fractals

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Ειδίκευση:

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Εργασία στα πλαίσια του μαθήματος:

Γεωμετρία των Fractals

Διδάσκουσα: Λεώνη Ευαγγελάτου – Δάλλα

Ιστορικά Στοιχεία στην

Fractal Γεωμετρία

και μια Διδακτική Πρόταση

Βισκαδουράκης Βασίλειος (Α.Μ. 980102)

Σουγιούλ Αλκαίος-Γεώργιος (Α.Μ. 983502)

ΑΘΗΝΑ 1999

Εργασία στα πλαίσια του μαθήματος:

Γεωμετρία των Fractals

Διδάσκουσα: Λεώνη Ευαγγελάτου – Δάλλα

Ιστορικά Στοιχε ία στην

Fractal Γεωμετρία

Περιεχόμενα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ__________________________________________________________________________________1

ΓΕΝΙΚΑ____________________________________________________________________________________2

Μαθηματικά - Γεωμετρικά:_________________________________________________________________3

Φυσικά φαινόμενα_________________________________________________________________________3

Ανθρώπινες κατασκευές____________________________________________________________________4

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (ΣΕΣ)____________________________________4

ΣΥΝΟΛΟ CANTOR___________________________________________________________________________4

ΤΡΙΓΩΝΟ SIERPINSKI_______________________________________________________________________5

Ονομασία______________________________________________________________________________5

ΣΠΟΓΓΟΣ ΤΟΥ MENGER_____________________________________________________________________5

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ WEIERSTRASS_________________________________________________________________6

ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΓΕΜΙΖΟΥΣΕΣ ΤΟ ΧΩΡΟ__________________________________________________________6

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ________________________________________________________________________________8

JULIA______________________________________________________________________________________8

MANDELBROT______________________________________________________________________________9

ΚΑΛΙΤΕΧΝΕΣ______________________________________________________________________________10

Maurits Escher___________________________________________________________________________10

Albrecht Durer___________________________________________________________________________10

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΕΠΑΦΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΤΑ FRACTALS_____________11

Πειραματικά Μαθηματικά_________________________________________________________________11

Γιατί μπορούν (και πρέπει) να έχουν θέση στο αναλυτικό πρόγραμμα τα Fractals____________________12

Μια Διδακτική Πρόταση για την εισαγωγή μαθητών λυκείου στη γεωμετρία των fractals____________12

Προτεινόμενη πορεία____________________________________________________________________12

Παίζοντας… με τα Fractals_________________________________________________________________14

Εποπτικά μέσα για εισαγωγή στα fractals_____________________________________________________15

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ – ΠΗΓΕΣ___________________________________________________________________16

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η εργασία αυτή έγινε στα πλαίσια του Μαθήματος Γεωμετρία των Fractals–

διδάσκουσα Λ. Ευαγγελάτου-Δάλλα – κατά το εαρινό εξάμηνο 1999. Μέσα από τη

γνωριμία μας με την Fractal Γεωμετρία κληθήκαμε να παρουσιάσουμε την ιστορική

της εξέλιξη. Παρ' όλο που πρόκειται για έναν κλάδο των μαθηματικών που

δημιουργήθηκε και αναπτύχθηκε το τελευταίο μόλις τέταρτο του αιώνα μας – βέβαια

όπως θα δούμε παρακάτω έχει τις ρίζες του πολύ παλαιότερα – υπάρχει ήδη

εκτεταμένη βιβλιογραφία με κύριο όμως άξονα την εφαρμογή της γεωμετρίας αυτής

στην πληροφορική. Το γεγονός αυτό είναι πολύ φυσιολογικό εφόσον ούτως ή άλλως

η επιστήμη των υπολογιστών είναι αυτή που υλοποιεί, εφαρμόζει, αλλά και παράγει

αποτελέσματα της Fractal γεωμετρίας. Αξίζει να παρατηρήσουμε τη δυσκολία που

αντιμετωπίσαμε στη συλλογή καθαρά ιστορικού περιεχομένου το οποίο είναι

απόλυτα φυσιολογικό από τη στιγμή που είναι τόσο πρόσφατες και ραγδαίες οι

εξελίξεις ώστε δεν έχει ακόμη καν δημιουργηθεί η ιστορία των Fractals, πόσο μάλλον

να καταγραφεί. Όσον αφορά αυτά καθ’ αυτά τα fractals πρόκειται για έναν ανοικτό

και πολλά υποσχόμενα κλάδο των Μαθηματικών.

Σαν ένα δεύτερο αλλά όχι ξεχωριστό κομμάτι της δουλειάς μας, προσπαθήσαμε να

δώσουμε μια διδακτική προσέγγιση του αντικειμένου. Υποστηρίζουμε ότι και σε

επίπεδο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης είναι δυνατή μια εισαγωγή του μαθητή στις

βασικές έννοιες της αυτοομοιότητας και των απείρων διαδικασιών, έννοιες που αν μη

τι άλλο προάγουν τη δημιουργική σκέψη και οξύνουν τη φαντασία του μη

μαθηματικού στη διακριτή περιοχή των μαθηματικών.

Αθήνα, Μάιος 1999

Βισκαδουράκης Βασίλειος, Σουγιούλ Αλκαίος

1

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

ΓΕΝΙΚΑ

Η ανάπτυξη της γεωμετρίας των fractals δεν οφείλεται απλώς στην ικανοποίηση

αναγκών της καθαρής θεωρητικής έρευνας. Στηρίχθηκε κυρίως στην ανάγκη

ανάπτυξης μεθόδων εξομοίωσης ή πρόβλεψης, φυσικών αλλά και τεχνητών

συστημάτων.

Η λέξη Fractal προέρχεται από το λατινικό fractus (σπάζω δημιουργώ ακανόνιστα

κομμάτια, θρυμματίζω). Πολλοί συμπεριλαμβανομένου και του ιδίου του Mandelbrot

έπεσαν στο σφάλμα να θεωρήσουν ότι η λέξη Fractal είναι διφορούμενη και

εμπεριέχει σαν λογοπαίγνιο την έννοια που παραπάνω αναφέρουμε σε συνδυασμό με

το Fraction δηλ κλασματικός το οποίο εκφράζει το μη ακέραιο της διάστασής τους

(fractional συνεπώς fractal). Αυτό βέβαια δε στέκει από τη στιγμή που αφενός η

ακέραια διάσταση δεν παύει να είναι κλασματική, αφετέρου τα fractals δεν

περιορίζονται σε ρητές (κλασματικές) διαστάσεις.

