Slate <;3iirri)cr teilung FORSCHUNG UND TECHNIK Mittwoch, 16. September 1981 Nr. 214 69 Elektrolyse-Silizium aus Kieselgur (ad) Ein neues Verfahren, mit dem Silizium auf elektrolytischem Wege aus Kieselgur gewonnen wer- den kann, haben Wissenschafter der Stanford- Univer- sität (Kalifornien) z u m Patent angemeldet. Vor allem für die Herstellung hochwertiger Legierungsstühle und Solarzellen dürfte der Prozess Bedeutung haben. Das Siliziumdioxid kommt aus den Kieselgurvorkom- men im amerikanischen Bundesstaat Illinois. Kiesel- gur (sog. Diatomeen-Erde) besteht aus Uebcrrcsten riesiger Mengen von Kieselalgen. Das Rohmaterial kostet nur etwa 6 Cent pro Kilogramm. Sein Rein- heitsgrad bis zu 99,8 Prozent ist wesentlich hö- her als der von Sand, der herkömmlichen Quelle für die Erzeugung von Silizium durch Reduktion des Sili- ziumdioxids. Die Herstellungskosten für Silizium nach dem neuen Verfahren werden auf etwa 2 Dollar pro Kilogramm geschützt; sie sind allerdings von den Stromkosten abhängig. Man erhalt so Silizium mit ei- nem Reinheitsgrad von 99,98 Prozent. Notwendig ist ein Hochtemperaturofen mit kon- trollierter Atmosphäre für Reaktionsbereiche ober- hal b des Schmelzpunktes von Silizium (1415 °C). Zwei Graphitelektroden sind in eine Schmelze ans Bariumkarbonat und Bariumfluorid eingehängt, in der Siliziumdioxid zur Lösung gebracht wird. Schickt man Strom durch die Schmelze, sammelt sich das Sili- zium an der Kathode und bildet metallische Klum- pen, die nach dem Abkühlen leicht herauszuholen sind. Zurzeit wird auch ein Verfahren entwickelt, mit dem das elektrolytisch erzeugte Silizium kontinuierlich abgeschieden werden kann. Daneben läuft an der Stanford-Universität eine zweite Studie zur elektroly- tischen Gewinnung von hochreinem Silizium bei Ar- beitstemperaturen von nur 750 °C aus einer Fluorid- schmelze. Kaliumfluorsilikat, das aus Kieselflussüure (billiges Nebenprodukt bei der Düngemittelherstel- lung) gewonnen wird, dient als Siliziumquelle. Bei dieser relativ niedrigen Temperatur wird Silizium in der Form fester polykristalliner Schichten auf einer Graphitplatte oder einer Silberfolie niedergeschlagen. Zwar ist die Niederschlagsmenge geringer als bei Schmelzsilizium, der Reinheitsgrad jedoch höher. Das hochwertige Silizium, das auf diese Weise erzeugt wurde, enthielt nur noch 8 ppm Verunreinigungen. Stahl mit Wasser geschnitten (bin) Mitarbeiter der British Hydromechanics Re- search Association entwickeln zurzeit ein neues Ver- fahren zum Schneiden verschiedenster Werkstoffe unter anderem Stahl und Kunststoffe , wobei als Schneidemittel Wasser verwendet wird. Mit diesem als «Water Jetting» bezeichneten Verfahren wurden bereits 13 mm dicke Flussstahlbleche mit Geschwin- digkeiten von mehr als 100 mm/min geschnitten. Dem Wasser wird ein billiges Schleifmittel zugefügt, dann wird es unter niedrigem Druck (weniger als 1000 bar) durch die Schneiddüse gepumpt. Bei früheren Versu- chen, mit Wasser zu schneiden, waren extrem hohe Drücke und aufwendige Schleifmittel wie Siliziumkar- bid erforderlich. Das neue Verfahren arbeitet staub- frei und kalt, so dass es ohne weiteres in explosiven Atmosphären eingesetzt werden kann; auch Sand- stein, der beim Schneiden normalerweise gefährliche Funken erzeugt, wurde nach dem neuen Verfahren erfolgreich bearbeitet. Die Anlage umfasst eine Schneiddüse, die in Abständen bis 150 m von der Hochdruckpumpe versorgt werden kann, einen Die- selmotorantrieb, Schlauchrollen und ein zentrales Kommandogerät. Damit sollen auch die Notfahr- zeuge für die britischen Erdöllagerstätten in der Nordsee ausgerüstet werden. Anzeige bei Anwesenheit von toxischen Gasen und Schwebstoffen