Funciones

Funciones

4º ESO

Concepto de Función• Toda relación existente entre dos variables “x”, “y” tal que para cada

valor de x existe un único valor de y .

• Hablamos de variable independiente x variable dependiente y

• Toda función se puede representar necesario calcular los puntos de corte con los ejes

y= f(x) y=f(x) Eje X Eje Y

y=0 x=0

Estudio de una FunciónDebemos tener en cuenta los siguientes conceptos:

o Dominio

o Continuidad

o Crecimiento y Decrecimiento

o Concavidad y Convexidad

o Simetría

Dominio

Definición: son los valores de x donde existe la función.

¿Cómo calcular el dominio?• Función Polinómica: Dom f(x)=R

• Función Fracción Algebraica: los valores que anulan el denominador no están en el dominio (igualamos denominador a cero y hallamos esos valores)

• Función Radical: los valores que hagan el radicando negativo no están en su dominio(resolvemos inecuación con radicando ≥0 )

Continuidad

• Definición: Una función es Continua si se puede representar sin levantar el lápiz del papel.

Los puntos donde la función no es continua se llaman Puntos Puntos

de de Discontinuidad.Discontinuidad.

Clases de Discontinuidad• Discontinuidad evitable: a la función le falta

un punto definible para que sea continua.

• Discontinuidad de salto finito: la función presenta un salto. ¡¡Funciones definidas a trozos!!

• Discontinuidad de salto infinito: la función no está definida en esos puntos.

Crecimiento y Decrecimiento

• Crecimiento: la función aumenta.• Decrecimiento: la función disminuye.• Constante

El comportamiento de la función se expresa mediante Intervalos

Extremos RelativosMáximos

• La función pasa de ser Creciente a Decreciente

Absolutos Relativos

“El más” Los demás

Mínimos• La función pasa de ser

Decreciente a Creciente

Absolutos Relativos

“El más” Los demás

Concavidad y ConvexidadCóncava Convexa

SimetríaFunción Par

f(x)=f(-x)

Función Impar

f(x)=-f(x)

FUNCIONES LINEALES

• Son de la forma f(x)=ax+b• a=pendiente• b=ordenada• si a>0 f es creciente• si a<0 f es decreciente• si a=0 es constante y su representación gráfica es

una recta horizontal (paralela al eje X)• Para dibujarlas sólo damos 2 puntos en la tabla

de valores y los unimos prolongándolos

Ejemplos

• y = 3·x - 2

• y = - 4·x + 1

• y = -3

• X=2• Como bien sabemos esto no define a una

función, pero sí a una gráfica

Ecuación de la recta conociendo 2 puntos

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

donde

De esta manera: y-(-1)=4(x—2)y+1=4x-8; por lo tanto y=4x-9

Ecuación de la recta dados un punto y la pendiente

donde

Nosotros sabemos, por la ecuación punto-pendiente que vimos antes

Por lo tanto lo único que hay que hacer es sustituir en esta ecuación. Por ejemplo si nos dicen que calculemos la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,4) y tiene por pendiente m = -3 debemos hacer lo siguiente:

y-4=-3(x-2) operamos y-4= -3x + 6 y=-3x+10

FUNCIONES CUADRÁTICAS• Son de la forma y=ax2+bx+c• Su representación gráfica es una parábola• Si a>0 tiene orientación positiva• Si a<0 tiene orientación negativa• Una parábola es una curva con una rama creciente y

otra decreciente, luego alcanza o bien un máximo, o bien un mínimo absoluto, que recibe el nombre de "Vértice".

• Para dibujarla primero debemos calcular el vértice y damos 2 puntos, uno a la izquierda del vértice y otro a la derecha.

• Para calcular el vértice vamos a distinguir 5 casos

• - Caso 1.- f(x)=ax2.• Vértice en el punto (0,0)y = 3x2

• - Caso 2.- f(x)=ax2+c• Vértice en el punto (0,c). La gráfica se

desplaza verticalmente "c" unidades, hacia arriba si c>0 y hacia abajo si c<0

y = 3·x2+ 2

• y = 3·x2 - 2

• Caso 3.- f(x)=a(x-p)2

• Vértice en el punto (p,0). La gráfica se desplaza horizontalmente "p" unidades. Si p>0 hacia la derecha, y si p<0 hacia la izquierda

• y = (x - 3)2

• y = (x + 2)2

• - Caso 4.- f(x)=a(x-p)2+c• Vértice en el punto (p,c). Es la unión de los

casos 2 y 3. Se mueve verticalmente "c" unidades y horizontalmente "p" unidades.

• y = 2·(x - 1)2 + 3

• y = - (x + 2)2 - 3

y = x2 - 4·x + 3

y = - x2 + x + 1

HIPÉRBOLAS• Son funciones de la forma y=k/x, donde k es

distinto de "0". Veamos algunas de sus propiedades:

• Su representación gráfica es una hipérbola• El dominio está formado por todos los reales

excepto los que anulen el denominador (porque no sabemos dividir entre "0")

• Tiene simetría impar (respecto a su eje)• Si k>0 la función es decreciente• Si k<0 la función es creciente

Caso general

Funciones Radicales

• Son funciones en las que la variable está situada bajo la raíz cuadrada. Para representarlas primero hemos de calcular su dominio. Si recordamos es necesario resolver la inecuación que hace que el radicando sea mayor o igual que "0", porque las raíces de los números negativos, para nosotros, aún no tienen sentido

Veamos un ejemplo

La función empieza en x=-4 porque es donde empieza el dominio. Lo calculamos analíticamente:x+4≥0; x≥-4. Con lo que el dominio está formado por los reales mayores o iguales que -4; x ε [-4,∞)

Funciones definidas a trozos

En esta gráfica falta poner los círculos abiertos y los puntos cerrados en x=2 y x=-2

En estas gráficas falta poner los círculos abiertos y los puntos cerrados en x=0, x=-5 y x=5

Funciones exponenciales

Veamos sus traslaciones

Funciones logarítmicas

Si la base es mayor que 1 la función es creciente