FUNCIONES PERIÓDICAS Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t : f(t) = f(t + T) . Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función. Observa que: f(t) = f(t + nT) , donde n = 0, ± 1, ± 2, ± 3,... Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica? 1
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FUNCIONES PERIÓDICASUna función periódica f(t) cumple que para todo valor de t :
f(t) = f(t + T) .
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le l lama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.
Observa que:
f (t) = f(t + nT) , donde n = 0, ±1, ± 2, ±3,...
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
1
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Como cos(t + 2kπ) = cos(t) para cualquier entero k , entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:
T/3 = 2k1π y T/4 = 2k2π.Es decir:
T = 6k1π = 8k2πcon k1 y k2 enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24π.
2
?coscos 43 )()(f(t) tt +=
)()(T)f(t TtTt43 coscos ++ +=+ )()(f(t) tt
43 coscos +==
Gráfica de la función
3
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24π
T
)()(f(t) tt43 coscos +=
¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica?Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos(ω1t) + cos(ω2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:
ω1T = 2π m y ω2T = 2π n .Es decir, que cumplan:
T = m/ (2π ω1) = n/ (2π ω2)4
n
m=2
1
ωω
Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((π+3)t) tenemos que
¿Es periódica?
5
π+=
ωω
3
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
t
f(t)
Para que exista periodicidad ω1/ ω2 debe ser
un número racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:
• f(t) = sen(nt) , donde n es un entero.
• f(t) = sen2(2πt)
• f(t) = sen(t) + sen(t + π/2 )
• f(t) = sen(ω1t) + cos(ω2t)
• f(t) = sen(√2 t)
6
7
Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,
¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo
T < min(T1,T2)?
T1 = 5
T2 = 5
T = 2,5
8
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
<<
≤≤=
11
,0
10),2(
)(1
tN
NttNsen
tfπ
<<
≤≤=
11
),2(
10,0
)(2
tN
tNsen
Nt
tfπ
extendida periódicamente con T = 1:
+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 11
extendida periódicamente con T = 1:
+∞<<∞−+= ttftf ),1()( 22
+∞<<∞−+++<≤
=+ttftf
ttNsentftf
),1()1(
10,)2()()(
2121
π
NNT
1
2
22 ===π
πωπ
9
¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?
=enterounes nosi0
enterounessi1)(1 t
ttf
1
enterossonnoysi0
enterossonysi1)()( 11
=⇒
++
=+=
T
Ttt
TttTtftf
10
=enterounesoirracionalessi0
enterounnoperoracionalessi1)(2 t
ttf
1
enterosoesirracionalsonysi0
enteros noperoracionalessonysi1)()( 22
=⇒
++
=+=
T
Ttt
TttTtftf
=+irracionales si0
racionalessi1)()( 21 t
ttftf
T = ?
11
...3
)3(
2
)2(
2+++=− tsentsen
tsentπ
¿Cómo lo alcanzó?
Volvamos al resultado de Euler:
++=+++=
...)(
...)(32
32
titiit
titiit
eetSe
eeetS
t
tseni
e
etS
it
it
cos12
1
2
1
1)(
−+−=
−=
{ }...)3()2(...)3cos()2cos(cos
...)(
2
1
32
+++++++=+++=
−
tsentsentsenittt
eeetS titiit
2;
4...
7
1
5
1
3
11
2
2
1...
3
)3(
2
)2(
4
πππ
π
=+−=+−+−→=
+−=+++
CCt
Cttsentsen
tsen
Integrando término a término:
Utilizando la fórmula de Euler para cada término:
Particularizamos t para encontrar C:
12
...3
)3(
2
)2(
2+++=− tsentsen
tsentπ
...3
)3(
2
)2()(
22
...3
)3(
2
)2()(
2
−−−−=+
+−+−+−=+
tsentsentsen
t
tsentsentsen
t
π
π
13
(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.
(2) La serie es una función impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.
(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...
14
Jeand'Alembert1717-1783
Leonhard Euler1707-1783
DanielBernouilli1700-1782
Lagrange
15
Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de unafunción. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función.Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.
16
17
En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se basó en la superposición de ondas y tomó como solución:
un(x,t) = sin(nx) cos(nt)
donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos.
∑∞
=
=1n
n )ntcos()nx(sena)t,x(u
Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...
18
Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)
.t,)t(T)t(''T
)(X)(X),,(x,)x(X)x(''X
.c.cy.i.c;x
)t,x(u
t
)t,x(u
00
010100
2
2
2
2
>=λ+==∈=λ+
∂∂=
∂∂
Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:
∑∞
=
==1
0n
n )nx(sena),x(u)x(f
con una adecuada elección de los coeficientes an...
JOSEPH FOURIER
19
En diciembre de 1807 Joseph
Fourier presentó un sorprendente
artículo a la Academia de Ciencias
en París. En él afirmaba que
cualquier función puede escribirse
en forma de serie trigonométrica
semejante al ejemplo de Euler.
Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830
20
Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).
t
u
kx
u
∂∂=
∂∂ 1
2
2
21
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:
Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...
π≤≤=≤=π=
∂∂=
∂∂
x);x(f),x(u
t;)t,(u)t,(ut
)t,x(u
kx
)t,x(u
00
000
12
2
22
00 =π==
=
)(X)(Xcon
)t(T)x(''X)t('T)x(X
)t(T)x(X)t,x(u
Dividiendo entre X(x)T(t):
)xA(senC)xAcos(C)x(X);x(AX)x(''X
eC)t(T);t(AT)t('T
.cteA,A)x(X
)x(''X
)t(T
)t('T
At
−+−==
==
===
21
0
C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...
)nx(sene)t,x(u tnn
2−=
23
)nx(sene)t,x(u tnn
2−=La combinación lineal de soluciones
será también solución:
∑∞
=
=1n
nn )t,x(ua)t,x(u
Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an.
SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER
Algunas funciones periódicas f (t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, l lamada serie trigonométrica de Fourier
Donde ω0 = 2π/T se denomina frecuencia fundamental.
24
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
...)3()2()(...
...)3cos()2cos()cos()(
030201
030201021
++++++++=
tsenbtsenbtsenb
tatataatf
ωωωωωω
25
...3
)3(
2
)2(
2+++=− tsentsen
tsentπ
])()cos([)(1
00021 ∑
∞
=
++=n
nn tnsenbtnaatf ωω
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...
b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...
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