FRAKTALER - users-phys.au.dkusers-phys.au.dk/fogedby/statphysII/notes/fractals2.pdf · IFA 13. marts 2009 FRAKTALER 10 Hilbert og Peano David Hilbert (1862-1943) Giuseppe Peano (1858-1932)

FRAKTALERFRAKTALER

Hans FogedbyHans FogedbyInstitut for fysik og astronomiInstitut for fysik og astronomi

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 22

OVERSIGTOVERSIGT

Hvad er en fraktalHvad er en fraktalLidt historieLidt historieFraktaler i matematikkenFraktaler i matematikkenDen fraktale dimensionDen fraktale dimensionFraktaler i fysikkenFraktaler i fysikkenFraktaler i biologienFraktaler i biologienFraktaler som pyntFraktaler som pynt

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 33

Hvad er en fraktalHvad er en fraktal

Natur svampNatur svamp

Menger’sMenger’s svampsvamp””CloudsClouds areare not not spheresspheres, , mountainsmountains arearenot not conescones, , coastlinescoastlines areare not not circlescircles, and , and bark is not bark is not smoothsmooth, nor , nor doesdoes lightninglightningtraveltravel in a in a straightstraight line”line”

MandelbrotMandelbrot 19831983

Ny geometrisk beskrivelse af Ny geometrisk beskrivelse af skalaskala--invariante, eller invariante, eller selvsimilæreselvsimilæregenstande i naturvidenskaberne og genstande i naturvidenskaberne og matematikken. matematikken. Fraktaler karakteriseres af den såkaldte Fraktaler karakteriseres af den såkaldte fraktale dimension D.fraktale dimension D.

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 44

LigedannethedLigedannethed

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 55

LigedannethedLigedannethed

Jonathan Swift(1667-1745)

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 66

Lidt historieLidt historie

LeibnitzLeibnitz: : RekursivRekursiv ligedannethedligedannethedWeierstrassWeierstrass’ ”Monsterfunktion”’ ”Monsterfunktion”HilbertHilbert og og Peano’sPeano’s ”Monsterkurver””Monsterkurver”Koch’sKoch’s kurve og kurve og Cantor’sCantor’s fraktale støvfraktale støvRichardsonRichardson: : Kystlinie’sKystlinie’s længdelængdePoincarePoincare, Julia, , Julia, MandelbrotMandelbrot::IterationIteration af funktioner i den komplekse planaf funktioner i den komplekse planWittenWitten og Sander: Diffusionsbegrænset og Sander: Diffusionsbegrænset aggregering (DLA)aggregering (DLA)

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 77

Fraktaler i matematikkenFraktaler i matematikken

WeierstrassWeierstrass’ monsterfunktion’ monsterfunktionVon Von Koch’sKoch’s kurvekurveHilbertHilbert og og PeanoPeanoCantorCantorJulia og Julia og MandelbrotMandelbrot

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 88

WeierstrassWeierstrass’ monster funktion’ monster funktion

1

2 3 4

1

1( ) sin( )

..

aa a

k

k

k

F x kk

x x x x x

ππ=

=

=

= + + + +

∑

∑

x

Karl Weierstrass(1815-1887)

Kurve sammenhængende,Kurve sammenhængende,men knæk på alle skalaermen knæk på alle skalaer

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 99

Von Von Koch’sKoch’s kurvekurve

Helge von Koch(1870-1924)

Kurve sammenhængende,Kurve sammenhængende,men knæk på alle skalaermen knæk på alle skalaer

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1010

HilbertHilbert og og PeanoPeano

David Hilbert(1862-1943)

Giuseppe Peano(1858-1932)

Den rumfyldende Peano-kurve vendte op og ned på traditional matematik.Vilenkin udtrykte de således: “Alt er gået fra hinanden! Det er svært at forklareden effekt Peano's resultat havde på den matematiske verden. Det syntes somom alt var ruiner, at alle basale matematiske begreber havde tabt deresbetydning.“

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1111

HilbertHilbert KurveKurve

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1212

Georg Georg CantorCantorGrundlagde mængdeteoriGrundlagde mængdeteoriIndførte de uendelige tal (kardinaltal)Indførte de uendelige tal (kardinaltal)Revolutionerede matematikkenRevolutionerede matematikken

Georg Cantor (1845 - 1918)

Jeg placerer mig selv i modsætningtil de udbredte forestillinger vedrørendedet matematiske uendelighedsbegreb (Cantor)

Fra hans paradis skal ingen udvise os (Hilbert)

”Cantorism” er en sygdom som matematikken måkomme sig over (Poincare)

Tågesnak (Weyl)

Nogle citater:

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1313

CantorCantor--mængdenmængdenCantor-mængden kan ikke tællesCanter-mængden har ingen længdeCantor-mængden er en fraktal

Hvad fjerner vi:

L = 1

Procedure:Først fjernes en tredjedel, dernæst fjernes en tredjedel af tredjedelene, etc.

