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mai 21, 2006
Frações Irracionais e Racionalização
Newton de Góes Horta Frações, Irracionais, Matemática, Racionalização Matemática, Técnico 138 Comentários
O objetivo é apresentar as principais técnicas utilizadas na racionalização de denominadores de frações irracionais, umavez que não é possível estabelecer uma regra geral face à infinidade de formas que esses denominadores podem
assumir.
Para que o entendimento seja mais efetivo é imprescindível o conhecimento das propriedades de Radiciação ePotenciação, dentre outros conceitos que serão apresentados mas não demonstrados, por fugirem ao escopo damatéria.
O assunto está sendo tratado em decorrência do resultado da pesquisa feita no Blog, em que obteve a segundacolocação entre os temas propostos (11 votos). Maiores detalhes podem ser obtidos através do link ConsultarPesquisas na barra lateral de navegação.
FRAÇÕES IRRACIONAIS
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Fração irracional é a que tem pelo menos um termo, o numerador ou o denominador, irracional ou sob radical.
Exemplos:
RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS
As técnicas a serem explicitadas considerarão, claro, as frações irracionais dos tipos indicados nos exemplos b) e c)acima.
Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações: Uma fração não se alteraquando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.
Definições
Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração irracional é a operação que tem por finalidadetransformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional.
Exemplos
Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produtoentre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional.
Para que o significado de fator racionalizante seja melhor entendido nada como alguns exemplos:
Observe que nos exemplos da definição de Racionalização dos denominadores irracionais foi utilizado o conceito defator racionalizante.
Produtos Notáveis
Os produtos notáveis, ou derivados deles, têm um papel importante na racionalização de denominadores de fraçõesirracionais. Por isso, faço um parêntesis para, antes de colocar as técnicas, definir alguns dos mais utilizados:
1) a2 – b2 = (a + b)(a – b)
2) a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
3) a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
Note que no exemplo b) acima foi utilizado o produto notável definido em 1) e no c) o definido em 2).
Técnicas ou Regras de Racionalização Mais Frequentes
T2. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):
têm como fatores racionalizantes:
respectivamente.
Demonstração do segundo tipo:
Bem simples, basta somente usar o produto notável definido em 1) acima:
A demonstração dos demais seguem raciocínio semelhante e ficam como exercício.
Exemplos
T3. Frações irracionais que têm no denominador um polinômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízesquadradas):
A idéia é fazer recair no caso anterior mediante uma adequada associação de termos. Para ilustrar, é apresentada ademonstração para n = 3. Você observará que a racionalização necessitará de dois fatores racionalizantes.
1. Razões e Proporções – Parte I2. Frações: Operações – Parte III3. Frações: Redução – Parte II4. Frações – Parte I5. Conjuntos Numéricos6. O VICHE Agora Tem Pesquisa (Enquete)
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138 Comentários
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1. Ricardofev 27, 2012 @ 00:10:42
Humm, ta muito bom, tirei varias dúvidas q eu tinha, muita gente ta reclamando pq quer aprender tudo aki, tem qter uma base pra entender isso. fikdik =D
Responder
2. Danieljan 11, 2012 @ 20:35:35
Ótimo post.Valeu!! site que vem me ajudando muito.
Responder
3. Luís Pedrosa Santosjan 08, 2012 @ 19:29:55
Tudo, ou quase tudo, na vida terá um limite. Mas, até que ponto poderemos ter processos de racionalização dedenominadores?
a) soma/diferença de dois radicais de índice 3 com os radicandos elevados ao expoente 2?b) Soma/diferença de dois radicais de índices diferentes (p.e.) um cúbico e outro quadrado, com radicandos deexpoente um? E com radicandos de expoentes diferentes?c) Soma /diferença de dois radicais de índices iguais mas ímpares; por exemplo 5, 7,…(Conheço o processo para 4,6 e 8)
Notas:1- Com três radicais quadráticos, descobri um processo de resolução e encontrei num velho livro francês umoutro processo semelhante; estou presentemente a explorar a possibilidade, por meios próprios, da resolução de4 e mais raízes quadradas, em somas e diferenças.2- A minha pergunta, pedido de informação, poderá parecer capciosa; porém, pretendo saber até onde épossível chegar neste tema; isto é, encontrar o limite ou uma (ou várias) generalização, a qual mesmo não sendorealizável na prática, pelo menos no plano teórico, se possível.
Pela atenção dispensada, o meu muito obrigado e saudações lusitanas.
Pedrosa Santos(cidade de Caldas da Rainha, Portugal)
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4. arilsonnov 18, 2011 @ 14:54:14
nadar ver isso
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5. wallacecunhajul 22, 2011 @ 13:41:18
da proxima vez; expliquem melhor a materia, por favor; já voces querem que a gente, acesse o site de voces
Responder
MiriãCristinaset 21, 2011 @ 22:42:16
olhaaaa… sério de boa até eu sei explicar melhor até sem saber;…hehehee
Goste mais ainda não foi bem detalhado não foi de fácil entendimento poderia ser melhor.
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15. elianeago 21, 2010 @ 07:43:33
gostaria de ex: mais completo tipo passo a passo1º subtrai multiplica e soma?
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16. Lourdes oliveirajun 01, 2010 @ 07:32:20
Estava com dificuldade em entender que precisamos usar afatoração para resolver alguns casos. Como este assunto foidado na série anterior, só temos que relembrar e, então, tudoacontece. Muito grata pela ajuda.
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17. kauanamai 17, 2010 @ 20:59:03
vooçs podiam ser mas claros obg ;D
Responder
18. Muriloabr 15, 2010 @ 20:52:31
Muito facil!
Responder
19. loianeabr 06, 2010 @ 14:16:45
nao entendi nada…vcs poderiam ser mais claros…muito dificil…
Gostaria De Entender Um Pouco Mais Sobre Equações, De Primeiro é 2º Grau Obrigado.
Responder
33. Denilsonmai 17, 2009 @ 22:20:59
não houve explicação clara em relação a minha pesquisa.
Responder
34. karolmai 06, 2009 @ 23:19:09
adoraria se vooc`s colocassem exercicios no site pra nós alunos resolvermos!!seria interessante …e vim avisar que pela primeira vez em doiz anos nao fiquei de recuperaçao em matematica
no primeiro bimestre!ufa …tanto tempo estudando ate que consegui!!bjao
Responder
35. André Barcelosabr 15, 2009 @ 16:21:26
Muito elucidativo os exercícios resolvidos, gostaria de parabenizar esse exelente trabalho.
Responder
36. bianca m dantasabr 03, 2009 @ 16:53:32
ta faltando muita coisa aqui divia ter modelos de contas montadas
nao gostei porque so tem explicaçoes mais nao tem modelos