UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO Iris Lúcia Dantas FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA ABORDAGEM PARA O ENSINO MÉDIO Currais Novos/RN 2016
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FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA … · Esse destaque é porque a função logarítmica e sua inversa, a função exponencial, constituem uma única maneira de se descrever,
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
Iris Lúcia Dantas
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA ABORDAGEM
PARA O ENSINO MÉDIO
Currais Novos/RN
2016
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE - UFRN
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEDIS
ESPECIALIZAÇÃO EM ENSINO DE MATEMÁTICA PARA O ENSINO MÉDIO
Iris Lúcia Dantas
FUNÇÕES LOGARÍTMICAS E EXPONENCIAIS: UMA ABORDAGEM
PARA O ENSINO MÉDIO
Monografia apresentada ao Curso de
Especialização em Ensino de Matemática para o
Ensino Médio da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte - UFRN como parte dos
requisitos para obtenção do Título de Especialista
em Ensino de Matemática para o Ensino Médio.
Orientador: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos
Freire
Currais Novos/RN
2016
Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial
Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.
Dantas, Iris Lúcia.
Funções logarítmicas e exponenciais: uma abordagem para o Ensino Médio / Iris
Lúcia Dantas. – Currais Novos, RN, 2016.
34f. : il.
Orientador: Prof. Benedito Tadeu Vasconcelos Freire.
Monografia (Especialização) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Secretaria de Educação à Distância. Coordenação do Curso de Especialização em
b, pois caso f (𝛼) < b, logo ∃ x > 0 tal que f (𝛼) < f (x) < b. Mas f é uma função crescente, logo
𝛼 < x. Tomando n grande suficiente para que x −𝛼 >1
10𝑛 , então x > 𝛼 +1
10𝑛 .
Assim, 𝛼𝑛 +1
10𝑛 ≤ 𝛼 +1
10𝑛 < 𝑥 e como f é crescente, resulta que b < f(𝛼𝑛 + 1
10𝑛) ≤ f
(𝛼𝑛 + 1
10𝑛) < f(x), o que é um absurdo, pois f (x) < b.
Se f(x) > b, logo ∃ x > 0 tal que b < f (x) < f (𝛼). Como f é crescente, logo x < 𝛼, então x < 𝛼𝑛
para algum n ∈ N. Assim, f (x) < f (𝛼𝑛) ≤ b, ou seja, f (x) < b o que contaria b < f(x). Portanto,
f (𝛼) = b.
Corolário. Toda função logarítmica f: R+ → R é uma correspondência biunívoca (bijeção)
entre 𝑅+e R.
Prova
Uma bijeção é uma função que é injetiva e sobrejetiva. A função logarítmica é injetiva
pela Propriedade A (o fato de ser crescente implica na injetividade) e o Teorema 1 nos diz que
é sobrejetiva. Portanto, a função logarítmica é uma bijeção, o que significa dizer que possui
uma inversa.
Qualquer função f dá origem à uma tábua de valores, onde numa coluna à esquerda
põem-se os valores da variável x, pertencentes ao domínio, e noutra coluna, à direita, os valores
corresponde de f(x), pertencentes ao contra domínio, veja a seguir.
x f(x)
𝑥1 f (𝑥1)
𝑥2 f (𝑥2)
... ...
Para uma função qualquer pode ocorrer que diferentes valores de x corresponda o
mesmo valor f(x). O corolário acima mostra que toda tábua de logaritmos, isto é, tábua de
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valores de uma função logarítmica, pode ser lida da esquerda para direita, o que é normal, como
da direita para esquerda.
Dado um número real qualquer y, podemos buscar na tábua o número real positivo x do
qual y é o logaritmo. Como vimos acima, esta possibilidade é fundamental para o uso dos
logaritmos no cálculo aritmético. A tabela dos logaritmos, lida da direita para esquerda, é na
realidade a tábua dos valores da função inversa da função logarítmica, que chamaremos função
exponencial.