Για το θέμα της ονομασίας Fractal στα Ελληνικά υπάρχει έντονος προβληματισμός. O

Ακαδημαϊκός Νικόλαος Αρτεμιάδης, προτείνει μέσα από μια αξιοσημείωτη

επιχειρηματολογία τον όρο "Θρύμμα" για την απόδοση του "Fractal" στην Ελληνική.

Η έννοια της αυτοομοιότητας παίζει κεντρικό ρόλο στην Fractal Γεωμετρία. Από

αυτήν εμπνεύστηκε η δημιουργία και σ' αυτήν βρίσκεται η γοητεία που έχουν ακόμη

και στον μη ειδικό τα fractals. Είχε κεντρίσει το ενδιαφέρον του ανθρώπου πολύ

καιρό πριν, όπως και κάθε είδους συμμετρία άλλωστε. Ο Dedekind αναφέρει σαν

χαρακτηριστική ιδιότητα των απείρων συνόλων: "είναι ίδια (ως προς την

πληθικότητα εννοεί) με κατάλληλα υποσύνολά τους".

Πολλά είναι – όπως θα δούμε – τα παραδείγματα συνόλων με δομή fractal που

προηγήθηκαν της ανακάλυψης της γεωμετρίας τους. Είχαν προκύψει κυρίως από

αντιπαραδείγματα, μαθηματική περιέργεια και έρευνα σε εντελώς άσχετες περιοχές

(πχ. μη τοπολογικές διαστάσεις). Αποτελούσαν για πολλά χρόνια τα τερατουργήματα

της μαθηματικής σκέψης και βέβαια απρόσιτα στην εποπτεία – φυσικό δεδομένης της

έλλειψης μέσων απεικόνισής τους. Ήταν γνωστά σε ελάχιστους ειδικούς και καθόλου

συσχετισμένα μεταξύ τους ως προς την κοινή ιδιότητα της αυτοομοιότητας.

Η πορεία της γεωμετρίας των fractals ξεκινάει με τον Benoit Mandelbrot. Η λέξη

fractal είναι κατασκευή του Mandelbrot, στα μέσα της δεκαετίας του 70 και σημαίνει

ένα σύνολο του οποίου η Hausdorff – Besicovitch διάσταση υπερβαίνει την

τοπολογική διάσταση (The Fractal Geometry of Nature). Βεβαίως αντικείμενα που

σήμερα ονομάζουμε fractals ήταν γνωστά από μαθηματικούς και καλλιτέχνες πολύ

νωρίτερα. Η παρατήρηση ότι όλα αυτά τα αντικείμενα έχουν την κοινή ιδιότητα των

fractals, την αυτοομοιότητα, άργησε τόσο πολύ και είναι σχεδόν βέβαιο ότι δίχως την

ανάπτυξη της επιστήμης των υπολογιστών που κατέστησε δυνατή την αναπαράσταση

2

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

τέτοιων συνόλων δε θα υπήρχε ακόμη η γεωμετρία των fractals. Χαρακτηριστικό

παράδειγμα είναι η δουλειά των Julia και Fatou οι οποίοι ποτέ δεν είδαν τα

αποτελέσματά τους να απεικονίζονται. Σ' αυτό το θέμα βέβαια δεν μπορούμε να

είμαστε απόλυτοι διότι για παράδειγμα ο Poincare ακόμη και στις πρώτες του

δουλειές (1890) συμπεριλαμβάνει πολλά σχήματα με fractal μορφή. Ο Fricke επίσης

συνδέεται με μια ιστορία στην οποία παρουσιάζεται να διδάσκει μαθηματικά και να

βάζει τους φοιτητές του στις εξετάσεις τους να ζωγραφίζουν με τον αλγόριθμο του

Poincare (ο οποίος σημειωτέον είναι πολύ αργός ακόμη και για τον υπολογιστή).

Σαν προϊστορία, εάν μπορούμε να τη χαρακτηρίσουμε έτσι, των fractals δίνουμε

παρακάτω κάποιες χαρακτηριστικές κατασκευές:

Μαθηματικά - Γεωμετρικά:

1872 Σύνολο cantor (Cantor Dust)

1890 Καμπύλη γεμίζουσα τον χώρο του Peano

1891 καμπύλη γεμίζουσα τον χώρο του Hilbert (καθώς και άλλες εκείνης της εποχής

παρόμοιου τύπου)

1904 Καμπύλη Koch

1915 Τρίγωνο Sierpinski

1918 Σύνολα Julia – Fatou

1919 Πρόβλημα διάστασης: Hausdorff

1935 Πρόβλημα διάστασης: Besicovitch

1918 Μιγαδικά πολυώνυμα: Julia, Fatou (1919-1920)

Φυσικά φαινόμενα

Κίνηση Brown

Κάποια κολλοειδή έχουν δομή fractal

Ερώτημα του Mandelbrot «ποιο το μήκος των ακτών της Αγγλίας».

Επιφάνεια του βουνού.

Σπείρα: Αυτοόμοια πχ κοράλλια, κοχύλια.

Σύννεφα.

Το μοτίβο των αιμοφόρων αγγείων στο ανθρώπινο σώμα.

Η επιφάνεια του μυαλού.

Φυτά (πχ. Φτέρη)

Στροβιλισμός (turbulence) και χάος : Ruelle (Φυσική)

Μοντέλα οικονομίας

Δημογραφικές δραστηριότητες

Τα αντικείμενα με δομή fractal στη φύση είναι συνήθως προσεγγιστικά ή ασυμπτωτικά

ή πεπερασμένα αυτοόμοια. Για το λόγο αυτό οι προσομοίωση πραγματικών

3

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

καταστάσεων περιλαμβάνει συχνά στις διάφορες παραμέτρους της κάποιο βαθμό

τυχαιότητας.

Ανθρώπινες κατασκευές

(που αποδεικνύουν την έμφυτα θετική στάση του ανθρώπου απέναντι στην

αυτοομοιότητα και το καλαίσθητο της.)

Ζωγραφική: Maurits Escher (1092 – 1972), Albrecht Durer (1471 – 1528)

Αρχιτεκτονική : Κάστρο Del Monte 12ος αι. Το έχτισε ο Holy Roman Emperor

Frederick II (1194 – 1250) o οποίος ήταν ο ίδιος Μαθηματικός (σύμπτωση;)Το

κάστρο έχει σχήμα κανονικού οκταγώνου. κάθε μια από τις κορυφές του είναι ένας

μικρός πύργος και αυτός σχήματος κανονικού οκταγώνου.

