CLASA A IX – A ALGEBRĂ EXPLICITAREA MODULULUI: |x| = PROPRIETĂŢI 1. 2. 3. 4. 5. 6. Ex: FUNCŢIA DE GRADUL II f. descompusă (forma canonică) ! axă de simetrie COORD. V: V SEMNUL FUNCŢIEI DE GRADUL II x f(x) semn a X X 1,2 f(x) Semn contrar a semn a X X 1 X 2 f(x) Semn a semn semn a contrar a 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
CLASA A IX – A ALGEBRĂ
EXPLICITAREA MODULULUI: |x| =
PROPRIETĂŢI1. 2.3.4.
5.
6.Ex:
FUNCŢIA DE GRADUL II
f. descompusă (forma canonică)!
axă de simetrie
COORD. V: V
SEMNUL FUNCŢIEI DE GRADUL II
xf(x) semn a
X X1,2
f(x) Semn contrar a semn a
X X1 X2
f(x) Semn a semn semn a contrar a
RELAŢII ÎNTRE RĂDĂCINI ŞI COEFICIENŢI
S = x1 + x2 = P = x1 x2 = x2 – Sx+P = 0
1
CÂND SE CUNOSC COORDONATELE:
DISTANŢA ÎNTRE DOUĂ PUNCTE ÎN PLAN
A(X1Y1) B(X2Y2) d(A,B) =
COORDONATELE MIJLOCULUI UNUI PUNCT
ECUAŢIA DREPTEI
PANTA DREPTEI AB mAB =
AriaABCD = AABC + AACD =
SISTEME SIMETRICE
S = x + y P = xyx2 + y2 = S2 – 2Px3 + y3 = S(S2-3P) x4 + y4 = S4-4S2P + 2P2
t2 + St + P = 0 ec. caracteristică pentru sisteme simetrice
PUTERI SI RADICALI
1. 5.
2. 6. 3. 7. 4.
!
2
FUNCŢIA EXPONENŢIALĂ
1.
X -2 -1 0 1 22x
1 2 4
2x – monoton crescătoare
2.
X -2 -1 0 1 2f(x)
4 2 1
- monoton descrescătoare
PROPRIETĂŢI
1. f(x) = ax – monoton crescătoare pt. - monoton descrescătoare pt.
2. este bijectivă - injectivă
- surjectivă
CLASA A X – A ALGEBRĂ
POLINOAME
- valoarea numerică a polinomului
TEORIA LUI BEZOUT
TEORIA ÎMPĂRŢIRII CU REST
3
polinomul este divizibil
CMMDC = [P,Q] – (luăm factorii comuni la puterea cea mai mică o singură dată şi îi înmulţim)
[P,Q] = 1 polinoamele se numesc primele între ele
CMMMC (P,Q) – (produsul factorilor comuni şi necomuni o singură dată la puterea cea mai mare)
Dacă
RĂDĂCINI MULTIPLE
- spunem că f admite pe a ca rădăcină multiplă de ordinul K, dacă
f este (x-a)k SAU f = (x-a)k . hf cu (x-a)(x-b) SAU
ECUAŢII RECIPROCE
- au coeficienţii termenilor extremi egali, iar coeficientul egal depărtat de extremii toţi egali. Se notează cu
Fie o funcţie f : A RXo A, f – cont în Xo lims = limd = f(xo)
PROPRIETĂŢI1. Orice funcţie continuă în toate punctele unui interval se
spune că este continuă pe acel interval;2. Funcţiile elementelor (polin, funcţ, raţ, trigonom,
exponenţiale, radicali) sunt continue pe domneiu lor de definiţie;
3. Dacă f : I R, I – interval, f continuă f(I) – este interval - o funcţie continuă duce un interval într-un intervalf(x) = sinx f: [0,2 ] [-1,1] f: [(0,2 )] [-1,1]
4. O funcţie continuă pe un interval închis este mărginită
ex: f(x) = 2x+3 : [0,1] R x [0,1]
LEMĂ: funcţia f : [a, b] R – cont, f(a) . f(b)<0 c (a, b), a.î.
