Fundamentals of Computer Engineering

8/3/2019 Fundamentals of Computer Engineering

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Fundamentals of Computer Engineering

Collection Editor:

Katherine Fletcher


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Fundamentals of Computer Engineering

Collection Editor:

Katherine Fletcher

Authors:

Ian Barland

Matthias Felleisen

Katherine Fletcher

John Greiner

Phokion Kolaitis

Moshe Vardi

Online:< http://cnx.org/content/col10347/1.4/ >

C O N N E X I O N S

Rice University, Houston, Texas


4/26

T h i s s e l e c t i o n a n d a r r a n g e m e n t o f c o n t e n t a s a c o l l e c t i o n i s c o p y r i g h t e d b y K a t h e r i n e F l e t c h e r . I t i s l i c e n s e d u n d e r

t h e C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n 2 . 0 l i c e n s e ( h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 / ) .

C o l l e c t i o n s t r u c t u r e r e v i s e d : O c t o b e r 1 7 , 2 0 0 7

P D F g e n e r a t e d : M a r c h 1 9 , 2 0 1 0

F o r c o p y r i g h t a n d a t t r i b u t i o n i n f o r m a t i o n f o r t h e m o d u l e s c o n t a i n e d i n t h i s c o l l e c t i o n , s e e p . 1 9 .


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T a b l e o f C o n t e n t s

A n a l g o r i t h m t o i m p l e m e n t a b o o l e a n f u n c t i o n u s i n g o n l y N A N D ' s o r o n l y N O R ' s .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

D e s i g n W o r k s D i g i t a l S i m u l a t i o n S o f t w a r e T u t o r i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 A p p e n d i c e s a n d R e f e r e n c e s

1 . 1 P r o p o s i t i o n a l L o g i c : n o r m a l f o r m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 2 P r o p o s i t i o n a l E q u i v a l e n c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3

S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

G l o s s a r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6

B i b l i o g r a p h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7

I n d e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8

A t t r i b u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9


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i v


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A n a l g o r i t h m t o i m p l e m e n t a b o o l e a n

f u n c t i o n u s i n g o n l y N A N D ' s o r o n l y

N O R ' s .

1

N A N D ' s a n d N O R ' s a r e t h e m o s t c o m m o n b a s i c l o g i c c i r c u i t e l e m e n t i n u s e b e c a u s e t h e y a r e s i m p l e r t o b u i l d

t h a n A N D a n d O R g a t e s , a n d b e c a u s e e a c h i s l o g i c a l l y c o m p l e t e . M a n y l o g i c a l f u n c t i o n s a r e e x p r e s s e d

u s i n g A N D ' s , O R ' s , a n d I n v e r t e r s ( N O T ) , h o w e v e r , b e c a u s e a n i m p l e m e n t i n g c i r c u i t c a n b e c o n s t r u c t e d

s t r a i g h t f o r w a r d l y f r o m t h e t r u t h t a b l e e x p r e s s i o n o f a l o g i c a l f u n c t i o n a n d b e c a u s e K a r n a u g h M a p ' s c a n

b e u s e d t o m i n i m i z e A N D , O R , I N V E R T E R n e t w o r k s .

T h i s d o c u m e n t i s a d a p t e d , w i t h p e r m i s s i o n , f r o m a l g o r i t h m s a n d e x a m p l e s g i v e n i n D r . J u m p ' s E l e c 3 2 6

c o u r s e n o t e s . [ 1 ]

B e l o w a s i m p l e a l g o r i t h m i s g i v e n f o r c o n v e r t i n g a n e t w o r k w i t h A N D g a t e s , O R g a t e s a n d I N V E R T E R S

t o o n e w i t h N A N D g a t e s o r N O R g a t e s e x c l u s i v e l y . F i r s t t h e b o o l e a n f u n c t i o n i s r e p r e s e n t e d u s i n g A N D ' s ,

O R ' s , a n d N O T g a t e s . T h e n , u s i n g D e M o r g a n ' s L a w i n v a r i o u s f o r m s , t h e A N D , O R , I N V E R T E R n e t w o r k

i s c o n v e r t e d s t e p - b y - s t e p t o u s e o n l y N A N D g a t e s o r o n l y N O R g a t e s .

D e M o r g a n ' s L a w u s i n g B o o l e a n A l g e b r a

O R t o N A N D A N D t o N O R

a b (a b) a b (a b)

T a b l e 1

1

T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 3 2 4 0 / 1 . 6 / > .

1


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2

D e M o r g a n ' s L a w s I l l u s t r a t e d U s i n g L o g i c G a t e s

F i g u r e 1 : T h e g u r e i s a d a p t e d w i t h p e r m i s s i o n f r o m D r . R o b e r t J u m p ' s E l e c 3 2 6 l e c t u r e n o t e s [ 1 ] .

T h e r s t t w o r o w s o f t h e g u r e a b o v e i l l u s t r a t e D e M o r g a n ' s L a w u s i n g g a t e s . T h e t h i r d r o w i l l u s t r a t e s

h o w t o e l i m i n a t e a n y i n v e r t e r s w i t h e i t h e r N A N D o r N O R g a t e s .

C o n v e r s i o n A l g o r i t h m

1 . D r a w A N D , O R , I N V E R T E R i m p l e m e n t a t i o n . F i r s t d r a w o u t a n i m p l e m e n t a t i o n o f t h e b o o l e a n

f u n c t i o n u s i n g A N D g a t e s , O R g a t e s a n d I N V E R T E R S . A n y i m p l e m e n t a t i o n t h a t u s e s o n l y t h o s e t h r e e

g a t e t y p e s w i l l w o r k . O n e w a y t o i m p l e m e n t a b o o l e a n f u n c t i o n u s i n g A N D ' s , O R ' s a n d I N V E R T E R S i s

t o b u i l d t h e D i s j u n c t i v e N o r m a l F o r m o f t h e b o o l e a n f u n c t i o n f r o m t h e t r u t h t a b l e t h a t d e s c r i b e s

t h e f u n c t i o n . D i s j u n c t i v e N o r m a l F o r m , i s a l s o c a l l e d S u m o f P r o d u c t s f o r m . P r o p o s i t i o n a l L o g i c :

N o r m a l F o r m s ( S e c t i o n 1 . 1 ) g i v e s a s u c c i n c t t r e a t m e n t o f n o r m a l f o r m s a n d o f h o w t o g o f r o m a t r u t h

t a b l e t o D i s j u n c t i v e N o r m a l F o r m .