A função exponencial g, inversa da função logarítmica f, é definida por:
g: R → 𝑅+,
satisfazendo as propriedades seguintes:
a) g(x + y) = g (x) ∙ g (y), para todo x, y ∈ R.
b) As funções f e g satisfazem:
(g ∘ f) (x) = x, para todo x ∈ 𝑅+
(f ∘ g) (y) = y, para todo x ∈ 𝑅+,
onde (g ∘ f) significa a composição de funções.
Como consequência do fato de que uma função logarítmica é injetiva e sobre, segue
que, dada uma função logarítmica qualquer
f: R+ → R,
existe um único número real positivo a para o qual f(a) = 1. Este número é chamado a base do
logaritmo f.
Para explicitar a base, muitas vezes se escreve 𝑓𝑎(𝑥) em vez de f (x).
Observação:
Se 𝑓𝑎 e 𝑓𝑏 são funções logarítmicas, com 𝑓𝑎=𝑓𝑏=1 (ou seja, de bases a e b
respectivamente), então assegura a existência de uma constante positiva c tal que 𝑓𝑏(x) = c ∙ 𝑓𝑎(x) para todo x ∈ 𝑅+. Agora, fazendo x = a, resulta 𝑓𝑏(a) = c. Portanto, temos:
𝑓𝑏(x) = 𝑓𝑏(a) ∙ 𝑓𝑎(x), para todo x ∈ 𝑅+.
Esta é a fórmula de mudança de base de logaritmos. Na notação usada nos livros do
Ensino Médio, a fórmula de mudança de base de logaritmo é:
log𝑏 𝑥 = log𝑏 𝑎 ∙ log𝑎 𝑥 ou log𝑎 𝑥 = log𝑏 𝑥
log𝑏 𝑎
3.3 - Gráfico da Função Logarítmica
Reconhecer o gráfico da função logarítmica é de fundamental importância no trato com
as grandezas físicas cuja medida é feita com o uso de logaritmos, como por exemplo a
intensidade de som, a força de um terremoto, entre outras. Com relação ao gráfico cartesiano
da função logarítmica f(x) = log𝑎 𝑥, podemos dizer que:
1º) a função logarítmica é estritamente crescente se a > 1 e se 0 < a < 1, é estritamente
decrescente;
2º) o gráfico da função f (x) = log𝑎 𝑥 não toca o eixo y e não ocupa pontos nos quadrantes II e
III;
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3º) o gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1,0), isto é, f(1) = log𝑎 1 = 0;
4º) a função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente;
5º) a função logarítmica é injetiva e sobrejetiva, logo ela é bijetiva;
6º) na função logarítmica f(x) = log𝑎 𝑥(a > 0 e a ≠ 1), o eixo das ordenadas é uma assíntota
vertical do gráfico.
Figura 1: Gráfico das funções f(x) = log𝑎 𝑥 (a >1) e f(x) = log𝑎 𝑥 (0 < a < 1), obtido a partir do
programa GeoGebra.
3.4 - Logaritmos decimais
A fim de efetuar operações aritméticas, (antes do advento das calculadoras) o sistema
de logaritmos mais frequentemente utilizado era o de base 10, isto é, logaritmos decimais. A
vantagem de empregá-los resultava de adotarmos o sistema decimal de numeração.
A característica de log10 𝑥 é um número inteiro (positivo, negativo ou zero), o qual pode
ser encontrado pela posição da vírgula no desenvolvimento de x como fração decimal. Por
Portanto, as três condições são satisfeitas se, e somente se, 0 < x < 1
2.
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6. APLICAÇÕES
Daremos uma breve amostra de como a função 𝑒𝑥 e os logaritmos naturais surgem
espontaneamente em certas questões onde o aumento ou a diminuição de uma grandeza de faz
proporcionalmente ao valor da grandeza num dado instante.
