This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
n = impar ⇒ an + bn = (a + b)(an−1 − an−2b+ an−3b2 − · · · − abn−2 + bn−1);
1.2 Expresii simetrice
a2 + b2 = (a+ b)2 − 2ab;
a2 + b2 + c2 = (a+ b+ c)2 − 2(ab+ ac + bc);
a3 + b3 = (a+ b)3 − 3ab(a+ b);
a4 + b4 = (a2 + b2)2 − 2a2b2;
1.3 Sume remarcabile
1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)
2;
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)
6;
13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 =
[n(n + 1)
2
]2;
1 + x+ x2 + x3 + · · ·+ xk =xk+1 − 1
x− 1, pt. x �= 1;
3
1.4 Formula radicalilor compusi
√a±
√b =
√a+ c
2±
√a− c
2, unde c =
√a2 − b;
1.5 Metoda inductiei matematice
Fie P (n) o propozitie, unde n ∈ N. Pt. a demonstra ca
P (n) este adevarata ∀n ≥ n0, n ∈ N,
unde n0 ∈ N, se poate utiliza principiul inductiei matematice, ın unadin urmatoarele doua variante:
Varianta 1. Se parcurg urmatoarele doua etape:
• Etapa 1. (initializare) ”P (n0)”: verificam ca P (n0) este adevarata;
• Etapa 2. (pasul inductiv) ”P (k) ⇒ P (k + 1)”: presupunem ca P (k)este adevarata, k ≥ n0 fiind arbitrar fixat, si demonstram ca P (k + 1)este adevarata.
Varianta 2. Se parcurg urmatoarele doua etape:
• Etapa 1. (initializare) ”P (n0)”: verificam ca P (n0) este adevarata;
• Etapa 2. (pasul inductiv) ”P (n0), . . . , P (k) ⇒ P (k + 1)”: presupu-nem ca P (n0), . . . , P (k) sunt adevarate, k ≥ n0 fiind arbitrar fixat, sidemonstram ca P (k + 1) este adevarata.
Obs. Daca ın Etapa 2 pt. a demonstra ca P (k + 1) este adevarata estenevoie sa utilizam faptul ca P (k−1) si P (k) sunt adevarate, atunci la Etapa1 trebuie sa verificam ca este adevarata nu doar P (n0) ci si P (n0 + 1), iarla Etapa 2 consideram k ≥ n0 + 1 (deoarece k = n0 + 1 este prima valoarepentru care au sens P (k − 1) si P (k)).
4
2 Functii
Definitia notiunii de functie:Fie A si B doua multimi nevide. O functie f definita pe A cu valori ın
B este o lege de corespondenta prin care fiecarui element x ∈ A i se asociazaun unic element y ∈ B, notat prin y = f(x) (y = f(x) se numeste valoareafunctiei f ın punctul x sau imaginea lui x prin functia f). Notamf : A → B. Multimea A se numeste domeniul de definitie al functiei f ,iar multimea B se numeste codomeniul functiei f .
Imaginea functiei f : A → B este multimea
Im f = f(A) = {f(x) | x ∈ A}.
Graficul functiei f : A → B este multimea
Gf = {(x, f(x)) | x ∈ A}.
Functie constanta f : A → B a.ı. ∃c ∈ B a.ı. f(x) = c ∀x ∈ A.Compunerea functiilor: Fie f : A → B si g : B → C doua functii.
Compusa lui g cu f este functia
g ◦ f : A → C, (g ◦ f)(x) = g(f(x)), ∀x ∈ A.
Functii injective, surjective, bijective, inversabile:Fie f : A → B o functie.
• f se numeste injectiva daca ∀x1, x2 ∈ A, x1 �= x2 ⇒ f(x1) �= f(x2).
• f se numeste surjectiva daca ∀y ∈ B ∃ x ∈ A a.ı. f(x) = y.
• f se numeste bijectiva daca este si injectiva si surjectiva.
• f se numeste inversabila daca exista o functie g : B → A a.ı.
(f ◦ g)(x) = x, ∀x ∈ B si (g ◦ f)(x) = x, ∀x ∈ A.
In acest caz functia g este unica, se noteaza g = f−1 si se numesteinversa functiei f .
Caracterizari ale functiilor injective, surjective, bijective, inver-sabile:
Fie f : A → B o functie.
5
• f este injectiva
⇔ ∀x1, x2 ∈ A, x1 �= x2 ⇒ f(x1) �= f(x2)
⇔ ∀x1, x2 ∈ A, f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
⇔ ∀y ∈ B ecuatia f(x) = y are cel mult o solutie x ∈ A
⇔ orice paralela la axa Ox dusa prin B intersecteaza Gf ın cel mult un punct.
• f este surjectiva
⇔ Im f = B
⇔ ∀y ∈ B ecuatia f(x) = y are cel putin o solutie x ∈ A
⇔ orice paralela la axa Ox dusa prin B intersecteaza Gf ın cel putin un punct.
• f este bijectiva
⇔ f este si injectiva si surjectiva
⇔ ∀y ∈ B ecuatia f(x) = y are exact o solutie x ∈ A
⇔ orice paralela la axa Ox dusa prin B intersecteaza Gf ın exact un punct.