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1414

JuliaJulia--mængdermængder2 2

1

1

Kvadratisk Julia-mængdekonstant

2 konstantJulia-mængden består afde punkter i x-y planen somikke forsvinder væk når vi itererer

n n n

n n n

x x y

y x y+

+

= − +

= +

Gaston Julia (1893 - 1978)

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1515

BenoitBenoit MandelbrotMandelbrot“Clouds are not spheres, mountains are not cones,coastlines are not circles, and bark is not smooth,nor does lightning travel in a straight line”

Benoit Mandelbrot

Indførte betegnelsen ”fraktal” Demonstrerede anvendelse af fraktal geometri i matematikken og fysikken Bog:“The Fractal Geometry of Nature”

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1616

MandelbrotMandelbrot--mængdenmængden

Mandelbrot clickKan Zoomes clickAutomatisk click

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1717

Den fraktale dimensionDen fraktale dimension

Dæk genstanden med N kasser med sidelængde a. N(a) vil afhænge af aGør kasserne mindre og mindre.N(a) vil afhænge af a ifølge en potenslov

log log

DN aN D a

−== − × D er den fraktale dimensionD er den fraktale dimension

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1818

Gensyn med KochGensyn med Koch--kurvenkurvenN(a)=a-D, D fraktale dimension

N(1) = 1, N(1/3) = 4, N(1/9)=16, ..N(1/3n)=4n

DKoch =log4/log3 ~ 1.261< DKoch <2

Koch-kurven har en dimensionstørre end én Koch-kurven er ”ulden”Koch-kurven er uendelig langRepræsenterer en matematiskkystlinje

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 1919

Gensyn med Gensyn med CantorCantor mængdenmængden

N(a)=a-D, D fractal dimension

N(1) = 1, N(1/3) = 2, N(1/9)=4, ..N(1/3n)=2n

DCantor =log2/log3 ~ 0.630< DCantor <1

Cantor-mængden har en dimension mindre end énCantor-mængden er som ”støv”Cantor-mængden har ingen længde

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2020

Lewis Lewis FryFry RichardsonRichardsonMatematikerMatematiker, , fysikerfysiker ogog psykologpsykologBeskæftigede sig med vejrudsigterBeskæftigede sig med vejrudsigterMatematisk analyse af krig.Matematisk analyse af krig.Bog: ”Dødelige konflikters statistik”Bog: ”Dødelige konflikters statistik”Teori for turbulens i væskerTeori for turbulens i væskerForskning i længden af kyster og Forskning i længden af kyster og landegrænserlandegrænser

Lewis Fry Richardson(1881-1953)

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2121

Englands kystlinjeEnglands kystlinjeRichardson stillede spørgsmålet: Hvor lang er Englands kyst

SLængde (Målestok) , s'te potensLog(Længde) S Log(Målestok)S kaldes skalerings-eksponenten

×

S= - 0.25 Englands vestkystS= - 0.15 Tysklands landegrænseS= - 0.14 Portugal’s landegrænseS= - 0.02 Sydafrikas kystlinje

GoogleGoogle EarthEarth

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2222

Fraktaler i fysikkenFraktaler i fysikken

DLA DLA UdladningerUdladningerKolloider og elektroderKolloider og elektroderViskøs fingerdannelseViskøs fingerdannelseFlammefront og snefaldFlammefront og snefald

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2323

Diffusionsbegrænset aggregeringDiffusionsbegrænset aggregering(DLA)(DLA)

Diffusion Limited Aggregation (DLA)

Komputer-simulering af model for vækstForeslået af Witten og Sander (1981)

Tilføj kim i midtenLad partikler diffunderer ind fra omkredsenHvis en partikel rammer kim-partiklen sidder den fastDer dannes en forgrenet struktur (diffusions begrænset)Aggregatet har en fraktal dimension

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2424

DLA’sDLA’s fraktale dimensionfraktale dimensionLog-log plot af N(R) mod RHældningen giver den fraktale dimension DDLA’s fraktale dimension

D ≈ 1.7

Analyser morfologien af DLA klyngen ved hjælp af den fraktale dimension

R størrelsen af klyngenN(R) aggregerede partikler inden for en radius RD = 2 for kompakt vækst D < 2 for fraktal vækst

( ) DN R R≈

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2525

UdladningerUdladningerOverfladeudladning Udladningsmønster i en plastikblok

Opladet ved hjælp af 2 MeV elektroner

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2626

Kolloider og Kolloider og elekroderelekroder

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2727

Viskøs fingerdannelseViskøs fingerdannelse

Farvet vand sprøjtet ind i vådt ler At presse olie ud af klipper

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2828

Flammefront og snefaldFlammefront og snefaldUdbredelse af flammefront

Snefald på rude

Komputersimulering

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 2929

Fraktaler i biologienFraktaler i biologien

Fraktal vækst af ”bacillussubtilis” Eksperiment udført af Matsushita og FujikawaDer iagttages fraktal vækstDLA-lignende mønstreFraktal dimension D ~1.72

Bakteriekoloni

Komputergenereret fraktal

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 3030

Visne bladeVisne blade

Vissen bladkant Self-similær Koch-kurve

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 3131

Koraller og blomkålKoraller og blomkålSkala-invariant blomkål Skala-invariant koralvækst

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 3232

Fraktaler som pyntFraktaler som pynt

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 3333

BlueBlue metalmetal

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 3434

MedusaMedusa

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 3535

DruerDruer

IFA 13. marts 2009IFA 13. marts 2009 FRAKTALERFRAKTALER 3636

Slut