6.1 - Juros contínuos (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 93)
Um capital e, empregado a uma taxa de k por cento ao ano, rende, no fim do ano, juros
no valor de kc/100. Ponhamos 𝛼 = 𝑘/100. Então, c renderá, no final de um ano, juros no valor
de 𝛼𝑐. Decorrido um ano, o capital torna-se a c + 𝛼𝑐, ou seja, c (1 + 𝛼). Passados dois anos, o
novo capital 𝑐1 = c (1 + 𝛼), empregado à mesma taxa, tornar-se-á igual a 𝑐1 = c (1 + 𝛼) = c (1
+ 𝛼)2. Em m anos, teremos c (1 + 𝛼)𝑚.
Se tomarmos uma fração 1/n de ano, o capital e, empregado à mesma taxa de juros,
deverá render 𝛼𝑐/𝑛 de juros, de modo que, decorrida a fração 1/n de ano, o capital c transforma-
se em
𝑐1 = 𝑐 +𝛼𝑐
𝑛= 𝑐 (1 +
𝛼
𝑛).
Empregando este novo capital 𝑐1 e esperando mais 1/n de ano, obtemos 𝑐1(1 + 𝛼/𝑛)
ou seja, c(1+ 𝛼/𝑛)2. Prosseguindo assim, vemos que, se dividimos o ano em n partes iguais e,
depois de decorrido cada um desses períodos de 1/n de ano, capitalizamos os juros rendidos,
reinvestindo sucessivamente à mesma taxa, quando chegar o fim do ano, em vez de c (1 + 𝛼),
obteremos um capital maior, ou seja, possuiremos
c (1+ 𝛼
𝑛)𝑛.
Um investidor exigente desejará que seus juros sejam capitalizados (isto é, juntados ao
capital) a cada instante. Se isto ocorrer, no fim do ano ele receberá em troca do investimento c,
o total de
lim𝑛→∞
𝑐(1 +𝛼
𝑛)𝑛 = c ∙ 𝑒𝛼.
Este tipo de transação, em que os juros são capitalizados continuamente, é o que se
chama de juros contínuos.
Assim, por exemplo, o capital de Cr$ 1,00 empregado a juros contínuos de 100% ao
ano, no final de um ano será transformado em e cruzeiros. Este fato pode ser usado para explicar
a um agiota o significado do número e. Se a taxa de juros é referida a anos (k% ao ano, 𝛼 =𝑘/100), então um capital c empregado a essa taxa será transformado, depois de t anos, em:
lim𝑛→∞
𝑐(1 +𝛼𝑡
𝑛)𝑛 = c ∙ 𝑒𝛼𝑡
Exemplo de aplicação (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 94)
Empregando-se um capital c a juros contínuos de 20% ao ano, em quanto tempo este
capital será dobrado?
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Solução
Aqui, 𝛼 =20
100= 0,2. Devemos achar o número t de anos de modo que,
c ∙ 𝑒0,2 𝑡 = 2c, ou seja, 𝑒0,2 𝑡 = 2.
Segue-se que 0,2 t = ln 2, donde
t = ln 2
0,2 =
0,693
0,2 = 3,46.
Assim o tempo necessário para dobrar o capital é de 3,46 anos, ou seja,
aproximadamente 3 anos e meio. Note-se que este tempo não depende do capital inicial. Fixada
a taxa de juros, leva-se o mesmo tempo para dobrar um capital grande ou um capital pequeno.
6.2 - Desintegração radioativa (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática.
SBM. 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996, pág. 95 e 96) Os átomos de uma substância radioativa (como o rádio ou o urânio) possuem uma
tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em outra
substância não-radioativa. Assim sendo, com o passar do tempo, a quantidade de substância
original diminui (aumentando, consequentemente, a massa da nova sustância transformada).
Isto é feito de tal maneira que, num determinado instante, a quantidade de matéria que se
desintegra de um corpo radioativo é proporcional à massa da substância original presente no
corpo naquele instante. A constante de proporcionalidade 𝛼 é determinada experimentalmente.