2 . A p p l y D e M o r g a n ' s L a w . A p p l y D e M o r g a n ' s L a w t o t h e c i r c u i t b y u s i n g t h e e q u i v a l e n c e s i n t h e r s t

t w o r o w s o f t h e F i g u r e a b o v e . T o c r e a t e a N A N D o n l y c i r c u i t , u s e t h e t r a n s f o r m s i n t h e l e f t b o x , a n d

f o r a N O R o n l y c i r c u i t u s e t h e t r a n s f o r m s i n t h e r i g h t - h a n d b o x .

3 . R e m o v e r e d u n d a n t i n v e r t e r s : A n y t i m e t h a t t w o i n v e r t e r s a r e i n s e r i e s ( a n i n v e r t e d o u t p u t g o e s d i r e c t l y

i n t o a n i n v e r t e d i n p u t ) , r e m o v e b o t h o f t h e m , s i n c e t h e y c a n c e l e a c h o t h e r o u t .

4 . R e p l a c e r e m a i n i n g i n v e r t e r s . R e p l a c e a n y r e m a i n i n g i n v e r t e r s w i t h t h e e q u i v a l e n t N A N D o r N O R

i m p l e m e n t a t i o n ( t h e t h i r d r o w o f t h e F i g u r e ) .

E x a m p l e


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3

C o n v e r s i o n E x a m p l e

F i g u r e 2 : E x a m p l e c o n v e r s i o n t o a N A N D o n l y n e t w o r k .

N o t e t h a t i n s t e p c . t h e n a l e l i m i n a t i o n o f i n v e r t e r s i s n ' t q u i t e d o n e s i n c e B a n d D a r e i n v e r t e d

i n t o o n e o f t h e N A N D ' s .


10/26

4


11/26

D e s i g n W o r k s D i g i t a l S i m u l a t i o n S o f t w a r e

T u t o r i a l

2

I n t r o d u c t i o n :

D e s i g n W o r k s i s a l o g i c s c h e m a t i c c r e a t i o n a n d s i m u l a t i o n p r o g r a m . I t c o m e s w i t h m a n y c i r c u i t s y m b o l s a n d

m o d e l s t h a t a l l o w y o u t o c r e a t e l o g i c a l c i r c u i t s . W e w i l l b e u s i n g D e s i g n W o r k s P r o f e s s i o n a l b y C a p i l a n o

C o m p u t i n g .

F o r a n o t h e r t u t o r i a l , s e e t h e C a p i l a n o w e b s i t e : h t t p : / / w w w . c a p i l a n o . c o m / D W L i t e M a n u a l / 5 m i n . h t m l

2

T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 4 2 6 9 / 1 . 3 / > .

5


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13/26

7

D o s a v e i n t e r m e d i a t e r e s u l t s . I f y o u h a v e a n i c e w o r k i n g s e c t i o n o f y o u r c i r c u i t , s a v e a c o p y s o t h a t

y o u c a n g e t b a c k t o i t i n c a s e a n y t h i n g g o e s w r o n g a s y o u a d d e l e m e n t s . D W i s a p o w e r f u l p i e c e o f

s o f t w a r e , b u t d o e s o c c a s i o n a l l y g e t i n t o a w i r i n g s n i t .

D o n o t d r a g l a r g e s e c t i o n s o f w i r e d c o m p o n e n t s t o m o v e t h e m . D r a g g i n g o f t e n c a u s e s w i r e s

t o r e a t t a c h t h e m s e l v e s i n u n d e s i r a b l e w a y s t o s e l e c t e d c o m p o n e n t s o r t h i n g s t h e y a r e d r a g g e d o v e r .

I n s t e a d w h a t y o u w a n t t o m o v e , c u t f r o m t h e c u r r e n t l o c a t i o n , a n d p a s t e i n t h e n e w l o c a t i o n .

I f y o u r c i r c u i t i s b e h a v i n g s t r a n g e l y , u s e t h e ? t o o l t o d e b u g y o u r c i r c u i t . S t a r t i n g w i t h t h e l o c a t i o n

o f t h e s t r a n g e v a l u e , p r o b e c o n n e c t e d w i r i n g w o r k i n g f r o m o u t p u t s b a c k t o i n p u t s . T e s t p i n s a n d t h e

w i r e s t h a t a p p e a r t o b e c o n n e c t e d t o t h e m . W h e n t e s t i n g p i n s , t h e ? t o o l m u s t b e t o u c h i n g t h e v e r y

t i p o f t h e p i n , o t h e r w i s e y o u w i l l s e e a Z o u t p u t . I f y o u n d a l o o s e c o n n e c t i o n , u s e t h e z a p t o o l ( s e e

D e l e t i n g W i r i n g b e l o w ) t o d e l e t e a n d r e a t t a c h t h e c o n n e c t i o n .

D o t e s t w i r i n g r i g h t a f t e r i t i s p l a c e d . ( S e e T e s t i n g W i r i n g b e l o w . )

D o l e a r n w h a t a l l t h e s i m u l a t i o n v a l u e s m e a n . ( S e e S i m u l a t i o n v a l u e s : ( 0 , 1 , X , Z , o r C ) b e l o w . )

D o u s e n a m e d s i g n a l s t o m a k e c o n n e c t i o n s r a t h e r t h a n l o n g s t r e t c h e s o f w i r i n g . W h e n u s i n g n a m e d

s i g n a l s , s p a c e s a r e r e l e v a n t , s o b e v e r y c a r e f u l t h a t t h e n a m e m a t c h e s e x a c t l y .

D e s i g n W o r k s R e f e r e n c e N o t e s :

U s i n g C o m p o n e n t L i b r a r i e s : O n t h e r i g h t o f t h e D e s i g n W o r k s d i s p l a y , y o u w i l l s e e a p a r t s

p a l e t t e . Y o u c a n s e l e c t l i b r a r i e s o f c o m p o n e n t s t o c h o o s e f r o m b y s e l e c t i n g t h e n a m e o f t h e l i b r a r y y o u

w a n t t o u s e f r o m t h e l i b r a r y s e l e c t i o n d r o p - d o w n l i s t . Y o u c a n a l s o s e l e c t A L L L I B R A R I E S t o b e

a b l e t o c h o o s e f r o m a l l l o a d e d c o m p o n e n t l i b r a r i e s . Y o u c a n l o a d a n d u n l o a d n e w l i b r a r i e s f r o m t h e

F i l e / L i b r a r i e s m e n u .