Η ίσα συγκερασμένη μουσική κλίμακα του Bach.

Τα Κινέζικα κουτιά.

Η γνωστή Ρωσική κούκλα Μπαμπούσκα.

ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΑΜΒΑΝΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (ΣΕΣ)

Iterated Function Systems (IFS) Τα Συστήματα Επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων

πρωτοεμφανίζονται στη δουλεία του Hutchinson επάνω σε αυτοόμοια σύνολα. (1981)

Στη συνέχεια γίνεται συστηματική μελέτη τους και γίνονται διάσημα, στη δουλειά

των Barnsley και Demko (IFSs and the global construction of fractals 1985) όπου και

πρωτοεμφανίζεται το όνομα IFS και αναλύονται εκτενώς.

ΣΥΝΟΛΟ CANTOR

1872 σύνολο Cantor: Η ονομασία Cantor Dust οφείλεται στον Mandelbrot (The

Fractal Geometry of Nature) Ο Cantor έφτιαξε το σύνολο αυτό προκειμένου να

αποδείξει ότι υπάρχει υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του [0,1] με μέτρο μηδέν.

Σε άλλη πηγή αναφέρεται ότι ο Cantor παρουσιάζει το σύνολο το 1883 σε εργασία

σχετική με κάποιο χαρακτηρισμό του συνεχούς στο παράρτημα, σαν παράδειγμα

τέλειου αλλά πουθενά πυκνού συνόλου.

Λέξη: Τα τμήματα που αφαιρούνται στις κατασκευές τύπου Cantor Sierpinski λέγονται

Trema λέξη που προέρχεται από την Ελληνική Τρήμα ,Τρεμαλία = οπή, τρύπα.

4

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

ΤΡΙΓΩΝΟ SIERPINSKI

Waclaw Sierpinski (b1882)

1915 τρίγωνο Sierpinski.

Ονομασία

Sierpinski’s gasket, triangle, arrowhead (gasket =

φλάντζα, τσιμούχα). Ο Mandelbrot δικαιολογεί την

ονομασία που του δίνει ως εξής: Περιγράφει το

«Απολλώνιο γέμισμα» βλ. σχήμα.

Έχουμε δύο παράλληλες ευθείες. Φτιάχνουμε αρχικά έναν κύκλο εφαπτόμενο και

στις δύο, στη συνέχεια άλλον έναν εφαπτόμενο στις ευθείες αλλά και τον πρώτο

κύκλο κ.ο.κ η διαδικασία στο άπειρο μήκος των ευθειών. Στα κενά που

δημιουργούνται με ανάλογη διαδικασία κατασκευάζουμε εφαπτόμενους κύκλους και

στα νέα κενά που δημιουργούνται

πράττουμε ομοίως λαμβάνοντας το

διπλανό σχήμα. Το fractal που δημιουργείται του θυμίζει την τσιμούχα μιας μηχανής

με άπειρους κυλίνδρους. Την κατασκευή του παραπάνω, τη συσχετίζει με αυτή του

τριγώνου Sierpinski, το οποίο χρησιμοποιεί για να αιτιολογήσει την ονομασία.

ΣΠΟΓΓΟΣ ΤΟΥ MENGER

Εμφανίζεται στη δουλειά του Karl Menger: Selected Papers in Logic and

Foundations, Didactics and Economics. (Reidel, Boston). Από τον τίτλο και μόνον

είναι αρκετό για να συμπεράνουμε ότι βρισκόμαστε για άλλη μια φορά μπροστά στην

κατασκευή ενός fractal συνόλου που δημιουργήθηκε προκειμένου να λύσει

προβλήματα που δεν είχαν αφορμή την αυτοομοιότητα.

Μεγάλο ενδιαφέρον όπως φαίνεται παρακάτω παρουσιάζει το τρισδιάστατο ανάλογο

του τριγώνου Sierpinski εάν δηλαδή αντί να ξεκινήσουμε με έναν κύβο ξεκινήσουμε

με πυραμίδα :

Ο Πύργος του Gustave Eiffel στο Παρίσι θυμίζει κατά κάποιο τρόπο μια πυραμίδα

Sierpinski δηλαδή ένα τρισδιάστατο τρίγωνο Sierpinski. Παρόμοιες κατασκευές

συναντάμε στους Γοτθικούς Καθεδρικούς ναούς. Από τη μεριά του αρχιτέκτονα

τέτοιου τύπου κατασκευές παρουσιάζουν πολύ μεγάλο ενδιαφέρον. Ας σκεφτούμε

ένα οικοδόμημα τέτοιου τύπου. Μετά από άπειρα βήματα θα αποτελείται –θεωρητικά

τουλάχιστον – αποκλειστικά από συνδέσμους. Το πλεονέκτημα χρήσης κατασκευών

τύπου Fractal έχει το πλεονέκτημα ότι συνδυάζει ελαχιστοποίηση της μάζας που

5

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

χρησιμοποιείται στην κατασκευή συνεπώς και ελαχιστοποίηση του βάρους καθώς και

ανθεκτικότητα και ισορροπία ιδιότητες τις οποίες εγγυάται η αυτοομοιότητα και η

συμμετρία. Ο Buckminister Fuller (1895 – 1983) υποστηρίζει πως η ευστάθεια της

κατασκευής οφείλεται στους συνδέσμους και όχι στη μάζα.

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ WEIERSTRASS

Από τις απαρχές του διαφορικού λογισμού και μέχρι τις αρχές του 19ου αιώνα η

συνέχεια μιας συνάρτησης ήταν αρκετή για να θεωρήσουν την ύπαρξη παραγώγου

της. Παρ' όλα αυτά το 1834 ο Bolzano δίνει ένα παράδειγμα συνεχούς αλλά πουθενά

διαφορίσιμης συνάρτησης. (βιβλ. 6)

Παρ' όλα αυτά επειδή η δουλεία αυτή του Bolzano δεν έγινε γνωστή εκείνο τον

καιρό, η κρίση στο λογισμό από την ανακάλυψη τέτοιου είδους συναρτήσεων ήρθε

όταν ο Γερμανός Karl Weierstrass σαράντα περίπου χρόνια αργότερα (1872) έδωσε

τη γνωστή μας συνεχή αλλά πουθενά διαφορίσιμη συνάρτησή του. Προφανώς εκείνη

την εποχή η ιδιότητα που είχε σημασία ήταν η μη διαφορισιμότητά της. Αυτό είχε

βέβαια γόνιμα αποτελέσματα σε άλλους τομείς όπου άρχισαν να συνειδητοποιούν ότι

οι πουθενά διαφορίσιμες είναι ο κανόνας, ενώ οι διαφορίσιμες είναι ενδιαφέρουσες

αλλά πολύ ειδικές.