• f este inversabila ⇔ f este bijectiva
⇔ ∀y ∈ B ecuatia f(x) = y are exact o solutie x ∈ A
Mai mult, ın acest caz inversa lui f este f−1 : B → A, f−1(y) = x,
unde x ∈ A este solutia unica a ecuatiei f(x) = y.
• Daca f este inversabila, atunci Gf si Gf−1 sunt simetrice fata de primabisectoare (dreapta y = x), adica (x, y) ∈ Gf ⇔ (y, x) ∈ Gf−1 .
Functii monotone:Fie f : A → B o functie, unde A,B ⊆ R.
• f se numeste (monoton) crescatoare daca ∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒f(x1) ≤ f(x2).
• f se numeste (monoton) descrescatoare daca ∀x1, x2∈A, x1< x2 ⇒f(x1) ≥ f(x2).
• f se numeste strict crescatoare daca ∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒f(x1) < f(x2).
• f se numeste strict descrescatoare daca ∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 ⇒f(x1) > f(x2).
6
• f se numeste monotona daca este monoton crescatoare sau monotondescrescatoare.
• f se numeste strict monotona daca este strict crescatoare sau strictdescrescatoare.
Functii marginite:Fie f : A → B o functie, unde B ⊆ R. f se numeste marginita daca
∃m,M ∈ R a.ı. m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ A.
Centre de simetrie/axe de simetrie:Fie f : A → B o functie, unde A,B ⊆ R.
• Un punct (x0, y0) se numeste centru de simetrie pt. Gf (si spunem caGf este simetric fata de punctul (x0, y0)) daca pt. orice (x, y) ∈ Gf
avem (x′, y′) ∈ Gf , unde (x′, y′) este simetricul lui (x, y) fata de (x0, y0).
• Punctul (x0, y0) este centru de simetrie pt. Gf
⇔ pt. orice t ∈ R a.ı. x0 + t ∈ A avem x0 − t ∈ A si f(x0 + t) + f(x0 − t) = 2y0
⇔ pt. orice x ∈ A avem 2x0 − x ∈ A si f(2x0 − x) = 2y0 − f(x).
• O dreapta d se numeste axa de simetrie pt. Gf (si spunem ca Gf
este simetric fata de dreapta d) daca pt. orice (x, y) ∈ Gf avem(x′, y′) ∈ Gf , unde (x′, y′) este simetricul lui (x, y) fata de d.
• Dreapta d : ax+ by + c = 0 este axa de simetrie pt. Gf
⇔ pt. orice x ∈ A avem(b2 − a2)x− 2abf(x)− 2ac
a2 + b2∈ A si
f
((b2 − a2)x− 2abf(x)− 2ac
a2 + b2
)=
−2abx + (a2 − b2)f(x)− 2bc
a2 + b2∈ B.
• Caz particular: dreapta verticala x = x0 este axa de simetrie pt. Gf
⇔ pt. orice t ∈ R a.ı. x0 + t ∈ A avem x0 − t ∈ A si f(x0 + t) = f(x0 − t)
⇔ pt. orice x ∈ A avem 2x0 − x ∈ A si f(2x0 − x) = f(x).
Functii pare/impare:Fie f : A → B o functie, unde A,B ⊆ R, A fiind o multime simetrica,
adica pt. orice x ∈ A rezulta ca −x ∈ A.
• f se numeste para daca f(−x) = f(x), ∀x ∈ A.
7
• f se numeste impara daca f(−x) = −f(x), ∀x ∈ A.
• f este para ⇔ Gf este simetric fata de axa Oy.
• f este impara ⇔ Gf este simetric fata de originea axelor.
Functii periodice:Fie f : A → B o functie, unde A ⊆ R.
• f se numeste periodica daca ∃T ∈ R∗ a.ı. f(x+ T ) = f(x), ∀x ∈ A.Un numar T cu aceasta proprietate se numeste perioada pt. f .
• Daca f are o perioada T0 a.ı. T0 = min{T | T > 0, T = perioada pt. f},atunci T0 se numeste perioada principala a lui f .
Functii convexe/concave:Fie f : A → B o functie, unde A,B ⊆ R, A fiind un interval.
• f se numeste strict convexa daca ∀x1, x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem
f((1− t)x1 + tx2) < (1− t)f(x1) + tf(x2)
(adica graficul lui f cuprins ıntre oricare doua puncte (x1, f(x1)) si(x2, f(x2)) este situat sub segmentul care uneste aceste doua puncte).
• f se numeste convexa daca ∀x1, x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem
f((1− t)x1 + tx2) ≤ (1− t)f(x1) + tf(x2).
• f se numeste strict concava daca ∀x1, x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem
f((1− t)x1 + tx2) > (1− t)f(x1) + tf(x2)
(adica graficul lui f cuprins ıntre oricare doua puncte (x1, f(x1)) si(x2, f(x2)) este situat deasupra segmentului care uneste aceste douapuncte).
• f se numeste concava daca ∀x1, x2 ∈ A, ∀t ∈ (0, 1) avem
f((1− t)x1 + tx2) ≥ (1− t)f(x1) + tf(x2).
