FUERZA INTERNA EN VIGASUna viga puede estar sometida a cargas
puntuales, o a cargas distribuidas o ms generalmente a una
combinacin de stas. Cuando una viga est sometida a cargas
distribuidas, stas deben ser remplazadas por una fuerza equivalente
a fin de obtener las fuerzas y momentos que la equilibran. Para
determinar las fuerzas internas, en cualquier punto de una viga, se
deben considerar, en la posicin que se tome para el anlisis, las
fuerzas equivalentes a las cargas distribuidas que existan sobre
sta.
DIFERENTES TIPOS DE ESFUERZOS EN VIGASCausa capaz de producir
estados tensionales en una estructura.PERMANENTES: son las que
duran toda la vida til de la estructura. Comprenden al peso propio
de la estructura y el de todas aquellas partes de la construccin
rgida y permanentemente ligada a ellas. Ejemplo: estructura,
instalaciones, cerramientos, revestimientos, contrapisos,
etc.ACCIDENTALES: son aquellas que cuya magnitud y/o posicin pueden
variar a lo largo de la vida ti de la estructura (actan en forma
transitoria, existiendo en determinados momentos solamente).
Ejemplo: viento, personas, nieve, muebles, terremotos,
etc.Clasificacin segn su estado inercial (que se refiere al estado
de reposo o movimiento en que se encuentra la larga en el momento
de actuar) estas se clasifican en:ESTATICAS: son las que no cambian
nunca su estado de reposo o lo hacen lentamente en el tiempo. En
todos los casos son las que durante el tiempo que actan estn en
estado de reposo, y por extensin tambin aquellas que tienen estado
inercial despreciable, es decir que si bien varan en el tiempo lo
hacen en forma muy lenta.Ejemplos: peso propio de cerramientos,
solados, instalaciones, estructuras, etc.; publico en salas de
espectculos; personas en oficinas y viviendas.DINAMICAS: son las
que varan rpidamente en el tiempo. En todos los casos son las que
durante el tiempo que actan estn en estado de movimiento (inercial)
considerable.Segn como sea la direccin del movimiento podemos
clasificarlas en:MOVILES: son aquellas en las cuales la direccin
del movimiento es perpendicular a la direccin en que se produce la
carga. Ejemplos: desplazamiento de un vehculo; desplazamiento de
una gra mvil sobre sus rieles; desplazamiento de un tren sobre sus
rieles.DE IMPACTO: son aquellas en las cuales la direccin del
movimiento es coincidente con la direccin en que se produce la
carga. Se caracterizan por un tiempo de aplicacin muy breve
(instantnea).Ejemplos: choque de un vehculo; movimiento ssmico;
publico saltando sobre gradas en estadios deportivos; accin de
frenado (sobre paragolpes en estacin terminal de trenes); etc.
Todas las cargas dinmicas (mviles o de impacto) tienen un efecto
posible que es la resonancia. Todas las estructuras son en cierta
medida elsticas, en el sentido que poseen la propiedad de
deformarse bajo la accin de las cargas y de volver a su posicin
normal luego de desaparecer dicha accin .Como consecuencia, las
estructuras tienden a oscilar.El tiempo en que tarda una estructura
en describir una oscilacin completa se llama periodo
fundamental.Clasificacin segn su ubicacin en el
espacio:CONCENTRADAS O PUNTUALES: Son las que actan sobre una
superficie muy reducida con respecto a la total.Ejemplos: columna o
viga que apoya sobre una viga.Rueda de un puente gra sobre la
va.Anclaje de un tensor.Distribuidas: Son las que actan sin solucin
de continuidad a lo largo de todo el elemento estructural o parte
de l.A la vez se dividen en uniformemente distribuidas y
distribuidas no uniformes:UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDAS: son aquellas
que mantienen un mismo valor en toda su expansin. Ejemplos de ellas
son el peso propio de una losa, la presin de agua sobre el fondo de
un depsito, o el pblico en una sala de espectculos.NO UNIFORMEMENTE
DISTRIBUIDAS: son aquellas en las que vara su valor en los
distintos puntos de su extensin. Ejemplos de ellas son la accin del
viento, una pared de altura variable, o la presin en la pared de un
tanque.ESFUERZO CORTANTE Y MOMENTO FLECTORLa cuantificacin de las
fuerzas internas producidas por la flexin en las vigas (fuerza
cortante y momento flector) es un estudio ms complejo que el
necesario para estudiar la fuerza axial o el momento torsor, ya que
las fuerzas varan de una seccin a otra de la viga. Esta fuerza
cortante y el momento flector de la viga producen dos tipos de
efectos importantes para el diseo.
