Analisis Struktur II - 38 5. Frame Frame atau portal merupakan kombinasi dari batang yang mengalami gaya aksial desak atau tarik (rangka batang) dan batang yang mengalami momen dan gaya geser pada joint/titik nodal (balok) baik dalam bentuk dua dimensi (bidang) atau tiga dimensi (ruang). 1. Frame dua dimensi (plane frame system) balok kantilever (overhang) kolom sendi rol jepit Gambar. 5.1. konfigurasi frame Y y i j X x Gambar 5.2. Frame (Sumber Bambang Suhendro, 2000)
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Analisis Struktur II - 38
5. Frame
Frame atau portal merupakan kombinasi dari batang yang mengalami gaya aksial
desak atau tarik (rangka batang) dan batang yang mengalami momen dan gaya
geser pada joint/titik nodal (balok) baik dalam bentuk dua dimensi (bidang) atau
tiga dimensi (ruang).
1. Frame dua dimensi (plane frame system)
balok kantilever (overhang)
kolom
sendi rol jepit
Gambar. 5.1. konfigurasi frame
Y
y
i
j
X
x
Gambar 5.2. Frame (Sumber Bambang Suhendro, 2000)
Analisis Struktur II - 39
Pada sistem frame, tiap 1 titik nodal akan mengalami gaya aksial (fx), gaya lintang
(fy) dan momen lentur (mz), sedangkan displacement yang terjadi akan
bersesuaian dengan gaya yang terjadi yaitu lendutan searah sumbu x (ui), lendutan
searah sumbu y (vi) dan rotasi sudut (z), sehingga untuk 1 elemen akan
mengalami 6 macam gaya (masing-masing 3 ditiap titik nodal) dan 6 macam
displacement.
Gambar 5.3. Idealisasi balok
Gambar 5.4. Idealisasi rangka batang.
Secara matrik bentuk persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut,
j
j
j
i
i
i
zj
yj
xj
zi
yi
xi
v
u
v
u
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
E
L
EI
L
EL
AE
L
AEL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
E
L
EI
L
EL
AE
L
AE
m
f
f
m
f
f
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
2323
22
2323
Analisis Struktur II - 40
eee ukf …(5.1)
ef : vektor gaya koordinat lokal pada frame
ek : matrik kekakuan lokal elemen frame
eu : vektor displacement koordinat lokal
Gambar 5.5. Displacements titik nodal pada koordinat lokal dan global
Gambar 5.6. Gaya pada koordinat lokal dan global
2. Transformasi koordinat
Transformasi koordinat berguna untuk menggabungkan elemen yang berbeda
orientasi (berbeda sudut) menjadi gabungan elemen yang bersifat global.
Merupakan matrik yang menghubungkan antara matrik elemen lokal terhadap
matrik elemen global.
Analisis Struktur II - 41
a. koordinat lokal b. koordinat global
Gambar 5.7. Transformasi koordinat
y Y
Fy x
fy”
fx” Fx
fy’
X
i fx’
Gambar 5.8. Hubungan antara koordinat lokal dan global
dari gambar tersebut dapat diperoleh:
fx’=Fx cos fx”=Fy sin
fy’= Fx sin fy”=Fy cos
berdasarkan vektor perpindahannya diperoleh:
fx=fx’+fx”=Fx cos + Fy sin
fy=fy’+fy”=Fy cos - Fx sin
dan untuk momen Mz tidak mengalami perubahan, sehingga Mz=1. Mz’=1. Mz”
dalam bentuk matrik ditulis sebagai berikut:
Analisis Struktur II - 42
Mz
Fy
Fx
mz
fy
fx
100
0cossin
0sincos
Sehingga untuk balok yang selain mengalami gaya aksial juga mengalami momen
lentur, diperoleh matriks transformasi sebagai berikut (untuk 1 elemen) atau
dalam matrik sebagai berikut:
j
j
j
i
i
i
j
j
j
i
i
i
V
U
V
U
v
u
v
u
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
eee UTu
eee ukf
eeeee UTkFT
pada ruas kiri dan kanan dikalikan dengan 1eT
eeeeeee UTkTFTT
11
eeeee UTkTF
1
atau dalam bentuk yang umum ee
g
e UkF
dengan nilai eetee
g TkTk
Contoh 1.
Y P=100 kN
45o
1 1 45O
Mzb=50 kNm
1 2 2
A=6x103 mm
2
I=200x106mm
4
E=200 kN/mm2 2 A=4x10
3 mm
2
5m I=50x106 mm
4
E=200 kN/mm2
X
8m 3
Analisis Struktur II - 43
1. Elemen 1 (batang 1-2) =0o
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
Ei
L
EI
L
EiL
AE
L
AEL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
Ei
L
EI
L
EiL
AE
L
AE
k e
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
2323
22
2323
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
T
2
2
2
1
1
1
1
...
...
...
...
...
...