8
3 Progresii
3.1 Progresii aritmetice
a, b, c = pr. aritm. ⇔ b =a+ c
2⇔ 2b = a + c;
(an)n = pr. aritm. ⇔ an+1 − an = r ∀n ⇔ 2an = an−1 + an+1 ∀n;a2 = a1 + r; a3 = a2 + r = a1 + 2r; . . . (r = ratia)
an = a1 + (n− 1)r ; an = ak + (n− k)r;
Sn =(a1 + an)n
2(unde Sn = a1 + a2 + · · ·+ an);
3.2 Progresii geometrice
a, b, c = pr. geom. (abc �= 0) ⇔ |b| = √ac ⇔ b2 = ac ;
Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente
x1, x2 ≥ α
Δ ≥ 0,
− b
2a≥ α,
af(α) ≥ 0
Δ ≥ 0,
(x1 − α) + (x2 − α) ≥ 0,
(x1 − α)(x2 − α) ≥ 0
x1, x2 > α
Δ ≥ 0,
− b
2a> α,
af(α) > 0
Δ ≥ 0,
(x1 − α) + (x2 − α) > 0,
(x1 − α)(x2 − α) > 0
17
Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente
x1, x2 ≤ α
Δ ≥ 0,
− b
2a≤ α,
af(α) ≥ 0
Δ ≥ 0,
(x1 − α) + (x2 − α) ≤ 0,
(x1 − α)(x2 − α) ≥ 0
x1, x2 < α
Δ ≥ 0,
− b
2a< α,
af(α) > 0
Δ ≥ 0,
(x1 − α) + (x2 − α) < 0,
(x1 − α)(x2 − α) > 0
Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente
x1 ≤ α ≤ x2 af(α) ≤ 0 (x1 − α)(x2 − α) ≤ 0
x1 < α < x2 af(α) < 0 (x1 − α)(x2 − α) < 0
Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente
x1, x2 ∈ [α, β]
Δ ≥ 0,
− b
2a∈ [α, β]
af(α) ≥ 0, af(β) ≥ 0
x1, x2 ≥ α,
x1, x2 ≤ β
x1, x2 ∈ (α, β)
Δ ≥ 0,
− b
2a∈ (α, β)
af(α) > 0, af(β) > 0
x1, x2 > α,
x1, x2 < β
18
Cerinta Conditii echivalente Alte conditii echivalente
x1 ∈ (α, β), x2 �∈ [α, β] f(α)f(β) < 0
{x1, x2 > α
x1 < β < x2
sau
{x2 < α < x1
x1, x2 < β
Conditii privind semnul functiei pe intervale fixate:
Cerinta Conditii echivalente
ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x ∈ R Δ ≤ 0, a > 0
ax2 + bx+ c > 0, ∀x ∈ R Δ < 0, a > 0
ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x ∈ R Δ ≤ 0, a < 0
ax2 + bx+ c < 0, ∀x ∈ R Δ < 0, a < 0
Fie α ∈ R.
Cerinta Conditii echivalente
ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x ≥ α
{Δ ≤ 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
x1, x2 ≤ α
ax2 + bx+ c > 0, ∀x ≥ α
{Δ < 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a > 0
x1, x2 < α
ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x ≥ α
{Δ ≤ 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
x1, x2 ≤ α
ax2 + bx+ c < 0, ∀x ≥ α
{Δ < 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a < 0
x1, x2 < α
19
Cerinta Conditii echivalente
ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x > α
{Δ ≤ 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
x1, x2 ≤ α
ax2 + bx+ c > 0, ∀x > α
{Δ < 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a > 0
x1, x2 ≤ α
ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x > α
{Δ ≤ 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
x1, x2 ≤ α
ax2 + bx+ c < 0, ∀x > α
{Δ < 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a < 0
x1, x2 ≤ α
Cerinta Conditii echivalente
ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x ≤ α
{Δ ≤ 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
x1, x2 ≥ α
ax2 + bx+ c > 0, ∀x ≤ α
{Δ < 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a > 0
x1, x2 > α
ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x ≤ α
{Δ ≤ 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
x1, x2 ≥ α
ax2 + bx+ c < 0, ∀x ≤ α
{Δ < 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a < 0
x1, x2 > α
20
Cerinta Conditii echivalente
ax2 + bx+ c ≥ 0, ∀x < α
{Δ ≤ 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
x1, x2 ≥ α
ax2 + bx+ c > 0, ∀x < α
{Δ < 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a > 0
x1, x2 ≥ α
ax2 + bx+ c ≤ 0, ∀x < α
{Δ ≤ 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
x1, x2 ≥ α
ax2 + bx+ c < 0, ∀x < α
{Δ < 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a < 0
x1, x2 ≥ α
Fie α, β ∈ R, α < β.
