Introducci´ on L´ ımites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Funciones de dos variables: L´ ımites. Continuidad. Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Juan Ruiz ´ Alvarez 1 1 Departamento de Matem´ aticas. Universidad de Alcal´ a de Henares. Matem´ aticas (Grado en Biolog´ ıa) Juan Ruiz ´ Alvarez Matem´ aticas (Grado en Biolog´ ıa)
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Funciones de dos variables: Límites. Continuidad ...Derivadas parciales de orden superior Propiedades de l´ımites Definicio´n intuitiva de l´ımite en 2 variables Decimos que
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IntroduccionLımites
Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Funciones de dos variables: Lımites. Continuidad.
Derivadas parciales. Derivadas de orden superior.
Juan Ruiz Alvarez1
1Departamento de Matematicas. Universidad de Alcala de Henares.
Matematicas (Grado en Biologıa)
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
IntroduccionLımites
Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Contenidos
1 Introduccion
2 LımitesPropiedades de lımites
3 Continuidad de funciones de 2 variables
4 Derivadas parcialesInterpretacion geometrica
5 Derivadas parciales de orden superiorIgualdad de las derivadas parciales cruzadas
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
IntroduccionLımites
Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Indice
1 Introduccion
2 LımitesPropiedades de lımites
3 Continuidad de funciones de 2 variables
4 Derivadas parcialesInterpretacion geometrica
5 Derivadas parciales de orden superiorIgualdad de las derivadas parciales cruzadas
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
IntroduccionLımites
Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Introduccion
Al igual que para funciones de una variable, para funciones devarias variables es necesario estudiar conceptos tales como el delımite, continuidad o diferenciabilidad.
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IntroduccionLımites
Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Propiedades de lımites
Indice
1 Introduccion
2 LımitesPropiedades de lımites
3 Continuidad de funciones de 2 variables
4 Derivadas parcialesInterpretacion geometrica
5 Derivadas parciales de orden superiorIgualdad de las derivadas parciales cruzadas
Juan Ruiz Alvarez Matematicas (Grado en Biologıa)
IntroduccionLımites
Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Propiedades de lımites
Definicion intuitiva de lımite en 2 variables
Decimos que una funcion de dos variables f (x , y) tiene lımite L enun punto (x0, y0), si la funcion tiende a L sea cual sea la direccionque tomemos al aproximarnos a (x0, y0).
Ejemplo: Calcular el lımite,
lım(x ,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2,
a traves de las trayectorias (x , 0) e (0, y).
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Propiedades de lımites
Propiedades de lımites
Linealidad:
lım(x ,y)→(x0,y0)
(af (x , y) + bg(x , y)) = a lım(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y)
+ b lım(x ,y)→(x0,y0)
g(x , y)
Lımite de un producto:
lım(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y)·g(x , y) = lım(x ,y)→(x0,y0)
(x , y)· lım(x ,y)→(x0,y0)
g(x , y)
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Propiedades de lımites
Propiedades de lımites
Lımite de un cociente:
lım(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y)
g(x , y)=
lım(x ,y)→(x0,y0) f (x , y)
lım(x ,y)→(x0,y0) g(x , y)
Siempre y cuando
lım(x ,y)→(x0,y0)
g(x , y) 6= 0
.
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Indice
1 Introduccion
2 LımitesPropiedades de lımites
3 Continuidad de funciones de 2 variables
4 Derivadas parcialesInterpretacion geometrica
5 Derivadas parciales de orden superiorIgualdad de las derivadas parciales cruzadas
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Continuidad de funciones de 2 variables
Definicion
Decimos que una funcion f de dos variables es continua en unpunto (x0, y0) si f (x0, y0) es igual al lımite de f (x) cuando (x , y)tiende a (x0, y0). Es decir, si
lım(x ,y)→(x0,y0)
f (x , y) = f (x0, y0)
Ejemplo: ¿Es continua la funcion 5x2yx2+y2 en (1, 2)?
