Grundlagen der Wärmeübertragung 2 Wärmeleitung – analytische Methode 1 2. Wärmeleitung – analytische Methoden Fourier’sches Grundgesetz erlaubt makroskopische Beschreibung der mikroskopischen Vorgänge bei der Wärmeleitung: Wärmestromdichte ist proportional zu dem Temperaturgradienten in diese Richtung n q n ~ n hat die Richtung der Flächennormalen Wärmestromlinien senkrecht zu Isothermen
76
Embed
Fourier’sches Grundgesetz erlaubt makroskopische ... · Grundlagen der Wärmeübertragung 2 Wärmeleitung –analytische Methode q 2 O grad - Fourier‘schesGesetz der Wärmeleitung
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 1
2. Wärmeleitung – analytische Methoden
Fourier’sches Grundgesetz erlaubt makroskopische Beschreibung der
mikroskopischen Vorgänge bei der Wärmeleitung:
Wärmestromdichte ist proportional zu dem
Temperaturgradienten in diese Richtung
nqn
~
n hat die Richtung der Flächennormalen
Wärmestromlinien senkrecht zu Isothermen
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 2
gradq Fourier‘sches Gesetz der
Wärmeleitung (allgemein)
Temperaturgradient: -Vektor, dessen Richtung identisch mit Richtung des
des größten Temperaturanstiegs in einem Körper ist
- Betrag dieses Vektors entspricht dem Wert des größten
Temperaturanstiegs
- steht senkrecht auf Niveaulinie (Isotherme)
nd
d
z
y
x
grad max
/
/
/
Wärmestromlinien senkrecht zu Isothermen
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 3
Minuszeichen stellt Richtung des Wärmestroms sicher.
Wärmeleitfähigkeit (Stoffwert wie z.B. Dichte, cp, etc.)
Km
W
xq
A
Qx
x
Für 1- dim. Fall:
ˆ
Da in Feststoffen die beste Wärmeleitung durch die freien Elektronen erzeugt
wird:
Analogie zwischen elektrischer und thermischer Leitfähigkeit.
hängt überwiegend vom Material, aber auch von der Temperatur ab.
Thermal conductivity
siehe Stoffwertesammlung
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 4
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 5
Fourier’sches Gesetz kann für alle Geometrien angewendet werden. Es gilt
auch wenn nichtlinear.dx
d
x1x x
an der Stelle x1:
1
1
x
xx
q
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 6
2.2 Herleitung der Grundgleichungen:
( Bestimmung der Temperaturfelder)
Hinweis: Taylor-Reihe
3
3
32
2
2
!3
1
!2
1dx
x
xTdx
x
xTdx
x
xTxTdxxT
da 𝒅𝒙 ≫ 𝒅𝒙 𝟐 ≫ 𝒅𝒙 𝟑 gilt näherungsweise im Folgenden:
dxx
xTxTdxxT
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 7
Gleichungen für Temperaturfelder
),,,,( *qtzyx
1. Eindimensionales, stationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
2. Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
3. Dreidimensionales, instationäres Temperaturfeld mit Wärmequellen
ˆq Wärmesenke / -quelle
3m
W
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 8
2.2.1 Eindimensionales, stationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
0;0;0:)( *
q
tzyx
dzdyqQ dxxdxx dzdyqQ xx
.constdzdydAx
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 9
2.2.1 Eindimensionales, stationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
Wärmestrombilanz:
dxdx
d
dx
d
dx
ddxq
dx
dqq
dx
dq
dx
dq
dzdyqdzdyqQQ
QQ
xxdxx
dxxdxx
xx
dxxxdxxx
abzu
in Wärmestrombilanz:
für
0
dx
dx
d
dx
d
dx
d
dx
d
)(
)x(
0
dx
d2
2
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 10