Para definir la fuerza cortante y el momento flector es
necesario aplicar la forma de estudio al caso de una viga (vase
Figura 7). En el caso de las vigas el anlisis comienza por realizar
un corte aa en un punto cualquiera (vase Figura 7a) donde se
estudia el equilibrio del diagrama de cuerpo libre obtenido del
corte en la porcin de la izquierda. Las fuerzas internas que
equilibran las cargas en cada eje son: la fuerza cortante (V)
obtenido por las fuerzas perpendiculares al eje; la fuerza axial
(P) obtenida por las fuerzas paralelas al eje y el momento flector
(M) obtenido por la suma de los momentos de las cargas con respecto
al punto donde se realiz el corte (vase Figura 7b). Por equilibrio
estas fuerzas internas son iguales a las originadas en la porcin de
la derecha pero con sentido contrario al obtenido.En tal sentido,
la fuerza cortante representa la suma de las fuerzas
perpendiculares al eje que estn ubicadas a la izquierda de la
seccin analizada. Asimismo, el momento flector representa la suma
de los momentos de todas las fuerzas con respecto a la seccin
analizada que actan en la parte izquierda (Singer y Pytel,
1982).
DEFORMACION AXIALSea una barra BC, de longitud L y seccin
transversal A, que est suspendida de B (vase la figura 1a). Si se
aplica una fuerza P en el extremo C, la barra se alarga (vase la
figura 1b).
Figura 1a y b. Elaborando una grfica de la magnitud de P contra
la deformacin (delta), se obtiene un determinado diagrama carga -
deformacin (vase la figura 2).
Figura 2. Aunque este diagrama contiene informacin til para el
anlisis de la barra estudiada, no puede utilizarse directamente
para predecir la deformacin de una barra del mismo material pero de
dimensiones diferentes. Se observa que si se produce un
alargamiento en la barra BC por medio de la fuerza P se requerir
una fuerza 2P para producir el mismo alargamiento en una barra B'C'
de igual longitud L pero con seccin transversal 2A (vase la figura
3).
Figura 3En ambos casos el esfuerzo es el mismo: = PIA. Por otra
parte, la carga P aplicada a la barra B"C", con la misma seccin
transversal A, pero de longitud 2L, causa un alargamiento 2 en esa
barra (vase la figura 4), es decir, un alargamiento que es el doble
de .
Pero en ambos casos la razn entre el alargamiento y la longitud
de la barra es la misma e igual a /L. Esta observacin introduce al
concepto de deformacin: Se define deformacin normal en una barra
bajo carga axial como el alargamiento por unidad de longitud de
dicha barra. Representndola por (epsilon) se tiene:
Puesto que el alargamiento y la longitud estn expresados en las
mismas unidades, la deformacin normal obtenida al dividir por L es
una cantidad sin dimensiones (adimensional). As se obtiene el mismo
valor numrico para la deformacin normal en un elemento dado
utilizando el sistema SI de unidades mtricas o el sistema americano
de unidades.LEY DE HOOKE. MDULO DE ELASTICIDAD La mayor parte de
las estructuras se disean para sufrir pequeas deformaciones, que
involucran slo la parte lineal del diagrama esfuerzo deformacin
(Unidad 2). Para la parte inicial del diagrama (vase la figura 5),
el esfuerzo es directamente proporcional a la deformacin y puede
escribirse:
Esta relacin es la ley de Hooke, llamada as en honor del
matemtico ingls Robert Hooke (1635-1703). El coeficiente E se llama
mdulo de elasticidad del material o tambin mdulo de Young en honor
del cientfico ingls Thomas Young (1773-1829). Como la deformacin E
no tiene dimensiones, el mdulo E se expresa en las mismas unidades
del esfuerzo , o sea, en pascales o uno de sus mltiplos en el
sistema SI, y en psi o ksi si se usa el sistema americano. El mayor
valor para el cual se puede utilizar la ley de Hooke para un
material dado es conocido como lmite de proporcionalidad de ese
material. En el caso de materiales dctiles con un punto de fluencia
bien definido, como en la figura 5a, el lmite de proporcionalidad
coincide con el punto de fluencia. Para otros materiales, el lmite
de proporcionalidad no puede definirse tan fcilmente puesto que se
hace difcil determinar con precisin el valor de para el cual la
relacin entre y ya no es lineal. Pero esta misma dificultad indica
que el usar la ley de Hooke para valores un poco mayores que el
lmite de proporcionalidad real no conducir a errores
significativos. Algunas de las propiedades fsicas de los metales
estructurales, como resistencia, ductilidad, resistencia a la
corrosin, etc., pueden resultar bastante afectadas por las
aleaciones, el tratamiento trmico o el proceso de manufactura
empleado. Por ejemplo, se nota en los diagramas esfuerzo -
deformacin de hierro puro y tres aceros de diferente grado (vase la
figura 6) que existen grandes variaciones en resistencia, lmite de
fluencia y deformacin final (ductilidad) entre esos cuatro metales.