ΚΑΜΠΥΛΗ KOCH

1904 Καμπύλη Koch Σουηδός Μαθηματικός Helge Von Koch (paper: “On a

continuous curve without any tangent, obtained through an elementary geometrical

construction” Πρωτότυπο στα γαλλικά όπως αναφέρεται στη βιβλιογραφία του

Mandelbrot)

ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΓΕΜΙΖΟΥΣΕΣ ΤΟ ΧΩΡΟ

Η απόδειξη του G. Cantor το 1878 ότι δυο πεπερασμένης διάστασης ομαλές

πολλαπλότητες ανεξάρτητα από τη διάσταση της κάθε μιας έχουν την ίδια

πληθικότητα σοκάρισε τη μαθηματική κοινότητα. Έτσι για παράδειγμα το διάστημα

6

Hilbert

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

[0,1] μπορεί να απεικονισθεί στο [0,1]2, με απεικόνιση 1-1 και επί. Αμέσως προέκυψε

το ερώτημα αν μια τέτοια απεικόνιση μπορεί να είναι συνεχής. Το 1879 ο E. Neto

έβαλε τέλος σ' αυτόν τον προβληματισμό αποδεικνύοντας ότι

μια τέτοια απεικόνιση κατ' ανάγκη θα είναι ασυνεχής. Τί

γίνεται όμως αν αγνοήσουμε την απαίτηση του 1-1; Και

επειδή μια συνεχής απεικόνιση του [0,1] στο επίπεδο ή και

στο χώρο τη λέμε καμπύλη, το ερώτημα αναδιατυπώνεται ως

εξής: Υπάρχει καμπύλη που να διέρχεται από όλα τα σημεία

ενός δυσδιάστατου χωρίου (πχ το [0,1]2) με θετικό περιεχόμενο Jordan (δηλ. με

εμβαδόν διάφορο του μηδέν);

Το 1890 ο G. Peano απάντησε οριστικά στο ερώτημα αυτό κατασκευάζοντας την

πρώτη τέτοια καμπύλη. Καμπύλες με αυτή την ιδιότητα ονομάζονται έκτοτε

καμπύλες Peano ή καμπύλες γεμίζουσες το χώρο. (space – filling). Αμέσως μετά

ακολούθησαν και άλλα παραδείγματα τέτοιων καμπυλών:

Hilbert 1891, E.H. Moore 1900, H. Lebesgue 1904, W.

Sierpinski 1912, G. Polya 1913 κλπ.).

Όμως ο προβληματισμός γύρω από το θέμα δε σταμάτησε.

Έτσι τέθηκε το ερώτημα αν υπάρχει καμπύλη 1-1 και επί

ενός συνόλου όχι απαραίτητα θετικού περιεχομένου Jordan

αλλά θετικού εξωτερικού μέτρου. Η απάντηση και εδώ ήταν θετική όπως έδειξε το

1903 ο W.F. Osgood κατασκευάζοντας μια μονοπαραμετρική οικογένεια τέτοιων

καμπυλών με θετικό μέτρο Lebesgue και της οποίας το limiting arc είναι η καμπύλη

του Peano. Ακολούθησαν και άλλα παραδείγματα τέτοιων οικογενειών καμπυλών

όπως αυτό του K. Knopp to 1917 με limiting arc την καμπύλη Sierpinski.

Με την αποκάλυψη του τετραγώνου ως συνεχούς εικόνας του [0,1] (ή οποιουδήποτε

άλλου ευθ. τμήματος) η έρευνα στράφηκε στη γενικότερη δομή μιας συνεχούς

εικόνας ενός ευθυγράμμου τμήματος (διαστήματος).

Το 1908 ο A. Schoenflies βρήκε ένα κριτήριο το οποίο εφαρμοζόταν μόνο σε

υποσύνολα του δυσδιάστατου επιπέδου. Η συνέχεια της έρευνας σ' αυτή την

κατεύθυνση, οδήγησε στη νέα τοπολογική έννοια της τοπικής συνεκτικότητας και

στην πλήρη απάντηση του ερωτήματος για τη δομή μιας συνεχούς εικόνας

ευθυγράμμου τμήματος, η οποία απάντηση προήλθε ανεξάρτητα από τους S.

Mazurkiewicz και H. Hahn το 1913. Αποδείχτηκε ότι ένα σύνολο είναι συνεχής

εικόνα ενός ευθυγράμμου τμήματος, αν και μόνο αν, το σύνολο αυτό είναι συμπαγές,

συνεκτικό και τοπικά συνεκτικό.

Το κριτήριο δε αυτό ισχύει όχι μόνο σε n–διάστατους Ευκλείδειους χώρους αλλά

γενικότερα σε Hausdorff χώρους.

Όταν όλα φαίνονταν να καταλαγιάζουν και καμία έκπληξη δεν ήταν πλέον

αναμενόμενη, ο Η. Steinhaus to 1936 ανακάλυψε ότι αν δυο συνεχείς μη σταθερές

7

Peano

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

συναρτήσεις στο [0,1] είναι στοχαστικά ανεξάρτητες σε σχέση με το μέτρο Lebesgue,

τότε αυτές είναι οι συνιστώσες συναρτήσεις μιας γεμίζουσας το χώρο καμπύλης.

Κάνοντας χρήση αυτού του αποτελέσματος κατασκεύασε καμπύλες που γεμίζουν το

χώρο (σε χώρο με αριθμητική διάσταση). Το 1938 ο J.J. Schoenberg εμφάνισε μια

νέα τροποποίηση των Lebesgue καμπυλών που γεμίζουν το χώρο ενώ το 1945 οι R.

