:

a) √ >0 ------- 2 raíces diferentes

b) √ = 0 -------- 1 raiz real

c) √ < 0 --------- i

= i √

i 2

= -1

√ √ ( ) √ ( ) √

Por lo tanto la solución c) es:

1 =

√

2 =

√




Ejemplo 1 : Encontrar las raíces de :

z2 + 2 z + 5 = 0

z = √

=

√

z1 = √

z2 = √

DEFINICIÓN

Un número complejo es una expresión de la forma:

z = α + i β

z = a + iβ (1)

donde α y β son números reales.

α se denomina la parte real de z, mientras que β es la parte imaginaria de z.

α = Re z

β = Im z

En algunas ocasiones podemos encontrar en la literatura que la expresión (1) se denomina

como “forma cartesiana” ò “rectangular” del numero complejo z.

*Si β = 0 , Z es un numero real , lo que implica que los números reales son un subconjunto

de los números complejos.




Suma y multiplicación de números complejos ( F. cartesiana)

Ejemplo 2. Sean

Z = 2+3i

W = 5-4i

Calcular:

a) Z+w

2+3i+5-4i = 7-i

b) 3w- 5Z

15-12i-10-15 i = 5 – 27 i

c) Z . W

(2 + 3 i ) (5 – 4 i ) = 10 – 8 i + 15 i -12 i2

= 10 – 8i + 15i + 12 = 22 + 7 i




Plano complejo ò de Argand.

Representar los números complejos

1. -2 + 2i

2. 1 + i

3. -1 – i

4. 4 + 4i

5. 4- i

Conjugado de un numero complejo.

Sea Z = α i β entonces el conjugado de Z denotado por Z , está representado por :

Conjugado Z = - Z = α - i β

Si –Z = Z si i solo si Z es real

Z= 8 ; - Z = 8

-Z = -Z si y solo si Z es imaginario




Z = 8 i -Z = -8 i

Magnitud de números complejos

Para Z = α + i β se define la magnitud (modulo) de Z denotada por I zI como:

Magnitud de Z = I Z I √ 2 +

2

Y el argumento de Z denotado por Z, se define como entre la recta y el lado positivo

del eje X. Por convicción se toma:

Sea entonces

a)

b)

c)

d) |

|

e) |

|

*Forma polar de un número complejo.

Si entonces

r = | | √




* | |

( )

( )

( )( )

*Conjugado de un número complejo.

Sea entonces el conjugado de z denotado por ̅ , está representado por:

Conjugado de ̅ ̅

*

√ = √

√

√ √ (

)

√

√

√

√ √




√

Potencia de un número complejo.

( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( ) ( )

Formula de Moiure

( )

( )

( )

√

√

( ) (√ ) = ( (

) (

)

( )

( )

√

Ejercicio 1

√

∜(-16+i θ)




-Para

( )

Primera raíz

(

) (

√

) √ (

) (

√

) √

Segunda raíz

Tercera raíz

Para

( )

Realizar las operaciones indicadas

1. (2 +3 i ) + (7-4i) = 2-3i+7-4i =9-7i

2. Si (2+3i) + 4(6 – 2i) = ( 10 i + 15 i2) + ( 24 – 8 i ) = 10 i – 15 + 24 – 8 i = 9–2 i

3. (2-3 i) (4 + 7 i) = 8 + 14 I – 12 I – 21 i2 = 8 + 2 I + 21 = 29 + 2 i

4. ( - 3 + 2i) (7 + 3i) = -21-9i+14i+6i2 = -21 + 5i-6 = -27 + 5i




Raíz n-esima de un numero complejo.

√

√

√

√

√ √√

√

√

( )

Multiplicación de números complejos.

( ) (

)

( )

( )

FUNDAMENTOS DE ALGEBRA primera unidad ago-dic 2014

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