Todos ellos, sin embargo, tienen el mismo mdulo de elasticidad, es
decir, su rigidez o capacidad para resistir una deformacin dentro
del rango lineal es la misma. Por tanto, si un acero de alta
resistencia sustituye a uno de baja resistencia en una estructura
dada y, si se mantienen iguales todas las dimensiones, la
estructura tendr una capacidad portante mayor, pero su rigidez
permanecer igual.
CURVATURAEs la deformada por flexin del eje longitudinal de una
viga recta, la cual se debe a la aplicacin de cargas transversales
en el plano xy sobre la viga.La ecuacin de la elstica es la ecuacin
diferencial que, para una viga de eje recto, permite encontrar la
forma concreta de la curva elstica. Concretamente la ecuacin de la
elstica es una ecuacin para el campo de desplazamientos que sufre
el eje de la viga desde su forma recta original a la forma curvada
o flectada final. Para una viga de material elstico lineal sometido
a pequeas deformaciones la ecuacin diferencial de la elstica viene
dada por:(1)Donde:representa la flecha, ordenada (eje y) o
desplazamiento vertical, respecto de la posicin sin cargas.la
abcisa (eje X) sobre la viga.el momento flector sobre la abcisa .el
segundo momento de rea o momento de inercia de la seccin
transversal.el mdulo de elasticidad del material.La ecuacin (1)
constituye slo una aproximacin, en la que se ha supuesto que las
deformaciones son muy pequeas con respecto a las dimensiones de la
viga y, por tanto, se ha aproximado el giro de una seccin de la
viga con la derivada primera de la flecha. Para deformaciones
mayores se obtiene la ecuacin ms exacta (1'):(1')La ecuacin de la
elstica (1) puede ser reescrita en funcin de la carga distribuida
q(x) sobre la viga:(2)Esta ltima ecuacin es interesante porque su
generalizacin a elementos bidimensionales es precisamente la
ecuacin fundamental de gobierno de placas o ecuacin de Lagrange
para placas delgadas:
Donde es la rigidez de una placa delgada en flexin.
Ejemplo
Viga deformada por flexin.Para una viga elstica en la que se
aplican slo momentos M1 y M2, la forma de la curva elstica depende
slo de dos parmetros independientes, la forma aproximada de la
deformada depender del valor y signo relativo de estos momentos,
siendo un caso tpico el mostrado en la figura adyacente.
Escribiendo la ley de momentos flectores para los puntos
intermedios de la viga y escogiendo las condiciones de contornos
llegamos a la ecuacin diferencial siguiente:
La solucin analtica de ecuacin anterior con cualquiera de los
dos posibles elecciones de contorno, se obtiene como:
RIGIDEZ Los coeficientes de rigidez son magnitudes fsicas que
cuantifican la rigidez de un elemento resistente bajo diversas
configuraciones de carga. Normalmente las rigideces se calculan
como la razn entre una fuerza aplicada y el desplazamiento obtenido
por la aplicacin de esa fuerza.