P l a c i n g a n d m o v i n g c o m p o n e n t s : D o u b l e - c l i c k o n t h e c o m p o n e n t i n t h e p a r t s p a l e t t e t o t h e r i g h t

o f t h e s c r e e n . Y o u r c u r s o r w i l l c h a n g e i n t o a n i m a g e o f t h e p a r t . T o g e t o u t o f p a r t s p l a c i n g m o d e ,

t a p t h e s p a c e b a r . Y o u c a n m o v e d e v i c e s a r o u n d , b y c l i c k i n g o n t h e m a n d d r a g g i n g t h e m t o a n e w

p o s i t i o n . I n o r d e r t o m o v e a s w i t c h t y p e d e v i c e , y o u m u s t s e l e c t i t w h i l e h o l d i n g d o w n t h e S H I F T k e y ,

a n d t h e n m o v e i t . Y o u c a n a l s o m o v e c o m p o n e n t s b y s e l e c t i n g t h e m , a n d t h e n u s i n g t h e a r r o w k e y s t o

m o v e t h e m i n d i s c r e t e i n t e r v a l s . W h e n m o v i n g g r o u p s o f c o m p o n e n t s , o n l y m o v e i n d i s c r e t e s t e p s o r

c u t a n d p a s t e .

O r i e n t i n g c o m p o n e n t s : T o o r i e n t c o m p o n e n t s s o t h a t t h e o u t p u t a n d i n p u t p i n s f a c e t h e d i r e c t i o n

y o u w a n t , u s e t h e a r r o w k e y s w h i l e t h e c o m p o n e n t i s s e l e c t e d , a n d b e f o r e y o u p l a c e i t . T h e a r r o w k e y s

w i l l i p b o t h t h e v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l o r i e n t a t i o n o f t h e c o m p o n e n t .

W i r i n g : T o c r e a t e c o n n e c t i o n s , p o s i t i o n t h e p o i n t e r n e a r t h e e n d p o i n t o f a p i n o r w i r e a n d d r a g

a w a y t o w a r d t h e o t h e r e n d p o i n t . I f y o u h o l d d o w n t h e c o n t r o l k e y i t w i l l c h a n g e t h e t y p e o f r o u t i n g t o

r o u t e d o w n a n d o v e r , r a t h e r t h a n o v e r a n d d o w n . U s i n g t h e A l t k e y w h i l e d r a w i n g a w i r e , w i l l c r e a t e

a t h r e e s e g m e n t r o u t e . C T L a n d A L T c a n b e u s e d t o g e t h e r t o c o m b i n e t h e e e c t s .

W i r i n g b y S i g n a l N a m e : Y o u c a n c o n n e c t a n a m e d s i g n a l t o a p i n b y s e l e c t i n g t h e T e x t

C u r s o r ( l e t t e r A i n t h e t o o l p a l e t t e ) , a n d c l i c k i n g t h e p e n c i l a t t h e e n d o f t h e p i n . ( C l i c k i n g i n

t h e m i d d l e o f t h e p i n c r e a t e s a p i n n u m b e r ) . W i t h t h e e n d o f t h e p i n s e l e c t e d , p l a c e a l a b e l t h a t

m a t c h e s t h e s i g n a l n a m e y o u w a n t t o c o n n e c t . N o t e t h a t a p h y s i c a l l i n e w i l l n o t b e d r a w n i n t h i s

c a s e . W h e n u s i n g n a m e d s i g n a l s , s p a c e s i n f r o n t o f , w i t h i n , a n d a f t e r t h e n a m e a r e r e l e v a n t , s o

b e v e r y c a r e f u l t h a t t h e n a m e s m a t c h e x a c t l y .

T e s t i n g W i r i n g : O n c e t h e c o n n e c t i o n i s m a d e , t e s t t h e c o n n e c t i o n b y c l i c k i n g o n t h e s i g n a l

r o u t e a n d n o t i n g t h e y e l l o w h i g h l i g h t e d p a t h . T h e h i g h l i g h t e d p o r t i o n s h o u l d e x t e n d a l l t h e w a y

a c r o s s g a t e p i n s ( i n o t h e r w o r d s b e s u r e t h a t t h e p i n s o n t h e g a t e h i g h l i g h t y e l l o w r a t h e r t h a n

r e m a i n i n g b l a c k . ) A l w a y s t e s t t h e c o n n e c t i o n s t h i s w a y t o m a k e s u r e t h e e x a c t c o n n e c t i o n y o u

i n t e n d e d w a s m a d e . S i g n a l s c a n a p p e a r t o b e c o n n e c t e d , b u t n o t r e a l l y b e m a k i n g t h e c o n n e c t i o n .

S o m e t i m e s , e v e n a s o l i d y e l l o w l i n e w i l l t u r n o u t n o t t o b e c o n n e c t e d t o t h e p i n . I f t h i s h a p p e n s

y o u m a y s e e X v a l u e s w h e r e y o u e x p e c t 0 o r 1 . U s e t h e ? t o o l t o c h e c k t h a t t h e p i n a n d w i r e

h a v e t h e s a m e v a l u e .


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8

A d j u s t i n g W i r i n g : Y o u c a n a d j u s t l i n e s e g m e n t s w i t h i n t h e c o n n e c t i o n p a t h b y c l i c k i n g a n d

d r a g g i n g a n y w h e r e b u t o n a c o r n e r .

D e l e t i n g w i r e s e g m e n t s o r e n t i r e w i r e r o u t e s : I f y o u w a n t t o d e l e t e o n l y a p o r t i o n o f a

s i g n a l l i n e , u s e t h e z a p t o o l . I t l o o k s l i k e a l i g h t n i n g b o l t . W h e n t h e z a p t o o l i s s e l e c t e d , i t

w i l l r e m o v e a l i n e s e g m e n t t h a t i t t o u c h e s , u p t o t h e n e a r e s t i n t e r s e c t i o n , d e v i c e p i n , o r s e g m e n t

j o i n p o i n t . S e l e c t i n g a s i g n a l a n d t h e n u s i n g t h e d e l e t e k e y c a u s e s t h e e n t i r e s i g n a l r o u t e t o b e

r e m o v e d .