Cada substância radioativa tem sua constante de desintegração 𝛼.
Consideremos um corpo de massa 𝑀0, formado por uma substância radioativa cuja taxa
de desintegração é 𝛼. Se a desintegração se processasse instantaneamente, no fim de cada
segundo, sendo 𝑀0 a massa no tempo t = 0, decorrido o tempo t = 1 segundo, haveria uma perda
de 𝛼𝑀0 unidades de massa, restando apenas a massa
𝑀1 = 𝑀0 − 𝛼𝑀0 = 𝑀0(1 − 𝛼).
Decorridos 2 segundos, a massa restante seria
𝑀2 = 𝑀1(1− 𝛼) = 𝑀0(1 − 𝛼)2.
Em geral, passados s segundos, restaria a massa 𝑀𝑠 = 𝑀0(1 − 𝛼)𝑠.
Mas as coisas não se passam assim: a desintegração se processa continuamente.
Procurando uma aproximação melhor para o fenômeno, fixemos um inteiro n > 0 e imaginemos
que a desintegração se dá em cada intervalo de 1/n de segundo. Depois da primeira fração 1/n
de segundo a massa do corpo a reduziria a
𝑀0 − (𝛼
𝑛) 𝑀0 = 𝑀0 (1 −
𝛼
𝑛).
Decorrido 1 segundo, teriam ocorrido n desintegrações instantâneas e, efetuadas as n
reduções, restaria do corpo a massa 𝑀0(1 − 𝛼/𝑛)𝑛. Dividindo o intervalo [0,1] em um número
n cada vez maior de partes iguais, chegaremos à conclusão de que, ao final de 1 segundo, a massa do
corpo ficará reduzida a
lim𝑛 →∞
𝑀0 (1 −𝛼
𝑛)
𝑛= 𝑀0 ∙ 𝑒−𝛼.
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Se quisermos calcular a massa ao fim de t segundos, deveremos dividir o intervalo [0,t]
em n partes iguais. Em cada intervalo parcial a perda de massa será 𝑀0 ∙ 𝛼𝑡/𝑛. Repetindo o
argumento acima chegaremos à expressão
M(t) = 𝑀0 ∙ 𝑒−𝛼𝑡
que fornece a massa do corpo depois de decorridos t segundos.
É claro que, em vez de segundos, poderíamos ter adotado outra unidades de tempo.
Mudando a unidade de tempo, a constante 𝛼 deve ser alterada proporcionalmente.
Na prática, a constante 𝛼 fica determinada a partir de um número básico, chamado a
meia-vida da substância. A meia-vida de uma substância radioativa é o tempo necessário para
que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por aquela substância.
Exemplo de aplicação (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 97)
O polônio 218 tem meia-vida igual a 2 minutos e 45 segundos, enquanto o polônio 214
tem meia-vida de 1,64× 10−4 segundos. Os isótopos do rádio têm meia-vida conforme
indicamos abaixo:
rádio 226: meia-vida 1.620 anos
rádio 228: meia-vida 6,7 anos
rádio 223: meia-vida 11,68 dias
rádio 224: meia-vida 3,64 dias.
Os diversos isótopos do urânio têm uma meia-vida da ordem de 109anos. Se sabemos
que um certo elemento radioativo tem meia-vida igual a 𝑡0 unidades de tempo, isto significa
que uma unidade de massa desse elemento se reduz à metade no tempo 𝑡0. Assim,
1
2 = 𝑒−𝛼𝑡0 .
Tomando logaritmos, temos:
ln (1
2) = −𝛼𝑡0,
ou seja,
−ln 2 = −𝛼𝑡0,
donde
𝛼 = 𝑙𝑛2
𝑡0 .
Isto nos mostra como calcular a taxa de desintegração 𝛼 quando se conhece a meia-
vida 𝑡0. Reciprocamente, tem-se 𝑡0 = ln 2/𝛼, o que permite determinar a meia-vida 𝑡0 em
função da taxa 𝛼.
