Funções Funções Trigonométricas Trigonométricas Casos Gerais Casos Gerais
Jan 26, 2016
Funções TrigonométricasFunções Trigonométricas
Casos GeraisCasos Gerais
As funções do tipo trigonométricas As funções do tipo trigonométricas são escritas na formasão escritas na forma
( ) . ( )f x a b trig cx d
a, b, c e d são constantes, com b e c diferentes de zero.
trig é uma das funções estudadas
ExemplosExemplos
( ) 3.cos , 0, 3, 1 0
( ) 2 5. 2 , 2, 5, 2 3 3
f x x temos a b c e d
f x tg x temos a b c e d
GráficosGráficos
Os valores de Os valores de a a e e bb alteram os valores de y. alteram os valores de y. O valor de O valor de a a faz com que o gráfico “suba”, faz com que o gráfico “suba”,
para a>0, e “desça”, para a<0, |para a>0, e “desça”, para a<0, |a|a| unidadesunidades
Exemplo: Exemplo: f(x)=2+sen(x)f(x)=2+sen(x)
O valor de O valor de b “esmaga” ou “estica” a b “esmaga” ou “estica” a função na função na verticalvertical
Se b>0, esticaSe b>0, estica Se 0<b<1, esmagaSe 0<b<1, esmaga Se b<0, fica simétrico em relação ao eixo Se b<0, fica simétrico em relação ao eixo
x, ou seja, troca de posição e estica.x, ou seja, troca de posição e estica.
Exemplo: Exemplo: f(x)= 3.senx, f(x)= 3.senx, b maior que zero.b maior que zero.
Exemplo: Exemplo: f(x)= (1/3).senx, f(x)= (1/3).senx, 0<b<1. 0<b<1.
Exemplo: Exemplo: f(x)= -3.senx, b<0.f(x)= -3.senx, b<0.
Os valores de Os valores de c c e e dd alteram os valores de x. alteram os valores de x. A constante A constante cc altera o período da função, ou altera o período da função, ou
seja, “estica” ou “esmaga” a função na seja, “estica” ou “esmaga” a função na horizontalhorizontal..
C>0, esmaga a funçãoC>0, esmaga a função 0<c<1, estica0<c<1, estica C<0, simétrica em relação ao eixo do xC<0, simétrica em relação ao eixo do x
f(x)=senxf(x)=senx
f(x)=sen(2x)f(x)=sen(2x)
f(x)=sen(1/2x)f(x)=sen(1/2x)
f(x)=sen(-1/2x)f(x)=sen(-1/2x)
Para calcular o período de uma função qualquer Para calcular o período de uma função qualquer basta usar basta usar
Período=Período=( )
| |
per trigo
c
ExemploExemplo
Calcule o período das funçõesCalcule o período das funções
( ) 1 2
3f x tg x
( )
| | 2
per tgp
c
( ) 3cos2
xf x
(cos) 24
1| |2
perp
c
A constanteA constante d faz com que o gráfico ande d faz com que o gráfico ande |d/c| para:|d/c| para:
Direita, se d<0Direita, se d<0 Esquerda, se d>0Esquerda, se d>0
ExercíciosExercícios
(UFRGS) Se (UFRGS) Se f(x)=a+b.senx f(x)=a+b.senx tem como tem como gráficográfico
então, qual o valor de a e b?então, qual o valor de a e b?
Observando o gráfico da função seno na Observando o gráfico da função seno na origem, ele vale 0.origem, ele vale 0.
Já o gráfico da questão, ele começa no 1. Já o gráfico da questão, ele começa no 1. É como se ele tivesse subido 1 unidade.É como se ele tivesse subido 1 unidade.
Logo, a=1Logo, a=1
A primeira concavidade da função seno é A primeira concavidade da função seno é voltada para baixo. Já no gráfico, ela é voltada para baixo. Já no gráfico, ela é voltada para cima, ou seja, houve uma voltada para cima, ou seja, houve uma translação em relação ao eixo do x.translação em relação ao eixo do x.
Quando isso acontece é porque o b é Quando isso acontece é porque o b é negativo. negativo.
Agora, qual o valor de b?Agora, qual o valor de b?
Analisando a função seno novamente, a Analisando a função seno novamente, a distância do começo do gráfico (x=0) até o distância do começo do gráfico (x=0) até o valor máximo e mínimo é 1.valor máximo e mínimo é 1.
O que é lógico porque O que é lógico porque f(x)=senx=1.senxf(x)=senx=1.senx
Já no gráfico da questão, a distância do Já no gráfico da questão, a distância do início até o valor máximo e mínimo são 2 início até o valor máximo e mínimo são 2 unidades.unidades.
Logo, b= -2Logo, b= -2
(Faap - SP) Considerando x entre 0° e 360°, o (Faap - SP) Considerando x entre 0° e 360°, o gráfico a seguir corresponde a:gráfico a seguir corresponde a:
a)a) y= sen(x+1)y= sen(x+1)
b)b) y= 1+sen xy= 1+sen x
c)c) y= sen x + cos x y= sen x + cos x
e) y= 1-cos xe) y= 1-cos x
2 2cosy sen x x
A dúvida é: a função é seno ou cosseno?A dúvida é: a função é seno ou cosseno?
A única alternativa que traz cosseno o A única alternativa que traz cosseno o valor de b vale -1 e a=1. O que não é valor de b vale -1 e a=1. O que não é verdade.verdade.
Sabemos pelas alternativas que a função Sabemos pelas alternativas que a função é a seno.é a seno.
O período não mudou, logo c=0.O período não mudou, logo c=0.
A distância do começo do gráfico até seus A distância do começo do gráfico até seus pontos de máximo e mínimo é 1, logo pontos de máximo e mínimo é 1, logo a=1.a=1.
Em relação ao eixo do x o gráfico do seno Em relação ao eixo do x o gráfico do seno não andou, logo d=0.não andou, logo d=0.
Assim, Assim, f(x)=1+sen x.f(x)=1+sen x.
Alternativa: bAlternativa: b