N a m i n g t h i n g s : Y o u c a n u s e t h e t e x t c u r s o r ( t h e l e t t e r A o n t h e t o o l p a l e t t e a t t h e t o p o f t h e

d i s p l a y ) t o n a m e c o m p o n e n t s , s i g n a l s , a n d p i n s o n y o u r c i r c u i t . S e l e c t t h e A a n d t h e n y o u r m o u s e

t u r n s i n t o a p e n c i l . M o v e t h e p e n c i l t o t h e i t e m y o u w a n t t o n a m e a n d s e l e c t t h e i t e m . D e v i c e s h a v e

a u t o m a t i c a l l y g e n e r a t e d n a m e s t h a t y o u c a n m o d i f y b y s e l e c t i n g t h e m . S i g n a l s w i l l b r i n g u p a s m a l l

b o x f o r n a m i n g t h e m w h e n y o u s e l e c t t h e m w h i l e u s i n g t h e A . T h e a u t o - g e n e r a t e d n a m e w i l l s t a r t

w i t h S I G . T o c h e c k t h a t t h e t h i n g y o u h a v e n a m e d i s r e a l l y w h a t y o u i n t e n d e d , s e l e c t t h e o b j e c t ( s i g n a l

o r d e v i c e ) . T h e n a m e w i l l h i g h l i g h t a l o n g w i t h t h e s e l e c t e d o b j e c t i f i t i s c o r r e c t l y n a m e d . S i g n a l a n d

d e v i c e n a m e s a p p e a r i n p i n k , w h e r e a s e x p o s i t o r y t e x t w i l l a p p e a r b l a c k .

S i m u l a t i o n v a l u e s : ( 0 , 1 , X , Z , o r C ) D u r i n g s i m u l a t i o n , a v a l u e o f X d e n o t e s a s t a t e w h i c h

c a n n o t b e d e t e r m i n e d . A v a l u e o f Z d e n o t e s a h i g h - i m p e d a n c e s t a t e . T o t u r n s i m u l a t i o n o n , c l i c k

o n t h e r u n n i n g m a n i c o n i n t h e t o o l b a r , ( h e i s t o t h e r i g h t o f t h e s p e e d s l i d e r . ) I f y o u c l i c k o n a

s w i t c h t o s e t a v a l u e , a n d s i m u l a t i o n i s n o t t u r n e d o n , a p o p - u p b o x w i l l a p p e a r a s k i n g i f y o u w a n t t o

s t a r t s i m u l a t i o n . S a y y e s , o f c o u r s e . A v a l u e o f C d e n o t e s C o n i c t a n d m e a n s t h a t D e s i g n W o r k s

c a n n o t d e t e r m i n e t h e p r o p e r v a l u e f o r a s i g n a l b e c a u s e i t h a s b e e n c o n n e c t e d t o t w o s o u r c e s t h a t a r e

i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r ; f o r i n s t a n c e c o n n e c t i n g p o w e r t o g r o u n d . T h i s e r r o r o f t e n o c c u r s w h e n y o u

h a v e n a m e d a s i g n a l i n o n e c i r c u i t t h e s a m e a s a s i g n a l i n a n o t h e r c i r c u i t i n t h e s a m e l e . D e s i g n W o r k s

i n t e r p r e t s t h a t t o m e a n t h a t t h e t w o s i g n a l w i r e s a r e c o n n e c t e d t o e a c h o t h e r . I f t h a t i s n ' t w h a t y o u

i n t e n d e d , c h a n g e t h e n a m e o f o n e o f t h e m .

S h o w i n g a l l v a l u e s : D e s i g n W o r k s c a n d i s p l a y a l l t h e s i g n a l v a l u e s i n t h e c i r c u i t w i t h s m a l l b l u e

n u m b e r s . T o t u r n t h i s o , f r o m t h e S i m u l a t i o n M e n u , s e l e c t " S h o w V a l u e s " .

P r i n t i n g : Y o u c a n p r i n t d i r e c t l y f r o m D e s i g n W o r k s u s i n g t h e F i l e - >P r i n t m e n u . I n o r d e r t o m a k e

s u r e t h a t t h e d e s i g n p r i n t s o n a s i n g l e p a g e , y o u c a n u s e D r a w i n g - >S h e e t S i z e W i z a r d . O n e o f t h e p a n e s

i n t h e w i z a r d w i l l a l l o w y o u t o s e l e c t S i n g l e P r i n t e d P a g e . Y o u c a n a l s o s a v e a n i m a g e l e o f y o u r

c i r c u i t u s i n g F i l e - >E x p o r t - >W i n d o w s M e t a F i l e .

T u t o r i a l :

W e w i l l c o n s t r u c t a f o u r - i n p u t m u l t i p l e x o r a n d t e s t i t s o p e r a t i o n u s i n g s w i t c h e s a n d a h e x k e y b o a r d . T h e

n a l v e r s i o n i s s h o w n b e l o w a n d i t c o r r e s p o n d s t o t h e i l l u s t r a t i o n o f a m u l t i p l e x o r i n t h e t e x t , o n p . 6 1 .


15/26

9

F o u r - i n p u t m u l t i p l e x o r

F i g u r e 2 : E x a m p l e c i r c u i t t o c o n s t r u c t u s i n g D e s i g n W o r k s f o r p r a c t i c e p l a c i n g e l e m e n t s a n d w i r i n g

t h e m .

1 . S t a r t D e s i g n W o r k s P r o f e s s i o n a l f r o m t h e P r o g r a m m e n u a n d s e l e c t n e w , t h e n d e s i g n , t h e n G e n e r i c

S i m u l a t i o n f r o m t h e l e m e n u .

2 . T o t h e r i g h t , y o u w i l l s e e a p a r t s p a l e t t e . F r o m t h e l i b r a r y s e l e c t i o n d r o p - d o w n l i s t , c h o o s e S i m u l a t i o n

G a t e s .

3 . D o u b l e - c l i c k o n t h e 3 i n p u t A N D g a t e ( A N D - 3 ) . Y o u r c u r s o r w i l l c h a n g e i n t o a n A N D g a t e . P l a c e 4

o f t h e m v e r t i c a l l y o n t h e p a p e r b y l e f t c l i c k i n g w h e n t h e d e v i c e i s w h e r e y o u w a n t i t . T o g e t o u t o f

A N D - 3 m o d e , t a p t h e s p a c e b a r . Y o u c a n m o v e d e v i c e s a r o u n d , b y c l i c k i n g o n t h e m a n d d r a g g i n g

t h e m t o a n e w p o s i t i o n . P i n 1 o f a l l t h e s e g a t e s w i l l b e t h e i n p u t l i n e s , p i n 2 w i l l b e t h e h i g h o r d e r

s e l e c t l i n e , a n d p i n 3 w i l l b e t h e l o w o r d e r s e l e c t l i n e ( o r b i t ) .

4 . A t t a c h i n v e r t e r s ( N O T ) t o t h e a p p r o p r i a t e i n p u t p i n s o f e a c h A N D g a t e . C o u n t i n g f r o m t o p t o


16/26

1 0

b o t t o m , p l a c e i n v e r t e r s o n p i n s 2 a n d 3 o f t h e r s t A N D , p i n 2 o f t h e s e c o n d A N D , a n d p i n 3 o f t h e

t h i r d A N D .