dank Atemfiltern von Dräger. Das Dräger Atemfilterprogramm enthält Gasfilter, Schwebstoffilter, Kombinationsfilter und Kohlen- monoxidfilter. Es bietet Schutz gegen praktisch alle toxischen Gase, inerten und gesundheitsschädlichen Schwebstoffe und Gas-Schwebstoff- Gemische. ILMAC, Halle 27, Stand 27 445 stasi Dräger Dräger (Schweiz) AG, 8047 Zürich Letzigraben 134 a, Tel. 01 -54 5400, Telex 59885 Schnelle Computer-Programme dank ägyptischer Mathematik Von Felix Weber Um die Programme von Mikroprozessoren möglichst effizient zu machen, brauchen gewiefte Software-Spezialisten diverse Tricks. Die wenigsten von ihnen wissen wohl, dass sie dabei Anlei- hen bei der altägyptischen Mathematik machen. y i i 4 V h.nl 51 m f np5 j.n.h f. 4 «hc Ji * 15m p«-h!W im sD /.ps 3 m h : uj 1 nh.(/i)nph 5 MO II 61 dnd in t" im 21 n 1 51 dmd ii n im ZI "nÜl 21 n h'fipk in I 3 1 01 Abb. 1. Mathematikaufgabe Nr. 26 aus der Faksimileausgabe des Papyrus Rhlnd. Oben der hieratische Originaltext, unten die Uebersetzung, die In drol Stufen erfolgt: Zuerst übersetzen die Experten in «gewöhnliche» Hieroglyphen, die ihrerseits in Lautschrift umgesetzt werden müssen. Erst aus dieser können die Spezialisten dann den deutschen Text herleiten. Die Schreibrichtung verlauft von rechts nach links. (Photo: J. P. Klötzli) Dass wir heute über die ägyptische Mathematik überhaupt Bescheid wissen, verdanken wir zwei glücklichen Funden und jahrzehntelanger wissen- schaftlicher Arbeit. 1799, während Napoleons Aegyp- tenfeldzug, fanden französische Soldaten ein Stück schwarzen Basalts, das zum Schlüssel für die Ueber- setzung von Hieroglyphen wurde. Der nach seinem Fundort benannte Sinn von Rosetta enthält nämlich ausser einem Hieroglyphentext dieselbe Inschrift auch auf griechisch und demotisch (eine spätägyptische Schrift). Obschon die Schriftgelehrten die Wichtigkeit des Fundes sofort erkannten, dauerte es ein Viertel- jahrhundert, ene, esJean-Francois Champollum gelang, ihm sein Geheimnis mit der Entzifferung eines einzi- gen Wortes zu entreissen. Damit war der Weg für die Uebersetzung ägyptischer Schriften geebnet. Pupyriis enthüllt altägyptische Mathematik Vor 120 Jahren wurde in den Ruinen eines kleinen Gebäudes in Theben ein fünf Meter langer Papyrus aus dem Jahr 1650 v. Chr. gefunden. Die Wissenschaf- ter konnten den hieratischen Text vollständig überset- zen und gelangten so zu einem unschätzbaren Doku- ment: der nach seinem ersten Besitzer Rhmd benannte Papyrus beschreibt nämlich die Mathematik, wie sie im alten Aegypten betrieben wurde. Die Aegypter kannten die natürlichen Zahlen von 1 bis I 000 000 und die zugehörigen Brüche Vi, >;/>;, <;A, Vi usw. Mit Summen von solchen sogenannten Stammbriichen (Stammbrüche haben stets de n Zähler I) konnten sie auch jeden andern Bruch ausdrücken. Die Regel war dabei die, dass die einzelnen Summan- de n verschiedene Nenner haben mussten. So schrie- ben sie beispielsweise für die Zahl Vi nicht etwa '/j + '/s, sondern VS + '/ls. Immerhin gab es ein spezielles Zei- chen für den Bruch %. Für die Darstellung der Zahlen verwendeten die Aegypter folgende Zeichen: I 1 Strich r\ 10 Schlinge zum Anbinden von Tieren P 100 Schiffstau <;? 