2.2.2 Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
0;0;0:),( *
tq
zytx
dzdyqQ dxxdxx dzdyqQ xx
.constdzdydAx
dt
Ed akku
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 11
2.2.2 Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
Wärmestrombilanz:dt
dEdzdyqdzdyq akku
dxxx
ct
dzdydxcdVtdt
dE
dxxxx
q
xq
akku
dxx
x
dV
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 12
2.2.2 Eindimensionales, instationäres Temperaturfeld ohne Wärmequellen
xxt
c
ct
dzdydxdzdydxxxx
dzdyx
mit konstanten Stoffgrößen:
2
2
xtc
mit
ca
Temperaturleitfähigkeit
thermal diffusivity
)(,,
)(,,
fc
xfc
2
2
xa
t
für
s
ma
2
3m
kg
Kkg
Jcp
Km
W
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 13
2.2.3 Dreidimensionales, instationäres Temperaturfeld mit Wärmequellen /
Wärmesenken
),,,,( *qtzyx (allgemeiner Fall)
dydxqQ zz
dzdxqQ dyydyy
dzdyqQ dxxdxx
dzdxqQ yy
dydxqQ dzzdzz
dt
dEakku
dVq*
dzdyqQ xx
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 14
2.2.3 Dreidimensionales, instationäres Temperaturfeld mit Wärmequellen
Wärmestrombilanz:
dVqdt
dEdAqdAq
dt
dEdAqdVqdAq
akkuausauseinein
akkuausauseinein
*
*
entsprechend 2.2.1 und 2.2.2:
*)(
qdzdydxt
cdzdydx
zzdzdydx
yydzdydx
xxdzdydx zyx
mit konstanten Stoffgrößenc
q
zyxa
t
*2
2
2
2
2
2
+ Wärmequelle: z.B. durch exotherme Reaktion
- Wärmesenke: z.B. durch endotherme Reaktion
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 15
Zylinder-Koordinaten:
cos
sin,,
rx
ryzr
Stationär, ohne Wärmequellen „Laplace Gleichung
02
2
2
2
2
2
zyx
0*
2
2
2
2
2
2
q
zyx
Stationär, mit Wärmequellen „Poisson-Gleichung“
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 16
2.2.4 Zusammenstellung der Gleichungen für den allgemeinen Fall
eines Temperaturfeldes mit konstanten Stoffwerten
4.1 in kartesischen Koordinaten
pc
qa
t
*2
pc
q
zyxa
t
*2
2
2
2
2
2
4.2 in Zylinder - Koordinaten
pc
q
zrrrra
t
*112
2
2
2
22
2
4.3 in Kugel - Koordinaten
pc
q
rrrrrra
t
*
sin
1
sin
cos122
2
2222
2
22
2
OperatorLaplace :2
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 17
2.3 Randbedingungen
Zur Lösung der DGL benötigt:
a) für instat. Fall Anfangsbedingung (t = 0)
b) immer Randbedingungen an der Außenseite des Körpers.
3. Mögliche Randbedingungen:
• 1. Art: Temperaturen an der Außenseite sind bekannt.
• 2. Art: Wärmeströme an der Außenseite sind bekannt.
q
xBz
x
0
..
x = 0
q
00
xx
)adiabat(0q:Sonderfall
> waagerechte Tangente
Beheizung.elektr.constq
onKondensatigVerdampfunconstW ,.
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 18
• 3. Art:
0
0..
x
xdx
dBz
WanddieanUmgebungvonund
x = 0
0x
q
Konvektion Wärmeleitung
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 19
2.4 Dimensionslose Kennzahlen
dimensionsfrei
Anzahl der Variablen reduziert
physikalisches Verständnis wird vereinfacht
2
2
/
/Re
Lu
LuLu
Beispiel: Reynolds-Zahl
Wärmeleitung:
Wärmedäm-
mung
Lxq
dx
dq
Lx
L
q
x
ätheViskositkinematiscs
m
2
Viskositätdynamischems
kg
Osborne Reynolds
(1842-1912)
𝑩𝒆𝒔𝒄𝒉𝒍𝒆𝒖𝒏𝒊𝒈𝒖𝒏𝒈𝒔𝒌𝒓ä𝒇𝒕𝒆
𝑹𝒆𝒊𝒃𝒖𝒏𝒈𝒔𝒌𝒓ä𝒇𝒕𝒆
Grundlagen der Wärmeübertragung
2 Wärmeleitung – analytische Methode 20
per DefinitionL
x
a
2L
ta
Fo >> 1 : d.h. lange Zeiten, hohe - Werte, kleines L
Annäherung an stat. Zustand
Fo in Größenordnung 1 : thermische Transienten von Bedeutung
Fo << 1 : Wärmeleitung hat das Innere des Körpers noch