5 . N o w s e l e c t t h e O R - 4 d e v i c e a n d p l a c e i t t o t h e r i g h t o f a l l t h e A N D - 3 ' s .

6 . W i r e e a c h o f t h e o u t p u t s f r o m t h e A N D s t o t h e O R - 4 c i r c u i t . ( S e e W i r i n g i n t h e r e f e r e n c e s e c t i o n . )

7 . C o n n e c t t h e s i g n a l l i n e s g o i n g i n t o p i n 2 o f e a c h A N D g a t e . T h e c o n n e c t i o n s h o u l d b e s u c h t h a t t h e

s i g n a l l i n e g o e s t h r o u g h a n y a p p l i c a b l e i n v e r t e r , a f t e r t h e c o n n e c t i o n h a s b e e n m a d e . S i m i l a r l y , c o n n e c t

a l l t h e s i g n a l l i n e s g o i n g i n t o p i n 3 o f e a c h A N D g a t e . T h e s e w i l l b e t h e S e l e c t l i n e s .

8 . F r o m t h e l i b r a r y s e l e c t i o n d r o p - d o w n l i s t , c h o o s e S i m u l a t i o n I / O . D o u b l e c l i c k o n t h e B i n a r y P r o b e

o p t i o n a n d h o o k i t u p t o t h e o u t p u t o f y o u r m u l t i p l e x o r . T o o r i e n t t h e s w i t c h s i g n a l s o t h a t t h e s w i t c h

c o n n e c t s t o t h e o u t p u t , u s e t h e a r r o w k e y s w h i l e p l a c i n g t h e c o m p o n e n t . N o t i c e t h a t t h e b i n a r y p r o b e

s h o w s a n X i n i t s d i s p l a y . S i n c e t h e i n p u t s t o t h e c i r c u i t h a v e n o t y e t b e e n d e n e d , t h e o u t p u t i s

u n d e t e r m i n e d .

9 . S e l e c t t h e B i n a r y S w i t c h c o m p o n e n t a n d p l a c e t w o o f t h e m o n y o u r d r a w i n g . H o o k o n e o f t h e m t o

e a c h o f t h e c o m b i n e d i n p u t s i g n a l l i n e s i n t o t h e m u l t i p l e x o r . T h o s e w i l l b e t h e s e l e c t o r l i n e s . S e l e c t

4 m o r e b i n a r y s w i t c h e s a n d h o o k t h e m u p t o t h e m u l t i p l e x o r i n p u t l i n e s .

1 0 . N a m i n g c o m p o n e n t s o f y o u r c i r c u i t w i l l h e l p y o u t o r e m e m b e r t h e i r f u n c t i o n . S e l e c t t h e w r i t i n g t o o l

f r o m t h e t o o l p a l e t t e a n d n a m e t h e d e v i c e s a n d s i g n a l s . N a m e t h e i n p u t s i g n a l s , A , B , C , a n d D , a n d

t h e A N D g a t e s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s e l e c t i o n o f e a c h o f t h o s e s i g n a l s . N a m e y o u r s e l e c t l i n e s a n d

o u t p u t .

1 1 . T u r n o n o n e o f t h e i n p u t l i n e s a t a t i m e , a n d u s e t h e s e l e c t o r s t o s e l e c t t h a t v a l u e .

1 2 . H a v i n g t o t u r n e a c h b i n a r y s w i t c h o n a n d o i n d i v i d u a l l y c a n b e l a b o r i o u s . R e p l a c e t h e 4 i n p u t b i n a r y

s w i t c h e s w i t h a s i n g l e H E X K e y b o a r d . W h a t v a l u e s o f t h e H E X a r e c o n v e n i e n t f o r t e s t i n g t h e c i r c u i t ?

U s e b i n a r y p r o b e s o n t h e o u t p u t s o f t h e h e x i f y o u g e t t i r e d o f c o n v e r t i n g i n y o u r h e a d t o d e t e r m i n e

w h i c h s i g n a l s a r e h i g h .


17/26

C h a p t e r 1

A p p e n d i c e s a n d R e f e r e n c e s

1 . 1 P r o p o s i t i o n a l L o g i c : n o r m a l f o r m s

1

1 . 1 . 1 C N F , D N F , . . . ( E N u f F a l r e a d y ! )

I n h i g h s c h o o l a l g e b r a , y o u s a w t h a t w h i l e x3 4x a n d x (x 2) (x + 2) a r e e q u i v a l e n t , t h e s e c o n d f o r m i s p a r t i c u l a r l y u s e f u l i n l e t t i n g y o u q u i c k l y k n o w t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n . S i m i l a r l y , i n B o o l e a n a l g e b r a t h e r e

a r e c e r t a i n c a n o n i c a l n o r m a l f o r m s w h i c h h a v e n i c e p r o p e r t i e s .

A f o r m u l a i n C o n j u n c t i v e N o r m a l F o r m , o r C N F , i s t h e c o n j u n c t i o n o f C N F c l a u s e s . E a c h c l a u s e

i s a f o r m u l a o f a s i m p l e f o r m : a d i s j u n c t i o n o f p o s s i b l y - n e g a t e d p r o p o s i t i o n s .

E x a m p l e 1 . 1

c a b i s e q u i v a l e n t t o (a c) (b c). T h i s l a t t e r f o r m u l a i s i n C N F , s i n c e i t i s t h e c o n j u n c t i o n o f d i s j u n c t i o n s , a n d e a c h d i s j u n c t i o n c o n s i s t s o n l y o f p r o p o s i t i o n s a n d n e g a t e d

p r o p o s i t i o n s .

E x a m p l e 1 . 2

T h e c o n j u n c t i o n s a n d d i s j u n c t i o n s n e e d n o t b e b i n a r y . T h e f o l l o w i n g f o r m u l a i s a l s o i s C N F .

a (a b c) (b d e f)N o t e t h a t i t s r s t c l a u s e i s j u s t o n e n e g a t e d p r o p o s i t i o n . I t i s s t i l l a p p r o p r i a t e t o t h i n k o f t h i s

a s a d i s j u n c t i o n , s i n c e .

A n o t h e r f o r m a t , D i s j u n c t i v e N o r m a l F o r m , o r D N F i s t h e d u a l o f c o n j u n c t i v e n o r m a l f o r m . A D N F

f o r m u l a i s t h e d i s j u n c t i o n o f D N F c l a u s e s , e a c h a c o n j u n c t i o n o f p o s s i b l y - n e g a t e d p r o p o s i t i o n s .

