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Funções 12 (mat. ) · PDF fileEsta é a terceira de uma série de brochuras dedicadas ao tema "Funções" com as quais ... (O compasso de....

Nov 07, 2018

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  • 5

    ndice

    Introduo............................................................................................................. 7

    Fundamentao terica .......................................................................................

    11

    Limite e continuidade ................................................................................... 12

    Complementos sobre derivao ................................................................... 29

    Aplicaes das derivadas ao estudo do sentido da concavidade e dos pontos

    de inflexo de uma funo ................................................................

    38

    Funo exponencial ..................................................................................... 48

    Funo logartmica ....................................................................................... 60

    Relao do sentido de variao da funo com o sinal da derivada.

    Aplicao ao estudo dos extremos ...............................................................

    53

    Alguns modelos matemticos 70

    Actividades para a sala de aula ...........................................................................

    97

    Funo exponencial e crescimento exponencial ........................................... 97

    Funo logartmica ....................................................................................... 115

    Limites, assimptotas e continuidade ............................................................. 121

    Teorema de Bolzano-Cauchy e aplicaes numricas .................................. 124

    Funes derivveis, problemas, modelao matemtica... ...................... 126

    Estudo de funes ........................................................... ............................ 149

    Bibliografia ...........................................................................................................

    153

  • INTRODUO FUNES 12 ANO

    7

    INTRODUO

    Esta a terceira de uma srie de brochuras dedicadas ao tema "Funes" com as quais

    se pretendeu contribuir para uma leitura das novas orientaes do programa de

    Matemtica do ensino secundrio.

    Segundo o texto do programa no 12 so estudados de forma mais rigorosa conceitos j

    utilizados de forma intuitiva: limite, continuidade e derivada. Por todos estes assuntos j

    terem sido abordados nos 10 e 11 anos, desejvel que a leitura desta brochura seja

    feita ligando-a s anteriores.

    A fundamentao terica apresentada constitui um complemento de informao para os

    professores relativo aos conceitos em estudo.

    semelhana das brochuras anteriores, prope-se um conjunto de tarefas passveis de

    serem utilizadas directamente com os alunos.

    Atendendo ao facto de no 12 ano se manterem as orientaes metodolgicas dos anos

    anteriores: anlise de situaes da vida real, relevncia do raciocnio dedutivo e da

    comunicao, formas de trabalho e de avaliao diversificadas, utilizao obrigatria da

    calculadora, utilizao do computador, etc., optou-se este ano por no separar as

    actividades relativas a avaliao e recursos. Muitas das actividades podem ser utilizadas

    na avaliao e algumas delas constituem propostas de projectos a apresentar aos

    alunos. A ttulo de exemplo indicam-se: Rgua de clculo (pg. 69), Os sismos na

    Internet (pg. 137), Matemtica e msica (pg. 140), O compasso de Descartes e a

    curva logartmica (pg. 146).

  • INTRODUO FUNES 12 ANO

    8

    Com vantagem, algumas das actividades so resolvidas com recurso a tecnologia j

    apresentada nas brochuras anteriores. Refere-se neste caso a utilizao de sensores

    (Arrefecimento do caf, Matemtica e msica), Internet (Sismos na Internet) e

    Geometers Sketchpad (O compasso de Descartes e a curva logartmica). O programa

    Modellus pode ser utilizado na resoluo de diversas actividades nomeadamente as que

    envolvem o estudo de famlias de funes, por exemplo O arrefecimento do caf (pg.

    102), Remdios para dormir (pg. 105) e Gripe asitica (pg. 108 )

    O estudo das funes deve continuar a ser feito a partir de abordagens grficas e

    numricas, relacionando de forma sistemtica os aspectos grficos, numricos e

    analticos. Este estudo deve ter por base contextos de resoluo de problemas e de

    aplicaes da Matemtica.

    O processo de modelao matemtica um dos itens do tema geral do programa que foi

    abordado em pormenor na brochura do 10 ano e retomado na do 11. No 12 ano os

    alunos dispem de novas ferramentas (o clculo diferencial) e de novas funes

    (exponencial e logartmica) que podem usar na modelao. Com as funes exponencial

    e logartmica podem ser abordados uma vasta gama de problemas com aplicao

    prtica. Os exemplos apresentados esto longe de esgotar todos os exemplos

    interessantes e elementares.

    A demonstrao outro dos itens do tema geral Lgica e raciocnio matemtico pelo

    que se teve a preocupao de, para alm das demonstraes que fazem parte do

    programa, apresentar outras (pg. 37 e 119) que eventualmente podem ser propostas

    aos alunos.