Salem και Α. Zygmund κατασκεύασαν μια lacunary δυναμοσειρά που αναπαριστούσε

μια αναλυτική συνάρτηση στον ανοικτό μοναδιαίο δίσκο και συνεχή στον κλειστό

μοναδιαίο δίσκο, η οποία απεικόνιζε την περιφέρεια του δίσκου επί ενός τετραγώνου

πράγμα το οποίο σημαίνει ότι το πραγματικό και το φανταστικό μέρος της είναι οι

συνιστώσες συναρτήσεις μιας καμπύλης που γεμίζει το χώρο.

ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ

Όταν ο Mandelbrot έθεσε το πρόβλημα της μέτρησης του μήκους των ακτών της

Αγγλίας παρατήρησε ότι το μήκος ήταν εξάρτηση της κλίμακας, δηλαδή της

ακρίβειας, στην οποία γίνεται η μέτρηση. Όσο πιο ακριβής γίνεται κάποιος στη

μέτρηση τόσο βρίσκεται μπροστά σε νέα λεπτομέρεια, λαμβάνοντας έτσι άπειρο

μήκος. Συμπέρανε λοιπόν ότι η ακτές είναι μόλις ένα παράδειγμα αντικειμένων για τα

οποία η μέτρηση του μήκους δεν έχει νόημα. Έτσι γεννήθηκε η ανάγκη για την

επινόηση μιας διάστασης διαφορετικής που να μπορεί να περιγράφει αντικείμενα των

οποίων η διάσταση είναι μεγαλύτερη από εκείνη στην οποία απεικονίζονται. Το

πρόβλημα της μέτρησης τέτοιου τύπου γεωγραφικών τόπων δεν ήταν επινόηση του

Mandelbrot. To 1960 η Michigan Inter-University Community of Mathematical

Geographers εστιάζουν το ενδιαφέρον τους σε τέτοιου είδους προβλήματα. Ο

Nysteun σε μια δημοσίευση από κάποιο σεμινάριο όχι απλώς εντοπίζει το πρόβλημα

αλλά και προτείνει τον ορισμό ενός μήκους εξαρτώμενου από την κλίμακα μέτρησης.

Παραπέμπει μάλιστα στις δουλειές των Steinhaus και Perkal οι οποίοι με τη σειρά

τους σημειώνουν ότι ο γεωγράφος Albrecht Penck είχε ασχοληθεί με το θέμα το

δέκατο ένατο αιώνα. Υπάρχουν δε στοιχεία που επιβεβαιώνουν ότι ο Leonardo da

Vinci είχε ασχοληθεί με το θέμα αυτό και αν αυτό αληθεύει πιθανότατα και οι

αρχαίοι έλληνες θα ήξεραν το πρόβλημα.

JULIA

8

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

Gaston Julia (1893 – 1978) 1918. Νωρίτερα ο Arthur Cayley (1821 – 1895) είχε

προσπαθήσει να βρει ποια ρίζα μιγαδικής πολυωνυμικής εξίσωσης μπορεί να

προσεγγιστεί από διάφορα αρχικά σημεία, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Newton.

Το πρόβλημα αυτό λύθηκε 100 χρόνια μετά από τον John Hubbard. Την ίδια εποχή με

τον Julia στο ίδιο πρόβλημα δίνει λύσεις ο Pierre Fatoy (1878 – 1829). Το γεγονός ότι

τα σύνολα Julia είναι fractals είναι ικανό να μας πείσει για τις τεράστιες δυσκολίες

που θα είχαν στον ορισμό τους. Αξιοσημείωτο είναι επίσης το γεγονός ότι στην εποχή

τους δεν υπήρχαν τα μοντέρνα υπολογιστικά εργαλεία γραφικών στον υπολογιστή,

ώστε να δουν τη δουλειά τους να υλοποιείται. Ανέπτυξαν αφηρημένες κατασκευές τις

οποίες ποτέ δεν είδαν υλοποιημένες. Μετά τον Mandelbrot μπορέσαμε να δούμε τις

εκπληκτικές εικόνες που δημιουργούνται.

MANDELBROT

Πολωνός μεγάλωσε στη Γαλλία. Ο Mandelbrot συγκεντρώνει τα έως τότε σκόρπια

fractal σύνολα και δίνει πρώτη φορά στην ιστορία την έννοια της αυτοομοιότητας το

1964 σε εσωτερική αναφορά στην IBM όπου τότε έκανε έρευνα. Το 1965 δημοσιεύει

άρθρο που εμφανίζει την αυτοομοιότητα στον τίτλο. Είναι αναμφισβήτητα ο πατέρας

των fractals. Τα πρώτα βήματά του στη συστηματική γεωμετρία των fractals γίνονται

στην IBM στο IBM T.J. Watson Research Center. Σε ολόκληρο αυτό το διάστημα

συνεργάζεται με πολλούς επιστήμονες στην IBM από διάφορες ειδικότητες και

κλάδους. Μαθηματικοί, φυσικοί, μεταπτυχιακοί φοιτητές και φυσικά πολλοί

προγραμματιστές αποτελούν τους ανθρώπους που τον περιβάλλουν και μέσα από

αυτούς αναπτύσσεται η γεωμετρία των fractals.

Ο όρος fractal κάνει πρώτη φορά την εμφάνισή του στη βιβλιογραφία το 1975, όπου

δημιουργήθηκε στην πρώτη έκδοση του βιβλίου Les objects fractals. Πολύ πιθανόν

να υπάρχει και νωρίτερα αλλά όχι τυπωμένο.

Ο Mandelbrot το 1962 ασχολείται με την κατανομή των εισόδων, την διακύμανση

των τιμών, και παρατηρεί ότι δεν υπακούουν σε κάποιον από τους γνωστούς νόμους.

Άλλα προβλήματα με τα οποία ασχολήθηκε και τον οδηγούσαν το ένα μετά το άλλο

στα fractals είναι ο θόρυβος στις τηλεφωνικές γραμμές, γεωφυσικά προβλήματα όπως

το μήκος ακτών. Η κίνηση των ατμών που δεν είχε ικανοποιητική περιγραφή από

τους τότε γνωστούς νόμους.

Το πλέον δημοφιλές fractal, το σύνολο του Mandelbrot κάνει την εμφάνισή του σε

οθόνη υπολογιστή πρώτη φορά το Μάρτιο του 1980.