E x a m p l e 1 . 3

a b c i s e q u i v a l e n t t o a b c w h i c h i s i n D N F : t h r e e d i s j u n c t i o n s , e a c h b e i n g a c l a u s e

w i t h o n l y o n e t e r m . ( I t a l s o h a p p e n s t o b e i n C N F a s i n g l e c l a u s e w i t h t h r e e t e r m s ! ) I t i s

a l s o e q u i v a l e n t t o t h e m o r e e s h e d o u t D N F f o r m u l a w h e r e w e i n s i s t t h a t e a c h c l a u s e i n c l u d e a l l

t h r e e v a r i a b l e s . W e e n d u p w i t h a f o r m u l a t h a t i n c l u d e s e a c h p o s s i b l e c l a u s e e x c e p t a b c:

T h a t i s , t h e f o r m u l a (a b c) (a b c) (a b c) (a b c)

(a b c) (a b c) (a b c).

a s i d e : E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g c o u r s e s , c o m i n g f r o m m o r e o f a c i r c u i t p e r s p e c t i v e , s o m e t i m e s c a l l

C N F p r o d u c t - o f - s u m s , a n d c a l l D N F s u m - o f - p r o d u c t s , b a s e d o n , b e i n g a n a l o g o u s t o + , * .

A n y B o o l e a n f u n c t i o n c a n b e r e p r e s e n t e d i n C N F a n d i n D N F . O n e w a y t o o b t a i n C N F a n d D N F f o r m u l a s

i s b a s e d u p o n t h e t r u t h t a b l e f o r t h e f u n c t i o n .

1

T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 0 7 5 / 1 . 1 2 / > .

1 1


18/26

1 2

C H A P T E R 1 . A P P E N D I C E S A N D R E F E R E N C E S

A D N F f o r m u l a r e s u l t s f r o m l o o k i n g a t a t r u t h t a b l e , a n d f o c u s i n g o n t h e r o w s w h e r e t h e f u n c t i o n i s

t r u e : A s i f s a y i n g I ' m i n t h i s r o w , o r i n t h i s r o w , o r . . . : F o r e a c h r o w w h e r e t h e f u n c t i o n i s t r u e ,

f o r m a c o n j u n c t i o n o f t h e p r o p o s i t i o n s . ( E . g . , f o r t h e r o w w h e r e a i s false , a n d b i s true, f o r m a b . )N o w , f o r m t h e d i s j u n c t i o n o f a l l t h o s e c o n j u n c t i o n s .

A C N F f o r m u l a i s t h e p e s s i m i s t i c a p p r o a c h , f o c u s i n g o n t h e r o w s w h e r e t h e f u n c t i o n i s f a l s e : I ' m n o t

i n t h i s r o w , a n d n o t i n t h i s r o w , a n d . . . . F o r e a c h r o w w h e r e t h e f u n c t i o n i s f a l s e , c r e a t e a f o r m u l a

f o r n o t i n t h i s r o w : ( E . g . , i f i n t h i s r o w a i s false a n d b i s true f o r m (a b); t h e n n o t i c e t h a t b y D e M o r g a n ' s l a w , t h i s i s a b a d i s j u n c t . N o w , f o r m t h e c o n j u n c t i o n o f a l l t h o s e d i s j u n c t i o n s .

E x a m p l e 1 . 4

T r u t h t a b l e e x a m p l e

a b c U n k n o w n f u n c t i o n

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T a b l e 1 . 1

F o r C N F , t h e f a l s e r o w s g i v e u s t h e f o l l o w i n g v e c l a u s e s :

a b c

a b c

a b c

a b c

a b c

a n d t h e f u l l f o r m u l a i s t h e c o n j u n c t i o n o f t h e s e . E s s e n t i a l l y , e a c h c l a u s e r u l e s o u t o n e r o w a s b e i n g

t r u e .

F o r D N F , t h e t r u e r o w s g i v e u s t h e f o l l o w i n g t h r e e c l a u s e s :

a b c

a b c

a

b

c

a n d t h e f u l l f o r m u l a i s t h e d i s j u n c t i o n o f t h e s e . E s s e n t i a l l y , e a c h c l a u s e a l l o w s o n e r o w t o b e t r u e .

T h i s s h o w s t h a t , f o r a n y a r b i t r a r i l y c o m p l i c a t e d W F F , w e c a n n d a n e q u i v a l e n t W F F i n C N F o r D N F .

T h e s e p r o v i d e u s w i t h t w o v e r y r e g u l a r a n d r e l a t i v e l y u n c o m p l i c a t e d f o r m s t o u s e .

E x e r c i s e 1 . 1 ( S o l u t i o n o n p . 1 5 . )

T h e a b o v e e x a m p l e ( E x a m p l e 1 . 4 ) p r o d u c e d C N F a n d D N F f o r m u l a s f o r a B o o l e a n f u n c t i o n , b u t

t h e y a r e n o t t h e s i m p l e s t s u c h f o r m u l a s . F o r f u n , c a n y o u n d s i m p l e r o n e s ?


19/26

1 3

1 . 1 . 1 . 1 N o t a t i o n f o r D N F , C N F

S o m e t i m e s y o u ' l l s e e t h e f o r m o f C N F a n d D N F e x p r e s s e d i n a n o t a t i o n w i t h s u b s c r i p t s .

D N F i s i

i, w h e r e e a c h c l a u s e

ii s

jj

, w h e r e e a c h i s a p r o p o s i t i o n a l v a r i a b l e ( Prop) , o r a n e g a t i o n o f o n e ( Prop) .

C N F i s ii , w h e r e e a c h c l a u s e i i s jj , w h e r e e a c h i s a g a i n a p r o p o s i t i o n a l v a r i a b l e ( Prop) , o r a n e g a t i o n o f o n e ( Prop) .

F o r e x a m p l e , i n t h e C N F f o r m u l a (a b) (a b c) (a b) w e h a v e 2 = a b cw i t h i n t h a t c l a u s e w e h a v e 1 = a.