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Si k es un numero real y f y g son funciones continuas en x0, y0,las funciones siguientes son continuas en (x0, y0):
Multiplo escalar k · f
Suma y diferencia f ± g
Producto f · g
Cociente fgsi g(x0, y0) 6= 0
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Continuidad de la funcion compuesta
Si h es continua en (x0, y0) y g es continua en h(x0, y0), la funcioncompuesta (g ◦ h)(x , y) = g(h(x , y)) es continua en (x0, y0). Esdecir:
lım(x ,y)→(x0,y0)
g(h(x , y)) = g(h)x0, y0))
Notar que h es funcion de 2 variables y g es funcion de unavariable.
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IntroduccionLımites
Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Interpretacion geometrica
Indice
1 Introduccion
2 LımitesPropiedades de lımites
3 Continuidad de funciones de 2 variables
4 Derivadas parcialesInterpretacion geometrica
5 Derivadas parciales de orden superiorIgualdad de las derivadas parciales cruzadas
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Interpretacion geometrica
Derivadas parciales
Si z = f (x , y), las primeras derivadas parciales de f respecto dex e y son las funciones fx y fy , definidas como
∂f (x , y)
∂x= fx(x , y) = lım
∆x→0
f (x +∆x , y)− f (x , y)
∆x
∂f (x , y)
∂y= fy (x , y) = lım
∆y→0
f (x , y +∆y)− f (x , y)
∆y
Siempre que el lımite exista.
Esta definicion significa que para calcular fx debemos considerar ycomo constante y derivar respecto a x . Analogamente, paracalcular fy debemos considerar x como constante y derivarrespecto a y .
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Interpretacion geometrica
Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de
f (x , y) = 3x − x2y2 + 2x3y
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Interpretacion geometrica
Si y = y0, z = f (x , y0) es la curva de interseccion de la superficiez = f (x , y) con el plano y = y0. Por tanto, fx(x0, y0) es lapendiente de esa curva en el punto (x0, y0, f (x0, y0)).Analogamente, si x = x0, z = f (x0, y) es la curva de interseccionde la superficie z = f (x , y) con el plano x = x0. Por tanto,fy (x0, y0) es la pendiente de esa curva en el punto(x0, y0, f (x0, y0)). Por lo tanto, fx(x0, y0) y fy (x0, y0) nosproporcionan las pendientes de la superficie en las direcciones x ey .
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Igualdad de las derivadas parciales cruzadas
Indice
1 Introduccion
2 LımitesPropiedades de lımites
3 Continuidad de funciones de 2 variables
4 Derivadas parcialesInterpretacion geometrica
5 Derivadas parciales de orden superiorIgualdad de las derivadas parciales cruzadas
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Igualdad de las derivadas parciales cruzadas
Derivada parcial segunda respecto a x :
∂
∂x
(
∂f
∂x
)
=∂2f
∂x2= fxx
Derivada parcial segunda respecto a y
∂
∂y
(
∂f
∂y
)
=∂2f
∂y2= fyy
Derivada parcial cruzada o mixta
∂
∂x
(
∂f
∂y
)
=∂2f
∂x∂y= fyx
Derivada parcial cruzada o mixta
∂
∂y
(
∂f
∂x
)
=∂2f
∂y∂x= fxy
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Igualdad de las derivadas parciales cruzadas
Igualdad de las derivadas parciales cruzadas
Si f es una funcion de x e y , con fxy , fy ,x continuas en un entornode (x0, y0), entonces ,
fxy(x , y) = fyx(x , y),
en ese entorno.
Ejemplo: Calcular todas las derivadas parciales de
f (x , y) = 3xy2 − 2y + 5x2y2
f (x , y , z) = yex + xln(z)
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Igualdad de las derivadas parciales cruzadas
Ejemplo: El area de un paralelogramo de lados adyacentes a y b,con angulo α entre ellos, viene dada por A = ab sin(α):
Calcular el ritmo de cambio de A respecto de a para a = 10,b = 20, y α = π
6 .
Calcular el ritmo de cambio de A respecto de α para a = 10,b = 20, y α = π
6 .
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Continuidad de funciones de 2 variablesDerivadas parciales
Derivadas parciales de orden superior
Igualdad de las derivadas parciales cruzadas
Roland E. Larson. Calculo volumen II. Ed. Mc Graw Hill.