Gravitação (Item 2) 1 Prof. Dr. Bruno Barros Cunha Departamento de Física – DAFIS Universidade Tecnológica do Paraná - UTFPR Física 2
Gravitação (Item 2)
1
Prof. Dr. Bruno Barros Cunha Departamento de Física – DAFIS
Universidade Tecnológica do Paraná - UTFPR
Física 2
Visão Geral
2
1. Gravitação;
2. Princípio da superposição;
3. Proximidades da superfície da Terra;
4. Interior do planeta;
5. Energia potencial gravitacional;
6. Velocidade de escape;
7. Leis de Kepler;
8. Princípio da Equivalência;
9. Atividade Prática Supervisionada (APS)
Introdução
3
Um dos objetivos da física é compreender a força gravitacional, a força que nos mantém na superfície da Terra, mantém a Lua em órbita em torno da Terra e que mantém a Terra em órbita em torno do Sol.
4
Também é a força que mantém as galáxias e seus corpos celestes unidos. Esta força é responsável por um das entidades mais misteriosas do universo, o buraco negro. Quando uma estrela consideravelmente maior que o Sol se apaga, a força gravitacional entre suas partículas pode fazer com que a estrela se contraia indefinidamente, formando um buraco negro. Apesar da força gravitacional não esteja totalmente compreendida, o ponto de partida para nosso entendimento é a lei da gravitação de Isaac Newton.
Introdução
Remco C. E. et al., An over-massive black hole in the compact lenticular galaxy NGC 1277, Nature, Vol.: 491, 729-731
Medições indicam que os buracos negros centrais têm em média 0,1% da massa de sua respectiva galáxia. No entanto a galáxia NGC 1277 tem um buraco negro com 14 % de toda massa da galáxia, sendo maior buraco negro conhecido.
A Lei da Gravitação de Newton
5
Isaac Newton ao 23 anos de idade, demonstrou que não existe diferença entre a força que mantém a Lua em órbita e for responsável pela queda de uma maçã. Sua obra, Princípios Matemáticos de Filosofia Natural, é considerada uma das mais influentes na história da ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei da gravitação universal e as três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica clássica.
A Lei da Gravitação de Newton
6
Newton concluiu que não só a Terra atrai as maças e a Lua, mas também cada copo do universo atrai todos os demais. Esta tendência dos corpos de se atraírem mutuamente é chamada de gravitação. A universalidade da gravitação não é óbvia para nós porque a força de atração que a Terra exerce sobre os corpos próximos é muito mais que a força de atração que estes corpos exercem uns sobre os outros. Newton propôs uma lei para essa força, a chamada lei da gravitação de Newton.
Newton) de gravitação da (lei 2
21
r
mmGF
• Onde m1 e m2 são as massa das partículas; • r é a distância entre elas; • G é um constante conhecida como constante gravitacional;
²/³1067,6
²/².1067,6
11
11
skgm
kgmNG
A Lei da Gravitação de Newton
7
Identificando a força gravitacional e sua direção.
Esta é a força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1.
Desenhamos o vetor com a origem na partícula 1, apontando para a partícula 2.
Um vetor unitário também aponta para a partícula 2.
A força gravitacional exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1 é uma força atrativa;
r̂2
21
r
mmGF
A força gravitacional exercida pela partícula 1 sobre a partícula 2 é igual em módulo da força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1 no entanto com sentido oposto. Outras partículas fora deste sistema não são capazes de blindar as interações que ocorrem entre as partículas 1 e 2 acima.
A Lei da Gravitação de Newton
8
Newton resolveu o problema da atração entre Terra e a maça provando um importante teorema, conhecido como teorema das cascas: Uma casca esférica homogênea de matéria atrai uma partícula que se encontra fora da casa como se toda a massa da casca estivesse concentrada no seu centro. Embora as forças tenham o mesmo módulo, produzem acelerações diferentes quando a maçã começa a cair.