Cerinta Conditii echivalente
ax2 + bx+ c ≥ 0,
∀x ∈ [α, β]
{Δ ≤ 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β
sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
α, β ∈ [x1, x2]
ax2 + bx+ c > 0,
∀x ∈ [α, β]
{Δ < 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a > 0
x1, x2 < α sau x1, x2 > β
sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
α, β ∈ (x1, x2)
ax2 + bx+ c ≤ 0,
∀x ∈ [α, β]
{Δ ≤ 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β
sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
α, β ∈ [x1, x2]
ax2 + bx+ c < 0,
∀x ∈ [α, β]
{Δ < 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a < 0
x1, x2 < α sau x1, x2 > β
sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
α, β ∈ (x1, x2)
21
Cerinta Conditii echivalente
ax2 + bx+ c ≥ 0,
∀x ∈ (α, β)
{Δ ≤ 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β
sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
α, β ∈ [x1, x2]
ax2 + bx+ c > 0,
∀x ∈ (α, β)
{Δ < 0
a > 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a > 0
x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β
sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
α, β ∈ [x1, x2]
ax2 + bx+ c ≤ 0,
∀x ∈ (α, β)
{Δ ≤ 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a < 0
x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β
sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
α, β ∈ [x1, x2]
ax2 + bx+ c < 0,
∀x ∈ (α, β)
{Δ < 0
a < 0sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ ≥ 0
a < 0
x1, x2 ≤ α sau x1, x2 ≥ β
sau
⎧⎪⎨⎪⎩Δ > 0
a > 0
α, β ∈ [x1, x2]
4.6 Sisteme de ecuatii reductibile la ecuatii de gradulal doilea
Sisteme formate dintr-o ecuatie de gradul ıntai si o ecuatie degradul al doilea: {
ax+ by = c
dx2 + exy + fy2 + gx+ hy = k.
Se rezolva prin substitutie: x =c− by
a
(sau y =
c− ax
b
). . .
Obs. Analog se rezolva si sistemele formate dintr-o ecuatie de gradul ıntaisi o ecuatie de grad n ≥ 3.
Sisteme de ecuatii simetrice:{f(x, y) = 0
g(x, y) = 0,
unde f(x, y) si g(x, y) sunt polinoame simetrice, adica
{f(y, x) = f(x, y)
g(y, x) = g(x, y), ∀x, y.
22
Notand {x+ y = S
xy = P
se obtine un sistem cu necunoscutele S si P ; dupa rezolvarea acestuia sedetermina x si y ca fiind radacinile ecuatiei de gradul al doilea
t2 − St+ P = 0({x = t1y = t2
sau
{x = t2y = t1
).
Sisteme de ecuatii omogene de gradul al doilea:{a1x
2 + b1xy + c1y2 = d1
a2x2 + b2xy + c2y
2 = d2.
Se reduce termenul liber (de exemplu se ınmultesc cele doua ecuatii cu d2,respectiv cu −d1 si se aduna ecuatiile obtinute), rezultand o ecuatie omogenade forma
ax2 + bxy + cy2 = 0.
Pentru y �= 0, ımpartind prin y2 ⇒ a
(x
y
)2
+ b · xy+ c = 0; notam
x
y= t,
determinam t, apoi rezolvam sistemul format din ecuatiax
y= t si una din
cele doua ecuatii ale sistemului initial.Cazul y = 0 se rezolva prin ınlocuire ın sistemul initial.Obs. Analog se rezolva si sistemele de ecuatii omogene de grad n ≥ 3.
23
4.7 Puteri cu exponent natural
Fie n ∈ N∗.
Paritate:Functia xn este para pentru n = par, respectiv impara pentru n = impar:
n = par ⇒ (−x)n = xn;
n = impar ⇒ (−x)n = −xn;
Semnul:
x −∞ 0 ∞
xn, n = par + 0 +
xn, n = impar − 0 +
Monotonia:
x −∞ 0 ∞
xn, n = par ∞ ↘ 0 ↗ ∞
xn, n = impar −∞ ↗ 0 ↗ ∞
24
4.8 Radicali
Fie n ∈ N∗, n ≥ 2.
Functia radical este inversa functiei putere:
Functia (bijectiva) Inversa Mon. Formule
f : [0,∞) → [0,∞),
f(x) = xn,
n = par
f−1 : [0,∞) → [0,∞),
f−1(x) = n√x,
n = par
↗n√xn = |x|, pt.n = par, x ∈ R;
( n√x)n = x, pt.n = par, x ≥ 0;
f : R → R,
f(x) = xn,
n = impar
f−1 : R → R,
f−1(x) = n√x,
n = impar
↗n√xn = x, pt.n = impar, x ∈ R;
( n√x)n = x, pt.n = impar, x ∈ R;
n√−x = − n
√x, pt.n = impar, x ∈ R;
Notam√x = 2
√x , ∀x ≥ 0;
⇒
⎧⎪⎨⎪⎩√x2 = |x|, ∀x ∈ R ;
(√x)2 = x, ∀x ≥ 0 ;
Domeniul de definitie:n√x, n = par : x ≥ 0;
n√x, n = impar : x ∈ R;
Semnul:
x 0 ∞
n√x, n = par 0 +
x −∞ 0 ∞
n√x, n = impar − 0 +
Monotonia:
x 0 ∞
n√x, n = par 0 ↗ ∞
x −∞ 0 ∞
n√x, n = impar −∞ ↗ 0 ↗ ∞
25
4.9 Formule de calcul cu puteri si radicali
Puteri cu exponent rational:
x0 = 1, ∀x �= 0;
x−1 =1
x, ∀x �= 0;
x−n =1
xn, ∀x �= 0, ∀n ∈ N∗;
x12 =
√x, ∀x ≥ 0;
x1n = n
√x, ∀n ∈ N, n ≥ 2 (x ≥ 0 pt. n = par);
xmn = n
√xm, ∀n,m ∈ N, n ≥ 2 (x ≥ 0 pt. n = par);
x−mn =
1n√xm
, ∀x �= 0, ∀n,m ∈ N, n ≥ 2 (x ≥ 0 pt. n = par);
Operatii cu puteri:
xa · xb = xa+b;
xa
xb= xa−b (x �= 0);
(xa)b = xab;
xa · ya = (xy)a;
xa
ya=
(x
y
)a
(y �= 0);
Operatii cu radicali:Fie n,m ∈ N∗, n ≥ 2, m ≥ 2.