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6.3 - O método do carbono 14 (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática.
SBM. 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996, pág. 97 e 98)
O carbono 14, indicado por 𝐶14, é um isótopo radioativo do carbono, formado na
atmosfera devido ao bombardeio da terra por raios cósmicos. Através dos tempos, a quantidade
de 𝐶14 na atmosfera tem-se mantido constante porque sua produção é compensada por sua
desintegração. Os seres vivos absorvem e perdem 𝐶14 de modo que, em cada espécie, a taxa de
𝐶14 também se mantém constante. (O carbono 14 é criado nos vegetais durante o processo da
fotossíntese e absorvido pelos animais através da ingestão, direta ou indireta, de vegetais.)
Quando o ser morre, a absorção cessa mas o 𝐶14 nele existente continua a desintegrar-se. Este
fato pode ser usado para determinar a idade de um fóssil ou de um objeto muito antigo feito de
madeira.
Para isto, precisamos saber que a meia-vida do 𝐶14 é de 5570 anos. Como vimos acima,
segue-se daí que a constante de desintegração do 𝐶14 é
𝛼 = ln 2
5570 =
0,6931
5570 = 0, 0001244.
Exemplo de aplicação (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 98)
Vejamos como esse conhecimento foi usado para dirimir uma controvérsia. Num castelo
inglês existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos afirmavam ser a famosa Távola
Redonda do Rei Artur, soberano que viveu no século V. Por meio de um contador Geiger
(instrumento que mede radioatividade) constatou-se que a massa M = M(t) de 𝐶14 hoje existente
na mesa é 0,894 vezes a massa 𝑀0 de 𝐶14 que existe num pedaço de madeira viva com o mesmo
peso da mesa. 𝑀0 é também a massa de 𝐶14 que existia na mesa quando ela foi feita, há t anos.
Sabemos que,
M = 𝑀0 ∙ 𝑒−𝛼𝑡,
Donde M/𝑀0 = 𝑒−𝛼𝑡. Isto significa que 0,894 = 𝑒−0,0001244𝑡. Daí tiramos:
t = ln(0,894)
0,0001244 =
0,1121
0,0001244 = 901 anos.
Se a mesa fosse mesmo a Távola Redonda, ela deveria ter mais de 1500 anos.
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6.4 - Resfriamento de um corpo (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática.
SBM. 2ª edição, Rio de Janeiro, 1996, pág. 98)
Uma situação análoga à da desintegração radioativa é a de um objeto aquecido, colocado
num meio mais frio (ar ou água, por exemplo) cuja grande massa faz com que a temperatura
desse meio permaneça constante, sem ser afetada pela presença do objeto mais quente. A lei do
resfriamento de Newton afirma que, nessas condições, a diferença de temperatura D, entre o
objeto e o meio que o contém, decresce com uma taxa de variação proporcional a essa própria
diferença.
Como no caso da desintegração radioativa, esta lei se traduz matematicamente assim:
chamando 𝐷0 a diferença de temperatura no instante t = 0 e D(t) a diferença num instante t
qualquer, tem-se D(t) = 𝐷0 ∙ 𝑒−𝛼𝑡 onde a constante 𝛼 depende do material de que é constituída
a superfície do objeto.
Exemplo de aplicação (LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2ª edição,
Rio de Janeiro, 1996, pág. 99)
Num certo dia, a temperatura ambiente é de 30º. A água que fervia numa panela, cinco
minutos depois de apagado o fogo tem a temperatura de 65º. Quanto tempo depois de apagado
o fogo, a água atingirá a temperatura de 38º?
Solução
No momento em que se apagou o fogo (t = 0), a temperatura da água era de 100º e a do
ambiente 30º. Logo 𝐷0 = 100 − 30 = 70. Passados t minutos, a diferença da temperatura da
água para a do meio ambiente é dada por D(t) = 70 ∙ 𝑒−𝛼𝑡. Para determinar a constante 𝛼,