Aceleração da maçã = 9,8 m/s² Aceleração da Terra = 1 ∙10-25 m/s²
Princípio da superposição
9
Princípio da superposição trata-se de um princípio segundo o qual, em muitas circunstâncias, um efeito total pode ser calculado somando efeitos parciais. Em gravitação, esse princípio pode ser aplicado para calcular a força total a que uma partícula está submetida somando vetorialmente as forças que todas as outras partículas exercem sobre ela. De forma compacta através de um somatório No caso limite, podemos dividir o objeto de dimensões finitas em partes infinitesimais de mass
dm, cada uma das quais exerce uma força infinitesimal d𝐹 sobre a partícula. Nesse limite, o somatório da equação acima se torna uma integral, e temos Se o objeto é uma esfera ou uma casca esférica, podemos evitar a integração. Supondo que a massa do objeto está concentrada no centro
nres FFFFFF 151141312,1
n
i
ires FF2
1,1
FdF
1
A Gravitação nas Proximidades da Superfície da Terra
10
Vamos supor que a distância é uma esfera uniforme de massa M. O módulo da força gravitacional que a Terra exerce sobre uma partícula de massa m, localizada fora da Terra a uma distância r do centro da Terra é dado por: A partícula quando liberada se movimenta em direção ao centro da Terra em função da força gravitacional com uma aceleração que chamaremos de aceleração da gravidade 𝑎𝑔.
De acordo com a segunda lei de Newton, temos: Substituindo na equação da força gravitacional podemos explicitar a aceleração da gravidade. Considerando a Terra um referencial inercial a aceleração da gravidade é igual da queda livre g de uma partícula , com valor de 9,8 m/s².
2r
MmGF
gmaF
2r
MGag
A Gravitação nas Proximidades da Superfície da Terra
11
O valor de g poderá ser diferente de 9,8 m/s² por alguns motivos: 1. A massa da Terra não está distribuída uniformemente; 2. A Terra não é uma esfera perfeita; 3. A Terra está girando;
Núcleo Interno
Núcleo externo
Manto
Distância do centro
Den
sid
ade
Polo Norte
Balança
Caixote
A Gravitação nas Proximidades da Superfície da Terra
12
Caixote
A Gravitação nas Proximidades da Superfície da Terra
13
A rotação da Terra faz que aceleração de queda livre seja menor que a aceleração gravitacional. A diferença entre g e ag é igual a w2R sendo máxima no equador visto que o raio R da circunferência descrita pelo caixote é máximo no equador. Esta diferença é de apenas 0,034 m/s².
A Gravitação no interior da Terra
14
O teorema das cascas de Newton também pode ser aplicado a uma situação na qual a partícula se encontra no interior de uma casca uniforme, para demonstrar o seguinte: Uma casca uniforme de matéria não exerce força gravitacional resultante sobre uma partícula localizada no seu interior. Isto significa que a resultante de todas as forças gravitacionais que agem sobre a partícula é nula.
Minterior
Considerando a massa da Terra uniformemente distribuída.
• A força gravitacional que age sobre uma partícula seria máxima na superfície da Terra e decresceria à media que a partícula se movesse para fora, afastando-se do planeta;
• Se a partícula se movesse para dentro, exemplo, penetrando no poço de uma mina, a força gravitacional sobre a partícula diminuiria progressivamente a medida que a partícula se aproximasse do centro da terra;
Considerando a massa da Terra não-uniformemente distribuída (caso real).
• A força aumenta e atinge um valor máximo a uma certa profundidade e depois começa a diminuir;
Energia Potencial Gravitacional
15
Considere a energia potencial gravitacional U de duas partículas, de massa m e M, separadas por uma distância r . Escolhemos uma configuração de referência com U igual a zero. Para simplificar as equações r é tão grande que podemos considerá-la infinita. Como U = 0 para r = ∞, a energia potencial é negativa para qualquer distância finita e se tona progressivamente mais negativa à medida que as partículas se aproximam. A energia potencial dada pela a equação acima é uma propriedade do sistema de duas partículas. Não podendo ser dividida para cada partícula, entretanto, se M ≫m podemos considerar a energia potencial da partícula menor.