O n e q u e s t i o n t h i s n o t a t i o n b r i n g s u p :

W h a t i s t h e d i s j u n c t i o n o f a s i n g l e c l a u s e ? W e l l , i t ' s r e a s o n a b l e t o s a y t h a t . N o t e t h a t t h i s i s

a l s o e q u i v a l e n t t o false . W h a t i s t h e d i s j u n c t i o n o f z e r o c l a u s e s ? W e l l , i f w e s t a r t w i t h false a n d r e m o v e t h e , t h a t

l e a v e s u s w i t h false ! A l t e r n a t e l y , i m a g i n e w r i t i n g a f u n c t i o n w h i c h t a k e s a l i s t o f b o o l e a n s , a n d r e t u r n s t h e o f a l l o f t h e m t h e n a t u r a l b a s e c a s e f o r t h i s r e c u r s i v e l i s t - p r o c e s s i n g p r o g r a m t u r n s o u t t o b e

false . I n d e e d , t h i s i s t h e a c c e p t e d d e n i t i o n o f t h e e m p t y d i s j u n c t i o n . I t f o l l o w s f r o m false b e i n g t h e i d e n t i t y e l e m e n t f o r . C o r r e s p o n d i n g l y , a c o n j u n c t i o n o f z e r o c l a u s e s i s t r u e .

A c t u a l l y , t h a t s u b s c r i p t n o t a t i o n a b o v e i s n ' t q u i t e c o r r e c t : i t f o r c e s e a c h c l a u s e t o b e t h e s a m e l e n g t h ,

w h i c h i s n ' t a c t u a l l y r e q u i r e d f o r C N F o r D N F . F o r f u n , y o u c a n t h i n k a b o u t h o w t o p a t c h i t u p . ( H i n t :

d o u b l e - s u b s c r i p t i n g . )

N o t e t h a t o f t e n o n e o f t h e s e f o r m s m i g h t b e m o r e c o n c i s e t h a n t h e o t h e r . H e r e a r e t w o e q u i v a l e n t l y v e r b o s e

w a y s o f e n c o d i n g true, i n C N F a n d D N F r e s p e c t i v e l y : (a a) (b b) . . . (z z) i s e q u i v a l e n t t o (a b c . . . y z) (a b c . . . y z) (a b c . . . y z) . . . (a b . . . y z) . T h e r s t v e r s i o n c o r r e s p o n d s t o e n u m e r a t i n g t h e c h o i c e s f o r e a c h

l o c a t i o n o f a W a t e r W o r l d b o a r d ; i t h a s 2 6 t w o - v a r i a b l e c l a u s e s . T h i s m a y s e e m l i k e a l o t , b u t c o m p a r e i t t o

t h e s e c o n d v e r s i o n , w h i c h c o r r e s p o n d s t o e n u m e r a t i n g a l l p o s s i b l e W a t e r W o r l d b o a r d s e x p l i c i t l y : i t h a s a l l

p o s s i b l e 2 6 - v a r i a b l e c l a u s e s ; t h e r e a r e 226 6 4 b i l l i o n o f t h e m !

1 . 2 P r o p o s i t i o n a l E q u i v a l e n c e s

2

T h e f o l l o w i n g l i s t s s o m e p r o p o s i t i o n a l f o r m u l a e q u i v a l e n c e s . R e m e m b e r t h a t w e u s e t h e s y m b o l a s a

r e l a t i o n b e t w e e n t w o W F F s , n o t a s a c o n n e c t i v e i n s i d e a W F F . I n t h e s e , , , a n d a r e m e t a - v a r i a b l e s

s t a n d i n g f o r a n y W F F .

2

T h i s c o n t e n t i s a v a i l a b l e o n l i n e a t < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 4 0 / 2 . 2 5 / > .


20/26

1 4

C H A P T E R 1 . A P P E N D I C E S A N D R E F E R E N C E S

P r o p o s i t i o n a l L o g i c E q u i v a l e n c e s

D o u b l e C o m p l e m e n t a t i o n ()

C o m p l e m e n t true false

I d e n t i t y false true

D o m i n a n c e true true false false

I d e m p o t e n c y

A b s o r p t i o n ( )

R e d u n d a n c y ( )

D e M o r g a n ' s L a w s ( ) ( )

A s s o c i a t i v i t y ( ) ( ) ( ) ( )

C o m m u t a t i v i t y

D i s t r i b u t i v i t y ( ) ( ) ( )

T a b l e 1 . 2

E q u i v a l e n c e s f o r i m p l i c a t i o n a r e o m i t t e d a b o v e f o r b r e v i t y a n d f o r t r a d i t i o n . T h e y c a n b e d e r i v e d , u s i n g

t h e d e n i t i o n a b a b .

E x a m p l e 1 . 5

F o r e x a m p l e , u s i n g I d e n t i t y a n d C o m m u t a t i v i t y , w e h a v e true b true b false b b false b .


21/26

1 5

S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s i n C h a p t e r 1

S o l u t i o n t o E x e r c i s e 1 . 1 ( p . 1 2 )

C N F :

(a b) (a b c) (a b) D N F : (a b) (a b c)

a s i d e : K a r n a u g h m a p s

3

a r e a g e n e r a l t e c h n i q u e f o r n d i n g m i n i m a l C N F a n d D N F f o r m u l a s .

T h e y a r e m o s t e a s i l y u s e d w h e n o n l y a s m a l l n u m b e r o f v a r i a b l e s a r e i n v o l v e d . W e w o n ' t w o r r y

a b o u t m i n i m i z i n g f o r m u l a s o u r s e l v e s , t h o u g h .

3

h t t p : / / w w w . e e . s u r r e y . a c . u k / P r o j e c t s / L a b v i e w / m i n i m i s a t i o n / k a r n a u g h . h t m l


22/26

1 6

G L O S S A R Y

G l o s s a r y

K K a r n a u g h M a p

A v i s u a l m a p o f t h e t r u t h t a b l e o f a

b o o l e a n e x p r e s s i o n a n d a n a l g o r i t h m f o r

r e m o v i n g r e d u n d a n t e l e m e n t s t o r e a l i z e a

m i n i m i z e d b o o l e a n e x p r e s s i o n .

L l o g i c a l l y c o m p l e t e

A s e t o f c i r c u i t g a t e s o r l o g i c a l e l e m e n t s i s

l o g i c a l l y c o m p l e t e i f a n y b o o l e a n f u n c t i o n

r e p r e s e n t a b l e b y a t r u t h t a b l e c a n b e

r e a l i z e d u s i n g o n l y g a t e s o r e l e m e n t s f r o m

t h a t s e t .

E x a m p l e : A N D , O R , a n d N O T i s a

l o g i c a l l y c o m p l e t e s e t . N A N D i s l o g i c a l l y

c o m p l e t e . N O R i s l o g i c a l l y c o m p l e t e .