9

Ιστορικά στοιχεία στην Fractal Γεωμετρία

ΚΑΛΙΤΕΧΝΕΣ

Maurits Escher

Ολλανδός καλλιτέχνης (1092 – 1972)

Πολλές από τις δημιουργίες του έχουν καθαρά τη μορφή fractal. Ο Mandelbrot

περιγράφει (βιβλ. 4) μια ιστορία που φέρει τον Escher σε αλληλογραφία με τον

Καναδό γεωμέτρη Coxeter. Μέσα από αυτή την αλληλογραφία αποδεικνύει ότι ο

Escher επηρεάστηκε θετικά από τις υποδείξεις του Coxeter, χωρίς βέβαια στο

παραμικρό να θίγει την αξία του Escher. Με τον τρόπο αυτόν θέλει να δείξει ότι δεν

είναι καθόλου τυχαία η σχέση που έχουν τα fractals με την τέχνη του Escher.

Albrecht Durer

(1471 – 1528) Πεντάγωνο. Χρυσή τομή. Ένας καλλιτέχνης του 15ου αιώνα που

παρήγαγε ένα fractal αντικείμενο. Θεωρούμε ένα κανονικό

πεντάγωνο και στην κάθε πλευρά του ας προσαρτήσουμε από

άλλο ένα ίδιο κανονικό πεντάγωνο. Το σχήμα στο οποίο

καταλήγουμε είναι ένα μεγαλύτερο πεντάγωνο στο οποίο

είναι σαν να λείπουν πέντε ισοσκελή τρίγωνα κάθε ένα από

το μέσον μιας πλευράς. Τώρα ας αρχίσουμε αυτή τη

διαδικασία ξεκινώντας από το μεγάλο πεντάγωνο και αφαιρώντας τα πέντε ισοσκελή

τρίγωνα. Με τον τρόπο αυτόν δημιουργούνται μέσα έξι νέα πεντάγωνα στα οποία

εφαρμόζοντας την ίδια διαδικασία λαμβάνουμε ένα fractal απίστευτο για την εποχή

του. Από υπολογισμούς μπορούμε να δούμε ότι ο λόγος των πλευρών κάθε

ισοσκελούς τριγώνου βρίσκεται στη χρυσή τομή.

(Image Fractals and Chaos p.9)

10

Διδακτική Πρόταση

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΡΩΤΗ ΕΠΑΦΗ ΤΩΝ

ΜΑΘΗΤΩΝ ΜΕ ΤΑ FRACTALS

Πειραματικά Μαθηματικά

Σύμφωνα με μια άποψη τα Fractals (David Mumford) και τα υπόλοιπα μαθηματικά

που παρήχθησαν τις τρεις τελευταίες δεκαετίες και συνεχίζουν να παράγονται με τη

βοήθεια των υπολογιστών, σηματοδοτούν "ένα σημείο καμπής στην ιστορία των

μαθηματικών". Η αναγέννηση και η δυναμική πλέον παρουσία των λεγόμενων

Πειραματικών Μαθηματικών (βλ. Journal of Experimental Mathematics) είναι

γεγονός. Και λέγοντας πειραματικά μαθηματικά δεν εννοούμε την προσπάθεια

εισβολής των "καθαρών" μαθηματικών στην εφαρμογές. Τα εφαρμοσμένα

μαθηματικά πάντα σχετίζονταν με τις πειραματικές επιστήμες άρα και με το πείραμα.

Όμως "Πειραματικά Μαθηματικά" σημαίνει κάτι άλλο, διαφορετικό: Σημαίνει

εισβολή του πειράματος στον πυρήνα των μαθηματικών, κάτι που μπορεί

(τουλάχιστον αρχικά) να μην έχει καμία σχέση με τις εφαρμοσμένες επιστήμες.

Και πυρήνας των μαθηματικών είναι η απόδειξη. αλλά προφανώς δεν περιμένουμε

και ούτε θέλουμε να αντικαταστήσουμε αυτό που λέμε απόδειξη με τις εικόνες του

υπολογιστή μας. Όμως οι εικόνες μπορούν να προκαλέσουν νέες ιδέες και νέους

προβληματισμούς που θα βοηθήσουν στην επίτευξη ή τη βελτίωση ή την αλλαγή

πορείας σε μια απόδειξη.

Συνεισφορά, όμοια μ' αυτή που διάφορες "μηχανικές" μέθοδοι οδήγησαν στην

ανεκτίμητη μαθηματική δημιουργία του Αρχιμήδη αλλά και του Ευδόξου και του

Αρχύτα νωρίτερα, των πρώτων – και με τη σύγχρονη έννοια του όρου – μεγάλων

πειραματικών μαθηματικών.

"Πολλές πεποιθήσεις αρχικά μου δημιουργούνται με κάποια μηχανική μέθοδο, έστω

και αν αυτές πρέπει να αποδειχτούν με Γεωμετρία στη συνέχεια, καθότι η ανακάλυψη

τους με τη μηχανική μέθοδο δε συνιστά μια αποδεκτή απόδειξη. είναι όμως φυσικά

ευκολότερο, όταν έχουμε προηγουμένως συμπεράνει κάποια απάντηση, μ' αυτή τη

μέθοδο, στο ερώτημα μας, να παράξουμε την απόδειξη που θέλουμε παρά να

πετύχουμε κάτι τέτοιο χωρίς καμιά προηγούμενη ένδειξη και γνώση για την

απάντηση. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο, στην περίπτωση των θεωρημάτων ότι -

ο όγκος του κώνου και της πυραμίδας είναι το 1/3 του όγκου του κυλίνδρου και του

πρίσματος αντίστοιχα που έχουν την ίδια βάση και το ίδιο ύψος - τις αποδείξεις των

οποίων πρώτος έκανε ο Εύδοξος όχι μικρό μερίδιο τιμής πρέπει να αποδοθεί και στον

Δημόκριτο ο οποίος ήταν ο πρώτος που τα διατύπωσε έστω και χωρίς απόδειξη."

Τα λόγια αυτά θα μπορούσαν να ανήκουν σε ένα σύγχρονο επιστήμονα. Αλλά τελικά

ανήκουν στον μεγάλο Αρχιμήδη.

Διδακτική Πρόταση

Γιατί μπορούν (και πρέπει) να έχουν θέση στο αναλυτικό

πρόγραμμα τα Fractals

H μελέτη της Γεωμετρίας των Fractals είναι κατάλληλη για το λύκειο για πολλούς

λόγους. Οι μαθητές θα έχουν την ευκαιρία να διερευνήσουν παραδοσιακές περιοχές

των μαθηματικών με μια νέα προσέγγιση, να κάνουν συσχετισμούς ανάμεσα στα

μαθηματικά και στο φυσικό και ανθρώπινο κόσμο και να εξερευνήσουν τα

μαθηματικά με μη αναλυτικούς τρόπους.

