Funciones CuadráTicas

Funciones Cuadráticas

Por: Profa. Carmen Batiz UGHS

Índice

Propiedades de las funciones cuadráticas Solución de una función cuadrática Formas para hallar una solución

Propiedades de una ecuación cuadrática

Forma estándar cuadrática:

ax2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0

donde x es una variable y a , b y c son constantes.

Propiedades de una ecuación cuadrática

Forma Vértice: y = a(x – h)2 + k

Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola.El vértice siempre es: (h, k)

Solución de una ecuación cuadrática

La solución de una ecuación cuadrática es lo mismo que hallar los ceros de la ecuación cuadrática.

Los ceros de una ecuación cuadrática son los puntos donde la parábola intercepta el eje de x.

Formas de hallar la solución de una función cuadrática

Factorización

Raíz cuadrada

Completando al cuadrado

Fórmula Cuadrática

Hallando la solución por factorización

Ejemplo 1Halla la solución mediante factorización:

x2 – 8x + 7 = 0Observemos si hay factores comunes.

La otra forma de factorizar un trinomio es por tanteo : ( ___ ____ ) ( _____ _____)

Observemos si es cuadrado perfecto.

x x

Factores de x2

Factores de 7 que sumado o restado de a -8

-7 -1

Por lo tanto x2 – 8x + 7 = 0

(x-7) (x-1) = 0

(x-7) = 0 ó (x-1) = 0 Propiedad del producto de cero

x = 7 ó x = 1Esto implica que los ceros de esa parábola son (7,0) y (1,0)

Ejemplo 2Halla la solución mediante factorización:

6x2 – 19x – 7 = 0( ) ( ) = 02x 3x-7 + 1

Verifica que el término del medio sea -19x

2x

-21x(2x – 7) = 0 ó (3x + 1) = 0

x = 7/2

ó x = -1/3Los cero son (3 ½, 0) y (-1/3, 0 )

Ejemplo 3Halla la solución mediante factorización:

x2 - 6x + 5 = 0( ) ( ) = 0x x- 5 - 1

(x – 5) = 0 ( x – 1 )= 0

x = 5 ó x = 1

Los puntos son (5,0) y ( 1 ,0)

Ejemplo 4Halla la solución mediante factorización:

2x2 = 3x

2x2 - 3x = 0 Igualamos a cero

Hay un factor común por lo tanto la factorización sérá:x ( 2x – 3) = 0

x = 0 ó x = 3/2Los interceptos son: (0,0) y (3/2,0)

Hallando la solución por raíz cuadrada

Solución por raíz cuadrada:

2

3x

2

2

Ejemplo 1: 2x2 – 3 = 0

2x2 = 3Despejemos por la variable

x2 = 3/2

2

6

Los interceptos son: ( , 0) y ( , 0)2

6

2

6

Solución por raíz cuadrada:

9x

Ejemplo 2 3x2 + 27 = 0

3x2 = -27

x2 = -27/3

x2 = -9

ix 3

Los interceptos son: (3i, 0) y (-3i, 0)

Solución por raíz cuadrada:

4

5)2

1( x

2

5)2

1( x

2

5

2

1x

Ejemplo 3 (x + ½ )2 = 5/4

Primero elimina el exponente 2

Ahora elimino el 1/2

Los interceptos son:

)2

5-1-(y )0,

2

51(

Importante:

Para resolver por raíz cuadrada la ecuación debe tener dos términos.