n√x · n
√y = n
√xy (x ≥ 0, y ≥ 0 pt. n = par);
n√xy = n
√|x| · n
√|y| pt. n = par si xy ≥ 0;
n√x
n√y= n
√x
y(y �= 0) (x ≥ 0, y > 0 pt. n = par);
n
√x
y=
n√|x|n√|y| pt. n = par si xy ≥ 0, y �= 0;
( n√x)m = n
√xm (x ≥ 0 pt. n = par);
n√xm = ( n
√|x|)m pt. n,m = pare;
m
√n√x = mn
√x (x ≥ 0 pt. m · n = par);
26
4.10 Ecuatii cu puteri; ecuatii cu radicali (ecuatii irationale)
Fie n ∈ N∗, n ≥ 2.
Ecuatia Conditii de existenta Rezolvare (ın R)
xn = a, n = par —
a < 0 ⇒ x ∈ ∅;
a = 0 ⇒ x = 0;
a > 0 ⇒ x = ± n√a
xn = a, n = impar — x = n√a
n√x = a, n = par x ≥ 0
a < 0 ⇒ x ∈ ∅;
a ≥ 0 ⇒ x = an
n√x = a, n = impar — x = an
n√a + x+
m√b− x = c.
Dupa impunerea eventualelor conditii de existenta, notand
Coordonatele centrului de greutate al unui triunghi:
G = centrul de greutate al �ABC ⇔
⎧⎪⎨⎪⎩xG =
xA + xB + xC
3
yG =yA + yB + yC
3
;
Ecuatia generala a unei drepte:
d : ax+ by + c = 0, unde a �= 0 sau b �= 0;
Ecuatia dreptei ce trece prin doua puncte (distincte) date:
AB :
∣∣∣∣∣∣x y 1xA yA 1xB yB 1
∣∣∣∣∣∣ = 0
⇔
⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩AB :
y − yAyB − yA
=x− xA
xB − xA
, daca xB �= xA si yB �= yA (dreapta oblica)
AB : x = xA, daca xB = xA (dreapta verticala)
AB : y = yA, daca yB = yA (dreapta orizontala)
Puncte coliniare:
A,B,C = coliniare ⇔∣∣∣∣∣∣xA yA 1xB yB 1xC yC 1
∣∣∣∣∣∣ = 0;
Aria unui triunghi:
A�ABC =|Δ|2
, unde Δ =
∣∣∣∣∣∣xA yA 1xB yB 1xC yC 1
∣∣∣∣∣∣ ;
58
Panta (coeficientul unghiular) unei drepte (neverticale):
• m = tangenta unghiului format de dreapta cu axa Ox;
• d : ax+ by + c = 0 ⇒ m = −a
b, unde a �= 0;
• d = AB ⇒ m =yB − yAxB − xA
, unde xB �= xA;
Ecuatia dreptei ce trece printr-un punct dat P (x0, y0) si avandpanta m data:
y − y0 = m(x− x0) ;
Ecuatia dreptei verticale ce trece printr-un punct dat P (x0, y0):
x = x0;
Drepte paralele; drepte perpendiculare:
Fie
{d1 : a1x+ b1y + c1 = 0
d2 : a2x+ b2y + c2 = 0, sau
{d1 : y = m1x+ n1 (m1 = panta lui d1)
d2 : y = m2x+ n2 (m2 = panta lui d2).
• d1 = d2 ⇔ a1a2
=b1b2
=c1c2
⇔ m1 = m2 si n1 = n2;
• d1 ‖ d2 ⇔ a1a2
=b1b2
�= c1c2
⇔ m1 = m2 si n1 �= n2;
• d1 ⊥ d2 ⇔ a1a2 + b1b2 = 0 ⇔ m1m2 = −1;
Vectori directori ai unei drepte:
• Vectorii directori ai dreptei d sunt vectorii de forma−→AB, cu A,B ∈ d,
A �= B;
• Un vector �u = α�i + β�j, �u �= �0, este vector director pentru dreaptad : ax+ by + c = 0 daca si numai daca αa+ βb = 0 ;
Unghiul dintre doua drepte:
Fie
{d1 : a1x+ b1y + c1 = 0
d2 : a2x+ b2y + c2 = 0, sau
{d1 : y = m1x+ n1 (m1 = panta lui d1)
d2 : y = m2x+ n2 (m2 = panta lui d2).
• cos(�(d1, d2)) =|a1a2 + b1b2|√
a21 + b21 ·√a22 + b22
=|m1m2 + 1|√
m21 + 1 ·
√m2
2 + 1;
59
• tg (�(d1, d2)) =
∣∣∣∣ m1 −m2
1 +m1m2
∣∣∣∣ = ∣∣∣∣a1b2 − a2b1a1a2 + b1b2
∣∣∣∣ , pt. d1 �⊥ d2;
Proiectia unui punct pe o dreapta:Fie punctul A(x1, y1) si dreapta d : ax+ by + c = 0.