    A brochura apresenta a seguinte estrutura:

    Fundamentao terica

    Actividades para a sala de aula

    Fundamentao Terica

    O Clculo Diferencial, tratado com maior detalhe, sendo feito um estudo que

    ultrapassa o mbito do programa. Mais uma vez se salienta que este texto se destina aos

    professores, facultando uma informao alargada sobre os temas a abordar.

  • INTRODUO FUNES 12 ANO

    9

    Actividades para a sala de aula

    Prope-se um conjunto diversificado de actividades que podem ser utilizadas de acordo

    com as opes e as preferncias do professor. Continuam-se a apresentar alguns

    comentrios que pretendem ser sugestes de abordagem metodolgica ou propostas de

    resoluo. No se sentiu a necessidade de comentar com tanto pormenor cada uma

    delas atendendo a que as orientaes metodolgicas no sofreram alteraes

    relativamente aos anos anteriores.

    Continua-se a disponibilizar um conjunto de ficheiros com algumas das actividades

    propostas. Esses ficheiros sero colocados na pgina do Acompanhamento de

    Matemtica cujo endereo se encontra no final desta brochura.

  • FUNDAMENTAO TERICA FUNES 12 ANO

    11

    FUNDAMENTAO TERICA

    O presente texto destina-se a constituir um complemento de informao para os

    professores sobre temas constantes do actual programa do 12 ano de Matemtica. Na

    sua elaborao prestou-se especial ateno formalizao dos conceitos de limite,

    continuidade e derivada, parte integrante do programa de 12 ano. O conhecimento

    intuitivo destes conceitos data de anos anteriores e j foi abordado nas brochuras

    Funes para os 10 e 11 anos.

    Relativamente ao conceito de limite de uma funo num ponto a optou-se por referir e

    comentar duas definies: a definio utilizada em alguns manuais do ensino superior,

    em que para definir limite de uma funo quando x tende para a se considera que x pode

    assumir o valor a, e a definio utilizada nos livros de texto do ensino secundrio, em que

    se consideram para x apenas os valores diferentes de a. A escolha de uma ou outra

    definio tem vrias implicaes que so ilustradas com exemplos. A partir da Nota

    final (pg. 17) passou-se a usar unicamente a definio escolhida pelos manuais

    escolares e a utilizar o smbolo lim que, at ento, tinha sido evitado.

    A incluso destas reflexes sobre o conceito de limite destina-se a alertar para a

    situao, frequente em matemtica, de se obterem desenvolvimentos diferentes com

    definies cujas diferenas podem passar despercebidas aos leitores menos atentos.

    Nos Complementos sobre derivao so feitas as demonstraes consideradas

    obrigatrias no mbito deste programa (regras de derivao da soma e do produto) e

    ainda as que so expressamente sugeridas no programa como facultativas. Algumas

    destas demonstraes podem ser apresentadas a alunos que se mostrem mais

    motivados para estas questes.

    Apresenta-se ainda informao complementar sobre temas relacionados com a

    derivao.

  • FUNDAMENTAO TERICA FUNES 12 ANO

    12

    Os novos programa prevem, como um tema transversal, o estudo do processo de

    modelao matemtica referindo nomeadamente que deve ser discutido com os alunos

    o processo de modelao matemtica e a sua importncia no mundo actual. Este tema

    dever ser abordado o mais tardar a propsito dos problemas de optimizao no 12

    ano. O processo de modelao matemtica foi tratado genericamente na brochura

    Funes para o 10 ano. Em Alguns modelos matemticos pretende-se apresentar um

    suporte terico que permita aos professores tratar na sala de aula alguns exemplos,

    dando-se especial nfase ao estudo das funes exponenciais e logartmicas num

    contexto de aplicaes variadas.

    Limite e continuidade

    As abordagens intuitivas dos conceitos de limite e continuidade foram oportunamente

    comentadas nas brochuras sobre Funes para os 10 e 11 anos.

    O texto seguinte inclui algumas reflexes sobre a formalizao destes conceitos, alm do

    tratamento de tpicos com eles relacionados e que so referidos no programa do 12

    ano.

    1. Noes de limite

    O programa do 12 ano indica que se deve adoptar a noo de limite de uma funo f

    num ponto a segundo Heine, mas no refere se so de considerar apenas sucesses de

    pontos do domnio de f diferentes de a ou se so tambm de considerar as sucesses

    com t