1 000 Lotusblume 10 000 Finger 100 000 Kaulquappe \ 000 000 Gott der Ewigkeit Die Zahl 152 123 sah also so aus: ,nn i HMlllK FQr die Null gab es kein spezielles Zeichen. Statt dessen Hessen sie einen freien Raum. Die Aegypter schrieben also 203 folgendermassen: III Anstelle des Bruchstrichs stand ein linsenförmiges Zeichen. So ist z u m Beispiel: lilli Um zwei Zahlen miteinander zu multiplizieren. verwendeten die Aegypter dasselbe Verfahren, das in de n heutigen Mikroprozessoren zur Anwendung kommt, um Platz und Rechenzeit zu sparen. Dabei verdoppelt man de n Multiplikanden, so oft es nötig ist, und addiert anschliessend die Zwischenresultate. Verdoppelungen sind im Computer, wo die Zahlen binär dargestellt werden, besonders einfach, da bloss die zugehörigen Bits um eine Position nach links ge- schoben werden müssen. Um 13x19 zu rechnen, schrieben die Aegypter folgende Verdoppelungsfolge auf: / I 19 2 38 / 4 76 / 8 152 Gebraucht wurden die hier mit einem Schrägstrich / markierten Zwischenresultate, also 1x19=19, 4x19 = 76 und 8x19=152, die addiert das Resultat 13x19 = 247 ergeben. Im Computer sieht das fast gleich aus; bloss werden die Zahlen binär geschrie- ben: / 00010011 (=1x19- 19) 00100110 ( = 2x19= 38) / 01001100 ( = 4x19= 76) / 10011000 ( = 8x19=152) Addiert werden wiederum die mit einem Schräg- strich markierten Zwischenresultate, und man erhält llllOIII (=13x19 = 247) Bei der Division verwendeten die Aegypter die um- gekehrte Methode, die ebenfalls in der Mikroprozes- sortechnik angewendet wird: Um 49:8 zu rechnen, verdoppelten sie de n Divisor 8 so oft, bis der Divi- dend 49 überschritten wurde: 1 2 16 4 32 8 64 64 ist grösser als 49, also wurde hier die Reihe abgebrochen. Dann suchte man in absteigender Rei- henfolge diejenigen Zwischenresultate, deren Summe der Zahl 49 am nächsten kommt. Also: 4 32 2 16 Addiert ergibt dies 48 oder 6x8, und als Rest bleibt die Differenz von 48 zu 49, also t. Das Resultat lautet nun 49:8 = 6, Rest I, oder 49:8 = 6'/«. Erfanden die Aegypter die «moderne» Numerik? Multiplikation und Division also wie im Compu- ter. Aber damit nicht genug. Der Papyrus, der in einen arithmetischen, einen geometrischen und einen Anwen- dungsteil gegliedert ist, beschreibt auch Ansätze von Techniken, die heute in der numerischen Mathematik wieder z u m Zug kommen. Es geht dabei um die Lö- sung von Gleichungen mit Näherungsmethoden. Dabei wird eine Zahl als «Probierlösung» in die Gleichung eingesetzt, und ein Vergleich des Probierresultats mit dem vorgegebenen Resultat bestimmt dann das wei- tere Vorgehen. Da bei de n Aegyptern nur lineare Glei- chungen vorkommen, gelangten sie bereits nach ei- nem weiteren Schritt zur richtigen Lösung. Ein Beispiel für diese Methode ist die Aufgabe Nummer 26 im Papyrus Rhind (vgl. Abb. I). Uebersetzt in die heutige mathematische Notation, sieht diese Aufgabe Nr. 26 wie folgt aus: Löse die Gleichung x -t-x/4 = 15 nach x auf. Pro- bier es mit der Näherungslösung x = 4. Dann erhältst du xo + x = 4 + 4/4 = Vergleiche das Probierresultat 5 mit dem richtigen Resultat 15. Um 15 zu erhalten, muss t du 5 mit 3 mul- tiplizieren. Die Multiplikation obiger Probicrglci- chung mit diesem Faktor 3 ergibt folgendes Hild: 3x(xo + x0/4)=l5 Also muss die Nüherungslösung x = 4 auch mit 3 multipliziert werden, um die richtige Lösung x zu er- halten: x = 3xx0 = 3x4=12 Kn-isfliii hin berechnen, ohne l'i zu kennen Auch die Geometrie diente den Aegyptern wie ihre Arithmetik rein praktischen Zwecken. Us ging ihnen vor allem um die Flächenberechnung von Feldern oder die Grössenberechnung von Gebäuden oder Py- ramiden. Das erstaunlichste dabei ist wohl die Tatsa- che, dass sie eine Formel entdeckten, mit der sie Kreisflächen berechnen konnten. Wenn man diese Formel mit der heutigen exakten Formel vergleicht, so stellt man fest , dass die Aegypter Kreisflächen so ge- nau berechnen konnten, dass der Fehler bloss 0,6 Pro- zent beträgt. Das entspricht einer Kreiszahl n von 3,16 statt 3,14. Wie sie diese Formel, nämlich F»(SxD)!, fan- den, steht nicht im Papyrus Rhind. Man vermutet aber, dass der Erfinder sie aus Volumenberechnungen gewann, weil