A
d
D
Proiectia lui A pe d este punctul D = pr dA definit prin{D = A, daca A ∈ d
AD ⊥ d, D ∈ d, daca A �∈ d,
adica punctul de intersectie dintre dreapta d si perpendiculara dusa din Ape d. Astfel coordonatele (x0, y0) ale lui D sunt solutia sistemului
{ax+ by + c = 0
a(y − y1) = b(x− x1), adica
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x0 =
b2x1 − aby1 − ac
a2 + b2
y0 =−abx1 + a2y1 − bc
a2 + b2
.
Distanta de la un punct la o dreapta:Fie punctul P (x0, y0) si dreapta h : ax+ by + c = 0.Distanta de la P la h (adica distanta de la P la proiectia lui P pe h) este
d(P, h) =|ax0 + by0 + c|√
a2 + b2;
Simetricul unui punct fata de un alt punct:Fie punctele A(x1, y1) si P (x0, y0).
A
PA′
Simetricul lui A fata de P este punctul A′(x2, y2) definit prin{A′ = A, daca A = P
P = mijlocul lui [AA′], daca A �= P, deci
⎧⎪⎨⎪⎩x0 =
x1 + x2
2
y0 =y1 + y2
2
, adica
{x2 = 2x0 − x1
y2 = 2y0 − y1.
60
Simetricul unui punct fata de o dreapta:Simetricul unui punct A fata de o dreapta d este punctul A′, unde A′ este
simetricul lui A fata de punctul D = pr dA.
A
d
D
A′
Simetrica unei drepte fata de un punct:Simetrica unei drepte AB fata de un punct P este dreapta A′B′, unde A′
si B′ sunt simetricele lui A, respectiv B, fata de P .Simetrica unei drepte fata de o alta dreapta:Simetrica unei drepte AB fata de o dreapta h este dreapta A′B′, unde A′
si B′ sunt simetricele lui A, respectiv B, fata de h.
61
9 Numere complexe
9.1 Numere complexe sub forma algebrica
Forma algebrica a unui nr. complex:
z = x+ yi , unde x, y ∈ R, i ∈ C \ R, i2 = −1 ;{re (z) = x = partea reala a lui zim (z) = y = partea imaginara a lui z
z = r(cos t+ i sin t) , unde r ∈ R, r ≥ 0, t ∈ [0, 2π);{ |z| = r = modulul lui zarg(z) = t = argumentul redus al lui z
;
Obs. Renuntand la conditia t ∈ [0, 2π) se obtine forma trigonometricaextinsa a lui z; ın acest caz avem
t = arg(z) + 2kπ, unde k ∈ Z,
si t se numeste argumentul (extins al) lui z.
Trecerea de la forma algebrica la forma trigonometrica:
z = 0 ⇒ z = 0(cos t+ i sin t), ∀t ∈ [0, 2π);
z = x+ yi, x, y ∈ R, z �= 0 ⇒ z = r(cos t+ i sin t), unde
r = |z| = √x2 + y2 ,
t ∈ [0, 2π) a.ı.
⎧⎪⎨⎪⎩cos t =
x
r
sin t =y
r
, adica
⎧⎪⎨⎪⎩cos t =
x√x2 + y2
sin t =y√
x2 + y2
;
63
Cazuri particulare:
1 = cos 0 + i sin 0;
−1 = cosπ + i sin π;
i = cosπ
2+ i sin
π
2;
−i = cos3π
2+ i sin
3π
2;
z = x ∈ R, x ≥ 0 ⇒z = x(cos 0 + i sin 0);
z = x ∈ R, x < 0 ⇒z = −x(cos π + i sin π);
z = yi, y ∈ R, y ≥ 0 ⇒z = y(cos
π
2+ i sin
π
2
);
z = yi, y ∈ R, y < 0 ⇒z = −y
(cos
3π
2+ i sin
3π
2
);
Proprietati:
cos t− i sin t = cos(−t) + i sin(−t);
(cos t1 + i sin t1)(cos t2 + i sin t2) = cos(t1 + t2) + i sin(t1 + t2);
cos t1 + i sin t1cos t2 + i sin t2
= cos(t1 − t2) + i sin(t1 − t2);
(cos t+ i sin t)n = cos nt+ i sinnt , ∀n ∈ Z (formula lui Moivre);
9.3 Interpretarea geometrica a unui nr. complex
Afixul unui punct din plan:Fiecarui nr. complex z = x+ yi, x, y ∈ R, ıi corespunde punctul A(x, y)
din planul reprezentat in sistemul otogonal de axe xOy, si reciproc.Numarul complex z = x + yi se numeste afixul punctului A(x, y); se
utilizeaza si notatia A(z).
O�x
�y
A(z), z = x+ yi = r(cos t+ i sin t)
OA = r = |z|� t t = arg(z)
64
9.4 Ecuatii binome (radacinile de ordinul n ale unuinr. complex)
Forma generala:
zn = a, unde a ∈ C, n ∈ N∗.
Rezolvarea trigonometrica:Fie a = r(cos t+ i sin t) forma trigonometrica a lui a.Solutiile ec.
zn = r(cos t+ i sin t)
(radacinile de ordinul n ale nr. complex a) sunt:
zk+1 = n√r
(cos
t+ 2kπ
n+ i sin
t + 2kπ
n
), k ∈ {1, . . . , n}.