23
32
13
31
12
21
r
mGm
r
mGm
r
mGmU
Energia Potencial Gravitacional
16
Interessados em obter a energia potencial gravitacional U no ponto P da trajetória de um objeto lançado verticalmente para cima a partir da superfície a uma distância radial R do centro da Terra. Devemos calcular o trabalho W em função da notação vetorial: (i)
A integral contém o produto escalar da força 𝐹 (𝑟) pelo vetor deslocamento diferencial 𝑑𝑟 ao longo da trajetória da bola. Podemos expandir esse produto como (ii)
onde phi é o ângulo entre 𝐹 (𝑟) e 𝑑𝑟 . Sendo M e m as massas da terra e do objeto respectivamente. Quando substituímos o ângulo por 180° e F(𝑟) pelo valor da equação abaixo (iii) obtemos
R
rdrFW
)(
cos)()( drrFrdrF
2r
MmGF
drr
GMmrdrF
²)(
Demonstração da Energia Potencial Gravitacional
Energia Potencial Gravitacional
17
Substituindo na equação (i) onde W é o trabalho necessário para deslocar a bola do ponto P (a uma distância R) até o infinito. Podemos escrever esse trabalho (∆𝑈 = −𝑊)em termos de energias potenciais como Como a energia potencial no infinito 𝑈∞ é nula, U é a energia potencial em P e W é dado por Substituindo R por r, obtemos a equação (iv) que queríamos demonstrar (iv)
R
GMm
R
GMm
r
GMmdr
rGMmW
RR
0
²
1
WUU
R
GMmWU
Demonstração da Energia Potencial Gravitacional
Independência da Trajetória
18
Terra
O trabalho da força gravitacional depende somente das trajetórias AB, CD e EF, pois é nulo nas demais trajetórias. Pois segundo a ilustração do trabalho a força aplicada é nula quando o ângulo entre a força e trajetória é de 90°.
Velocidade de Escape
19
Quando lançamos um projétil para cima, normalmente ele diminui de velocidade, para momentaneamente e cai de volta em direção à Terra. Para velocidade acima da velocidade de escape (da terra) , a velocidade só se anula quando o projétil estiver uma distância infinita da terra. A velocidade de escape é uma velocidade na qual a energia cinética de um corpo é igual em magnitude à sua energia potencial em um campo gravitacional, Ela é normalmente descrita como a velocidade necessária para "libertar-se" de um campo gravitacional; Em uma distância infinita o projétil não possui energia potencial gravitacional U nem energia cinética K. Pela conservação de energia devemos considerar que a energia total do projétil na superfície do plante também deve ter sido nula, logo Portanto a velocidade de escape é dado por
0²2
1
R
GMmmvUK
R
GMv
2
Velocidade de Escape
20
Ônibus Espacial Atlantis parte na missão STS-71. A necessidade de atingir a velocidade de escape não se aplica de forma estrita a veículos autopropulsionados e aqueles que não deixam a órbita da Terra, como o Ônibus Espacial. Os foguetes americanos são lançados na direção leste em Cabo Canaveral para aproveitar a velocidade local para o leste, de cerca de 1500 km/h em consequência da rotação da Terra.
Algumas Velocidades de Escape
21
a O maior asteróide b Uma anã branca (estrela em um estágio final de evolução) que é companheira da estrela Sirus. c O núcleo desno de uma estrela que se transforma em supernova.
Planetas e Satélites: As Leis de Kepler
22
Estas leis poderão ser utilizadas tanto para planetas em torno do sol como para satélites naturais e artificiais em torno da terra ou outro corpo qualquer cuja massa é muito maior que a do satélite.
m: massa do planeta; M: massa do Sol; F: foco da elipse ocupado pelo sol; F”: foco da elipse localizado no espaço vazio; ea: distância de qualquer foco ao centro da elipse; a: Semieixo maior da elipse. b: Semieixo menor da elipse. Rp: distância do periélio (ponto mais próximo do Sol); Ra: distância do afélio (ponto mais afastado do sol)
b
Planetas e Satélites: As Leis de Kepler
23
A área da cunha sombreada é praticamente igual à área varrida no intervalo de tempo Δt pela
reta que liga o sol ao planeta, que estão separados pela distância r . A área ΔA da cunha é
aproximadamente igual à área de um triângulo de base 𝑟∆𝜃 e altura r. Consideramos à área de um triângulo quando Δt se aproxima de zero, logo
(v)
Onde w é a velocidade angula da reta que liga o Sol ao planeta.
