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CURSO : Matemática I I
DOCENTE : Lic. Mat. María Jessica Sánchez Gastelo
E- mail : [email protected]
FUNCIONES CON VARIAS VARIABLES
FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES1. DEFINICIÓN:Una función ( ) de dos variables, es una regla que asigna a cada par ordenado (x; y) en D un único numero real denotado por
2. NOTACIÓN FUNCIONAL:
2:f D R R
( ; )f x y
),( ),(
R : 2
yxfzyx
RDf
Donde: D: Dominio de f (x ; y): Variables independientes z : Variable dependiente
3. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN REAL DE DOS VARIABLES
Si f es una función real de dos variables (x, y), definimos:
a) DOMINIO DE f
b) RANGO DE f
)},(!/),{()( 2 yxfzRzRyxfDom
( ) { ( , ) /( , ) ( )}Ran f z f x y R x y Dom f
C) INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
R2
R
TÉCNICAS PARA ENCONTRAR EL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN
2)( el entonces ,"" e ""en polinomioun es ),( Si )1 RfDomyxyxfz
0),()( ),( entonces ,),(),( Si )2 yxPfDomyxyxPyxf
0),()( ),( Entonces
),(
),(),( es, esto racional, es función la Si )3
yxQfDomyx
yxQ
yxPyxff
0),()(),( entonces )],,([ ),( Si )4 yxPfDomyxyxPLnyxf
1),()( ),( entonces )],,([ ),( Si )6 yxPfDomyxyxPArcsenyxf
1),()( ),( entonces )],,([ cos),( Si )7 yxPfDomyxyxPArcyxf
2),()( ),( entonces )],,([ ),( Si )8 RyxfDomyxyxPArctgyxf
2)( polinomioun es
),( si )],,(cos[),(y )],([ ),( Si )5
RfDom
yxPyxPyxfyxPSenyxf
EJEMPLOS1. Dadas las siguientes funciones: 1.1) Determina el dominio 1.2) Traza la gráfica del dominio.
2 2
2 2
2 2
) ( ; ) 9
) ( ; ) 1
) ( ; ) ( )
) ( ; ) 2
) ( ; ) 1 1
) ( ; ) 4
2) ( ; )
) ( ; ) ( 2)
a f x y x y
b f x y x y
c f x y x arcsen y
d f x y x y
e f x y x y
f f x y x y
x yg f x y
x y
h f x y Ln x y
2
2
) ( ; ) cos( )
) ( ; )
) ( ; )
i f x y ar x y
j f x y x y
k f x y y x
2. Determina el rango de las siguientes funciones (forma analítica)
2 2
2 2
2 2
) ( ; )
) ( ; ) 9
1) ( ; ) 36 9 4
3
a f x y x y
b f x y x y
c g x y x y
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, la grafica de f es el conjunto:
)}(),(),,(/),,{( 3 fDomyxyxfzRzyxS
Ecuación de la Elipsoide
Grafica de la Superficie
Ecuación del paraboloide Elíptico
Grafica de la Superficie
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
2
2
2
2
b
y
a
x
c
z
GRÁFICA DE SUPERFICIES
Ecuación del Paraboloide Hiperbólico
Grafica de la Superficie
Ecuación del Cono
Grafica de la Superficie
2
2
2
2
b
y
a
x
c
z 2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Ecuación del Hiperboloide de una hoja
Grafica de la Superficie
Ecuación del Hiperboloide de dos hojas
Grafica de la Superficie
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Ecuación del la Esfera
Grafica de la Superficie
Ecuación del Cilindro
Grafica de la Superficie
2 2 2 2x y z r 222 cyx
EJEMPLOSDetermina la gráfica el dominio y rango de las siguientes funciones
2 2
2 2
) ( ; ) 9
1) ( ; ) 36 9 4
3
a f x y x y
b g x y x y
Curvas de Nivel
El sistema de representación de curvas de nivel consiste en cortar la superficie del terreno mediante un conjunto de planos paralelos entre sí, separados una cierta distancia unos de otros.
Curvas de NivelLas curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas con ecuaciones f(x, y) = k, donde k es una constante (en el rango de f)
Ejemplos: 1) Describa las curvas de nivel de las siguientes funciones
2) La temperatura (en grados Celsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular es
Donde x e y se miden en metros. Dibujar algunas curvas isotermas.
2 2
2
a) ( , ) , 1, 0, 2, 4
b) ( , ) , 0, 4, 9;16
c) ( , ) , 1, 0, 2, 4
f x y x y k
f x y x y k
f x y y x k
22 75.075.0600 yxT
Gracias
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