10000075,1805000075,180
75,180047,0075,180047,00
0075,00075,0
5000075,18010000075,180
75,180047,0075,180047,00
0075,00075,0
200
v
u
v
u
k
Sudut =0o maka matrik transformasi merupakan matrik identitas, sehingga
11
gkk
Analisis Struktur II - 44
2. Elemen 2 (batang 2-3) =270o
3
3
3
2
2
2
2
...
...
...
...
...
...
4000012020000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200012040000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200
v
u
v
u
k
sudut =270o diperoleh matrik transformasi
3
3
3
2
2
2
...
...
...
...
...
...
100000
001000
010000
000100
000001
000010
v
u
v
u
T
matrik transformasi yang ditranspose
3
3
3
2
2
2
2
...
...
...
...
...
...
100000
001000
010000
000100
000001
000010
v
u
v
u
TT
2222 TkTkT
g
3
3
3
2
2
2
2
...
...
...
...
...
...
4000001220000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
2000001240000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
200
v
u
v
u
k g
Analisis Struktur II - 45
3. Overall stiffness matrix
4000001220000012000
08,0008,00000
1200048,01200048,0000
2000001214000075,18125000075,180
08,0075,188047,0075,180047,00
1200048,01207548,00075,0
0005000075,18010000075,180
00075,180047,0075,180047,00
0000075,00075,0
200
333222111
gk
vuvuvu
4. Boundary condition (kondisi batas)
u1=v1=1=u3=v3=3=0 (tumpuan terjepit)
u2=v2=2=? (titik nodal, displacement yang akan dicari)
ee
g
e UkF
2
2
2
14000075,1812
75,188047,00
1207548,0
200
50000
71068,70
71068,70
v
u
diperoleh displacement di titik nodal 2
rad
mm
mm
v
u
00169,0
39989,0
44147,0
2
2
2
5. Gaya batang elemen 1
eeeeee UTkukf
1111 UTkf
10000075,1805000075,180
75,180047,0075,180047,00
0075,00075,0
5000075,18010000075,180
75,180047,0075,180047,00
0075,00075,0
200
2
2
2
1
1
1
z
y
x
z
y
x
m
f
f
m
f
f
Analisis Struktur II - 46
00169,0
39989,0
44147,0
0
0
0
100000
010000
001000
000100
000010
000001
kNmm
kN
kN
kNmm
kN
kN
931,35385
729,6
221,66
756,18442
729,6
221,66
6. Gaya batang elemen 2
eeeeee UTkukf
2222 UTkf
4000012020000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200012040000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200
3
3
3
2
2
2
x
y
x
z
y
x
m
f
f
m
f
f
0
0
0
00169,0
39989,0
44147,0
100000
001000
010000
000100
000001
000010
kNmm
kN
kN
kNmm
kN
kN
789,7836
490,4
982,63
069,14614
490,4
982,63
-18442,756 kNmm 35385,931 kNmm
-14614,06 kNmm
7836,78 kNmm
Gambar 5.9. Bending Momen Diagram (BMD)
Analisis Struktur II - 47
Contoh 2.
B C
2
A=6x103 mm
2
I=200x106mm
4
1 E=200 kN/mm2 3 A=4x10
3 mm
2
5m I=50x106 mm
4
E=200 kN/mm2
(data untuk kolom)
A 8m D
L
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
E
L
EI
L
EL
AE
L
AEL
EI
L
EI
L
EI
L
EIL
EI
L
Ei
L
EI
L
EiL
AE
L
AE
k e
460
260
6120
6120
0000
260
460
6120
6120
0000
22
2323
22
2323
Gambar 5.10. Gaya
Geser/Lintang
Gambar 5.11. Gaya Aksial
66,21 kN (tarik)
-63,98 kN (tekan)
6,729 kN
4,49 kN
Analisis Struktur II - 48
100000
0cossin000
0sincos000
000100
0000cossin
0000sincos
T
Elemen 1 (batang a-b) =90o
b
b
b
a
a
a
ab
v
u
v
u
k
...
...
...
...
...
...
4000012020000120
120048,00120048,00
008,0008,0
2000012040000120
120048,00120048,00
008,0008,0
200
b
b
b
a
a
a
ab
v
u
v
u
T
...
...
...
...
...
...
100000
001000
010000
000100
000001
000010
b
b
b
a
a
a
Tab
v
u
v
u
T
...
...
...
...
...
...
100000
001000
010000
000100
000001
000010
ababTabab
g TkTk
b
b
b
a
a
a
ab
g
v
u
v
u
k
...
...
...
...
...
...
4000001220000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
2000001240000012
08,0008,00
1200048,01200048,0
200
Analisis Struktur II - 49
Elemen 2 (batang b-c) =0o
c
c
c
b
b
b
bc
v
u
v
u
k
...
...
...
...
...
...
10000075,1805000075,180
75,1800469,0075,1800469,00
0075,00075,0
5000075,18010000075,180
75,1800469,0075,1800469,00
0075,00075,0
200
c
c
c
b
b
b
bc
v
u
v
u
T
...
...
...
...
...
...
100000
010000
001000
000100
000010
000001
Karena matrik transformasi merupakan matrik identitas maka bc