Caz particular: radacinile de ordinul n ale unitatii:
zn = 1 ⇒ zk+1 = cos2kπ
n+ i sin
2kπ
n, k ∈ {1, . . . , n}.
Rezolvarea algebrica a ec. binome z2 = a:Fie a = u+ vi forma algebrica a lui a. Notand
z = x+ yi, x, y ∈ R,
forma algebrica a lui z ecuatia devine, succesiv,
(x+ yi)2 = u+ vi ⇔ x2 + 2xyi− y2 = u+ vi ⇔{
x2 − y2 = u2xy = v
, x, y ∈ R,
si se rezolva acest sistem omogen.
9.5 Ecuatia de gradul al doilea
az2 + bz + c = 0, unde a, b, c ∈ C, a �= 0.
Rezolvarea bazata pe formula generala:
z1,2 =−b± d
2a, unde d ∈ C este o solutie a ec. d2 = Δ, unde Δ = b2−4ac.
Rezolvarea bazata pe forma algebrica: se procedeaza analog ca larezolvarea algebrica a ec. binome z2 = a.
65
9.6 Ecuatii bipatrate
az4 + bz2 + c = 0, unde a, b, c ∈ C, a �= 0.
Notam z2 = u ⇒ au2 + bu+ c = 0 . . .Obs. Ecuatiile n-patrate
az2n + bzn + c = 0, n ≥ 3,
se rezolva analog, notand zn = u.
66
10 Combinatorica
10.1 Produsul cartezian
Fie A o multime si n ∈ N∗. Un n-uplu cu elemente din A (vector cu nelemente din A) are forma (a1, a2, . . . , an), unde a1, a2, . . . , an ∈ A si conteazaordinea de dispunere a acestor elemente, adica
Omultime ordonata cu n elemente este un n-uplu cu elemente distinctedoua cate doua.
Deci o multime ordonata cu n elemente are forma (a1, a2, . . . , an), undeelementele a1, a2, . . . , an sunt distincte doua cate doua (adica ai �= aj ∀i �= j)si conteaza ordinea de dispunere a acestor elemente.
Fie n, k ∈ N, k ≤ n si fie A o multime arbitrara cu n elemente. Notam:
• Pn = nr. de multimi ordonate care se pot forma cu toate cele n elementeale lui A, numite si permutari ale lui A;
Numarul Pn se numeste permutari de n;
• Akn = nr. de submultimi ordonate cu k elemente care se pot forma cu
elemente din A, numite si aranjamente ale lui A;
Numarul Akn se numeste aranjamente de n luate cate k;
• Ckn = nr. de submultimi cu k elemente care se pot forma cu elemente
din A, numite si combinari ale lui A;
Numarul Ckn se numeste combinari de n luate cate k;
67
Definitia lui n factorial:
Fie n ∈ N. Notam
n! = 1 · 2 · . . . · n, pt. n ≥ 1;
0! = 1;
n! se numeste n factorial.
Conditii de existenta; formule de calcul:
Numarul Formule de calcul Conditii de existenta
Pn Pn = n! n ∈ N
Akn Ak
n =n!
(n− k)!n, k ∈ N, k ≤ n
Ckn Ck
n =Ak
n
k!=
n!
k!(n− k)!n, k ∈ N, k ≤ n
10.4 Formule de numarare
Produs cartezian:
Fie n multimi A1, A2, . . . , An, avand respectiv m1, m2, . . . , mn elemente.
• Numarul de elemente (n-upluri) ale produsul cartezian A1×A2×· · ·×An
este egal cum1 ·m2 · . . . ·mn.
Tipuri de submultimi:Fie A o multime cu n elemente, n ∈ N, si fie k ∈ N, k ≤ n.
• Numarul de permutari (multimi ordonate) ale lui A este egal cu n!;
• Numarul de submultimi ordonate cu k elemente ale lui A este egal cuAk
n;
• Numarul de submultimi cu k elemente ale lui A este egal cu Ckn;
• Numarul total de submultimi ale lui A este egal cu 2n.
68
Tipuri de functii:Fie A o multime cu n elemente si B o multime cu m elemente, m,n ∈ N∗.
• Numarul de functii f : A → B este egal cu mn;
• Pentru n > m, nu exista functii injective f : A → B;
Pentru n ≤ m, numarul de functii injective f : A → B este egal cu Anm;
• Pentru n < m, nu exista functii surjective f : A → B;
Pentru n ≥ m, numarul de functii surjective f : A → B este egal cu
mn − C1m(m− 1)n + C2
m(m− 2)n − . . .+ (−1)m−1Cm−1m ;
• Pentru n �= m, nu exista functii bijective f : A → B;
Pentru n = m, numarul de functii bijective f : A → B este egal cu n!;
• Pentru n > m, nu exista functii strict crescatoare f : A → B;
Pentru n ≤ m, numarul de functii strict crescatoare f : A → B esteegal cu Cn
m;
Obs. Aceleasi formule se aplica si ın cazul functiilor strict descrescatoare.
• Numarul de functii (monoton) crescatoare f : A → B este egal cuCn
m+n−1;
Obs. Aceeasi formula se aplica si ın cazul functiilor strict descrescatoare.