O momento linear 𝑝 do planeta em relação ao Sol é dado pelo produto de r e 𝑝┴
(vi)
wrdt
dr
dt
dA²
2
1²
2
1
Planetas e Satélites: As Leis de Kepler
24
Onde substituímos e 𝑣┴ por wr . Combinando as Eqs. (v) e (vi) obtemos
(vii)
De acordo com Equação (vii), a afirmação de Kepler de que dA/dt é constante equivale a dizer
que L é constante, ou seja, que o momento angula é conservado. A segunda lei de Kepler é,
portanto, equivalente à lei de conservação do momento angular.
A grandeza entre parênteses é uma constante que depende apenas da massa M do corpo central
em torno do qual o planeta gira. Esta equação é válida para órbitas elípticas, desde que r seja
substituído por a, o semi-eixo maior da elipse. Esta lei prevê que a razão T2/a³ tem praticamente o
mesmo valor.
m
L
dt
dA
2
períodos) dos (lei ³4
²2
rGM
T
³4
²2
aGM
T
Satélites: Órbitas e Energias
25
Quando um satélite gira em torno da Terra em um trajetória elíptica, tanto a velocidade, que
determina a energia cinética K, como a distância ao centro da Terra, que determina a energia
potencial gravitacional U , variam com o tempo. Entretanto, a energia mecânica E do satélite
permanece constante.
Como a massa do satélite é muito menor que a massa da Terra, atribuímos U e E do sistema
satélite-Terra apenas ao satélite.
A energia potencial do sistema é dada por
Com U = 0 para uma distância infinita. A variável r é o raio da órbita do satélite. Com M e m
sendo as massas da Terra e do satélite, respectivamente.
Para determinar a energia cinética escrevemos a segunda lei de Newton (F = ma) como
Sendo v²/r a aceleração centrípeta do satélite. Nesse caso a energia cinética é
r
vm
r
GMm ²2
r
GMmmvK
2²
2
1
Satélites: Órbitas e Energias
26
O que mostra que, para um satélite em uma órbita circular
A energia mecânica total do satélite em órbita é
(viii)
Este resultado mostra que, para um satélite em uma órbita circular, a energia total E é o negativo
da energia cinética K.
E = - K (órbita circular)
Para um satélite em uma órbita elíptica com semieixo maior a, podemos substituir r por a na
Equação (viii) para encontrar a energia mecânica:
2
UK
r
GMmE
r
GMm
r
GMmUKE
2
2
(órbita circular)
(órbita circular)
Satélites: Órbitas e Energias
27
De acordo com esta equação a energia total de um satélite em órbita depende apenas do semieixo maior da órbita, e não da excentricidade e. O que significa que um mesmo satélite teria a mesma energia mecânica total E nas quatro órbitas.
Einstein e a Gravitação
28
O Princípio da Equivalência Segundo Einstein, ele começou a formula sua teoria da relatividade geral, a partir da seguinte pensamento: “Se uma pessoa cair livremente, não sentirá o próprio peso”, isto levou também à teoria da gravitação. O postulado fundamental dessa teoria da gravitação (da atração gravitacional entre objetos) é o chamado princípio da equivalência, segundo o qual a gravitação e a aceleração são equivalentes.
Nas duas situações: (a) – O sistema está sob ação da gravidade de 9,8 m/s²; (b) – O sistema está sob ação de uma aceleração de 9,8 m/s²; Em ambos os casos não há diferença na marcação da balança tão pouco alteração no movimento da bola.
Einstein e a Gravitação
A curvatura do espaço Einstein mostrou que a gravitação se deve a uma curvatura do espaço causada pelas massas (curvatura espaço-tempo); Quando a luz passa nas vizinhanças da Terra a trajetória da luz se encurva ligeiramente por causa da curvatura do espaço, um efeito conhecido como lente gravitacional. Devemos atribuir a gravitação à curvatura do espaço-tempo ou a uma força entre as massas? Ou devemos atribuí-la à ação de um tipo de partícula elementar chamado gráviton, como propõem algumas teorias físicas recentes? Simplesmente não sabemos.
30
Atividade Prática Supervisionada (APS 2)
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. 8ª Edição V2 Capítulo 13 Problemas: 4, 6, 7, 11, 13, 15, 16, 17, 20, 25, 29, 31, 32, 35, 43, 47, 49, 52, 55, 59, 61, 69;
31
Referências
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=maior-buraco-negro