Τέτοιες παραδοσιακές περιοχές όπως το εμβαδόν και η περίμετρος πολυγώνων,

επιφάνεια και όγκος πολυέδρων από τη γεωμετρία. για παράδειγμα η χιονονιφάδα του

Koch με την άπειρη περίμετρο και το πεπερασμένο εμβαδόν καταγοητεύει και

προβληματίζει σοβαρά τους μαθητές. Η γεωμετρία των fractals μπορεί να

χρησιμοποιηθεί για να συσχετίσει περιοχές των μαθηματικών όπως για παράδειγμα

την έννοια του μήκους ή του εμβαδού με τις προόδους και την έννοια του ορίου, η

οποία έρχεται με φυσιολογικό τρόπο μέσα από διαπιστώσεις όπως για παράδειγμα τη

σχετική με το σύνολο Cantor, του οποίου το ολικό μήκος τείνει αλλά δε γίνεται ποτέ

μηδέν. Η fractal γεωμετρία είναι ένας πολύ καλός τρόπος να συνδεθούν τα

μαθηματικά, με τον κόσμο έξω από την τάξη. Όπως για παράδειγμα η συμβολή των

fractals στη αντιμετώπιση της ατμοσφαιρικής ρύπανσης, στη διάγνωση του καρκίνου,

στη βιολογία, στη χημεία, στη μελέτη της ανάπτυξης των πόλεων και αλλού. Με τη

βοήθεια των fractals οι μαθητές ξεφεύγουν από τον παραδοσιακό τρόπο εργασίας και

ενασχόλησης με τη λύση ασκήσεων ρουτίνας. Τα fractals τους επιτρέπουν να

ανακαλύπτουν μαθηματικές έννοιες με τρόπο χειροπιαστό, δουλεύοντας σε μοντέλα

στα οποία έχουν και οπτική προσέγγιση. Στις διαδικασίες αυτές πιστεύουμε ότι

μπορεί να συμμετάσχουν ενεργητικά και αδύνατοι μαθητές οι οποίοι βλέπουν την

προσπάθειά τους να αποκτά συγκεκριμένο νόημα.

Μια Διδακτική Πρόταση για την εισαγωγή μαθητών λυκείου στη

γεωμετρία των fractals

Προτείνεται η κατασκευή του τριγώνου Sierpinski και η εξαγωγή συμπερασμάτων σε

σχέση με:

i. Αριθμό δημιουργούμενων τριγώνων

ii. Εμβαδόν (εναπομένον) μετά από κάθε βήμα

iii. Περίμετρος δημιουργούμενων τριγώνων (αθροιστικά) μετά από κάθε βήμα.

Προτεινόμενη πορεία

Σε κάθε δυάδα μαθητών (ανά θρανίο) δίνεται ένα φύλλο "τριγωνισμένου" χαρτιού.

Ζητείται από τους μαθητές να σημειώσουν τις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου

Διδακτική Πρόταση

ΑΒΓ, κατά προτίμηση με μήκος πλευρών κάποια δύναμη του δύο για την

διευκόλυνση της παραπέρα πορείας. Σε ένα άλλο φύλλο χαρτιού, οι μαθητές

σχηματίζουν ένα πίνακα στον οποίο θα καταγράφουν σε κάθε βήμα της διαδικασίας

τις τιμές των μεταβλητών (i), (ii), (iii).

Βήμα 0 1 2 3 4 … N

(i) Αριθμός τριγώνων 1 3 9 27 81 … 3n

(ii) Εμβαδό (απομένον) 1 3/4 9/16 27/64 81/256 … (3/4)n

(iii) Περίμετρος (αθροιστικά) 1 3/2 9/4 27/8 81/16 … (3/2)n

Αφού συμπληρωθεί ο πίνακας από τους μαθητές τους ζητάμε να εκτιμήσουν το

εμβαδόν που απομένει και το άθροισμα των περιμέτρων όταν ο αριθμός των

επαναλήψεων τείνει στο άπειρο.

Οι μαθητές αναμένεται να οδηγηθούν σε μια "γνωστική σύγκρουση" η οποία θα είναι

ένα πολύ καλό ερέθισμα για το σπάσιμο των φραγμών της "κοινής" λογικής.

Προφανώς αντίστοιχη διδακτική προσέγγιση μπορεί να γίνει και με το τετράγωνο

Sierpinski (Ίσως είναι και ευκολότερο λόγω τετραγωνισμένου χαρτιού).

Στη συνέχεια προτείνεται αναφορά στο σύνολο Cantor (στο σχηματισμό του) και οι

μαθητές ζητείται να απαντήσουν στα παρακάτω ερωτήματα:

i. Ποιο είναι το πλήθος των τμημάτων που δημιουργούνται στο n-οστό βήμα;

ii. Τί μήκος έχουν όλα μαζί τα τμήματα που δημιουργούνται στο n-οστό βήμα;

iii. Ποιο θα είναι το μήκος του fractal αυτού όταν το n ;

(προσοχή είναι μηδέν!)

iv. Υπάρχουν σημεία του αρχικού ευθυγράμμου τμήματος που δε θα εξαιρεθούν

σε κανένα βήμα;

(Ναι, τα άκρα των δημιουργούμενων ευθυγράμμων τμημάτων)

Το ίδιο ερώτημα μπορεί να ζητηθεί και στο τρίγωνο Sierpinski.

Σαν εργασία στο σπίτι μπορεί να ζητηθεί από τους μαθητές να απαντήσουν σε

αντίστοιχα ερωτήματα σχετικά με τη χιονονιφάδα του Koch για την οποία θα

συμπληρώσουν τον παρακάτω πίνακα:Βήμα 0 1 2 3 … n

Αριθμός Πλευρών 3 12 48 192 … 34n

Μήκος πλευράς 1 1/3 1/9 1/27 … (1/3)n

Περίμετρος καμπύλης 3 4 16/3 192/27 … 3(4/3)n

(Για το εμβαδόν ας σημειωθεί ότι θα είναι πεπερασμένο, ο υπολογισμός του όμως

είναι λίγο πολύπλοκος)

Η διδακτική πρόταση που αναπτύχθηκε μπορεί να διεξαχθεί στη β' λυκείου ως

εισαγωγή στη γεωμετρική πρόοδο. Τα ίδια θέματα μπορούν να αποτελέσουν

Διδακτική Πρόταση

αντικείμενο για διδασκαλία και στη γ' λυκείου αλλά με τη βοήθεια υπολογιστή για

την κατασκευή των fractals μέσω των γνωστών μετασχηματισμών. Είναι μια

αξιοσημείωτη εφαρμογή των πινάκων που θα δικαιώσει στα μάτια των μαθητών και

με ουσιαστικό τρόπο την αξία της σπουδής της θεωρίας των πινάκων.