10.5 Formule combinatoriale
0! = 1 ;
n! = n(n− 1)! , ∀n ∈ N∗;
n! = n(n− 1)(n− 2)!, ∀n ∈ N, n ≥ 2;
Akn = n(n− 1)(n− 2) . . . (n− k + 1), ∀n, k ∈ N∗;
A0n = 1, ∀n ∈ N;
A1n = n, ∀n ∈ N∗;
Ann = n!, ∀n ∈ N;
Ckn = Cn−k
n , ∀n, k ∈ N, k ≤ n
(formula combinarilor complementare);
69
C0n = Cn
n = 1 , ∀n ∈ N;
C1n = Cn−1
n = n , ∀n ∈ N∗;
Ckn = Ck
n−1 + Ck−1n−1 , ∀n, k ∈ N∗, k ≤ n− 1
(relatia de recurenta a combinarilor);
kCkn = nCk−1
n−1 , ∀n, k ∈ N∗, k ≤ n;
CknC
rk = Cr
nCk−rn−r , ∀n, k, r ∈ N, r ≤ k ≤ n;
Ckn
k + 1=
Ck+1n+1
n+ 1, ∀n, k ∈ N, k ≤ n;
10.6 Binomul lui Newton
Pentru orice a, b ∈ C si n ∈ N avem
(a+ b)n =n∑
k=0
Ckna
n−kbk .
• Notam Tk+1 = Ckna
n−kbk , ∀k ∈ {0, 1, . . . , n}.• Tk+1 se numeste termenul de rang k sau al k + 1-lea termen aldezvoltarii (sumei).
• Dezvoltarea (suma) are n+ 1 termeni.
– Daca n = par, atunci termenul din mijloc este Tn2+1;
– Daca n = impar, atunci termenii din mijloc sunt Tn+12
si Tn+12
+1;
• Ckn se numeste coeficientul binomial al termenului Tk+1.
– Suma coeficientilor binomiali este
C0n + C1
n + · · ·+ Cnn = 2n ;
– Pt. un polinom P (X) = a0 + a1X + a2X2 + · · · + anX
n, sumacoeficientilor este
a0 + a1 + a2 + · · ·+ an = P (1) ;
– Pt. un polinom P (X, Y ), suma coeficientilor este P (1, 1) ; . . .
70
• Monotonia coeficientilor binomiali:
– Daca n = par, atunci
C0n < C1
n < · · · < Cn2−1
n < Cn2n > C
n2+1
n > · · · > Cn−1n > Cn
n ,
deci coeficientul binomial maxim este Cn2n (cel din mijloc);
– Daca n = impar, atunci
C0n < C1
n < · · · < Cn−12
n = Cn+12
n > · · · > Cn−1n > Cn
n ,
deci coeficientii binomiali maximi sunt Cn−12
n = Cn+12
n (cei dinmijloc);
• Raportul a doi termeni consecutivi:
Tk+1
Tk+2=
Ckn
Ck+1n
· ab=
k + 1
n− k· ab
, ∀k ∈ {0, 1, . . . , n− 1} (pt. b �= 0);
Pt. a, b > 0 avem
Tk+1
Tk+2
≥ 1 ⇔ k + 1
n− k· ab≥ 1 ⇔ k ≥ nb− a
a+ b,
deci Tk+1 = termen maxim ⇔
⎧⎪⎨⎪⎩nb− a
a + b≤ k ≤ nb− a
a+ b+ 1
k ∈ {0, 1, . . . , n}.
Formula multinomului lui Newton (generalizare a formulei binomuluilui Newton): pentru orice m ∈ N∗, a1, a2, . . . , am ∈ C si n ∈ N avem
(a1 + a2 + · · ·+ am)n =
∑(k1,k2,...,km)∈K
n!
k1!k2! . . . km!ak11 ak22 . . . akmm ,
unde K = {(k1, k2, . . . , km) | k1, k2, . . . , km ∈ N, k1 + k2 + · · ·+ km = n}.
71
10.7 Sume combinatoriale
C0n + C1
n + · · ·+ Cnn = 2n, ∀n ∈ N
C0n + C2
n + C4n + · · · = C1
n + C3n + C5
n + · · · = 2n−1, ∀n ∈ N∗;p∑
k=0
CknC
p−km = Cp
n+m, ∀n,m, p ∈ N, p ≤ n+m
(formula lui Vandermonde);p−m∑k=n
CnkC
mp−k = Cn+m+1
p+1 , ∀n,m, p ∈ N, p ≥ n+m
(formula lui Norlund);n∑
k=0
(Ck
n
)2= Cn
2n, ∀n ∈ N
n∑k=0
Cknx
k = (1 + x)n, ∀n ∈ N, ∀x ∈ C;
(cf. binomului lui Newton);
Derivand, respectiv integrand aceasta egalitate ın raport cu x obtinem:
n∑k=1
kCknx
k−1 = n(1 + x)n−1, ∀n ∈ N∗, ∀x ∈ C;
n∑k=0
Cknx
k+1
k + 1=
(1 + x)n+1 − 1
n+ 1, ∀n ∈ N, ∀x ∈ C;
Obs. Aceste egalitati pot fi din nou derivate/integrate ın raport cu x,direct sau dupa anumite prelucrari (de ex. ınmultire cu x), rezultand alteidentitati combinatoriale.