23/26

B i b l i o g r a p h y

[ 1 ] R o b e r t J u m p . N A N D / N O R N e t w o r k s . U n p u b l i s h e d c o u r s e n o t e s f r o m E l e c 3 2 6 , R i c e U n i v e r s i t y , D e -

p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l a n d C o m p u t e r E n g i n e e r i n g , H o u s t o n T X 7 7 2 5 1 , 2 0 0 4 .

1 7


24/26

1 8

I N D E X

I n d e x o f K e y w o r d s a n d T e r m s

K e y w o r d s a r e l i s t e d b y t h e s e c t i o n w i t h t h a t k e y w o r d ( p a g e n u m b e r s a r e i n p a r e n t h e s e s ) . K e y w o r d s

d o n o t n e c e s s a r i l y a p p e a r i n t h e t e x t o f t h e p a g e . T h e y a r e m e r e l y a s s o c i a t e d w i t h t h a t s e c t i o n . E x .

a p p l e s , 1 . 1 ( 1 ) T e r m s a r e r e f e r e n c e d b y t h e p a g e t h e y a p p e a r o n . E x . a p p l e s , 1

CC N F , 1 1

C N F c l a u s e s , 1 1

C o n j u n c t i v e N o r m a l F o r m , 1 1

DD e M o r g a n ' s L a w , ( 1 )

D e s i g n W o r k s , ( 5 )

D i g i t a l L o g i c S i m u l a t o r , ( 5 )

D i s j u n c t i v e N o r m a l F o r m , 2 , 1 1

D N F , 1 1

D N F c l a u s e s , 1 1

GG a t e c o n v e r s i o n , ( 1 )

K K a r n a u g h M a p ' s , 1

L L o g i c a l C o m p l e t e n e s s , ( 1 )

l o g i c a l l y c o m p l e t e , 1

P

p r o d u c t - o f - s u m s , 1 1

S S u m o f P r o d u c t s , 2

s u m - o f - p r o d u c t s , 1 1


25/26

A T T R I B U T I O N S 1 9

A t t r i b u t i o n s

C o l l e c t i o n : F u n d a m e n t a l s o f C o m p u t e r E n g i n e e r i n g

E d i t e d b y : K a t h e r i n e F l e t c h e r

U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / c o l 1 0 3 4 7 / 1 . 4 /

L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 2 . 0 /

M o d u l e : " A n a l g o r i t h m t o i m p l e m e n t a b o o l e a n f u n c t i o n u s i n g o n l y N A N D ' s o r o n l y N O R ' s . "

B y : K a t h e r i n e F l e t c h e r

U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 3 2 4 0 / 1 . 6 /

P a g e s : 1 - 3

C o p y r i g h t : K a t h e r i n e F l e t c h e r


M o d u l e : " D e s i g n W o r k s D i g i t a l S i m u l a t i o n S o f t w a r e T u t o r i a l "

B y : K a t h e r i n e F l e t c h e r

U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 4 2 6 9 / 1 . 3 /

P a g e s : 5 - 1 0

C o p y r i g h t : K a t h e r i n e F l e t c h e r


M o d u l e : " P r o p o s i t i o n a l L o g i c : n o r m a l f o r m s "

B y : I a n B a r l a n d , P h o k i o n K o l a i t i s , M o s h e V a r d i , M a t t h i a s F e l l e i s e n

U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 2 0 7 5 / 1 . 1 2 /

P a g e s : 1 1 - 1 3

C o p y r i g h t : I a n B a r l a n d , P h o k i o n K o l a i t i s , M o s h e V a r d i , M a t t h i a s F e l l e i s e n

L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 1 . 0

M o d u l e : " R e f e r e n c e : p r o p o s i t i o n a l e q u i v a l e n c e s "

U s e d h e r e a s : " P r o p o s i t i o n a l E q u i v a l e n c e s "

B y : I a n B a r l a n d , J o h n G r e i n e r , P h o k i o n K o l a i t i s , M o s h e V a r d i , M a t t h i a s F e l l e i s e n

U R L : h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 5 4 0 / 2 . 2 5 /

P a g e s : 1 3 - 1 4

C o p y r i g h t : I a n B a r l a n d , J o h n G r e i n e r , P h o k i o n K o l a i t i s , M o s h e V a r d i , M a t t h i a s F e l l e i s e n

L i c e n s e : h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 1 . 0


26/26

A b o u t C o n n e x i o n s

S i n c e 1 9 9 9 , C o n n e x i o n s h a s b e e n p i o n e e r i n g a g l o b a l s y s t e m w h e r e a n y o n e c a n c r e a t e c o u r s e m a t e r i a l s a n d

m a k e t h e m f u l l y a c c e s s i b l e a n d e a s i l y r e u s a b l e f r e e o f c h a r g e . W e a r e a W e b - b a s e d a u t h o r i n g , t e a c h i n g a n d

l e a r n i n g e n v i r o n m e n t o p e n t o a n y o n e i n t e r e s t e d i n e d u c a t i o n , i n c l u d i n g s t u d e n t s , t e a c h e r s , p r o f e s s o r s a n d

l i f e l o n g l e a r n e r s . W e c o n n e c t i d e a s a n d f a c i l i t a t e e d u c a t i o n a l c o m m u n i t i e s .

C o n n e x i o n s ' s m o d u l a r , i n t e r a c t i v e c o u r s e s a r e i n u s e w o r l d w i d e b y u n i v e r s i t i e s , c o m m u n i t y c o l l e g e s , K - 1 2

s c h o o l s , d i s t a n c e l e a r n e r s , a n d l i f e l o n g l e a r n e r s . C o n n e x i o n s m a t e r i a l s a r e i n m a n y l a n g u a g e s , i n c l u d i n g

E n g l i s h , S p a n i s h , C h i n e s e , J a p a n e s e , I t a l i a n , V i e t n a m e s e , F r e n c h , P o r t u g u e s e , a n d T h a i . C o n n e x i o n s i s p a r t

o f a n e x c i t i n g n e w i n f o r m a t i o n d i s t r i b u t i o n s y s t e m t h a t a l l o w s f o r P r i n t o n D e m a n d B o o k s . C o n n e x i o n s

h a s p a r t n e r e d w i t h i n n o v a t i v e o n - d e m a n d p u b l i s h e r Q O O P t o a c c e l e r a t e t h e d e l i v e r y o f p r i n t e d c o u r s e

m a t e r i a l s a n d t e x t b o o k s i n t o c l a s s r o o m s w o r l d w i d e a t l o w e r p r i c e s t h a n t r a d i t i o n a l a c a d e m i c p u b l i s h e r s .

Fundamentals of Computer Engineering

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