Παίζοντας… με τα Fractals

Ένα παιχνίδι που μπορεί να οδηγήσει στην ανακάλυψη και κατασκευή του τριγώνου

Sierpinski από τους μαθητές είναι το εξής:

Έστω ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Το παιχνίδι παίζεται σε στάδια

Στο πρώτο στάδιο κάθε παίχτης διαλέγει ένα αρχικό σημείο Π1 μέσα στο τρίγωνο.

Στο δεύτερο στάδιο κάθε παίκτης διπλασιάζει την απόσταση από την πιο κοντινή στο

Π1 κορυφή του τριγώνου και έτσι λαμβάνει ένα νέο σημείο το Π2.

Στο τρίτο στάδιο με αρχικό το Π2 διπλασιάζει την απόστασή του από την πιο κοντινή

κορυφή του τριγώνου λαμβάνοντας έτσι το Π3.

Έτσι το παιχνίδι συνεχίζεται έως ότου το σημείο κάποιου παίκτη βρεθεί εκτός

τριγώνου. Αυτός ο παίκτης βεβαίως χάνει.

Πώς πρέπει να επιλέξει ο παίκτης το αρχικό του σημείο ώστε να του

εξασφαλίσει αρκετή ζωή στο παιχνίδι;

Υπάρχουν σημεία που δεν οδηγούν ποτέ έξω από το τρίγωνο, πώς μπορώ να

τα βρω και πόσα είναι;

Ποια είναι τα σημεία που στην πρώτη φάση του παιχνιδιού οδηγούν έξω από

το τρίγωνο;

Στην επόμενη φάση ποια σημεία θα οδηγήσουν έξω από το τρίγωνο κοκ.

Όπως είναι φανερό από τη μεριά της διδακτικής υπάρχουν κάποια σημαντικά

στοιχεία που αναδεικνύουν τη χρησιμότητα του παιχνιδιού.

Η ανάγκη κατασκευής του τριγώνου παρουσιάζεται μέσα από την λύση απλού και

ενδιαφέροντος προβλήματος που με τις υπάρχουσες γνώσεις δε λύνεται.

Ο μαθητής μπαίνει μόνος στη διαδικασία απόρριψης των περιοχών που δεν ανήκουν

στο τρίγωνο Sierpinski.

Συνειδητοποιεί αφενός ότι αμέτρητα σημεία ανήκουν στο σύνολο αλλά και το πόσο

δύσκολο είναι να πέσεις επάνω σε ένα από αυτά (Πιθανότητα μηδέν).

Μπαίνει στη σκέψη επαναλαμβανόμενης διαδικασίας και των βημάτων που οδηγούν

στην κατασκευή του συνόλου.

Εάν μάλιστα ο μαθητής μπορεί να χειριστεί στοιχειώδη Αναλυτική Γεωμετρία είναι

δυνατόν με κατάλληλη επιλογή συστήματος συντεταγμένων να καταλήξει σε

αλγόριθμο κατασκευής του τριγώνου.

Διδακτική Πρόταση

Εποπτικά μέσα για εισαγωγή στα fractals

Professor Devaney Explains the fractal geometry of the Mandelbrot set. "Key

Curriculum Press"

Είναι μια βιντεοταινία για τη διδασκαλία των fractals που απευθύνεται στις

μεγαλύτερες τάξεις λυκείου και προαπαιτεί μόνο εξοικείωση με την έννοια της

συνάρτησης και με τον πολλαπλασιασμό μιγαδικών αριθμών.

Η γλώσσα προγραμματισμού Logo: Προσφέρεται για διδασκαλία των fractals και

κατασκευή από τους μαθητές προγραμμάτων που να δίνουν καμπύλες fractals όπως

του Koch και άλλες. Για τη Logo ο Hal Abelson του ΜΙΤ έχει πει: "Logo είναι το

όνομα μιας φιλοσοφίας της εκπαίδευσης και μια οικογένεια γλωσσών η οποία

βοηθάει στην πραγμάτωσή της”. Η ιδέα που κρύβεται πίσω από τη Logo είναι ότι:

Μαθαίνουμε κατασκευάζοντας τη γνώση μας. Η Logo όπως συνελήφθη από τον

Seymour Papert ήταν προορισμένη να αποτελέσει τον εκπαιδευτικό "πηλό" που θα

βοηθούσε στην οικοδόμηση της μαθηματικής γνώσης".

Βιβλιογραφία

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ – ΠΗΓΕΣ

1. Space Filling Curves

Hans Sagan

Springer – Verlag

2. Fractals, Chaos, Power Laws (Minutes from an Infinite paradise)

Manfred Schroeder

W. H. Freeman, New York

3. B. B. Mandelbrot

The Fractal Geometry of Nature, updated and augmented

W. H. Freeman, New York

4. The Science of Fractal Images

Heinz-Otto Peitgen Dietmar Saupe

Springer – Verlag

5. A History of Mathematics

Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach

John Wiley & Sons

6. The history of calculus and its conceptual development

Carl B. Boyer

Dover publications, inc, New York

7. Fractals and Chaos

A. J. Crilly, R. A. Earnshaw, H. Jones

Springer – Verlag

8. L.J. Falconer

The Geometry of Fractal Sets

Cambridge University Press (1985)

9. H.O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe (1992)

Fractals for the Classroom – Part one – Introduction to fractal and chaos

Springer – Verlag (1992)

10. Mathematics Teacher

(selected papers)

11. http://www.enc.org (Από το Πανεπιστήμιο του Ohio).

12. The Spanky Fractal Database είναι μια συλλογή από εικόνες fractals ντοκουμέντα

και προτεινόμενο software για ελεύθερη χρήση. Απ' αυτή τη διεύθυνση μπορεί

κανείς να συνδεθεί με πολλές άλλες διευθύνσεις σχετικές με τα fractals.