1 1. FUNCII INJECTIVE Considerm funcia i . Studiind diferena valorilor funciei în , se observ c: - dac atunci , - dac atunci . Aadar, funcia are urmatoarea proprietate: „oricror argumente diferite le corespund valori ale funciei diferite.“ Figura 1 Aceast proprietate este specific unei clase importante de funcii. 1.1. Definiie. Funcia se numete funcie injectiv (sau injecie) dac pentru oricare dou elemente cu proprietatea c rezult c . Revenind la funcia de gradul întâi putem spune c aceasta este injectiv.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
1. FUNCŢII INJECTIVE
Considerăm funcţia şi .
Studiind diferenţa valorilor funcţiei în ,
se observă că:
- dacă atunci ,
- dacă atunci .
Aşadar, funcţia are urmatoarea proprietate: „oricăror argumente diferite le
corespund valori ale funcţiei diferite.“
Figura 1
Această proprietate este specifică unei clase importante de funcţii.
1.1. Definiţie. Funcţia se numeşte funcţie injectivă (sau
injecţie) dacă pentru oricare două elemente cu proprietatea că
rezultă că .
Revenind la funcţia de gradul întâi
putem spune că aceasta este injectivă.
2
Funcţia de gradul al doilea
nu este injectivă întrucât pentru orice avem .
Definiţia funcţiei injective este echivalentă cu propoziţia următoare.
1.2. Propoziţie. Funcţia este injectivă dacă şi numai dacă
oricare ar fi cu proprietatea că rezultă că .
Demonstraţie. Proprietatea de injectivitate a fost definită ca o implicaţie de
forma în care şi sunt propoziţiile următoare:
şi .
Propoziţia 1.2 rezultă din echivalenţa logică dintre propoziţia şi
contrara ei . ■
O condiţie suficientă ca o funcţie să fie injectivă este dată în propoziţia
următoare.
1.3. Propoziţie. Dacă funcţia este strict monotonă pe atunci
este funcţie injectivă.
Demonstraţie. Fie cu proprietatea că . Presupunem că
. Atunci dacă este strict crescătoare, respectiv
dacă este strict descrescătoare. Aşadar şi deci este
injectivă. ■
În propoziţia următoare este dată o caracterizare geometrică a funcţiilor
numerice injective (obţinută din definiţie).
1.4. Propoziţie. Funcţia cu este injectivă dacă şi
numai dacă orice paralelă la axa dusă prin punctele mulţimii ,
reprezentată pe axa , intersectează graficul lui în cel mult un punct.
În propoziţia următoare este dată o caracterizare a funcţiilor numerice
injective cu ajutorul operaţiei de “simplificare”.
3
1.5. Teoremă. Funcţia este injectivă dacă şi numai dacă
pentru orice mulţime şi orice funcţii cu rezultă
.
Demonstraţie. Presupunem că este injectivă şi că , adică
pentru orice . Funcţia fiind injectivă rezultă
pentru orice , ceea ce înseamnă că .
Invers, să presupunem că pentru orice mulţime şi orice funcţii
cu avem şi că nu este injectivă. Atunci există
, astfel încât . Pe mulţimea definim
funcţiile astfel , , . Atunci avem
şi
.
Înseamnă că şi , ceea ce vine în contradicţie cu presupunerea de
mai sus. ■
2. FUNCŢII SURJECTIVE
Fie funcţiile şi date cu ajutorul
diagramelor:
Figura 2
4
Din studiul diagramelor se observă că fiecare element al mulţimii ,
codomeniul funcţiei , este valoare a funcţiei , în timp ce elementul nu este
valoare a funcţiei .
Proprietatea funcţiei ca fiecare element al codomeniului să fie valoare a
funcţiei, este caracteristică unei clase speciale de funcţii.
2.1. Definiţie. Funcţia se numeşte funcţie surjectivă (sau
surjecţie) dacă pentru orice element y B există un element x A cu proprietatea
că .
Revenind la funcţiile f şi g definite prin diagramele din figura 1, rezultă că
funcţia este funcţie surjectivă, iar funcţia nu este funcţie surjectivă.
Funcţia de gradul întâi este funcţie
injectivă.
O funcţie nu este surjectivă dacă există y B cu proprietatea că
pentru orice x A avem .
Având o funcţie şi submulţimile , mulţimea
există astfel încât
se numeşte imaginea mulţimii prin , iar mulţimea
se numeşte preimaginea mulţimii .
Propoziţia următoare oferă caracterizări ale funcţiilor surjective.
2.2. Propoziţie. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:
a) Funcţia este surjectivă;
b) ;
c) Pentru orice y B ecuaţia cu necunoscuta are cel puţin o
soluţie în .
d) Pentru orice y B avem .