Ejercicios:

Hoja fotocopiada p. 3

Hallando la solución completando al cuadrado

Repasemos

Multiplica mentalmente:

1. (x+3)2

2. (x-4)2

3. (2x-7)2

4. (3x+2)2

Solución

Multiplica mentalmente:

1. (x+3)2

2. (x-4)2

3. (2x-7)2

4. (3x+2)2

x2 + 6x + 9

x2 – 8x + 16

4x2 – 28x + 49

9x2 + 12x + 4

Generalización:El resultado de la multiplicación mentalmente del cuadrado de un binomio :

1. Siempre será un trinomio

2. El primer y tercer término es el cuadrado del primer y segundo término del binomio.

3. El segundo término es el doble del producto del primer y segundo término del binomio.

Factoriza cada trinomio si es posible

1. x2 – 12x + 36

2. m2 + 10m + 25

3. 4t2 – 20t + 25

4. h2 – 7h + 49

5. y2 + 14y + 14

6. 9 – 6t – t2

Solución

1. (x – 6)2

2. (m + 5)2

3. (2t – 5)2

4. No factorizable

5. No factorizable

6. No factorizable

¿Cómo saber si un trinomio es cuadrado perfecto?

1. El primer y tercer término son cuadrados perfectos y positivos.

2. El segundo término es el doble del producto de un factor de primer y tercer termino del trinomio.

¿Cómo completar al cuadrado un trinomio?

Para completar el cuadrado de un trinomio, se debe obtener el tercer término.

¿Cómo completar al cuadrado un trinomio?

El tercer término se obtiene dividiendo el segundo término por 2 y cuadralo.

Generalización:

222

22

bx

bbxx

Ejercicios:Completa al cuadrado.

1. x2 + 2x + _____

2. x2 –12x + _____

3. x2 + 3x + _____

1

36

94

Ejemplos:Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado.

1. x2 - 8x = -36

x2 - 8x + ____= -36

-8 2

( )2 = 16

16 +16

Ejemplos:Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado.

x2 - 8x + 16 = -20

(x – 4)2 = -20

x 4 20

x i 4 2 5 x i 4 2 5

1. Escribe la ecuación en la forma x2 + bx + ___ = c

Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado.

Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado.

2. Busca el tercer término y suma éste al termino c.

Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado.

Obten la raíz cuadrada del binomio y del término c.

Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado.

4. Despeja para x.

2. 5x2 = 6x + 8

5x2 - 3x +____= 8 + ___

( )2 ( ) 2

1( )5

x2 – 3x + ____ = 8 5 5

3

5=

3

5

9

25 9

25

25

9

25

40

5

32

x

2. 5x2 = 6x + 825

49

5

32

x

x 3

5

7

5

25

49

5

32

x

x 3

5

7

5

x x 3

5

7

5

3

5

7

5 ó

x x

24

5 ó

3. 2x2 + x = 6

2x2 + x + _____ = 6 + ____ 2

x2 1

43 x +

(x 1

4

49

16)2

(x 1

4

49

16)2

1

16

1

16

3. 2x2 + x = 6

(x 1

4

7

4)

x 1

4

7

4

x 1

4

7

4

7

4 ó x = -

1

4

x 3

2 ó x = - 2

4. 2x2 = 3x - 4

2x2 –3x + ____= -4 + _____ 2

1( )2

x2 – 3x + ____= -2 + ____ 4

9

16

( )x 3

4

23

162

9

16

4. 2x2 = 3x - 4

xi

3

4

23

4

xi

3

4

23

4

xi

xi

3

4

23

4

3

4

23

4 ó

Intenta

Halla el conjunto de solución completando al cuadrado:

1. x2 + 6x – 2 = 0

2. 2x2 –4x + 3 = 0

3. x2 + 8x = 3

Ejercicios de Práctica

Hoja fotocopiada p.4 A, B y C

Advanced Algebra p. 237

(1-6) (9-20)

Hallando la solución fórmula cuadrática

¿Sabes el objetivo de usar la fórmula cuadrática?

Hallar los dos valores de la variable en una ecuación cuadrática.

Esta se deriva de la ecuación

ax2 + bx + c = 0

Y ¿Cómo se usa?

Ejemplo 1:Halla los valores de la variable en la ecuación 2x2 + 6x + 1 = 0

a = 2 ; b = 6 ; c = 1

Al sustituir en la fórmula cuadrática obtendremos:

Y ¿Cómo se usa?