solche im Papyrus vor den Flächenbe- rechnungen vorkommen. Wahrscheinlich ging er von einem zylindrischen Gefäss aus, dessen Durchmesser 9 Einheiten betrug. (Die Zahl 9 hatte bei den Aegyp- tern eine spezielle Bedeutung, da sie eine Gruppe von Gottheiten repräsentierte.) Dann konstruierte er Ge- fässe mit verschieden grossen quadratischen Böden, die aber alle gleich hoch waren wie der Zylinder. Die- sen füllt e er mit Wasser und probierte aus, in welchem der andern Gefässe das Wasser möglichst genau Platz hatte. Weil das Wasser aus dem Zylinder mit Durch- messer 9 das Gefäss mit Bodenseite 8 fast genau füllte, hat also ein Kreis vom Durchmesser 9 fast dieselbe Fläche wie ein Quadrat mit Seitenlänge 8, nämlich 8x8 = 64. Die genaue Berechnung mit der heutigen Formel F=R-'x n ergibt 63,61. Die Tatsache, dass die ganzen Zahlen 9 und 8 eine so gute Näherung ergaben, ist ein glücklicher Zufall. Angespornt durch diesen Erfolg, zog der ägyptische Mathematiker den Schluss, dass man ganz allgemein Kreisflächen berechnen kann, indem man ' des Durchmessers von diesem subtrahiert und dann diese Zahl (also % des Durchmessers) mit sich selbst multipliziert. Solche Verallgemeinerungen sind natur- /WvW /' Abb. 2. Vom Computer geschriebener Hieroglyphentext («Ich hielt auf der Insel am) Es handelt sich um ein Zitat aus der Geschichte der Sinuhe. die in Theben 1000 v. Chr. auf eine fünf Meter lange Papyrus- rolle geschriebe n worden war. lieh gefährlich und müssen jeweils nachträglich über- prüft werden. Einen Beweis der Formel findet man im Papyrus Rhind allerdings nicht. In diesem Fall hatte aber der ägyptische Mathematiker intuitiv den lichti- gen Schluss gezogen: seine Formel lässt sich in der Tat auf beliebige Kreise anwenden. Hieroglyphen schreiben, speichern und lesen mittels Computer Aegyptische mathematische Methoden können also Computer-Programme effizienter machen. Inter- essanterweise könnten wir heute dank dem Computer den Aegyptern eine Gegenleistung anbieten: Man braucht nämlich Hieroglyphen nicht mehr in mühe- voller kalligraphischer Kleinarbeit zu schreiben. Diese Aufgabe erledigt ein Zeichengerät, das an einem ent- sprechend programmierten Rechner angeschlossen ist, schnell und genau. Das Resultat ist eine homogene Schriftdarstellung, die leicht lesbar ist. Man kennt heute mehr als 760 verschiedene Hieroglyphen. Das Setzen von Texten in mittelägyptischer Sprache, das sonst nur mit sehr teuren und sehr vielen verschiede- nen Typen möglich wäre, wird dank dem Computer wesentlich vereinfacht (vgl. Abb. 2). Im Gedächtnis des Computers lassen sich aber nicht bloss einzelne Hieroglyphen abspeichern, son- dern ganze Wörterbücher, die sich sehr rasch abfragen lassen. Das «Blättern im Buch» besorgt ebenfalls die Maschine. Verschiedentlich wurde schon versucht, Schrifterkennungsprogramme für unsere westliche Schrift zu entwickeln. Die Schwierigkeiten sind dabei enorm, da wir ja die einzelnen Zeichen in unserer Schnurschrift nicht eindeutig trennen und auch die Buchstaben nicht immer deutlich erkennbar sind. Aegyptische Schriften haben diese Nachteile nicht. Die einzelnen Hieroglyphen werden getrennt ge- schrieben und sind so verschieden voneinander, dass sie von einem Leseautomaten ohne weiteres identifi- ziert werden könnten. Damit sind selbst computeri- sierte Uebersetzungen von Hieroglyphentexten tech- nisch möglich geworden. Adresse des Verfassers: Tüfweg 20, CH-8044 Gockhau- sen Anzeige rexu5556D Sicherer heben Mit Star-Alloy- Lasthaken Aus amerikanischem Edelstahl, vergütet, alterungsbestan- heit Verlangen Sie Unterlagen. SpanSet AG 8634 Hombrechtikon/ ZH Tel. 055-422245 Neue Zürcher Zeitung vom 16.09.1981