F α (x )= C α e i πy 2 cot α R f (x )e i πx 2 cot α e -i 2π sin α xy dx Aplicaci´ on en Scilab para el tratamiento de se˜ nales con la transformaci´ on de Fourier fraccionaria: Filtro de Wiener fraccionario Marcos Amaris Gonz´ alez 1 [email protected]Rafael ´ Angel Torres 2 [email protected]1 Autor 2 Director de Tesis Abril de 2009 Marcos Amaris Gonz´ alez DSP en dominios de Fourier fraccionarios con Scilab ⇒1/22
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Fractional Fourier Transform: Fractional Wiener Filter in Scilab
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Fα(x) = Cαe iπy 2 cotα∫
f (x)e iπx2 cotαe−i 2πsin α xy dx
Aplicacion en Scilab para el tratamiento desenales con la transformacion de Fourier
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Casos particulares
a α = aπ/2 Operador Operacion
0 o 4 0 o 2π F 0 = F 4 = I Identidad
1 π/2 F 1 = F FT
2 π F 2 = FF = P Reflexion
3 3π/2 F 3 = FF 2 = F−1 FT inversa
Tabla: Casos particulares de la FrFT
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Justificacion
Viabilidad Tecnica.
? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.
? Viabilidad Economica.? Viabilidad Social.
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Justificacion
Viabilidad Tecnica.
? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.
? Viabilidad Economica.? Viabilidad Social.
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Justificacion
Viabilidad Economica.
? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.? Viabilidad Economica.
? Viabilidad Social.
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Justificacion
Viabilidad Social.
? Tratamiento de senales en dominios de Fourier fraccionariossobre la plataforma Scilab.? Viabilidad Tecnica.? Viabilidad Economica.? Viabilidad Social.
GOTS IDETISUM
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Hipotesis
Discretizacion de la ecuacion 5
x = n∆x y = k∆y
Teorema de muestreo estandar de Shannon-Whittaker.
∆x =ξ
N∆y =
ζ
N
Segun lo anterior obtenemos la siguiente expresion:
fα(k) = Cαeiπk2ζ2 cot α
N2
n=N/2−1∑n=N/2
f (n)eiπn2ξ2 cot α
N2 e−2iπnkζξ
N2 sin α (9)
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Algoritmos fracF.m y fracft.m
fα(y) = Cα
∫ ∞∞
f (x)e iπ(y2 cotα+x2 cotα−2xy cscα)dx (10)
x2 cscα− x2 cscα + y 2 cscα− y 2 cscα = 0
y la ecuacion 10 queda de la siguiente manera:
fα(y) = Cα
∫ ∞∞
f (x)e iπ(y2(cotα−cscα)+x2(cotα−cscα)+(x−y)2 cscα)dx
(11)cotα− cscα = tanα/2 se reemplaza en la ecuacion 11:
Fα(y) = Cαe−iπ tan(α/2)y2∫ ∞−∞
e iπ cscα(y−x)2[e−iπ tan(α/2)x2
f (x)]dx .
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Teorema de muestreo en Dominios fraccionarios
Teorema (Muestreo en Dominios fraccionarios)
Sea f (x) una funcion tal que su Fα(y) tiene soporte compactofinito ζ, f (x) puede ser muestreada y reconstruida perfectamentesi las muestras se toman a una tasa ∆x ≤ sinα/ζ.
Figura: ∆x en dominios fraccionarios.1
1R. Torres, et al. Sampling theorem in fractional Fourier domains. (SPIE)”. Pag. 1188-1192. A Marano, J. L.
Paz (2004).
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Algoritmo Propuesto
ξ
N=
sinα
ζ⇒ ξζ = N sinα ξ = ζ =
√N sinα
y al implementar esto en la ecuacion 9,
fα(k) = Cαeiπk2 cos α
N
n=N/2−1∑n=N/2
f (n)eiπn2 cos α
N e−2iπnk
N (13)
Intervalo de accion del Kernel 0,5 ≤ |a| ≤ 1,5.
fα(k) = Cαeiπk2 cos α
N F
[f (n)e
iπn2 cos αN
]. (14)
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Convolucion fraccionaria
La convolucion fraccionaria fα∗ g de dos funciones f (x) y g(x) se
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Demostracion y Resultados
Propiedad de escalamiento de la FrFT
f (x/m)F−→ |M|F (my).
Figura: Senal escalada y su transformada de Fourier fraccionaria.
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Demostracion y Resultados
FrFT de una funcion rectangulo
Entre a mas tiende a 0, se obtiene un espectro frecuencial muyparecido a la funcion de entrada.
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Demostracion y Resultados
Distribucion de Wigner
Figura: Distribucion de Wigner de una senal rectangulo
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Demostracion y Resultados
Distribucion de Wigner
Figura: Rotacion de la DW de la senal rectangulo por la FrFT
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: Imagen Tru.jpg de Scilab Image Processing.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: FrFT de la imagen Tru.jpg con a = 0,5 en las filas y columnas.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: Prpiedad de Aditividad de la transformacion.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: Imagen onion de Matlab.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: FrFT de la imagen onion con a = 0,25 en la filas y a = 0,75 enlas columnas.
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Demostracion y Resultados
Imagenes
Figura: imagen onion en su dominio directo, luego de haber estado en eldominio fraccionario.
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Demostracion y Resultados
Filtro de Wiener fraccionario
Figura: Filtro creado.
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Demostracion y Resultados
Filtro de Wiener fraccionario
Figura: Luego del proceso de filtrado por convolucion fraccionaria.
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Limitaciones e Inconvenientes
♣ I think LATEX is fun.
♠ stacksize
No. de muestras Dimension fracF FrFT0 DFrFT
128 1 0 0 0.094
256 1 0.16 0.023 0.312
512 1 0.16 0.017 1.052
1024 1 0.18 0.016 4.657
128 2 1.265 1.219 20.937
256 2 2.813 2.828 177.984
512 2 6.672 7.141 1259.312
1024 2 17.515 19.843 6167.481
Tabla: Duracion de FrFT a senales 1D y 2D con los algoritmosimplementados
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Limitaciones e Inconvenientes
Inconvenientes en las Fases de los algoritmos
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Conclusiones
† Investigacion en diferentes areas.
† Analisis, estudio y tratamiento de senales no estacionarias sonmuchas de las ventajas de la FrFT .
† La convolucion fraccionaria y el filtro de Wiener fraccionario, seimplementan de tal forma que minimiza el error al momento de laseparacion de dos senales en el dominio de Fourier fraccionario.
† FrFT y Distribucion de Wigner.
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Preguntas
¿ ? ¿ ? ¿ ?
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Gracias por su atencion
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