Ejemplo 1:

xb b ac

a

2 4

2 )2(2

)1)(2(466 2

4

8366

x 6 28

4 4

726 4

72

4

6

2

7

2

3

x 3 7

2

Ejemplo 1:Halla los valores de la variable en la ecuación 2x2 = -6x - 7

a = 2 ; b = 6 c = 7

xb b ac

a

2 4

2

2x2 + 6x + 7 = 0

Ejemplo 1:Halla los valores de la variable en la ecuación 2x2 = -6x - 7

x 6 6 4 2 7

2 2

2( ) ( )( )

( ) 4

56366

4

206

xi

6 2 5

4 4

52

4

6 i

2

5

2

3 i

2

53 ó

2

53 ix

ix

El discriminante

El discriminante nos puede indicar si la solución de una función cuadrática es una o dos reales; o complejas.

El discriminante nos puede indicar si la solución de una función cuadrática es una o dos reales; o complejas.

Discriminante Y....

El discriminante es la parte de la ecuación cuadrática b2- 4ac

Discriminante Y....

Si b2 – 4ac es:

> 0 tiene dos interceptos en x

= 0 tiene un intercepto en x

< 0 no tiene intercepto en x

En otras palabras:

Si el discriminante es:

> 0 Tendrá dos soluciones reales

< 0 Tendrá soluciones complejas o no reales

= 0 Tendrá solo una solución real

Ejemplo 1:Halla el discriminante para determinar si la solución es real o compleja.

1. x2+ 5x – 14 = 0

2. 3x2 –7x + 5 = 0

3. x2 – 2x +1 = 0

Solución:

1. 81 Implica que tiene dos soluciones reales

2. -11Implica que tiene dos soluciones complejas

3. 0Implica que tiene una solución real

Ejemplo 2:

Halla los valores de la variable en la ecuación x2 - x - 1 = 0 , utilizando la fórmula cuadrática.

a = 1 ; b = -1 c = -1

Solución:Halla los valores de la variable en la ecuación x2 - x - 1 = 0

a = 1 ; b = -1 c = -1

xb b ac

a

2 4

2

)1(2

)1)(1(4)1(1 2 x

1 1 4

2 2

51

¿Cómo se halla los interceptos en una función cuadrática?

Si le das valor de cero a la y podrás encontrar los valores de x y éstos serán los interceptos de la función cuadrática.

Ejemplo 3:

Indica cuántos interceptos en x tiene las siguientes funciones cuadráticas.

1. x2+ 5x – 14 = 0

2. 3x2 –7x + 5 = 0

3. x2 – 2x +1 = 0

Solución:

1. 81 Implica que tiene dos soluciones reales

2. -11Implica que tiene dos soluciones complejas

3. 0Implica que tiene una solución real

Intercepto en y:

Si y = 2x2 – 3x + 5 ¿Cuál será el intercepto en y?

Intercepto en y:

Si le damos valor de x = 0 ...

O sea y = 5

Intercepto en y:

Obtendremos que y = 2(0)2 –3(0) + 5

Intercepto en y:

O sea y = 5

Intercepto en y:

El intercepto en y será (0,5).

Ejemplos:Halla los interceptos de x de las siguientes

funciones cuadráticas.

1. y = x2+ 5x – 14

2. y = 3x2 –7x + 5

3. y = x2 – 2x +1

Solución:

1. Los puntos son: (-7,0) y (2,0)

2. No tiene interceptos

3. El punto es (1,0)

Ahora podrás hacer la gráfica de una función cuadrática con:

Con los puntos reflejos

El vértice y

su eje de simetria

Con los interceptos ( si lo tiene)

Recuerda que...

Para obtener los valores de x hay varias formas:

Factorización

Raíz Cuadrada

Completando al cuadrado

Fórmula cuadrática

Ejercicios:

Hoja fotocopiada P. 4 parte D y E

Advanced Algebra p.243 (1-12)

p. 244 (15-24) (27-35)

p. 245 (41-49)