Para barras o vigas se habla as de rigidez axial, rigidez
flexional, rigidez torsional o rigidez frente a esfuerzos
cortantes, etc.Rigidez axialLa rigidez axial de un prisma o barra
recta, como por ejemplo una viga o un pilar es una medida de su
capacidad para resistir intentos de alargamiento o acortamiento por
la aplicacin de cargas segn su eje. En este caso la rigidez depende
slo del rea de la seccin transversal (A), el mdulo de Young del
material de la barra (E) y la longitud de la siguiente manera:
Rigidez flexionalLa rigidez flexional de una barra recta es la
relacin entre el momento flector aplicado en uno de sus extremos y
el ngulo girado por ese extremo al deformarse cuando la barra est
empotrada en el otro extremo. Para barras rectas de seccin uniforme
existen dos coeficientes de rigidez segn el momento flector est
dirigido segn una u otra direccin principal de inercia. Esta
rigidez viene dada:
Donde son los segundos momentos de rea de la seccin transversal
de la barra.Rigidez frente a cortanteLa rigidez frente a cortante
es la relacin entre los desplazamientos verticales de un extremo de
un viga y el esfuerzo cortante aplicado en los extremos para
provocar dicho desplazamiento. En barras rectas de seccin uniforme
existen dos coeficientes de rigidez segn cada una de las
direcciones principales:
Rigidez mixta flexin-cortanteEn general debido a las
caractersticas peculiares de la flexin cuando el momento flector no
es constante sobre una taza prismtica aparecen tambin esfuerzos
cortantes, eso hace al aplicar esfuerzos de flexin aparezcan
desplazamientos verticales y viceversa, cuando se fuerzas
desplazamientos verticales aparecen esfuerzos de flexin. Para
representar adecuadamente los desplazamientos lineales inducidos
por la flexin, y los giros angulares inducidos por el cortante, se
define la rigidez mixta cortante-flexin que para una barra recta
resulta ser igual a:
Rigidez torsionalLa rigidez torsional en una barra recta de
seccin uniforme es la relacin entre el momento torsor aplicado en
uno de sus extremos y el ngulo girado por este extremo, al mantener
fijo el extremo opuesto de la barra:
Donde G el mdulo elstico transversal, J es el momento de inercia
torsional y L la longitud de la barra.
BIBLIOGRAFA
Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecnica Vectorial para
Ingenieros I, Esttica. Bogot, Colombia: McGraw-Hill
Latinoamericana, S.A.
Beer, F. y Johnston, E. (1993). Mecnica de materiales. Santaf de
Bogot, Colombia: McGraw-HillInteramericana, S.A.
Popov, E. (1996). Introduccin a la mecnica de slidos. Mxico,
D.F., Mxico: Editorial Limusa, S.A. de C.V.
Singer, F. y Pytel, A. (1982). Resistencia de materiales. Mxico,
D.F., Mxico: Harla, S.A. de C.V.
INTRODUCCIONLa mecnica es la ciencia que estudia el efecto que
las fuerzas producen sobre los cuerpos. Para su estudio la mecnica
se divide en mecnica de slidos y mecnica de fluidos. La mecnica de
slidos, objeto de este libro, comprende el estudio de los cuerpos
rgidos y de los cuerpos deformables. El concepto de cuerpo rgido es
terico, pues todos los cuerpos se deforman al ser sometidos a
fuerzas. Sin embargo, desde el punto de vista ingenieril, en muchas
aplicaciones se puede suponer que los cueros son indeformables, sin
introducir errores significativos.La esttica y la dinmica, que
estudian el equilibrio y el movimiento de los cuerpos
respectivamente, se desarrollan bajo la suposicin de que los slidos
son cuerpos rgidos. Cuando se requiere conocer los cambios
dimensionales o de forma, que experimentan los cuerpos sometidos a
fuerzas, as como su capacidad para soportarlas, se invoca a la
mecnica de los cuerpos deformables o resistencia de materiales. En
este primer captulo se aborda el estudio de los cuerpos en
equilibrio, tema de estudio de la esttica
CONCLUSINLa fuerza cortante es aquella seccin de una viga, para
la que el momento flector es mximo, el esfuerzo cortante es nulo o
cambia designo pasando por un mnimo Para simplificar el estudio de
las vigas es conveniente representar de modo grfico la variacin del
momento flector y de la fuerza cortante a lo largo de la viga
obtenindose el diagrama de fuerza cortante Q de una viga es una
lnea, cutas abscisas representan distancias a lo largo de la viga y
cuyas ordenadas indican fuerzas cortantes verticales en las
distintas secciones de la misma.
El diagrama de momento flector M de una viga es una lnea o curva
cuyas abscisas representas distancias a lo largo de la viga y cuyas
coordenadas indican los momentos flectores en las correspondientes
secciones.