5
Demonstraţie. Presupunem că este surjectivă. Atunci oricare ar fi y B
există un element x A cu proprietatea că , ceea ce înseamnă că
şi deci . Cum rezultă că şi am demonstrat implicaţia a)
b) .
Dacă atunci orice element din aparţine mullţimii şi deci
există x A încât . Astfel are loc implicaţia b) c) .
Din existenţa soluţiei ecuaţiei pentru orice y B rezultă că
şi deci c) d).
Mai trebuie demonstrat că d) a). Pentru aceasta considerăm un element y
B . Cum rezultă că există astfel încât ceea ce înseamnă
că este surjectivă. ■
O caracterizare geometrică a funcţiilor numerice surjective (obţinută din
definiţie) este dată în propoziţia următoare.
2.3. Propoziţie. Funcţia cu este surjectivă dacă şi
numai dacă orice paralelă la axa dusă prin punctele mulţimii ,
reprezentată pe axa , intersectează graficul lui în cel puţin un punct.
În propoziţia următoare este dată o caracterizare a funcţiilor numerice
surjective cu ajutorul operaţiei de “simplificare”.
2.4. Teoremă. Funcţia este surjectivă dacă şi numai dacă
pentru orice mulţime şi orice funcţii cu rezultă
.
Demonstraţie. Presupunem că este surjectivă. Atunci oricare ar fi y B
există un element x A cu proprietatea că . Atunci din
rezultă că pentru orice pentru orice y B avem , ceea ce înseamnă că
.
Invers, să presupunem că pentru orice mulţime şi orice funcţii
cu avem şi că nu este surjectivă. Atunci
există astfel încât . Presupunem că . Definim funcţiile
6
astfel şi . Atunci pentru
orice x A avem . Deci
şi , ceea ce constituie o contradicţie. Considerăm acum cazul
. Fie . Din rzultă că există două aplicaţii diferite
. Din avem , ceea ce reprezintă iarăşi o
contradicţie.
■
3. FUNCŢII BIJECTIVE
2.1. Definiţie. Funcţia se numeşte funcţie bijectivă (sau
bijecţie) dacă este injectivă şi surjectivă.
Un exemplu de funcţie bijectivă este funcţia de gradul întâi
.
Caracterizarea geometrică a funcţiilor numerice bijective este dată în
propoziţia următoare.
3.2. Propoziţie. Funcţia cu este bijectivă dacă şi
numai dacă orice paralelă la axa dusă prin punctele mulţimii ,
reprezentată pe axa , intersectează graficul lui exact într-un punct.
Alte caracterizări ale funcţiilor injective, surjective, bijective sunt date în
teoremele următoare.
3.3. Teoremă. Funcţia este injectivă dacă şi numai dacă
există o funcţie astfel încât , unde este funcţia identică
a mulţimii .
Demonstraţie. Presupunem că există o funcţie astfel încât
. Fie două funcţii pentru care avem . Atunci
7
, adică . Rezultă că şi conform teoremei
1.5, este funcţie injectivă.
Invers, presupunem că este funcţie injectivă şi fie . Dfinim funcţia
astfel , pentru care
obţinem , adică . ■
Funcţia cu proprietate din teorema 3.3 se numeşte retractă (inversă la
stânga) a funcţiei .
3.4. Teoremă. Funcţia este surjectivă dacă şi numai dacă
există o funcţie astfel încât , unde este funcţia identică a
mulţimii .
Demonstraţie. Presupunem că există o funcţie astfel încât
. Fie două funcţii pentru care avem . Atunci
, adică . Rezultă că şi conform teoremei
2.4, este funcţie surjectivă.
Invers, presupunem că este funcţie surjectivă. Pentru fiecare y B alegem
un astfel încât şi definim funcţia , . Pentru această
funcţie obţinem , adică . ■
Funcţia cu proprietate din teorema 3.4 se numeşte secţiune (inversă la
dreapta) a funcţiei .
3.5. Corolar. O funcţie este bijectivă dacă şi numai dacă are o
retractă şi o secţiune.
3.6. Corolar. a) O retractă a unei funcţii este surjectivă, iar o secţiune este
injectivă.
8
b) Dacă este funcţie bijectivă, este inversa lui ,
este retractă a lui şi este scţiune a lui , atunci .
3.7. Exemplu. Să se arate că funcţia , este
bijectivă.
Rezolvare. Considerăm cu . Atunci
şi mai departe deducem , ceea ce înseamnă că este
injectivă.
Fie acum . Determinăm încât . Deci trebuie să
avem . Rezolvând această ecuaţie în necunoscuta găsim .
Arătăm că , adică . În adevăr presupunând că am ajunge la
contradicţia . Înseamnă că este surjectivă.
În consecinţă este bijectivă. □
3.8. Exemplu de funcţie care este injectivă şi nu este surjectivă.
.
3.9. Exemplu de funcţie care este surjectivă şi nu este injectivă.