FUNCŢII DERIVABILE
Fie f : A R xo A
Notăm devine laterală stânga
devine laterală dreapta
dacă f este derivabilă în xo
13
Notez = m = tg
Ex. se aplică regula lui L’Hospital, adică se
derivează separată numărătorul şi separat numitorul.
; ; ; ; ; ;
Ecuaţia tg într-un punct xo
T E O R E M E
Funcţie ROLLE – este f continuă şi derivabilă pe intervalul [a, b]
Teorema lui FERMAT – dacă xo este un punct de min/max pentru f, atunci f’(xo) = 0
Teorema lui ROLLE f este f Rolle şi f(a) = f(b), ( ) c a.î, f’(c) = 0
Teorema LAGRANGE – dacă f este o funcţie Rolle, ( ) c [a, b]
f: , spunem că f îndeplineşte condiţiile teoremei lui Rolle dacă sunt adevărate afirmaţiile:
a) f este continuă pe ;
b) f este derivabilă pe (a,b);
c)
O funcţie îndeplineşte funcţiile lui Lagrange dacă îndeplineşte condiţiile teoremei lui Rolle pe .
Teorema lui COUCHY – dacă f . g: funcţii Rolle pe [a, b] ( ) c a.î
14
DERIVATELE DE ORDIN SUPERIOR
CAZUL I
DEM:
Punctele de extrem a unei funcţii se găsesc rezolvând ecuaţia f’(x) = 0, iar punctele de inflexiune se găsesc rezolvând ecuaţia f’’(x) = 0.
Dacă nu există puncte de inflexiune şi nici de extrem.Pentru a găsi domeniul maxim de definiţie pentru o
fracţie punem condiţia ca numitorul să fie 0 şi se pune pe axă. În cazul x1 şi x2 = i nu se pune pe axă.
CAZUL II
REGULI DE DERIVARE
C O N V E R G E N Ţ A
lim an=a ex:
I. Dacă gradul numărătorului unei fracţii este mai mic decât gradul numitorului şi limita tinde la , atunci limita este 0.
15
Ex.
II. Dacă gradul numărătorului unei fracţii este egal cu gradul numitorului şi limita tinde la , rezultatul limitei este raportul coeficienţilor gradului cel mai mare.
Ex.
III. Dacă gradul numărătorului unei fracţii este mai mare decât gradul numitorului şi limita tinde la , rezultatul limitei este .
Ex.
LIMITE DE FUNCŢII
Dacă F : A R dacă ls = ld
Sau dacă
lims, limd – când Q(a) = 0
LIMITE DE FUNCŢII TRIGONOMETRICE
,
,
,
16
ASIMPTOTELE FUNCŢIILOR
X - - 2 -1 - 0 1 2 +
f(x) - -1 -2 2 1
ASIMPTOTE VERTICALE
asimptotă verticală la dreapta
asimptotă verticală la stânga
[limita tinde către valoarea care f(x)]
REPREZENTAREA GRAFICĂ:1. Domenii de definiţie2. Semnul funcţiei3. Lim la capetele int4. Intersecţia cu axele de coord5. f’(x) + semnul ei6. f’’(x) + semnul ei7. Asimptote8. Tabel general9. Graficul
f'’’(x) > 0 f este convexă (după calculul derivatei a II-a, se egalează cu 0 şi se obţin punctele de inflexiune)
17
ASIMPTOTE ORIZONTALE
(tinde către şi dă un număr)
1 – asimptotă orizontală
DERIVATELE FUNCŢIILOR COMPUSE
;
18
CLASA A XII – A ALGEBRĂ
G R U P(G, *) grup dacă:
Grup finit – este format de o mulţime cu un număr finit de elemente. ex: (R5, +)Grup infinit - este o infinitate de elemente (R, +) două numere sunt prime între ele dacă au CMMDC = 1Teor: În (Rn, ) ( ) elemente inversabile numai acelea prime cu n . (x, n) = 1
INEL: (A, *, 0) dacăI. (A, *) – grup comutativ ANSCII. (A, 0) – monoid (PAN)III. distributivitate ( ) x, y, z A,
CORP (k, *, 0) - dacă
I. (A, *) – grup comutativ Corp – comutativII. (A, o) – grup PANS II – grup comutativIII. distributivitate